Manejo de las tablas

Transcripción

1 Manejo de las tablas Pedro González enero de 008 Las tablas descargadas corresponden a las siguientes funciones de distribución, cuyas definiciones y propiedades más importantes se muestran a continuación.. Distribución normal.. Definición Sean µ y σ números reales, σ > 0. La variable aleatoria X cuya función de densidad f es: f(x) = σ (x µ) π e σ, x R se llama una normal de parámetros µ, σ, y se designa como X = N (µ, σ). Se designa por E [X], E [Y ],... (resp. Var [X], Var [Y ],... ) la esperanza (resp. varianza) de la variable aleatoria X, Y,.... Se demuestra fácilmente que si X = N (µ, σ), entonces: E [X] = µ, Var [X] = σ La función de distribución F µ,σ de X, es por definición:.. Propiedades Se tiene el siguiente F µ,σ (x) = P [X x] = x f(t) dt Teorema Si a, b son números reales cualesquiera, con a 0 y X = N (µ, σ), entonces: En particular, tomando a = σ, b = µ σ ax + b = N (aµ + b, a σ) () en (), es: X µ σ = N (0, ) () En otras palabras, mediante una traslación y un cambio de escala, cualquier normal X puede convertirse en una N (0, ). La fórmula () se llama tipificación de la variable X. La función de distribución F 0, de una N (0, ) se acostumbra a representar como Φ(x), y por tanto: Φ(x) = P [X x] = x π exp ( t ) dt

2 Esta integral no puede hacerse por métodos elementales, salvo para algunos valores particulares de la x, razón por la cual está tabulada. Las siguientes propiedades es necesario conocerlas y memorizarlas: ( ) x µ. Si X = N (µ, σ) = P [X x] = Φ. σ ( ) ( b µ a µ. Si X = N (µ, σ) = P [a < X < b] = Φ Φ σ σ 3. Φ( x) = Φ(x), para todo x R, luego la N (0, ) sólo debe tabularse para valores x 0. En particular, tomando x = 0 en la expresión anterior: ). Φ(0) = Φ(0) = Φ(0) = 4. Φ(x) Φ( x) = Φ(x). 5. Adición de normales. Si X = N (µ, σ ), Y = N (µ, σ ), X e Y independientes, entonces: ( ) X ± Y = N µ ± µ, σ + σ.3. Manejo de la tabla Dado x, hallar Φ(x). Si x se encuentra en la tabla, se lee el correspondiente valor en la intersección de la fila y columna (unidades y décimas en la columna y centésimas en la fila superior). Por ejemplo: Φ(.5) = Φ(3) = Φ(3.00) = Φ(0.8) = Φ( 3.45) = Φ(3.45) = = Si x no se encuentra en la tabla, debe utilizar la fórmula de la interpolación lineal. En concreto, dada una función f definida en un intervalo [a, b], tomamos: f(x) f(a) + f(b) f(a) (x a) (3) b a Calculemos, por ejemplo Φ(.367). Acotamos x =.367 entre los dos valores más cercanos en la tabla, por defecto y exceso, en concreto: Utilizando (3) con estos datos, obtenemos: Φ(.367) = a =.36, Φ(a) = b =.37, Φ(b) = ( ) =

3 Al revés, dado p, tal que 0 < p <, hallar x tal que Φ(x) = p. En otras palabras, resolver la ecuación Φ(x) = p. Como la función Φ es creciente, es sencillo encontrar p en la tabla. Si la coincidencia es exacta, se mira el lugar en que se encuentra y ése valor es x. Por ejemplo: Φ(x) = En éste caso, resulta x =.96. Si no fuera así, hay que volver a utilizar (3). Por ejemplo, hallar x sabiendo que Φ(x) = En éste caso: a =.3, Φ(a) = y, de aquí: 0.99 = b =.33, Φ(b) = (x.3) = x = Veamos otro ejemplo. Resolver Φ(x) = 0.3. Como los valores de Φ comienzan en 0.5, es evidente que x < 0. Así: Entonces: y, de aquí: Φ( x) = Φ(x) = 0.3 = 0.7. Si hacemos u = x = Φ(u) = = a = 0.5, Φ(a) = b = 0.53, Φ(b) = (u 0.5) = u = = x = Veamos un último ejemplo. Si X = N (0, 5), hallar P [X ]. Utilizando las propiedades, tenemos: ( ) 0 P [X ] = Φ = Φ(0.4) = Cálculos con Maple Si dispone de Maple, entonces no necesita ni tablas ni interpolación. Veamos los ejemplos descritos utilizando dicho programa. En primer lugar cargue el paquete stats: > with(stats); [anova, describe, fit, importdata, random, statevalf, statplots, transform] > statevalf[cdf,normald](.5); > statevalf[cdf,normald](3); > statevalf[cdf,normald](0.8);

4 > statevalf[cdf,normald](-3.45); > statevalf[cdf,normald](.367); > statevalf[icdf,normald](0.975); > statevalf[icdf,normald](0.99); > statevalf[icdf,normald](0.3); > statevalf[cdf,normald[0,5]](); Distribución chi-cuadrado.. Definición Sean Z, Z,..., Z n variables aleatorias independientes, cada una de ellas N (0, ). La variable aleatoria χ n = Z + Z + + Z n se llama chi-cuadrado con n grados de libertad. La función de distribución de la variable χ n se denota por X n, y por consiguiente:.. Propiedades E [χ n] = n, Var [χ n] = n. X n (x) = P [ χ n x ] (4) Si U = χ n y V = χ m, con U y V independientes, entonces U + V = χ n+m..3. Puntos críticos de la χ n Sea α ]0, [ y sea χ n,α tal que P [ χ n χ n,α] = α. El valor χ n,α se llama punto crítico a nivel α de la distribución χ n. Según (4) equivale a:.4. Aproximaciones X n (χ n,α) = α Para n > 30, se puede aplicar la aproximación: 4

5 y basándonos en éste resultado, tenemos el siguiente χ n n = N (0, ) (5) Teorema Dado p R, 0 < p <, n Z, n > 30, la ecuación X n (x) = p, con x 0, tiene como aproximación la solución: ( Φ (p) + n ) x = siendo Φ la función de distribución de la N (0, ). (6).5. Ejemplos. Calcular X 6 (3.5483). Mirando en la tabla, vemos que: X 6 (3.5483) = P [ χ ] = 0.9. Calcular el punto crítico χ 0,0.9. Observando la tabla es χ 0,0.9 = 8.498, lo que quiere decir: P [ χ ] = Calcular X 5 (0). Resulta evidente que en la fila n = 5, no se encuentra el valor 0, así es que tenemos que interpolar. Por tanto: y, de aquí: X 5 (0) = Hallar P [χ 8 > 4]. Tenemos: a = , X 5 (a) = 0.8 b =.3073, X 5 (b) = ( ) = P [ χ 8 > 4 ] = P [ χ 8 4 ] = X 8 (4) y estamos en una situación parecida al apartado anterior. Siguiendo los mismos pasos: y, de aquí: y, por último: X 8 (4) = a = , X 8 (a) = 0.0 b = , X 8 (b) = ( ) = P [ χ 8 > 4 ] = = Resolver la ecuación P [χ 80 > x] = 0.9. Tenemos: 0.9 = P [ χ 80 x ] = P [ χ 80 x ] = 0. = x = χ 80,0. Utilizando (6), obtenemos: ( Φ (0.) + 59 ) x χ 80,0. = 5 = ( ) = 64.63

6 .6. Cálculos con Maple Veamos los ejemplos anteriores con Maple. > with(stats); [anova, describe, fit, importdata, random, statevalf, statplots, transform] > statevalf[cdf,chisquare[6]](3.5483); > statevalf[icdf,chisquare[0]](0.9); > statevalf[cdf,chisquare[5]](0); > -statevalf[cdf,chisquare[8]](4); > statevalf[icdf,chisquare[80]](0.); Distribución t de Student 3.. Definición Sea A = N (0, ) y B = χ n, independientes, n. La variable aleatoria: t n = A χ n n se llama t de Student con n grados de libertad. La función de distribución de t n se denota por T n, y por consiguiente: 3.. Propiedades Como en el caso de la normal, se cumple que: T n ( x) = T n (x). T n (x) T n ( x) = T n (x). T n (x) = P [t n x] (7) 3.3. Puntos críticos de la t n Sea α ]0, [ y sea t n,α tal que P [t n t n,α ] = α. El valor t n,α se llama punto crítico a nivel α de la variable aleatoria t n. Según (7), equivale a: T n (t n,α ) = α 6

7 y además: t n,α = t n, α Si n no viene en la tabla, acotamos n n n, donde el entero n (resp. n ) es el valor más cercano a n por defecto (resp. exceso) en la tabla, y el punto crítico t n,α se calcula interpolando respecto a los inversos de n y n Aproximaciones Para n grande, la distribución t n puede aproximarse a la N (0, ) Ejemplos. Calcular P [t.0667]. Directamente en la tabla:. Calcular P [t 9 > ]. Tenemos: P [t.0667] = T (.0667) = 0.85 P [t 9 > ] = P [t ] = T 9 (0.8549) = 0.8 = Calcular P [ t.7888]. En fin: P [ t.7888] = P [.7888 t.7888] = = T (.7888) T (.7888) = = T (.7888) = 0.95 = Calcular t 0,0.8 y t 30,0.3. Para el primero, directamente en la tabla: t 0,0.8 = Para el segundo: t 30,0.3 = t 30,0.7 = Calcular P [t 0.]. Nos piden T 0 (.). Interpolando: a =.846, T 0 (a) = 0.95 b =.839, T 0 (b) = y, de aquí: T 0 (.) = (..846) = Hallar p = P [. t 6.]. Tenemos: p = T 6 (.) T 6 (.) = T 6 (.) ( T 6 (.) ) = T 6 (.) + T 6 (.) Interpolando: } a =.9905, T 6 (a) = = T 6 (.) = b = , T 6 (b) =

8 También: Y finalmente: } a =.0737, T 6 (a) = 0.85 = T 6 (.) = b = , T 6 (b) = 0.9 p = = Hallar t 35,0.9. No hay fila para n = 35 en la tabla, así pues, interpolamos respecto a los inversos de los grados de libertad. En primer lugar: t 30,0.9 =.3045, t 40,0.9 = En nuestro caso n = 30, n = 35, n = 40. Tomamos a =, x =, b = decir: ( t 35,0.9 = ) = Hallar x en P [ t 45 > x] = 0.0. Tenemos: en (3), es P [ t 45 > x] = 0.0 = P [ t 45 x] = 0.99 = T 45 (x) = 0.99 = T 45 (x) = luego x = t 45, Procediendo como en el problema anterior: t 40,0.995 = , t 60,0.995 = Resulta x = Cálculos con Maple with(stats); [anova,describe,fit,importdata,random,statevalf,statplots,transform] > statevalf[cdf,studentst[]](.0667); > -statevalf[cdf,studentst[9]](0.8549); > statevalf[cdf,studentst[]](.7888)- statevalf[cdf,studentst[]](-.7888); > statevalf[icdf,studentst[0]](0.8); > statevalf[icdf,studentst[30]](0.3); > statevalf[cdf,studentst[0]](.);

9 > statevalf[cdf,studentst[6]](.)-statevalf[cdf,studentst[6]](-.); > statevalf[icdf,studentst[35]](0.9); > statevalf[icdf,studentst[45]](0.995); Distribución F de Snedecor 4.. Definición Sea A = χ m y B = χ n, independientes, m, n. La variable aleatoria: F m,n = χ m/m χ n/n se llama F de Snedecor con m y n grados de libertad. La función de distribución de F se denota por F m,n, y por consiguiente: 4.. Propiedades Si F = F m,n = F = F n,m Puntos críticos de la F de Snedecor F m,n,( x) = P [F m,n x] (8) Sea α ]0, [ y sea F n,m,α tal que P [F m,n F m,n,α ] = α. El valor F m,n,α se llama punto crítico a nivel α de la distribución F m,n. Según (8), equivale a: También: F m,n (F m,n,α ) = α F m,n,α = F n,m, α Como en el caso de la t de Student, para calcular F m,n,α correspondientes a un valor de m o de n que no se encuentren en las tablas debe interpolarse respecto a los inversos de los grados de libertad Casos límites Se cumple que: F,n,α = n χ n, α, F m,,α = χ m,α m 9

10 4.4. Ejemplos. Hallar P [F 0,.878]. Directamente en la tabla, es α = 0.9, luego: P [F 0,.878] = F 0, (.878) = 0.9. Hallar P [F 5,0 ]. En ninguna de las tablas, viene exactamente x =, luego hemos de interpolar. En concreto: F 5,0 (.8449) = 0.9 y, por tanto: F 5,0 () = Hallar los siguientes puntos críticos: F 5,0 (.033) = (.8449) = F 30,0,0.95 ; F 0,30,0.95 ; F 30,0,0.05 Tenemos: F 30,0,0.95 =.039 F 0,30,0.95 =.937 F 30,0,0.05 = = F 0,30, = Hallar x en P [F 5, > x] = Esto es equivalente a: P [F 5, x] = = F 5, (x) = = x = F 5,,0.975 = Hallar F 5,35,0.9. No hay fila para n = 35 en la tabla, así pues, interpolamos respecto a los inversos de los grados de libertad. En primer lugar: F 5,30,0.9 =.73, F 5,40,0.9 =.664 luego F 5,35,0.9 = ( 35 ) = Cálculos con Maple with(stats); [anova,describe,fit,importdata,random,statevalf,statplots,transform] > statevalf[cdf,fratio[0,]](.878); > statevalf[cdf,fratio[5,0]](); > statevalf[icdf,fratio[30,0]](0.95);

11 > statevalf[icdf,fratio[0,30]](0.95); > statevalf[icdf,fratio[30,0]](0.05); > statevalf[icdf,fratio[5,]](0.975); > statevalf[icdf,fratio[5,35]](0.9);