1. Óptica geométrica: conceptos básicos y convenio de signos.

Transcripción

1 . Óptica geométrica: coceptos básicos y coveio de sigos. Tal y como habíamos defiido previamete al estudio de las reyes de la reflexió y de la refracció, llamamos rayo a ua líea imagiaria perpedicular a los fretes de oda. La óptica geométrica se ocupa de la trayectoria de los rayos a través de distitos medios utilizado las leyes de la reflexió y de la refracció, si teer e cueta la aturaleza odulatoria de la luz. Vamos ahora a defiir alguos térmios aplicados e óptica geométrica. Dioptrio: cojuto de dos medios trasparetes de distitos ídices de refracció, separados por ua superficie. Si esta es curva, hablaremos de dioptrio esférico, mietras que si es plaa, tedremos u dioptrio plao. Sistema óptico: cojuto de varios dioptrios. Cetro de curvatura: cetro de la superficie esférica de la que forma parte la superficie de separació etre los dos medios. Radio de curvatura: radio de la superficie esférica aterior. Eje óptico: líea imagiaria perpedicular a la superficie de separació. Vértice óptico: itersecció del eje óptico co la superficie de separació. Image real: es que la que se forma por la itersecció de los rayos, que coverge tras atravesar la superficie de separació. Image virtual: es la que se forma por la itersecció de las prologacioes de los rayos, que diverge tras atravesar la superficie de separació A cotiuació, veamos el coveio de sigos utilizado e óptica geométrica, teiedo e cueta que los diagramas de rayos se realiza supoiedo la propagació de la luz de izquierda a derecha. Las distacias medidas a la izquierda del vértice óptico se cosidera egativas, mietras que las que se mida a la derecha se cosidera positivas. Las distacias respecto al eje óptico se cosiderará positivas cuado se mida por ecima de él y egativas cuado se mida por debajo. Las letras que se refiere a la image so las mismas referidas al objeto, pero utilizado el sigo prima. Así, si el tamaño de u objeto se represeta por la letra y, el tamaño se su image se represetará por y. 2. El dioptrio esférico. 2.. Ecuació fudametal del dioptrio esférico. Tal y como hemos defiido e el puto aterior, u dioptrio es la superficie que separa dos medios homogéeos de diferete ídice de refracció.

2 2 Vamos a deducir la ecuació fudametal del dioptrio esférico, pues la del dioptrio plao se obtedrá a partir de la aterior, si mas que cosiderar que ua superficie plaa es ua porció de esfera de radio ifiito. Para obteer la ecuació fudametal, supodremos que el rayo lumioso procedete del objeto experimeta el feómeo de la refracció, al icidir sobre la superficie de separació etre los dos medios. Para este feómeo es de aplicació la ley de Sell: seα i seα r = seα i = seα r Cosiderado rayos paraxiales, es decir, aquellos rayos que forma águlos pequeños co respecto al eje óptico, podemos utilizar la siguiete aproximació: α i = α r puesto que, e este caso, podemos hacer la aproximació se α α. Para la obteció de la ecuació fudametal del dioptrio esférico, vamos a basaros e la represetació gráfica que aparece e la siguiete image: N A α i α r h P α O θ P C s s α Figura : El dioptrio esférico Para el triágulo PCA se cumple que α+ θ + (80 - α i ) = 80, de dode se deduce que α i = α+θ, mietras que para el triágulo P CA, se cumplirá que α r +α +80 θ = 80, por lo que α r = θ α. A partir de aquí, podremos poer: α i = α r (α+θ) = (θ α ) De uevo, cosiderado los rayos paraxiales, podremos poer: α tgα, θ tgθ y α tgα, teiedo etoces: α = h s θ = h R α = h s Utilizado estas igualdades, podremos poer: ( h s + h ) ( hr = R hs )

3 3 Obsérvese que se ha puesto u sigo - delate de s atediedo al criterio de sigos ates mecioado (las distacias medidas a la izquierda del vértice óptico se cosidera egativas). Elimiado h de todas las fraccioes, os queda: ( s + ) ( R = R s ) Agrupado térmios, obteemos fialmete: s = s R lo que costituye la ecuació fudametal del dioptrio esférico Distacias focales. Si cosideramos u cojuto de rayos paralelos al eje óptico, procedetes del ifiito, al refractarse coicidirá todos e u puto deomiado foco image F ). Llamaremos distacia focal image (f ) a la distacia etre F y el vértice óptico. De la misma forma, existe otro puto, que llamaremos foco objeto (F), e el que todos los rayos que procede de él, tras refractarse, sale paralelos al eje óptico, deomiádose distacia focal objeto (f) a la distacia etre F y el vértice óptico. Aplicado la ecuació fudametal obteida e el apartado aterior: s = f = R f = R s = f = R f = R Si sumamos las dos distacias focales, obtedremos: f +f = R R = ( )R Es decir, la suma de las dos distacias focales es igual al radio de curvatura del dioptrio. Por otra parte, si e la ecuació fudametal del dioptrio esférico dividimos los dos miembros de la igualdad por el segudo, obtedremos: = R /s ( ) /R /s ( ) /R = por lo cual R s( R ) s ( ) = de dode se obtiee: f s + f s =

4 Aumeto lateral. Tal y como hemos cosiderado al deducir la ecuació del dioptrio esférico, supodremos que los rayos so paraxiales, es decir, forma águlos pequeños co eje óptico. E ese caso al aplicar la ley de Sell a la siguiete image: y α i α r y s s tedremos la siguiete igualdad: Figura 2: Aumeto lateral seα i seα r = seα i = seα r Teiedo e cueta que para rayos paraxiales se cumple se α α tgα, podremos poer: seα i = tgα i = y seα r = tgα r = y s s co lo que tedremos, despejado: y y = s s lo que costituye la expresió matemática del aumeto lateral El dioptrio plao. El dioptrio plao o es mas que u caso particular del dioptrio esférico, e el que el radio de curvatura es ifiito. Utilizado la ecuació fudametal del dioptrio esférico: s s = s = s 3. Espejos esféricos. Deomiamos espejo esférico a ua superficie, ya sea cócava o covexa, e la que se produce el feómeo de la reflexió. El rayo lumioso o abadoa, pues, el medio del que procede. Como cosecuecia, y aplicado la ecuació fudametal del dioptrio esférico, vamos a deducir la ecuació correspodiete a este tipo de espejos.

5 5 3.. Ecuació fudametal. Partiedo de la ecuació fudametal del dioptrio esférico: s s = R y teiedo e cueta que el rayo lumioso procedete de la parte izquierda será reflejado, ivirtiedo por tato su camio, cosideraremos = -, co lo que la aterior ecuació os quedará así: s + s = 2 R s + s = 2 R lo que costituye la ecuació fudametal de los espejos esféricos Distacias focales. Los rayos que,procedetes del ifiito, icida sobre el espejo, se reflejará, coicidiedo todos los rayos reflejados (e espejos cócavos) o sus prologacioes (espejos covexos) e u puto deomiado foco. De esta forma, si e la ecuació de las letes igualamos s a, se cumplirá que s = f, co lo cual: + f = 2 R De la misma forma, si hacemos s =, tedremos s = f, por tato: De todo lo aterior se deduce que: f + = 2 R f = f = R Costrucció de imágees e espejos cócavos y covexos. E la costrucció de imágees e espejos cócavos, podemos cosiderar cuatro casos posibles: cuado el objeto se ecuetra a ua distacia mayor que el radio de curvatura, cuado el objeto se ecuetra etre el cetro de curvatura y el foco, cuado el objeto está sobre el foco y cuado el objeto se ecuetra etre el foco y el espejo. Veamos ahora cómo se costruye el diagrama de rayos e cada uo de estos casos. Para los espejos covexos, la image tedrá siempre las mismas características, idepedietemete del lugar dode se ecuetre el objeto.

6 6 Image meor, ivertida y real Image mayor,ivertida y real No se forma image Image mayor,ivertida y virtual Figura 3: Diagrama de rayos para espejos cócavos Image meor, derecha y virtual Figura 4: Diagrama de rayos para espejos covexos 3.4. Aumeto lateral. Al haber cosiderado que =, tomado la ecuació que os da el aumeto lateral para u dioptrio esférico, podremos obteer la expresió del aumeto lateral para los espejos esféricos, expresió que será la siguiete:

7 7 y y = s s = s s 4. Espejos plaos. Al igual que sucedía e el caso de los dioptrios plaos, podemos aplicar la ecuació fudametal de los espejos esféricos a u espejo de radio de curvatura ifiito, es decir: 5. Letes delgadas. s + s = 2 s = s Ua lete delgada puede ser cosiderada como u cojuto de dos dioptrios, al meos uo de los cuales debe ser esférico y cuyo espesor debe ser muy pequeño e comparació co el valor de los radios de curvatura de las caras. La formació de la image e las letes delgadas tedrá dos compoetes: por u lado, se formará ua image del objeto para el primer dioptrio, mietras que por otro, esta image actuará como objeto para dar lugar a la image defiitiva e el segudo dioptrio. Vamos a ver a cotiuació de qué forma podemos obteer la ecuació de las letes delgadas, partiedo de la ecuació fudametal del dioptrio esférico. 5.. Ecuació fudametal. Supodremos el objeto situado a ua distacia s del vértice óptico. Podemos supoer que al atravesar el primer dioptrio, se formará ua image cuya distacia al vértice óptico llamaremos s. Aplicado la ecuació fudametal del dioptrio esférico, tedremos: s s s = R De la misma forma, al aplicar esta ecuació fudametal al segudo dioptrio, dode actuará como distacia objeto, tedremos: s s = R 2 Sumado ambas igualdades, obtedremos: s ( = ( ) ) s R R 2 Si supoemos que la lete se ecuetra e el aire, = y la aterior igualdad quedará de la forma: s ( = ( ) ) s R R 2

8 Potecia y distacias focales de ua lete. A partir de la ecuació fudametal de las letes delgadas: s ( = ( ) ) s R R 2 Si hacemos s =, es decir, supoemos que el objeto se ecuetra a ua distacia ifiita, los rayos procedetes de dicho objeto se cocetrará, tras atravesar la lete, e u puto que llamaremos foco imagef. Podremos e este casos = f y deomiaremos a f distacia focal image, cumpliédose que: ( = ( ) ) ( = ( ) ) f R R 2 f R R 2 De la misma forma, si hacemos s = tedremos que, tras refractarse los rayos e la lete, se cocetra e u puto que llamaremos foco objeto,f, haciédose e este caso s = f (distacia focal objeto) y cumpliédose: f ( = ( ) ) f ( ) R R = ( ) 2 R R2 Como puede verse, se cumple que f = f, co lo que el valor absoluto de las dos distacias focales es el mismo. (a) Los rayos lumiosos icide sobre la cara plaa (b) Los rayos lumiosos icide sobre la cara curva Figura 5: Cocetració de los rayos e ua lete covergete Se deomia potecia de ua lete a la iversa de la distacia focal image expresada e metros, es decir: P = f. Dicha potecia se expresa e dioptrías, siedo positiva la potecia si os referimos a ua lete covergete y egativa e el caso de ua lete divergete Costrucció de imágees e letes delgadas. E el caso de las letes covergetes, podemos cosiderar cuatro posibilidades: cuado el objeto se ecuetra a ua distacia mayor del doble de la distacia focal, cuado esta distacia es meor del doble de la distacia focal, cuado el objeto está sobre el foco y cuado el objeto se ecuetra etre el foco y la lete.

9 9 Image meor, ivertida y real Image mayor, ivertida y real No se forma image Image mayor, derecha y virtual Para las letes divergetes, al igual que ocurría para los espejos covexos, se dará u úico tipo de diagrama de rayos Aumeto lateral. Image meor, derecha y virtual Al igual que hemos hecho e el caso de los espejos, utilizaremos la ecuació que os da el aumeto lateral para u dioptrio esférico, obteiedo así: y y = s s = s s puesto que, tato el medio e que se ecuetra el objeto como el medio e que se forma la image, so el mismo (el aire e el caso que veimos cosiderado).

10 0 E las siguietes fotografías, podemos ver la formació de imágees e ua lete covergete y e ua lete divergete. Nótese que e el primer caso, la image es meor que el objeto, e ivertida, lo que demuestra que el objeto se ecuetra a ua distacia superior al doble que la distacia focal. (a) Image e ua lete covergete (b) Image e ua lete divergete Figura 6: Formació de imágees e letes