BIOESTADÍSTICA. Roberto Pastor-Barriuso. Instituto de Salud CarlosIII. Instituto de Salud. Centro Nacional de Epidemiología.

Transcripción

1 Isttuto de Salud CarlosIII Cetro Nacoal de Epdemología Roberto Pastor-Barruso BIOESTADÍSTICA MINISTERIO DE ECONOMÍA Y COMPETITIVIDAD Isttuto de Salud Carlos III Cetro Nacoal de Epdemología

2 Cetro Nacoal de Epdemología Isttuto de Salud Carlos III Moforte de Lemos, 5 89 MADRID (ESPAÑA Tel.: 9 8 Fa: Catálogo geeral de publcacoes ofcales: Para obteer este lbro de forma gratuta e teret (formato pdf: EDITA: CENTRO NACIONAL DE EPIDEMIOLOGÍA Isttuto de Salud Carlos III Madrd, dcembre de N.I.P.O. (e líea: I.S.B.N.: Imprme: Ageca Estatal Boletí Ofcal del Estado. Avda. de Maoteras, MADRID

3 BIOESTADÍSTICA Roberto Pastor-Barruso Cetífco Ttular Cetro Nacoal de Epdemología, Isttuto de Salud Carlos III, Madrd

4 Para ctar este lbro Pastor-Barruso R. Boestadístca. Madrd: Cetro Nacoal de Epdemología, Isttuto de Salud Carlos III,. Este teto puede ser reproducdo sempre que se cte su procedeca.

5 A la memora de Carme A Marta, Pablo, Mguel y Atoo

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7 ÍNDICE Estadístca descrptva. Itroduccó. Meddas de tedeca cetral 3.. Meda artmétca 3.. Medaa 4..3 Meda geométrca 5.3 Meddas de poscó: cuatles 5.4 Meddas de dspersó 6.4. Varaza y desvacó típca 6.4. Rago tercuartílco Coefcete de varacó 7.5 Represetacoes gráfcas 8.5. Dagrama de barras 8.5. Hstograma y polígoo de frecuecas Gráfco de tallo y hojas.5.4 Dagrama de caja.6 Referecas Probabldad 3. Itroduccó 3. Cocepto y defcoes de probabldad 4.3 Probabldad codcoal e depedeca de sucesos 6.4 Regla de la probabldad total 8.5 Teorema de Bayes 8.6 Referecas 3 Varables aleatoras y dstrbucoes de probabldad 3. Itroduccó 3. Dstrbucoes de probabldad dscretas 3.. Dstrbucó bomal Dstrbucó de Posso Apromacó de Posso a la dstrbucó bomal Dstrbucoes de probabldad cotuas Dstrbucó ormal Apromacó ormal a la dstrbucó bomal Apromacó ormal a la dstrbucó de Posso Combacó leal de varables aleatoras Referecas 39 v

8 Ídce 4 Prcpos de muestreo y estmacó 4 4. Itroduccó 4 4. Prcpales tpos de muestreo probablístco Muestreo aleatoro smple Muestreo sstemátco Muestreo estratfcado Muestreo por coglomerados Muestreo poletápco Estmacó e el muestreo aleatoro smple Estmacó putual de ua meda poblacoal Error estádar de la meda muestral Teorema cetral del límte Estmacó de ua proporcó poblacoal Referecas 58 5 Ifereca estadístca Itroduccó Estmacó putual Estmacó por tervalo Dstrbucó t de Studet Itervalo de cofaza para ua meda poblacoal Cotraste de hpótess Formulacó de hpótess Cotraste estadístco para la meda de ua poblacó Errores y poteca de u cotraste de hpótess Referecas 76 6 Ifereca sobre medas Itroduccó Ifereca sobre ua meda y varaza poblacoal Ifereca sobre la meda de ua poblacó Ifereca sobre la varaza de ua poblacó Comparacó de medas e dos muestras depedetes Comparacó de medas e dstrbucoes co gual varaza Cotraste para la gualdad de varazas Comparacó de medas e dstrbucoes co dstta varaza Comparacó de medas e dos muestras depedetes Referecas 95 v

9 Ídce 7 Ifereca sobre proporcoes Itroduccó Ifereca sobre ua proporcó poblacoal Comparacó de proporcoes e dos muestras depedetes Asocacó estadístca e ua tabla de cotgeca 7.5 Test de tedeca e ua tabla r Meddas de efecto e ua tabla de cotgeca Resgo relatvo Odds rato 7.7 Comparacó de proporcoes e dos muestras depedetes Apédce: correccó por cotudad Referecas 8 Métodos o paramétrcos 8. Itroduccó 8. Test de la suma de ragos de Wlcoo 8.3 Test de los ragos co sgo de Wlcoo Test eacto de Fsher Referecas 38 9 Determacó del tamaño muestral Itroduccó Tamaño muestral para la estmacó de u parámetro poblacoal Tamaño muestral para la estmacó de ua meda Tamaño muestral para la estmacó de ua proporcó Tamaño muestral para la comparacó de medas Tamaño muestral para la comparacó de medas e dos muestras depedetes Tamaño muestral para la comparacó de medas e dos muestras depedetes Tamaño muestral para la comparacó de proporcoes Tamaño muestral para la comparacó de proporcoes e dos muestras depedetes Tamaño muestral para la comparacó de proporcoes e dos muestras depedetes Referecas 54 Correlacó y regresó leal smple 55. Itroduccó 55. Coefcete de correlacó 55

10 Ídce.. Coefcete de correlacó muestral de Pearso 58.. Coefcete de correlacó de los ragos de Spearma 6.3 Regresó leal smple Estmacó de la recta de regresó Cotraste del modelo de regresó leal smple Ifereca sobre los parámetros de la recta de regresó Badas de cofaza y predccó para la recta de regresó Evaluacó de las asucoes del modelo de regresó leal smple Observacoes atípcas e fluyetes Varable eplcatva dcotómca 9.4 Referecas 9 Regresó leal múltple 93. Itroduccó 93. Estructura de la regresó leal múltple 94.3 Estmacó e fereca de la ecuacó de regresó Estmacó de los coefcetes de regresó Ifereca sobre los coefcetes de regresó.3.3 Ifereca sobre la ecuacó de regresó.4 Cotrastes de hpótess e regresó leal múltple 3.4. Cotraste global del modelo de regresó leal múltple 3.4. Cotrastes parcales 6.5 Varables eplcatvas poltómcas.6 Regresó polomal 5.7 Cofusó e teraccó e regresó leal 8.7. Cotrol de la cofusó e regresó leal 8.7. Evaluacó de la teraccó e regresó leal.8 Apédce: formulacó matrcal de la regresó leal múltple 8.9 Referecas 3 Apédce: tablas estadístcas 33

11 TEMA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. INTRODUCCIÓN La estadístca es la rama de las matemátcas aplcadas que permte estudar feómeos cuyos resultados so e parte certos. Al estudar sstemas bológcos, esta certdumbre se debe al descoocmeto de muchos de los mecasmos fsológcos y fsopatológcos, a la capacdad de medr todos los determates de la efermedad y a los errores de medda que evtablemete se produce. Así, al realzar observacoes e clíca o e salud públca, los resultados obtedos cotee ua parte sstemátca o estructural, que aporta formacó sobre las relacoes etre las varables estudadas, y ua parte de rudo aleatoro. El objeto de la estadístca cosste e etraer la máma formacó sobre estas relacoes estructurales a partr de los datos recogdos. E estadístca se dstgue dos grades grupos de téccas: y La estadístca descrptva, e la que se estuda las téccas ecesaras para la orgazacó, presetacó y resume de los datos obtedos. y La estadístca ferecal, e la que se estuda las bases lógcas y las téccas medate las cuales puede establecerse coclusoes sobre la poblacó a estudo a partr de los resultados obtedos e ua muestra. El aálss de ua base de datos sempre partrá de téccas smples de resume de los datos y presetacó de los resultados. A partr de estos resultados cales, y e fucó del dseño del estudo y de las hpótess preestablecdas, se aplcará las téccas de fereca estadístca que permtrá obteer coclusoes acerca de las relacoes estructurales etre las varables estudadas. Las téccas de estadístca descrptva o precsa de asucoes para su terpretacó, pero e cotrapartda la formacó que proporcoa o es fáclmete geeralzable. La estadístca ferecal permte esta geeralzacó, pero requere certas asucoes que debe verfcarse para teer u grado razoable de segurdad e las ferecas. A cotuacó se defe alguos coceptos geerales que aparece repetdamete a lo largo de la eposcó: y Poblacó es el cojuto de todos los elemetos que cumple certas propedades y etre los cuales se desea estudar u determado feómeo. y Muestra es u subcojuto de la poblacó seleccoado medate u mecasmo más o meos eplícto. E geeral, rara vez se dspoe de los recursos ecesaros para estudar a toda la poblacó y, e cosecueca, suele emplearse muestras obtedas a partr de estas poblacoes. Ejemplo. Alguos ejemplos de poblacoes so: Las persoas resdetes e Washgto D.C. a de eero de. Las persoas fectadas co el vrus de muodefceca humaa e Brasl a día de hoy. Pastor-Barruso R.

12 Estadístca descrptva Para estas poblacoes, alguas muestras podría ser: 5 resdetes e Washgto D.C. a de eero de seleccoados medate llamadas telefócas aleatoras. Todas las persoas que acude a u hosptal de Río de Jaero durate el presete año para realzarse u test del vrus de muodefceca humaa y que resulta ser postvas. y Varables so propedades o cualdades que preseta los elemetos de ua poblacó. Las varables puede clasfcarse e: Varables cualtatvas o atrbutos so aquellas que o puede medrse umércamete y que, a su vez, puede ser: Nomales, e las que o puede ordearse las dferetes categorías. Ordales, e las que puede ordearse las categorías, pero o puede establecerse la dstaca relatva etre las msmas. Varables cuattatvas so aquellas que tee ua terpretacó umérca y que se subdvde e: Dscretas, sólo puede tomar uos valores cocretos detro de u tervalo. Cotuas, puede tomar cualquer valor detro de u tervalo. E la práctca, todas las varables cotuas que medmos so dscretas e el setdo de que, debdo a las lmtacoes de los sstemas de medda, las varables cotuas o puede adoptar todos los valores detro de u tervalo. De cara a los aálss posterores, la prcpal dstcó se establece, por tato, etre varables co relatvamete pocas categorías (como úmero de hjos frete a varables co muchas categorías (como veles de colesterol e sagre. Ejemplo. Alguos ejemplos de varables so: Varables cualtatvas omales: seo, raza, estado cvl (soltero, casado, vudo, separado, dvorcado, relgó (católco, protestate, otros, acoaldad. Varables cualtatvas ordales: salud auto-percbda (buea, regular, mala, severdad de la efermedad (leve, moderada, grave. Por ejemplo, para esta últma varable ordal, podemos establecer u orde de severdad, pero o podemos decr que la dfereca de severdad etre u pacete moderado y uo leve sea la msma que etre uo grave y uo moderado. Varables cuattatvas dscretas: úmero de hjos, úmero de detes carados. Varables cuattatvas cotuas: edad, peso, altura, presó arteral, veles de colesterol e sagre. y Estadístco es cualquer operacó realzada sobre los valores de ua varable. y Parámetro es u valor de la poblacó sobre el que se desea realzar ferecas a partr de estadístcos obtedos de la muestra, que e este caso se deoma estmadores. Por covecó, los parámetros poblacoales se deota co letras del alfabeto grego, metras que los estmadores muestrales se deota co letras de uestro alfabeto. Pastor-Barruso R.

13 Meddas de tedeca cetral Ejemplo.3 Alguos ejemplos de estadístcos cluye: La meda de los valores de colesterol de ua muestra. El valor más alto de colesterol de ua muestra. La suma de los valores de colesterol de ua muestra elevados al cuadrado. Así, por ejemplo, la meda del colesterol e ua poblacó, que se deotaría por μ, es u parámetro que se estma a partr de la meda de los valores de colesterol e ua muestra obteda de esa poblacó, que se represetaría por. E el presete tema, se revsa las herrametas fudametales para la realzacó de u aálss descrptvo de las varables recogdas e ua muestra, tato medate estmadores de la tedeca cetral, poscó y dspersó como medate la utlzacó de represetacoes gráfcas.. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Las meddas de tedeca cetral forma acerca de cuál es el valor más represetatvo de ua determada varable o, dcho de forma equvalete, estos estmadores dca alrededor de qué valor se agrupa los datos observados. Las meddas de tedeca cetral de la muestra srve tato para resumr los resultados observados como para realzar ferecas acerca de los parámetros poblacoales correspodetes. A cotuacó se descrbe los prcpales estmadores de la tedeca cetral de ua varable... Meda artmétca La meda artmétca, deotada por, se defe como la suma de cada uo de los valores muestrales dvdda por el úmero de observacoes realzadas. S deotamos por el tamaño muestral y por el valor observado para el sujeto -ésmo,,...,, la meda vedría dada por La meda es la medda de tedeca cetral más utlzada y de más fácl terpretacó. Correspode al cetro de gravedad de los datos de la muestra. Su prcpal lmtacó es que está muy fluecada por los valores etremos y, e este caso, puede o ser u fel reflejo de la tedeca cetral de la dstrbucó. Ejemplo.4 E este y e los sucesvos ejemplos sobre estmadores muestrales, se utlzará los valores del colesterol HDL obtedos e los prmeros sujetos del estudo Europea Study o Atodats, Myocardal Ifarcto ad Cacer of the Breast (EURAMIC, u estudo multcétrco de casos y cotroles realzado etre 99 y 99 e ocho países Europeos e Israel para evaluar el efecto de los atodates e el resgo de desarrollar u prmer farto agudo de mocardo e hombres adultos. Los valores obtedos fuero,89,,58,,79,,9,,4,,84,,6,,87,,96 y,53 mmol/l. La meda de los veles del colesterol HDL e estos partcpates es,89 +, ,53,3 mmol/l.. Pastor-Barruso R. 3

14 Estadístca descrptva La meda artmétca preseta las sguetes propedades: y Cambo de orge (traslacó. S se suma ua costate a cada uo de los datos de ua muestra, la meda de la muestra resultate es gual a la meda cal más la costate utlzada; s y + c, etoces y + c. U cambo de orge que se realza co frecueca es el cetrado de la varable, que cosste e restar a cada valor de la muestra su meda. La meda de ua varable cetrada será, por tato, gual a. y Cambo de escala (udades. S se multplca cada uo de los datos de ua muestra por ua costate, la meda de la muestra resultate es gual a la meda cal por la costate utlzada; s y c, etoces y c. y Cambo smultáeo de orge y escala. S se multplca cada uo de los datos de ua muestra por ua costate y al resultado se le suma otra costate, la meda de la muestra resultate es gual a la meda cal por la prmera costate, más la seguda costate; s y c + c, etoces y c + c. Ejemplo.5 Para trasformar los valores del colesterol HDL de mmol/l a mg/dl se multplca por el factor de coversó 38,8. Así, utlzado la propedad del cambo de escala, la meda del colesterol HDL e mg/dl se calcularía drectamete a partr de su meda e mmol/l como,3 38,8 47,45 mg/dl... Medaa La medaa es el valor de u varable que deja por ecma el 5% de los datos de la muestra y por debajo el otro 5%. Para calcular la medaa, es ecesaro ordear los valores de la muestra de meor a mayor. S el tamaño muestral es mpar, la medaa vee dada por el valor ( + /-ésmo. S es par, la medaa vee dada por la meda artmétca de los valores (/ y (/ + -ésmos. La prcpal vetaja de la medaa es que o está fluecada por los valores etremos. No obstate, se utlza meos que la meda como medda de tedeca cetral porque su tratameto estadístco es más complejo. Ejemplo.6 Para obteer la medaa del colesterol HDL e la muestra del estudo EURAMIC, se ordea e prmer lugar los valores de meor a mayor; esto es,,79,,84,,87,,89,,6,,9,,4,,53,,58 y,96 mmol/l. Como el tamaño muestral es par (, la medaa será la meda de los dos valores cetrales (e este caso, el 5º y el 6º, que correspode a (,6 +,9/,75 mmol/l. Comparacó de la meda artmétca y la medaa. E las dstrbucoes smétrcas (ambas colas de la dstrbucó so semejates, la meda es apromadamete gual a la medaa. E dstrbucoes sesgadas postvamete (la cola superor de la dstrbucó es mayor que la feror, la meda tede a ser mayor que la medaa; metras que e dstrbucoes sesgadas egatvamete (la cola feror de la dstrbucó es mayor que la superor, la meda tede a ser meor que la medaa. La comparacó de la meda y la medaa permte evaluar, por tato, la asmetría de ua dstrbucó. Ejemplo.7 E la muestra del estudo EURAMIC la meda del colesterol HDL es lgeramete superor a la medaa (,3 y,75 mmol/l, respectvamete. E cosecueca, la dstrbucó de estos valores del colesterol HDL es apromadamete smétrca co u leve sesgo postvo. 4 Pastor-Barruso R.

15 Meddas de poscó: cuatles..3 Meda geométrca La meda geométrca, deotada por G, se defe como la raíz -ésma del producto de los valores de ua muestra de tamaño, G /... E la práctca, la forma más seclla de calcular la meda geométrca cosste e calcular prmero el logartmo de cada valor muestral, hallar a cotuacó la meda de los logartmos y deshacer falmete la trasformacó logarítmca. Para calcular los logartmos se puede usar cualquer base, sempre y cuado el logartmo y el atlogartmo esté e la msma base. Notar que la meda geométrca sólo puede emplearse como medda de tedeca cetral e varables que toma valores postvos.. Ejemplo.8 Para calcular la meda geométrca del colesterol HDL e la muestra del estudo EURAMIC, se halla prmero el logartmo atural de cada uo de los valores y a cotuacó se calcula su meda artmétca, log(, log(,53 log G log, ,45,55. La meda geométrca es, por tato, G ep(,55,68 mmol/l. Al gual que la medaa, la meda geométrca es útl como medda de tedeca cetral para varables muy asmétrcas, e las que u pequeño grupo de observacoes etremas tee ua ecesva flueca sobre la meda artmétca. La meda geométrca tee la vetaja adcoal de presetar u tratameto estadístco más secllo que la medaa..3 MEDIDAS DE POSICIÓN: CUANTILES Los cuatles dca la poscó relatva de ua observacó co respecto al resto de la muestra. A cotuacó se descrbe los cuatles más utlzados: y Percetles so los valores de ua varable que deja u determado porcetaje de los datos por debajo de ellos. Así, por ejemplo, el percetl es el valor superor al % de las observacoes, pero feror al 9% restate. La medaa correspode, por tato, al percetl 5. E ua muestra de tamaño, prevamete ordeada de meor a mayor, el percetl p-ésmo se defe como: S p/ es u úmero etero, la meda de las observacoes (p/ y (p/ + -ésmas. S p/ o es u úmero etero, el valor k-ésmo de la muestra, sedo k el meor etero superor a p/. y Decles, correspode a los percetles,,..., 9. Los decles se utlza para dvdr la muestra e grupos de gual tamaño. y Qutles, correspode a los percetles, 4, 6 y 8, y dvde la muestra e 5 grupos de gual tamaño. Pastor-Barruso R. 5

16 Estadístca descrptva y Cuartles, correspode a los percetles 5, 5 y 75, y dvde la muestra e 4 grupos de gual tamaño. y Tercles, correspode a los percetles 33,3 y 66,7, y dvde la muestra e 3 grupos de gual tamaño. Ejemplo.9 Los valores del colesterol HDL ordeados de meor a mayor so,79,,84,,87,,89,,6,,9,,4,,53,,58 y,96 mmol/l. Dado que p/ es u úmero etero para p, el percetl es la meda de la prmera y seguda observacó, que correspode a (,79 +,84/,85 mmol/l. De gual forma, como p/,5 o es u úmero etero para p 5, el percetl 5 es el tercer valor de la muestra, que correspode a,87 mmol/l. Es mportate recordar que, para calcular cuatles, los valores de la muestra debe estar prevamete ordeados. S el tamaño muestral es grade, la forma más rápda de obteer los cuatles maualmete es realzado u gráfco de tallo y hojas (ver más adelate..4 MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las meddas de dspersó dca el grado de varabldad de los datos y se complemeta co las meddas de tedeca cetral e la descrpcó de ua muestra. E este apartado se preseta las prcpales meddas de dspersó..4. Varaza y desvacó típca La varaza muestral, deotada por s, se defe como la suma de los cuadrados de las dferecas etre cada valor de la muestra y su meda, dvdda por el tamaño muestral meos, s ( Como puede aprecarse, cuato más dspersos esté los datos, mayores será los cuadrados de las desvacoes ( y mayor será la varaza s. Notar que las desvacoes de cada valor respecto de la meda se eleva al cuadrado para evtar que se compese las desvacoes postvas (valores superores a la meda co las egatvas (valores ferores a la meda. Cabe destacar també que, e la fórmula de la varaza muestral, el deomador es e lugar de. Esto se debe a que, ua vez calculada la meda, el úmero de valores depedetes de la muestra (deomado grados de lbertad para el cálculo de la varaza es (coocda la meda y valores, el valor restate se deducría automátcamete. Ua justfcacó más formal para esta defcó de la varaza se aporta e el Tema 5. La varaza muestral es dfícl de terpretar como medda de dspersó, ya que sus udades so las de la varable orgal al cuadrado. La medda de dspersó más utlzada es la desvacó típca o desvacó estádar s, que se defe como la raíz cuadrada de la varaza s ( y, e cosecueca, preseta las msmas udades que la varable orgal. Al gual que la meda, la desvacó típca está fluecada por valores muy etremos (gra desvacó respecto de la. 6 Pastor-Barruso R.

17 Meddas de dspersó meda, que flaría la estmacó resultate, o sedo u bue reflejo de la dspersó global de los datos. Ejemplo. Coocda la meda del colesterol HDL e los prmeros partcpates del estudo EURAMIC,,3 mmol/l, la varaza vedría dada por (,89, (,53,3 s ( 9 9, ,94,56 (mmol/l 9 y la desvacó típca por s, 56,395 mmol/l. Alguas propedades de la varaza y la desvacó típca so: y Cambo de orge (traslacó. S se suma ua costate a cada uo de los datos de ua muestra, la varaza y la desvacó típca o camba; s y + c, etoces s y s y s y s. y Cambo de escala (udades. S se multplca cada uo de los datos de ua muestra por ua costate, la varaza resultate es gual a la varaza cal por la costate al cuadrado y la desvacó típca es gual a la desvacó típca cal por dcha costate; s y c, etoces s y c s y s y cs. U cambo de escala que se realza co frecueca es la dvsó de todos los valores de ua muestra por su desvacó típca. La desvacó típca de la varable resultate será, por tato, gual a. Las propedades del cambo de orge y escala se emplea para la estadarzacó de varables, que cosste e restarle a los valores de ua varable su meda y dvdrlos por su desvacó típca. La varable estadarzada resultate tee meda y desvacó típca ; es decr, s z ( /s, etoces z y s z..4. Rago tercuartílco El rago tercuartílco se defe como la dfereca etre el tercer y el prmer cuartl (percetles 75 y 5, respectvamete. El rago tercuartílco dca la ampltud del 5% cetral de la muestra y se usa como medda de dspersó cuado la varable preseta valores etremos. E tal caso, suele r acompañado de la medaa como medda de tedeca cetral. Ejemplo. A partr de los valores del colesterol HDL ordeados de meor a mayor, los percetles 5 y 75 vee determados por la tercera (,87 mmol/l y octava observacó (,53 mmol/l, respectvamete. El rago tercuartílco se calcula etoces como la dfereca etre ambos percetles,,53,87,66 mmol/l..4.3 Coefcete de varacó El coefcete de varacó se defe como el cocete etre la desvacó típca y la meda artmétca, epresado como porcetaje, s/. Este estmador o está afectado por cambos de escala ya que, al multplcar los valores de ua varable por u msmo factor, tato la meda como la desvacó típca camba por dcho factor y su cocete permaece alterable. El coefcete de varacó relacoa la desvacó típca co la meda y es útl para comparar la varabldad de dferetes varables co dsttas medas. Así, por ejemplo, ua desvacó típca de kg e ua muestra de adultos co u peso medo de 7 kg dcaría u msmo grado de dspersó que ua desvacó Pastor-Barruso R. 7

18 Estadístca descrptva típca de,5 kg e ua muestra de recé acdos co u peso medo de 3,5 kg (ambos coefcetes de varacó so /7,5/3,5 4,3%. Ejemplo. El coefcete de varacó de los prmeros valores del colesterol HDL e el estudo EURAMIC sería s/,395/,3 3,3%; es decr, la desvacó típca es apromadamete u terco de la meda..5 REPRESENTACIONES GRÁFICAS E el aálss e terpretacó de los datos de u estudo, es mportate o lmtarse a realzar meddas de resume umércas. Las meddas de tedeca cetral y dspersó debe completarse co gráfcos que permta observar drectamete las característcas y relacoes de las varables estudadas. E esta seccó se revsa los prcpales métodos gráfcos para presetar y resumr ua varable..5. Dagrama de barras Los dagramas de barras so adecuados para represetar varables cualtatvas y cuattatvas dscretas. E estos dagramas se represeta las categorías de la varable e el eje horzotal y sus frecuecas (absolutas o relatvas e el eje vertcal. Para cada categoría de la varable se costruye u rectágulo de achura costate y altura proporcoal a la frecueca. Los rectágulos está separados uos de otros por la msma dstaca para reflejar la dscotudad de la varable. Ejemplo.3 La represetacó del dagrama de barras del hábto tabáquco e el grupo cotrol del estudo EURAMIC se lustra e la Fgura.. De los 7 cotroles del estudo que o había padecdo u farto agudo de mocardo, todos salvo uo presetaba formacó sobre el cosumo de tabaco. De éstos, u 7,% (9/699 era uca fumadores, u 35,3% (47/699 era e fumadores, y el restate 37,5% (6/699 era fumadores actuales. 4 3 Frecueca relatva (% Nuca fumador E fumador Fumador actual Fgura. Dagrama de barras del hábto tabáquco e el grupo cotrol del estudo EURAMIC. 8 Pastor-Barruso R.

19 Represetacoes gráfcas.5. Hstograma y polígoo de frecuecas El hstograma es el prcpal método gráfco para la represetacó de varables cuattatvas cotuas. E prmer lugar, los valores de la varable cotua se agrupa e categorías ehaustvas (cubre todo el rago de la varable y mutuamete ecluyetes (o se solapa. E el eje horzotal del hstograma se represeta las categorías o tervalos y e el eje vertcal las frecuecas (absolutas o relatvas de cada tervalo. Posterormete, se costruye u rectágulo para cada categoría, cuya achura es gual a la logtud del tervalo y cuyo área es proporcoal a la frecueca (s los tervalos tee dstta logtud, las alturas de los rectágulos del hstograma o será proporcoales a las frecuecas. El polígoo de frecuecas se costruye uedo co líeas rectas los putos medos de las bases superores de los rectágulos que coforma u hstograma. Tato el hstograma como el polígoo de frecuecas srve para represetar gráfcamete la dstrbucó de ua varable cotua. Ejemplo.4 El hstograma de la dstrbucó del colesterol HDL e el grupo cotrol del estudo EURAMIC se preseta e la Fgura.. E este caso, se represeta la frecueca absoluta e el eje vertcal e tervalos de dstta logtud e el eje horzotal. Para los tervalos de meor logtud (, mmol/l, la altura de los rectágulos es gual a la frecueca; así, por ejemplo, la altura del rectágulo e el tervalo,-,4 mmol/l es gual a los 86 sujetos co veles del colesterol HDL detro de este rago. S embargo, para los tervalos de mayor logtud, la altura de la barra es gual a la frecueca dvdda por el cremeto relatvo de la logtud del tervalo; así, por ejemplo, para el tervalo,4-,7 mmol/l, cuya frecueca es 55 y su logtud es,5 veces la logtud míma, la altura de la barra es 55/,5 36,7. La Fgura. se completa co el polígoo de frecuecas, que muestra ua dstrbucó del colesterol HDL apromadamete smétrca co la cola superor lgeramete mayor que la feror. 5 5 Frecueca absoluta ,3,6,8,,4,7,5 Colesterol HDL (mmol/l Fgura. Hstograma y polígoo de frecuecas del colesterol HDL e el grupo cotrol del estudo EURAMIC. Pastor-Barruso R. 9

20 Estadístca descrptva.5.3 Gráfco de tallo y hojas Este gráfco tee la vetaja de reflejar los datos orgales de la muestra, a la vez que permte vsualzar la dstrbucó de frecuecas. E prmer lugar, para cada observacó de la varable, se separa el últmo dígto sgfcatvo (hoja de los restates dígtos del valor de la varable (tallo. A cotuacó, todos los posbles tallos se coloca ordeados e ua msma columa. Falmete, para cada valor de la varable, se coloca su hoja a la derecha del tallo correspodete. Las hojas de u msmo tallo suele colocarse e orde crecete. El resultado se cooce co el ombre de gráfco de tallo y hojas. Ejemplo.5 La Fgura.3 muestra el gráfco de tallo y hojas del colesterol HDL e los prmeros cotroles del estudo EURAMIC co datos para esta varable. Los valores más bajos del colesterol HDL so, y,6 mmol/l, cuyo tallo comú es, y sus respectvas hojas so y 6, que aparece a la derecha de la prmera líea del gráfco. El sguete tallo es,3, que o tee gua hoja ya que o hay valores etre,3 y,39 mmol/l, y lo msmo sucede co el tallo,4. E el tallo,5 hay ua hoja gual a 7, que correspode al valor,57 mmol/l. E el tallo,6 hay 5 hojas (35558, que correspode a los 5 valores del colesterol HDL etre,6 y,69 mmol/l y que so,63,,65,,65,,65 y,68 mmol/l. El resto de los tallos se terpreta de la msma maera. A partr de este gráfco resulta secllo calcular los cuatles; así, por ejemplo, la medaa se obtedría como la meda de los valores ordeados e las poscoes 5 y 5, (, +,/, mmol/l. Frecueca Tallo Hoja, 6,3,4,5 7 5, ,7 467, , , , , , , , ,6 44,7 34,8 36,9, 9 Fgura.3 Gráfco de tallo y hojas del colesterol HDL e los prmeros cotroles del estudo EURAMIC. Pastor-Barruso R.

21 Represetacoes gráfcas.5.4 Dagrama de caja El dagrama de caja permte evaluar la tedeca cetral, la dspersó y la smetría de la dstrbucó de ua varable, así como detfcar valores etremos. Los límtes feror y superor de la caja correspode a los percetles 5 y 75; es decr, la altura de la caja represeta el rago tercuartílco e dca la dspersó de la muestra. La líea horzotal detro de la caja correspode a la medaa y represeta la tedeca cetral de la muestra. El gráfco se completa co barras vertcales a ambos lados de la caja de logtud,5 veces el rago tercuartílco. Los valores etremos, aquellos dstacados de los límtes de la caja etre,5 y 3 veces el rago tercuartílco, se represeta co u círculo y los valores muy etremos, aquellos alejados de la caja más de 3 veces el rago tercuartílco, se deota medate u astersco. E este gráfco, s la dstrbucó es smétrca, los límtes superor e feror de la caja estará apromadamete a la msma dstaca de la medaa, metras que s la dstrbucó está sesgada postvamete, el límte superor estará más alejado de la medaa que el feror y s la dstrbucó está sesgada egatvamete, el límte feror estará más alejado de la medaa que el superor. Ejemplo.6 La Fgura.4 muestra el dagrama de caja del colesterol HDL e el grupo cotrol del estudo EURAMIC. Como puede observarse, esta dstrbucó preseta u leve sesgo postvo ya que el límte superor de la caja está lgeramete más alejado de la medaa que el límte feror.,5 Colesterol HDL (mmol/l,5,5 Fgura.4 Dagrama de caja del colesterol HDL e el grupo cotrol del estudo EURAMIC. Pastor-Barruso R.

22 Estadístca descrptva.6 REFERENCIAS. Colto T. Estadístca e Medca. Barceloa: Salvat, Glatz SA. Prmer of Bostatstcs, Ffth Edto. New York: McGraw-Hll/Appleto & Lage,. 3. Pagao M, Gauvreau K. Prcples of Bostatstcs, Secod Edto. Belmot, CA: Dubury Press,. 4. Roser B. Fudametals of Bostatstcs, Sth Edto. Belmot, CA: Dubury Press, 6. Pastor-Barruso R.

23 TEMA PROBABILIDAD. INTRODUCCIÓN Se deoma epermetos estocástcos, aleatoros o o determístcos a aquellos e los que puede obteerse resultados dsttos cuado se repte e détcas crcustacas. Los feómeos bológcos tee e este setdo ua compoete aleatora mportate. La herrameta matemátca que costtuye la base para el estudo de feómeos co ua compoete aleatora es la teoría de la probabldad, que proporcoa modelos teórcos aplcables a la frecueca de los dsttos resultados de u epermeto. A cotuacó, se revsa alguos coceptos prevos que va a ser ecesaros para sstematzar la ocó de probabldad. y Espaco muestral, deotado por W, es el cojuto de los posbles resultados de u epermeto aleatoro. y Se deoma suceso a cualquer subcojuto del espaco muestral W. Los sucesos puede ser elemetos smples de W o cojutos de elemetos. Dos sucesos partculares so el suceso seguro W, que cotee todos los elemetos del espaco muestral, y el suceso mposble o cojuto vacío, que o cotee gú elemeto. Ejemplo. S el epermeto cosste e observar el úmero de supervvetes a los 6 meses de 4 pacetes co cácer sometdos a tratameto, el espaco muestral será W {,,, 3, 4}. S el epermeto cosste e medr los veles de colesterol HDL de ua persoa, el espaco muestral será W (,. E el prmer epermeto, alguos sucesos podría ser: o observar gú supervvete A {}, observar ó supervvetes B {, } u observar al meos supervvetes C {, 3, 4}. E el segudo epermeto, alguos de los posbles sucesos cluría: teer u colesterol HDL mmol/l A (, ] o teer u colesterol HDL >,5 mmol/l B (,5,. y El suceso uó A B es el eveto costtudo por los elemetos que perteece a A o B, o a ambos a la vez. y El suceso terseccó A B es el eveto formado por los elemetos que perteece smultáeamete a A y B. y Sucesos dsjutos, compatbles o mutuamete ecluyetes so aquellos que o puede ocurrr smultáeamete; es decr, su terseccó es el cojuto vacío, A B. y El suceso complemetaro del suceso A, deotado por A c, es el eveto que ocurre cuado o se realza A. Estos sucesos está represetados e los dagramas de la Fgura.. E geeral, las operacoes etre sucesos se rge por la teoría de cojutos, de la cual puede dervarse alguas propedades mportates como A (B C (A B (A C, A (B C (A B (A C, (A B c A c B c y (A B c A c B c. Pastor-Barruso R. 3

24 Probabldad B B A A (a A B (b A B B A A (c A B (d A c Fgura. Dagramas de los sucesos uó (a, terseccó (b, sucesos mutuamete ecluyetes (c y suceso complemetaro (d. Ejemplo. E el epermeto de supervveca a los 6 meses de 4 pacetes co cácer, la uó de los sucesos B {, } y C {, 3, 4} es B C {,, 3, 4} y su terseccó es B C {}. Al medr los veles de colesterol HDL de ua persoa, los sucesos A (, ] y B (,5, so mutuamete ecluyetes ya que A B. Asmsmo, e este epermeto el complemetaro de A es el suceso A c (,. E este tema se defe el cocepto de probabldad y se troduce las reglas báscas para operar co probabldades. Estas reglas costtuye la base para el cálculo e terpretacó de los procedmetos de fereca estadístca (por ejemplo, el valor P de u cotraste de hpótess véase Tema 5 y permte també evaluar la sesbldad, la especfcdad y los valores predctvos de las pruebas dagóstcas.. CONCEPTO Y DEFINICIONES DE PROBABILIDAD El cocepto de probabldad es tutvo, tal y como se refleja e el leguaje cotdao: la probabldad de u suceso refleja la verosmltud de que éste ocurra, de forma que los sucesos más probables se dará co mayor frecueca que los meos probables. S embargo, para abordar la probabldad de forma sstemátca, es ecesara ua defcó rgurosa, a la vez que compatble co uestra tucó. Dos defcoes de probabldad de uso comú so: y Defcó frecuetsta (vo Mses. Al repetr u epermeto defdamete, la probabldad de u suceso es el límte del cocete etre el úmero de veces que ocurre dcho suceso y el úmero de epermetos realzados, P(A # A lm, dode #A es el úmero de veces que se realza A e los epermetos. 4 Pastor-Barruso R.

25 Cocepto y defcoes de probabldad Ejemplo.3 Supogamos que se desea coocer la probabldad de ser mujer etre todos los recé acdos vvos e España. Segú los datos del Isttuto Nacoal de Estadístca, se regstraro 6.7 ñas de acmetos e 5, de e 6 y de e 7. La proporcó acumulada de ñas es 6.7/466.37,485 e 5, /949.38,4845 e 5-6 y / ,4845 e 5-7. Aumetado defdamete los regstros auales, el límte de estos cocetes,485,,4845,,4845,... determaría la probabldad de ser mujer. E la práctca, s embargo, o es posble realzar ftos epermetos y las probabldades teórcas se estma medate probabldades empírcas obtedas a partr de u úmero fto de epermetos. Así, utlzado los datos dspobles de acmetos e 5 7, se estmaría ua probabldad de ser mujer de,4845. y Defcó aomátca (Kolmogorov. La probabldad es ua fucó que asga a cada posble suceso de u epermeto u valor umérco, de tal forma que se cumpla los sguetes aomas: ( No egatvdad: P(A, ( Normatvdad: P(W, ( Adtvdad: S A, A,... so sucesos mutuamete ecluyetes, etoces P A P( A A... P( A + P( A +... P( A. Notar que esta defcó de probabldad ta sólo especfca las propedades geerales que debe teer ua fucó de probabldad, pero o permte la asgacó de probabldades a u suceso cocreto. No obstate, de la defcó aomátca se derva alguas propedades mportates de la fucó de probabldad: (v P(, (v (v P(A c P(A, S A está cludo e B, A B, etoces P(A P(B, (v P(A, (v Sub-adtvdad: Para cualquer coleccó de sucesos A, A,..., P A P( A, ( Prcpo de clusó-eclusó: Sea A, A,..., A k sucesos cualesquera, P k A k + ( P( A k + P( A < j k A P( A A A Del tercer aoma de la probabldad se deduce que, s dos sucesos so mutuamete ecluyetes, la probabldad de la uó es la suma de sus probabldades por separado. El prcpo de clusó-eclusó geeralza este resultado para sucesos o ecesaramete j k. Pastor-Barruso R. 5

26 Probabldad ecluyetes: la probabldad de la uó de dos sucesos cualesquera es la suma de sus probabldades por separado, meos la probabldad de la terseccó, P(A B P(A + P(B - P(A B. Este prcpo puede aplcarse a coleccoes co más de dos sucesos. Así, por ejemplo, para tres sucesos cualesquera, se cumple que P(A B C P(A + P(B + P(C - P(A B - P(A C - P(B C + P(A B C. Ejemplo.4 Supogamos que la probabldad de ser bebedor e ua determada poblacó de adultos es,, la probabldad de ser dabétco es,3 y la probabldad de ser smultáeamete bebedor y dabétco es,. S se deota por B al suceso ser bebedor y por D al suceso ser dabétco, la probabldad de que u dvduo de esta poblacó sea bebedor, dabétco o ambos a la vez vee determada por P(B D P(B + P(D - P(B D, +,3 -,,..3 PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA DE SUCESOS La probabldad de u suceso puede depeder de la realzacó de otro suceso. Así, por ejemplo, la probabldad de teer u farto de mocardo es dferete e los hombres que e las mujeres; es decr, la probabldad del suceso teer u farto de mocardo depede del suceso ser hombre o ser mujer. El cocepto matemátco que permte formalzar cómo se modfca la probabldad de u suceso e fucó de otro es la probabldad codcoal. E geeral, la probabldad del suceso B codcoada al suceso A se defe como P(B A P( A B. P( A De forma tutva, codcoar por el suceso A es equvalete a seleccoar por este suceso. Así, P(farto hombre es equvalete a seleccoar e prmer lugar a los hombres y posterormete determar su probabldad de teer u farto de mocardo. El cocepto de probabldad codcoal tee umerosas aplcacoes e epdemología y salud públca. Por ejemplo, s D es el suceso teer ua efermedad y E es el suceso estar epuesto a u factor de resgo, P(D E es la probabldad de la efermedad etre los epuestos, P(D E c es la probabldad de la efermedad etre los o epuestos y ψ P(D E/P(D E c es el resgo relatvo de la efermedad etre los epuestos y los o epuestos. Ejemplo.5 Cotuado co el ejemplo ateror, la probabldad de que u bebedor sea dabétco se calcula como P(D B P( B D P( B,,,5 6 Pastor-Barruso R.

27 Probabldad codcoal e depedeca de sucesos y la probabldad de que u o bebedor sea dabétco como P(D B c c P( B D P( D P( B D,3, c P( B P( B,,5. Así, el resgo de dabetes es el doble e los sujetos bebedores que e los o bebedores, ψ P(D B/P(D B c,5/,5. Se dce que dos sucesos so depedetes s la ocurreca de uo o afecta a la probabldad del otro; es decr, A y B so depedetes s P(B A P(B A c P(B o, de forma equvalete, s P(A B P(A B c P(A. E cosecueca, s dos sucesos so depedetes, puede probarse que P(A B P(AP(B A P(AP(B. Por tato, dos sucesos també puede defrse como depedetes s la probabldad de su terseccó es gual al producto de la probabldad de cada suceso por separado. Ejemplo.6 A partr de los resultados del ejemplo ateror, puede coclurse que los sucesos padecer dabetes y ser bebedor o so depedetes dado que la probabldad de ser dabétco es dferete e bebedores que e o bebedores, P(D B,5,5 P(D B c ; es decr, el resgo relatvo es dstto de la udad, ψ. Esta depedeca se refleja també e el hecho de que la probabldad de ser smultáeamete bebedor y dabétco o es el producto de sus probabldades, P(B D,,,3 P(BP(D. Notar que la probabldad de la terseccó de dos sucesos cualesquera P(A B P(AP(B A o equvale al producto de sus probabldades, salvo que ambos sucesos sea depedetes. E geeral, para cualquer cojuto de sucesos A, A,..., A k, la probabldad de su terseccó es P(A A... A k P(A P(A... A k A P(A P(A A P(A 3... A k A A... P(A P(A A P(A 3 A A P(A k A A... A k. E el caso de que estos sucesos sea mutuamete depedetes, las probabldades codcoales de la fórmula ateror se reduce a probabldades o codcoales y, e cosecueca, la probabldad de la terseccó es gual al producto de sus probabldades, P k A P(A A... A k P(A P(A P(A k P( A. k Pastor-Barruso R. 7

28 Probabldad.4 REGLA DE LA PROBABILIDAD TOTAL La probabldad o codcoal de u suceso B se relacoa co su probabldad codcoada e la ocurreca o o de otro suceso A medate la fórmula P(B P(A B + P(A c B P(AP(B A + P(A c P(B A c. Así, la probabldad o codcoal de B es la meda poderada de las probabldades codcoales de B dado A y A c. Esta descomposcó de la probabldad del suceso B e térmos de A y A c es aplcable porque estos sucesos costtuye ua partcó del espaco muestral; es decr, A y A c so sucesos ehaustvos A A c W y mutuamete ecluyetes A A c. E geeral, para u cojuto de sucesos A, A,..., A k globalmete ehaustvos y mutuamete ecluyetes que forme ua partcó del espaco muestral, se verfca que P(B k k P( A B P( A P( B A, coocda como regla de la probabldad total. Esta fórmula es partcularmete útl e epdemología, dode se emplea co frecueca las partcoes. Por ejemplo, al dvdr la poblacó e grupos de edad y seo se está empleado categorías globalmete ehaustvas y mutuamete ecluyetes. E geeral, sempre que se dvde la poblacó e estratos se aplca ua partcó a esa poblacó. Ejemplo.7 E ua poblacó de mayores de 65 años, los dvduos co edades etre 65-74, y 85 años costtuye el 6, 3 y % de la poblacó. La prevaleca de la efermedad de Alzhemer e estos grupos de edad es respectvamete de, 75 y 3 casos por. La prevaleca global de la efermedad de Alzhemer e esta poblacó de mayores de 65 años se calcularía P(A P ( E 3 P( A E,6, +,3,75 +,,3,645, resultado 64,5 casos por persoas..5 TEOREMA DE BAYES El teorema de Bayes permte obteer la probabldad codcoal de A dado B a partr de la probabldad de A y de las probabldades codcoales versas de B dado A y A c. Aplcado la defcó de probabldad codcoal y la regla de la probabldad total, se obtee que P(A B P( A B P( B P( A P( B A P( A P( B A + P( A c P( B A c. El teorema de Bayes se usa co frecueca e la evaluacó de pruebas dagóstcas. Cuado se desarrolla ua prueba dagóstca y se compara sus resultados co los de u patró oro (método de refereca e el dagóstco de la efermedad, suele determarse los sguetes parámetros o característcas propas de la prueba dagóstca: 8 Pastor-Barruso R.

29 Teorema de Bayes y Sesbldad es la probabldad de obteer u resultado postvo de la prueba dagóstca etre los sujetos realmete efermos, S P(+ D. y Especfcdad es la probabldad de obteer u resultado egatvo etre los sujetos realmete saos, E P( D c. E la aplcacó clíca de ua prueba dagóstca a ua determada poblacó teresa coocer, s embargo, los sguetes parámetros: y Valor predctvo postvo es la probabldad de teer la efermedad etre las persoas que tee u resultado postvo, VP+ P(D +. y Valor predctvo egatvo es la probabldad de o teer la efermedad etre las persoas que tee u resultado egatvo, VP P(D c. Aplcado el teorema de Bayes, puede calcularse los valores predctvos e fucó de la prevaleca de la efermedad e la poblacó y de la sesbldad y especfcdad de la prueba dagóstca, P( D P( + D VP+ P( D + c P( D P( + D + P( D P( + D c PS, PS + ( P( E VP P( D c c c P( D P( D c c P( D P( D + P( D P( D ( P E P( S + ( P E. Ejemplo.8 La sesbldad de la prueba ELISA para detectar seropostvdad frete al vrus de muodefceca humaa es del 99% y su especfcdad es del 96%. E ua poblacó co ua prevaleca de feccó por el vrus de muodefceca humaa del,3%, úcamete el 6,9% de las persoas co u resultado postvo del test ELISA estará realmete fectadas, VP+ PS,3,99 PS + ( P( E,3,99 +,997,4,69, metras que práctcamete todas las persoas co resultado egatvo estará lbres de la feccó, VP ( P E,997,96,. P( S + ( P E,3, +,997,96 S embargo, e ua poblacó de alto resgo co ua prevaleca del vrus de muodefceca humaa del %, el 73,3% de los sujetos co resultado postvo estará realmete fectados, PS,,99 VP+,733, PS + ( P( E,,99 +,9,4 sedo muy mprobable la feccó etre aquellos sujetos co resultado egatvo, VP ( P E P( S + ( P E,9,96,, +,9,96,999. Pastor-Barruso R. 9

30 Probabldad Como puede aprecarse, el valor predctvo postvo de esta prueba varía eormemete e fucó de la prevaleca poblacoal de la feccó. E geeral, s A, A,..., A k so sucesos globalmete ehaustvos y mutuamete ecluyetes, el teorema de Bayes puede geeralzarse como P(A B P( A B P( B k P( A P( B A. P( A P( B A j j j Ejemplo.9 Cotuado co el Ejemplo.7, la dstrbucó de los casos de la efermedad de Alzhemer por grupo de edad vee dada por P(E A P(E A P(E 3 A P( E 3 P( E P( E 3 P( E P( E 3 P( A E P( A,6,,645 E P( A E P( A,3,75,645 P( E E P( A E P( A,,3, E,86,,349,,465. Esto es, el 8,6, 34,9 y 46,5% de los casos de la efermedad de Alzhemer tee edades etre 65-74, y 85 años, respectvamete..6 REFERENCIAS. Bllgsley P. Probablty ad Measure, Thrd Edto. New York: Joh Wley & Sos, Casella G, Berger RL. Statstcal Iferece, Secod Edto. Belmot, CA: Dubury Press,. 3. Feller W. A Itroducto to Probablty Theory ad Its Applcatos, Volume, Thrd Edto. New York: Joh Wley & Sos, Roser B. Fudametals of Bostatstcs, Sth Edto. Belmot, CA: Dubury Press, 6. Pastor-Barruso R.

31 TEMA 3 VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 3. INTRODUCCIÓN E el tema de estadístca descrptva se revsaro las téccas ecesaras para la realzacó de u aálss descrptvo de las varables recogdas e ua muestra. El presete tema se cetra e descrbr alguos modelos teórcos de probabldad que permte caracterzar la dstrbucó poblacoal de determadas varables y que, a su vez, so aplcables a múltples stuacoes práctcas. Cuado se realza u estudo o u epermeto aleatoro, es frecuete asgar a los resultados del msmo ua catdad umérca. A la fucó que asoca u úmero real a cada resultado de u epermeto se le deoma varable aleatora. Auque el cocepto de varable se ha troducdo co aterordad, ua defcó más formal de varable aleatora es, por tato, la de ua fucó defda sobre el espaco muestral W que asga a cada posble resultado de u epermeto u valor umérco. Auque e geeral puede defrse múltples varables aleatoras para u msmo epermeto, es acosejable seleccoar e cada caso aquellas varables que recoja las característcas fudametales del epermeto. Las varables aleatoras suele deotarse por letras mayúsculas del fal del alfabeto, tales como X, Y o Z, metras que los valores que puede tomar se represeta por sus correspodetes letras músculas,, y o z. Ejemplo 3. A cotuacó se defe alguas varables aleatoras para los epermetos del Ejemplo. del tema ateror. E el epermeto cosstete e observar la supervveca a los 6 meses de 4 pacetes co cácer sometdos a tratameto, ua varable aleatora X podría ser el úmero de supervvetes, que tomaría los valores X,,, 3 ó 4 e fucó del úmero de pacetes que haya sobrevvdo a los 6 meses. Alteratvamete, podría defrse otra varable aleatora Y como el úmero de muertes, cuyos valores sería Y,,, 3 ó 4 e fucó del úmero de muertes observadas. Para el epermeto de medr el colesterol HDL de ua persoa, la varable aleatora X más atural sería el vel de colesterol HDL e mmol/l, que podría tomar cualquer valor postvo. S el terés se cetra e saber s los veles de colesterol HDL so superores o ferores al umbral de,9 mmol/l, otra varable aleatora Y podría defrse como Y s el vel observado es feror a,9 mmol/l y e caso cotraro. La eleccó de los valores y es arbtrara, bastaría co asgar dos valores dsttos para dferecar ambos tpos de resultados. Como las varables aleatoras so fucoes defdas sobre el espaco muestral, sus posbles valores tedrá asocada ua probabldad, que correspoderá a la probabldad del suceso costtudo por aquellos resultados del epermeto que toma dchos valores. Los dferetes valores de ua varable aleatora y las probabldades asocadas costtuye la dstrbucó de probabldad de la varable. Ejemplo 3. E el prmer epermeto del ejemplo ateror, el úmero de supervvetes es ua varable aleatora que toma los valores X,,, 3 ó 4. La probabldad asocada al valor P(X sería la probabldad del suceso guo de los 4 pacetes sobrevve Pastor-Barruso R.

32 Varables aleatoras y dstrbucoes de probabldad a los 6 meses, la probabldad asocada al valor P(X sería la probabldad del suceso sólo de los 4 pacetes sobrevve a los 6 meses, y así sucesvamete. E el segudo epermeto, el vel de colesterol HDL es ua varable aleatora X que puede tomar cualquer valor e el tervalo (,. E este caso o tee setdo pregutarse, por ejemplo, cuál es la probabldad de teer eactamete u vel de colesterol HDL de mmol/l, ya que s esta varable se pudera determar co ua precsó fta, la probabldad P(X. E tal caso, deberíamos pregutaros por la probabldad de u determado tervalo de valores. Así, por ejemplo, la probabldad P(X sería la probabldad del suceso teer veles de colesterol HDL meores o guales a mmol/l. E geeral, se dstgue dos grades grupos de varables aleatoras: y Varables aleatoras dscretas so aquellas que ta sólo puede tomar u úmero dscreto (fto o fto de valores. Cada uo de estos valores lleva asocada ua probabldad postva, metras que la probabldad de los restates valores es. y Varables aleatoras cotuas so aquellas que puede tomar cualquer valor detro de u tervalo. E este caso, la probabldad de obteer u valor cocreto es, por lo que las probabldades se asga a tervalos de valores. A cotuacó se descrbe las prcpales característcas de las varables aleatoras dscretas y cotuas, así como alguas dstrbucoes teórcas de probabldad que será aplcables a muchas de las varables aleatoras utlzadas e la práctca. 3. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS Las varables aleatoras dscretas toma u úmero dscreto de valores co probabldad o ula y, e cosecueca, estará completamete caracterzadas s se cooce la probabldad asocada a cada uo de estos valores. La fucó que asga a cada posble valor,,,..., de la varable dscreta X su probabldad P(X se cooce como fucó de masa de probabldad. Esta fucó debe cumplr las sguetes propedades: la probabldad de cada valor ha de estar etre y, < P(X, y la suma de las probabldades para todos los valores debe ser gual a, P ( X. Ua vez coocda la fucó de masa de probabldad, la probabldad de que ua varable aleatora dscreta X esté compredda e cualquer subcojuto A se calcula como la suma de las probabldades de aquellos valores cludos detro de ese subcojuto, P(X A P ( X. A E partcular, la fucó de dstrbucó F( de ua varable aleatora X se defe como la probabldad de observar u valor meor o gual a, F( P(X P ( X. La fucó de dstrbucó de ua varable dscreta será ua fucó escaloada crecete co saltos e los valores co probabldad o ula. Pastor-Barruso R.

33 Dstrbucoes de probabldad dscretas Ejemplo 3.3 Supogamos que por estudos prevos se estma que, después de 6 meses de tratameto e 4 pacetes co cácer, la probabldad de que sobrevva,,, 3 ó 4 pacetes vee determada por la seguda columa de la Tabla 3.. Estos valores y sus probabldades costtuye la fucó de masa de probabldad de la varable úmero de supervvetes, que se muestra e la Fgura 3.(a. Los valores de la fucó de dstrbucó e,,, 3 y 4 aparece e la tercera columa de la Tabla 3.; así, por ejemplo, la fucó de dstrbucó e es F( P(X P(X + P(X,96 +,3456,475. La fucó de dstrbucó de esta varable se represeta e la Fgura 3.(b. Notar que F( está defda sobre cualquer úmero real, au cuado la varable tome sólo los valores,,, 3 y 4 co probabldad o ula. E el prmer tema de estadístca descrptva, se defero la meda y la varaza muestral como meddas de tedeca cetral y dspersó de ua varable e ua muestra. A cotuacó, se defe meddas aálogas para la dstrbucó poblacoal de ua varable aleatora. La esperaza o meda poblacoal de ua varable aleatora dscreta X, deotada por μ o E(X, se defe como la suma de los productos de cada valor por su probabldad P(X, μ E(X P( X. Tabla 3. Fucó de masa de probabldad y fucó de dstrbucó del úmero de supervvetes a los 6 meses de 4 pacetes co cácer sometdos a tratameto. Número de supervvetes ( Fucó de masa P(X Fucó de dstrbucó F( P(X,96,96,3456,475,3456,88 3,536,9744 4,56,,4,3,8 P(X, F(,6,4,, 3 4 (a 3 4 (b Fgura 3. Fucó de masa de probabldad (a y fucó de dstrbucó (b del úmero de supervvetes a los 6 meses de 4 pacetes co cácer sometdos a tratameto. Pastor-Barruso R. 3