Facultad de Ciencias de la Electrónica

Transcripción

1 Conceptos básicos pr el nálisis en el espcio de estdo Un sistem complejo moderno puede tener vris entrds y slids relcionds entre sí, en un form muy complicd Pr nlizr un sistem con ests crcterístics, se requiere reducir l complejidd de ls epresiones mtemátics, sí como recurrir computdors, pr resolver los cálculos tediosos Desde este punto de vist, el método más decudo pr el nálisis de estos sistems, es el método en el espcio de estdo El método de representción de l plnt en vribles de estdo, no sólo comprende ls crcterístics de entrd-slid de l plnt sino tmbién su comportmiento interno globl Este es, justmente, el specto que distingue l representción en vribles de estdo de l representción de entrd-slid Mientrs l teorí de control convencionl se bs en l función de trnsferenci, l teorí de control modern se bs en l descripción de ls ecuciones del sistem en términos de n ecuciones diferenciles de primer orden, que se pueden combinr en un ecución diferencil mtricil El uso de l notción mtricil simplific mucho l representción mtemátic de sistems de ecuciones El umento en l cntidd de vribles de estdo, de entrds o slids, no increment l complejidd de ls ecuciones De hecho es posible proseguir el nálisis de sistems complicdos, con entrds y slids múltiples, con procedimientos ligermente más complicdos que los requeridos por el nálisis de sistems de ecuciones diferenciles esclres de primer orden Ecuciones en el espcio de estdo En sistems dinámicos en el espcio de estdos nos encontrmos con tres tipos de vribles involucrdos en el modelo del Sistem Dinámico(SD) Vribles de entrd Vribles de slid Vribles de estdo El sistem dinámico debe incorporr elementos que memoricen los vlores de l entrd pr t>t, ddo que los integrdores de un sistem de control en tiempo continuo funcionn como dispositivos de memori, ls slids de los integrdores funcionn como vribles que definen el estdo interno del SD Por lo tnto, ls slids de los integrdores funcionn como vribles de estdo L cntidd de vribles de estdo necesris pr definir completmente l dinámic del sistem es igul l cntidd de integrdores que contiene el sistem: Control I M C Jime Cid Monjrz 79

2 Se un sistem dinámico de orden n, representdo por un conjunto de n ecuciones de estdo: di ( t) dt f i [ ( t), ( t),, ( t), u ( t), u ( t),, u ( )] n p t donde: i,,,n n orden del sistem; No de vribles de estdo u p entrd o ecitción del sistem p No de entrds l sistem Sen ls vribles de slid del sistem: donde: j,,, q q No vribles de slid [ ( t), ( t),, ( t), u ( t), u ( t),, u ( )] y j ( t) g j n p t Ls ecuciones nteriores son ls ecuciones dinámics del sistem: n ecuciones de estdo y q ecuciones de slid Pr myor fcilidd de epresión y mnipulción, es conveniente representr ls ecuciones dinámics en form mtricil: ( t) ( t) ( t) n ( t) (nx) Vector de Estdo u( t) u ( t) u( t) u p ( t) (px) vector de Entrd Control I M C Jime Cid Monjrz 8

3 y( t) y( t) y( t) yq( t) (qx) Fcultd de Ciencis de l Electrónic Vector de Slid Usndo l notción mtricil, ls ecuciones dinámics son: d( t) dt f [ ( t), u( t) ] [ ( t), u( )] y ( t) g t Pr un sistem linel invrinte en el tiempo d( t) dt ( t) A( t) + Bu( t) ecuc estdos y ( t) C( t) + Du( t) ecuc slid Supongmos que se tiene un sistem con entrds y slids múltiples, que contiene n integrdores, tmbién supongmos que eisten p entrds A(t) es l mtriz de estdo de coeficiente; (nxn) B(t) es l mtriz de entrd o de control coeficiente; (nxp) C(t) es l mtriz de slid de coeficiente; (qxn) D(t) es l mtriz de trnsmisión direct de coeficiente; (qxp) Si ls funciones A y B no involucrn el tiempo eplícitmente, el sistem se denomin invrinte en el tiempo Ests ecuciones que modeln l sistem, se pueden representr como el digrm de simulción representdo en l figur el cul se denomin modelo mtemático de los sistems dinámicos controlbles Control I M C Jime Cid Monjrz 8

4 Figur Modelo Mtemático de un Sistem Dinámico Controlble El enfoque de vrible de estdo, requiere definir el término de estdo de un sistem que se refiere ls condiciones psds, presentes y futurs del mismo En generl un estdo puede describirse con un conjunto de números, un curv, un ecución o lgun otr epresión de nturlez más bstrt Definición de ls vribles de estdo Ls vribles de estdo de un sistem se definen como un conjunto de vribles, (t), (t),, n (t) tl que el conocimiento de ests vribles en culquier momento t más l informción con respecto l ecitción de entrd plicd posteriormente, se suficiente pr detrminr l estdo de un sistem en culquier momento t > t Es necesrio no confundir ls vribles de estdo con ls slids de un sistem L slid de un sistem es un vrible que puede medirse, mientrs que un vrible de estdo no siempre stisfce este requisito, pues csi nunc puede medirse Sin embrgo, un vrible de slid suele definirse como un función de ls vribles de estdo EL CONCEPTO DE ESTADO Como se mencionó, ls vribles (t), (t),, n (t) se les conoce como vribles de estdo En culquier instnte de tiempo t o, sus vlores tomdos en conjunto, formrn el estdo de l plnt Es bien sbido que pr resolver l ecución diferencil de orden n es necesrio conocer demás de l entrd pr t>to, un conjunto de n condiciones iniciles Debido l método de solución, ests condiciones iniciles por lo generl se eligen como el vlor de l slid y y sus n- derivds en el instnte to, es decir: y(t o ),y(t o ),d n- y(t o )/dt n- Sin embrgo, este no es el único conjunto de condiciones iniciles que se pueden empler Control I M C Jime Cid Monjrz 8

5 Tmbién resultn suficientes los vlores de culquier conjunto de n vribles de l plnt en to, linelmente independientes, (t), (t),, n (t) En lenguje mtemático preciso, l definición de estdo dopt l siguiente form El estdo en t o de un plnt de orden n se describe por un conjunto de n números (t), (t),, n (t), los cules, junto con l entrd l plnt t>(t o ) resultn suficientes pr determinr el comportmiento de l plnt pr todos los t>t o En otrs plbrs, el estdo de l plnt represent un cntidd de informción suficiente cerc de l plnt en t o, pr determinr su comportmiento futuro sin referenci l entrd ntes de t o Al mismo tiempo, el estdo de l plnt en t o represent un descripción complet de l mism en el sentido de que pr determinr su respuest no se requiere de ningun otr informción, con eepción de l entrd Además, es posible determinr otr de ls vribles de l plnt si se conoce el estdo Por ejemplo, conciderese el juego de jedrez No obstnte de que estos son procesos discretos y por ende no precismente nálogos l proceso que se trt, ilustrn el concepto de estdo En este cso el estdo l finl de cd movimiento consiste simplemente en colocr ls piezs en el tblero Si se interrumpe el juego se podrí dr un resumen del juego l ver el tblero: no serí necesrio conocer tods ls jugds que se hn llevdo cbo hst ese momento Puede precer que el estdo de un plnt en culquier momento no es único, sin embrgo no es verdd; solmente el método pr representr l informción del estdo no es único Culquier conjunto de vribles de estdo que se elij proporcion ectmente l mism informción cerc de l plnt Est situción es similr cundo se especific el tmño de un objeto físico en uniddes diferentes o en un sistem de coordends diferentes Es cierto que ls uniddes o el sistem de coordends que se emplen no cmbin el objeto físico, sin embrgo sí podrín lterr su descripción Estdo: El estdo de un sistem dinámico es el conjunto más pequeño de vribles (llmds vribles de estdo) de modo que el conocimiento de ests vribles en t t, junto con el conocimiento de ests de l entrd pr t t, determin por completo el comportmiento del sistem pr culquier tiempo t t Vribles de estdo: Ls vribles de estdo de un sistem dinámico son ls que formn el conjunto más pequeño de vribles que determinn el estdo del sistem dinámico Ls vribles de estdo no tienen que ser necesrimente cntiddes físics medibles u observbles, sin embrgo, es conveniente que sí lo sen, puesto que ls leyes del control óptimo requieren de l retrolimentción de vribles físics Si se necesitn l menos n vribles (t), (t),, n (t) pr describir por completo el comportmiento de un sistem dinámico ( por lo cul un vez que se proporcione l entrd pr t t y se especific el espcio inicil en t t el estdo futuro del sistem se determin por completo), tles n vribles son un conjunto de vribles de estdo Control I M C Jime Cid Monjrz 83

6 Vector de estdo: Si se necesitn n vribles de estdo pr describir por completo el comportmiento de un sistem determindo, ests n vribles de estdo se considern los n componentes de un vector Tl vector de denomin vector de estdo Por tnto un vector de estdo es quel que determin de mner únic el estdo del sistem (t) pr culquier tiempo t t, un vez que se obtiene el estdo en t t y se especific l entrd u(t) pr t t Espcio de estdo: El espcio de n dimensiones cuyos ejes de coordends están formdos por el eje, el eje,, el eje n, se denomin espcio de estdos Culquier estdo puede representrse medinte un punto en el espcio de estdos Tryectori de estdo: Es el cmino producido en el espcio de estdo por el vector de estdo y sus cmbios conforme trnscurre el tiempo En el cso prticulr de - dimensiones (-vribles de estdo) nos referiremos estos como plno de fse y tryectori de fse Ecuciones en el espcio de estdos: En el nálisis en el espcio de estdos, nos concentrmos en tres tipos de vribles involucrdos en el modeldo de sistems dinámicos: vribles de entrd, vribles de slid y vribles de estdo L cntidd de vribles de estdo necesris pr definir completmente l dinámic del sistem es igul l cntidd de integrdores que contienen el sistem Notción empled en vribles de estdo Pr l representción en vribles de un plnt, se estblece l notción estándr que se emple en este enfoque Control I M C Jime Cid Monjrz 84

7 L representción de un plnt en términos de ls vribles de estdo se logr por medio de un conjunto de n ecuciones lineles de primer orden, conocids como ecuciones de l plnt Ests ecuciones doptn l form generl d ( t) (t) (t) + (t) ++ n n (t) + b u(t) dt d ( t) (t) (t) + (t) ++ n n (t) + b u(t) dt : : : d n ( t) n(t) n (t) + n (t) ++ nn n (t) + b n u(t) dt donde ls n vribles i (t) son ls vribles de estdo y u(t) es l entrd de plnt Además, se requiere de un epresión pr l slid; Y(t) dich epresión es un ecución lgebric linel que relcion l slid de l plnt con ls vribles de estdo y dopt l siguiente form y(t) c (t)+c (t) ++ c n n (t) El uso de l form mtricil permite que se posible escribir ls ecuciones de l plnt y l epresión de l slid de un mner simple y conveniente L ecución de l plnt puede escribirse como d ( t) dt (t) A(t)+bu(t) (Ab) En est ecución, (t) es el vector de dimensión n, conocido como el vector de estdo; sus elementos se les denomin ls vribles de estdo (t) col ( (t), (t) n (t)) d ( t) el vector (t) es l derivd del vector estdo por lo que sus elementos son ls dt derivds de ls vribles de estdo, o d ( t) dt (t) (d/dt)(t)(d/dt)col((t), (t) n (t)) Control I M C Jime Cid Monjrz 85

8 Control I M C Jime Cid Monjrz 86 col( (t) (t) n (t)) A l mtriz A de n n, l cul comúnmente se define por nn n n n n A : : : : se le conoce como l mtriz de l plnt Al vector de dimensión n b col(b b b n ) se le llm l vector de entrd debido que describe como fect l plnt l entrd de control u(t) Si secombinn todos estos resultdos, l form epndid de l ecución (AB) se vuelve ) ( : : ) ( : : ) ( ) ( : : : : ) ( : : ) ( ) ( t u b b b t t t t t t n n nn n n n n n + l cul equivle ls ecuciones iniciles de l plnt, si se completn ls operciones mtriciles indicds De un modo similr, l epresión de l slid se puede escribir como y(t) c T (t) Al vector de dimensión n c col(c c c n ) se le conoce como el vector de slid En un form epndid l ecución es

9 ( t) ( t) y( t) [ c c c ] : n c ( t) + c ( t) + + cn n ( t) (c ) : n ( t) Un vez más se observ que el resultdo es idéntico l epresión de l slid de l ecución Por lo generl se hce y pr que todos los elementos de c sen cero, con eepción de c, l cul es igul Por lo tnto, el empleo de l formulción mtriz-vector permite l representción en vribles de estdo en términos de dos ecuciones simples (t) A(t) + bu(t) y y(t) c T (t) L simplicidd de ests ecuciones en comprción con l form originl es evidente En culquier momento en el que se hce un cálculo rel pr un plnt específic se deben empler y sen ls ecuciones originles o l form epndid de ls ecuciones mtriciles que se mostró nteriormente, porque solmente ells contienen l informción detlld correspondiente l plnt en cuestión Por otro ldo, l representción simbólic compct result de utilidd pr derivciones y eposiciones generles Análisis de sistems dinámicos en el espcio de estdo Control I M C Jime Cid Monjrz 87

10 Como un ejemplo considere el sistem mecánico de l figur siguiente Suponemos que el sistem es linel L fuerz etern u(t) es l entrd pr el sistem, y el desplzmiento y(t) de l ms es slid El desplzmiento y(t) se mide prtir de l posición de equilibrio en usenci de un fuerz etern Este sistem tiene un sol entrd y un sol slid Solución: A prtir del digrm, l ecución del sistem es + m y b y+ ky u Este sistem es de segundo orden, lo cul signific que el sistem contiene dos integrdores Definmos ls vribles de estdo (t) y (t ) como: ( t) y( t) A continución obtenemos: ( t) y( t) Control I M C Jime Cid Monjrz 88

11 Control I M C Jime Cid Monjrz 89 u m b y ky m + o bien: u m m b m k + L ecución de slid: y En un form mtricil, se escriben como: u m m b m k + L ecución es un ecución de estdo L ecución de slid del sistem, se escribe de l siguiente mner: [ ] y Ls ecuciones siguientes están en l form estándr: Du C y Bu A + + en donde ; m b m k A ; m B [ ] C ; D DIAGRAMAS DE BLOQUES PARA LAS ECUACIONES DE ESTADO L form en el dominio de l frecuenci de l representción en vribles de estdo de ls ecuciones (Ab) y (c) se puede obtener l tomr l trnsformd de Lplce de ells Puesto que se vn empler los resultdos pr encontrr un función de

12 trnsferenci pr l plnt, súmse que ls condiciones iniciles son igules cero De l trnsformción surge sx(s) AX(s) + bu(s) Y(s) c T X(s) Pr l form en el dominio de l frecuenci se puede dibujr un digrm de bloques de l representción en vribles de estdo, como se muestr en l figur X(s) /s I [AX(s) + bu(s)] donde I es l mtriz identidd que se necesit pr mntener ls dimensiones decuds Ls flechs nchs de l figur se emplen pr distinguir ls cntiddes vectoriles, como X, de ls esclres como u Figur Digrm de bloques generl pr l representción en vribles de estdo Además de l form simbólic generl de l representción del digrm de bloques de l figur, generlmente es útil l elborción de un representción de un digrm de bloques de ls ecuciones en vribles de estdo Dicho digrm de bloques se puede formr fcilmente si se coloc con los n bloques que incluyen el término (/s), cuys entrds y slids se encuentrn mrcds respectivmente sx i y X i, i,, n Posteriormente se colocn estos bloques por medio del uso de lñs ecuciones en vribles de estdo pr generr cd sxi Por último, se form l slid prtir de l ecución de slid A un digrm de bloques con est form, es decir, que conteng n bloques mrcdos (/s), se denomin digrm de bloque elementl de l representción en vribles de estdo Control I M C Jime Cid Monjrz 9

13 Como un ilustrción de lo nterior, l figur siguiente muestr el digrm de bloques elementl pr l myorí de ls plnts generles de segundo orden L representción en vribles de estdo de est plnt es b + u b y [c c ] En l myorí de los problems, muchos de los elementos de A, b y c son cero, y no son necesris muchs de ls interconeiones Figur Digrm de bloques elementl de l plnt de segundo orden generl L form ect de l representción de l plnt, que consiste en los elementos de A, b y c, depende del conjunto de vribles de estdo que se elijn pr l mism Un vez más se debe enftizr que l plnt no cmbi, lo único que cmbi es su representción De hecho eiste un infinito número de representciones en vribles de estdo pr un sol plnt, los cules dependen del conjunto de vribles de estdo que se hy elegido pr l representción Ejemplo Pr ilustrr el método de representción en vribles de estdo menciondo nteriormente, concidérese un vez más el motor controldo por cmpo L representción de función de trnsferenci de est plnt se vio en un ejemplo nterior Por hor considerese l representción de est plnt por medio del uso de ls vribles de estdo Θ o (t), Θ o (t) y i f (t) A continución se define: Control I M C Jime Cid Monjrz 9

14 (t) Θ o (t) (t) Θ o (t) 3 (t) i f (t) u(t) e(t) A prtir de ests definiciones se conoce un ecución de l plnt (t) (t) Pr encontrr ls otrs dos ecuciones de l plnt se deben considerr ls dos ecuciones originles que se determinron pr l mism Se muestrn un vez más l ecución de Kirchhoff pr el circuito es: L f di f (t)/dt + R f i f (t) e(t) L ecución de Newton pr l crg mecánic es: J Θ o (t) + β Θ o (t) T(t) y l relción entre el pr y l corriente del cmpo: T(t) K τ i f (t) debido que l corriente de rmdur es constnte Sustituyendo ls definiciones de ls vribles de estdo en ls ecuciones se obtiene L f 3 + R f 3 (t) u(t) J (t) + β (t) K τ 3 (t) Poniendo ls tres ecuciones son: (t) (t) J (t) + β (t) K τ 3 (t) L f 3 + R f 3 (t) u(t) De modo que ls tres ecuciones de l plnt sen Control I M C Jime Cid Monjrz 9

15 Control I M C Jime Cid Monjrz 93 ) ( 3 3 t u L L R J K J f f f + τ β [ ][ ] [ ] ) ( t u b A + l epresión de l slid es [ ] ) ( ) ( t t y y(t) (t) Ls mtrices de A, b y c son [ ] f f L R J K J A τ β, [] f L b, [] c

16 Figur Digrm bloques de un motor de CD controldo por cmpo 34 Relción con l función de trnsferenci Es probble que se quisier sber cómo encontrr l función de trnsferenci de un plnt un vez dd su representción vribles de estdo y cómo encontrr dich representción un vez dd l representción medinte l función de trnsferenci Debido que l representción de función de trnsferenci especific solmente el comportmiento de l entrd y l slid, siempre result posible seleccionr de un modo rbitrrio ls vribles de estdo pr un plnt que sólo se encuentr especificd por tl función En generl, lo nterior signific que eiste un número infinito de representciones en vribles de estdo pr un función de trnsferenci dd Si se conoce un representción en vribles de estdo de un plnt, l función de trnsferenci de l mism es únic y completmente especificd Este hecho es sólo un mnifestción más de que l representción en vribles de estdo result ser un descripción más complet Con el objeto de determinr l función de trnsferenci de l plnt Y(s)/U(s) de l representción en vribles de estdo, se comienz con l form en el dominio de l frecuenci de l representción en vribles de estdo, como se muestr en ls ecuciones siguientes: sx(s) AX(s) + bu(s) Y (s) C T X(s) Control I M C Jime Cid Monjrz 94

17 Es necesrio recordr que cundo se escriben ests ecuciones se sume que ls condiciones iniciles son cero Est suposición result correct en est situción y que lo que se busc es l función de trnsferenci Si se grupn los dos términos X(s) en l ecución nterior, se obtiene (si-a)x(s) bu(s) donde se h introducido l mtriz de identidd pr mntener l dimensionlidd y pr permitir l fctorizción indicd Si mbos miembros de est ecución se premultiplicn por l mtriz (si-a) -l, entonces l ecución nterior quedrí X(s) (si-a) -l b U(s) A l mtriz (si-a) - se le denomin mtriz resolvente y se le design por Φ(s) Φ(s) (si-a) -l Al usr est definición, l ecución de X(s) quedrí X(s) Φ(s) b U(s) Si este resultdo se sustituye en l ecución de slid, Y (s) está dd por Y (s) C T Φ(s) b U(s) de modo que l función de trnsferenci Y(s) / U(s) se Y (s) / U(s) Gp (s) C T Φ(s) b debido que l mtriz resolvente es Φ(s) (si-a) -l dj( si det( si A) A) Gp(s) ps ser G P c ( s) dj( si A) b det( si A) T Control I M C Jime Cid Monjrz 95

18 En este cso, l cntidd esclr c T [dj(si-a)]b es simplemente un polinomio en s y form el polinomio del numerdor de G p (s) L cntidd esclr det(si-a) que es tmbién un polinomio en s, form el polinomio del denomindor de G p (s) En otrs plbrs, si se escribe G p (s) como el cociente de l gnnci que multiplic l polinomio del numerdor K p N p (s) entre el polinomio del denomindor D p (s), es decir G ( s) P K p D N p p ( s) ( s) entonces T K p N P ( s) c dj( si A) b D P ( s) det( si A) Del resultdo nterior se observ que los vlores de s que stisfcen l ecución det(si-a) tmbién stisfcen l ecución D p (s) y por lo tnto son los polos de Gp(s) En terminologí mtricil estos vlores de s se les conoce como los vlores crcterísticos de l mtriz A, y l ecución nterior se le denomin ecución crcterístic de l mtriz A Por lo tnto, se observ que los vlores crcterísticos de A corresponden los polos de Gp(S) Ejemplo Pr ilustrr el uso de l ecución pr l función de trnsferenci, considérese l representción del motor controldo por cmpo en términos de ls vribles y que se encontrron Dich representción se repite continución como referenci Control I M C Jime Cid Monjrz 96

19 Control I M C Jime Cid Monjrz 97 ) ( 3 3 t u L L R J K J f f f + τ β [ ] ) ( ) ( t t y pr este problem l mtriz (si-a) ps ser + + f f L R s J K J s s A si ) ( τ β y su invers es por lo tnto l función de trnsferenci está dd por lo que es igul l resultdo previo Pese que l ecución proporcion un método directo pr determinr l función de trnsferenci de un plnt prtir de l representción en vribles de estdo de l

20 mism, no result ser un método fácil puesto que necesit de l inversión de l mtriz (si-a) Est inversión nunc es fácil y el trbjo que requiere es ún más difícil, en este cso debido que los elementos son funciones de s Debido esto en ocsiones result más sencillo obtener l función de trnsferenci llevndo cbo ls reducciones de los digrms de bloques en l representción en vribles de estdo De hecho, si se emple este plntemiento es posible obtener l función de trnsferenci pr ciertos tipos de representciones en vribles de estdo por inspección Es probble que en el cso de sistems de orden superior, el uso de un computdor digitl se lo mejor puesto que l conjunción del grn poder de cálculo de ls computdors y el enfoque de vribles de estdo result ser de grn utilidd Correlción entre funciones de trnsferenci y ecuciones en el espcio de estdo A continución se mostrrá otr form de obtener l función de trnsferenci de un sistem con un sol entrd un sol slid prtir de ls ecuciones en el espcio de estdos Consideremos el sistem cuy función de trnsferenci se obtiene medinte: Y U () s () s G() s Este sistem se represent en el espcio de estdos medinte l ecución siguiente: A + Bu y C + Du En donde es el vector de estdo, u es l entrd, y y es l slid Encontrndo l trnsformd de Lplce de ls ecuciones nteriores se obtiene: Y () s () AX ( s) + BU ( s) () s CX () s + DU () s sx Ddo que l función de trnsferenci se definió ntes como el cociente entre l trnsformd de Lplce de l slid y l trnsformd de Lplce de l entrd, cundo ls condiciones iniciles son cero, suponemos que () en l ecución nterior Por tnto, tenemos que sx () s AX ( s) BU ( s) o bien si A X s BU s ( ) ( ) ( ) Control I M C Jime Cid Monjrz 98

21 Premultiplicndo por ( si A) X Fcultd de Ciencis de l Electrónic en mbos miembros de est últim ecución obtenemos () s ( si A) BU ( s) sustituyendo l ecución nterior, se lleg [ B D] U ( s) () s C( si A) Y + Después de comprr l ecución nterior con l primer ecución vemos que () s C( si A) B D G + Est es l espresión de l función de trnsferenci en términos de A, B, C y D Observe que el segundo miembro de l ecución contiene ( si A) Por tnto, G(s) se escribe como Q () () s G s si A en donde Q(s) es un polinomio en s Por tnto, si A es igul l polinomio crcterístico de G(s) En otrs plbrs, los vlores específicos de A son idénticos los polos de G(s) Mtriz de Trnsición de Estdo (Mtriz resolvente) L mtriz de Trnsición de Estdo de define como l mtriz que stisfce l ecución de estdo linel homogéne: dx(t dt ) AX(t) Supóngse que φ() t es un mtriz de n n que represent l mtriz de trnsición de estdos; entonces, se debe stisfcer l ecución: dφ() t dt Aφ() t Además siendo X() l representción del estdo en t entonces φ() t tmbién es: X(t) φ( t) X( ) que es l solución de estdo homogéne pr t Control I M C Jime Cid Monjrz 99

22 Sbemos que: Fcultd de Ciencis de l Electrónic sx(s)-x() AX(s) X(s) ( SI A) X( ) Por lo tnto l trnsformd invers de Lplce: Pr t de donde Un método lterntivo pr resolver l ecución de estdo homogéne consiste en suponer un solución, como en el método clsico de resolución de ecuciones diferenciles, supongmos que: At X(t) e X( ) pr t At e Donde represent un serie de potenci de l mtriz At y 3 3 e At I + At + A t + A t +! 3! por lo tnto : At de At Ae dt Por consiguiente se obtiene otr epresión pr l mtriz de trnsición de estdos que corresponde : At 3 3 Φ() t e I + At + A t + A t +! 3! Propieddes de l mtriz de trnsición de estdos : - Φ( ) I L mtriz identidd - Φ () t Φ( t) 3- ( t t )* Φ( t t ) Φ( t t ) k 4- [ Φ () t ] Φ( kt) pr k entero Φ Pr culesquier vlores de t o, t y t Control I M C Jime Cid Monjrz

23 Ejemplo Considérese el sistem con l descripción de vribles de estdo: Pr clculr l función de trnsferenci, se form: Control I M C Jime Cid Monjrz

24 y se clcul : Adj si si A ( si A) ( ) s + 6s+ 5 s + 5s + 6 Fcultd de Ciencis de l Electrónic T [ ] ( s + 6s+ 5) ( A) Cof ( si A) si A ( ) ss se tiene l función de trnsferenci de l form : Gp Gp Y () () s T s c ( si t ) U () s [ `s + 5 ]( ` ) () s s + 5 s s + 5 s + 6 s s [ ` ]( s 6 + `s + 5 )( ` ) s s + 6 Tmbién se puede determinr los ceros del sistem prtir de ls mtrices descriptivs de ls vribles de estdo (A, b, c y d) Un cero es un vlor de frecuenci s tl que si l entrd es eponencil l frecuenci cero, o: ut () ue st entonces l slid es idéntic cero; esto es: y(t) lo que signific que el sistem tiene un señl de entrd no cero, pero nd sle de hí en l descripción espcio-estdo, se tendrí: Por tnto, se tiene que: u X() t X e st u e st y() t ó y X Se X Ae X + bu e st st st [ ] si A b X o, u T st st y c X+ du ce + du e Control I M C Jime Cid Monjrz

25 Combinndo ls ecuciones ultims, se tiene: Un cero del sistem espcio-estdo es un vlor de s donde l ecución nterior tiene un solución no trivil Con un entrd y un slid, l mtriz es cudrd y un solución tiene un solución no trivil Con un entrd y un slid, l mtriz es cudrd y un solución de l ecución nterior es equivlente un solución de Los resultdos nteriores se pueden combinr pr epresr l función de trnsferenci totl de un mner compct Ejemplo Tomndo el sistem del ejemplo nterior donde Control I M C Jime Cid Monjrz 3

26 encontrr l ecución de l plnt Nots de CAD Los progrms de CAD pueden ser muy útiles en l mnipulción de descripciones en vribles de estdo en los csos en que dichs descripciones se epresn por medio de vlores numéricos MATLAB cuent con un función pr yudr clculr ls ecuciones, lo cul permite un conversión de l descripción de un plnt en form de espcio de estdo l form de función de trnsferenci [num, den] sstf (, b, c, d,iu) Control I M C Jime Cid Monjrz 4

27 L función regres los polinomios del numerdor y del denomindor de l función de trnsferenci Los rgumentos, b y c proporcionn l descripción en el espcio de estdos El rgumento d se encuentr disponible pr descripciones en el espcio de estdos más generles Pr nuestros propósitos, d debe ser un vector de ceros cuy dimensión renglón se equivlente l número de entrds (usulmente un) y cuy dimensión column se equivlente l número de slids (por lo generl un) El rgumento iu indic l entrd que se está considerndo En este cso, pr obtener un función de trnsferenci pr un sistem con un entrd y un slid, d [ O ] e iu Ejemplo A Continución se ingres un descripción en el espcio de estdos en l computdor y se clcul l función correspondiente >>A [-4 ; -3 ; -5] A b[; ; ] b c[ ] c d[] d [num, den] sstf (, b, c, d,iu) num 4 den l función de trnsferenci resultnte es + s + 4 Gp ( s) s + 56 s s s Control I M C Jime Cid Monjrz 5

28 Es posible clculr l mtriz resolverte Φ(s) un column l mismo tiempo, si se cre un sistem relciondo que depend solmente de l mtriz A y teng tres entrds y tres slids Ls mtrices b y c son mtrices identidd de 3 3, y l mtriz d es un mtriz de ceros de 3 3 Se emple el último rgumento en sstf pr estblecer que column de Φ (s) se v determinr % A remlns the sme ceye (3) REPRESENTACION POR VARIABLES DE FASE Y VARIABLES FISICAS Ls forms de epresr l representción de estdo de un sistem son dos: vribles físics y vribles de fse VARIABLES FISICAS- L form de vribles físics se bsn en usr como vribles de estdos en los elementos independenci de lmcenmiento de energí del sistem VARIABLES DE FASE- Cundo ls vribles de estdos son ls vribles dependientes y sus derivds se denominn vribles de fse VARIABLES DE FASE Pese que eisten un infinidd de mners de seleccionr ls vribles de estdo pr culquier plnt y por ende, un número infinito de representciones en vribles de estdo, solo un número limitdo es de uso L representción en vribles de fse incluirá el término u (t) en el segundo miembro, lo cul es un violción l form que se sume en l ecución (Ab) Pr evitr este problem, se divide en dos prtes l función de trnsferenci como se muestr en l figur 4-3, y se escribe como donde y Control I M C Jime Cid Monjrz 6

29 L función de trnsferenci X(s) / U(s) es idéntic l función de trnsferenci originl sin el cero de más, y por lo tnto, su representción en vribles de fse sigue estndo dd por l ecución (-4) Sin embrgo, de l segund función de trnsferenci se observ que y(t) y no es igul l(t), sino que hor es donde l segund epresión se h escrito por medio del hecho de que l(t) L representción complet en vribles de fse de est plnt tiene l form Un comprción de este resultdo con l representción del sistem con numerdor unitrio indic que el único cmbio se present en l epresión de l slid De hecho, éste siempre es el cso Pr el sistem generl de orden n con m ceros y m < n, l función de trnsferenci En l figur 4-4 se muestrn los digrms de bloque pr el ejemplo de tercer orden y pr el cso generl de orden n Se debe observr que l representción en vribles de fse ún se determin con fcilidd prtir de l función de trnsferenci por inspección, y vicevers Tmbién se observ que los elementos de b son ceros en su totlidd, con ecepción del último elemento, que es siempre igul, y que los primeros n- renglones de A siempre presentn l mism form Se sume que Gp(S), como lo d l ecución (4-6), se encuentr en un form reducid con su numerdor y denomindor reltivmente primos, pr que se un función de trnsferenci verdder de orden n Cbe señlr que el método de ls vribles de fse produce un descripción en vribles de estdo de orden n que es l descripción en vribles de estdo de orden mínimo cpz de producir un función de trnsferenci de orden n L mtriz resolvente (s) que se soci con un mtriz de un plnt en vribles de fse generl A, es bstnte complicd Sin embrgo, el vector control de 9 contiene ceros en tods ls entrds, con ecepción de l últim Pr l form de ls vribles de fse Control I M C Jime Cid Monjrz 7

30 A prtir de este punto result fácil ver que l función de trnsferenci de l ecución (4-6) se puede recobrr simplemente de l representción en vribles de fse Pese que el uso de vribles de fse proporcion un simple medio pr representr un plnt en form de vribles de estdo, el método tiene l desventj de que ls vribles de fse no son, en generl, vribles significtivs de l plnt y por ende no se encuentrn disponibles pr l medición o mnipulción Si l función de trnsferenci tiene un numerdor unitrio, ls vribles de fse son l slid y sus n- derivds Si n es myor que o 3, obtener ests derivds result físicmente difícil Si, por otro ldo, Gp(s) tiene uno o más ceros, ls vribles de fse presentn poco o ningún precido ls cntiddes físics y reles de l plnt Por lo tnto, unque l representción en ls vribles de fse proporcion ventjs mtemátics, no constituye un conjunto práctico en vribles de estdo desde un punto de vist de control, debido que l finl se desen medir tods ls vribles de estdo Esto no signific que ls vribles de fse no sen útiles y que no constituyn un vlioso método de representción, por el contrrio, se emplerán de un modo más etenso lo lrgo de est obr En l sección 5 se consider el método de representción de vrible de estdo que se encuentr estrechmente ligdo ls vribles físics medibles 4 Nots de CAD Pr ir de un función de trnsferenci un representción en vribles de fse, MATLAB proporcion un función de l form [,b,c,d ) tfss (num,den) Desfortundmente, MATLAB gener un form en vribles de fse ligermente diferente, l cul es el resultdo de tomr l form de ls vribles de fse que se present quí y volver numerr los estdos en un orden invertido Ejemplo 4- Este ejemplo muestr l representción de l vrible de fse MATLAB pr l función de trnsferenci que resultó en ls nots de CAD de l últim sección L cntidd (sl-a)- b se clcul entonces y se muestr pr que teng l form de l ecución (4-9) con l numerción de los estdos invertid Se recuper el polinomio del denomindor Control I M C Jime Cid Monjrz 8

31 Se puede leer que 9 VARIABLES FÍSICAS El método pr l representción de l plnt en términos de vribles físics reles depende fundmentlmente del entendimiento de l nturlez físic de dich plnt Éste es el enfoque de ingenierí l problem de representción medinte vribles de estdo, en contrposición con el enfoque mtemático de l sección nterior En dich sección no se intentó relcionr ls vribles de estdo con cntiddes físics reles Aquí el método es csi intuitivo y el lector puede sentir que dicho enfoque es muy simple y que de hecho, no debier ser llmdo un método Sin embrgo, este enfoque es menudo el punto de prtid pr crer funciones de trnsferenci de plnts complejs con muchs interconeiones L discusión de ls vribles físics se inicirá considerndo un plnt de tercer orden cuy función de trnsferenci es: Est función de trnsferenci pudier representr un motor de cd controldo por cmpo o controldo por rmdur, y de hecho culquier otr plnt de tercer orden sin ceros Esto es ectmente l fuerz sí como l debilidd de l representción medinte l función de trnsferenci Tods ls plnts con ls misms crcterístics entrdslid, esto es, ls misms ecuciones diferenciles descriptivs, tienen l mism función de trnsferenci Por lo tnto si se d solmente l función de trnsferenci, se puede especulr cerc del origen físico del problem Obvimente un motor controldo por cmpo no es el mismo dispositivo físico que uno controldo por rmdur, un cundo l función de trnsferenci no hce distinción Por lo tnto pr representr un plnt en términos de un conjunto de vribles físics significtivs, se debe conocer lgo más que l función de trnsferenci; simismo se debe conocer el origen físico del problem En el ejemplo 3- se utilizó un conjunto de vribles físics, denominds pr representr l motor controldo por cmpo, por lo tnto, se sume que l función de trnsferenci nterior represent un motor controldo por rmdur de l nturlez descrit en el ejemplo -4 En ese cso l plnt fue descrit medinte cutro ecuciones trnsformds En est sección, se presentn medinte ecuciones diferenciles Control I M C Jime Cid Monjrz 9

32 Adicionlmente, el digrm de bloques de l figur -3 se repite quí en l figur 5- En ls ecuciones precedentes se empleron cinco vribles,, y primer vist pudier precer que l plnt tiene cinco vribles de estdo Sin embrgo, siempre se sume que l plnt se especific por medio de un conjunto de vribles linelmente independientes Se ve que tnto (t) e i(t) no pueden ser utilizds, y que no son linelmente independientes Puesto que i(t) es quizá l vrible más fácil de medir, ést se usrá como un vrible de estdo L slid (t) es l selección lógic como l segund vrible de estdo Aunque se pudo escoger ec(t) como l tercer vrible de estdo, se ve que ést es linelmente dependiente de o(t) y por lo tnto o(t) puede usrse tmbién Debido que l fuerz contrelectromotriz no eiste como un cntidd seprd que se pued medir y puesto que o(t) es fácilmente medible medinte un tcometro, se escogen como ls vribles de estdo pr el sistem Por lo tnto se tiene y Si ests definiciones se introducen en ls ecuciones diferenciles pr est plnt, se tiene Combinndo ls dos ecuciones lgebrics con ls ecuciones diferenciles, se obtiene Control I M C Jime Cid Monjrz

33 Adicionlmente, se define l ecución En form mtricil l ecución (Ab) result ser Puesto que l slid y(t) es equivlente o(t) y o(t) (t), l epresión de slid y(t) (t) qued en form mtricil como Pr hcer más obvi l relción o(t) 3(t), el digrm de bloques de l figur 5- se present de otr form en l figur 5- El digrm de bloques se puede recomodr corno se muestr en l figur 5- l unir los dos puntos donde prece 3(t), o en form equivlente emplendo l identidd de los digrms de bloques de l figur 8d Nótese que l representción nterior en vribles físics se puede escribir fácilmente prtir de l representción de digrms de bloques El digrm de bloques globl de l figur 5-b se puede reducir del mismo modo que el digrm que se present en l figur -3c Obvimente, ls vribles de estdo físicmente significtivs no se pueden seleccionr prtir del digrm de bloques Obsérvese que en el digrm de bloques de l figur 5-b l vrible de l slid es etiquetd como y que ls vribles no gurdn ningún orden numérico en prticulr Previmente l vrible de estd del ldo derecho del digrm de bloques siempre se h designdo como y el resto de ls vribles de estdo siempre precen ordends numéricmente Est form de ordenr ls vribles de estdo se utiliz en tods ls descripciones medinte ls vribles de fse Es necesrio enftizr que dicho orden no es necesrio Ls vribles de estdo se pueden intercmbi, rbitrrimente En este ejercicio por ejemplo o se h designdo como, o como e i como X3 y ls ecuciones de estdo incluyen ls mtrices Control I M C Jime Cid Monjrz

34 Aunque A#, b9 y c9 son diferentes de ls mtrices socids de ls vribles de estdo originlmente seleccionds, l función de trnsferenci no cmbi esto es: Hst el momento sólo se hn considerdo csos en los que el numerdor de Gp(s) es constnte El trtmiento cundo Gp(s) tiene ceros es ligermente diferente, siendo muy precido l cso de ls vribles de fse Pr inicir l discusión, considérense ls dos plnts de tercer orden de ls figurs 5-3 y b (En este cso unque ls funciones de trnsferenci son igules, ls dos figurs no representn l mism plnt) En l figur 5-3 el cero no prece en el primer bloque (el de más l izquierd), y no se tiene dificultd pr escribir ls ecuciones de estdo en l form de l ecución (Ab) Ls ecuciones de estdo se pueden escribir directmente prtir del digrm de bloques como Control I M C Jime Cid Monjrz