Tarea 8. (xdy ydx) (1) A = 1 2. Por lo tanto el área es; [(Rcos(θ))(Rcos(θ)) (Rsin(θ))(Rsin(θ))] dθ (2) Reduciendo la expresiónnalmentese obtiene;

Transcripción

1 Tarea 8 1. Encuentre el área de el disco de radio R usando el teoréma de Green. e acuerdo con el teorema de Green, el área de la región es; A = 1 (xdy ydx) (1) Como es un discmo con centro en (, ) de radio R, la frontera se puede parametrizar mediante; x = Rcos(θ) y = Rsin(θ), θ<π Entonces las derivadas dx y dy son; Por lo tanto el área es; A = 1 dx = Rsin(θ)dθ dy = Rcos(θ)dθ, θ<π π [(Rcos(θ))(Rcos(θ)) (Rsin(θ))(Rsin(θ))] dθ () Reduciendo la expresiónnalmentese obtiene; A= 1 π R dθ = πr (3) 1

2 . Verique el teorema de Green para el disco con centro (, ) y radio R y la función P (x, y) = x + y, Q(x, y) = y. Usando la parametrización; onde las derivadas dx y dy son; x = Rcos(θ) y = Rsin(θ), θ<π dx = Rsin(θ)dθ dy = Rcos(θ)dθ, θ<π El lado izquierdo de la identidad del teorema de Green es; (P dx + Qdy) = (x + y)dx + ydy (4) Sustituyendo la parametrización se obtiene; (P dx+qdy) = π Reduciendo terminos se obtiene; ( R cos(θ)sin(θ) R sin (θ)+r sin(θ)cos(θ))dθ (5) π (P dx + Qdy) = R sin (θ)dθ = R π (6) Por el teorema de Green la misma integral debe ser igual a; ( Q x P ) y Se usará otra vez la parametrización de la Ec. (). Se puede escribir mediante r R y θ π. Con esto se calcula Q/ x = y P/ y = 1 y con el jacobiano para coordenadas polarres J = r, el lado derecho del teorema de Green se transforma en; π R (7) ( 1)rdrdθ = πr (8)

3 3. Encuentre el área del arco de cicloide x = a(θ sin(θ), y = a(1 cos(θ) donde a >, y θ π, y el eje x (use el teorema de Green). El teorema de Green dice que el área es; A = 1 (xdy ydx) (9) e la parametrización para el cicloide se obtiene; dx = a(1 cos(θ) dy = asin(θ)dθ Ya que el eje x forma parte de la frontera que se puede reescribir mediante x = πa(1 u) yy = para u 1. Tambien se observa que el cicloide va en el mismo sentido que el giro de las manecillas del reloj, esto es; de izquierda a derecha. Luego regresando de derecha a izquierda por el eje x. Como y = dy =, el área deseada es; A = 1 π [a(θ sin(θ) asen(θ)dθ a(1 cos(θ) a(1 cos(θ)dθ+ 1 Recudiendo terminos se obtiene; A = 1 π Usando integración por partes; A = ] π [ a + a 1 (x dx) (1) (a θsin(θ) a θ+a cos(θ)dθ (11) π Integrando nalmente nos queda; π cos(θ)dθ + a ( 1 + cos(θ))dθ (1) A = a π + a [ θ+sin(θ)] π = 3a π (13) onde el signo menos que aparece es debido a que no se tomó la orientación adecuada y debio tomarse en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj. Cambiando sólo el signo se obtiene el área contenida en un arco del cicloide, 3a π. 3

4 4. Verique el teorema de divergencia para F = xi + yj y el disco unitario x + y 1. En coordenadas polares, sea; x = rcos(θ) y = rsin(θ) onde se puede describir mediante r 1 y θ π. Calculando la divergencia de F se tiene que div(f) = =. Como el jacobiano para coordenadas polares J = r, se obtiene; div(f)da = π 1 ()rdrdθ = π (14) Por otro lado se sabe que la normal unitaria al círculo de radio 1 que apunta hacia afuera es n = (cos(θ), sin(θ)), por lo tanto; F nds = π (cos(θ), sin(θ)) (cos(θ), sin(θ))ds (15) Haciendo la integral nalmente se obtiene; F nds = π (16) Por lo tanto se verica que; div(f)da = F nds (17) 4

5 5. Evalue la integral de la componente normal de xyi y j alrededor de la elipse denida por x /a + y /b = 1. el enunciado anterior se pide evaluar; F nds (18) donde F = xyi y j. Por el teorema de divergencia, la integral anterior es; F nds = (div(f)da (19) Por lo tanto se tiene; Finalmente; (div(f)da = (y y)dxdy () (div(f))da = (1) 5

6 6.Use el teorema de Green para encontrar el área de un lazo de la rosa de cuatro pétalos r = 3sin(θ). Para formar uno de los pétalo de la rosa, se toma desde θ= hasta θ=π/. Con esto, el área esta dada por; A = 1 (xdy ydx) () Usando coordenadas polares, sea x = rcos(θ) y y = rsin(θ). Como r es una función de θ se obtiene dx = ( θ (r)cos(θ) rsin(θ)dθ y dy = ( θ (r)sin(θ) rcos(θ))dθ. Sustituyendo en la igualdad del teorema de Green se obtiene; A = 1 π/ (rcos(θ))( θ (r)cos(θ)) rsin(θ) (rsin(θ))( θ (r)sin(θ) rcos(θ))dθ Realizando las operaciones correspondientes se obtiene; A = 1 π/ Sustituyendo la función de la rosa de cuatro pétalos; A = 9 A = 1 π/ π/ (3) r dθ (4) (3sin(θ)) dθ (5) ( 1 + cos(4θ) ) dθ = 9π 8 (6) 6

7 7. Sea n el vector normal unitario hacia fuera de ρ y u/ n = u n. Muestre que; u n ds = uda (7) B ρ ρ Usando la deifnición dada para u/ n; u n ds = u nds (8) Aplicando el teorema de divergencia en el plano a la región B = B ρ ; u n ds = ( u)da (9) Por lo tanto; B u n ds = uda (3) B 7

8 8. Suponga que u es una función denida sobre (i.e., u = sobre ) y que u tiene un máximo local (o mínimo) en el punto p en. Muestre que u debe ser constante en algún disco centrado en p. Suponiendo que u(p) es un punto máximo sobre dado que u es una función armónica, entonces u(p) puede ser expresada como el promedio de su valor en la circunferencia de cualquier disco centrado en p, esto es; u(p) = 1 uds (31) πr Esto es posible solo si u(p) = u(q) para toda q en. Si u(q) < u(p) para alguna q en, debe suceder que u(r) > u(p) para mantener el promedio. Entonces, u debe ser constante en algún disco con centro en p. 8