ALGEBRA MATRICIAL 6.1 MATRICES. OBJETIVO Introducir el concepto de matriz y considerar los tipos especiales de matrices.

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1 , ALGEBRA MATRICIAL BJETIV Introducir el concepto de matriz y considerar los tipos especiales de matrices. 6.1 MATRICES Buscando formas para describir situaciones en matemáticas y economía, llegam al estudio de arreglos rectangulares de números. Por ejemplo, considere el siste de ecuaciones lineales 3X + 4y + 3z = 0, 2x + Y - z = 0, 9x - 6y + 2z =. Lo que caracteriza a este sistema son los coeficientes numéricos en la ecuaciqn junto con sus posiciones relativas. Por esta razón, el sistema puede ser descrito el arreglo rectangular ADVERTENCIA No utilice las barras verticales, 11, en lugar de corchetes o paréntesis, ya que tienen un significado diferente. [~ que es llamado matriz (plural: matrices). Consideraremos a tales arreglos rectang lares como objetos por sí mismos y, se acostumbra encerrarlos entre corchetes. T bién es común que se utilicen paréntesis ( ). En la representación simbólica de ma ces, usaremos letras mayúsculas en negritas como A, B, C, etcétera. En economía con frecuencia es conveniente utilizar matrices en la formulaci6 de problemas y para exhibir datos. Por ejemplo, un fabricante de los productos A, y C, podría representar las unidades de mano de obra y material involucrados en u semana de producción de estos artículos como se muestra en la tabla 6.1. De mane más sencilla, estos datos puede ser representados por la matriz ]

2 6. 1 Motrices 221 TABLA 6.1 A Mano de obra 10 Material 5 Producto B 12 9 e 16 7 Los renglones de una matriz están numerados de manera consecutiva de arriba hacia abajo, y las columnas están numeradas de manera consecutiva de izquierda a derecha. Para la matriz A anterior tenemos renglón 1 [ renglón 2 columna 1 columna 2 columna J = A. Ya que A tiene dos renglones y tres columnas, decimos que A tiene orden, o tamaño, 2 x 3 (se lee "2 por 3"), donde el número de renglones se especifica primero. De manera semejante, las matrices y e = r B = [ ~ ~ =~] 7-8 tienen órdenes 3 x 3 y 4 x 2, respectivamente. Los números en una matriz son llamados entradas o elementos. Para denotar entradas arbitrarias de una matriz, digamos de una de orden 2 x 3, existen dos métodos comunes. Primero, podemos utilizar letras diferentes: [ a b e] d e f. Segundo, una sola letra se puede usar, digamos, a, junto con doble subíndice apropiado para indicar su posición: ~ S~bndice del renglón aparece a la IZquIerda del subíndice de la columna. En general, a j :t a.., l' Para la entrada a 12 se lee "a subíndice uno-dos", o sólo "a uno-dos", el primer subíndice, 1, especifica el renglón y el segundo, 2, la columna en la que aparece la entrada. De manera similar, la entradaa 23 (se lee "a dos-tres") es la que se encuentra en el segundo renglón y la tercera columna. Generalizando, decimos que el símbolo a j denota la entrada en el renglón i y en la columna}. Nuestra atención en este capítulo estará en la operación y aplicación de varios tipos de matrices. Para completar, ahora daremos una definición formal de una matriz.

3 222 6 ÁLGEBRA MATRICIAL Definición Un arreglo rectangular de números que consiste en m renglones y n columnas. a" a,z a," az, azz az Il es llamado matriz de m X n o matriz de orden m x n. Para la entrada a. llama - '1 a i el subíndice del renglón y a j el subíndice de la columna. ADVERTENCIA No confunda la entrada general aij con la matriz [al El número de entradas en una matriz de m x n es mn. Por brevedad, una ma de m x n puede ser denotada por el símbolo [a;)m xli o de manera más sencilla [a donde el orden se entiende que es el apropiado para el contexto dado. Esta notaci sólo indica qué tipos de símbolos son utilizados para denotar la entrada general. Una matriz que tiene exactamente un renglón, tal como la matriz de l x 4 A = [ ], es llamada matriz renglón, o vector renglón. Una matriz que consiste en una sola columna tal como la matriz de 5 x es llamada matriz columna, o vector columna. EJEMPL 1 rden (o tamaño) de una matriz a. La matriz [1 2 ] tiene orden 1 x 3. [i -!] b. La ma"i, tiene tamaño 3 x 2. c. La matriz [7] tiene orden 1 x 1. d. La ma"i, G ~ :] tiene o,den 3 x 5 y 3(5) = 15 en"ada>. EJEMPL 2 Construcción de matrices a. Construir una matriz columna de tres entradas tal que a, = 6 Y a. = en los otrs _ 1 /1 casos.

4 6. 1 Matrices 223 Solución: Como a ll = a 31 = 0, la matriz es b. Si A = [a] tiene orden 3 x 4 ya.. = i + j, encontrar A. lj lj Solución: Aquí i = 1, 2,3 Y j = 1,2, 3,4 Y A tiene (3)(4) = 12 entradas. Ya que a ij = i + j, la entrada en el renglón i y columnaj se obtiene sumando los números i y j. De aquí a ll = = 2, a l2 = = 3, a l 3 = = 4, etc. Por tanto, A = [ ] [ ] = c. Construir la matriz 1 de 3 x 3 dado que a ll = a 22 = a 33 = 1 Y a ij = en cualquier otro caso. Solución: La matriz está dada por Igualdad de matrices Ahora definimos 10 que significa decir que dos matrices son iguales. Definición Las matrices A = [a.] y B = [b] son iguales si y sólo si tienen el mismo orden y a.. = u u lj b.. para cada i y cadaj (esto es, entradas correspondientes son iguales). u. Por tanto pero y [1 1] '* [1 1 1] (diferentes tamaños). Una ecuación matricial puede definir un sistema de ecuaciones. Por ejemplo, suponga que [ X y + 1] 2z 5w

5 224 6 ÁLGEBRA MATRICIAL Igualando las entradas correspondientes, debemos tener X = 2 Y + 1 = 7: 2z = 4, 5w = 2. Resolviendo se obtiene x = 2, Y = 6, z = 2 Y w = t Es un hecho significativo que ecuación matricial pueda definir un sistema de ecuaciones lineales como se m anteriormente. Transpuesta de una matriz Si A es una matriz, la matriz formada a partir de A intercambiando sus renglones, sus columnas es llamada la transpuesta de A. Definición La transpuesta de una matriz A de m x n, denotada AT, es la matriz de n X m q i-ésimo renglón es la i-ésima columna de A. EJEMPL 3 Transpuesta de una matriz SiA = [! ~ ~l encontrarat. Solución: La matriz A es de 2 x 3, de modo que ATes de 3 x 2. La columna I de se convierte en el renglón 1 de AT, la columna 2 se convierte en el renglón 2 y columna 3 se convierte en el renglón 3. Por tanto, A'~U n bserve que las columnas de AT son los renglones de A. Debe darse cuenta de que tomamos la transpuesta de nuestra respuesta, obtendremos la matriz original A. es, la operación transpuesta tiene la propiedad de que TECNLGíA [A] [A] T FIGURA 6.1 [[2 0] [ 15] [7 3]] [[2 1 7] [0 5 3]] Ay AT. Las calculadoras gráficas tienen la capacidad de manipular matrices. Por ejemplo, figura 6.1 muestra el resultado de aplicar la operación de transposición a la matriz Matrices especiales Cierto tipo de matrices juegan papeles importantes en la teoría de matrices, A consideraremos algunos de estos tipos especiales. Una matriz de m x n cuyas entradas son todas iguales a cero, es llamada triz cero de m x n y es denotada por 0",,<>, o, de manera más sencilla, por s ~ sobreentiende su tamaño. ASÍ, la matriz cero de 2 x 3 es [ 0] 0= ' ~

6 6.1 Matrices 225 yen general :VERTENCIA No confunda la matriz con el lióliiero real. 0= Una matriz que tiene el mismo número de columnas que de renglones, por ejemplo n renglones y n columnas, es llamada matriz cuadrada de orden n. Esto es, una matriz m x n es cuadrada si y sólo si m = n. Por ejemplo, las matrices y [3] son cuadradas con órdenes 3 y 1, respectivamente. En una matriz cuadrada de orden n, las entradas au' a 22, a 33,, all/ l las cuajes están sobre la diagonal "principal" que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha, son llamadas entradas de la diagonal principal, o de forma más sencilla la diagonal principal. Así, en la matriz [ la diagonal principal (véase la región sombreada) consiste en a u = 1, a 22 = 5 ya" = 9. Una matriz cuadrada A es llamada matriz diagonal si todas las entradas que se encuentran fuera de la diagonal principal son cero; esto es, a.. = para i,. j. IJ Ejemplos de matrices diagonales son y U na matriz cuadrada A se dice que es una matriz triangular superior si todas las entradas abajo de la diagonal principal son cero; esto es, a = para i > j. De manera análoga, una matriz A se dice que es una matriz triangular inferior si todas las entradas por arriba de la diagonal principal son cero; esto es, aij = para i < j. Cuando una matriz es triangular superior o triangular inferior, es llamada una matriz triangular. Así, las matrices Una matriz diagonal es considerada ~t.triangular superior como triangular inferior. y ih J ~l II 6 1 son matrices triangular superior y triangular inferior, respectivamente, y por tanto son matrices triangulares.

7 226 6 ÁLGEBRA MATRICIAL EJERCICIS Sean -6 A = [ l e ~ [l n D [' 2 3 n o l 6 ~l B ~ [~ 2 3] 5 6, 8 9 U = ~l E = o o 2 F = [6 2], o o 6 G~m H ~ [~ J = [4]. 3. Establecer el orden de cada matriz. b. Cuáles matrices son cuadradas? 6 o o n c. Cuáles matrices son triangulares superiores? Triangulares inferiores? d. Cuáles son vectores renglón? e. Cuáles son vectores columna? En los problemas 2-9 sea 2. Cuál es el orden de A? Determine las entradas siguientes. 3. a4l ass -~J. 9. Cuáles son las entradas de la diagonal principal? 10. Escriba la matriz triangular inferior de orden 5 en la que todas las entradas que no se requiere que sean cero, son iguales a uno. 11. Construya una matriz A = [a ij] si A es de 3 x 4 y aij = 2i + 3). 12. Construya la matriz B = [bij] si B es de 2 x 2 Y h;j = (-1 y+j(jl Si A = [a ij] es 12 x 10, cuántas entradas tiene A? Si a para i = j, y a. j = para i 7= j, encuentre a, a ' ll S2 a y ~ 14. Liste la diagonal principal de J 10.10, ' 2 7 -~J b. [~ y ~]. y z 15. Escriba la matriz cero de orden (a) 4; (b) Si A es una matriz de 4 x 5, cuál es el orden de AT? En los problemas encuentre AT. 17. A [ 6-3J 2 4 U 3 2 3] 19. A H A Sean n A = [~ ~l B ~ [~ e ~ [: 18. A [2 4 6 ~l n -'] D= 4. 6 [~ 3. Cuáles son matrices diagonales? b. Cuáles son matrices triangulares? 22. Una matriz es simétrica si AT = A. La matriz del problema 20 es simétrica? 23. Si [ 1 2 3] A = 4 5 6, verifique la propiedad general de que (A T)1 = A encontrando A T Y después (AT)!. 8:

8 6.2 Suma de matrices y multiplicación por un escalar 227 $11 los problemas resuelva la ecuación matricial. Jt [ ~ /w] = [~ ~]. 25. [ ~ 3y ~] = [~ ~]. 2z 2 7 ; 3J[H n [~ ~].,s. Acciones Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones de tipo A, 300 de tipo B, 500 de tipo C y 300 de tipo D. Escriba un vector renglón que dé el número de acciones vendidas de cada tipo. Si las acciones se venden en $20, $30, $45 y $100 por acción, respectivamente, escriba esta información como un vector columna. 29. La compañía Widget tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices cuyos renglones, en orden, representan el número de modelos regular, de lujo y de extra lujo vendidos, mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y púrpuras vendidas. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son [ ] E= 1 3 5, F=2332. [ 2 4 4] (a) En enero, cuántas unidades de los modelos de extra lujo blancas se vendieron? (b) En febrero, cuántos modelos de lujo azules se vendieron? (c) En qué mes se vendieron más modelos regulares púrpuras? (d) De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses? (e) En qué mes se vendieron más modelos de lujo? (f) En qué mes se vendieron más artículos rojos? (g) Cuántos artículos se vendieron en enero? 32. A = I [-; -4 ~]. 4 1 n 33. A 7 3 [1 para una economía simplificada est~ dado por la matriz M Matriz de insumo-producto Las matrices de insumo-producto, desarrolladas por W. W. Leontief, indican las interrelaciones que existen entre los diferentes sectores de una economía durante algún periodo. Un ejemplo hipotético presentada a continuación. Los sectores consumidores son los mismos que los productores -industriales, gobierno, acero, agricultura, doméstico, etc. Cada renglón muestra cómo el producto de un sector dado es consumido por los cuatro sectores. Por ejemplo, del total de la producción de la industria A, 50 unidades fueron para la industria A misma, 70 para la B, 200 para la C y 360 para todos los demás consumidores. La suma de las entradas en el renglón 1, es decir, 680, da la producción total de A para un periodo. Cada columna da la producción de cada sector que es consumida por un sector dado. Por ejemplo, en la producción de 680 unidades, la industria A consume 50 unidades de A, 90 de B, 120 de C y 420 de todos los demás productores. Para cada columna, encuentre la suma de las entradas. Haga lo mismo con cada renglón. Qué observa al comparar esos totales? Suponga que el sector A aumenta su producción en u~ 20%, es decir, en 136 unidades. Suponiendo que esto tiene como consecuencia un aumento uniforme del 20% en todos sus insumos, en cuántas unidades el sector B aumentará su producción? Responda la misma pregunta para C y para todos los demás productores. CNSUMIDRES A ( \ Industria Industria Industria tros PRDUCTRES A B C consumidores Industria A so Industria B 3@j M Industria C r l 1,050 tros ,960 productores 31. Encuentre todos los valores de x para los cuales [ x x v?] [ 1994 X2 In(e") = x En los problemas 32 y 33, encuentre AT. BJETIV Definir la suma de matrices y la. multiplicación por escalar y considerar las propiedades relacionadas con estas peraciones. 6.2 SUMA DE MATRICES Y MULTIPLICACiÓN PR UN ESCALAR Suma de matrices Considere un comerciante de vehículos para nieve quien vende dos modelos, Deluxe y Super. Cada uno está disponible en uno de dos colores, rojo y azul. Suponga que las ventas para enero y febrero están representadas por las matrices de ventas

9 228 6 ÁLGEBRA MATRICIAL Deluxe E = rojo [ 1 azul 3 Super ~l Cada renglón de E y F proporciona el número vendido de cada modelo para Un do dado. Cada columna proporciona el número vendido de cada color para un modelo Una matriz que represente las ventas totales para cada modelo y color durant~ dos meses, puede ser obtenida sumando las correspondientes entradas en E y :F: Esta situación nos motiva a introducir la operación de suma de matrices para matrices del mismo orden. Definición Si A = [ay] y B = [b ) ambas son matrices de m x n, entonces la suma A + B es la matriz de m x n obtenida sumando las correspondientes entradas de A y Bj esto el, A + B = [aij + b;). Por ejemplo, sean A = [; o -1 y B = [i -3 2 Como A Y B son del mismo tamaño (2 x 3), su suma está definida. Tenemos A+B=[3+5 0+(-3) -2+6] [ (- 5) = EJEMPL 1 Suma de matrices a. [~ ;] + [- ~ -;] = [~ ~ ~ ; ~ ;] = [- ~ ~] b. [~; ] + [ i ] no está definida ya que las matrices no son del mismo tamaño. Si A, B, e y tienen el mismo orden, entonces las propiedades siguientes se cumplen para la suma de matrices: Estas propiedades de la suma de matrices son similares a las propiedades correspondientes de los números reales. Propiec;Jades para la suma de matrices Á+B=B+A A + (B + C) ::: (A + B) + e A+=+A=A (propiedad conmutativa), (propiedad asociativa), (propiedad del neutro aditivo).

10 6.2 Suma de matrices y multiplic ación por un escalor 229 La propiedad 1 establece que las matrices pueden ser sumadas en cualquier orden, y la propiedad 2 permite que las matrices sean agrupadas para la operación de suma. La propiedad 3 establece que la matriz cero juega el mismo papel en la suma de matrices que el número cero en la suma de números reales. Estas propiedades son ilustradas en el ejemplo siguiente. EJEMPL 2 Propiedades de la suma de matrices Sean A = [ C= [ ] 1 ' B = [~ 1-3 a. Demostrar que A + B = B + A. Solución: A+B=[ 1-1 Por tanto, A + B = B + A b. Demostrar que A + (B + C) = (A + B) + C. Solución: A+ (B+C)=A+ [ -~ 2 1]=[ ~ l (A + B) +C = [ _! 3 c. Demostrar que A + = A. -3 3] 2 +C= [ ~J. Solución: A + = [ ] [ ] [ = -2!] = A. EJEMPL 3 Vectores de demanda para una economía Considere una economía hipotética simplificada que tiene tres industrias, carbón, electricidad y acero, y tres consumidores 1,2 Y 3. Además, suponga que cada consumidor puede utilizar parte de la producción de cada industria y cada industria utiliza parte de la producción de cada una de las otras industrias. Las necesidades de cada consumidor y de cada industria pueden ser representadas por un vector (renglón) de demanda cuyas entradas, en orden, dan la cantidad de carbón, electricidad y acero necesarios para el consumidor o industria en algunas unidades convenientes. Por ejemplo, los vectores de demanda para los consumidores podrían ser D I = [3 2 5], D 2 = [ 17 1], DJ = [4 6 12],

11 230 6 ÁLGEBRA MATRICIAL y para las industrias, De = [ 4], DE = [20 8], DA = [30 5 ], donde los subíndices e, E y A son para carbón, electricidad y acero, respectiv te. La demanda total, de los consumidores, para estos bienes está dada por la s DI+D2 +D3 =[3 25]+[0171]+[4612]=[725 La demanda industrial total está dada por la suma Por tanto, la demanda globa "total está dada por 4] + [20 8] + [30 5 ] [ ], [ ] + [ ] = [ ]. Así, la industria del carbón vende un total de 57 unidades, el total de unidades electricidad vendidas es 31 y el total de unidades de acero que fueron vendidlls Multiplicación por escalar Regresando al vendedor de vehículos para nieve, recuerde que en febrero las ven estaban dadas por la matriz F=[!~J. Si en marzo el vendedor duplica las ventas de febrero de cada modelo y color vehículos para nieve, la matriz de ventas M para marzo podrían ser obtenidas mul tiplicando cada entrada de F por 2: M = [2(3) 2(4) Parece razonable escribir esta operación como: 2(1)] 2(2). M = 2F = 2[! 1] = [2'3 2 1] = [6 2] ' que se considera como la multiplicación de una matriz por un número real. En rea lidad, tenemos la definición siguiente. Definición Si A es una matriz m x n y k es un número real (también llamado escalar), entonce con ka denotamos a la matriz m x n obtenida multiplicando cada entrada de A po k. La operación es llamada multiplicación por un escalar, y ka es llamada múltipld. escalar de A. 1 Este ejemplo, así como algunos otros en este capítulo, son de John G. Kemeny, J. Laurie SneIl ~ Gerald L. Thompson, Introduction 10 Finite Mathematics, tercera edición Reimpreso ca permiso de Prentice-HalJ, Inc., Englewood Cliffs, Nueva Jersey.

12 6.2 Suma de matrices y multiplicación por un escalar 231 Por ejemplo, _3[1-2] = [ -3(1) -3(0) (2) - 3( - 1) - 3( - 2) ] = [- 3 6] - 3(4) ' EJEMPL 4 Sea Multiplicación por un escalar B = [~ -4] 1 ' = [~ ~J. Calcular lo siguiente. a. 4A. Solución: 4A = 4[! _ ~ ] = [:~! ~ 4(~(~~] = [1: -~J. Solución: 1 c. 2" A + 3B. Solución: ~ H! _ A + 3B = ~] + 3 [~ - ~] = U - ~] + [2~ -1~] = [~ -11] 2. d. A. Solución: e. k. Solución:

13 232 6 ÁLGEBRA MATRIC IAL Si A, B Y son del mismo tamaño, entonces para cualesquier escalares y k 2 tenemos las propiedades siguientes de multiplicación por un escalar: Propiedades de la multiplicación por un escalar k(a + B) = ka + kb. (k + kz)a = k A + kza. Recuerde que "#, porque es un escalar y es una matriz cero. k/k 2 A) = (k k 2 )A. A=. k=. Las propiedades 4 y 5 fueron ilustradas en los ejemplos 4(d) y (e); las otr<1& ilustradas en los ejercicios. También tenemos las propiedades siguientes de la operación de transposici donde A y B son del mismo tamaño y k es cualquier escalar: (A + B? = A T + B T (ka? = kat. La primera propiedad establece que la transpuesta de una suma es la suma de ' transpuestas. Sustracción de matrices Si A es cualquier matriz, entonces el múltiplo escalar (-l)a se escribe simplemen como -A y es llamado negativo de A: Así, si,...a = (-l)a. entonces bserve que -A es la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por-1 La resta (o sustracción) de matrices se define en términos de la suma de matrie Definición Si A Y B tienen el mismo tamaño, entonces por A - B queremos decir A + (-B).

14 6.2 Suma de ma trices y multip lic ac ión por un escalar 233 EJEMPL 5 Resta de matrices a. [-~!] H -[~-n n + (-l)[~ -n [ - ~ ~] + [= ~ -~] De manera más sencilla, para encontrar 1\ - B podemos restar cada entrada de B de la correspondiente entrada de A. ~]. -1 b. Si A [ ~ - ~ ] y B = [i -; l entonces EJEMPL 6 Ecuación matricial Resolver la ecuación 2 [~~] - [!] = 5 [ - J. Solución: Estrategia: Primero simplificamos cada lado en una matriz. Después, por la igualdad de matrices, igualamos las entradas correspondientes. 2 [ ~~] [!] = 5 [ - l [~~] [!] = [ -~~l [~~ =!] -[ -~~ J. Por la igualdad de matrices debemos tener 2x - 3 = 25, que dax = 14; a partir de 2x" -4 = -20 obtenemos x 2 = -8.

15 234 6 ÁLGEBRA MATRICIAL TECNLGíA 2[A]-3[B] [ [ -7-6] [-10 3 ]] Las operaciones matriciales de suma, resta y multiplicación por un escalar realizadas en una calculadora gráfica. Por ejemplo, la figura 6.2 muestra 2.\ donde y B = [! i]. FIGURA 6.2 peraciones matriciales con una calculadora gráfica. EJERCICIS 6.2 En los problemas 1-12 realice las operaciones indicadas. 1 [-: o -3] [ JI ~]. n. 2. [ - ~ - ~ J + [ - ~ - ~ J + [~ 3. [-~ ~]-[;-n 4. ~ -i -H ~ -~l- l ~ 1-2' ~l l 11. [ ~ -: -~] +! [~ ~ ~] [ ~! ~] -3m -~ ~] -[ -~ -: -m En los problemas calcule las matrices requeridas si S. 3[1-3 1] + 2[-6 1 4] - 0[-2 7 4]. 6. [7 7] D ;J + [~J. 8. [2 -lj [ 7 4 l' 3 ~J. 9. [2-6 7 IJ ' A = n -~l C=[=~ -~l 13. -B. 1S (A - 2B) (A - C) + 6. B = [-~ =~l = [~ ~J (A - B). 16. A + B - C. 18. (A + B). 20. A + (C + 20).

16 6.3 Multiplicación de matrices 235 2B - 3A + 2e (B + 2C) C - 2B A - 4(B - C). /as matrices A, B Y C anteriores, verifique: ~.. + B) = 3A + 3B. (2 + 3)A = 2A + 3A. k( k A) = (k k )A. I 1 k'a+b+c)=ka+kb+ke. A ~ [~ -n C = e ~l D = [1 2 1 Calcule, si es posible, las matrices indicadas AT + D BT - 3C T ". cr - D. 35. Exprese la ecuación matricial 30. (B - C? 32. 2B + B T 34. (D - 2A T? -1] 2. como un sistema de ecuaciones lineales y resuélvalo. 36. En forma inversa a la que utilizó en el problema 35, escriba el sistema como una ecuación matricial. 3X + 5y = 16 2x - 6y = -4 En los problemas resuelva las ecuaciones matriciales [~] -3[ -;] = 4[ _ ~] [~1-4[ _ ~ ] = [ ~~ ]. 39. m + ;,] ~ [ = m 40. x[~] + 2[ -~] + y[ ~] = [! ] x y 41. Suponga que el precio de los productos A, 8 Y e está dado, en ese orden, por el vector de precios Si los precios se incrementan en un 10%, el vector de los nuevos precios puede ser obtenido multiplicando P, por qué escalar? 42. Demuestre que (A - B)T = AT - BT. Sugerencia: Utilice la definición de resta y las propiedades de la operación de transposición. ti En los problemas calcule las matrices dadas si A = [ _ ; - ~ ~l B = [! ~ ~l Y C [ = A + 3B (A + B) - C (3C - A) + 2B. BJETIV ' Definir la multiplicación de matrices y considerar las propiedades asociadas. Expresar un sistema como una sola ecuación matricial utilizando la multiplicación de matrices. 6.3 MULTIPLICACiÓN DE MATRICES Además de las operaciones de suma de matrices y multiplicación por un escalar, bajo ciertas circunstancias puede definirse el producto AB de las matrices A y B, esta circunstancia es que el número de columnas de A sea igual al número de renglones de B. Aunque la siguiente definición de multiplicación de matrices no parece ser muy natural (parecería más natural s6lo multiplicar las entradas correspondientes), un estudio más minucioso de la matrices lo convencerán de que nuestra definición es apropiada y extremadamente práctica para aplicaciones.

17 236 6 Á LGEBRA MATRIC IAL Definición Sea A una matriz de m x n y B una matriz n X p. Entonces el producto AB el matriz e de m X p cuya entrada c ij en el renglón i y la columna j se obtiene e sigue: sume los productos formados al multiplicar; en orden, cada entrada (esto primera, segunda, etc.) del renglón i de A por la "correspondiente" entrada '(e es, primera, segunda, etc.) de la columnaj de B. Tres puntos concernientes a la definición anterior de AB deben ser compl mente comprendidos. Primero, la condición de que A sea de m X n y B sea de n)(~ es equivalente a decir que el número de columnas de A debe ser igual al núl1l de renglones de B. Segundo, el producto será una matriz de orden m X p; tendrá tan renglones como A y tantas columnas como B. A B e m X n n X p m X p t' _~ deben ser iguales tamaño del producto Tercero, la definición se refiere al producto AB, en ese orden; A es el factor izqui do y B el factor derecho. Para AB decimos que B está premultiplicado por A, o bi n que A está posmultiplicado por B. Para aplicar la definición, encontramos el producto AB = [~ 1-6][ ] 2. 1 La matriz A tiene tamaño 2 X 3 (m X n) y la matriz B tiene tamaño 3 x 3 (n x p). número de columnas de A es igual al número de renglones de B (n = 3), de modo qpe el producto e está definido y será una matriz de 2 x 3 (m x p): e = [CII C21 Cl2 C22 cj3]. C23 La entrada c II es obtenida sumando los productos de cada entrada en el renglón 1 do A por la "correspondiente" entrada en la columna 1 de B. Así entradas del renglón 1 de A / \ \ CII (2)(1) '" + (1)(0) '" + (-6)(-2) = 14. entradas de la columna 1 / de B

18 6.3 Multiplicación de matrices 237 En este paso tenemos [~ 1-6][ 1-3] [ ] 2 = 14 CI2 C I C21 C22 C De manera similar, para C 12 usamos las entradas del renglón 1 de A y las de la columna 2 de B: Ahora tenemos entradas del renglón 1 de A / \ \ CI2 = (2)(0) + (1)(4) + (-6)(1) 1-3 "'-! / entradas de la columna 2 de B -6] [ ;] = [14 1 C Para las restantes entradas de AB obtenemos Cn = (2)( - 3) + (1)(2) + (- 6)(1) = - l, C21 = (1)(1) + (- 3)(0) + (2)( - 2) = - 3, C22 = (1)(0) + (- 3)(4) + (2)(1) = -l, Así AB = [i C23 = (1)( - 3) + (- 3)(2) + (2)(1) = ][ ] -7. bserve que si invertimos el orden de los factores, entonces el producto 10 BA = 4 [ La multiplicación de matrices no es cnmutativa. no está definido ya que el número de columnas de B no es igual al número de renglones de A. Esto muestra que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Esto es, para cualesquier matrices A y B en general AB '# BA (aun si ambos productos están definidos), de modo que el orden en el que las matrices estén escritas en un producto es extremadamente importante. EJEMPL 1 Tamaños de matrices y su producto Sea A una matriz de 3 x 5 y B una matriz de 5 x 3. Entonces AB está definida y es una matriz de 3 x 3. Además, BA también está definida y es una matriz de 5 x 5.

19 238 6 ÁLGEBRA MATRICIAL Si C es una matriz de 3 x 5 y D es una matriz de 7 x 3, entonces ed definida, pero DC está definida y es una matriz de 7 x 5. EJEMPL 2 Producto de matrices Calcular el producto de matrices AB = [ ~ -4 1 Solución: Como A es de 2 x 3 y B es de 3 x 2, el producto AB está definido y orden de 2 x 2. Moviendo de manera simultánea el dedo índice de la mano izq a lo largo de los renglones de A, y el dedo índice de la mano derecha a lo largo columnas de B, no le debe ser difícil determinar mentalmente las entradas del dueto. [~ ] -2. EJEMPL 3 Producto de matrices Solución: El producto tiene orden 1 x l : [123m [32]. b. Caleulm U} 6J Solución: El producto tiene orden 3 x 2: U} 6J ~ [ l~l 18 H -3 ~m~ 2] [16 "] 3 c = d. [a ll a21 a 12 ] [b ll a22 b21 b l2 ] bn = [a"bl' + al2 b 21 a21b ll + a22b21 a llb l2 + al2bn ] a21bl 2 + anb22.

20 6.3 Multip licación de matrices 239 EJEMPL 4 Producto de matrices Calcular AB Y BA si A = [~ -n y [-2 1] B = 1 4. e ejilplo 4 muestra que aun cuando productos de matrices AB y BA definidos, no necesanamente son es. Solución: Tenemos AB = [~ -~][ -~!] BA = [ - ~! ] [ ~ - ~ ] [ [ J 7 ' 3] 3. bserve que aunque ambos productos AB y BA están definidos, AB =1- BA. La figura 6.3 muestra los resultados utilizando una calculadora gráfica para determinar el producto AB del ejemplo 4. [ [-5-2] [-5 7 ]] EJEMPL 5 Vector de costos Suponga que los precios en dólares por unidad para los productos A, B Y e están representados por el vector de precios FIGURA 6.3 Solución por medio de una calculadora del producto de matriz del ejemplo 4. Precio de A B e P = [2 3 4]. Si las cantidades (en unidades) de A, B Y e que son compradas están dadas por el vector columna unidades de A unidades de B unidades de e, entonces, el costo total en dólares de las compras está dado por la entrada en el vector de costos PQ: PQ ~ [2 3 4n ~ [(2-7) + (3-5) + (4- )1 ~ [731 _ EJEMPL 6 Utilidad para una economía En el ejemplo 3 de la sección 6.2, suponga que en la economía hipotética el precio del carbón es de $10,000 por unidad, el de la electricidad $20,000 por unidad y el

21 240 6 ÁLGEBRA MATRICIAL del acero $ por unidad. Estos precios pueden ser representados por el v (columna) de precios. [10.000] P = Considere la industria del acero. En total vende 30 unidades de acero en $ unidad Y. por tanto. su ingreso total es de $ Sus costos por los diferen bienes están dados por el producto de matriz ' [ ] DAP = [30 5 ] = [ ] De aquí que la ganancia para la industria del acero es $ $ :::; $800.. La multiplicación de matrices satisface las propiedades siguientes siemp cuando todas las sumas y productos estén definidos: Propiedades de la multiplicación de matrices A(BC) :::; (AB)C. (propiedad asociativa), A(B + C) = AB + AC, (A + B)C:::; AC + BC (propiedad distributiva). EJEMPL 7 Propiedad asociativa Si A = [ ] 4 ' B = [i ~ -1] 2 ' y calcular ABC de dos maneras. Solución: Agrupando BC se obtiene A(BC) ~ [ -; - J( [; - ; 1 [ m ~ = [ 1-2] [2-1] = [-4-9] '

22 6.3 Multiplicación de matrices 241 De manera alterna, agrupando AB se obtiene (AB)C = ([ _~ -m[ ~ ~] bserve que A(BC) = (AB)C ] 19. n EJEMPL 8 Propiedad distributiva Verificar que A(B + C) = AB + AC si A = U ~J. Solución: En el lado izquierdo tenemos En el lado derecho, A(B + C) = [; ~ ] ([ - i ~] + [ - ~ ; ]) = [; ~][ -~ ~J [-4 1J Por tanto, A(B + C) = AB + AC. EJEMPL 9 Materia prima y costos 0J [-2 1 J [- 4 1 J = Suponga que un contratista ha aceptado pedidos para cinco casas estilo rústico, siete estilo moderno y 12 estilo colonial. Entonces, sus pedidos pueden estar representados por el vector renglón Q = [5 7 12]. Además, suponga que las "materias primas" que se utilizan en cada tipo son acero, madera, vidrio, pintura y mano de obra. Las entradas de la matriz R que sigue dan el

23 242 6 Á LGEBRA MATRICIAL número de unidades de cada materia prima que se usará en cada tipo de cas entradas no necesariamente son realistas, pero se eligieron así por convenie:' Acero Madera Vidrio Pintura Mano de obra Rústico [ Moderno Colonial Cada renglón indica la cantidad de materia prima necesaria para una clase dada casa; cada columna indica la cantidad de una materia prima dada necesaria cada tipo de casa. Ahora suponga que el contratista desea calcular la cantidad de materia prima necesaria para satisfacer todos sus pedidos. Entonces, tal infonnae' está dada por QR: ]. QR = [ ] 7 18 [ ] = [ ]. Así, el contratista debe ordenar 146 unidades de acero, 526 de madera, 260 de vidn etcétera. El contratista también está interesado en conocer los costos que tendrá q pagar por estas materias primas. Suponga que el acero cuesta $1500 por unidad, madera $800 por unidad, y vidrio, pintura y mano de obra cuestan $500, $100 $1000 por unidad, respectivamente. Estos datos pueden ser escritos como el vec columna de costo C = Entonces RC da el costo de cada tipo de casa: 5 20 RC = 7 18 [ ] ,200] = 52,800. [ 46,500 Por tanto, el costo de los materiales para la casa rústica es de $49,200, para la casa estilo moderno $52,800 y para la estilo colonial, $46,500. El costo total de la materia prima para todas las casas está dado por 49,200] QRC = Q(RC) = [5 7 12] 52,800 = [1,173,600]. [ 46,500 El costo total es $1,173,600.

24 6.3 Multiplicación de matrices 243 tra propiedad de las matrices involucra las multiplicaciones por un escalar y la multiplicación de matrices. Si k es un escalar y el producto AB está definido, entonces k(ab) = (ka)b = A(kB). El producto k(ab) puede ser escrito simplemente como kab. Así Por ejemplo, kab = k(ab) = (ka)b = A(kB). Existe una propiedad interesante que concierne a la transpuesta de un producto de matrices: La transpuesta de un producto de matrices es igual al producto, en el orden inverso, de sus. transpuestas. Aquí usamos el hecho de que (A T)T :: A. Esta propiedad puede ser extendida al caso de más de dos factores. Por ejemplo, (ATBC? = CTBT(AT? = CTBTA. EJEMPL 10 Transpuesta de un producto Sea ' A = U ~] y B = U ~J. Demostrar que (AB? = BT A T. Solución: Tenemos AB = D ;]. de modo que (AB? = U ;J. Ahora, y Así de modo que (AB? = BT A T. BTA T = U ][ ;J = [; ;] = (AB)T,

25 244 6 ÁLGEBRA MATRIC IA L Al igual que la matriz cero juega un papel importante como identidad suma de matrices, existe una matriz especial, llamada matriz identidad, que juega papel correspondiente en la multiplicación de matrices. La matriz identidad de n X n, denotada In' es la matriz diagonal cuyas de la diagonal principal son números uno.. Por ejemplo, las matrices identidad 13 e 14 son [~ ~] r~ n 1 13 = 1 e 14 = 1 Cuando el tamaño de una matriz identidad se entienda que debe ser el apropi para que una operación esté definida, omitiremos el subíndice y sólo la denotarem por l. Debe ser claro que JI = l. La matriz identidad juega el mismo papel en la multiplicación de matrices cu el número 1 en la multiplicación de números reales. Esto es, igual que el producto, un número real por 1 es igual al mismo número, el producto de una matriz y a 1 matriz identidad es la misma matriz. Por ejemplo, y En general, si I es de n x n y A tiene n columnas, entonces Al = A. Si B tiene renglones, entonces lb = B. Además, si A es de n x n, entonces EJEMPL 11 peraciones con matrices que involucran a I y a Si A = U ~J. 1=[6 ~J. y -~] 3 ' 10 = [~ ~J. calcular cada una de las siguientes matrices.

26 a. 1- A. Solución: b. 3(A - 21). Solución: c. A. Solución: 6.3 Multiplicación de matrices 245 I-A=[~ ~] - [i 2] = [ ] (A - 21) = 3([i ~] - 2[ ~ ~]) = 3([i ~] - [~ ~]) =3C ~] = [; ~J. A = [i ~][~ ~] = [~ ~] =. En general, si A y A están definidos, entonces A = A =. d. AB. Solución: AB = [i 2] [ ~ 4 -fa ~] = [~ ~] = l. Si A es una matriz cuadrada, podemos hablar de una potencia de A: Si A es una matriz cuadrada y p es un entero positivo, entonces la p-ésima potencia de A, escrita AP, es el producto de p factores de A: Ap= A A A. ~ pfactores Si A es de n x n, definimos A = I. n Hacemos notar que Ip = 1.

27 246 6 ÁLGEBRA MATRICIAL EJEMPL 12 Potencia de una matriz Si A = [~ ~ J, calcular A3. Solución: Como A3 = (A2)A Y tenemos TECNLGíA [A] [[2-3] [1 4 ]] [A]A4 [[ ] [84 61 ]] FIGURA 6.4 matriz. Potencia de una Uso de la calculadora gráfica para calcular A4, donde A en la figura 6.4. Ecuaciones matriciales U - l esmos Los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser representados utilizando la multi~l cación de matrices. Por ejemplo, considere la ecuación matricial 4-3 El producto del lado izquierdo tiene orden de 2 x 1 así que es una matriz columna: [ XI + 4X2-2x3J [4J 2xI - 3X2 + X3 = - 3. Por la igualdad de matrices, las entradas correspondientes deben ser iguales, de mo que obtenemos el sistema XI + 4X2-2x3 : 4 2x 1-3X2 + X De aquí que este sistema de ecuaciones lineales pueda ser definido por la ecuación matricial (1). En general describimos la ecuación (1) diciendo que tiene la forma AX = B, dondt A es la matriz obtenida de los coeficientes de las variables, X es una matri columna constituida por las variables y B es una matriz columna obtenida de las constantes. La matriz A es llamada matriz de coeficientes del sistema.

28 6.3 Multiplicación de matrices 247 EJEMPL 13 matrices Forma matricial de un sistema utilizando la multiplicación de Escribir el sistema en forma matricial utilizando multiplicación de matrices. Solución: Si y entonces el sistema dado es equivalente a la ecuación matricial AX = B o EJERCICIS 6.3 tia ~ H : =:]. B ~ H AH = C, encuentre cada uno de lo siguiente. 1. CII ' 2. Cn 3. Cll' 4. Cll ' 5. Cll' 6. C ll -2 4 Si A es de 2 x 3, B de 3 x 1, e de 2 x 5, D de 4 x 3, E de 3 x 2 y F de 2 x 3, encuentre el orden y número de entradas en cada uno de los siguientes incisos. 7. AE. 8. DE. (9. EC. 10. DB. 11. FB. 12. BA. 13. EA. 14. E(AE). 15. E(FB). 16. (F + A)B. Escriba la matriz identidad que tiene el orden siguiente En los problemas realice las operaciones indicadas. 20l~ nd -2J [-; ~ ;1[H n. [I 6 2lm 23. [ ~ ~ - ~][-~ ~]. -2 -m 1 1 n 2 U [~ l~ o g [ [ ~ 4 3 ~] [I -4 -~ n

29 248 6 ÁLGEBRA MATRIC IAL 43. (DC)A. 44. A(BC) 27. r -H ]. En cada uno de los problemas calcule la matriz req da, si existe, dado que 28. [~ ~ J ( [ ~ ~ ~ J + [~ ~ ~ ]). 2. 3([-; -~ i]+2[-: ~ -m[ n 30. [=~ ~J[-~ _~ -IJ [: ]([i ~ -im -m A = [~ -1 0J 1 1 ' -n Hl - 1 ] 1, 1 ~J -4([~ ~J[ -~ ~]). 45. A B ATA. 48. A(B T )2. [~! mn ai2j[xij. 35. [~ 9 ;][::] 36. [~ -!][::l a22 X2 49. (AC)Z. 51. (BA? 53. (21) A(I - ). 57. (AB)(AB? 50. A T (2C T ). 52. (2B)T. 54. lao. 56. T. 58. B 2-3B En los problemas calcule las matrices requeridas si ~l A = [~ -2J [-2 3 B= 3 ' 1-4 [-1 1] D ~ [~ n 1 C = ~!' 2 E ~ [~ n n l 6 (; 1 ~ G n 1 ~ r~ F 37. DI - 1 E. 38. DD A - 2BC. 40. B(D + E) EF. 42. E(2D - 31). En los problemas represente el sistema dado utilizando la multiplicación de matrices. 3X + y = 6, 59. 7x - 2y = 5. 4r - s + 3t = 9, 61. 3r - t = 7, 3s + 2t = 15. x + y + z=6, 60. x - y + z = 2, 2x - Y + 3z = Acciones Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones tipo A, 300 tipo B, 500 tipo C y 250 tipo D. Los precios por acción dea, B, e y D son $100, $150, $200 y $300, respectivamente. Escriba un vector renglón que represente el número de acciones compradas de cada tipo. Escriba un vector columna que represente el precio por acción de cada tipo. Utilizando la multiplicación de matrices, encuentre el costo total de las acciones. 63. Costo de construcción En el ejemplo 9 suponga que el contratista tiene que construir siete casas estilo rústico, tres estilo moderno y cinco estilo colonial. Utilizando multipr cación de matrices, calcule el costo total de materia prima.

30 6.4 Método de reducción 249 Costos En el ejemplo 9 suponga que el contratista desea " mar en cuenta el costo de transportar la materia prima al ~o gar de la construcción así como el costo de compra. Su ~nga que los costos están dados en la matriz que se da a continuación. porción de la cantidad total de dinero determinada en (c) que es pagada por los consumidores. 66. Si AB = BA, demuestre que (A + B)(A - B) = A 2 - B2 67. Si Precio de compra [1500 Transporte Acero Madera 45] C= Vidrio Pintura 1000 Mano de obra. a. Calculando Re, encuentre una matriz cuyas entradas den los costos de compra y de transporte de los materiales para cada tipo de casa. b. Encuentre la matriz QRC cuya primera entrada dé el precio de compra total y cuya segunda entrada dé el costo total de transporte. c. Sea Z = DJ calcule QRCZ, que da el costo total de materiales y transporte para todas las casas que serán construidas. 65. Realice los siguientes cálculos para el ejemplo 6: a. Calcule la cantidad que cada industria y cada consumidor tienen que pagar por los bienes que reciben. b. Calcule la utilidad recibida por cada industria. c. Encuentre la cantidad total de dinero que es pagada por todas las industrias y todos los consumidores.. d. Calcule la proporción de la cantidad total de dinero determinada en (c) pagada por las industrias. Encuentre la pro- l A=[~ ~J y B = [ J ~, 2 demuestre que AB =. bserve que como ni A ni B son la matriz cero, la regla algebraica para los números reales "si ab =, entonces alguno de a o b es cero" no se cumple para las matrices. También puede mostrarse que la ley de cancelación tampoco es cierta para las matrices. Esto es, si AB = AC, entonces no necesariamente es cierto que B = C. 68. Sean DI y D dos matrices diagonales de 3 x 3. Calculando DP2 y Dp demuestre que: a. Dp y Dp son matrices diagonales. b. D Y D conmutan.. En los problemas calcule las matrices requeridas dado que Y A = [ ' c=[ J J [ L1 48] B = , A(2B) (BC). 71. (- C)(3A)B. 72. C 3. BJETIV Mostrar cómo reducir una matriz y utilizar la reducción de matrices para resolver un sistema lineal. 6.4 MÉTD DE REDUCCiÓN En esta sección ilustraremos un método por el cual las matrices pueden ser utilizadas para resolver un sistema de ecuaciones lineales, el método de reducción. En el desarrollo del método primero resolveremos un sistema por medio del método usual de eliminación. Después obtendremos la misma solución utilizando matrices. Consideremos el sistema 3X - y = 1, x + 2y = 5 (1) (2) que consiste en dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, x y y. Aunque este sistema puede ser resuelto por varios métodos algebraicos, lo resolveremos por un método que es fácilmente adaptable a matrices.

31 250 6 ÁLGEBRA MATRICIAL Por razones que más adelante serán obvias, empezamos por reemplazar ecuación (1) por la ecuación (2) y la ecuación (2) por la (1), así se obtiene el siste equivalente 2 X + 2y = 5, 3x - y = 1. (3) (4) Multiplicando ambos miembros de la ecuación (3) por - 3 se obtiene -3x - 6y::: _[ Sumando los miembros izquierdo y derecho de esta ecuación a los correspondien. de la ecuación (4), se obtiene un sistema equivalente en el que x es eliminada de la segunda ecuación: X + 2y = 5, x - 7y = -14. Ahora eliminaremos y de la primera ecuación. Multiplicando ambos miembros de ecuación (6) por -t se obtiene el sistema equivalente X + 2y = 5, x + y = 2. De la ecuación (8), y = 2 Y de aquí -2y = -4. Sumando los miembros de -2y =-4 los correspondientes de la ecuación (7), obtenemos el sistema equivalente X + y = 1, x + y = 2. Por tanto, x = 1 Y Y = 2, de modo que el sistema original está resuelto. bserve que en la solución del sistema original se estuvo reemplazando a ést por un sistema equivalente, que era obtenido realizando una de las siguientes tr operaciones (llamadas operaciones elementales) que dejan la solución sin cambios: 1. Intercambio de dos ecuaciones. 2. Suma de un múltiplo constante de los miembros de una ecuación a los cor rp. t pondientes miembros de otra ecuación. 3. Multiplicación de una ecuación por una constante diferente de cero. Antes de mostrar un método matricial para resolver el sistema original, 3X - y = 1, x + 2y = 5, primero necesitamos definir algunos términos. Recuerde de la sección 6.3 que la matri 2 Recuerde de la sección 4.4 que dos o más sistemas son equivalentes si tienen la misma so lución

32 6.4 Método de reducción 251 es la matriz de coeficientes de este sistema. Las entradas en la primera columna corresponden a los coeficientes de las x en las ecuaciones. Por ejemplo, la entrada en el primer renglón y primera columna corresponde al coeficiente de x en la primera ecuación; la entrada en el segundo renglón y primera columna corresponde al coeficiente de x en la segunda ecuación. De forma análoga, las entradas en la segunda columna corresponden a los coeficientes de las y. tra matriz asociada con este sistema es la llamada matriz aumentada y está dada por [i -1 \1] 2 5. La primera y segunda columnas son la primera y segunda columnas, respectivamente, de la matriz de coeficientes. Las entradas en la tercera columna corresponden a los términos constantes del sistema: la entrada en el primer renglón de esta columna es el término constante de la primera ecuación, mientras que la entrada en el segundo renglón es el término constante de la segunda ecuación. Aunque no es necesario incluir la línea vertical en la matriz aumentada, sirve para recordarnos que el 1 y el 5 son los términos constantes que aparecen en el lado derecho de las ecuaciones. La matriz aumentada describe por completo al sistema de ecuaciones. El procedimiento que fue utilizado para resolver el sistema original involucra varios sistemas equivalentes. A cada uno de estos sistemas podemos asociar su matriz aumentada. A continuación se listan los sistemas involucrados, junto con su correspondiente matriz aumentada, los que hemos etiquetado con A, B, e, D y E. ex - y = 1, x + 2y = 5. [~ - ~ I ~] = ~. x + 2y = 5, 3x - y = l. [ 1 :1 -~ I n = B. x + 2y = 5, x - 7y = [~ -~ I 5] - 14 =c. x + 2y = 5, x + y = 2. [~ ~ I ~] = D. x + y = 1, x + y = 2. [~ ~ I ~] = E. Veamos ahora cómo están relacionadas estas matrices. B puede ser obtenida a partir de A intercambiando el primero y segundo renglones de A. Esta operación corresponde al intercambio de dos ecuaciones en el sistema original. e puede ser obtenida a partir de B sumando a cada entrada del segundo renglón de B, - 3 veces la correspondiente entrada del primer renglón de B:

33 252 6 ÁLGEBRA MATRICIAL e = [3 + (~3)(1) ~ - 3)(2) 11 + (~3)(5)] = [~ -;I-l J. Esta operación se describe como la suma de -3 veces el primer renglón de B segundo renglón de B. D puede ser obtenido a partir de e multiplicando cada entrada del segu renglón de e por -f. Esta operación se describe como la multiplicación del se do renglón de e por -+- E puede ser obtenido a partir de D sumando -2 veces el segundo renglón al primer renglón de D. bserve que E, que en esencia proporciona la solución, fue obtenida a p de A al realizar de manera sucesiva una de las tres operaciones matriciales, llam operaciones elementales sobre renglones: peraciones elemental~ sobre renglones, Intercambio de dos renglones de una matriz; Suma de un múltiplo de un renglón de una matriz a un renglón esa matriz; '. Multiplicación de un renglón de una matriz por un escalar diferente de cer Estas operaciones elementales sobre renglones corresponden a las tres operacion elementales utilizadas en el método algebraico de eliminación. Cuando una mat. pueda ser obtenida a partir de otra por una o más de las operaciones elemental sobre renglones, decimos que las matrices son equivalentes. Así A y E son equiv lentes. (También podríamos obtener A a partir de E realizando operaciones simil sobre renglones en el sentido opuesto, de modo que el término equivalentes es apr piado.) Cuando se describan operaciones elementales sobre renglones, por conveniencia usaremos la notación siguiente: ' Notación R.HR. I ) kr. I peractón sobre renglón correspondiente Intercambiar los renglones R. y R. I ) Multiplicar el renglón R por la constante k Sumar k veces el renglón R al renglón Rj (pero el renglón R permanece igual) Por ejemplo, escribiendo [~ [~ o -2 significa que la segunda matriz fue obtenida de la primera al sumar -4 veces el primer renglón al segundo. bserve que podemos escribir (-k)r como -kr.

34 6.4 Método de reducción 253 Ahora estamos preparados para describir un procedimiento matricial para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Primero, formamos la matriz aumentada del sistema; después, por medio de operaciones elementales sobre renglones, determinamos una matriz equivalente que indique claramente la solución. Siendo más específicos en lo que queremos decir por una matriz que indique claramente la solución es una matriz, llamada matriz reducida que se define como sigue: Matriz reducida Una matriz se dice que es matriz reducida 3 si se satisface lo siguiente: 1. Si un renglón no consiste solamente en ceros,. entonces la primera entrada diferente de cero en el renglón, llamada la entrada principal, es 1, mientras que todas las demás entrada~ en la columna en la que el 1 aparece son ceros. 2. En cada renglón, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada diferente de cero de cada renglón arriba de él. 3. Todos los renglones que consistan únicamente en ceros están en la parte inferio~ ' de la matriz. En otras palabras, para resolver el sistema debemos encontrar la matriz reducida equivalente a la matriz aumentada del sistema. En nuestro estudio anterior de operaciones elementales sobre renglón, la matriz: es una matriz reducida. EJEMPL 1 Matrices reducidas Para cada matriz que Se muestra a continuación, determine si es reducida o no. [~ ~J. b. [~ a. [~ ~ J. c. d. [~ n 1 [~ e. 1 f. [~ 1 ~J. ~J. n Solución: a. No es una matriz reducida porque la entrada principal en el segundo renglón no es 1. b. Matriz reducida. 3 en forma escalonada reducida.

35 r Á LGEBRA MATRICIAL c. No es una matriz reducida, porque la entrada principal en el segundo rengl6 se encuentra a la derecha de la primera entrada diferente de cero en el pr~ renglón. d. Matriz reducida. e. No es una matriz reducida, porque el segundo renglón, que consiste solamente ceros, no está en la parte inferior de la matriz. f. Matriz reducida. EJEMPL 2 Reducción de una matriz Reducir la matriz o ~]. 11 Estrategia: Para reducir la matriz, debemos hacer que la entrada princiral 1 en el primer renglón, un 1 en el segundo renglón y así sucesivamente, n llegar a renglones de ceros, si los hay. Además, debemos trabajar de izq sier derecha ya que el 1 inicial en cada renglón debe encontrarse a la izqui~tda los otros unos iniciales en los renglones de abajo. Solución: Ya que no existen renglones de ceros para moverlos a la parte inferior, proc demos a encontrar la primera columna que tenga una entrada diferente de cero; es 1 columna l. Esto significa que en la matriz reducida, el 1 inicial en el primer rengl estará en la columna l. Para empezar, intercambiaremos los primeros dos renglones modo que la entrada diferente de cero esté en el primer renglón de la columna l. RI H R, - ) [~ [~ ~] I Ahora multiplicamos el renglón 1 por t de modo que la entrada principal sea un l. ~ R, [~ -2-1 I II Ahora, ya que debemos tener ceros abajo (y arriba) de cada I inicial, sumamos veces el renglón 1 al renglón 3: - 6R, + R'J [~ -2-1 I 8 11 ~l ~l ~l