FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LOS LIBERTADORES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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1 FUNDACIÓN UNIVERSITARIA LOS LIBERTADORES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS PROFESOR: TEMA: CAMILO HUMBERTO COHECHA TORRES. AMORTIZACIÓN OBJETIVOS:. Identificar diferentes sistemas de amortización elaborando la tabla respectiva. 2. Determinar la composición de una cuota dependiendo del sistema de amortización. AMORTIZACIÓN La amortización de una obligación o deuda se define como el proceso mediante el cual se paga la misma junto con sus intereses, mediante una serie de cuotas en un tiempo determinado. SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN: Una deuda puede amortizarse de diversas formas o aplicando distintos sistemas todos ellos equivalentes desde el punto de vista financiero. En cualquier sistema de amortización se deben especificar los siguientes aspectos:

2 a. Deuda inicial. b. Plazo para cubrir dicha obligación. c. Tasa de interés. d. Forma de pago de las cuotas. Algunos ejemplos de sistemas de amortización son:. Con cuotas iguales y periódicas. (Anualidad) 2. Con cuotas periódicas que aumentan en forma lineal. (Gradiente aritmético creciente).. Con cuotas periódicas que disminuyan en forma lineal. (Gradiente aritmético decreciente). 4. Con cuotas periódicas que aumentan en forma geométrica. (Gradiente geométrico creciente).. Con cuotas periódicas que disminuyen en forma geométrica. (Gradiente geométrico decreciente).. Con abono constante a capital e intereses al final del periodo (intereses vencidos). 7. Con abono constante a capital e intereses de forma anticipada (intereses anticipados). La amortización también se puede presentar, considerando las mismas siete situaciones anteriores pero realizando cuotas extras pactadas previamente, las cuales se cancelan en un o algunos periodos determinados. 8. Amortización, mediante gradientes escalonados. Los sistemas escalonados pueden ser lineales o geométricos, crecientes o decrecientes. Se conserva constante (anualidad) la cuota durante un lapso de tiempo (escalones), al final del cual se aumenta o se disminuye, según el caso. (Ver ejemplo y 2

3 ). Este sistema de amortización también se puede presentar con variación global de la cuota. (Ver ejemplo 7) 9. Amortización Con periodo de gracia. Se denomina periodo de gracia o tiempo muerto al lapso de tiempo durante el cual no hay amortización de capital, pero obviamente si se generan unos intereses, se tienen dos situaciones: a. Durante el período de gracia los intereses los intereses causados se pagan periódicamente. La deuda inicial permanece constante durante el periodo de gracia, y sobre este valor se calcula el valor de las cuotas. b. Los intereses causados durante el período de gracia se capitalizan. La deuda habrá aumentado al final del período de gracia y sobre este nuevo capital se calculan las cuotas de amortización. SALDO: Para una deuda determinada se llama saldo al cabo de un tiempo a la cantidad o suma que en ese momento aun falta por amortizar. El saldo de una deuda en cualquier momento se puede determinar de cualquiera de las dos siguientes maneras: a. El valor futuro en ese momento de la deuda original (o proyección de la deuda original) menos el valor futuro de las cuotas canceladas hasta ese momento. b. El valor presente, en ese momento de las cuotas que aun faltan por pagar.

4 EJEMPLOS: A continuación se presentan 7 ejemplos de amortización, para todos ellos la deuda inicial es $ y la tasa periódica es del 2,%. Algunas de las tablas presentadas no se han llenado el fin es que usted realice los cálculos pertinentes y proceda a completarlas. En la parte final se presentan algunos ejercicios, los cuales deben ser solucionados y presentados al docente respectivo.. Si el sistema de amortización es con cuotas mensuales iguales. (Amort) DEUDA INICIAL,000, TASA EFECTIVA (2.%=0.02) PER. SALDO INTERES CUOTA ABONO INTERES ACUM

5 2. Si las cuotas mensuales aumentan cada mes en $ (Amort2l). DEUDA INICIAL,000,000 TASA EFECTIVA EN POR UNO ( 2.% = 0.02) CRECIMIENTO DE LA CUOTA (en pesos) 0, PER. SALDO INTERES CUOTA ABONO SUMA INT. 87,70.0 2, , , , ,.4 2,9.2 7, ,7. 4,9.2 2,97.8 8, , ,2.07 4, , , , , , ,24.4 9, , ,2.8 88, ,0. 207, ,24.4 9,9.4. Si las cuotas mensuales disminuyen cada mes en $ (Amort2l). DEUDA INICIAL,000,000 TASA EFECTIVA EN POR UNO ( 2. % = 0.02) CRECIMIENTO DE LA CUOTA (en pesos) -0, PER. SALDO INTERES CUOTA ABONO SUMA INT. 89,9.9 2, , , , , , , ,0.79 4, ,084., , ,74., ,0.8,82.2 7,80.04, , ,029. 7,72.7, , , ,800.7, , ,980.24

6 4. Si las cuotas mensuales aumentan cada mes en una tasa constante, ejemplo el % cada mes (Amort2g). DEUDA INICIAL.,000,000 TASA EFECTIVA EN POR UNO ( 2. % = 0.02) PORCENTAJE CRECIMIENTO CUOTA (EN POR UNO) PER. SALDO INTERES CUOTA ABONO SUMA INT Si las cuotas mensuales disminuyen cada mes en una tasa constante, ejemplo el % cada mes (Amort2g). DEUDA INICIAL.,000, TASA EFECTIVA EN POR UNO (2. % = 0.02) PORCENTAJE CRECIMIENTO CUOTA (En por uno) -0.0 PER. SALDO INTERES CUOTA ABONO SUMA INT

7 . Amortizar el capital en cuotas mensuales iguales, con interés vencido (Amort4v). DEUDA INICIAL.,000, TASA EFECTIVA VENCIDA (EJEMPLO % = 0.0) NUMERO DE PAGOS PER SALDO INTERESES PAGO ABONO SUMA INT. 8,. 2, ,.7,.7 2, ,.7 20,8. 87,00.00,.7 4,8. 00,000.00,.7 8,.,.7 2, ,. 2, ,.7,.7 7,000.00,.7 8,. 7,000.00,.7 8, ,.7 70,8.,.7 87, Amortizar el capital en cuotas mensuales iguales, con interés anticipado (Amort4a). DEUDA INICIAL.,000, TASA EFECTIVA ANTICIPADA (Ejemplo % = 0.0) NUMERO DE PAGOS PER. SALDO INTERESES PAGO ABONO SUMA INT. 0,000, , , , ,. 20,8. 87,00.00,.7 4,8. 2,.7,.7 8,.,.7 2, , , ,.7,.7 7, ,. 8,. 7,000.00,.7 8,.,.7 4,.7 70,8.,.7 87, ,.7,.7 87,00.00 Las siete situaciones anteriores pero considerando que se realizan cuotas extras pactadas en el segundo y cuarto mes por un monto de $ y $ respectivamente. 7

8 8. Si el sistema de amortización es con cuotas mensuales iguales y dos cuotas extras pactadas en el segundo y cuarto mes por un monto de $ y $ respectivamente. (Amort). DEUDA INICIAL,000, TASA EFECTIVA EN POR UNO (2.% = 0.02) PER SALDO INTERES CUOTA ABONO INTERES ACUM. CUOTAS EXTRAS 0 2 0, , Si las cuotas mensuales aumentan cada mes en $ y dos cuotas extras pactadas en el segundo y cuarto mes por un monto de $ y $ respectivamente. (Amort2l). DEUDA INICIAL,000,000 TASA EFECTIVA EN POR UNO ( 2. % = 0.02) CRECIMIENTO DE LA CUOTA (en pesos) 0,000 PER SALDO INTERES CUOTA ABONO SUMA INT. CUOTA EXTRA 0 2 0, ,

9 0. Si las cuotas mensuales disminuyen cada mes en $ y dos cuotas extras pactadas en el segundo y cuarto mes por un monto de $ y $ respectivamente. (Amort2l). DEUDA INICIAL,000,000 TASA EFECTIVA EN POR UNO (2. % = 0.02) CRECIMIENTO DE LA CUOTA (en pesos) -0,000 PER SALDO INTERES CUOTA ABONO SUMA INT. CUOTA EXTRA 877,98.0 2, , , , , , , ,0.0 4,949. 0, ,228.,2.0 27,04.70,9.9 2, , ,0.7 7, , , , , ,98. 07, , , ,.2 97, , , Si las cuotas mensuales aumentan cada mes en una tasa constante, ejemplo el % cada mes y dos cuotas extras pactadas en el segundo y cuarto mes por un monto de $ y $ respectivamente. (Amort2g). DEUDA INICIAL.,000, TASA EFECTIVA EN POR UNO (2. % = 0.02) PORCENTAJE CRECIMIENTO CUOTA (En por uno) PER SALDO INTERES CUOTA ABONO SUMA INT. CUOTA EXTRA 9,4.8 2, ,4.2 8,4.2 2, ,8. 22, , ,9.0 47, , ,28.,879. 9, , , ,89. 4, ,770.89,4.8 79, ,000.00,280.40, , ,8.9 8, ,82.0 8,2.4, ,

10 2. Si las cuotas mensuales disminuyen cada mes en una tasa constante, ejemplo el % cada mes y dos cuotas extras pactadas en el segundo y cuarto mes por un monto de $ y $ respectivamente. (Amort2g). DEUDA INICIAL.,000, TASA EFECTIVA EN POR UNO (2. % = 0.02) PORCENTAJE CRECIMIENTO CUOTA (En por uno) -0.0 PER SALDO INTERES CUOTA ABONO SUMA INT. CUOTA EXTRA 0 2 0, , Amortizar el capital en cuotas mensuales iguales, con interés vencido y dos cuotas extras pactadas en el segundo y cuarto mes por un monto de $ y $ respectivamente. (Amort4v). DEUDA INICIAL.,000, TASA EFECTIVA VENCIDA (2. % = 0.02) NUMERO DE PAGOS PER SALDO INTERESES PAGO ABONO SUMA INT CUOTA EXTRA

11 4. Amortizar el capital en cuotas mensuales iguales, con interés anticipado y dos cuotas extras pactadas en el segundo y cuarto mes por un monto de $ y $ respectivamente. (Amort4a). DEUDA INICIAL.,000, TASA EFECTIVA ANTICIPADA (Ejemplo % = 0.0) NUMERO DE PAGOS PER SALDO INTERESES PAGO ABONO SUMA INT. CUOTA EXTRA Amortizar $ con pagos trimestrales, durante tres años, que aumentan cada año en $ 0 000, pero dentro de cada año la cuota permanece constante. Suponga un interés del 0% C.T. (Amorh). DEUDA INICIAL,000,000. INTERTASA EFECTIVA EN POR UNO NUMERO DE PERIODOS CRECIMIENTO DEL ESCALON EN PESOS 0,000 NUMERO INTERPERIODOS/PERIODO 4 PER. SALDO INTERES CUOTA ABONO SUMA INT. 974, , ,774. 2,774. 2, , ,. 0,774. 2, ,. 920, ,9.8 0, , , ,972. 2,08.2 0, ,7.92 9, , ,24. 00, , ,9. 74,.2 20,.07 00, ,4.07 8,7.42 7, , , ,42.4 7, ,208.40, , , , ,4.48 4,80.2 0,774., , ,0.7 0,7. 0, , , , ,2.4 0,774. 4, , , , , ,289.0

12 . Amortizar $ con pagos trimestrales durante tres años, que aumentan cada año en un % pero dentro de cada año la cuota permanece constante. Suponga un interés del 0% C.T. (Amorg). DEUDA INICIAL,000,000. INTERTASA EFECTIVA EN POR UNO NUMERO DE PERIODOS DEL GRADIENTE PORCENTAJE CRECIMIENTO CUOTA NUMERO INTERPERIODOS/PERIODO 4 PER. SALDO INTERES CUOTA ABONO SUMA INT. 9, , ,09. 8,09. 2, ,9.9 2, ,09. 9, , ,4.4 2,.98 9,09. 7,. 9, ,40.9 9,7.09 9,09. 7, ,8. 7,0.9 7,9.0 97, , ,.84,7.44, ,72.0 8, , ,97.9, ,72.0 8, , ,0.02, ,72.0 8, , ,04.8 9,0. 02,09. 92, , ,77.8 7,2. 02,09. 9,282.8, ,0.0 4, ,09. 97,4.88 7, ,02. 02,09. 00,0.0 7, Amortizar $ con pagos trimestrales durante tres años, con la condición de que durante cada año la cuota no varíe; pero cada año, la cuota anual equivalente aumente en $ Suponga un interés del 0% C.T. (Amorl). DEUDA INICIAL,000,000. INTERTASA EFECTIVA EN POR UNO NUMERO DE PERIODOS VARIACIÓN CUOTA GLOBAL EN PESOS 0, NUMERO INTERPERIODOS/PERIODO 4

13 PER SALDO INTERES CUOTA ABONO SUMA INT. 98, , ,27.80, , ,99.4 2,49.0 8, , ,49.0 8,.48 2, , , , , ,29.9 8,27.80, ,0.28,07.0 8, , ,.97 09, ,44.2,.8 98, ,2.87 2, , ,. 98, ,7.4 40, ,09.4 2, , ,79.2,08.4 9,07. 0,7.49 0,9.9 99,944.0, ,2.4 7, ,9.9 02, ,7.8 07,28.87,.82 0,9.9 0, , , ,9.9 07, , Elaborar tablas similares alas tres últimas, pero considerando cuotas extras pactadas. EJERCICIOS:. Elaborar una tabla, para amortizar la suma de $ , en pagos semestrales, con las siguientes condiciones: a. El primer año se otorga como período de gracia muerto sin pago de intereses (significa que no hay pago de cuotas aunque los intereses si se causan y se acumulan al capital). b. El segundo año se otorga como periodo de gracia con pago de intereses (solo se pagan intereses, pero no hay abono a capital). c. En los siguientes tres años se realizan pagos semestrales crecientes en $ d. La tasa de interés es del 0% C.S. 2. Una deuda de $ se esta amortizando con pagos mensuales que disminuyen mes a mes en el %, durante años, y a una tasa del 24% C.M. Hallar a. El valor del primer pago. b. El valor del último pago. c. La composición del pago 00. (valor de la cuota, amortización, intereses, saldo ).

14 . Elaborar la tabla para amortizar la suma $ en pagos trimestrales, durante años, con la condición de que la cuota se incrementa cada año en un 20% pero dentro de cada año la cuota permanece constante. Suponga un interés del 2% anual. 4. Amortizar una deuda de $ mediante 0 pagos mensuales bajo el sistema de abonos constantes a capital y con pago de intereses anticipados del.% mensual. a. Elaborar la tabla de amortización. b. Realizar el gráfico del saldo cuota. c. Elaborar la tabla de amortización bajo las mismas condiciones pero considerando dos cuotas extras pactadas por valor de $ al primer y segundo año.. Un automóvil tiene un valor de contado de $ se financia el 70% del costo total a un plazo de años, con una tasa del 0% anual. Elaborar una tabla de amortización para cada uno de los siguientes sistemas de amortización: a. Cuotas mensuales uniformes. b. Cuotas trimestrales, que decrecen en $ durante los dos primeros años, pero de allí en adelante crecen en el %. c. Cuotas semestrales que decrecen en el 0%, y cuotas extras anuales pactadas por valor de $ BIBLIOGRAFÍA: BACA, Guillermo. Ingeniería Económica. Fondo Educativo Panamericano. Colombia 997. MEZA OROZCO, Jhony de Jesus. Matemáticas financieras aplicacas. Ecoe ediciones, GARCIA, Jaime. Matemáticas financieras. Editorial Pearson, ALVAREZ, Alberto. Matemáticas financieras. Editorial McGraw Hill CC/ps 4