Introducción a la teoría de conjuntos

Transcripción

1 Introducción a la teoría de conjuntos Por: Alejandra Cruz Bernal Figura 1. Multi Colored Robots In Various Poses Stock Image (Habbick & Freedigitalphotos.net, 2012). Cuando hacemos mención de la palabra conjunto tendemos a realizar una asociación con agrupamientos, de cualquier índole. Un conjunto siempre es representado por letras mayúsculas, mientras que sus elementos (miembros del conjunto) son representados por letras minúsculas. Por ejemplo, si el conjunto A son algunas frutas consideradas como tropicales, lo representaremos de la siguiente forma: {Frutas tropicales} Descripción verbal {piña, mango, plátano} Extensión o numeración (se escribe el elemento y es separado por una coma). {x x es una fruta tropical} Compresión de conjuntos (se lee: el conjunto de toda x tal que x es una fruta tropical). Representación mediante diagrama de Venn (es una representación esquematizada): Frutas piña plátano mango Figura 2. Ejemplo de diagrama de Venn. 1

2 Como podemos observar en los ejemplos anteriores, cualquiera de las formas de representación, se encuentra encerrada entre { }. Pero, qué sucede cuando no existe un conjunto que no contiene elementos? Por ejemplo, el conjunto B contiene todas las frutas tropicales que se cultivan en las arenas del desierto. Cuando tenemos este tipo de conjuntos, se les llama conjuntos vacíos y puede ser representado por: Ø o bien por { }. Pero si el conjunto C tiene como un único elemento al conjunto vacío, entonces tendremos la siguiente representación: C= {Ø}. Por lo que el número de elementos del conjunto C será 1. Se conoce como cardinalidad de un conjunto, al número de elementos contenido en el mismo. Se simboliza mediante η o #. Si el conjunto vacío es numerado en el conjunto, se cuenta como un elemento del mismo. Un conjunto se denomina conjunto finito si su cardinalidad es conocida. Por ejemplo, el conjunto A tiene una cardinalidad igual a 3: η(a)= 3. Un conjunto se denomina conjunto infinito si su cardinalidad es desconocida. Por ejemplo, el conjunto E contiene todos los números pares positivos: η (E)= (infinito o desconocida). Si consideramos a los días de la semana como el conjunto A y a los meses del año como el conjunto B, tendremos que el lunes será por lo tanto un elemento que pertenece A, pero que no pertenece a B. 2

3 La pertenencia se simboliza mediante: La no pertenencia se simboliza mediante: Lunes A, pero lunes B. Reflexionando un poco más sobre el ejemplo anterior, podemos observar que los días son elementos que pertenecen a la semana, las semanas son elementos que pertenecen a los meses, los meses son elementos que pertenecen al año, y así sucesivamente. Regresemos nuevamente con nuestro primer conjunto A, el de las frutas tropicales. Ahora tenemos al conjunto B que contiene algunas frutas con las que se puede hacer jugo. Entonces, definiremos a B como: B= {naranja, piña, mango, toronja, fresa}. Como podemos observar, existen algunos elementos que se encuentran tanto en el conjunto A, como en el conjunto B. Ahora bien, si tenemos un conjunto C que son frutas de cascara amarilla y lo definimos con: C= {mango, plátano}. Tendremos que todos los elementos del conjunto C los podemos encontrar también en el conjunto A. Subconjunto Se dice que un conjunto C es subconjunto de A, cuando todos los elementos de dicho conjunto, se encuentran contenidos en este último. Su representación simbólica es: C A Esto puede suceder, aun cuando A no esté contenido en C. A C 3

4 Podemos hacer una ejemplificación de lo anterior mediante diagramas de Venn. Ejemplos de representaciones en diagramas de Venn: U= Frutas B A B D A A B B A D B B D C C A B A Figura 3. Diversas representaciones de subconjuntos en diagramas de Venn. Conjuntos especiales En la figura 3, podemos observar las diferentes representaciones que se pueden tener de los conjuntos mediante diagramas de Venn. Todas las representaciones se encuentran contenidas en el rectángulo que se llama ʻFrutasʼ (incluso el conjunto D que no tiene nada que ver con los otros conjuntos). Por esta razón, al conjunto ʻFrutasʼ se le denomina conjunto universal. En diagramas de Venn, el conjunto universal siempre se representa mediante un rectángulo y se expresa con la letra U. En el segundo diagrama de la figura 3, tenemos dos conjuntos con el mismo número de elementos, es decir, con la misma cardinalidad: η (B)= η (D) = 5. A estos se les conoce como conjuntos equivalentes. Su particularidad es que los elementos de cada conjunto son diferentes. Cuando la cardinalidad en un conjunto es la misma y sus elementos también lo son, los conjuntos se llaman conjuntos iguales; de lo contrario, se denominan conjuntos desiguales. 4

5 Operaciones entre conjuntos Las tres operaciones básicas entre conjuntos son: Unión. Se representa mediante A B. Como su mismo nombre lo indica, significa que se fusionan tanto los elementos de conjunto A, como los del conjunto B. A B= {mango, piña, plátano, toronja, naranja, fresa} Como se puede observar, cuando se enumeran los elementos, se escriben una sola vez los elementos que se repiten. Figura 4. Representación de la unión de conjuntos en diagramas de Venn. Intersección. Se representa como A B. En esta operación se consideran solamente a los elementos que se repiten en los conjuntos. A B = {mango, piña} Figura 5. Representación de la intersección de conjuntos en diagramas de Venn. Cuando dos conjuntos no presentan una intersección, como es el caso del segundo diagrama de la figura 3, se les conoce como conjuntos disjuntos A B = { }. Cuál sería la η(a B)? 5

6 Complemento. Cuando hacemos referencia al complemento de un conjunto, consideramos que son todos los elementos que no se encuentran contenidos en él. Por lo tanto, el complemento de cualquier conjunto, siempre será el conjunto U (universo). El complemento se representa mediante: Aʼ= U. El complemento del Conjunto Universo U es el conjunto vacío { }, y viceversa. Ejemplo: Solución de un problema mediante la representación en diagramas de Venn En una pequeña población viven 120 familias. Se sabe que 70 de ellas tienen animales de granja, que 30 tienen parcelas para sembrar y que 17 poseen ambas cosas. Se desea conocer: a) Cuántas familias tienen exclusivamente animales de granja? b) Cuántas familias tienen exclusivamente parcelas? c) Cuántas familias tienen ambas cosas? d) Cuántas familias no poseen ni animales de granja ni parcelas para sembrar? Solución Identifica sus datos por su cardinalidad Número de familias Conjunto Universal : η U = 120 Número de familias con animales de granja A: η A = 70 Número de familias con parcelas A: η A = 30 Número de familias con ambas cosas parcelas A B: η A B = 17 6

7 Figura 6. Representación del problema en diagramas de Venn. a) El número de familias que exclusivamente tiene animales de granja: η A η A B = = 53 b) El número de familias que exclusivamente tiene parcelas: η B η A B = = 13 c) El número de familias que son propietarias de una u otra cosa: η A B = η A + η B η A B = = 83 d) El número de familias que no son propietarias de ninguna cosa: η A B! = η U η A B = = 37 Referencia de la imagen Habbick V. & Freedigitalphotos.net (2013). Multi Colored Robots In Various Poses Stock Image. Recuperada de Multi_Colored_Robots_In_Various_Poses_p73278.html (Imagen publicada bajo licencia Royalty Free, de acuerdo a: 7