Matrices Matriz: Es el ordenamiento rectangular de escalares en filas y columnas, encerradas en un corchete ó paréntesis.

Transcripción

1 Marices Mariz: Es el ordenamieno recangular de escalares en filas y columnas, encerradas en un corchee ó parénesis. Las marices se designan así: æa11 a1 a13 a1 n ö a1 a a3 an a31 a3 a33 a 3n am 1 am am3 a mn Término: ø Ó elemeno de una mariz, es cada uno de los valores. Se escribe a ij, donde i es la fila y j la columna. Orden ó Dimensión: Es el nº de filas y columnas que posee la mariz. Se represena por (m,n), siendo m el nº de filas y n el nº de columnas. æ ö ø Mariz de 3 filas y 4 columnas 3X4 de dimensión. Idénicas: Dos marices son idénicas cuando son iguales érmino a érmino. Recangular: La mariz que iene disino nº de columnas que de filas. Mariz fila ó Vecor fila: Es la mariz recangular de una sola fila. = ( ) Mariz de 1 fila y 5 columnas, dimensión 1X5. Þ Vecores fila. Ése es un vecor fila de dimensión 5. Mariz columna ó Vecor columna: Es la mariz recangular de una sola columna. Vecor columna de dimensión 4 (mariz de dimensión 4X1) Mariz nula: Tiene odos los érminos ceros. æ4ö 1 = 0 3ø Mariz cuadrada: Se suele decir de orden n. Tiene igual nº de filas que de columnas. æ3-1 4 ö ø Dimensión 3X3. Mariz cuadrada. 1

2 æ a a... a , n Diagonales: a1 a... a, n Diagonal principal pasa por a11, a, a33... a nn am 1 am... amn Diagonal secundaria pasa por am,1, a 1, n ø Las recangulares no ienen, salvo las pseudodiagonales: será la mayor que podamos obener en una mariz cuadrada que esé conenida en la mariz recangular. Traza: Es la suma de los elemenos de la diagonal principal de una mariz cuadrada Tr = a11 + a + a amn Mariz Diagonal: Es la mariz cuadrada que sólo iene disinos de cero los elemenos de la æa 0 0ö diagonal principal. = 0 b c ø Mariz escalar: Es la mariz diagonal cuyos érminos son odos iguales enre sí y disinos de æa 0 0ö cero. = 0 a a ø Mariz unidad: æ ö Es la mariz escalar cuyo valor es igual a la unidad: In = ø Mariz opuesa: Se dice que una mariz es la opuesa (-) de una mariz dada (), cuando iene odos los érminos iguales y conrarios en signo. Mariz riangular superior: Toda mariz cuadrada cuyos érminos siuados por debajo de la diagonal æa1 a a3ö principal son ceros. = 0 b b c 3 ø ö

3 Mariz riangular inferior: Toda mariz cuadrada cuyos érminos siuados por encima de la diagonal æa ö b1 b 0 0 principal son nulos. = c1 c c3 0 d1 d d3 d4ø Mariz involua: Toda mariz que muliplicada por sí misma da la mariz unidad: Mariz Idempoene: Toda mariz que muliplicada por sí misma da la misma mariz: Mariz Nihilpoene: Toda mariz que muliplicada por sí misma da la mariz nula: = 0 = In = Marices Equivalenes: Una mariz es equivalene a ora cuando es obenida de la anerior por operaciones elemenales de filas y columnas. Pivoe: Se llama así al érmino que vamos a usar para conseguir ransformar un érmino en cero. Suele ser a 11 = 1 Simérica: Una mariz se llama simérica si cuadrada. =. Para ello, necesariamene ha de ser nisimérica: Una mariz cuadrada se llama anisimérica cuando su opuesa es igual a su ranspuesa. 3

4 Transpuesas: Se llama raspuesa de una mariz, y se designa por, a la mariz que se obiene al cambiar en las filas por las columnas ó las columnas por las filas. mn, = ( aij) nm = ( aji ) æ 3 1ö æ ö = Þ = ø 7-1 8ø ì 1. - é ù = ë û ìla mariz es simérica Û =. - [ + B] = + B Definiciones : íla mariz es anisimérica Û =- Propiedades : í 3. -[ a ] = a î La mariz es orogonal Û = = In. î4. - [ B ] = B Suma de marices: Para que dos marices puedan sumarse es necesario que engan la misma dimensión. En al caso, se suman miembro a miembro. Ejemplo: Propiedades de la suma: Las marices de dimensión mxn pueden sumarse y el resulado es ora mariz mxn. demás la suma cumple las siguienes propiedades. Grupo abeliano: ( aij ) + ( bij ) = ( aij + bij ) æ 3 5 1ö æ4-1 -5ö æ6 7-4ö = ø ø ø 1. sociaiva:( + B) + C= + ( B+ C). Conmuaiva: + B= B+ 3. La mariz O cuyos elemenos son odos ceros = mariz nula, pues sumada a mn cualquier ora la deja igual: + 0= 0+ = a - Pues 4. Toda mariz iene una opuesa. La opuesa de mn = ( ij ) es ( a ij ) ( aij ) + (- aij ) = 0 4

5 Muliplicación: Para muliplicar un número por una mariz se muliplica por él cada érmino de la mariz. Si se deeca en una mariz que odos sus érminos son múliplos de uno dado, ése se podrá sacar como facor común (DE TODOS). Ejemplo 1: ( ij ) = ( kaij ) K a æ 3 5 1ö æ ö = ø ø Propiedades del produco de números por marices: a( b ) 1. - = ab ü. - a+ b = a + b ý 3. - a + B = a + a B = þ Juno con las aneriores nos da M es un espacio mn vecorial respeco a la suma y al produco por números. Produco de marices: El produco de un vecor fila por un vecor columna, ambos de la misma dimensión, es un número que se obiene muliplicándolos érmino a érmino y sumando los resulados. æb1 ö b a a a... a b = a b + a b a b b n ø æ1 1 ö æ 3 5 1ö = ø 4 0 ø 1 3 n n n Número de columnas de la primera iene que ser igual al número de filas de la segunda, (m,n) (n,ñ). Si nó, no se puede = 7 ü =-17ü æ7-17 ö = 33 ýþ =-9 ýþ = þ = þ ø 5

6 Tanas filas como la primera, y anas columnas como la segunda. Los vecores fila de la primera son de la misma dimensión que los vecores columna de la segunda. El produco es una mariz con anas filas como la primera y anas columnas como la segunda. El elemeno c de la mariz produco se obiene muliplicando la primera fila de 11 por la primera columna de B. nálogamene, c se obiene muliplicando la ercera fila de por la segunda 3 columna de B. Imporane Þ B ¹ B Propiedades del produco de marices: sociaiva:( mn xbnp ) xcpq = mn x( Bnp xcpq ) Ejemplo: æ1ö æ1 3ö æ ö 6 = 1 ; B ; C = = ø ø 7ø xb xc = x BxC æ1ö æ1 3ö æ 5 1 1ö æ03ö æ ö Þ - = 0 4 ø ø ø ø 7ø ì + B C = C + BC Disribuiba Þ í Cuidado con el orden. î ( B+ C) = B + C ìi = Elemeno Neuro Þ Es la mariz unidad Þí îi = Poencia de Marices: Para elevar una mariz a una poencia, se deberá muliplicar por sí misma anas n veces como indique el exponene. =... n 6

7 Ejemplo1: æ1 1 1 ö 7 7 Sea = ø æ1 1 1 öæ1 1 1 ö æ1 ö = = ø ø ø æ1 öæ1 1 1 ö æ1 3 3 ö æ1 n n ö n = = = Þ = Imporane elorden ø ø ø ø Ejemplo : æ0 1ö 000 = 1 0 Calculemos ø æ öæ ö æ ö = 1 0 I 1 0 = 0 1 Þ ø ø ø æ1 0öæ0 1ö æ0 1ö ø ø ø 3 = = = Þ 4 Þ I ü ì000 º repeiciones Se repee cada. Divi dim os 5 ý Þ Þ í Þ þ î De reso hay dos posibilidades ì í ü ý Þ Con 0 Þ = = I î1 þ Operaciones elemenales: 1. Cambiar enre sí dos filas (o dos columnas). Lo de columnas, si se hace en sisemas de ecuaciones lineales, hay que ener presene que la incógnia ambién se arrasra y cambia de columna.. Muliplicar una fila (o columna) por un número disino de cero. 3. Sumar a una fila (o columna) ora muliplicada por un número. 4. Eliminar (o añadir) una fila (o columna) cuyos elemenos son odos ceros. (Todas las rasposiciones son reversibles). 5. Dos marices son equivalenes y se escribe B, si se puede pasar de una a ora mediane un número finio de rasposiciones elemenales. 7

8 El deerminane de la mariz es Deerminanes Menor: Se llama menor de una mariz, al deerminane obenido con los érminos que se hallan en las inersecciones de deerminadas filas y columnas elegidas. Menor Complemenario: Se llama menor complemenario al que resula de eliminar las filas y columnas del menor elegido. æ ö ì Menor Þ M = Dada la mariz = Þí Menor Complemenario Þ Mc = ø î El menor complemenario de un érmino cualquiera será el que resule de eliminar la fila y la columna correspondiene al ciado valor sí, el Mc del valor a3 = 8será djuno: El adjuno de un deerminane cualquiera es su menor complemenario afecado del correspondiene signo, según la paridad de la suma de los subíndices de filas y columnas. Posiivo si es par, y negaivo si es impar Þ dj = (- ) En sí el signo es dj ( a3) = dj ( 8) = (- 1 ) Mc = (-1) ij i+ j 1 Mc 8

9 Cálculo de Deerminanes: Para calcularlos, hay dos maneras y dependiendo del amaño de la mariz usaremos una u ora. a) Si el orden es pequeño, ( ó 3), enonces Regla de Sarrus. b) Si el orden es mayor, hay que desarrollar por los elemenos de una fila o columna en la que previamene se han hecho ceros excepo en uno. c) Por riangulación. a) Regla de Sarrus: El valor del deerminane es la suma de los producos de los érminos posiivos menos la suma de los producos de los érminos negaivos. Sigue las curvas. 1 4 = ( 1)( 3) + ( -1)( 3) + ( 5)( 4) ( 4)( 3) + ( 1) + = - - éë ûù = 9 b) Para desarrollar un deerminane por los elemenos de una fila o columna cualquiera, se sumarán dichos elemenos muliplicados por sus respecivos adjunos. a b c d a b c d = = a1 dj a1 - adj a + a3 dj a3 -a4 dj a4 a3 b3 c3 d3 a b c d Fíjaeen la regla delos signos. Es el Méodo general para la resolución de deerminanes. Elegir una fila o columna que enga más ceros, ó un uno de pivoe. Hacemos ceros los elemenos de esa fila o columna. Desarrollamos el deerminane con esa fila o columna, y repeiremos la operación hasa poder aplicar Sarrus = = = ( cuidado con los signos) c) Resolución de un deerminane por riangulación: Una vez riangulado la mariz, el deerminane es el produco de los elemenos de la diagonal principal dividido por los valores que se han muliplicado alguna fila o columna y no se han sumado con oras. 9

10 Propiedades de los deerminanes: Si en un deerminane se cambian de lugar dos filas o dos columnas, el deerminane queda cambiando de signo. a b c a b c d e f =- g h i g h i d e f Si en un se muliplica o se divide cualquier fila o columna por un escalar k, el deerminane queda muliplicado por dicha consane. Para que eso no cambie, se muliplicará por el inverso de k. a d g a d g 1 k b e h = kb ke kh k c f i c f i Si se deeca una fila o columna múliplo de un número, se puede sacar como facor común. Una mariz y su raspuesa iene el mismo deerminane = Si un deerminane iene una fila o columna de ceros Þ = 0 Si un deerminane iene dos filas o dos columnas iguales Þ = 0 Si un deerminane iene dos filas o columnas proporcionales Þ = 0 Si en un deerminane una fila o columna se encuenra expresada como suma de dos érminos, ése podrá ser descompueso en suma de dos deerminanes de la a+ d i d a i d d i d siguiene manera: = b+ e m e = b m e + e m e c+ f n f c n f f n f Si un deerminane iene dos filas o columnas paralelas que son combinación a+ d a d lineal de una ercera Þ = b+ e b e = 0 c+ f c f Un deerminane no varía si se suma a una fila o columna ora muliplicada por un número. (esa sería la ercera regla) El deerminane de un produco de marices y B, es el produco de los Þ B = B pero + B ¹ + B deerminanes El produco de un escalar k por una mariz de la que obenemos su deerminane, será el produco de dicho deerminane muliplicado por el escalar elevado al orden n del deerminane. k = k n La suma de los producos de los érminos de una fila o columna por los adjunos de una paralela, da resulado nulo. 10

11 Marices II Rango de una mariz: Se define rango de una mariz, y se denoa por rg ( ) de la siguiene manera: ì Si = 0Þ rg = 0 í î Si ¹ 0 Þ rg = n Û In. Dos consecuencias: = ì rg = rg B Û B í î rg rg o bien Es el mayor número de vecores fila o columna linealmene independienes. Es el mayor menor no nulo. Es el orden del mayor deerminane disino de cero que se puede enconrar en el inerior de una mariz. Rg = Rg El rango por filas e igual al de columnas. Es decir: El rango es el mismo con independencia del méodo que se use para su cálculo. Cálculo del Rango: 1. Por riangulación: en marices cuadradas o por medio del mayor riángulo de ceros para marices recangulares. Eliminando las filas o columnas que se hacen cero, el nº de ellas que queden, será el rango. Es el nº de elemenos disinos de cero de la diagonal principal. æ ö Þ Rg = ø. Mediane Deerminanes (menos úil) El mayor deerminane que se puede enconrar con las filas y columnas de la mariz deerminada será el Rango. 11

12 Mariz Inversa: Una mariz cuadrada de orden n se dice que es inversible, cuando exise ora 1 mariz cuadrada del mismo orden denominada - con la que cumplen: - = In - = In Mariz Singular: Mariz cuadrada que no iene inversa Þ = 0 Mariz Regular: Mariz cuadrada que iene inversa Þ ¹ 0 Cálculo de Inversa: Méodo de Gauss-Jordan Se siúa la mariz unidad al lado de la que se quiere inverir æ ö Transformar en cero los naranjas y luego los verdes ø Siempre primerolos dela izquierda y luegolos dela derecha. Es decir : primero el y 5. Luego el 3. Luego el 3 y finalmene el 7 y el1. Con operaciones elemenales de fila se riangula inferiormene la mariz. Con operaciones elemenales de fila, se riangula superiormene la mariz. Se divide la mariz que esamos operando por los valores de la diagonal de lo que queda de. Cada fila por su fracción. No se pueden cambiar columnas. Por medio de la Mariz djuna Realizándolos en cualquier orden, hay que hacer: ì1. - La djuna ü dj ( ) í. -Se ranspone ýþ 3. -Se muliplica por inverso del deerminane î þ Sólo es úil para marices de orden menor que 4. Para mayores, Gauss. 1

13 Propiedades de la Inversa: La mariz es única B = B Fíjae La inversa del produco es el produco de sus inversas que el orden esá inverido La inversa de la mariz inversa de es 1 Deerminane de una mariz inversa Þ = Si la mariz es recangular, podemos hacer - 1 D = Þ D = I Þ = -1 1 Siendo D la mariz que muliplicado por, sale I. Para que una mariz enga inversa, siempre ¹ 0 Mariz Orogonal: 1 Es la mariz cuya inversa coincide con la ranspuesa = - ì+ 1 mariz orogonal direca Si el deerminane de la mariz orogonal es í Þ î - 1 Þ mariz orogonal inversa Ecuaciones Mariciales: Para despejar ó pasar dividiendo, siempre se hace muliplicando por la inversa a los dos lados del igual y maneniendo el orden de muliplicación. B C = D; Despeja B : BCC = DC In In Luego B = D C

14 Sisemas de Ecuaciones Lineales ì Compaible Sisemas Þ í îincompaible iene solución noiene solución ì Sisema Compaible Deer min ado í î Sisema Compaible In de er min ado SoluciónÚnica Infinias Soluciones Para sisemas de ecuaciones y incógnias, usamos Todos los sisemas son expresados como marices: a b... e æ x ö æd ö 1 æ m ö y D a1 b... e m z 3 = D Þ X = D a a... a n1 n nmø D ø n ø Mariz decoeficienes Vecor de Vecor de Incógnias Tér minos Independienes ìigualación ísusiución îre ducción æa11 b1 c13... e1 m D1 ö a b c... e D 1 3 m a31 b3 c33... e3m D an1 bn cn3... enm D n ø Es la Mariz decoeficienes mpliada Si el vecor de érminos Independienes es odo ceros, produce siempre una Solución Trivial x=y=z= ==0 Gauss: Consise en riangular la mariz de coeficienes ampliada con el vecor de érminos independienes, mediane operaciones elemenales de fila. Recuerda que si cambias columnas, arrasras incógnias. æa1 b1 c1 d1 e1 ö 0 b c d e 0 0 c3 d3 e d4 e4 ø CompaibleDeerminado Los planos secor an enun sólo puno. Una sola solución æa1 b1 c1 d1 e1 ö 0 b c d e 0 0 c3 d3 e e4 ø Incompaible Noiene solución. Los planos no secor an en ningún siiocomún æa1 b1 c1 d1 e1 ö Tieneinf inias soluciones z 0 b c d e ì = l Þ ísi quedan ecuaciones Þ Se cor an en una reca 0 0 c3 d3 e3 Si queda1ecuación Þ Se cor an en un plano î 0 0 ø CompaibleIndeerminado En funciónde z= l 14

15 Rouché-Fröbenius: Discue la posible compaibilidad de un sisema. Sea nuesra mariz de coeficienes, y * la mariz de coeficienes ampliada. ìcompaible Û Rg = Rg * Incompaible Û Rg < Rg * í Compaible Deer min ado Û nº incógnias = Rg î Compaible Inde er min ado Û nº incógnias > Rg Cramer: Resolución de sisemas por medio de deerminanes. æa1 b1 c1ö æa1 b1 c1 e1ö Sea la mariz = a b c y la mariz ampliada * a b c e = a3 b3 c 3 a3 b3 c3 e ø 3ø Sean, x y y z las marices resulanes de cambiar las x por los érminos æe1 b1 c1ö independienes: x = e b c, las y por los érminos independienes e3 b3 c 3ø æa1 e1 c1ö æa1 b1 e1ö y = a e c y las z por los érminos independienes z = a b e a3 e3 c 3ø a3 b3 e 3ø respecivamene. ì x x = y Tenemos que: í y = Siempre con ¹ 0 z z = î 15

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