IES Mediterráneo de Málaga Examen de Septiembre 2009 Juan Carlos Alonso Gianonatti. Opción A

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1 IES Mediterráneo de Málaga Examen de Septiembre 009 Juan Carlos Alonso Gianonatti Opción A m m Ejercicio.- Dada la matriz: M m, se pide: 0 (,5 puntos)determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M es invertible (0,5 puntos)determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M 5 es invertible c) (,5 puntos)para m - calcular, si es posible, la matriz inversa M - de la matriz M El símbolo significa "existe al menos un o una" { } 5 - M M 0 M m m+m -m-m. m -m.m. m m m 0 m0 Si M 0.m. ( m- ) 0 m-0 m m R- 0, M 0 M M M.m. m-.m. m- Si M 0.m 5 { } m R- 0, M 0 M c) - t t t M.adj M M adj M M m0.m- 0 m-0 m Cuando m- M. (-). ( -)-. (-).(-) 4 M M /4 -/4 4 / 4 -/4-0 -/4 / 4 0 Ejercicio.- Dada la función: ln +ax -bx f x x si +ax>0 y x 0, se pide: - si x0 (,5 puntos) Hallar los valores de los parámetros a, b para los cuales la función f(x) es continua en x 0 (,5 puntos) Para a b, estudiar si la función f es derivable en x 0 aplicando la definición de derivada lim f x lim f x f x 0 x 0 a ln +ax -bx ln +a.0 -b.0 -b a-b. +ax lim lim lim 0 Aplicando L'Hopital +ax x 0 0 x x( + ax) a-b0 Aplicando L'Hopital a x 0. ( +ax ) +ax x 0 x 0 x 0 a-b. +a.0 a-b 0 -b. lim.0. +a.0 0 0

2 IES Mediterráneo de Málaga Examen de Septiembre 009 Juan Carlos Alonso Gianonatti b.a b.a a-b0 a- b-. ( +a.0 ) +a.0 a.b ab ab a a± ln +x -x f ( x ) ln ( +x) -x f ( x+ ) ln ( +x+ )-( x+ ) ln ( +x+) -x- ln ( +x+) -x-- ln ( +x) -x ln ( +x+) -x--ln ( +x ) +x f' ( x ) lim lim +x+ ln - ln ( +x+) --ln ( +x) ln ( +x+) -ln ( +x) - +x lim lim lim +x ln + - ln + +x +x +x lim lim -lim lim ln + -limln + - +x + x +x +x +z Como limln + +x limln + -ln e -.ln e- - +x +x +x --x x 0 f' ( x ) - f' ( 0 ) - 0 +x +x +0 Ejercicio.- Calificación máxima: puntos. x y z x- y z- Dada las rectas: r, s determinar los valores de los parámetros a y b para los a b - cuales las rectas r, s se cortan perpendicularmente. Como se cortan tienen un punto común y al ser perpendiculares el producto escalar de los vectores directores de las rectas es nulo x y z x- y z- r, s a b - xλ r yλ v,,a r vr vs vr v s0(,, ( b,,- ) 0 zaλ λ+μb x+μb λμ s yμ vb,,- s aλ-μ z-μ b+-a0 b+-a0 b+ -a0 λ+μb b+-a0 6 μ μ μ +μb 6+μbμμ-μb6 μ( -b ) 6 -b λ a μ+μ6 ( a+) μ6 6 μ μ aλ-μ a -μ a+ b-a- b- b---a- -a-a -ba+ a+b-, - Ejercicio 4.- Calificación máxima: puntos. Dado el plano π x y + z + 0 allar las ecuaciones de los planos paralelos a π que se encuentran a unidades de π Calcularemos una recta r, que pasando por un punto de él, sea perpendicular. Hallaremos los puntos A y B, de la recta, que distan tres unidades del que emos tomado como referencia, después aremos pasar los plano por ellos

3 IES Mediterráneo de Málaga Examen de Septiembre 009 Juan Carlos Alonso Gianonatti λ λ± π x-y+z+0 P 0, -, xλ r y--λ ( 0-λ ) + (-++λ) +-++λ ± 4λ +λ +4λ 9 9λ 9 z-+λ x. A y--- A(,-,) λ- z-+. λ x. (-) - B y-- (-) 0 B( -,0,-) z-+. (-) - Pasando por A C0 4+++C0 C-8 πa x-y+z-80 Pasando por B D D0 D0 πb x-y+z+00 Opción B Ejercicio.- x ( punto). Dada la función: f( x ), allar el punto o los puntos de la gráfica de f(x) en los que la +x pendiente de la recta tangente sea. (0 5 puntos). Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto x 0 c) ( 5 puntos). Sea g una función derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que g(0) 0, g(). Demostrar que existe al menos un punto c en el intervalo (0, ) tal que g (c). ( +x )-xx -x -x f' ( x ) f' ( x ) -x ( +x ) +x +x +x 4 4 x0x0 -x +x +x x +x 0 ( x + ).x 0 x +0 x - x± - 0 Cuando x0 f ( 0 ) 0 +0 f( 0 ) 0-0 y-0. ( x-0) yx x-y0 f' 0 ( +0 ) Ejercicio.- Calificación máxima: puntos. x- y z Dada la recta: r y el plano π x+y-z+0, allar la ecuación de la recta s simétrica de la - recta r respecto del plano π. A(,0,0) x+λ x+ r y-λ Puntos de la recta B y- B (,-, ) zλ z Punto simétrico de A x+μ Recta s que pasa por A perpendicular al plano s y0+μμ y0-μ-μ

4 IES Mediterráneo de Málaga Examen de Septiembre 009 Juan Carlos Alonso Gianonatti Punto P de corte de la recta s con el plano π +μ+μ-( -μ) +0 6μ+0 μ- +x x- x +4 x x 0+y 0+z 4 y-- z 4 z Punto simétrico de B P y- - y - y -, x+ε Recta t que pasa por A perpendicular al plano t y-+ε y-ε 4 -, Punto Q de corte de la recta t con el plano π +ε-+ε-. -ε +0 6ε0 ε0 x+0 t y-+0- En este caso B' (, -,) al ser punto del plano y- 0 LLamando u a la recta pedida x+5β 4 5 v,-,- u,-,,-,- ( 5,-,-) u y--β y-β Ejercicio.- Calificación máxima: puntos λx+y+z0 Dado el sistema λx-y+z0, se pide: x-λy+z0 Obtener los valores del parámetro λ para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de: x y z 0 Resolver el sistema para λ 5 λ Aλ - -λ+4-λ +-4λ+λ λ -6λ+5 -λ 6+4 λ 5 6± 6 Si A 0 λ -6λ+50 Δ 6-06>0 λ 6-4 λ λ5 Cuando 5 rang( A ) Sistema Compatible Indeterminado λ - La solución trivial xyz0 A 0 λ R-,5 { } y+z0 zy x+y+y0 5x+5y0 x-y -λ, λ,λ Ejercicio 4.- Calificación máxima: puntos Dada las matrices: A, B, obtener una matriz cuadrada X de orden que verifique la - ecuación matricial AXB A + B 4

5 IES Mediterráneo de Málaga Examen de Septiembre 009 Juan Carlos Alonso Gianonatti A AXBA A+B XBB A A+B B XA A+B B t 4 t - A 4+6 A adj A A t 4 - t - B 4-6- B adj B B XA A+B B / -/ X