(Forman pares, pares cartesianos)

Transcripción

1 FUNCIONES ALGEBRAICAS Relación entre conjuntos todos con todos. Es la correspondencia, que existe entre los elementos de los conjuntos A y B, sean los conjuntos que se representan: CONJUNTO SIEMPRE ESCOJE 29.2 producto cartesiano. Una relación tiene muchas posibilidades de existir, las cuales están representadas por el producto cartesiano A x B. Una relación es cualquier par ordenado formado por los elemento del conjunto A en B. 29. función. (a, 1), (a, 2), (a, ) AXB={ (b, 1), (b, 2), (b, ) (c, 1), (c, 2), (c, ) (Forman pares, pares cartesianos) Es una expresión matemática, que representa una relación UNICA entre elementos de dos conjuntos. En este caso, a cada elemento del conjunto A, le corresponde un solo elemento del conjunto B. SOLO CON UNO (Uno a uno función)

2 IDENTIFICACIÓN DE UNA FUNCIÓN: línea vertical. Una manera gráfica de comprobar si una relación es una función consiste en trazar una línea vertical en cualquier punto de la gráfica, si esta corta a la gráfica solo en punto se tratará de una función. X=siempre escoge por eso es dominante Cuando solo lo toca 1 vez es función Dominio y Contra dominio de una función. DOMINIO: Es el conjunto de variables independientes que se introduce en la expresión matemática y esta regresa un UNICO valor por cada x. CONTRADOMINIO. Es el conjunto de valores que se obtiene de evaluar la función o regla de correspondencia en los valores del dominio. IMAGEN O RANGO: Son los valores que se obtienen de la función y generan el conjunto de y en una gráfica. REGLA DE CORRESPONDENCIA: es la expresión que representa la relación UNICA que existe entre dos variables Grafica de una función. Es el trazo o forma de una función. Es la representación visual de un comportamiento de una función en un plano coordenado.

3 EJEMPLO. 1) sea la función f (x) = x 2 2 se asignan valores a X, se introducen a la regla de correspondencia y se obtienen los valores de la imagen o rango. X - 7 f(x) El dominio es: D( -, ) El rango es: R ( -2, ) Análisis de funciones de casos especiales. Función racional: son las que contiene a x en el denominador este podría valer CERO. El valor de x donde el denominador se hace cero, la función de indetermina, encontrándose una asíntota vertical y con ello un valor donde función no existe: Ejemplos: f(x) = 1 X f(x) = 1 x 4 Función irracional. Son las que contienen a x dentro de una raíz. En este caso, el dominio y el rango quedan limitados a que la raíz sea positiva. Ejemplos. f(x) = 2x 8 f(x) = x 2 + 9

4 ESTUDIO Y CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES. 0.1 funciones implícitas: (En una f, siempre despejas Y) Función implícita: Es aquella función donde no se indica cual es la variable independiente. La variable y no esta despejada y no siempre puede despejarse. Ejemplo: x 2 y + xy x = 0 (igualadas a cero) Función explicita: Es la función donde se indica claramente la variable independiente. Se encuentra despejada x. Ejemplo. Y = x 2 + 2x -5 (tiene despejada a la y) 0.2 funciones creciente y decreciente. Función creciente. Aquella donde aumenta el valor de la variable x, la función aumenta. Función decreciente. Aquella donde aumentar el valor de la variable x, la función disminuya.

5 0. función valor absoluto La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = (x) y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre serán positivas o nula. F (x) = ǀxǀ 0.4 funciones continuo y discontinuo. Función continúa. Aquella cuyo dominio se expresa con un solo intervalo y se puede graficar con un solo trazo. Ejemplo. Y = x + 5 domino D (-, ). Función discontinua. Aquella cuyo dominio se expresa con dos o más intervalos. Ejemplo: y = 1 x 2 dominio D (-, 2)0(2, ). El dominio de la original es el rango de la inversa y viseversa.

6 0.5 función inversa. Una función f (x) tiene inversa f -1 (x) si al aplicar la composición de funciones f f - 1 o f -1 f se obtiene en ambas la función idéntica. La inversa se obtiene mediante los siguientes pasos: I.cambiar f(x) por y II. cambiar y donde esta x y x donde esta y. III. despeja y IV. cambiar y por f 1 (x) Ejemplo. Obtener las funciones inversas de las siguientes funciones. 1) f (x) = -2x + 7 F(x)=y x=-2y y 5 = 7 x 2 y=f 1 (x) Y=2x +7 2y +x=7 y= 7 x 2 f -1 (x) 7 x 2 2y =7-x 2) f (x) = x + 9 Y= x + 9 X= y + 9 x-9= 4 (x-9) = ( y) -1 (x) =(x-9) (x-9) =y ) f (x) = x -2 Y=x-2 x+2=y f 1 (x) x+2 x+2=y x+2 =y

7 0.6 Algebra de funciones. Con las funciones al igual que con los números reales, pueden realizarse operaciones algebraicas. Sean f(x),g(x) y h(x) funciones a las que pueden aplicarse las operaciones : SUMA: f(x) + g(x) RESTA: f(x) g(x) MULTIPLICACION: f(x)-h(x) DIVICIÓN f(x) g(x) COMPOSICIÓN. f o f -1 Ejemplo. Obtener las operaciones que se piden. Sean las funciones f (x) = x 2 2x + 4 g (x) = x 1 h (x) = ( x + 1 ) Estudio y clasificación de funciones. 1.1 Función exponencial Una función exponencial crece o decrece RAPIDAMENTE. La base es elevada a una potencia, puede ser cualquier número. f(x) = a x o y = a x DOMINIO. La función puede tomar cualquier número real como dominio. D {x ε R} o D(-, ) RANGO. La función tiene como imagen solo valores positivos R{y Ry 0} o R(0, )

8 1.2 función logarítmica. Una función logarítmica crece o decrece LENTAMENTE. f (X) = log b x 10g 81=x 10g x 64- x=81 x =64 X=4 x=4 Un logaritmo de base b de un número x, es el exponente y al que se debe elevar la base para obtener el número x. f (x) log b x puesto que x = b y Ejemplo 1) 10º = 1 y log 10 1 = 0 2) 10 1 = 10 y log = 1 ) 5 2 = 25 y log 5 25 = 2 4) 4 = 48 y log 4 48 = Log 6 x=2 6 2 =x X=6 1. Propiedades de los logaritmos: log b ( xy ) = log b (x) + log b (y) log b ( x y ) = log b (x) log b (y) log b (x y ) y log b (x) y log b ( x) = log b(x) y DOMINIO: la función puede tomar cualquier número real POSITIVO como dominio: D{x ε Rx 0} o D(0, ) Rango: la función tiene como imagen TODOS los valores reales R {y ε R} o R (-, )