MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE # 4

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1 MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE # 4 NOCIONES SOBRE CONJUNTOS Un conjunto es una colección de objetos, llamados elementos del conjunto. Un conjunto puede describirse: Por extensión: haciendo una lista explícita de sus elementos, separados por comas y encerrados entre llaves, o Por comprensión: dando la condición o condiciones que cumplen los elementos del conjunto. El conjunto A cuyos elementos son los números naturales menores que 5 puede escribirse así: A = f1; 2; 3; 4g o A = fx 2 N=1 x 4g: Si un conjunto no tiene elementos se llama conjunto vacío y se denota por ; ó f g. Si un conjunto es vacío o su número de elementos es un número natural, se dice que el conjunto es nito. Si un conjunto no es nito, se dice que es in nito. Ejemplos: Sea A = fx 2 N=x + 1 = 0g La proposición "8x 2 N, x + 1 = 0" es falsa. Luego, A = ;. Sea A = fx 2 N=x < 4g: Claramente, A tiene 3 elementos: A = f1; 2; 3g. Luego, A es nito. Sea A = fx 2 R=0 6 x 6 1g: A es in nito ya que no podemos asignar un número natural para su número de elementos. Si A es un conjunto, decimos que a pertenece a A y escribimos a 2 A si a es un elemento de A. En caso contrario decimos que a no pertenece a A y escribimos a =2 A. En el último ejemplo, 1 2 A y 5 =2 A. Si A y B son conjuntos, decimos que A es subconjunto de B y escribimos A B si todo elemento de A es también elemento de B. A B Sea: A = fa; e; i; o; ug y B = fx=x es una letra del abecedariog. 1

2 A B, pero B no es subconjunto de A y escribimos B * A. Propiedades: Si A, B y C son conjuntos, a) ; A. b) A A. c) Si A B y B C entonces A C. Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A B y B A. Es decir, A = B si y sólo si todo elemento de A está en B y todo elemento de B está en A. Sean A = fvocales de la palabra mundog y B = fu, og; entonces A = B. Sean A = f1, 3, 7g y B = f1; 3; 7; 1g; entonces A = B. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. Unión Sean A y B dos conjuntos. De nimos la unión de A y B, denotada A [ B, como el conjunto A [ B = fx=x 2 A o x 2 Bg : A [ B Sean: A = f1; 3; 5; 7; 9g; B = f0; 3; 6; 9; 12g. Entonces, A [ B = f0; 1; 3; 5; 6; 7; 9; 12g. 2. Intersección Sean A y B dos conjuntos. De nimos la intersección de A y B, denotada A \ B, como el conjunto A \ B = fx=x 2 A y x 2 Bg : A \ B 2

3 Sean: A = fx 2 R=0 6 x 6 2g; B = fx 2 R=1 6 x 6 3g. Entonces, A \ B = fx 2 R=1 6 x 6 2g: Propiedades de la Unión y de la Intersección Sean A, B y C conjuntos. A [ A = A A \ A = A A [ ; = A A \ ; = ; A (A [ B); B (A [ B) (A \ B) A, (A \ B) B A [ B = B [ A A \ B = B \ A A [ (B [ C) = (A [ B) [ C A \ (B \ C) = (A \ B) \ C A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) Tarea Sombree las regiones correspondientes a los conjuntos dados para ilustrar las últimas dos propiedades: A [ (B \ C) (A [ B) \ (A [ C) A \ (B [ C) (A \ B) [ (A \ C) 3

4 3. Complemento Si U es un conjunto universal y A es un subconjunto de U, de nimos el complemento de A, denotado A 0 como el conjunto, A 0 = fx 2 U=x =2 Ag : Si U = fa; b; c; d; e; f; g; hg y A = fc; f; hg, entonces A 0 = fa; b; d; e; gg. Propiedades del Complemento Sean A y B conjuntos. a) (A 0 ) 0 = A b) A [ A 0 = U c) A \ A 0 = ; d) (A [ B) 0 = A 0 \ B 0 e) (A \ B) 0 = (A 0 [ B 0 ) Nota: Las dos últimas propiedades son conocidas como las "Leyes de De Morgan". Tarea Sombree las regiones correspondientes a los conjuntos dados para ilustrar las Leyes de De Morgan: A 0 (A [ B) 0 A 0 \ B 0 (A \ B) 0 A 0 [ B 0 4

5 4. Diferencia Sean A y B dos conjuntos. De nimos la diferencia de A y B, denotada A B, como A B = fx=x 2 A y x =2 Bg : A B Sean: A = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7g; B = f1; 4; 6; 7g. Entonces, A B = f0; 2; 3; 5g. Propiedades de la Diferencia Sean A y B conjuntos. a) A B = A \ B 0 b) A B 6= B A c) A A = ; d) A ; = A e) U A = A 0 Sistemas Numéricos Los números naturales son: 1; 2; 3; 4; ::: Representamos por N al conjunto de todos lo números naturales, es decir, N = f1; 2; 3; 4; :::g: Los números enteros están formados por los números naturales junto con los números negativos y el 0. Denotamos por Z al conjunto de los números enteros: Z = f:::; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; :::g: Algunas veces, se acostumbra escribir Z + = N. El conjunto de los números racionales se obtiene al formar cocientes de números enteros. conjunto lo denotamos por Q. Luego, r 2 Q si y sólo si r = p, con p; q 2 Z; q 6= 0. q Este Números como 3 5 ; 7 4 ; 0 = 0 1 ; 2 = 2 1 ; 0:1 = 1 10 son ejemplos de números racionales. Recordar que no es posible dividir por cero, por tanto, expresiones como 3 0 ó 0 0 no están de nidas! Existen números que no pueden expresarse en la forma p con p; q 2 Z; q 6= 0. Estos números se q denominan irracionales, denotados por I. Es posible probar que números como p 2; p 3; p 5; e; pertenecen al conjunto I. 5

6 El conjunto de lo números reales se representa por R y consta de la unión de los racionales y los irracionales, es decir, R = Q [ I. Todos los números reales tienen una represenación decimal. Si el número es racional, entonces, su decimal correspondiente es periódico. Por ejemplo 1 2 = 0:5000::: = 0:50; = 0:3333::: = 0:3; = 0: ::: = 0:317; 9 = 1: ::: = 1: La barra signi ca que la sucesión de cifras se repite inde nidamente. Si el número es irracional, la representación decimal no es periódica, por ejemplo p 2 = 1: :::; e = 2: ::::. En la práctica, se acostumbra aproximar un número irracional por medio de uno racional. por ejemplo p 2 1:4142; e 2:71828; 3: