GUÍA DE LA UNIDAD MATRICES Y DETERMINANTES
|
|
- Mercedes Romero Lagos
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Matrices Determ. Inversa Sistemas C ontenidos Idea de matriz. Elementos de una matriz. Diferentes tipos de matrices: matriz unidad, matriz nula, matriz traspuesta, matriz inversa. Operaciones con matrices. Ecuaciones matriciales. Determinante de una matriz de orden 2. Aplicación de los determinantes de orden dos a la solución de sencillos sistemas lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas. Determinantes de orden 3: Regla de Sarrus. Propiedades de los determinantes. Menor complementario y Adjunto de un elemento de una matriz cuadrada. Determinantes de orden cuatro. Matriz inversa. Matrices regulares. Método para calcular la matriz inversa de una matriz. Expresión matricial de un sistema. Solución matricial a un sistema de ecuaciones lineales. Sistemas de Cramer. Regla de Cramer para solucionar un sistema lineal. E jercicios Realizar cálculos en los que aparecen combinadas distintas operaciones con varias matrices. Dada una matriz de orden dos, aplicando la definición, saber calcular, si existe, su matriz inversa. Saber resolver ecuaciones matriciales: a) sin utilizar la matriz inversa; b) haciendo uso de la matriz inversa. Saber calcular todas las matrices que permutan con una matriz dada. Conocer, comprender y saber aplicar las propiedades de los determinantes. Aplicar las propiedades de los determinantes para hallar el valor del determinante de una matriz de orden cuatro. Saber aplicar el método que permite calcular la matriz inversa de una matriz. Saber expresar matricialmente un sistema de ecuaciones y, consecuentemente, hallar su solución matricial. Reconocer los Sistemas de Cramer y usar los determinantes para la solución de sencillos sistemas lineales. O tros a b Uso de DERIVE en el cálculo matricial. c d DERIVE y determinantes. GUÍA DE LA UNIDAD MATRICES Y DETERMINANTES
2 Ecuaciones matriciales. Dada una matriz hallar todas las matrices que permutan con ella. Ejemplo 1 Calcula la matriz X que es solución de la ecuación matricial Ejemplo 2 Determina todas las matrices que permutan ( conmutan ) con la matriz B del ejercicio anterior Matemática s Aplicadas a las CC.SS. II. Determinantes
3 Una aproximación a la utilidad de los determinantes: solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Vamos a solucionar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 1. Reducción para hallar "x" 2. Reducción para hallar "y" Ax + By = C # + E + AE x + BE y = + CE Ax + By = C # + D + AD x + BD y = + CD Dx + Ey = F # - B - BD x - BE y = - BF Dx + Ey = F # - A - AD x - AE y = - AF ( AE - BD ) y = ( CE - BF ) ( BD - AE ) y = ( CD - AF ) Observa los denominadores. Vamos a expresar las soluciones, con el mismo denominador: ; Vamos a expresar las soluciones, usando determinantes: Se puede aplicar esta regla a cualquier sistema de de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas? Ejercicio Aplica las reglas anteriores para hallar la solución del sistema a) Se puede aplicar la fórmula? x = y = I.E.S Huarte de San Juan. Linares Matemáticas Aplicadas a las CC.SS. II. Determinantes
4 Propiedades de los determinantes ( I ) Ejercicio 1 Expresa, como un solo determinante, la siguiente suma: Ejercicio 2 Justifica por qué los dos determinantes son nulos: Ejercicio 3 Qué propiedades se han aplicado y justifican las siguientes igualdades? Ejercicio 4 Partiendo del siguiente determinante, escribe las transformaciones necesarias para relacionarlo con otro determinante en el que todos los elementos de la primera columna, excepto a 21, sean nulos. Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II. Determinantes
5 Propiedades de los determinantes ( II ) Ejercicio 1 Aplicando propiedades, halla el valor de los otros determinantes Ejercicio 2 Justifica las siguientes igualdades Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Determinantes
6 Menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada. Adjunto de un elemento de una matriz cuadrada. Ejemplo Un elemento : a 24 Prescindimos de la fila y columna a la que pertenece el elemento elegido. Matriz Transformación Matriz resultante * B * = * B * = * B * recibe el nombre de menor complementario del elemento a 24 Menor complementario del elemento de una matriz cuadrada Dada una matriz cuadrada A, y un elemento cualquiera de ella, se llama menor complementario de dicho elemento al determinante de la matriz resultande al prescindir de la fila y columna a la que pertenece dicho elemento. a ij su menor complementario se escribe " ij Ejercicio 1 Calcula " 31 Adjunto del elemento de una matriz cuadrada Si el menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada, se multiplica por (-1) i+j, se obtiene el adjunto del elemento de la matriz. a ij menor complementario " ij adjunto del elemento A ij = ( - 1) i+j. " ij Ejercicio 2 Haciendo uso de los datos ya calculados, halla los adjuntos A 24 y A 31 Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II. Determinantes
7 Desarrollo de un determinante por los elementos de una cualquiera de sus líneas. Ejemplo 1 * A * = = 38 * A * = 38 Elegimos una línea del determinante, por ejemplo, la segunda fila: a 21 = 0 a 22 = 1 a 23 = 3 Adjuntos de los elementos de la línea elegida A 21 A 22 A 23 Calcula el valor de los adjuntos : Multiplica cada elemento de la línea por su correspondiente adjunto y suma dichos productos : a 21. A 21 + a 22. A 22 + a 23. A 23 = VALOR OBTENIDO : Propiedad El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los productos de los elementos de una de sus líneas por los correspondientes adjuntos. Ejemplo 2 Elegimos una línea cualquiera que sea PARALELA a la elegida en el ejemplo primero, por ejemplo : F 3 Adjuntos de los elementos de la línea elegida A 31 A 32 A 33 Calcula el valor de los adjuntos : Multiplicamos los elementos de la F 2 por los adjuntos de los elementos de la tercera fila y sumamos los productos : a 21. A 31 + a 22. A 32 + a 23. A 33 = VALOR OBTENIDO : Propiedad 2 Si en una matriz cuadrada multiplicamos los elementos de una de sus líneas por los adjuntos de los elementos de una línea paralela a ella, la suma de dichos productos es nula. Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II. Determinantes
8 Cálculo de determinantes de orden 4 Ejemplo < Tiene el determinante dos líneas paralelas iguales? < Observas si alguna línea es combinación lineal de otras líneas paralelas? < Están todos los elementos de una línea multiplicados por un mismo número? * A * = < Fijamos nuestra atención ahora en *B*. Podríamos calcular este determinante sin más que elegir una cualquiera de sus líneas, hallar sus adjuntos, y calcular la suma de los productos de los elementos de la línea por sus adjuntos. < En ese caso, parece claro que la tarea sería tanto más sencilla cuantos más elementos nulos tuviera la línea elegida. Ya que, en la matriz B, no existe tal línea preferible, vamos a ver cómo podemos relacionar *B* con un nuevo determinante en el que todos los elementos de una de sus líneas, excepto uno, sean ceros. Por ejemplo, F 1 Y F 2 Y F 3 Y F 4 Y Partimos del determinate... Transformaciones Nuevo determinante Relación entre los determinantes de C y B det ( C ) = det ( F 1, F 2 + F 3 - F 4, 2F 3 - F 1, 4F 4-5F 1 ) = 2.4 det ( F 1, F 2, F 3, F 4 ) = 8 det ( B ) *A* *B* *B* *C* *A * *C* *A* = 6 *B* *C* = 8*B*, *B* = c *C* *A* = 6*B* = 6.c*C* = 3/4.*C* Cálculo del determinante de C Valor de *A* Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales II. Determinantes
9 Matriz inversa de una matriz : procedimiento para calcularla. Matrices regulares y matrices singulares. Ejemplo 1 Calculamos el determinante de la matriz * A * = = Calculamos la matriz traspuesta de la matriz A 3 Valor de los adjuntos de los elementos de la matriz traspuesta A 11 = A 12 = A 13 = A 21 = A 22 A 23 = A 31 = A 32 = A 33 = 4 Reemplazamos cada elemento de la matriz traspuesta por su correspondiente adjunto A la matriz ADJ ( A t ) se le llama matriz adjunta de la traspuesta de A 5 Multiplicamos la nueva matriz por el inverso de * A * 6 La matriz obtenida, X, es la matriz inversa de la matriz A : A.X = I Matemáticas Apliucadas a las CC.SS II. Determinantes
10 Forma matricial de un sistema de ecuaciones Expresión matricial de un sistema de ecuaciones Considera el sistema de m ecuaciones y n incógnitas siguiente: S mxn ; ; A : Matriz de los coeficientes del sistema. X : Matriz de las incógnitas del sistema. C : Matriz de los términos independientes. SE LLAMA EXPRESIÓN MATRICIAL DEL SISTEMA AL PRODUCTO MATRICIAL: A. X = C Observa que, efectivamente, la igualdad es cierta. Para empezar, las matrices A y X se pueden multiplicar, y la matriz producto es una matriz de la dimensión de la matriz C. Además, multiplica las matrices A y C y comprueba que su resultado es la matriz C. A mxn. X nx1 existe la matriz producto y su dimensión es mx1 puede ser la matriz C p.e. el elemento c 11 : 1ª fila de A x la 1ª columna de X : a 11.x 1 + a 12.x a 1n.x n... que es igual a c 1 Ejercicio Escribe en forma matricial y resuelve la ecuación matricial resultante Matemática s Aplicadas a las CC.SS. II. Determinantes
11 Un ejemplo para aproximarnos a la Regla de Cramer para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Después de introducir el concepto de determinante de orden dos, una aplicación de los determinantes al cálculo de la solución de sencillos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Y, También allí advertimos que, lógicamente, esa regla sólo se podría aplicar a aquellos sistemas en los que el determinante d ela matriz de los coeficientes ( el denominador ) fuese distinto d ecero. Lo que planteamos aquí es la siguiente cuestión : se podría aplicar la regla anterior a sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas?, y a sistemas de dimensión 4x4?. Ejercicio Se podrían aplicar las fórmulas anteriores para solucionar el sistema? Para aplicar las fórmulas, qué debería cumplirse? Fórmula para x Fórmula para y Fórmula para z Comprobación: Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II. Determinantes
12 Sistemas de Cramer. Regla de Cramer. Demostración para el caso particular de un sistema 3x3. Sistemas de Cramer Un sistema se dice que es de Cramer cuando cumple las dos condiciones siguientes: a) es cuadrado (el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas) ; b) el determinante de la matriz de los coeficientes, es distinto de c ] Regla de Cramer para solucionar un sistema Escritura matricial del sistema : Y A. X = C < Al ser un Sistema de Cramer, según la condición 2) *A* 0 Y Existe la matriz A -1 < En A.X = C multiplicamos por la matriz A -1 A -1 (A.X) = A -1 C < Aplicando la propiedad asociativa, ( A -1 A ) X = A -1 C I X = A -1 C X = A -1 C Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II. Determinantes
Matrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 74 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:
Más detallesLo rojo sería la diagonal principal.
MATRICES. Son listas o tablas de elementos y que tienen m filas y n columnas. La dimensión de la matriz es el número se filas y de columnas y se escribe así: mxn (siendo m el nº de filas y n el de columnas).
Más detalles1. Matrices. Operaciones con matrices
REPASO MUY BÁSICO DE MATRICES. Matrices. Operaciones con matrices.. Introducción Las matrices aparecieron por primera vez hacia el año 850, introducidas por el inglés J. J. Sylvester. Su desarrollo se
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 0 REFLEXION Y RESUELVE Resolución de sistemas Ò mediante determinantes y Resuelve, aplicando x x e y, los siguientes sistemas de ecuaciones: 3x 5y 73 a
Más detallesDeterminantes. Determinante de orden uno. a 11 = a 11 5 = 5
DETERMINANTES Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno
Más detalles1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes
Más detallesTEMA 7: MATRICES. OPERACIONES.
TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. 1. MATRICES. TIPOS DE MATRICES. Se llama matriz de orden m x n (m filas y n columnas) a un conjunto de m n elementos, distribuidos en m filas y n columnas y encerrados entre
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallesSe llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria
T.3: MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Determinantes de segundo orden Se llama determinante de a: 3.2 Determinantes de tercer orden Se llama determinante de a: Ejercicio 1: Halla los determinantes de las siguientes
Más detallesMATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES
CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno
Más detallesTema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES
Tema 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES 1. DEFINICIÓN Y TIPO DE MATRICES DEFINICIÓN. Una matriz es un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas. Si en ese conjunto hay m n números escritos
Más detallesA1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas.
A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y +z = 1 -x + y +z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. Para que el sistema tenga, al menos, dos soluciones distintas
Más detallesDETERMINANTES Profesor: Fernando Ureña Portero
: CONCEPTO, CÁLCULO DE. Definición: A cada matriz cuadrada A=a ij, de orden n, se le asigna un número real, denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A =det (A)= 1.-Determinante de orden
Más detallesMatrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales
Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x
Más detallesTEST DE DETERMINANTES
Página 1 de 7 TEST DE DETERMINANTES 1 Si A es una matriz cuadrada de orden 3 con A = -2, a qué es igual -A? A -2 B 2 C 0 D -6 2 A -144 B 44 C 88 D -31 3 Indicar qué igualdad es falsa: A B C D 4 A -54 B
Más detallesMatrices, Determinantes y Sistemas Lineales.
12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión
Más detallesDETERMINANTES UNIDAD 3. Página 76
UNIDAD 3 DETERMINANTE Página 76 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes: 2x + 3y 29 5x 3y 8 4x + y
Más detallesDeterminantes. Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A).
Determinantes Concepto de determinante A cada matriz cuadrada A se le asigna un número denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A = Determinante de orden uno a 11 = a 11 5 = 5 Determinante
Más detalles1 ÁLGEBRA DE MATRICES
1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa
Más detallesMatrices 1. Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Matrices 1 Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se
Más detallesMatemáticas. D e t e r m i n a n t e s
Matemáticas D e t e r m i n a n t e s El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución
Más detallesMatemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Matemáticas 2.º Bachillerato. Ejemplo:
Mapa conceptual Determinante de segundo orden Dada una matriz cuadrada de segundo orden: a a 11 12 A = a a 21 22 se llama determinante de A al número real: det (A)= A = a11 a 12 = a a a a a21 a22 11 22
Más detallesEJERCICIOS DETERMINANTES. 1º/ Calcula el siguiente determinante:
EJERCICIOS DETERMINANTES. 1º/ Calcula el siguiente determinante: 3 7 1 2 0 1 1 3 6 a) Usando la Regla de Sarrus. b) Desarrollando por los elementos de la primera columna. 2º/ Obtén el valor del determinante
Más detallesDos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales
Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley
Más detallesMatrices y Sistemas Lineales
Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes 1 ÍNDICE Matemáticas Cero Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 5 2
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES REFLEXIONA Y RESUELVE Resolución de sistemas 2 Ò 2 mediante determinantes A A y Resuelve, aplicando x = x e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: A A
Más detallesÁLGEBRA DE MATRICES. Al consejero A no le gusta ninguno de sus colegas como presidente.
ÁLGEBRA DE MATRICES Página 47 REFLEXIONA Y RESUELVE Elección de presidente Ayudándote de la tabla, estudia detalladamente los resultados de la votación, analiza algunas características de los participantes
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. Podemos clasificar los sistemas según el número de soluciones: Incompatible. No tiene solución Compatible. Tiene solución. Compatible
Más detallesMatrices y Sistemas Lineales
Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 6 2 Herramientas 8 21 Operaciones
Más detallesMATRICES. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
MATRICES Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesUna forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes.
Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Ejemplos: Tarea: realizar al menos tres ejercicios de cálculo de determinantes de matrices de 2x2 y otros tres de 3x3. PARA DETERMINANTES DE MATRICES
Más detallesBLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.
BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21
Más detallesde la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes
Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesEs decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3
1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 Dada una matriz cuadrada de orden 1, A = (a), se define det A = det (a) = a Determinante de una matriz cuadrada de
Más detallesAPUNTES ALGEBRA SUPERIOR
1-1-016 APUNTES ALGEBRA SUPERIOR Apuntes del Docente Esp. Pedro Alberto Arias Quintero. Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander. Contenido MATRICES Y DETERMINANTES... ELEMENTOS
Más detallesMENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES
MENORES, COFACTORES Y DETERMINANTES 1. Introducción. 2. Determinante de una matriz de 3 x 3. 3. Menores y cofactores. 4. Determinante de una matriz de n x n. 5. Matriz triangular. 6. Determinante de una
Más detallesDada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4. Halla los determinantes de las siguientes matrices: Solución:
3 Determinantes. Determinantes de orden y 3 por Sarrus Piensa y calcula 3 6 Dada la proporción =, calcula el producto de extremos menos el producto de medios. 4 8 3 8 6 4 = 4 4 = 0 Aplica la teoría. Calcula
Más detallesMatrices 3. Matrices. Verónica Briceño V. agosto 2012
3 agosto 2012 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa Determinante En esta Presentación... En esta Presentación
Más detallesDEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES
ALGEBRA DE MATRICES DEFINICIONES TIPOS DE MATRICES DETERMINANTES Y PROPIEDADES OPERACIONES MATRICIALES INVERSA DE UNA MATRIZ SISTEMAS DE ECUACIONES DEFINICIONES 2 Las matrices y los determinantes son herramientas
Más detallesTema 1: Matrices y Determinantes
Tema 1: Matrices y Determinantes September 14, 2009 1 Matrices Definición 11 Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Se dice que una matriz
Más detallesCALCULO I UNIDAD I MATRICES. Instituto Profesional Iplacex
CALCULO I UNIDAD I MATRICES 1.3 Transformación de matrices A las matrices se les pueden realizar ciertas transformaciones o cambios internos, siempre y cuando no afecten ni el orden ni el rango de la misma.
Más detallesTema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes
Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Lección 1. Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes
Más detallesTema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.
Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz
Más detallesEJERCICIOS DE MATRICES
EJERCICIOS DE MATRICES a) º) Escribir los siguientes sistemas en forma matricial: x+ y= x + y = 0 x+ y z = x+ y+ z = 0 ; b) x y= 3 ; c) y + z = ; d) 6x + y = 4 x + z = 3 x = 3 y = 4 z = 5 ; e) x+y+z+t=3
Más detallesEstos apuntes se han sacado de la página de internet de vitutor con pequeñas modificaciones.
TEMA 1: MATRICES Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesMATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).
1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden
Más detallesSistemas de ecuaciones
Apuntes Tema 11 Sistemas de ecuaciones 11.1 Definiciones Def.: Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades dadas de la siguiente forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = b 1 a 21
Más detallesUNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Método de igualación. Método de reducción. Método de sustitución Método de eliminación Gaussiana.
Más detallesProcedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada (Método de Gauss-Jordan).
Ejemplo 19: Demuestre que la matriz A es invertible y escríbala como un producto de matrices elementales. Solución: Para resolver el problema, se reduce A a I y se registran las operaciones elementales
Más detallesEJERCICIOS DE DETERMINANTES
EJERCICIOS DE 1) Si m n = 5, cuál es el valor de cada uno de estos determinantes? Justifica las p q respuestas: 2) Resuelve las siguientes ecuaciones: 3) Calcula el valor de estos determinantes: 4) Halla
Más detallesMatrices 2º curso de Bachillerato Ciencias y tecnología
MATRICES Índice:. Introducción-------------------------------------------------------------------------------------- 2. Definición de matriz-----------------------------------------------------------------------------
Más detallesA c) Determinantes. Ejercicio 1. Calcula los siguientes determinantes:
Determinantes 1. Contenido 1.1 Determinantes de orden 1, 2 y 3. 1.2 Menor complementario. Matriz adjunta. 1.3 Propiedades de los determinantes. 1.4 Determinantes de orden n. 1.5 Cálculo de determinantes
Más detallesDOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P.
DOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P. DEFINICIONES Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un texto matemático chino que proviene del año 300 A. C. a 200 A. C., Nueve capítulos
Más detallesTEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ...
TEMA : MATRICES Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas a a a... a n a a a... an A... am am am... amn A los números reales a ij se les llama elementos
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una
Más detallesA cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o
DETERMINANTES A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), A o Una tabla ordenada n ð n de escalares situada entre dos líneas
Más detallesRegla de Cramer. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? la regla de Cramer,
Semana 2 2 Empecemos! Como recodarás en el 7mo semestre estudiamos los sistemas de ecuaciones lineales (SEL) con tres incógnitas, los cuales se resolvieron empleando los métodos analíticos: sustitución,
Más detallesACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES
ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES Ejercicio 1 Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial? (b) Resuelve la ecuación matricial dada para. Ejercicio 2 Siendo I la matriz identidad de orden
Más detallesConjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales
1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución
Más detallesMenor, cofactor y comatriz
Menor, cofactor y comatriz Sea A una matriz cuadrada de orden n. Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente A i,j. Por ejemplo, con n = 4,
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma:
TEMA Sistemas de ecuaciones SISTEMAS DE ECUACIONES. DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas,,,, n es un conjunto de m igualdades de la forma: a a an n b a
Más detallesSoluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria
Más detallesBLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (*)
BLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (*) Matrices. Determinantes. Rango. Sistemas de ecuaciones lineales. El Álgebra Lineal es una parte de la Matemática de frecuente aplicación
Más detallesTema 3: Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales 1. Introducción Los sistemas de ecuaciones resuelven problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana que tiene que ver con las Ciencias Sociales. Nos
Más detalles6. Obtén las matrices A y B que verifiquen el sistema. 7. Encuentra una matriz X que cumpla. siendo. 9. Resuelve la siguiente ecuación matricial:
Ejercicios. Escribe la matriz traspuesta de: 2 3 3 B= 0 4 3 2 4 C= 2 3 2. Se consideran las matrices: 0 3 2 2 2 2 0 2 3 B= 0 4 C=2 4 3 0 2 5 Calcula: 3A, 3A + 2C, A C, C A y A B. 3. Dadas las matrices
Más detallesDeterminantes. En esta Unidad didáctica nos proponemos alcanzar los objetivos siguientes:
UNIDAD 2 Determinantes l número que asociaremos a cada matriz E cuadrada A y que llamaremos su determinante det(a), aparece en los libros actuales a continuación de las matrices, aunque históricamente
Más detallesSi A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I?
MATRICES Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I? La multiplicación de matrices cuadradas, tiene la propiedad conmutativa?
Más detallesCapítulo 1 DETERMINANTES
Capítulo 1 DETERMINANTES 1 Matemáticas II 2 1.1. DETERMINANTES DE 2 o ORDEN a11 a Sea A una matriz cuadrada de segundo orden A = 12. Se define el determi- a 21 a 22 nante det(a) = A = a 11 a 12 a 21 a
Más detallesMatrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A =
Matrices: repaso Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas Una matriz A M m n es de la forma a 11 a 1n A = a m1 a mn Denotaremos A ij = a ij el coeficiente
Más detallesTema 2: Determinantes
Tema 2: Determinantes 1. Introducción En este tema vamos a asignar a cada matriz cuadrada de orden, un número real que llamaremos su determinante y escribiremos. Vamos a ver cómo se calcula. Consideremos
Más detallesAlgunos Tipos de matrices. Matrices. Algunos Tipos de matrices. Algunos Tipos de matrices
Matrices Una matriz de orden m n es un conjunto ordenado de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas de la forma: A = a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2
Más detallesTEMA V. Pues bien, a estas caracterizaciones de los sistemas de ecuaciones lineales se las llamó matrices. En el caso del sistema considerado tenemos:
TEMA V 1. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales: Realmente quien determina la naturaleza y las soluciones del sistema, no son las incógnitas: x, y,
Más detallesTema 1. Álgebra lineal. Matrices
1 Tema 1. Álgebra lineal. Matrices 0.1 Introducción Los sistemas de ecuaciones lineales aparecen en un gran número de situaciones. Son conocidos los métodos de resolución de los mismos cuando tienen dos
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales. Método de Reducción.
Sistemas de Ecuaciones Lineales. Método de Reducción. 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Introducción a los Sistemas de Ecuaciones Lineales... 4 1.1 Tipos de sistemas
Más detallesAlgebra Lineal XXVI: La Regla de Cramer.
Algebra Lineal XXVI: La Regla de Cramer José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica y Electrónica Universidad de Guanajuato email: jrico@salamancaugtomx
Más detallesMatrices. Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas.
Matrices Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones ordenados en filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento
Más detallesCurso ON LINE Tema 5 LAS MATRICES
Curso ON LINE Tema LAS MATRICES Introducción a las matrices. Concepto de matri. Terminología: - Elemento, fila, columna dimensión u orden. Representación algebraica de una matri. Igualdad de matrices.
Más detallesMatemá'cas generales
Matemá'cas generales Matrices y Sistemas Patricia Gómez García José Antonio Álvarez García DPTO. DE MATEMÁTICA APLICADA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN Este tema se publica bajo Licencia: Crea've Commons
Más detallesMATRICES. Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.
1 MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares a ij de la forma La matriz anterior se denota también por (a ij ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a ij ). Los términos horizontales
Más detallesMateria: Matemática de 5to Tema: Método de Cramer. Marco Teórico
Materia: Matemática de 5to Tema: Método de Cramer Marco Teórico El determinante se define de una manera aparentemente arbitraria, sin embargo, cuando se mira a la solución general de una matriz, el razonamiento
Más detallesSistemas lineales con parámetros
4 Sistemas lineales con parámetros. Teorema de Rouché Piensa y calcula Dado el siguiente sistema en forma matricial, escribe sus ecuaciones: 3 0 y = 0 z + y 3z = 0 y = Aplica la teoría. Escribe los siguientes
Más detallesMATRICES. TIPOS DE MATRICES Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:
Repaso de Matrices MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares a ij de la forma La matriz anterior se denota también por (a ij ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a ij ). Los términos
Más detallesVectores en el plano UNIDAD I: MATRICES. Dirección de un vector. Sentido de un vector
UNIDAD I: MATRICES Vectores en el plano Un vector,, es un segmento con una dirección que va del punto A (origen) al punto B (etremo).un vector es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto
Más detallesMatrices. Ejercicio 1. Dada la matriz A = 2. completa: a 11 =, a 31 =, a 23 =, = 3, = 2, = 7.
Matrices. Contenido. Matrices. Tipos especiales de matrices.. Suma y diferencia de matrices.. Producto por un número..5 Matriz traspuesta y matriz simétrica..6 Producto de matrices. Propiedades.. Matriz
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 1 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesSe denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
TEMA 1.- MATRICES 1.-Concepto de matriz Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Cada uno de los números de que consta la
Más detallesDet(A)=a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 (a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 33 a 12 a 21 )
lgebra universitaria UNIDD III. MTRIES Y DETERMINNTES 4.6. Definición de determinante de una matriz y sus propiedades Determinante. cada matriz cuadrada se le asocia un número denominado determinante,
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SOCIALES CAPÍTULO 2 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesSistemas lineales de ecuaciones diferenciales. Juan-Miguel Gracia
Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales Juan-Miguel Gracia Índice Sistemas lineales 2 Búsqueda de una solución especial 3 Aplicación a sistemas 4 Problema de condiciones iniciales 2 / 2 Sistemas
Más detallesTEMA 3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TEM SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. Sistemas de ecuaciones lineales. Epresión matricial. Ejemplo Epresa en forma matricial los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: 9 5, Solution is: 9, 9 Se trata
Más detallesEjercicios de Matrices y Determinantes.
Matemáticas 2ºBach CNyT. Ejercicios : Matrices y Determinantes. Pág 1/12 Ejercicios de Matrices y Determinantes. 1. Dadas las matrices: Calcular: A + B; A B; A x B; B x A; A t. 2. Demostrar que: A 2 A
Más detallesTeoría Tema 4 Notación matricial en la resolución de sistemas de ecuaciones por Gauss
página 1/6 Teoría Tema 4 Notación matricial en la resolución de sistemas de ecuaciones por Gauss Índice de contenido Matriz del sistema y matriz ampliada...2 Método de Gauss...3 Solución única, ausencia
Más detallesÍndice. Funciones de Maple
INTRODUCCIÓN Con los avances de la tecnología, los cursos de matemáticas en nuestras universidades necesitan el apoyo computacional para la realización de cálculos en diferentes procedimientos, de tal
Más detalles1.- ECUACIONES LINEALES CON 2 Y 3 INCÓGNITAS ACTIVIDADES PROPUESTAS PARA EL ALUMNO. Infinitas soluciones) Infinitas soluciones)
TEMA 2.- SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- ECUACIONES LINEALES CON 2 Y 3 INCÓGNITAS La ecuación 2x 3 5 tiene un término en x (el término 2x), otro en y (el término -3y) y un término independiente (el 5) Este
Más detallesTeoría Tema 6 Discusión de sistemas por el método de Gauss
página 1/9 Teoría Tema 6 Discusión de sistemas por el método de Gauss Índice de contenido Método de Gauss...2 Discusión de sistemas por el método de Gauss...4 Sistemas que dependen de parámetros desconocidos...6
Más detallesMatriz A = Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
MATRICES Matriz Se denomina MATRIZ a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a ij a in a m1 a
Más detallesARITMÉTICA Y ÁLGEBRA
ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA 1.- Discutir el siguiente sistema, según los valores de λ: Resolverlo cuando tenga infinitas soluciones. Universidad de Andalucía SOLUCIÓN: Hay cuatro ecuaciones y tres incógnitas,
Más detalles