Estadística Multivariada Computacional Introducción al Aprendizaje Automático (parte 1)
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- Miguel Martín Crespo
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1 Estadística Multivariada Computacional Introducción al Aprendizaje Automático (parte 1) Mathias Bourel IMERL - Facultad de Ingeniería, Universidad de la República, Uruguay 24 de octubre de 2016 M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
2 Introducción Otras denominaciones: machine learning, statistical learning, inteligencia artificial Las técnicas de Aprendizaje Estadístico pueden ayudar a resolver los problemas que se presentan frecuentemente al modelar un fenómeno ecológico, económico, médico, climático, etc. Idea: a partir de una muestra de entrenamiento, construir y entrenar un modelo que permitirá, dada una nueva observación, predecir la categoría a la que pertenece o algún valor relevante de salida. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
3 Ejemplos Predecir si un correo es spam o no spam. Predecir si un paciente es propenso a tener una enfermedad cardíaca. Estimar la tasa de ozono en una ciudad teniendo en cuentas variables climáticas. Predecir la ausencia o presencia de una especie en determinado medio. Predecir fugas de clientes para una institución financiera. Identificar cifras manuscritas de códigos postales en sobres. Partir una población en varios subgrupos. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
4 Aprendizaje Estadístico M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
5 Esquema del Aprendizaje Estadístico Contexto general del Aprendizaje Estadístico: L una base de datos. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
6 Esquema del Aprendizaje Estadístico Contexto general del Aprendizaje Estadístico: L una base de datos. Queremos hallar f : X Y un buen predictor. Aprendizaje Supervisado L = {(X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n)} X Y R d R X (input): variable independiente, explicativa, de entrada (reales o multidimensionales, continuas, categóricas, binarias, etc. Y (output): variable dependiente, de salida real o categórica. Clasificación: Y { 1, 1} (binario) or Y {1,..., K} (multiclasses). Regresión: Y R. Aprendizaje No Supervisado L = {X 1,..., X n} X R d Clustering Estimación de la densidad M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
7 Ejemplos 1 Contaminación ambiental Variables de entrada X : vector de variables ambientales en el día n (temperatura, presión atmosférica, vientos, etc.) Variable de salida Y : nivel de contaminación ambiental en el día n + 1 El ejemplo corresponde a un problema de regresión, pero si se considera la variable de salida Y dividida en categorías el problema es de clasificación. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
8 Ejemplos 2. Selección de hábitat de una especie. Variables de entrada X : abundancia de alimento, características del terreno (altitud, pendiente), distancia al agua, etc. Variable de salida Y : presencia/ausencia de la especie. El output Y es una variable binaria, esto es toma sólo los valores 0, 1, por lo que el ejemplo es de clasificación. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
9 Ejemplos 3. Predicción de fugas de clientes en una institución bancaria Variables de entrada X : comportamiento bancario (saldos mensuales, retiros, etc.), sociodemográfica (datos personales), percepción de la calidad del servicio, antig. ed ad cliente. Variable de salida Y : fuga o no fuga del cliente. El output Y es una variable binaria, esto es toma sólo los valores 0, 1, por lo que el ejemplo es de clasificación. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
10 Un poco de formalidad En general consideramos una función de perdida L (de 3 variables en contexto supervisado), es decir L(x, y, u) la cual mide el costo de decidir u para el input x sabiendo que y es el verdadero output. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
11 Un poco de formalidad En general consideramos una función de perdida L (de 3 variables en contexto supervisado), es decir L(x, y, u) la cual mide el costo de decidir u para el input x sabiendo que y es el verdadero output. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
12 Un poco de formalidad En general consideramos una función de perdida L (de 3 variables en contexto supervisado), es decir L(x, y, u) la cual mide el costo de decidir u para el input x sabiendo que y es el verdadero output. Más precisamente, se busca una función f C (teórica), entre todas las funciones de una cierta clase C, que haga mínimo el valor esperado de L (que llamamos riesgo), es decir que haga mínimo R L (f ) = E ( L(X, Y, f (X ) ). M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
13 Un poco de formalidad En general consideramos una función de perdida L (de 3 variables en contexto supervisado), es decir L(x, y, u) la cual mide el costo de decidir u para el input x sabiendo que y es el verdadero output. Más precisamente, se busca una función f C (teórica), entre todas las funciones de una cierta clase C, que haga mínimo el valor esperado de L (que llamamos riesgo), es decir que haga mínimo R L (f ) = E ( L(X, Y, f (X ) ). La elección de C depende de la naturaleza del fenómeno que se modela, las hipótesis y la experiencia sobre los datos que se disponen, la opinión de los expertos, etc. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
14 Un poco de formalidad En la práctica este predictor se construye a partir de una muestra de entrenamiento L = {(X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ),..., (X n, Y n)} y se construye como aquella función que minimiza el riesgo empírico R n,l (f ) = 1 n L ( X i, Y i, f (X i ) ) n i=1 Es decir, 1 n f C = ArgminR n,l (g) = Argmin L ( X i, Y i, g(x i ) ) g C g C n i=1 M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
15 Un poco de formalidad Por ejemplo, en un problema de clasificación si Y {1,..., K}, utilizamos como función de pérdida L(x, y, u) = 1 {u y}. El riesgo asociado a L es: R L (f ) = P ( Y f (X ) ) y el riesgo empírico es La función que minimiza R L (f ) es R L,n (f ) = 1 n #{i : f (X i ) Y i } f (x) = Argmax P(Y = k X = x) k {1,...,K} y predice la clase k quién maximiza la probabilidad a posteriori de Y sabiendo X. Este clasificador se conoce como clasificador de Bayes. Si en vez de minimizar el riesgo teórico minimizamos el riesgo empírico, el problema se reduce en buscar aquella función que minimiza la cantidad de errores cometidos sobre la muestra. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
16 Problema de Clasificación Supongamos que nuestro problema es binario y que queremos clasificar las observaciones en dos categorías: 0 y 1. En este caso el clasificador de Bayes es la función f que minimiza la probabilidad de equivocarse: f = Argmin P(f (X ) Y ) f :X {0,1} M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
17 Problema de Clasificación Supongamos que nuestro problema es binario y que queremos clasificar las observaciones en dos categorías: 0 y 1. En este caso el clasificador de Bayes es la función f que minimiza la probabilidad de equivocarse: f = Argmin P(f (X ) Y ) f :X {0,1} y se obtiene de la siguiente manera: { f 1 si P(Y = 1 X = x) 1 (x) = 2 0 si P(Y = 1 X = x) < 1 2 M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
18 Problema de Clasificación Supongamos que nuestro problema es binario y que queremos clasificar las observaciones en dos categorías: 0 y 1. En este caso el clasificador de Bayes es la función f que minimiza la probabilidad de equivocarse: f = Argmin P(f (X ) Y ) f :X {0,1} y se obtiene de la siguiente manera: { f 1 si P(Y = 1 X = x) 1 (x) = 2 0 si P(Y = 1 X = x) < 1 2 Sea ahora f : X {0, 1} una función medible (un clasificador) y x X. entonces P(f (X ) Y X = x) = 1 P(f (X ) = Y X = x). M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
19 Problema de Clasificación Supongamos que nuestro problema es binario y que queremos clasificar las observaciones en dos categorías: 0 y 1. En este caso el clasificador de Bayes es la función f que minimiza la probabilidad de equivocarse: f = Argmin P(f (X ) Y ) f :X {0,1} y se obtiene de la siguiente manera: { f 1 si P(Y = 1 X = x) 1 (x) = 2 0 si P(Y = 1 X = x) < 1 2 Sea ahora f : X {0, 1} una función medible (un clasificador) y x X. entonces P(f (X ) Y X = x) = 1 P(f (X ) = Y X = x). Como P(Y = f (X ) X = x) = máx { P(Y = 0 X = x), P(Y = 1 X = x) } se tiene : P(f (X ) Y X = x) P(f (X ) Y X = x) = P(Y = f (X ) X = x) P(Y = f (X ) X = x) 0 M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
20 Problema de Clasificación Supongamos que nuestro problema es binario y que queremos clasificar las observaciones en dos categorías: 0 y 1. En este caso el clasificador de Bayes es la función f que minimiza la probabilidad de equivocarse: f = Argmin P(f (X ) Y ) f :X {0,1} y se obtiene de la siguiente manera: { f 1 si P(Y = 1 X = x) 1 (x) = 2 0 si P(Y = 1 X = x) < 1 2 Sea ahora f : X {0, 1} una función medible (un clasificador) y x X. entonces P(f (X ) Y X = x) = 1 P(f (X ) = Y X = x). Como P(Y = f (X ) X = x) = máx { P(Y = 0 X = x), P(Y = 1 X = x) } se tiene : Entonces: P(f (X ) Y X = x) P(f (X ) Y X = x) = P(Y = f (X ) X = x) P(Y = f (X ) X = x) 0 x X P(f (X ) Y X = x) P(f (X ) Y X = x) M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
21 Problema de Clasificación Supongamos que nuestro problema es binario y que queremos clasificar las observaciones en dos categorías: 0 y 1. En este caso el clasificador de Bayes es la función f que minimiza la probabilidad de equivocarse: f = Argmin P(f (X ) Y ) f :X {0,1} y se obtiene de la siguiente manera: { f 1 si P(Y = 1 X = x) 1 (x) = 2 0 si P(Y = 1 X = x) < 1 2 Sea ahora f : X {0, 1} una función medible (un clasificador) y x X. entonces P(f (X ) Y X = x) = 1 P(f (X ) = Y X = x). Como P(Y = f (X ) X = x) = máx { P(Y = 0 X = x), P(Y = 1 X = x) } se tiene : Entonces: P(f (X ) Y X = x) P(f (X ) Y X = x) = P(Y = f (X ) X = x) P(Y = f (X ) X = x) 0 x X P(f (X ) Y X = x) P(f (X ) Y X = x) y por lo tanto, si F es la función de distribución de X, obtenemos que el riesgo de Bayes L es: L = P(f (X ) Y ) = P(f (X ) Y X = x) df (x) P(f (X ) Y X = x) df (x) = P(f (X ) Y ). M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
22 Un poco de formalidad Por ejemplo, en un problema de regresión se busca una función f : R d R de manera que dada una nueva (X, Y ), la prdiction f (X ) sea una buena aproximación de Y, es decir que la distancia entre f (X ) e Y sea pequeña. Se utiliza L(x, y, u) = (u y) 2. El riesgo asociado a L es: R L (f ) = E X,Y ( (Y f (X )) 2 ) y el riesgo empírico es R L,n (f ) = 1 n i=1 La función que minimiza R L (f ) es n ( Yi f (X i ) ) 2 f (x) = E(Y X = x) Si en vez de minimizar el riesgo teórico minimizamos el riesgo empírico, el problema se reduce en buscar aquella función que minimiza el método de los mínimos cuadrados. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
23 Errores de aproximación Si llamamos: f al predictor teórico (no lo conocemos ni lo vamos a conocer). f C al mejor entre todos los predictores posibles dentro de la clase de funciones C (no lo conocemos ni lo vamos a conocer). ˆf n al predictor que usamos en la práctica (el que minimiza el riesgo empírico): Clase de funciones C Error de estimación (controlable) f n f C Error de modelización f M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
24 Errores de aproximación Error de modelización (asociado al sesgo): f f C depende de la elección de la clase C, si consideramos como la familia de todas las funciones posibles, tendremos overfitting. Error de estimación (asaociado a la varianza): ˆf n f C es un error estadístico, si el tamaño n de la muestra es grande, bajo ciertas hipótesis sobre la clase C, se cumple que ˆf n converge, cuando n tiende a infinito a f C. Un modelo muy simple tendrá probablemente un alto error de modelización y no aprenderemos demasiado de los datos (subajuste, underfitting) mientras que un modelo con muchos parametros tendrá un alto error estadístico (tendencia a sobreajustar, overfitting). Debemos lograr un compromiso entre ambos errores, de forma tal que el error global sea el menor posible. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
25 Teorema Fundamental del Learning El Teorema Fundamental del Learning (Vapnik, 1997) establece que, bajo ciertas condiciones sobre la clase de funciones C, ˆf n converge a f C (riesgos mediante). Estas condiciones están relacionadas con la dimensión de Vapnik-Chervonenkis (dimensión VC) de la clase de funciones C. La dimensión VC mide cuan grande es una clase infinita de funciones, así si C no es demasiado grande, esto es que la dimensión VC es finita, se está en las hipótesis del Teorema fundamental de Learning. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
26 Un poco de formalidad Para evitar el sobreajuste (overfitting), se evalúa la performance del predictor (error de clasificación, error cuadrático medio) con una nueva muestra llamada muestra de evaluación, independiente de la muestra de entrenamiento. Otras formas de evaluar el predictor: validación cruzada, bootstrap. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
27 Overfitting M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
28 Overfitting y f(x) y f(x) p = x x y f(x) p = 3 y f(x) p = x x M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
29 Modelo lineal: regresión lineal simple (métodos de los minimos cuadrados) M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
30 Modelo lineal: regresión lineal simple (métodos de los minimos cuadrados) Datos: L = {(X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n)} M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
31 Modelo lineal: regresión lineal simple (métodos de los minimos cuadrados) Datos: L = {(X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n)} Se busca la recta y = ax + b que pasa lo más cerca posible de los datos. Y i a x i +b b ε i x i Hallamos a y b que minimizan la suma de los errores al cuadrado n ε 2 i = n ( Yi (ax i + b) ) 2 i=1 i=1 El modelo de la regresión lineal simple es Y i = ax i + b +ε i, i = 1,..., n }{{} y est M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
32 Modelo lineal (métodos de los minimos cuadrados) El método anterior se puede ampliar fácilmente. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
33 Modelo lineal (métodos de los minimos cuadrados) El método anterior se puede ampliar fácilmente. Por ejemplo la parábola de minímos cuadrados que ajusta un conjunto de puntos: M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
34 Modelo lineal (métodos de los minimos cuadrados) El método anterior se puede ampliar fácilmente. Por ejemplo la parábola de minímos cuadrados que ajusta un conjunto de puntos: y = a + bx + cx 2 (modelo lineal en los coeficientes!) y 1 y 2 y 3 = 1 x 1 x x 2 x x 3 x 2 3 a b c + ε 1 ε 2 ε 3 M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
35 CART Classification And Regression Trees, Breiman Dos tipos de arboles: arboles de regresión para predecir variables continuas y arboles de clasificación para predecir variables categóricas. El arbol se construye a partir de particiones binarias respecto de las coordenadas de los datos. Por ejemplo si X = (X 1,..., X d ) es un dato, la condición de corte va ser del tipo X 2 < c o X 2 c y asi sucesivamente. Etapas: 1 Separación binaria de los datos de cada nodo en dos subnodos según algún criterio M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
36 CART Classification And Regression Trees, Breiman Dos tipos de arboles: arboles de regresión para predecir variables continuas y arboles de clasificación para predecir variables categóricas. El arbol se construye a partir de particiones binarias respecto de las coordenadas de los datos. Por ejemplo si X = (X 1,..., X d ) es un dato, la condición de corte va ser del tipo X 2 < c o X 2 c y asi sucesivamente. Etapas: 1 Separación binaria de los datos de cada nodo en dos subnodos según algún criterio 2 Decisión del tamaño del árbol: criterios de parada y de poda M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
37 CART Classification And Regression Trees, Breiman Dos tipos de arboles: arboles de regresión para predecir variables continuas y arboles de clasificación para predecir variables categóricas. El arbol se construye a partir de particiones binarias respecto de las coordenadas de los datos. Por ejemplo si X = (X 1,..., X d ) es un dato, la condición de corte va ser del tipo X 2 < c o X 2 c y asi sucesivamente. Etapas: 1 Separación binaria de los datos de cada nodo en dos subnodos según algún criterio 2 Decisión del tamaño del árbol: criterios de parada y de poda 3 Asignación de una clase o de un valor a los nodos terminales. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
38 CART Ejemplo: Iris Objetivo: Predecir la especie de la flor de iris. Datos: de 150 flores Variable dependiente: Especie (setosa, virginica, versicolor) Variables independientes: largo y ancho del sépalo, largo y ancho del pétalo M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
39 CART Ejemplo: Contaminación aire (airquality) Objetivo: Predecir el nivel de ozono en New York. Datos: de 153 días Variable dependiente: nivel de ozono Variables independientes: fecha, radiación solar, viento y temperatura M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
40 CART Facil interpretación, pero... muy inestable: un pequeño cambio en la muestra lleva a resultados completamente distintos. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
41 CART Facil interpretación, pero... muy inestable: un pequeño cambio en la muestra lleva a resultados completamente distintos. Idea de combinar clasificadores (métodos de agregación): 1 Bagging (Breiman, 1996): promedio de varios arboles basados en remuestras de los datos. 2 Random Forests (Breiman, 2001): combina los algoritmos Bagging y CART. 3 Boosting (Freund and Shapire, 1997): promedio ponderado de arboles. La ponderación toma en cuenta la performance de cada arbol en cada etapa del algoritmo. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
42 Support Vector Machines (SVM) En el contexto de clasificación, SVM (Vapnik, 1995) es una metodología que consiste en encontrar una curva que separe lo mejor posible los datos. M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
43 Support Vector Machines (SVM) En el contexto de clasificación, SVM (Vapnik, 1995) es una metodología que consiste en encontrar una curva que separe lo mejor posible los datos. Si los datos son linealmente separables: válido optimo válido M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
44 Support Vector Machines Si los datos no son linealmente separables, los llevamos a un espacio donde sí lo son: Φ M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
45 Aprendizaje No Supervisado Esta vez se dispone de una muestra de entrenamiento pero sin output, es decir, L = {X 1,..., X n} donde X i R d y se quiere formar K grupos distintos y homogéneos (clustering). M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
46 Aprendizaje No Supervisado Esta vez se dispone de una muestra de entrenamiento pero sin output, es decir, L = {X 1,..., X n} donde X i R d y se quiere formar K grupos distintos y homogéneos (clustering). M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
47 Aprendizaje No Supervisado Esta vez se dispone de una muestra de entrenamiento pero sin output, es decir, L = {X 1,..., X n} donde X i R d y se quiere formar K grupos distintos y homogéneos (clustering). M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
48 Bibliografía James, G., Witten, D., Hastie, T., Tibshirani, R An Introduction to Statistical Learning with Applications in R. Springer Texts in Statistics. Devroye,L., Györfi,L. and Lugosi,G A Probability Theory of Pattern Recognition. Springer. Vapnik,V Statistical Learning Theory. Wiley. Breiman, L Bagging predictors. Machine Learning, 24(2): Freund, Y. y Schapire, E; A decision-theoretic generalization of on-line learning and application to boosting, Journal of Computer and System Sciences, (1): p M.Bourel (IMERL, UdelaR) EMC de octubre de / 29
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