Universidad Simón Bolívar Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller. 7.1 Conceptos generales sobre transformación de coordenadas
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- José Manuel Segura Rodríguez
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1 Unisidad Simón Bolía Consión d Engía Eléctica - Pof José Manul All Tansfomación d Coodnadas 71 Concptos gnals sob tansfomación d coodnadas El sistma d cuacions difncials 61, qu modla l compotaminto d la máquina léctica, analizado n l capítulo antio no s linal La dpndncia n θ d st modlo dificulta notablmnt la solución d cualqui poblma La tansfomación d las cuacions difncials a nuos sistmas d coodnadas simplifica n muchos casos st modlo Un nuo sistma d coodnadas s pud dfini mdiant una matiz d tansfomación aplicada a las aiabls n coodnadas pimitias α y β Las tnsions y coints n l nuo sistma tansfomado s:, A wxyz [ wxyz] i, A wxy z [ i wxy z] dond: [A wxyz ] s la matiz d tansfomación i, i wxyz son las coints n coodnadas pimitias son las coints n las nuas coodnadas La potncia n coodnadas pimitias s pud calcula po: p i, * ṭ, 73 En la xpsión antio l astisco (*) indica qu l cto d coints s db conjuga n caso d s compljo y l sup índic t psnta una tasposición dl cto d coints paa qu l poducto maticial con l cto d tnsions sa confomabl Sustituyndo n la cuación 73 las dfinicions 71 y 72, s obtin: * t p i wxyz A * t A wxyz wxyz [ wxyz] 74 Paa qu la tansfomación utilizada sa inaiant n potncia s ncsaio qu: A wxyz * t A wxyz [ I ] 75 Tansfomación d Coodnadas
2 Unisidad Simón Bolía Consión d Engía Eléctica - Pof José Manul All En la cuación 75, [ I ] s la matiz idntidad D sta xpsión s obtin: A wxyz * t A wxyz 76 Una matiz qu satisfac la condición 76 s dnomina hmitiana o hmítica La cuación 76 indica qu si n una matiz d tansfomación d coodnadas, su conjugada taspusta s idéntica a su insa, la tansfomación s consatia n potncia En otas palabas, una tansfomación hmitiana pmit calcula las potncias n las aibls tansfomadas sin ncsidad d gsa a las coodnadas pimitias Las cuacions d los js lécticos d la máquina s pudn scibi como:, R, + L, p + θ τ, i, 77 Tansfomando las coodnadas n la cuación 77 s obtin: A wxyz [ wxyz] R, + L, p + θ τ, A wxyz i wxyz 78 Dspjando d 78 l cto d tnsions, s obtin: [ wxyz ] { A wxyz R A wxyz + A wxyz L A wxyz p + + A wxyz L d A wxyz dt + θ A wxyz τ A wxyz } i wxyz 79 La cuación 79 s pud scibi utilizando las siguints dfinicions: A wxyz R A wxyz R wxyz 710 A wx y z L A wxyz L wxyz 711 A wxyz τ A wxyz τ wxyz 712 Como la matiz d tansfomación pud dpnd n gnal d la posición angula θ, s obtin: y dfinindo: d A wxyz d A wxyz dθ dt dθ dt 713 Tansfomación d Coodnadas
3 Unisidad Simón Bolía Consión d Engía Eléctica - Pof José Manul All H wx yz A wx yz L d dθ A wx yz 714 S pud scibi la cuación 79 como: [ wxy z] R wxyz + L wxyz p + θ H wxyz + τ wxy z i wxy z 715 En la cuación 715, l sgundo témino d la sumatoia, cospond a las fuzas lctomotics d tansfomación y l témino tco a las fuzas lctomotics d gnación Est último témino s dscompon n dos pats, po un lado la matiz d toqu [τ] y po oto la matiz [H] qu poduc los téminos d gnación oiginados po l moiminto latio d los js tansfomados con spcto a los js als La matiz [H] dtmina los téminos no-holonómicos dbidos a la tansfomación d coodnadas La cuación dinámica d la máquina s xpsa como: 1 * T m - i t τ i +J θ + ρ θ 2 Tansfomando la cuación 716 a las nuas coodnadas: 716 T m - 1 * i t * wx y z A t wx y z τ A wx y z i wx y z + J θ + ρ θ 2 y sustituyndo la cuación 712 n 717: 717 T m - 1 * t 2 i wx y z [ τ wx y z ] i wx y z + J θ + ρ θ 718 Las cuacions 715 y 718 psntan a la máquina léctica n un nuo sistma d coodnadas Mdiant una slcción apopiada d la matiz d tansfomación [A], s posibl simplifica l poblma d nconta solución al sistma d cuacions difncials qu dfinn l compotaminto d la máquina 72 Estudio d la tansfomación Una tansfomación muy útil n l análisis d las máquinas lécticas otatias consist n poycta las coodnadas dl oto n js colinals con los js dl stato Estos nuos js s dnominan dicto d y cuadatua q, sta tansfomación pmit anula l moiminto d la máquina y las inductancias nt l stato y l oto son constants n l sistma tansfomado En la figua -62- s ha psntado un diagama con la tansfomación popusta Tansfomación d Coodnadas
4 Unisidad Simón Bolía Consión d Engía Eléctica - Pof José Manul All θ α α β d θ θ q α β β β Tansfomación d coodnadas d a dq Fig -62- En sta tansfomación, las tnsions y coints cospondints a las coodnadas pimitias dl oto son fidas a nuas tnsions y coints inyctadas n bobinas fijas n l spacio Los js dl stato pmancn inaltados n las nuas coodnadas La matiz d tansfomación d coodnadas s pud paticiona d la siguint foma: [A] [A ] [0] [0] [A ] 719 Las coodnadas dl stato no cambian n la tansfomación, po sta azón la submatiz [A ] db s unitaia: [A ] α α 1 0 Paa dtmina [A ] s db coda qu: β β i [A ] i dq 721 Tansfomación d Coodnadas
5 Unisidad Simón Bolía Consión d Engía Eléctica - Pof José Manul All La matiz [A ] cospond a la poycción d los js α y β sob los js d y q solidaios con l stato Esta tansfomación s una otación insa qu cancla la otación d la máquina D la figua -62- s dduc qu la tansfomación d coodnadas s: cos θ sn θ [A ] β -sn θ cos θ 722 La matiz obtnida n la cuación 722 s hmitiana, su taspusta conjugada s igual a su insa: cos θ sn θ [A ] - sn θ cos θ α d q cos θ -snθ 1 cos 2θ + sn 2 θ sn θ cos θ [A ] *t723 Dfinida la tansfomación d coodnadas, s posibl dtmina las matics tansfomadas [R], [L], [τ], [H] y [τ + H] 73 Matiz d sistncias n coodnadas dq La matiz d sistncia [R] n las nuas coodnadas s: R dq dq A t [ I] [0] [ 0] [A ] t R A dq R [ I] [ 0] [ 0] R [ I] [ I] [0] [ 0] [A ] 724 Efctuando l tipl poducto maticial d la cuación 724 s obtin: R dq R [I ] [0] [0] R [I ] 725 Como s obsa n la cuación 725, la tansfomación aplicada no modifica la matiz oiginal d sistncias Esto s d spa, dbido a qu las sistncias no dpndn d la posición dl oto y no xist acoplaminto sistio nt las bobinas y po lo tanto son indifnts a la otación d la máquina Tansfomación d Coodnadas
6 Unisidad Simón Bolía Consión d Engía Eléctica - Pof José Manul All 74 Matiz d inductancias n coodnadas dq Si s aplica la tansfomación a la matiz d inductancia [L] s obtin: [ I ] [ 0 ] [ 0 ] [ A t ] L dq A dq t L A dq L [ I ] c o s θ s n θ L - s n θ c o s θ c o s θ L s n θ L [ I ] - s n θ c o s θ [ I ] [ 0 ] [ 0 ] [ A ] L L [ I ] L 0 L 0 [ I ] 0 L L [ I ] L 0 L [ I ] L 0 L 0 0 L 0 L 726 En la cuación 726 s obsa qu la matiz d inductancias tansfomadas s indpndint d la posición angula dl oto Esto s dbido, como s xplicó antiomnt, a la otación n sntido inso d la tansfomación 75 Matics d gnación n coodnadas dq Aplicando l mismo pocdiminto a la matiz [τ], s obtin: τ α β d q A α β d q t τ α β α β A α β d q L 0 0 L 0 0 L L Igual qu con la matiz [L], xist indpndncia dl ángulo θ La matiz [H] s pud calcula como: H α β d q A α β d q t L α β d q d A d θ α β d q L L L L Tansfomación d Coodnadas
7 Unisidad Simón Bolía Consión d Engía Eléctica - Pof José Manul All La matiz d téminos d gnación [G] s dfin d la siguint foma: G α β d q τ α β d q + H α β d q L 0 L - L 0 - L Ecuacions gnals d la máquina n coodnadas dq Las cuacions d tnsión paa la máquina n coodnadas tansfomadas son: α β d q R + L p 0 L p 0 0 R + L p 0 L p L p θ L R + L p - θ L L p - θ L θ L R + L p 730 La cuación 730 psnta a la máquina léctica n coodnadas dq La constucción d una máquina como sta s posibl físicamnt, mdiant la incopoación d un pa d conmutados como los qu s ilustan n la figua -63- El colcto pmit qu las inductancias popias y mutuas istas dsd l stato san indpndints d la posición dl oto Las scobillas o cabons qu colctan la coint, nutalizan l fcto dl gio, d foma análoga a lo qu aliza la tansfomación [A] i α i β i d i q Los téminos d la cuación 730 s pudn idntifica fácilmnt n l modlo d la figua -63- Es ncsaio dstaca qu los signos ngatios, tinn su oign n l sntido d gio d la máquina, las conncions d polaidad y la posición latia d los js α, β, d y q Paa complta las cuacions qu dfinn l compotaminto d la máquina léctica n las coodnadas dq, s ncsaio calcula l toqu léctico: Tansfomación d Coodnadas
8 Unisidad Simón Bolía Consión d Engía Eléctica - Pof José Manul All T 1 2 i α i β i d i q t L 0 0 L 0 0 L L i α i β i d i q L (i i - i β d α i q ) 731 i d α α i α ω θ d d q β β i β q i q El toqu mcánico s: Modlo físico d la Máquina Gnalizada Fig -63- T L m [ i id - i β α iq ] + J θ + ρ θ 732 La condición ncsaia paa la xistncia d toqu qui qu, al mnos xistan dos coints, una n l stato y ota n l oto, y qu sas coints s ncuntn n js n otogonals Tansfomación d Coodnadas
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