GUÍA DE LA UNIDAD MATRICES Y DETERMINANTES

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1 Matrices Determ. Inversa Sistemas C ontenidos Idea de matriz. Elementos de una matriz. Diferentes tipos de matrices: matriz unidad, matriz nula, matriz traspuesta, matriz inversa. Operaciones con matrices. Ecuaciones matriciales. Determinante de una matriz de orden 2. Aplicación de los determinantes de orden dos a la solución de sencillos sistemas lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas. Determinantes de orden 3: Regla de Sarrus. Propiedades de los determinantes. Menor complementario y Adjunto de un elemento de una matriz cuadrada. Determinantes de orden cuatro. Matriz inversa. Matrices regulares. Método para calcular la matriz inversa de una matriz. Expresión matricial de un sistema. Solución matricial a un sistema de ecuaciones lineales. Sistemas de Cramer. Regla de Cramer para solucionar un sistema lineal. E jercicios Realizar cálculos en los que aparecen combinadas distintas operaciones con varias matrices. Dada una matriz de orden dos, aplicando la definición, saber calcular, si existe, su matriz inversa. Saber resolver ecuaciones matriciales: a) sin utilizar la matriz inversa; b) haciendo uso de la matriz inversa. Saber calcular todas las matrices que permutan con una matriz dada. Conocer, comprender y saber aplicar las propiedades de los determinantes. Aplicar las propiedades de los determinantes para hallar el valor del determinante de una matriz de orden cuatro. Saber aplicar el método que permite calcular la matriz inversa de una matriz. Saber expresar matricialmente un sistema de ecuaciones y, consecuentemente, hallar su solución matricial. Reconocer los Sistemas de Cramer y usar los determinantes para la solución de sencillos sistemas lineales. O tros a b Uso de DERIVE en el cálculo matricial. c d DERIVE y determinantes. GUÍA DE LA UNIDAD MATRICES Y DETERMINANTES

2 Ecuaciones matriciales. Dada una matriz hallar todas las matrices que permutan con ella. Ejemplo 1 Calcula la matriz X que es solución de la ecuación matricial Ejemplo 2 Determina todas las matrices que permutan ( conmutan ) con la matriz B del ejercicio anterior Matemática s Aplicadas a las CC.SS. II. Determinantes

3 Una aproximación a la utilidad de los determinantes: solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Vamos a solucionar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 1. Reducción para hallar "x" 2. Reducción para hallar "y" Ax + By = C # + E + AE x + BE y = + CE Ax + By = C # + D + AD x + BD y = + CD Dx + Ey = F # - B - BD x - BE y = - BF Dx + Ey = F # - A - AD x - AE y = - AF ( AE - BD ) y = ( CE - BF ) ( BD - AE ) y = ( CD - AF ) Observa los denominadores. Vamos a expresar las soluciones, con el mismo denominador: ; Vamos a expresar las soluciones, usando determinantes: Se puede aplicar esta regla a cualquier sistema de de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas? Ejercicio Aplica las reglas anteriores para hallar la solución del sistema a) Se puede aplicar la fórmula? x = y = I.E.S Huarte de San Juan. Linares Matemáticas Aplicadas a las CC.SS. II. Determinantes

4 Propiedades de los determinantes ( I ) Ejercicio 1 Expresa, como un solo determinante, la siguiente suma: Ejercicio 2 Justifica por qué los dos determinantes son nulos: Ejercicio 3 Qué propiedades se han aplicado y justifican las siguientes igualdades? Ejercicio 4 Partiendo del siguiente determinante, escribe las transformaciones necesarias para relacionarlo con otro determinante en el que todos los elementos de la primera columna, excepto a 21, sean nulos. Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II. Determinantes

5 Propiedades de los determinantes ( II ) Ejercicio 1 Aplicando propiedades, halla el valor de los otros determinantes Ejercicio 2 Justifica las siguientes igualdades Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Determinantes

6 Menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada. Adjunto de un elemento de una matriz cuadrada. Ejemplo Un elemento : a 24 Prescindimos de la fila y columna a la que pertenece el elemento elegido. Matriz Transformación Matriz resultante * B * = * B * = * B * recibe el nombre de menor complementario del elemento a 24 Menor complementario del elemento de una matriz cuadrada Dada una matriz cuadrada A, y un elemento cualquiera de ella, se llama menor complementario de dicho elemento al determinante de la matriz resultande al prescindir de la fila y columna a la que pertenece dicho elemento. a ij su menor complementario se escribe " ij Ejercicio 1 Calcula " 31 Adjunto del elemento de una matriz cuadrada Si el menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada, se multiplica por (-1) i+j, se obtiene el adjunto del elemento de la matriz. a ij menor complementario " ij adjunto del elemento A ij = ( - 1) i+j. " ij Ejercicio 2 Haciendo uso de los datos ya calculados, halla los adjuntos A 24 y A 31 Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II. Determinantes

7 Desarrollo de un determinante por los elementos de una cualquiera de sus líneas. Ejemplo 1 * A * = = 38 * A * = 38 Elegimos una línea del determinante, por ejemplo, la segunda fila: a 21 = 0 a 22 = 1 a 23 = 3 Adjuntos de los elementos de la línea elegida A 21 A 22 A 23 Calcula el valor de los adjuntos : Multiplica cada elemento de la línea por su correspondiente adjunto y suma dichos productos : a 21. A 21 + a 22. A 22 + a 23. A 23 = VALOR OBTENIDO : Propiedad El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los productos de los elementos de una de sus líneas por los correspondientes adjuntos. Ejemplo 2 Elegimos una línea cualquiera que sea PARALELA a la elegida en el ejemplo primero, por ejemplo : F 3 Adjuntos de los elementos de la línea elegida A 31 A 32 A 33 Calcula el valor de los adjuntos : Multiplicamos los elementos de la F 2 por los adjuntos de los elementos de la tercera fila y sumamos los productos : a 21. A 31 + a 22. A 32 + a 23. A 33 = VALOR OBTENIDO : Propiedad 2 Si en una matriz cuadrada multiplicamos los elementos de una de sus líneas por los adjuntos de los elementos de una línea paralela a ella, la suma de dichos productos es nula. Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II. Determinantes

8 Cálculo de determinantes de orden 4 Ejemplo < Tiene el determinante dos líneas paralelas iguales? < Observas si alguna línea es combinación lineal de otras líneas paralelas? < Están todos los elementos de una línea multiplicados por un mismo número? * A * = < Fijamos nuestra atención ahora en *B*. Podríamos calcular este determinante sin más que elegir una cualquiera de sus líneas, hallar sus adjuntos, y calcular la suma de los productos de los elementos de la línea por sus adjuntos. < En ese caso, parece claro que la tarea sería tanto más sencilla cuantos más elementos nulos tuviera la línea elegida. Ya que, en la matriz B, no existe tal línea preferible, vamos a ver cómo podemos relacionar *B* con un nuevo determinante en el que todos los elementos de una de sus líneas, excepto uno, sean ceros. Por ejemplo, F 1 Y F 2 Y F 3 Y F 4 Y Partimos del determinate... Transformaciones Nuevo determinante Relación entre los determinantes de C y B det ( C ) = det ( F 1, F 2 + F 3 - F 4, 2F 3 - F 1, 4F 4-5F 1 ) = 2.4 det ( F 1, F 2, F 3, F 4 ) = 8 det ( B ) *A* *B* *B* *C* *A * *C* *A* = 6 *B* *C* = 8*B*, *B* = c *C* *A* = 6*B* = 6.c*C* = 3/4.*C* Cálculo del determinante de C Valor de *A* Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales II. Determinantes

9 Matriz inversa de una matriz : procedimiento para calcularla. Matrices regulares y matrices singulares. Ejemplo 1 Calculamos el determinante de la matriz * A * = = Calculamos la matriz traspuesta de la matriz A 3 Valor de los adjuntos de los elementos de la matriz traspuesta A 11 = A 12 = A 13 = A 21 = A 22 A 23 = A 31 = A 32 = A 33 = 4 Reemplazamos cada elemento de la matriz traspuesta por su correspondiente adjunto A la matriz ADJ ( A t ) se le llama matriz adjunta de la traspuesta de A 5 Multiplicamos la nueva matriz por el inverso de * A * 6 La matriz obtenida, X, es la matriz inversa de la matriz A : A.X = I Matemáticas Apliucadas a las CC.SS II. Determinantes

10 Forma matricial de un sistema de ecuaciones Expresión matricial de un sistema de ecuaciones Considera el sistema de m ecuaciones y n incógnitas siguiente: S mxn ; ; A : Matriz de los coeficientes del sistema. X : Matriz de las incógnitas del sistema. C : Matriz de los términos independientes. SE LLAMA EXPRESIÓN MATRICIAL DEL SISTEMA AL PRODUCTO MATRICIAL: A. X = C Observa que, efectivamente, la igualdad es cierta. Para empezar, las matrices A y X se pueden multiplicar, y la matriz producto es una matriz de la dimensión de la matriz C. Además, multiplica las matrices A y C y comprueba que su resultado es la matriz C. A mxn. X nx1 existe la matriz producto y su dimensión es mx1 puede ser la matriz C p.e. el elemento c 11 : 1ª fila de A x la 1ª columna de X : a 11.x 1 + a 12.x a 1n.x n... que es igual a c 1 Ejercicio Escribe en forma matricial y resuelve la ecuación matricial resultante Matemática s Aplicadas a las CC.SS. II. Determinantes

11 Un ejemplo para aproximarnos a la Regla de Cramer para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Después de introducir el concepto de determinante de orden dos, una aplicación de los determinantes al cálculo de la solución de sencillos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Y, También allí advertimos que, lógicamente, esa regla sólo se podría aplicar a aquellos sistemas en los que el determinante d ela matriz de los coeficientes ( el denominador ) fuese distinto d ecero. Lo que planteamos aquí es la siguiente cuestión : se podría aplicar la regla anterior a sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas?, y a sistemas de dimensión 4x4?. Ejercicio Se podrían aplicar las fórmulas anteriores para solucionar el sistema? Para aplicar las fórmulas, qué debería cumplirse? Fórmula para x Fórmula para y Fórmula para z Comprobación: Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II. Determinantes

12 Sistemas de Cramer. Regla de Cramer. Demostración para el caso particular de un sistema 3x3. Sistemas de Cramer Un sistema se dice que es de Cramer cuando cumple las dos condiciones siguientes: a) es cuadrado (el número de ecuaciones coincide con el número de incógnitas) ; b) el determinante de la matriz de los coeficientes, es distinto de c ] Regla de Cramer para solucionar un sistema Escritura matricial del sistema : Y A. X = C < Al ser un Sistema de Cramer, según la condición 2) *A* 0 Y Existe la matriz A -1 < En A.X = C multiplicamos por la matriz A -1 A -1 (A.X) = A -1 C < Aplicando la propiedad asociativa, ( A -1 A ) X = A -1 C I X = A -1 C X = A -1 C Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II. Determinantes

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