FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 8. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 8. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- Discusión de sistemas lineales: Teorema de Rouché-Fröbenius. En este apartado trataremos la discusión de sistemas de ecuaciones lineales utilizando el teorema de Rouché-Fröbenius. Por lo tanto, dado un sistema como el que sigue debemos calcular los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada. Definimos con Derive la matriz de coeficientes a:=[2,1,0,-1,-4;3,-1,2,0,-5;2,-3,1,-1,0;1,-2,3,0,0] y calculamos su rango rank(a) que es igual a cuatro. Como el rango de la matriz de coeficientes es el máximo posible, podríamos acabar aquí la discusión ya que la matriz ampliada siempre tiene rango mayor o igual que la de coeficientes, por lo que el rango de la matriz ampliada debe ser también cuatro. En consecuencia, el sistema es compatible indeterminado. Para editar la matriz ampliada, podemos utilizar el comando append_columns visto en la práctica anterior: am:=append_columns[a,[4;10;5;3]]. Otra posibilidad para editar las dos matrices es escribir primero la matriz ampliada am:=[2,1,0,-1,-4,4;3,-1,2,0,-5,10;2,-3,1,-1,0,5;1,-2,3,0,0,3] y, después eliminar la última columna de am para obtener la matriz de coeficientes a:=delete_elements(am`,6)`. Ejercicio 1.- Discutir los sistemas de ecuaciones lineales: Puesto que estamos usando el comando rank, todo funciona bien si no tenemos parámetros en el sistema. En cuanto aparezcan parámetros, lo hecho anteriormente no sirve como se vio en la práctica anterior. Qué podemos hacer? Naturalmente, aplicar el algoritmo de Gauss para escalonar la matriz ampliada. 1

2 Ejercicio 2.- Discutir, en función de los parámetros y el sistema de ecuaciones lineales: Escribiendo en la línea de entrada b:=[1,1,0,1;1,0,-1,2;2,0,t,0;0,1,-k,-1] y simplificando, definimos como b la matriz ampliada del sistema b:= Para hacer ceros por debajo del elemento (1,1) de b, hacemos b1:=pivot(b,1,1), obteniendo b1:= El proceso de escalonamiento continúa haciendo ceros por debajo del elemento (2,2) de b1, por lo que introducimos en la línea de entrada y simplificamos b2:=pivot(b1,2,2). Se obtiene: b2:= Llegados a este punto, podemos discutir el sistema. Si, el sistema es incompatible (una de las ecuaciones sería ). Si y, el rango de la matriz ampliada y el rango de la matriz de coeficientes son iguales e iguales al número de incógnitas, luego el sistema es compatible y determinado. Finalmente, si y, el rango de la matriz de coeficientes es tres y el de la ampliada cuatro, por lo que el sistema es incompatible. 2

3 Ejercicio 3.- Estudiar, según los valores de los parámetros y, los sistemas de ecuaciones lineales: Resolución de sistemas con row_reduce Una primera opción para resolver sistemas de ecuaciones lineales es usar el comando row_reduce: Ejercicio 7.- Resolver el sistema Este sistema ya lo hemos discutido. Es un sistema compatible indeterminado. Resolvámoslo usando row_reduce: Definimos la matriz ampliada am:=[2,1,0,-1,-4,4;3,-1,2,0,-5,10;2,-3,1,-1,0,5;1,-2,3,0,0,3] y le aplicamos la reducción por filas row_reduce(am). Se obtiene:

4 Dicho de otro modo, el sistema inicial se ha transformado en el sistema equivalente: ; 8 23 ; 9 23 ; cuya solución en forma paramétrica es: , ; ; Ejercicio 8.- Resolver, usando row_reduce, los sistemas Resolución de sistemas usando solve Si queremos resolver un sistema de ecuaciones lineales con solve, debemos escribir en la línea de entrada solve(,,,,,,, donde,,, son las ecuaciones y,,, las variables con respecto a las cuales queremos resolver el sistema. Ejercicio 9.- Resolver el sistema Escribiendo solve([2x +y-t-4u=4, 3x-y+2z-5u = 13,x+3y+z-t-6u = 7,x+2y-3z-2t-2u = -7], [x, y, z, t, u]) y simplificando, se obtiene como respuesta [3 x - t = -3 3 y - t = -6 3 z + t = 6 u = -2] que es un sistema equivalente al inicial cuya solución es: 1, 2, =2+,, 2 Hay que tener en cuenta que la elección de las variables con respecto a las cuales se quiere resolver el sistema puede determinar que las respuesta de Derive sean aparentemente contradictorias. Si escribimos solve([2x +y-t-4u=4, 3x-y+2z-5u = 13,x+3y+z-t-6u = 7,x+2y- 3z-2t-2u = -7], [x, y, z, t]), la respuesta que nos da Derive es [ ] 4

5 Esto no quiere decir que no haya solución del sistema, sino que no puede expresarse en función de u, cosa lógica ya que si miramos a la solución dada anteriormente, vemos que u queda determinada por el sistema. Si ahora escribimos solve([2x +y-t-4u=4, 3x-y+2z-5u = 13,x+3y+z-t-6u = 7,x+2y-3z-2t-2u = -7], [x, y, z, u]); es decir, si queremos las soluciones en función de t, obtenemos la misma respuesta que con solve([2x +y-t-4u=4, 3x-y+2z-5u = 13,x+3y+z-t-6u = 7,x+2y-3z-2t-2u = -7], [x, y, z, t, u]). Ejercicio 10.- Resolver, usando solve, los sistemas Resolución mediante el algoritmo de Gauss Si queremos resolver un sistema de ecuaciones lineales con parámetros, las opciones vistas anteriormente no sirven. Por ejemplo, si pedimos a Derive que resuelva el sistema usando el comando solve la respuesta de Derive es 2 Esta solución sólo puede ser correcta si 2. Además, es claro que el sistema es indeterminado si 1 (en este caso, las tres ecuaciones son la misma). Para resolver los problemas de este tipo podemos utilizar los comandos vistos en la práctica 8. Construimos la matriz ampliada y la escalonamos. Primero definimos la matriz ampliada am:=[r,1,1,r;1,r,1,r;1,1,r,r] Como no podemos utilizar el parámetro como pivote, intercambiamos las filas primera y tercera am1:=swap_elements(am,1,3). Así Ahora, hacemos ceros por debajo del lugar (1,1) de 1: am2:=pivot(am1,1,1). Simplificando, se llega a 5

6 Con una orden más, am3:=subtract_elements(am2,3,2,-1), llegamos a la matriz escalonada por filas Como las raíces de 2 son 2 1, en el caso de que 1, 2, el sistema tiene una única solución que es la dada por Derive usando solve. Si 2, la matriz 3 es (hacer subst(am3,r=-2)) es decir, en el caso 2, el sistema dado es equivalente al sistema que, obviamente, es incompatible. Finalmente, si 1, el sistema dado es 1 cuyas soluciones son 1,0,0 1,1,0, 1,0,1. Si se quieren las soluciones en forma paramétrica podría haberse optado por utilizar solve([x+y+z=1],[x]). De esta forma se obtiene 1 Ejercicio 11.- Discutir en función de los parámetros y resolver, cuando sea posible, los sistemas: