TEMA2. Dinámica I Capitulo 3. Dinámica del sólido rígido

Transcripción

1 TEM. Dnámca I Captulo 3. Dnámca del sóldo rígdo

2 TEM : Dnámca I Capítulo 3: Dnámca del sóldo rígdo Eje nstantáneo de rotacón Sóldo con eje fjo Momento de nerca. Teorema de Stener. Conservacón del momento cnétco axal. Energía cnétca. Teorema del momento cnétco de un punto y de un sstema de partículas. Conservacón

3 Sóldo Rígdo Sóldo rígdo Sstema ndeformable Dstanca entre partículas constante Fuerzas nternas de cohesón mayores que fuerzas externas Se mueven todas las partículas conjuntamente Movmento Sempre puede descomponerse en: Translacón (vectores velocdad paralelos) Rotacón (vectores velocdad descrben arcos de crcunferenca respecto recta magnara: eje nstantáneo de rotacón

4 Sóldo con un eje fjo Vamos a suponer un sóldo lgado a un eje fjo Sólo puede grar No hay translacón Las fuerzas aplcadas producrán gro cuando tengan componente perpendcular al eje.

5 Energía cnétca de rotacón Cuando la fuerza aplcada produce un movmento de rotacón, la energía de un punto de materal en gro:,, 1 1 Rot c r m m v E E La energía cnétca total será la suma para todas las partículas Rot r m r m m v E Sendo el paréntess el momento de nerca, I 1 I E rot

6 Momento de Inerca La energía cnétca de rotacón es proporconal a la velocdad angular al cuadrado La constante de proporconaldad es una cantdad característca del cuerpo que gra: momento de nerca y es una medda de la resstenca de un objeto a expermentar cambos en su movmento de rotacón respecto a su eje. I m r Sstema dscreto de partículas I r dm Objeto contnuo Depende de La masa Su dstrbucón geométrca respecto al eje de gro Undades: kg m

7 Momentos de Inerca Ejemplo. Barra unforme I L 0 x dm Densdad de masa lneal (): M L dm dx M dm dx L L L I x dm x dx L ML El momento de nerca alrededor del eje z es tambén 1/3 ML, y el correspondente al eje x es cero s supongamos que toda la masa está sobra el eje x.

8 Momentos de Inerca Ejemplo. nllo respecto a un eje perpendcular que pasa por su centro I r dm R dm R dm MR

9 Momentos de Inerca MR R R M R M I dr r rdr r dm r I rdr M d dm R R Ejemplo. Dsco unforme respecto a un eje perpendcular que pasa por su centro

10 Ejemplo. Clndro maczo Momentos de Inerca M dm dv rhdr V I R r 0 m R 1 4 rh dr R h 1 h I mr

11 Momentos de nerca más mportantes

12 Teorema de Stener S se conoce I respecto a un eje que pasa por el centro de masas, se puede conocer respecto a otro eje paralelo a éste I h I CM M h

13 Momento de fuerza plcamos una fuerza sobre un cuerpo que puede grar respecto a un eje Stuamos en él el sstema de coordenadas, r S la línea de accón no pasa por el eje F r parece un momento de fuerza r F...que hace grar el cuerpo r F t F r sen F Brazo de palanca

14 Segunda Ley de Newton para la rotacón l aplcar una fuerza no colneal con r, la componente tangente al arco producrá una aceleracón tangencal ( 1ª Ley de Newton ) F m a m r, T, T Multplcando vectoralmente por r Y sumando para todas las partículas del sóldo m r I u T m r

15 Naturaleza vectoral de la rotacón La dreccón de la velocdad angular se determna por convencón con la regla de la mano derecha.

16 Producto vectoral τ rf

17 Propedades del producto vectoral n B C B sen B B B C B C B B B d d d 0 0 k k j j j k k j k j

18 Momento angular de una partícula L rp Momento angular de un sstema que gra alrededor de un eje de smetría. L rp rmv rmv sen 90 k rmvk mr k mr ω Iω

19 Momento angular de una partícula Para cualquer sstema de partículas que gra alrededor de un eje de smetría, el momento angular total es paralelo a la velocdad angular.

20 Resultados adconales que se referen al momento () y al momento angular (L) El momento externo neto que actúa sobre un sstema es gual a la tasa de cambo del momento angular del sstema: neto d sst L S se ntegran los dos térmnos de esta ecuacón con respecto al tempo se obtene: L sst t f t τ neto

21 Momento angular de la Terra L sst L órbta L espín

22 Teoremas del momento cnétco para un sstema Momento cnétco de un sstema L L Dervando respecto al tempo r p p mv dl v p dr p r d p d L r F d L ext

23 Teorema del Momento cnétco L r p d L L Para sóldo con eje fjo z dl z

24 Conservacón del momento cnétco S el momento total respecto al eje de gro es nulo el momento cnétco respecto a dcho eje se mantene constante d L 0 L cte 1. Momento de nerca constante I cte cte L I 1 mr. Momento de Inerca camba a) I aumenta, dsmnuye b) I dsmnuye, aumenta

25 Problema Determnar el momento angular respecto al orgen en las stuacones. (a) Un coche de masa 100 kg se mueve en un círculo de 0 m de rado con velocdad de 15 m/s. El círculo se halla en el plano xy, centrado en el orgen. Mrado desde un punto stuado en la parte postva del eje z, el coche se mueve de sentdo antoraro. (b) El msmo coche se mueve con velocdad v=-(15 m/s) a lo largo de la línea y=y o =0 m en el plano xy paralela al eje x. (c) Un dsco en el plano xy de rado 0 m y masa 100 kg gra con velocdad angular de 0.75 rad/s alrededor de su eje, que es el eje z. Vsto desde un punto stuado en la parte postva del eje z, el dsco se mueve en sentdo antoraro.