b n 1.8. POTENCIAS Y RADICALES.

Transcripción

1 .. POTENCIAS Y RADICALES. La potecia es ua epresió ateática que coprede dos partes: la base el epoete. b (b)(b)(b)(b)...dode b es la base el epoete. Para ecotrar el resultado de la potecia, la base se ultiplica por sí isa el úero de veces que idica el epoete. Cuado ua base o tiee idicado el epoete, se etiede que este es. Cuado la base es positiva el epoete es par o ipar, la potecia es positiva. Cuado la base es egativa el epoete es par, la potecia es positiva. Cuado la base es egativa el epoete ipar, la potecia es egativa. Ejercicios: Co base e la iforació aterior, copleta la siguiete tabla. No. Potecia. Base. Epoete. Desarrollo. Resultado. () () () () ()() 0 0 (-) 7 (-) - (-)(-)(-) - (-) 9 (-7) 0 (-) PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES. Cuado se efectúa operacioes de ultiplicació, divisió radicales co térios algebraicos, gra parte de las operacioes se puede reducir aplicado las propiedades de los epoetes que a cotiuació se idica: Producto de potecias de la isa base. El resultado es ua potecia co la isa base coo epoete la sua de los epoetes de las potecias que se ultiplica. (b )(b )b + Divisió de potecias de la isa base. El resultado es ua potecia co la isa base coo epoete la diferecia de los epoetes del uerador el deoiador. b b b

2 Potecia co epoete cero. Esta potecia es el resultado de aplicar la divisió de dos potecias de la isa base del iso epoete; aquí el resultado es la isa base co epoete cero, lo que a su vez equivale a la uidad. Si etoces b b b b0 Potecia co epoete egativo. Esta potecia es obteida cuado se divide dos potecias de la isa base, e dode el epoete de la potecia del uerador es eor que el epoete de la potecia del deoiador. Ua potecia co epoete egativo represeta ua fracció. b b Potecia de potecias. Es la operació e dode ua potecia está elevada a otro epoete, de aera que la priera potecia es la base de la seguda potecia. ( b) b( )( ) Producto de potecias de diferete base pero de igual epoete. El resultado es el producto de las bases, elevado al epoete coú. ( b* a) ( b )( a Divisió de potecias de diferete base co igual epoete. El resultado es el cociete de las bases, elevado al epoete coú. b a Represetació de ua raíz e fora de potecia. La potecia de esta epresió tiee la base de la potecia del radicado co u epoete racioal, cuo uerador es el epoete de dicha potecia el deoiador, el ídice del radical. b a b b ( ) )

3 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON POTENCIAS. Ejeplos resueltos. Resolver las siguietes potecias aplicado las propiedades de los epoetes: ) ) ) ) z z z z ) 7 ) 7) 9 ) 9) 0) ) ) ( ) 0 ) () 0 ) ) ) 7) ) 7 9 9) 0) ) ) ) ) ) ) *

4 Ejercicios para resolver e clase. Resolver las siguietes potecias aplicado las propiedades de los epoetes: ) z z ) ) z z ) ) ) 9 7) z ) z 9) ( )( ) 0) ) ) ) 0 z ) z ) ( )( ) ) 7) ) Tarea de evaluació. Resolver las siguietes potecias aplicado las propiedades de los epoetes: ) ) 7 7 ) ) ) ) ( )( ) 7) ) 9) 0) ) ) ) ) ) ( )( )

5 .. Radicales. La raíz -ésia de u úero dado a, es u úero b que elevado al epoete os da a. a b b a Si es ua raíz e irracioal, es u radical. Pero o todas las raíces so radicales. Recordeos que los úeros irracioales so aquellos cua epresió decial o se repite uca. Cuado o puedes siplificar u úero para quitar ua raíz cuadrada (o ua raíz cúbica, etc.) etoces es u radical, coo vereos a cotiuació: Raíz. Siplificació. Decial. Radical o o? No es radical..700 Si es radical. No es radical Si es radical. U radical es ua epresió de la fora a, e la que es eleeto de los úeros Naturales a es u eleeto de los úeros Reales; cuado a sea egativo, ha de ser ipar. Ídice Los eleetos de ua radical so: U radical equivale a ua potecia de epoete fraccioario, e la que el deoiador de la fracció es el valor del ídice del radical el uerador de la fracció es el epoete del radicado. a a Itroducir o etraer u factor e u radical. Para itroducir u factor detro de u radical se eleva el factor a la potecia que idica el ídice del radical se escribe detro del iso. Coo se uestra a cotiuació. ) ) () ) ( ) 0 Para etraer u factor de u radical, éste deberá teer coo epoete u úero aor que el ídice, se puede etraer del radical dividiedo el epoete del radicado etre el ídice. E esta divisió el cociete es el epoete del factor que saldrá del radical el residuo es el epoete del factor que queda detro. Coo se uestra a cotiuació. 7 Coeficiete k a 7 Radicado

6 Radicales equivaletes. Dos o ás radicales so equivaletes si las fraccioes de los epoetes de las potecias asociadas so equivaletes. A partir de u radical se puede obteer ifiitos radicales equivaletes, solo se tiee que ultiplicar o dividir el epoete del radicado el ídice de la raíz por u iso úero, si se ultiplica se le llaa aplificar si se divide se le llaa siplificar el radical. Coo se uestra a cotiuació. z 9 z so equivaletes porque Para aplificar el radical Para siplificar el radical 9 Ejercicios para resolver e clase. so equivaletes porque 9 9 Escribe los siguietes radicales coo potecia de epoete fraccioario: ) ) ) ) ) ) 7) 9 ) 9) 0) (z) Escribe las siguietes potecias coo radicales: ) ) ) 7) z ) ) (z) ) 9) ( ) ) 7 0) (a )

7 Itroduce el factor detro del radical. ) ) ) ) ) Etrae los factores del radical. ) ) ) ) 7 ) 7) 9 ) () 9) 0) (z) ) 7) ) 9) 7 ) z Propiedades de los radicales. Raíz de u producto. 0) z La raíz -ésia de u producto de factores es igual al producto de las raices - ésias de cada uo de los factores. ) (a)(b) ( a)( b) ) ()( ) ( )( ) Raíz de u cociete. La raíz -ésia de u cociete es igual al cociete de la raíz -ésia del dividedo el divisor. ) a b ) 7 a b 7 7

8 Raíz de ua potecia. La raíz de ua potecia se obtiee priero calculado la raíz de la base luego se eleva elresultado a la potecia dada. ) a ( a) ) (7) ( 7) 9 ) ( ) ( ( )) ( ) 9 Raíz de raíz. La raíz -ésia de la raíz -ésia de u úero es igual a la raíz ()()-ésia de dicho úero. ) a ) ()() a ()() 0 Ejercicios para resolver e clase. ) ) ()() 0 Aplicado las propiedades de los radicales, resuelve los siguietes ejercicios. ) 7 ) ) 7 ) ) () ) ( ) 7) ) 9) 0)