Unitat 5. Resolució d equacions
|
|
- Mario Villalba Torregrosa
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Unitat 5. Resolució d equacions Curs d Anivellament de Matemàtiques Montserrat Corbera / Vladimir Zaiats montserrat.corbera@uvic.cat / vladimir.zaiats@uvic.cat
2 c 01 Universitat de Vic Sagrada Família, Vic (Barcelona) Permesa la reproducció, sempre que se n esmenti la procedència i no es faci amb finalitats comercials. Curs d Anivellament de Matemàtiques
3 Índex Unitat 5. Resolució d equacions Definicions Transformacions elementals d equacions Equacions polinòmiques de grau Equacions polinòmiques de grau Equacions polinòmiques de grau completes Equacions polinòmiques de grau incompletes Equacions polinòmiques de grau superior Resolució d equacions polinòmiques de grau superior amb solucions enteres i racionals Resolució d equacions biquadrades Resolució d equacions irracionals Resolució d equacions racionals Resolució d equacions exponencials i logarítmiques Resolució d equacions trigonomètriques Exercicis d autoavaluació 0 Glossari de termes 5 Bibliografia Curs d Anivellament de Matemàtiques 3
4 Unitat 5. Resolució d equacions 5.1 Definicions Definició 5.1.1: Una equació és una expressió de la forma f(x) = g(x), (5.1.1) on f i g són funcions a reals devariablereal il element desconegut xés la incògnita del equació. Les funcions f i g s anomenen membres de l equació. Si f i g són polinomis llavors direm que l equació és una equació polinòmica. a La definició de funció real de variable real es dóna a la Unitat 8 Resoldre l equació (5.1.1) consisteix en trobar tots els valors de x que satisfan la igualtat. Aquests valors de x s anomenen solució de l equació. Definició 5.1.: Dues equacions són equivalents si tenen les mateixes solucions Transformacions elementals d equacions S anomenen transformacions elementals aquelles transformacions que passen d una equació a una altra d equivalent: E1 Si sumem o restem als dos membres d una equació el mateix nombre, obtenim una equació equivalent. E Si multipliquem o dividim els dos membres d una equació per un nombre diferent de zero, obtenim una equació equivalent. E3 Si s eleven els dos membres d una equació al quadrat, s obté una nova equació que té almenys les solucions de l equació inicial. En general, la nova equació no és equivalent a la inicial ja que Curs d Anivellament de Matemàtiques 4
5 pot tenir solucions que no són solucions de l equació inicial. Per tant formalment E3 no es pot considerar una transformació elemental. Usant les transformacions elementals, tota equació polinòmica es pot transformar en una equació equivalent de la forma: a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 = 0 a i R per a tot i = 0,1,...,n. 5. Equacions polinòmiques de grau 1 La forma general d una equació polinòmica de grau 1 és ax = b, a,b R, a 0, (5..) llavors la solució de l equació és: x = b/a (per obtenir-la hem dividit els dos membres de l equació per a). Si l equació que volem resoldre no ve donada en la forma general llavors haurem d aplicar les transformacions elementals necessàries per tal d obtenir una equació en la forma general que sigui equivalent a la inicial. Exemple 5..1 a) 3x+5 = 0 3x = 5 ( ) Solució: x = 5/3 Restem 5 als dos membres de l equació. ( ) Dividim els dos membres de l equació per 3. b) 3(x 1) = 5x+ 3x 3 = 5x+ ( ) 3x 3+3 5x = 5x++3 5x x = 5 ( 4) Solució: x = 5/ c) x+1 4 ( ) Efectuem el producte 3(x 1). ( ) Sumem 3 i restem 5x als dos membres de l equació. Simplifiquem els dos membres de l equació. ( 4) Dividim els dos membres de l equació per + x 3 = 5 x+3 (x+1)+(x 3) = 0 (x+3) (x+1)+(x 3) 4 = 0 (x+3) 4 x+1+x = 0 x x+x+x = x = 19 Solució: x = 19/5 Curs d Anivellament de Matemàtiques 5
6 Trobemelmínim comúmúltipledelsdenominadorsdetotal equació, mcm(4,,1) = 4, i sumem les fraccions que apareixen als dos membres de l equació prenent com a denominador comú el mínim comú múltiple dels denominadors. ( ) Multipliquem tota l equació per 4. Apliquem transformacions elementals fins a obtenir una equació equivalent en la forma general (5..). 5.3 Equacions polinòmiques de grau Equacions polinòmiques de grau completes La forma general d una equació polinòmica de grau és ax +bx+c = 0, a,b,c R, a 0, (5.3.3) llavors les solucions de l equació vindran donades per la fórmula: x = b± b 4 a c. a Si l equació que volem resoldre no ve donada en la forma general llavors haurem d aplicar les transformacions elementals necessàries per tal d obtenir una equació en la forma general que sigui equivalent a la inicial. El nombre i tipus de solucions de (5.3.3) dependrà del valor del discriminant = b 4 a c (veugeu la Taula 5.3.1). Com que en aquest curs d anivellament no s estudien els nombres complexos, quan el discriminant és negatiu direm que l equació no té solució (real). Discriminant Nombre i tipus de solucions > 0 Dues solucions reals diferents = 0 Una solució real de multiplicitat < 0 Dues solucions complexes conjugades Taula 5.3.1: Nombre i tipus de solucions de l equació ax + bx + c = 0 depenent dels valors del discriminant = b 4 a c. Direm que x = α és una solució real de multiplicitat de l equació ax +bx+c = 0 si la factorització del polinomi ax +bx+c és (x α) (vegeu la Unitat 3). Exemple a) 3x +5x = 0 Solució: x = 5± ( ) 3 L equació té dues solucions reals diferents. = 5± 5+7 = 5± 97 = Curs d Anivellament de Matemàtiques
7 b) x +4x+4 = 0 Solució: x = 4± = 4± 1 1 = 4± 0 1 L equació té una solució real, x =, amb multiplicitat. = c) x +3 x+5 = 0 Solució: x = 3 ± 1 L equació no té solucions reals. (3 ) = 3 ± 18 0 = 3 ± d) 3(x+)(x+3) = (x+3)(x+5) 40x 3(x +3x+x+) = x +30x+3x+15 40x ( ) 3x +9x+x+18 (x +30x+3x+15 40x) = 0 3x +x+3 = 0 Efectuem les operacions dels dos membres de l equació. ( ) Apliquem transformacions elementals fins a obtenir una equació equivalent en la forma general (5.3.3). Solució: x = ± 4 ( 3) 3 ( 3) = ± 130 = L equació té dues solucions reals diferents. = ± = = ± Equacions polinòmiques de grau incompletes Cas b = 0 : La resolució d una equació de la forma ax +c = 0 es pot fer de la següent manera: ax +c = 0 ax = c ( ) x = c a x = ± c a. Restem c als dos membres de l equació. ( ) Dividim els dos membres de l equació per a. Els valors de x tals que x = α amb α > 0 són x = α i x = α. Exemple 5.3. a) x 4 = 0 x = 4 x = Solució: x = ±. b) x +4 = 0 x = 4 x = Solució: x = ±. L equació no té arrels reals. Curs d Anivellament de Matemàtiques 7
8 Cas c = 0 : La resolució d una equació de la forma ax +bx = 0 es pot fer de la següent manera: ax +bx = 0 x(ax+b) = 0 ( ) x = 0, ax+b = 0 x = b/a. Traiem una x factor comú. ( ) Tenim el producte de dos nombres igual a zero, llavors o un és zero o l altre és zero. Resolem l equació ax+b = 0. Les solucions de l equació són x = 0 i x = b/a. Exemple x 5x = 0 x(7x 5) = 0 Les solucions de l equació són x = 0 i x = 5/7. x = 0, 7x 5 = 0 x = 5/ Equacions polinòmiques de grau superior La forma general d una equació polinòmica de grau n és a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 = 0 a i R per a tot i = 0,1,...,n, (5.4.4) amb a n 0. Es coneixen fórmules per a resoldre les equacions polinòmiques de grau 3 i de grau 4 però com que són bastant complexes no les veurem. No hi ha cap fórmula general per a resoldre anaĺıticament una equació qualsevol de grau més gran que 4. No obstant, en alguns casos particulars en sabrem trobar les solucions Resolució d equacions polinòmiques de grau superior amb solucions enteres i racionals Observeu que les solucions de (5.4.4) són les arrels del polinomi P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x+a 0. Així, podem trobar les solucions enteres i racionals d una equació polinòmica a partir de la factorització del polinomi (vegeu la Unitat 3). Primer amb l ajuda de la Regla de Ruffini factoritzarem el polinomi i trobem les solucions enteres i/o racionals amb la multiplicitat corresponent. Després trobem la resta de les solucions. Curs d Anivellament de Matemàtiques 8
9 Exemple a) x 3 +4x +x = 0 ( ) x 1 = 0 Solució: x = 1 x+3 = 0 Solució: x = 3 x+ = 0 Solució: x = Factoritzem el polinomi x 3 +4x +x (x 1)(x+3)(x+) = 0 x 3 +4x +x = (x 1)(x+3)(x+). ( ) El producte dels tres factors serà igual a zero sempre i quan un d ells sigui zero. Les solucions de l equació són: x = 1, x = 3 i x =. b) x 3 1 = 0 (x 1)(x +x+1) = 0 ( ) Factoritzem el polinomi: x 3 1 = (x 1)(x +x+1) ( ) Igualem a zero cadascun dels factors. x 1 = 0 Solució: x = 1 x +x+1 = 0 No té solució real Resolem l equació x +x+1 = 0 a partir de la fórmula de resolució d equacions de segon grau x = 1± 1 4 La solució real de l equació és: x = 1. c) x 3 x x+ = 0 (x 1)(x ) = 0 = 1± 3 ( ) No té solució real x 1 = 0 Solució: x = 1 x = 0 Solució: x = ± Factoritzem el polinomi: x 3 x x+ = (x 1)(x ) ( ) Igualem cadascun dels factors a zero Resolem l equació x = 0 com a l Exemple 5.3. x = x = ±. Les solucions de l equació són: x = 1, x = i x =. d) x x 5 +x 4 x 3 +x = 0 x (x 1) (x +1) = 0 x = 0 Solució: x = 0 (multiplicitat ) ( ) (x 1) = 0 Solució: x = 1 (multiplicitat ) x +1 = 0 No té solució real Factoritzem el polinomi x x 5 + x 4 x 3 + x. Com que aquest polinomi no té terme independent primer podem treure x factor comú i després factoritzar el polinomi que en resulta. x x 5 +x 4 x 3 +x = x (x 4 x 3 +x x+1) = x (x 1) (x +1). ( ) Igualem cadascun dels factors a zero. Resolem l equació x +1 = 0 com a l Exemple x +1 = 0 x = 1 x = ± 1 No té solució real Les solucions reals de l equació són x = 0 amb multiplicitat i x = 1 amb multiplicitat. Curs d Anivellament de Matemàtiques 9
10 e) x 3 +3x +3x+1 = 0 (x+1) 3 = 0 ( ) x+1 = 0 Solució: x = 1(multiplicitat 3) Factoritzem el polinomi: x 3 +3x +3x+1 = (x+1) 3. ( ) Igualem el factor a zero. La solució de l equació és x = 1 amb multiplicitat Resolució d equacions biquadrades Una equació biquadrada és una equació polinòmica de grau 4 de la forma ax 4 +bx +c = 0, a,b,c R, a 0. (5.4.5) Observem que l equació (5.4.5) es pot expressar de la forma a(x ) +b(x ) +c = 0, llavors fent el canvi de variable t = x obtenim una equació de grau en la variable t que podem resoldre. Desfent el canvi obtindrem la solució en la variable x. Exemple 5.4. a) x 4 7x +1 = 0 ( ) t 7t+1 = 0 4 t = 7± = 7± 1 = 7±1 = 3 x = 4 Solució: x = ± 4 = ± x = 3 Solució: x = ± 3 Les solucions de l equació són: x =, x =, x = 3 i x = 3. b) x 4 +4x 45 = 0 t +4t 45 = 0 ( ) t = 4± 19 5 = 4±14 = 9 x = 5 Solució: x = ± 5 x = 9 Solució: x = ± 9 (No té solucions reals) Les solucions reals de l equació són x = 5 i x = 5. c) x 4 4x +13 = 0 t 4t+13 = 0 ( ) L equació no té solucions reals. t = 4± 3 No té solucions reals Fem el canvi t = x. ( ) Resolem l equació polinòmica de grau en la variable t. Desfem el canvi. Curs d Anivellament de Matemàtiques 10
11 Hi ha altres equacions que no són exactament biquadrades però admeten un tractament semblant. Exemple x +x 3 1 = 0 Aquesta equació no és biquadrada però es pot escriure com una equació de la forma ( x 3 ) + ( x 3 ) 1 = 0. Així doncs podem fer el canvi t = x 3 i procedir de manera semblant a les equacions biquadrades. x +x 3 1 = 0 t +t 1 = 0 ( ) t = ± 100 = ±10 = 8 x3 = Solució: x = 3 x 3 = 8 Solució: x = 3 8 = Les solucions reals de l equació són: x = 3 i x =. Fem el canvi t = x 3. ( ) Resolem l equació polinòmica de grau en la variable t. Desfem el canvi. 5.5 Resolució d equacions irracionals Una equació irracional és una equació en la qual la incògnita apareix dins d una arrel. Aquí només veurem com resoldre equacions irracionals on l arrel és una arrel quadrada. Aquestes equacions es poden transformar en equacions polinòmiques mitjançant transformacions del tipus E3 (vegeu la pàgina 4). Exemple a) 5 x = x+3 Elevem els dos membres de l equació al quadrat per tal de treure les arrels ( 5 x ) = ( x+3 ) 5 x = x+3 Resolem l equació que obtenim. En general aquesta nova equació no és equivalent a l equació inicial, però si que té les solucions de la inicial. 5 x = x+3 Solució: x = 1 Curs d Anivellament de Matemàtiques 11
12 Comprovem que la solució obtinguda és solució de l equació inicial. 5 1 = = 4 Per tant x = 1 és solució de l equació inicial. La solució de l equació 5 x = x+3 és: x = 1. b) x+3+x = 1 Passem l arrel a una banda de la igualtat i tot el que no té arrel a l altra x+3 = 1 x+ x+3 = 3 x. Elevem els dos membres de l equació al quadrat per treure l arrel i resolem l equació obtinguda ( x+3 ) = (3 x) x+3 = 9 x+x x 7x+ = 0 Solució: x = 7± 49 4 =. 1 Comprovem que les solucions que hem obtingut són solució de l equació inicial (per simplificar els càlculs podem prendre l equació x+3 = 3 x que és equivalent a l equació inicial) +3 = x = no és solució de l equació inicial 1+3 = 3 1 = x = 1 és solució de l equació inicial La solució de l equació x+3+x = 1 és x = 1. c) 3x+1 x 1 1 = 0 Deixem les arrels a una banda de la igualtat i tot el que no té arrel a l altre 3x+1 x 1 1 = 0 3x+1 x 1 = 1. Elevem els dos membres de l equació al quadrat ( 3x+1 x 1 ) = (1) ( 3x+1 ) 3x+1 x 1+ ( x 1 ) = 1 3x+1 (3x+1)(x 1)+x 1 = 1. Hem obtingut una equació semblant a la del cas b). Curs d Anivellament de Matemàtiques 1
13 Resolem l equació com a l apartat b) 3x+1 (3x+1)(x 1)+x 1 = 1 3x+1+x 1 1 = (3x+1)(x 1) 5x 1 = x x 1 ( ) (5x 1) = x x+5 = 0 ( x x 1) 5x 10x+1 = 4(x x 1) Solució: x = ± 3 0 = ±4 = 5 1 Deixem l arrel a una banda i passem tot el que no té arrel a l altre. ( ) Elevem els dos membres de l equació al quadrat. Resolem l equació de grau que hem obtingut. Comprovem que les solucions que hem obtingut són solucions de l equació inicial = = 1 x = 5 és solució = 1 1 = 1 x = 1 és solució Les solucions de l equació 3x+1 x 1 1 = 0 són x = 1 i x = Resolució d equacions racionals Les equacions racionals són equacions que contenen fraccions algèbriques. Aquest tipus d equacions es poden transformar en equacions polinòmiques a partir de transformacions del tipus E1 i E (vegeu la pàgina 4) i operant amb fraccions algèbriques. Exemple 5..1 a) 3 x 1 + x = 3 x 1 + x = ( 1) 3x+(x 1) x(x 1) = ( ) 3x+(x 1) = x(x 1) 3x+x = x +x x +3x = 0 Solució: x = 3± = 3±5 4 = 1 Curs d Anivellament de Matemàtiques 13
14 Sumem les fraccions algèbriques del membre de la part esquerra de l equació. ( ) Multipliquem els dos membres de l equació per x(x 1). Això només té sentit si x 0 i x 1 0 (és a dir, x 1). Resolem l equació polinòmica que hem obtingut. Falta comprovar que les solucions que hem obtingut són realment solució de l equació inicial; és a dir, són solucions que satisfan les condicions de l anotació ( ) o dit d una altra manera, que no anulen els denominadors. En aquest cas és així. Les solucions de l equació inicial són x = 1/ i x =. b) 4x 8 x + 5 x = 1 4x 8 x + 5 x = 1 ( 1) (4x 8)x+5(x ) x(x ) = 1 ( ) (4x 8)x+5(x ) = x(x ) 3x x 10 = 0 Solució: x = 1± x 8x+5x 10 = x x = 1±11 Sumem les fraccions algèbriques del membre de la part esquerra de l equació. = 10 = 5 3 ( ) Multipliquem els dos membres de l equació per x(x ). Això només té sentit si x 0 i x. Resolem l equació polinòmica que obtenim. La solució x = anula el denominador, així doncs la solució de l equació inicial és x = 5/3. c) x+4 x 4 x 4 x+4 = 4 x 1 1 x 4 x+4 x 4 x 4 x+4 = 4 x 1 1 x 4 (x+4) (x 4) (x+4)(x 4) = 4 (x+4) (x+4)(x 4) ( ) (x+4) (x 4) = 4 (x+4) x +8x+1 x +8x 1 = 4 x 4 17x = 0 Solució: x = 0/17 Sumem les fraccions algèbriques del membre de la part esquerra i les del membre de la part dreta de l equació prenent com a denominador comú el mínim comú múltiple dels denominadors de tota l equació. mcm(x 4,x+4,x 1) = (x 4)(x+4). ( ) Multipliquem els dos membres de l equació per (x+4)(x 4). Això només té sentit si x 4 i x 4. Resolem l equació polinòmica que obtenim. Com que la solució x = 0/17 no anul la cap denominador és solució de l equació inicial. Curs d Anivellament de Matemàtiques 14
15 5.7 Resolució d equacions exponencials i logarítmiques Una equació exponencial (equació logarítmica) és una equació en la qual la incògnita apareix afectada d una exponencial (logaritme). En el següent exemple veurem com resoldre un cert tipus d equacions exponencials i logarítmiques. En la resolució usarem el fet que l exponencial i el logaritme són funcions inverses; és a dir, log a (a x ) = x, a log a (x) = x. (5.7.) Exemple a) 3x+5 = x 1 3x+5 = x 1 log ( 3x+5 ) = log ( x 1 ) ( ) 3x+5 = x 1 b) 4 3x = 4 x = Solució: x = 3 Apliquem el logaritme en base als dos membres de l equació. Com que la funció logaritme es injectiva (la funció logaritme s estudia a la Unitat 8), es pot veure fàcilment que l equació que obtenim és una equació equivalent. ( ) Apliquem la propietat (5.7.). Observeu que aplicar el logaritme als dos membres de l equació és equivalent a igualar els exponents. Resolem l equació polinòmica obtinguda. 4 3x = 4 log 4 ( 4 3x ) = log 4 (4) ( ) 3x = log 4 (4) = log 4 ( 4 3 ) = 3 3x = 5 Solució: x = 5/3 Apliquem el logaritme en base 4 als dos membres de l equació. ( ) Apliquem la propietat (5.7.). Resolem l equació polinòmica obtinguda. c) 3 x 1 +3 x +3 x+1 = x 1 +3 x +3 x+1 = x 3 +3x +3 x 3 = 117 ( ) t +t+3t = t = 117 t = = 7 ( 4) 3 x = 7 = 3 3 ( 5) Solució: x = 3 Apliquem les propietats de potències (vegeu la Unitat 1) i escrivim l equació en funció de les potències de 3 x. ( ) Fem el canvi de variables t = 3 x. Resolem l equació polinòmica que obtenim. ( 4) Desfem el canvi. ( 5) Resolem l equació exponencial obtinguda. Curs d Anivellament de Matemàtiques 15
16 d) x 3 x+1 +8 = 0 x 3 x+1 +8 = 0 ( x ) 3( x )+8 = 0 t t+8 = 0 t = ± 3 3 x = 4 = Solució: x = x = = 1 Solució: x = 1 = ± ( ) t 3(t )+8 = 0 4 ( 4) = Apliquem les propietats de potències i escrivim l equació en funció de les potències x. ( ) Fem el canvi de variables t = x. Resolem l equació polinòmica obtinguda. ( 4) Desfem el canvi. Exemple 5.7. a) log 3 (5x+) = log 3 (3x+) log 3 (5x+) = log 3 (3x+) 3 log 3 (5x+) = 3 log 3 (3x+) ( ) 5x+ = 3x+ x = 4 Solució: x = Apliquem l exponencial en base 3 als dos membres de l equació. Com que la funció exponencial es injectiva l equació que obtenim és una equació equivalent. ( ) Apliquem la propietat (5.7.). Observeu que fer l exponencial als dos membres de l equació és equivalent a igualar els arguments del logaritme. Resolem l equació polinòmica obtinguda. El logaritme només està definit per a nombres positius. Així doncs ens falta comprovar que per x = l equació inicial està definida (és a dir, no tenim cap logaritme d un nombre negatiu) log 3 (5 +) = log 3 (3 +) log 3 (1) = log 3 (1). La solució de l equació log 3 (5x+) = log 3 (3x+) és x =. b) log (5x 4) = 4 log (5x 4) = 4 log (5x 4) = 4 ( ) 5x 4 = 4 = 1 5x = 0 Solució: x = 4 Apliquem l exponencial en base als dos membres de l equació. ( ) Apliquem la propietat (5.7.). Resolem l equació polinòmica obtinguda. Curs d Anivellament de Matemàtiques 1
17 Comprovem que per x = 4 l equació inicial està definida log (5 4 4) = 4 log (1) = 4. La solució de l equació log (5x 4) = 4 és x = 4. c) logx = log+ log(x 3) logx = log+ log(x 3) logx = log+log(x 3) = log ( (x 3) ) ( ) 10 logx = 10 (x 3) x = (x 3) ( 4) x = x 1x+18 x 13x+18 = 0 Solució: x = 13± = 13±5 4 = 18 4 = 9 Apliquem les propietats dels logaritmes (vegeu la Unitat 1) per tal d expressar l equació com una equació del tipus estudiat al cas a). ( ) Apliquem l exponencial en base 10 als dos membres de l equació. Apliquem la propietat (5.7.). ( 4) Resolem l equació polinòmica obtinguda. Comprovem si per x = 9/ i per x = l equació inicial està definida log 9 = log+ log ( 9 3 ) log 9 = log+ log ( 3 ). log = log+ log( 3) log 9 = log+ log( 1) x = no és solució La solució de l equació logx = log+ log(x 3) és x = 9/. 5.8 Resolució d equacions trigonomètriques Una equació trigonomètrica és una equació en la qual la incògnita apareix afectada d una funció trigonomètrica. No hi ha cap mètode general per a resoldre equacions trigonomètriques. Tot i així anirà bé tenir en compte el següent: Si en una mateixa equació hi figuren raons trigonomètriques diferents mirarem de reduir-les a una de sola. Les fórmules que ens serveixen per passar d una raó trigonomètrica a l altre són les següents. Curs d Anivellament de Matemàtiques 17
18 a) cos x+sin x = 1 cos x = 1 sin x, sin x = 1 cos x. b) tanx = sinx cosx, cotanx = cosx sinx, secx = 1 cosx, cosecx = 1 sinx. Si hi figuren angles diferents primer mirarem d expressar totes les raons trigonomètriques en funció d un mateix angle. Les propietats de les raons trigonomètriques que necessitarem es troben a la Unitat. Exemple En tot l exemple es donarà el resultat en radians. a) 3cos x = sinx 3cos x = sinx 3 ( 1 sin x ) = sinx 3 3sin x = sinx 3sin x sinx 1 = 0 ( ) 3t t 1 = 0 t = 1± 1+1 = t = sinx = t = sinx = ( 4) x = ( 5) x = kπ.517 +kπ kπ kπ A l equació hi figuren sinx i cos x, així el primer que haurem de fer és expressar l equació en funció d una sola raó trigonomètrica que pot ser sinx o cosx. Sabem que sinx = 1 cos x i cos x = 1 sin x. Per estalviar-nos de treballar amb arrels deixarem l equació en funció de sinx. ( ) Fent el canvi t = sinx, obtenim una equació de grau en la variable t i la resolem. Desfem el canvi. ( 4) Hem de trobar tots els valors de x per als quals sinx = ( 1+ L arcsinus i el sinus són funcions inverses. Llavors x = arcsin ) 13 = , però aquest no serà l únic valor de x que satisfà la igualtat. A partir de les propietats ( ) del sinus tenim( que sin(α+kπ) ( )) = sinα i sin(π α) = sinα, així doncs, x = arcsin +kπ ix = π arcsin +kπ també satisfan la igualtat ( 5) Usant els arguments de l anotació ( 4) tenim que els valors de x per als quals sinx = 1 13 ( ) ( ( )) són x = arcsin +kπ i x = π arcsin +kπ b) 4cos(x)+4sin x = 1+4sinx cos(x)+4sin x = 1+4sinx 4 ( cos x sin x ) +4sin x = 1+4sinx 4cos x = 1+4sinx ( ) 4 ( 1 sin x ) = 1+4sinx Curs d Anivellament de Matemàtiques 18
19 4sin x+4sinx 3 = 0 t = 4± ( 4) t = sinx = 1 t = sinx = 3 = 4t +4t 3 = 0 1/ 3/ ( 5) x = ( ) arcsin ( 1 π arcsin ( 1 No té solució real ) +kπ = π +kπ ) +kπ = 5π +kπ Al equacióhi figurenraons trigonomètriquesde l anglexil anglex. Primerexpressem totesles raons trigonomètriques en funció de l angle x. Això és possible gràcies a la propietat cos(x) = cos x sin x. ( ) Tenim una equació semblant a l equació del cas a). La resolem de manera semblant. Expressem l equació en funció només de sinx (usem que cos x = 1 sin x). Fem el canvi t = sinx i resolem l equació de grau que ens queda. ( 4) Desfem el canvi. ( 5) Procedim de manera semblant a l anotació ( 4) del cas a). ( ) Per a tot x R es compleix que sinx [ 1,1]. Així doncs, no hi ha cap x R tal que sinx = 3/. c) 4sin ( x π ) cos ( x π ) = 3 ( 4sin x π ) ( cos x π ) = 3 sin(t) = 3 t = 4sintcost = 3 arcsin ( 3 π arcsin ) +kπ = π 3 +kπ ( 3 ( ) sin(t) = 3 ) +kπ = π 3 +kπ π t = +kπ ( 4) π 3 +kπ x = t+ π = π 3 +kπ π +kπ Fem el canvi de variables t = x π i obtenim una equació trigonomètrica que sabem resoldre. ( ) Hauríem de deixar l equació en funció d una sola raó trigonomètrica. En aquest cas per fer-ho tenim dues opcions: Sabem que sint = 1 cos t (o també cost = 1 sin t), per tant substituint a l equació obtenim una equació irracional en funció de cost (o també sint) que vindrà donada per 4 1 cos tcost = 3 (o també 4sint 1 sin t = 3). A partir de les propietats de les raons trigonomètriquessabem que sin(α) = sinαcosα, per tant sin α cos α = sin(α)/. Llavors podem escriure l equació en funció sin(t). La segona opció és la més fàcil. Procedim de manera semblant a l anotació ( 4) del cas a). ( 4) Desfem el canvi. Curs d Anivellament de Matemàtiques 19
20 Exercicis d autoavaluació 1. Resoleu les següents equacions polinòmiques. En cas de tenir solucions amb multiplicitat més gran que 1, indiqueu també la seva multiplicitat. a) 5 4 x+ 3 x = 9x+13 c) 4 ( 1 5 x 3 ) = 5 ( x+ 8 ) 8 9 b) 3x 5 d) x 4 + x = 3x 1 = 14x x+1 9 e) (x 1)(x+3) = 3(x )(x+1) 4(x ) f) 3(x+)+5( x) = 10 4(+x) g) y + y 3 = 0 h) x +7x 11 = 7(x+1) i) (x 1) (x+1) 3 = 1 x j) x x = 1 k) x 4 x +1 = 0 l) x 4 x 3 = 0 m) x 4 3x 4 = 0 n) y 3y 3 + = 0 o) y +3y 3 + = 0 p) x 3 7x+ = 0 q) x 3 3x+ = 0 r) (x 3) 3 +8 = 0 s) x 4 x 3 3x +4x+4 = 0 t) x 4 x 3 5x +4x+ = 0 v) x x 4 9x +9 = 0 Solució a) x = /15 b) No té solució c) x = d) x = 1 e) x = 8, x = 3 f) x = 7 14 g) y = ± h) x = ±3 i) x = 1, x = 5 j) x = 3 ± 17 k) x = ±1(mult.) l) x = ± 3 m) x = ± n) y = 1, y = 3 o) y = 1, y = 3 p) x = 1, x =, x = 3 q) x = 1(mult.), x = r) x = 1 s) x = 1(mult.), x = (mult.) Curs d Anivellament de Matemàtiques 0
21 t) x = 1, x = 3, x = ± v) x = ±1, x = ± 3. Resoleu les següents equacions racionals. a) x+4 x 4 x 4 x+4 = 4 x 1 c) 1 x = x+3 x e) x = 1 +9 f) x 9 x g) b) 5x 1 x+ x 3 x = 8 3 ( d) 1 )( ) 1 3 x x +1 x + 1 x+1 x 1 x+1 = 1 x x+3 x x+1 x 1 x+1 = 0 h) x+1 x + x x+ = 7x+ x 4 = Solució a) x = 3/ b) x = 7/, x = 4 c) No té solucions reals d) x = ± 4 e) x = 3, x = 3/3 f) x = 3 g) x = 3, x = 1/3 h) x = 0, x = 3 3. Resoleu les següents equacions irracionals. a) x 1 = x 1 b) x+1 = 5 x c) x+1 = x 1 d) 3x 5+1 = x e) x+3+ x+ = 3 x+3 Solució a) x = 1, x = 101 b) x = 1 d) x = 7 e) x = c) x = 1, x = Curs d Anivellament de Matemàtiques 1
22 4. Resoleu les següents equacions exponencials. a) 3 4x+1 = 9 b) 4 x+3 = 4 x 1 c) 4 x+1 + x+3 30 = 0 d) ey e y = (ey ) Solució a) x = 1/4 b) x = 4 c) x = 3 d) y = 0, y = 3 5. Resoleu les següents equacions logarítmiques. a) lnx ln1 = 0 b) lnx+ln3 = lnx ln(x ) c) ln x+4+ 1 ln(x+1) = 1+ln3 d) ln(8 x3 ) 3ln(4 x) = 0 Solució a) x = 4 b) x = 7/3 c) x = 1 ( 3+ 18e +1) d) x = 1, x = 3. Trobeu totes les solucions de les següents equacions trigonomètriques. a) sinx = 1/ b) cosx = 1/ c) tanx = 1 d) sin x 4 = 5cosx e) cotan x cosecx = 1 f) cosx = secx g) 3tanx = cosx Solució a) x = π/+kπ, x = 5π/+kπ b) x = π/3+kπ, x = 5π/3+kπ c) x = π/4+kπ, x = 5π/4+kπ d) x = π +kπ, x = 4π +kπ amb k Z 3 3 e) x = 30 +k30, x = 150 +k30, x = 70 +k30 amb k Z f) x = kπ amb k Z g) x = π +kπ, x = 5π +kπ amb k Z Curs d Anivellament de Matemàtiques
23 7. Expresseu y com a funció de x ens els següents casos. a) 1 xy 1 = 1 lnx b) e y 1 = x c) yx x+y = x ) 1/ d) x = (1 y e) lny = x+4 f) arctany = arctanx+1 g) ln x ( ) x lny = 0 y Solució Tractem les expressions com una equació on y és la incògnita i x és una constant. Resolem l equació respecte y i trobem y(x). a) y(x) = xlnx + 1 x c) y(x) = ± 1 4x+1 ( ) 1 b) y(x) = ln x+1 x d) y(x) = x e) y(x) = e x+4 f) y(x) = tan(arctanx+1) g) y(x) = x x 0 x < 0 8. Aïlleu de les següents expressions la variable o les variables que s indiquen entre parèntesis. 1+ x+y x y a) 1 x+y = 1 (y) x y k b) v = m (A x ) (m), (A) c) i = E R+r (R) d) S = a rl 1 r (r) e) A = πr(r+h) (h), (r) Curs d Anivellament de Matemàtiques 3
24 Solució f) 1 R = 1 R R (R), (R 1 ) m g) R 1 = (m 1 ) R m ( 1 1 h) f = RC 4 1 ) (C), (n) n i) 1x 1 y = y 3 (x) 7 j) 3 y +1 = 1 x q k) S = q +p(1 q) (y) (q) l) y = e x e x (x) m) lny = lnx+3 (y) n) ln(x y) = lnx 4 (y) a) y = x b) m = k(a x ) v, A = ± c) R = E ir i d) r = S a S L mv +kx e) h = A πr, r = hπ ± πa+h π f) R = R 1R, R 1 = RR πr π R 1 +R R R g) m 1 = m R 4f n CR h) C = R1 (n 4)R, n = ± CR 4f i) x = 1 1 (y +y 4 +y +1) j) y = 343x3 8(x 1) ( 3 ps 1 ( k) q = l) x = ln y ± ) ) y ps S m) y = e3 x n) y = x e 4 +x k Curs d Anivellament de Matemàtiques 4
25 Glossari de termes Equacions, 4 biquadrades, 10 equivalents, 4 exponencials, 15 irracionals, 11 logarítmiques, 1 polinòmiques, 4 de grau 1, 5 de grau, de grau superior, 8 racionals, 13 solució, 4 transformacions elementals, 4 trigonomètriques, 17 Curs d Anivellament de Matemàtiques 5
26 Bibliografia Podeu consultar qualsevol llibre de primer i segon de Batxillerat. Curs d Anivellament de Matemàtiques
Àmbit de les matemàtiques, de la ciència i de la tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 2 LES FRACCIONS
M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions UNITAT LES FRACCIONS 1 M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions 1. Concepte de fracció La fracció es representa per dos nombres enters que s anomenen
Más detallesLes funcions que apliquen a tots els elements del domini la mateixa imatge es diu funció constant, evidentment han d ésser del tipus f(x) = k (k R)
1 1 3 FUNCIONS LINEALS I QUADRÀTIQUES 3.1- Funcions constants Les funcions que apliquen a tots els elements del domini la mateixa imatge es diu funció constant, evidentment han d ésser del tipus f(x) k
Más detallesVeure que tot nombre cub s obté com a suma de senars consecutius.
Mòdul Cubs i nombres senars Edat mínima recomanada A partir de 1er d ESO, tot i que alguns conceptes relacionats amb el mòdul es poden introduir al cicle superior de primària. Descripció del material 15
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Módulo del vector : Es la longitud del segmento AB, se representa por. Dirección del
Más detallesMATEMÀTIQUES Versió impresa POTÈNCIES I RADICALS
MATEMÀTIQUES Versió impresa POTÈNCIES I RADICALS 1. IDEA DE POTÈNCIA I DE RADICAL Al llarg de la història, han aparegut molts avenços matemàtics com a solucions a problemes concrets de la vida quotidiana.
Más detallesEXERCICIS MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT
Treball d estiu/r Batillerat CT EXERCICIS MATEMÀTIQUES r BATXILLERAT. Aquells alumnes que tinguin la matèria de matemàtiques pendent, hauran de presentar els eercicis el dia de la prova de recuperació.
Más detallesUNITAT 3 OPERACIONS AMB FRACCIONS
M Operacions numèriques Unitat Operacions amb fraccions UNITAT OPERACIONS AMB FRACCIONS M Operacions numèriques Unitat Operacions amb fraccions Què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç de
Más detallesCurs de preparació per a la prova d accés a cicles formatius de grau superior. Matemàtiques BLOC 3: FUNCIONS I GRÀFICS. AUTORA: Alícia Espuig Bermell
Curs de preparació per a la prova d accés a cicles formatius de grau superior Matemàtiques BLOC : FUNCIONS I GRÀFICS AUTORA: Alícia Espuig Bermell Bloc : Funcions i gràfics Tema 7: Funcions... Tema 8:
Más detallesÍNDEX 1 DEFINICIÓ 2 PER A QUÈ SERVEIX 3 COM ES REPRESENTA 4 PRIMER CONCEPTE 5 ESCALA DE REDUCCIÓ I ESCALA D AMPLIACIÓ 6 PROCEDIMENT DE CÀLCUL
Francesc Sala, primera edició, abril de 1996 última revisió, desembre de 2007 ÍNDEX 1 DEFINICIÓ 2 PER A QUÈ SERVEIX COM ES REPRESENTA 4 PRIMER CONCEPTE 5 ESCALA DE REDUCCIÓ I ESCALA D AMPLIACIÓ 6 PROCEDIMENT
Más detallesCALC 1... Introducció als fulls de càlcul
CALC 1... Introducció als fulls de càlcul UNA MICA DE TEORIA QUÈ ÉS I PER QUÈ SERVEIX UN FULL DE CÀLCUL? Un full de càlcul, com el Calc, és un programa que permet: - Desar dades numèriques i textos. -
Más detallesÀmbit de les Matemàtiques, de la Ciència i de la Tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 1 OPERACIONS AMB ENTERS
UNITAT 1 OPERACIONS AMB ENTERS 1 Què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç de... Sumar, restar, multiplicar i dividir nombres enters. Entendre i saber utilitzar les propietats de la suma i
Más detallesEquacions de primer grau
UNITAT Equacions de primer grau Continguts Concepte Equacions i identitats Resolució d equacions de primer grau Resolució de problemes amb equacions Objectius Distingir els dos tipus d igualtats algebraiques.
Más detallesDIVISIBILITAT. Amb els nombres 5, 7 i 35 podem escriure diverses expressions matemàtiques: 5x7= 35 35 5 35
ESO Divisibilitat 1 ESO Divisibilitat 2 A. El significat de les paraules. DIVISIBILITAT Amb els nombres 5, 7 i 35 podem escriure diverses expressions matemàtiques: 5x7= 35 35 = 7 5 35 = 5 7 35 7 0 5 35
Más detalles4.7. Lleis de Newton (relacionen la força i el moviment)
D21 4.7. Lleis de ewton (relacionen la força i el moviment) - Primera Llei de ewton o Llei d inèrcia QUÈ ÉS LA IÈRCIA? La inèrcia és la tendència que tenen el cossos a mantenirse en repòs o en MRU. Dit
Más detallesPolinomis. Objectius. Abans de començar. 1.Polinomis...pàg. 38 Grau. Expressió en coeficients Valor numèric d'un polinomi
3 Polinomis Objectius En aquesta quinzena aprendreu a: Trobar l'expressió en coeficients d'un polinomi i opereu-hi. Calcular el valor numèric d'un polinomi. Reconèixer algunes identitats notables, el quadrat
Más detalles8 Geometria analítica
Geometria analítica INTRODUCCIÓ Els vectors s utilitzen en diverses branques de la física que fan servir magnituds vectorials, per això és important que els alumnes en coneguin els elements i les operacions.
Más detallesEls arxius que crea Ms Excel reben el nom de LibroN, per aquest motiu cada vegada que creem un arxiu inicialment es diu Libro1, Libro2, Libro3,...
Què és Excel? Ms Excel és una aplicació informàtica que ens proporciona una forma molt còmoda i eficaç de treballar amb dades. Entre altres possibilitats, permet realitzar anàlisis, càlculs matemàtics,
Más detallesj 2.1 Polinomis en una indeterminada
BLOC POLINOMIS Una escala està formada per una sèrie de graons enganxats l un darrere l altre, de manera que cada graó determina un nivell. Si passem d un graó al de sobre, som en un nivell superior, i
Más detallesSemblança. Teorema de Tales
Semblança. Teorema de Tales Dos polígons són semblants si el angles corresponents són iguals i els costats corresponents són proporcionals. ABCDE A'B'C'D'E' si: Â = Â',Bˆ = Bˆ', Ĉ = Ĉ', Dˆ = Dˆ', Ê = Ê'
Más detallesI. SISTEMA DIÈDRIC 3. DISTÀNCIES I ANGLES DIBUIX TÈCNIC
DIBUIX TÈCNIC I. SISTEMA DIÈDRIC 3. DISTÀNCIES I ANGLES 1. Dist. d un punt a una recta - Abatiment del pla format per la recta i el punt 2. Dist. d un punt a un pla - Canvi de pla posant el pla de perfil
Más detallesOficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2005
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina de 0 PAU 005 SÈRIE Avalueu cada pregunta en punts i mitjos punts, però no en altres decimals. Ara bé, dins de cada pregunta podeu utilitzar
Más detallesFem un correu electrónic!! ( )
Fem un correu electrónic!! (E-mail) El correu electrònic es un dels serveis de Internet més antic i al mateix temps es un dels més populars i estesos perquè s utilitza en els àmbits d'oci i treball. Es
Más detallesTEORIA I QÜESTIONARIS
ENGRANATGES Introducció Funcionament Velocitat TEORIA I QÜESTIONARIS Júlia Ahmad Tarrés 4t d ESO Tecnologia Professor Miquel Estruch Curs 2012-13 3r Trimestre 13 de maig de 2013 Escola Paidos 1. INTRODUCCIÓ
Más detallesUNITAT DONAR FORMAT A UNA PRESENTACIÓ
UNITAT DONAR FORMAT A UNA PRESENTACIÓ 4 Plantilles de disseny Una plantilla de disseny és un model de presentació que conté un conjunt d estils. Aquests estils defineixen tota l aparença de la presentació,
Más detallesPrograma Grumet Èxit Fitxes complementàries
MESURA DE DENSITATS DE SÒLIDS I LÍQUIDS Activitat 1. a) Digueu el volum aproximat dels següents recipients: telèfon mòbil, un cotxe i una iogurt. Teniu en compte que un brik de llet té un volum de 1000cm3.
Más detallesTema 1: Equacions i problemes de primer grau.
Tema 1: Equacions i problemes de primer grau. 1.1. Igualtats, identitats i equacions. Dues expressions separades pel signe = és una igualtat. Les igualtats poden ser numèriques (només contenen números)
Más detalles1,94% de sucre 0,97% de glucosa
EXERCICIS DE QUÍMICA 1. Es prepara una solució amb 2 kg de sucre, 1 kg de glucosa i 100 kg d aigua destil lada. Calcula el tant per cent en massa de cada solut en la solució obtinguda. 1,94% de sucre 0,97%
Más detalles44 Dinàmica. Càlcul de la resultant de forces aplicades sobre un cos. Tercera llei de Newton. Forces d acció i reacció
44 Dinàmica DINÀMICA P.. P.2. P.3. P.4. P.5. P.6. Càlcul de la resultant de forces aplicades sobre un cos Descomposició de forces en un pla Primera llei de Newton. Aplicacions Segona llei de Newton. Aplicacions
Más detallesCreació d un bloc amb Blogger (I)
Creació d un bloc amb Blogger (I) Una vegada tenim operatiu un compte de correu electrònic a GMail és molt senzill crear un compte amb Blogger! Accediu a l adreça http://www.blogger.com. Una vegada la
Más detallesCalculadora d expressions aritmètiques
Calculadora d expressions aritmètiques Enunciat de la Pràctica de PRO2 Tardor 2016 2 de novembre de 2016 1 Introducció Volem desenvolupar una calculadora d expressions aritmètiques formades amb una sintaxi
Más detallesLLOCS GEOMÈTRICS. CÒNIQUES
LLOCS GEOMÈTRICS. CÒNIQUES Pàgina REFLEXIONA I RESOL Còniques obertes: paràboles i hipèrboles Completa la taula següent, en què a és l angle que formen les generatrius amb l eix, e, de la cònica i b l
Más detallesGUIA RÀPIDA DE TRADUCCIÓ AMB EL GOOGLE TRANSLATE
Assessorament Lingüístic i Terminologia Serveis Lingüístics Melcior de Palau, 140 08014 Barcelona Tel. 934 035 478 Fax 934 035 484 assessorament.sl@ub.edu www.ub.edu/sl/alt GUIA RÀPIDA DE TRADUCCIÓ AMB
Más detallesEQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB UNA INCÒGNITA
EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB UNA INCÒGNITA Recordeu: Una equació és una igualtat algebraica en la qual apareien lletres (incògnites) amb valor desconegut. El grau d una equació ve donat per l eponent major
Más detallesMatemàtiques 1, Editorial Castellnou
MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT Llibre utilitzat: Matemàtiques 1, Editorial Castellnou Observacions: La unitat 3 s estudia abans qua la unitat 2, per què l alumnat hagi revisat la Trigonometria abans de necessitar-la
Más detallesXupa-xup, sucre, respiració i velocitat de reacció
Xupa-xup, sucre, respiració i velocitat de reacció BASILI MARTÍNEZ ESPINET INS Miquel Martí i Pol (Roda de Ter) RESUM Es presenta una experiència que estudia els factors que influeixen en la reacció d
Más detalles3. DIAPOSITIVA D ORGANIGRAMA I DIAGRAMA
1 3. DIAPOSITIVA D ORGANIGRAMA I DIAGRAMA Ms PowerPoint permet inserir, dins la presentació, objectes organigrama i diagrames. Els primers, poden resultar molt útils si es necessita presentar gràficament
Más detallesTELECENTRES DE TARRAGONA
TELECENTRES DE TARRAGONA APRÈN A CREAR EL TEU PROPI BLOG Manual elaborat pel personal de Telecentres de la ciutat de Tarragona (Ajuntament de Tarragona 2010-2011) INTRODUCCIÓ Un blog podem dir que és una
Más detallesBLOCS BLOGGER. Document de treball del camp d aprenentatge de l alt Berguedà. MARÇ 2009
BLOCS BLOGGER Document de treball del camp d aprenentatge de l alt Berguedà. MARÇ 2009 CREAR I DISSENYAR UN BLOC. (BLOGGER) 1. CREAR UN BLOC: 1.1 Entrar a la pàgina web del blogger (https://www.blogger.com/start).
Más detallesEs important dir que, dos vectors, des del punt de vista matemàtic, són iguals quan els seus mòduls, sentits i direccions són equivalents.
1 CÀLCUL VECTORIAL Abans de començar a parlar de vectors i ficar-nos plenament en el seu estudi, hem de saber distingir els dos tipus de magnituds que defineixen la física: 1. Magnituds escalars: magnituds
Más detalles1 Problemes de física per a batxillerat... // M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: 84-8458-220-5
1 Problemes de física per a batxillerat... // M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: 84-8458-0-5 MESURA FÍSICA: MAGNITUDS i UNITATS Índex P.1. P.. P.3. P.4. P.5. Magnituds físiques. Unitats Anàlisi
Más detallesPENJAR FOTOS A INTERNET PICASA
PENJAR FOTOS A INTERNET PICASA Penjar fotos a internet. (picasa) 1. INSTAL.LAR EL PROGRAMA PICASA Per descarregar el programa picasa heu d anar a: http://picasa.google.com/intl/ca/ Clicar on diu Baixa
Más detalles1 Com es representa el territori?
Canvi de sistema de referència d ED50 a ETRS89 El sistema de referència ETRS89 és el sistema legalment vigent i oficial per a Catalunya establert pel Decret 1071/2007. Les cartografies i plànols existents
Más detallesUna plantilla és un fitxer model que conté una sèrie d elements que serveixen de base per a la creació d altres documents similars.
Ús de plantilles Una plantilla és un fitxer model que conté una sèrie d elements que serveixen de base per a la creació d altres documents similars. Per exemple, molts dels elements que apareixen en un
Más detallesCURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García
INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica
Más detallesNOM IMATGE /enllaç ampliació d informació EXPLICACIONS
L ORDINADOR Tipus d ordinadors de sobretaula portàtil de butxaca Formats per la unitat central, el teclat, el ratolí i la pantalla. A la unitat central o torre és on es troben la gran part del maquinari
Más detallesCONEIXES LES DENTS? Objectiu: Conèixer i diferenciar els tipus de dentadura i de dents.
CONEIXES LES DENTS? Objectiu: Conèixer i diferenciar els tipus de dentadura i de dents. Descripció: A partir de la fitxa de treball núm.1, comentar i diferenciar la dentició temporal de la permanent, així
Más detallesMÚLTIPLES I DIVISORS
MÚLTIPLE D UN NOMBRE MÚLTIPLES I DIVISORS El múltiple d un nombre és el resultat de multiplicar aquest nombre per 0, per 1, per 2, per 3, per 15, per 52 per qualsevol nombre natural. Per exemple: Escriu
Más detallesGUIA CAPITALITZACIÓ DE L ATUR
GUIA CAPITALITZACIÓ DE L ATUR 0 Índex 1. Què és la capitalització de l atur? Pàg. 2 2. Requisits Pàg. 3 3. Com i qui pot beneficiar se? Pàg. 4 4. Tràmits i documentació per a la sol licitud Pàg. 6 5. Informació
Más detallesL essencial 1. COMPARACIÓ DE NOMBRES DECIMALS 2. SUMA I RESTA DE NOMBRES DECIMALS NOMBRES DECIMALS FES-HO AIXÍ NOM: CURS: DATA:
4 NOMBRES DECIMALS NOM: CURS: DATA: L essencial 1. COMPARACIÓ DE NOMBRES DECIMALS Ordena de més petit a més gran: 1,9; 1,901; 11,901. PRIMER. Comparem la part entera dels nombres. El més gran és el que
Más detallesUnitat 9. Els cossos en l espai
Unitat 9. Els cossos en l espai Pàgina 176. Reflexiona Si et fixes en la forma dels objectes del nostre entorn, descobriràs els cossos geomètrics. Els cossos geomètrics sols existeixen en la nostra ment.
Más detallesJustificació de bestretes a proveïdors i despeses a justificar
Justificació de bestretes a proveïdors i despeses a justificar A continuació es detalla el procediment que cal seguir per tal de justificar aquelles bestretes o avançaments a proveïdors que la Unitat de
Más detallesRegistre del consum d alcohol a l e-cap
Registre del consum d alcohol a l e-cap Rosa Freixedas, Estela Díaz i Lídia Segura Subdirecció General de Drogodependències ASSOCIACIÓ D INFERMERI A FAMILIAR I COMUNITÀRI A DE CATALUN YA Índex Introducció
Más detallesCapítol 5, Espais vectorials
Capítol 5, Espais vectorials 5.1 Combinació lineal de vectors Una combinació lineal d'un grup de vectors v 1, v 2,...,v n d'un espai vectorial E sobre un cos K és un altre vector que s'obté de la forma:
Más detallesTutorial amplificador classe A
CFGM d Instal lacions elèctriques i automàtiques M9 Electrònica UF2: Electrònica analògica Tutorial amplificador classe A Autor: Jesús Martin (Curs 2012-13 / S1) Introducció Un amplificador és un aparell
Más detallesBreu tutorial actualització de dades ATRI. El Departament al portal ATRI i no directament a les persones afectades
Breu tutorial actualització de dades ATRI El Departament al portal ATRI i no directament a les persones afectades El Departament informa al portal ATRI (i no directament a les persones afectades): El no
Más detallesXERRADA SOBRE LES DROGUES. Oficina de Relacions amb la Comunitat Comissaria de Mossos d Esquadra de Manresa. mossos d esquadra
XERRADA SOBRE LES DROGUES Oficina de Relacions amb la Comunitat Comissaria de Mossos d Esquadra de Manresa mossos d esquadra Generalitat de Catalunya Departament d Interior, Relacions Institucionals i
Más detallesFamiliarizarse con las propiedades y las principales técnicas de integración.
Capítulo 7 Integración Objetivos Familiarizarse con las propiedades y las principales técnicas de integración. 7.1. Definición y propiedades Sea f(x) una función real. Una primitiva o integral indefinida
Más detallesEl logotip de la Unió Europea haurà d incloure una de les dues següents referències, en funció de quin programa operatiu apliqui:
Indicacions per a la correcta execució de les mesures d informació i publicitat de les actuacions cofinançades pel Fons Social Europeu en el marc del Programa Operatiu del FSE 2014/2020 a Catalunya, o
Más detallesPolígon. Taula de continguts. Noms i tipus. De Viquipèdia. Per a altres significats, vegeu «Polígon (desambiguació)».
Polígon De Viquipèdia Per a altres significats, vegeu «Polígon (desambiguació)». Un polígon (del grec, "molts angles") és una figura geomètrica plana formada per un nombre finit de segments lineals seqüencials.
Más detalles2 x
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencial e Integral 08-2 Importante: Visita regularmente ttp://www.dim.ucile.cl/~calculo. Aí encontrarás las guías de ejercicios
Más detalles79 Problemes de física per a batxillerat...// M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN:
79 Problemes de física per a batxillerat...// M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: 84-8458-0-5 TREBALL I ENERGIA Index P.. P.. P.3. P.4. P.5. P.6. Concepte de treball Teorema del treball i de
Más detallesSOLUCIONARI Unitat 1
SOLUCIONARI Unitat 1 Magnituds físiques Qüestions 1. L alegria és una magnitud física? I la força muscular del braç d un atleta? I la intel. ligència? Raoneu les respostes. Les magnituds físiques són totes
Más detallesMATERIAL A UTILITZAR: Núm. de DESPLEGABLE: P5 Núm. 1 FITXA: - Desplegable amb vinyetes d algunes de les seqüències de la història de la Bleda.
NOM DE L ACTIVITAT: La Bleda ha après moltes coses... i tu? Núm. de FITXA: DESPLEGABLE: P5 Núm. 1 OBJECTIUS: - Que els nens/es identifiquin els hàbits higiènics com a hàbits diaris. - Que els nens/es integrin
Más detallesSeguretat informàtica
Informàtica i comunicacions Seguretat informàtica CFGM.SMX.M06/0.09 CFGM - Sistemes microinformàtics i xarxes Generalitat de Catalunya Departament d Ensenyament Aquesta col lecció ha estat dissenyada
Más detalles1. CONFIGURAR LA PÀGINA
1 1. CONFIGURAR LA PÀGINA El format de pàgina determina l aspecte global d un document i en modifica els elements de conjunt com són: els marges, la mida del paper, l orientació del document i l alineació
Más detalles6. Calcula l obertura de l angle que falta. Digues de quin tipus d angles es tracta. 6
Geometria dossier estiu 2012 2C 1. Dibuixa dues rectes, m i n, que siguin: a) Paral leles horitzontalment. c) Paral leles verticalment. b) Secants. d) Perpendiculars. 6 2. Dibuixa una recta qualsevol m
Más detallesCREACIÓ I RESTAURACIÓ D'IMATGES DE CLONEZILLA EN UN PENDRIVE AUTORRANCABLE
CREACIÓ I RESTAURACIÓ D'IMATGES DE CLONEZILLA EN UN PENDRIVE AUTORRANCABLE En aquest tutorial aprendrem: a) Primer, com fer que un pendrive sigui autoarrancable b) Després, com guardar la imatge d'un portàtil
Más detallesEl certificat. Tractament personal. Estructura i fraseologia. 1. Títol del certificat (opcional)
El certificat És el document per mitjà del qual l Administració dóna fe d un fet o garanteix l exactitud de les dades que conté un arxiu, un llibre d actes, un registre, etcètera. Mida del full: ISO A4
Más detallesCAMPS DE FORÇA CONSERVATIUS
El treball fet per les forces del camp per a traslladar una partícula entre dos punts, no depèn del camí seguit, només depèn de la posició inicial i final. PROPIETATS: 1. El treball fet pel camp quan la
Más detalles10. EL MERCAT DE BÉNS I SERVEIS. LA PRODUCCIÓ I LA DEMANDA AGREGADA: UN MODEL SIMPLE DE RENDA - DESPESA.
10 EL MERCAT DE BÉNS I SERVEIS LA PRODUCCIÓ I LA DEMANDA AGREGADA: UN MODEL SIMPLE DE RENDA - DESPESA Programa detallat: 101 Alguns conceptes previs 102 Components de la demanda agregada o despesa 103
Más detallesRESUM ORIENTATIU DE CONVALIDACIONS
RESUM ORIENTATIU DE CONVALIDACIONS TIPUS DE CONVALIDACIONS Aquest document recull les possibles convalidacions de mòduls i unitats formatives del cicle formatiu de grau superior ICA0 Administració de sistemes,
Más detallesDINÀMICA DE SISTEMES DE PARTÍCULES
07 Problemes de física per a batxillerat...// M. L. Escoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: 84-8458-0-5 DINÀMICA DE SISTEMES DE PARTÍCULES P.. P.. P.3. P.4. P.5. Concepte de centre de masses Moviment
Más detallesDistricte Universitari de Catalunya
Proves d accés a la Universitat. Curs 2006-2007 Tecnologia industrial Sèrie 3 La prova consta de dues parts de dos exercicis cadascuna. La primera part és comuna i la segona té dues opcions (A o B), de
Más detallesCONSULTA DE QUALIFICACIONS FINALS: --- CONSULTA DE CALIFICACIONES FINALES:
EOI DE PALMA DE MALLORCA CURS: 2015-2016 CONSULTA DE QUALIFICACIONS FINALS: - ALUMNAT OFICIAL - ALUMNAT DE LES PROVES DE CERTIFICACIÓ ( LLIURE ) - ALUMNAT EOIES --- CONSULTA DE CALIFICACIONES FINALES:
Más detallesUnitat. Evitar la clavada. Recursos. Observacions
Unitat Evitar la clavada Recursos Observacions Pensa Pinta i dibuixa les caselles del tauler amb els colors i les trames indicats a les caselles exteriors. Color del fons Trama del fons Color del peó Trama
Más detallesLa marca de la Diputació de Barcelona
La marca de la Diputació de Barcelona La nostra marca evoluciona amb nosaltres La Diputació de Barcelona ha revisat la seva marca, d una banda per aconseguir una imatge unificada que ens identifiqui com
Más detallesUNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
Opción A Ejercicio 1.- Sea f : R R definida por f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. a) [1 75 puntos] Halla a,b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1 2 y que la recta tangente en
Más detalles3r a 4t ESO INFORMACIÓ ACADÈMICA I D OPTATIVES
r a 4t ESO INFORMACIÓ ACADÈMICA I D OPTATIVES Camí DE SON CLADERA, 20-07009 Palma Tel. 971470774 Fax 971706062 e-mail: iesjuniperserra@educacio.caib.es Pàgina Web: http://www.iesjuniperserra.net/ ORIENTACIÓ
Más detallesManua. ( Linux. d UPClink. programari: la versió de. sudo./oab java6.sh. Pàgina 1 de 8
Manua al d utilització d UPClink VPN.UPC.EDU ( Linux Ubuntu 10.04 LTS ) Requisits de sistema mínims. Per tal de fer ús del servei d UPClink cal disposar de les següents versions de programari: Ubuntu 10.04
Más detallesUnitat 10. La Taula Periòdica (Llibre de text Unitat 8, pàg )
Unitat 10 La Taula Periòdica (Llibre de text Unitat 8, pàg. 267-284) Index D1 10.1. Taula Periòdica actual 10.2. Descripció de la Taula Periòdica actual 10.3. L estructura electrònica i la Taula Periòdica
Más detallesEscherichia coli. Bacteri simbiont que habita lʼintestí gruixut de molts animals entre ells lʼhome.
2.2 Teixits Els organismes més simples que existeixen són aquells que estan formats per una única cèl lula. Aquest tipus d organismes s anomenen unicel lulars. Aquesta cèl lula és capaç de fer totes les
Más detallesServei d Atenció al Client. Requisits tècnics per fer correctament la transmissió de fitxers
Requisits tècnics per fer correctament la transmissió de fitxers Pàgina 1 14/04/2004 ÍNDEX 1. Introducció...3 2. Requeriments tècnics...3 3. Navegació amb Internet Explorer...3 3.1. Situació inicial...
Más detalles10 Calcula la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles A y B.
1 De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45 y C = 105. Calcula los restantes elementos. 2 De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30. Calcula los restantes elementos. 3 Resuelve el triángulo
Más detallesEcuaciones, inecuaciones y sistemas
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 1 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas Ecuaciones con una incógnita. Ecuación.- Una ecuación es una igualdad de expresiones
Más detallesXVII JORNADES D ESCOLA RURAL. I a les aules, què? Des del secretariat de l escola rural, ja fa força temps que ens preguntem
17/18 d octubre de 2014 a Verdú I a les aules, què? Setembre de 2014 Benvolgudes i benvolguts, Des del secretariat de l escola rural, ja fa força temps que ens preguntem sobre allò que ens defineix, immersos
Más detallesLleis químiques Àtoms, elements químics i molècules Mesura atòmica i molecular Fórmula empírica i fórmula molecular
Lleis químiques Àtoms, elements químics i molècules Mesura atòmica i molecular Fórmula empírica i fórmula molecular U1 Lleis químiques Lleis ponderals: - Llei de Lavoisier - Llei de Proust Teoria atòmica
Más detallesVALORACIÓ D EXISTÈNCIES / EXPLICACIONS COMPLEMENTÀRIES DE LES DONADES A CLASSE.
VALORACIÓ D EXISTÈNCIES / EXPLICACIONS COMPLEMENTÀRIES DE LES DONADES A CLASSE. Existeix una massa patrimonial a l actiu que s anomena Existències. Compren el valor de les mercaderies (i altres bens) que
Más detallesForces i lleis de Newton
1 En les dues últimes unitats hem estudiat els moviments sense preocupar-nos de les causes que els originen. La part de la física que s'encarrega d'estudiar aquestes causes és la dinàmica. L'experiència
Más detallesEl lèxic. La formació dels mots
El lèxic. La formació dels mots La flexió i la derivació. Fixem-nos en aquests grups de paraules: mar, submarí, submarinista, marejol, marinada, mars paperera, papers, paperer, paper, papereria, paperot,
Más detallesTipus de Currículum Vitae
El Currículum Vitae El currículum és un document que conté informació personal i professional necessària i rellevant per trobar feina en el món laboral. L objectiu del currículum és obtenir una entrevista
Más detallesConsum a través Internet... Compra sense por!
Consum a través Internet... Compra sense por! SABIES QUÈ...? T has plantejat mai quina diferència hi ha entre la botiga del costat de casa i una botiga d Internet? Què tenen en comú?? Semblances Diferències
Más detalles2. Quins aspectes del model atòmic de Dalton es mantenen vigents i quins aspectes s ha demostrat que són incorrectes?
Unitat 8. de Dalton, Thomson i Rutherford 1. Activitat inicial Per comprovar quins són els teus coneixements previs sobre l estructura atòmica, fes un dibuix que representi com penses que és un àtom. Sobre
Más detallesEls triangles. El costat AB és oposat al vèrtex C i a l angle C. Propietats bàsiques
Els triangles Els triangles Es denomina amb la seqüència de vèrtexs:. és un angle interior, denominat senzillament angle del triangle. ' és un angle exterior.. ' Propietats bàsiques El costat és oposat
Más detallesNom. ACTIVITAT 2. Massa + ingredients = pizza. 1. Ves a la secció de plats precuinats. Agafa una pizza i anota les següents dades: a) Nom
Nom ACTIVITAT 2. Massa + ingredients = pizza 1. Ves a la secció de plats precuinats Agafa una pizza i anota les següents dades: a) Nom b) Ingredients c) Pes i preu d) % massa = % ingredients = e) % de
Más detallesTERCER TRABAJO EN GRUPO Grupo 10
TERCER TRABAJO EN GRUPO Grupo 10 Problema 1.- Se considera la ecuación x 3 + x + mx 6 = 0. Utilizando el Teorema de Bolzano demostrar que: (i) Si m > 3 la ecuación tiene al menos una raíz real menor que.
Más detalles1 ( 7 ( 6)) 2 ( 2) b) c) 3. Classifica els següents nombres segons que pertanyin als conjunts següents
IMPORTANT: les activitats s han de fer en un dossier a banda, on s ha d indicar el número d exercici i escriure-hi cada pas que fas. El dossier es lliurarà el dia de l examen extraordinari de setembre.
Más detallesLa volta al món en 80 dies-07 18/10/07 08:23 Página 107 I TU, COM HO VEUS?
I TU, COM HO VEUS? ~ I tu, com ho veus? ~ La volta al món en 80 dies ~ 1 El treball a) Phileas Fogg té prou diners per viure bé sense haver de treballar. Coneixes personalment algú que pugui viure bé
Más detallesFEM UN BLOC AMB WORD PRESS
FEM UN BLOC AMB WORD PRESS Donar-nos d alta 1- Entrem a la pàgina del Wordpress http://ca.wordpress.com/ Si ja estem registrats, posem nom d usuari i contrasenya, i entra Si no ho estem, cliquem registra
Más detalles