La Probabilidad. Heraldo Gonzalez S.

Transcripción

1 La Probabilidad Heraldo Gonzalez S.

2 2

3 Índice general 1. Definición Axiomática de Probabilidad Probabilidad condicional e independencia estocástica Teorema de la probabilidad total Teorema de Bayes

4 4 Plan de Regularización, Estadistica I

5 Capítulo 1 Definición Axiomática de Probabilidad. Existen varios conjuntos de axiomas que permiten construir un modelo matemático de la probabilidad, que explique las regulaciones observadas en los sucesos asociados a un experimento aleatorio cuando realizamos sucesivas repeticiones del experimento. Este modelo matemático debe englobar a las dos interpretaciones vistas anteriormente, pues están basadas, en gran medida, en la experiencia. La axiomática que usaremos será la introducida por Kolmogorov, considerando la probabilidad definida en un σ-álgebra, pues esta es la estructura matemática de sucesos idónea para estudiar cualquier experimento aleatorio y calcular probabilidades. Definición. Una colección Λ (no vacía) de subconjuntos de Ω es un σ-álgebra de subconjuntos de Ω si: 1. A Λ A c Λ. 2. A i Λ; i N A i A i Λ Λ 5

6 6 Plan de Regularización, Estadistica I Definición. Una medida de probabilidad P sobre un σ-álgebra Λ es una función de valores reales definida sobre Λ tal que: 1. P (Ω) = P (A) 0 A Λ. 3. Si los A i, I N, son sucesos mutuamente excluyentes (A i A j = ) entonces P ( A i ) = P (A i ). Decimos que el trío (Ω, Λ, P ) es un espacio de probabilidad. Propiedades En (Ω, Λ, P ) se cumple: 1. El suceso imposible tiene probabilidad cero, es decir, P ( ) = Si A 1, A 2,..., A n son mutuamente excluyentes entonces n n P ( A i ) = P (A i ). 3. Si A c es el suceso complementario de A entonces P (A c ) = 1 P (A). 4. Sean A, B sucesos cualesquiera. Si A B entonces P (A) P (B). 5. Sean A y B sucesos cualesquiera, entonces: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Observación: 1. Sean A y B sucesos cualesquiera entonces se cumple: P (A B c ) = P (A) P (A B). En efecto: Como A = (A B c ) (A B) y estos dos últimos sucesos son excluyentes entonces P (A) = P [(A B c ) (A B)] = P (A B c ) + P (A B), de donde, despejando P (A B c ) obtenemos P (A B c ) = P (A) P (A B).

7 Heraldo Gonzalez S Si A, B, C son sucesos cualesquiera entonces se cumple: P (A B C) = P (A)+P (B)+P (C) P (A B) P (A C) P (B C)+P (A B C) Esto se demuestra escribiendo A B C como A (B C) y aplicando la propiedad 5) junto con la distributividad de la intersección con respecto de la unión. 3. Si A 1, A 2,..., A n son n sucesos cualesquiera entonces se cumple: n n P ( A i ) = 1 P ( A c i). En efecto: n n n P ( A i ) = P [( A c i) c ] = 1 P ( A c i). 4. Si A 1, A 2,..., A k son k sucesos cualesquiera entonces se cumple: k k k P (A 1 A 2... A k ) = P (A i ) P (A i A j ) + P (A i i<j=2 A j A r ) ( 1) k 1 P (A 1 A 2... A k ). i<j<r=3 EJEMPLO 13 Sean A, B, C tres sucesos en Ω tal que: P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 2, P (C) = 0, 35 P (A B) = 0, 15, P (A C) = 0, 25, P (B C) = 0, 1, P (A B C) = 0, 05 Calcule la probabilidad de que: a) no ocurra A. b) ocurra A y no ocurra B. c) sólo ocurra A y B. d) sólo ocurra A. e) sólo uno de los sucesos ocurra. f) al menos un suceso ocurra.

8 8 Plan de Regularización, Estadistica I a) La probabilidad de que no ocurra A se denota P (A c ) y entonces P (A c ) = 1 P (A) = 1 0, 4 = 0, 6. b) La probabilidad pedida se denota P (A B c ), tenemos: P (A B c ) = P (A) P (A B) = 0, 4 0, 15 = 0, 25. c) Se pide: P (A B C c ) P (A B C c ) = P (A B) P (A B C) = 0, 15 0, 05 = 0, 10. d) Se pide: P (A B c C c ), Note: ocurre A pero no ocurre ni B ni C P (A B c C c ) = P [A (B C) c ] = P (A) P [A (B C)] = P (A) P [(A B) (A C)] = P (A) [P (A B) + (A C) P (A B C)] = 0, 4 (0, , 25 0, 05) = 0, 05. e) Se pide: P [(A B c C c ) (B A c C c ) (C A c B c )] Ya calculamos P (A B C c ), de manera análoga obtenemos la probabilidad de las otras componentes de la unión, además la probabilidad de las intersecciones entre las componentes de la unión es cero, de donde: P (pedida) = 0, 10. f) Se pide: P (A B C) aplicando la observación 2) y reemplazando valores obtenemos P (A B C) = 0, 5. Observación. Existe un mecanismo más eficiente para resolver este tipo de problemas; el uso de un diagrama de Venn-Euler. Podemos representar el espacio muestral como un rectángulo y allí los sucesos. En el ejemplo anterior tenemos: Note que los resultados se obtienen leyendo las zonas del gráfico. Por ejemplo, la probabilidad de que ocurra sólo C es P (A B C c ) = 0, 41 y la probabilidad de que ocurra sólo A y C es P (A C B c ) = 0, 2.

9 Heraldo Gonzalez S. 9 EJEMPLO 14 Tenemos n cartas y n sobres con las correspondientes direcciones. Las cartas se introducen al azar en los n sobres. Calcule la probabilidad de que por lo menos una carta esté en su sobre. Podemos numerar las cartas y los sobres del 1 a n, y consideremos el suceso A k = la carta k está en el sobre k, k = 1, 2,..., n. n El problema se reduce a calcular P ( A k ) y entonces debemos calcular k=1 P (A k ) y la probabilidad de las intersecciones P (A 1 ) = n(a 1) n(ω) = (n 1)! n! = 1 n, ya que el total de resultados son permutaciones de n elementos (las cartas) y son resultados favorables aquellas permutaciones que tienen fijo el primer elemento. De la misma manera n P (A k ) = n(a k) = (n 1)! = 1 ; k = 1, 2,..., n y entonces P (A n(ω) n! n k ) = 1. Por otro lado, P (A 1 A 2 ) = n(a 1 A 2 ) = (n 2)! pues en cada caso favorable n(ω) n! las cartas 1 y 2 están en sus sobres correspondientes y los demás se encuentran repetidos al azar en los otros n 2 sobres. De la misma manera P (A i A j ) = (n 2)!, i j y entonces n! n ( ) n (n 2)! P (A i1 A i2 ) = = 1 2 n! 2! Análogamente i 1, i 2 =1; i 1 <i 2 k=1

10 10 Plan de Regularización, Estadistica I n P (A i1 A i2 A i3 ) = i 1 i 2 i 3 =1; i 1 <i 2 <i 3 P (A 1 A 2... A n ) = 1. n! ( n 3 ) (n 3)! Así entonces, n p n = P ( A k ) = 1 1 2! + 1 3! ( 1)n 1 n! = k=1 k=1 Notemos que 7 ( 1) k 1 p 7 = = 0, 6321 k! y que, usando más Matemática tenemos lím p n = 1 e 1 = 0, 6312 ya que e 1 = n n! ( 1) k. k! k= Probabilidad condicional e independencia estocástica. = 1 3! y finalmente n ( 1) k 1 Presentaremos la situación con un problema que motivará los conceptos y nos indicará las definiciones. Una organización de defensa del consumidor ha estudiado los servicios dentro del período de garantía que ofrecen los 50 distribuidores de automóviles nuevos en cierta comunidad; las variables medidas fueron: Calidad del servicio al interior del período de garantía (Buen servicio, Mal servicio) y Antiguedad en la actividad (en años). Los resultados se presentan en la siguiente tabla. k=1 Buen servicio Mal servicio 10 o más años Menos de 10 años Si una persona selecciona al azar uno de los 50 distribuidores Cuál es la probabilidad de que seleccione a uno que otorgue un buen servicio?. Notamos que existen 26 distribuidores que entregan un buen servicio, entonces si denotamos este suceso por A tenemos: P (A) = 26 = 0, k!

11 Heraldo Gonzalez S. 11 Cuál sería la probabilidad de que una persona seleccione un distribuidor que otorga un buen servicio si esta selección se restringe ahora a aquellos distribuidores con más de 10 años en la actividad?. Como ahora nos restringimos a los 20 distribuidores que poseen tal característica, podemos concluir que la probabilidad pedida es: P (pedida) = 16 = 0, 80. Notemos que si al suceso 10 o más años lo 20 denotamos por B entonces la probabilidad pedida la podemos denotar por P (A/B) y entonces P (A/B) = 16 = 0, 80. Es inmediato concluir 20 P (A/B) = n(a B) n(b) = 16 Definición. n(a B) = n(ω) 20 n(b) n(ω) = P (A B) P (B). Sean A y B dos sucesos cualesquiera en Ω, llamamos probabilidad condicional de A dado (que ocurre) B, lo que denotamos P (A/B) al cuociente: P (A/B) = P (A B) P (B) si P (B) > 0; Análogamente: P (B/A) = P (B A) P (A) si P (A) > 0. Definición. Dos sucesos A y B cualesquiera en Ω son estocásticamente independientes si y sólo si P (A/B) = P (A) (o P (B/A) = P (B)). Observación. 1. Si A y B son excluyentes (es decir A B = con P (A), P (B) > 0 entonces es inmediato que ellos no son estocásticamente independientes, ya que P (B/A) = P (B A) P (A) = 0 P (A) > Si A y B dos sucesos cualesquiera en Ω entonces se cumple: P (A B) = P (A/B)P (B) = P (B/A)P (A) Teorema de la probabilidad conjunta. 3. Si A y B son sucesos independientes entonces se cumple: P (A B) = P (A)P (B)

12 12 Plan de Regularización, Estadistica I EJEMPLO 15 Si A y B son sucesos en Ω tal que: P (A) = 1 2, P (B) = 1 3, P (A B) = 1 4, determine: a) P (A/B). b) P (A c /B c ). c) P (A/(A B) c ). a) Es inmediato que P (A/B) = P (A B) P (B) = = 3 4. b) P (A c /B c ) = P (Ac B c ) = P [(A B)c ] = P ((A B)c ) P (B c ) P (B c ) 1 P (B) 1 [P (A)+P (B) P (A B)] 1 P (B) = 1 ( ) = 5 8. = 1 P (A B) 1 P (B) = c) P (A/(A B) c ) = P (A (A B)c ) P ((A B) c ) = P (A) P (A B) 1 P (A B) = = 1 3. EJEMPLO 16 Si A y B son sucesos independientes entonces: a) A c y B c son independientes. b) A y B c son independientes. c) A c y B son independientes. Demostración. a) Se debe demostrar que P (A c /B c ) = P (A c ). P (A c /B c ) = P (Ac B c ) = = P ((A B)c ) 1 (P (A)+P (B) P (A B)) = P (B c ) 1 P (B) 1 P (B) 1 (P (A)+P (B) P (A)P (B)) 1 P (A) P (B)+P (A)P (B) = = 1 P (B) 1 P (B) (1 P (A)) P (B)(1 P (A)) = 1 P (B) b) y c) se demuestran de manera análoga. (1 P (A))(1 P (B)) (1 P (B)) = 1 P (A) = P (A c )

13 Heraldo Gonzalez S. 13 EJEMPLO 17 Supongamos que en cada familia con un determinado número de descendientes, los resultados referentes al género de los descendientes son igualmente probables. Consideremos los sucesos: A = la familia tiene como mucho una hija B = la familia tiene hijos de los dos sexos Estudie la independencia de A y B en las siguientes situaciones: a) la familia tiene dos descendientes. b) la familia tiene tres descendientes. a) El espacio muestral para este caso es Ω = {HH, HM, MH, MM} donde H = hombre, M = mujer, entonces el suceso A es A = {HH, HM, MH} de donde P (A) = 3 y el suceso B es 4 B = {HM, MH} y entonces P (B) = 2 ; por otro lado el suceso 4 conjunto AB = A B = {HM, MH} tal que P (A B) = 2. 4 Como P (A B) = 1 P (A)P (B) = 3 entonces A y B son 2 8 dependientes. b) Ahora Ω = {HHH, HHM, HMH, HMM, MHH, MHM, MMH, MMM} de donde A = {HHH, HHM, HMH, MHH}, así P (A) = 4; el 8 suceso B es B = {HHM, HMH, HMM, MHH, MHM, MMH},así P (B) = 6; 8 por otro lado el suceso conjunto es A B = {HHM, HMH, HMM, MHH} y entonces P (A B) = 4. 8 Como P (A B) = 3 = P (A)P (B) = 4 6 entonces los sucesos A y B son independientes. Observación. Para más de dos sucesos podemos extender el concepto de independencia. Sean A 1, A 2,..., A n Λ. Decimos que los sucesos A 1, A 2,..., A n son globalmente independientes si cualquier colección formada con sucesos de los anteriores es tal que la probabilidad conjunta es igual al producto de las probabilidades, es decir, si:

14 14 Plan de Regularización, Estadistica I P (A i A j ) = P (A i )P (A j ); i j P (A i A j A k ) = P (A i )P (A j )P (A k ); i j k... P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 )... P (A n ) Naturalmente que independencia global implica independencia parcial, el reciproco no siempre es cierto. EJEMPLO 18 Consideremos un tetraedro que tiene, de sus 4 caras una pintada de rojo, otra de amarillo, otra de verde y la última con los tres colores. Sean los sucesos: R = la cara tiene color rojo A = la cara tiene color amarillo V = la cara tiene color verde entonces P (R) = P (A) = P (V ) = 2 = 1 y 4 2 P (R A) = P (R V ) = P (A V ) = 1. 4 Notamos que P (R A) = 1 = P (R)P (A) = 1 1 de donde R y A son independientes; esto tambien ocurre con los sucesos R y V ; y A y V. Veamos ahora con tres sucesos. P (R A V ) = 1 P (R)P (A)P (V ) = 1, así, los sucesos R, A y V no son 4 8 globalmente independientes. EJEMPLO 19 Un armador espera la llegada de dos buques cargados con cierto tipo de frutas. Las estadísticas indican que el 1 % de todos los cargamentos recibidos llegan con su cargamento estropeado. Determine la probabilidad de que: a) ambos buques lleguen con su carga estropeada. b) sólo uno de ellos llegue con su carga estropeada. c) ninguno de ellos llegue con su carga estropeada. Consideremos los sucesos: A = el buque A llega con su carga estropeada, B = el buque B llega con su carga estropeada,

15 Heraldo Gonzalez S. 15 Entonces de los datos obtenemos: P (A) = P (B) = 0, 01 y, asumiendo que estos sucesos son independientes; tenemos: a) P (A B) = P (A)P (B) = (0, 01)(0, 01) = 0, b) P [(A B c ) (B A c )] = P (A B c ) + P (B c A) = P (A)P (B c ) + P (B)P (A c ) = 2(0, 01)(0, 99) = 0, c) P (A c B c ) = P (A c )P (B c ) = (0, 99)(0, 99) = 0, EJEMPLO 20 Un estudio realizado hace pocos meses reveló que el 30 % de los infractores de tránsito corresponde a exceso de velocidad. Además el 40 % de los conductores detenidos en estado de ebriedad conducían a velocidad exagerada mientras que el 20 % de los veloces conducía en estado de ebriedad. Qué porcentaje de los infractores del tránsito es detenido en estado de ebriedad?. Consideremos los siguientes sucesos: V = infractor conduce a exceso de velocidad E = infractor conduce ebrio entonces tenemos: P (V ) = 0, 30; P (V/E) = 0, 40; P (E/V ) = 0, 20 y la pregunta es P (E)?. P (E) = P (E V c ) + P (E V ) = P (V c /E)P (E) + P (E/V )P (V ) = [1 P (V/E)P (E)] + P (E/V )P (V ) = (1 0, 4)P (E) + (0, 2)(0, 3), así entonces = 0, 6 P (E) + 0, 06 de donde P (E) = 0, 15. Quizás, más fácil: P (V E) P (V/E) = 0, 40 = 0, 4 P (V E) = 0, 4 P (E). P (E) P (V E) P (E/V ) = 0, 20 = 0, 2 P (V E) = 0, 2 P (V ). P (V ) Así, 0, 4 P (E) = 0, 2 P (V ) de donde P (E) = EJEMPLO 21 0,2 P (V ) 0,4 = (0,2)(0,3) 0,4 = 0, 15. Un dispositivo contiene 3 componentes electrónicos A, B, C que funcionan independientemente. El dispositivo se considera defectuoso si uno a más de los componentes electrónicos lo son; la probabilidad de que A sea defectuoso es 0, 01 en tanto que esas probabilidades para B y C son 0, 02 y 0, 1 respectivamente. a) Cuál es la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso?.

16 16 Plan de Regularización, Estadistica I b) Cuál es la probabilidad de que de que el dispositivo sea defectuoso debido sólo a una falla del componente C?. Consideremos los sucesos: A = componente A es defectuoso, B = componente B es defectuoso, C = componente C es defectuoso, D = dispositivo es defectuoso, entonces P (A) = 0, 01; P (B) = 0, 02; P (C) = 0, 1; tenemos: a) P (D) = P (A B C) = 1 P (A c B c C c ) = 1 P (A c )P (B c )P (C c ) = 1 (0, 99)(0, 98)(0, 9) = 0, Observe que este desarrollo fue posible dado que los sucesos son independientes y que es más eficiente que desarrollar P (A B C) b) P (A c B c C) = P (A c )P (B c )P (C) = (0, 99)(0, 98)(0, 1) = 0, EJEMPLO 22 En una habitación hay dos hombres, Pepe y Juan, y tres mujeres, Carmen, Isabel y Pilar. De la habitación salen, al azar, dos de las 5 personas. Calcule la probabilidad de que sean dos hombres, conocida una de las siguientes informaciones. a) Una al menos, de las dos personas que han salido, es un hombre. b) Ha salido Pepe. Consideremos los sucesos: A = las dos personas que han salido son hombres B = al menos una de las personas que han salido es un hombre C = ha salido Pepe Se pide a) P (A/B) b) P (A/C) y necesitamos calcular P (A B), P (A C), P (B), P (C); tenemos: P (A B) = P (A) = n(a) = 1 n(ω) 5 2 = 1 10 ya que A B.

17 Heraldo Gonzalez S. 17 P (A C) = P (A) = 1 P (B) = ya que A C = 7 10, P (C) = = Con esto tenemos P (A/B) = EJEMPLO 23 = 1 7 ; P (A/C) = = 1 4 ; De un lote con 100 artículos, 10 de los cuales son defectuosos, se toman dos artículos al azar, de uno en uno y sin reemplazo. Calcular la probabilidad de que el primero sea correcto y el segundo sea defectuoso. Consideremos los siguientes sucesos: A = primer artículo es correcto B = segundo artículo mes defectuoso Se pide P (A B); P (A B) = P (A)P (B/A) = = 1 11 Observación. Podemos generalizar la probabilidad de la intersección de dos sucesos a más de dos. Teorema. Sean A 1, A 2,..., A n Λ tal que P (A 1 A 2... A n 1 ) > 0 entonces n P ( A k ) = P (A 1 )P (A 2 /A 1 )P (A 3 /A 1 A 2 )... P (A n /A 1 A 2... A n 1 ). k=1 Demostración. Por inducción sobre n, n 2. Para n = 2 la hipótesis dice que P (A 1 ) > 0 y como P (A 2 /A 1 ) = P (A 1 A 2 ) P (A 1 ) obtenemos P (A 1 A 2 ) = P (A 1 )P (A 2 /A 1 ). Supongamos que el Teorema es cierto cuando la cantidad de sucesos es menor o igual que n 1, debemos demostrar que se cumple para n. n 1 Definimos el suceso B = A k, la hipótesis dice que P (B) > 0 y tenemos k=1

18 18 Plan de Regularización, Estadistica I P ( n A k ) = P (B A n ) = P (B)P (A n /B) y como k=1 n 1 P ( A k ) = P (A 1 )P (A 2 /A 1 )P (A 3 /A 1 A 2 )... P (A n 1 /A 1 A 2... A n 2 ) k=1 entonces n P ( A k ) = k=1 P (A 1 )P (A 2 /A 1 )P (A 3 /A 1 A 2 )... P (A n 1 /A 1 A 2... A n 2 )P (A n /B). EJEMPLO 24 En una población con 50,000 habitantes hay 10,000 personas que trabajan por cuenta propia y 20,000 que lo hacen por cuenta ajena. A una hora determinada se abre una ventanilla de una de las secciones de la Municipalidad. Calcule la probabilidad de que las dos primeras personas atendidas trabajen por cuenta propia y la tercera lo haga por cuenta ajena. Consideremos los sucesos: A = la primera persona atendida trabaja por cuenta propia B = la segunda persona atendida trabaja por cuenta propia C = la tercera persona atendida trabaja por cuenta ajena Se pide P (A B C). P (A B C) = P (A)P (B/A)P (C/A B) = 10,000 9,999 20, ,000 4,999 4,998 EJEMPLO 25 Se tiene dos cajas A y B. La caja A contiene 4 bolitas blancas y 3 rojas en tanto que la caja B contiene 2 bolitas blancas y 3 rojas. Se saca una bolita de la caja A y se coloca en la caja B y enseguida se saca de la caja B dos bolitas, una tras otra, sin reposición. a) Calcule la probabilidad de que las dos bolitas extraídas de B sean blancas. b) Si las dos bolitas extraídas de B son blancas Cuál es la probabilidad de que la bolita extraída de A también haya sido blanca?.

19 Heraldo Gonzalez S. 19 Consideremos los siguientes sucesos: B = sale bola blanca de la caja A R = sale bola roja de la caja A b k = sale bola blanca de la caja B en el intento k = 1, 2 a) Se pide P (b 1 b 2 ). P (b 1 b 2 ) = P (B b 1 b 2 ) + P (R b 1 b 2 ) = P (B)P (b 1 /B)P (b 2 /B b 1 ) + P (R)P (b 1 /R)P (b 2 /R b 1 ) = = b) Se pide P (B/b 1 b 2 ). P (B/b 1 b 2 ) = P (b 1 b 2 /B)P (B) P (b 1 b 2 = ) 1 7 = 4 5. Una alternativa es usar un diagrama de árbol como el que se muestra a continuación. En el diagrama de árbol precedente hemos desarrollado las ramas favorables al suceso dos blancas y entonces P (b 1 b 2 ) = =

20 20 Plan de Regularización, Estadistica I 1.2. Teorema de la probabilidad total. Sea A un suceso cualquiera en Ω y {B i } n una partición de Ω, entonces n P (A) = P (A/B i )P (B i ). Demostración. Claramente A = (A B 1 ) (A B 2 )... (A B n ) y como los sucesos intersección son mutuamente excluyentes entonces n n P (A) = P (A B i ) = P (A/B i )P (B i ). EJEMPLO 26 Una planta armadora recibe microcircuitos provenientes de 3 distintos fabricantes B 1, B 2, B 3. El 50 % del total se compra a B 1 mientras que a B 2 y B 3 se compra el 25 % a cada uno. Se sabe que el porcentaje de artículos defectuosos producidos por B 1, B 2, B 3, es 5, 10 y 12 % respectivamente y los microcircuitos comprados se almacenan sin importar quien fue el proveedor. Cuál es la probabilidad de que una unidad armada en la planta tenga un microcircuito defectuoso?. Consideremos los siguientes sucesos: B i = el microcircuito proviene de la fabrica B i ; i = 1, 2, 3.

21 Heraldo Gonzalez S. 21 D = el microcircuito es defectuoso. Entonces los datos nos indican: P (B 1 ) = 0, 5; P (B 2 ) = 0, 25; P (B 3 ) = 0, 25; P (D/B 1 ) = 0, 05; P (D/B 2 ) = 0, 10; P (D/B 3 ) = 0, 12. Se pide P (D), es decir, se pide la probabilidad total, tenemos: P (D) = P (D/B 1 )P (B 1 ) + P (D/B 2 )P (B 2 ) + P (D/B 3 )P (B 3 ) = 0, 08, es decir hay un 8 % de probabilidad de que el microcircuito sea defectuoso. Si el problema es ahora el siguiente: Al seleccionar al azar a uno de los microcircuitos en la planta este resulta defectuoso Cuál es la probabilidad de que haya sido enviado por la fábrica B 2? la respuesta a esta probabilidad a-posteriori la da el siguiente teorema de Bayes Teorema de Bayes. Sea A un suceso cualquiera en Ω y {B i } n una partición de Ω, entonces P (A/B P (B k /A) = k )P (B h ) n ; k = 1, 2, 3,, n P (A/B i )P (B i ) Demostración. P (B k /A) = P (A B h) P (A) = EJEMPLO 27 P (A/B h )P (B h ) n. P (A/B i )P (B i ) En el ejemplo anterior, se pide P (B 2 /D). P (B 2 /D) = P (D/B 2)P (B 2 ) = (0,10)(0,25) = 0, , es decir existe un 7, 8 % P (D) 0,08 de probabilidad de que, si el articulo seleccionado es defectuoso, éste haya sido fabricado por la fabrica B 2. EJEMPLO 28 Hay un 5 % de artículos producidos por una fábrica que son defectuosos si el proceso de fabricación se encuentra bajo control; en caso contrario hay un 30 % de defectuosos. El proceso de fabricación está bajo control el 92 % de las veces. Se escoge un artículo, al azar: a) Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso?.

22 22 Plan de Regularización, Estadistica I b) Si el artículo elegido resulta defectuoso Cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control?. Sean los sucesos: D = el artículo es defectuoso B = el proceso está bajo control Del enunciado conseguimos: P (D/B) = 0, 05; P (D/B c ) = 0, 3; P (B) = (0, 92) a) Se pide P (D c ). Como P (D) = P (D/B)P (B) + P (D/B c )P (B c ) = (0, 05)(0, 92) + (0, 3)(0, 08) = 0, 07 entonces P (D c ) = 1 P (D) = 0, 93. b) Se pide P (B/D). P (D/B)P (B) P (B/D) = = (0,05)(0,92) = 0, P (D) 0,07 EJEMPLO 29 En un supermercado el 70 % de las compras las realizan las mujeres; de las compras realizadas por estas, el 80 % supera las 200 u.m., mientras que de las compras realizadas por hombres sólo el 30 % supera esa cantidad. a) Elegida una compra al azar, cuál es la probabilidad de que supere las 200u.m?. b) Si se sabe que una compra no supera las 200 u.m. Cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer?. Consideremos los siguientes sucesos: M = compra la realiza una mujer. H = compra la realiza un hombre. S = compra es superior a 200 u.m.. Primer procedimiento. Si suponemos una muestra de 100 personas entonces 70 mujeres son las que realizan compras y 30 son hombres. Como el 80 % de las mujeres realizan

23 Heraldo Gonzalez S. 23 compras por más de 200 u.m. entonces 56 mujeres tiene esta característica y 9 hombres compran por más de 200 u.m.. De la figura adjunta tenemos: a) P (S) = = 0, 65. b) Se pide P (M/S c ). P (M/S c ) = 14 = 0, Segundo procedimiento (diagrama de árbol). P (S) = P (S/M)P (M) + P (S/H)P (H) = (0, 8)(0, 7) + (0, 3)(0, 3) = 0, 65. Esta última expresión corresponde al Teorema de la probabilidad total.

24 24 Plan de Regularización, Estadistica I EJEMPLO 30 Tenemos dos urnas, dos bolas blancas y dos bolas negras. Se desea saber como debemos distribuir las bolas en las urnas para que, al elegir una urna al azar, sea máxima la probabilidad de obtener una bola blanca. La única condición exigida es que cada una tenga al menos una bola. Caso 1 En este caso, P (blanca) = = 2 3.

25 Heraldo Gonzalez S. 25 Caso 2 En este caso, P (blanca) = = 1 3.

26 26 Plan de Regularización, Estadistica I Caso 3 En este caso, P (blanca) = = 1 2.

27 Heraldo Gonzalez S. 27 Caso 4 En este caso, P (blanca) = = 1 2. Finalmente, la mejor distribución para tener la máxima probabilidad una bola blanca es el caso 1 en que la probabilidad de obtener una blanca es 2 3.

28 28 Plan de Regularización, Estadistica I EJEMPLO 31 Un monedero contiene 2 monedas de 100 y 3 de $500, y otro contiene 4 de $100 y 3 de $500. Si se elige un monedero al azar y se extrae una moneda cuál es la probabilidad de que sea de $100?. Dibujamos el siguiente diagrama de árbol. P ($100) = =