4ºA ESO Capítulo 7: Estadística. Azar y probabilidad.

Transcripción

1 Matemátcas oretadas a las eseñazas aplcadas: 4ºA ESO Capítulo 7: Estadístca. Azar y probabldad. www. Mrates Revsoras: Raquel Caro y Neves Zuast

2 19 1. ESTADÍSTICA Ídce 1.1. MUESTRAS. ESTUDIOS ESTADÍSTICOS 1.. VARIABLE DISCRETA. TABLAS Y GRÁFICOS 1.3. PARÁMETROS DE CENTRALIZACIÓN Y DISPERSIÓN 1.4. DIAGRAMA DE CAJAS 1.5. VARIABLE CONTINUA: INTERVALOS Y MARCAS DE CLASE. HISTOGRAMAS. DATOS BIDIMENSIONALES.1. IDEAS GENERALES. FRECUENCIAS CONJUNTAS.3. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN Y RECTA DE REGRESIÓN.4. INTERPRETACIÓN DE LA RECTA DE REGRESIÓN. INTRODUCCIÓN A LA CORRELACIÓN 3. AZAR Y PROBABILIDAD 3.1. EXPERIMENTO ALEATORIO Y SUCESO 3.. FRECUENCIA Y PROBABILIDAD 3.3. ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES. PROBABILIDAD A PRIORI Y A POSTERIORI. LEY DE LAPLACE 3.4. EXPERIENCIAS COMPUESTAS: TABLAS DE CONTINGENCIA Y DIAGRAMAS DE ÁRBOL. TEOREMA DE BAYES. Resume La Estadístca se ocupa de terpretar gra úmero de datos. El Isttuto Nacoal de Estadístca recoge estudos de todo tpo sobre la poblacó española. Etra e Iteret escrbedo INE y tedrás u motó de formacó a tu alcace sobre: a) Etoro físco y medo ambete; b) Demografía y poblacó; c) Socedad; d) Ecoomía E u estudo estadístco cofluye dsttas partes de la Estadístca, la Teoría de Muestras que dca sobre la forma de seleccoar ua muestra para que sea represetatva de la poblacó, la Estadístca Descrptva que utlza tablas, gráfcos y parámetros estadístcos como la meda y la desvacó típca para descrbr los datos, y la Ifereca Estadístca que utlza la Teoría de Probabldades para obteer coclusoes. Como sabrás, e tempo de Jesucrsto ya el emperador Augusto hzo cesos para coocer la poblacó del Impero Romao. La Teoría de la Probabldad tuvo sus cos muy lgados a los juegos de azar, y es sorpredete que co ese co haya resultado de tata utldad e la Ceca. Se pregutaba qué es más probable al trar dos dados, que la suma de sus caras superores sea 9 o sea 10. Aalzado juegos como éste fue avazado la Ceca.

3 0 1. ESTADÍSTICA 1.1. Muestras. Estudos estadístcos S queremos hacer u estudo estadístco teemos que: a) Recoger los datos b) Descrbr esos datos co tablas y gráfcas, cálculo de parámetros estadístcos. c) Extraer coclusoes. Para recoger los datos y determar los valores de la varable se puede utlzar a toda la poblacó, todo el uverso sobre el que se realza el estudo, o hacer ua muestra. E muchas ocasoes o es coveete recoger valores de toda la poblacó, porque es complcado o demasado costoso, o cluso porque es mposble como e el caso de u cotrol de caldad e que se destruya el objeto a aalzar. La parte de la Estadístca que se ocupa de cómo seleccoar adecuadamete las muestras se deoma Teoría de Muestras. Poblacó o uverso es todo el cojuto de dvduos sobre el que se realza el estudo. Ua muestra es u subcojuto represetatvo de esa poblacó. Cada uo de los elemetos de la poblacó es u dvduo. Las característcas de la poblacó que se estuda se deoma varables estadístcas, que se clasfca e cuattatvas y cualtatvas segú que los valores que tome sea o o umércos. Las varables cuattatvas que toma valores aslados se deoma varables dscretas y las que puede tomar cualquer valor de u tervalo de la recta real, varables cotuas. La parte de la Estadístca que ordea, aalza y represeta u cojuto de datos para descrbr sus característcas se deoma Estadístca Descrptva. Para extraer coclusoes se utlza las probabldades y la parte de la Estadístca que se ocupa de ello es la Ifereca Estadístca.

4 1 Ejemplos: S queremos coocer las preferecas e deportes del alumado de 4º, es posble pregutar a toda la poblacó (alumado de 4º), auque es adecuado elegr ua muestra represetatva, seleccoado a alguos estudates. E este estudo sobre preferecas deportvas, la varable utlzada es cualtatva. Para coocer la tecó de voto ate uas eleccoes europeas, mucpales, autoómcas se utlza muestras, pues pregutar a toda la poblacó sería muy costoso (y eso ya se hace e las eleccoes). La varable e este caso també es cualtatva. Para estudar lo que más preocupa a ua poblacó: paro, terrorsmo, corrupcó també se utlza muestras. E este caso sería muy costoso pregutar a toda la poblacó, auque sería factble. La varable e este caso també es cualtatva. Pero s ua fábrca quere coocer las horas de vda útl de ua bomblla, ua evera, u camó o puede poer a fucoar a toda la poblacó, (todas las bombllas o everas o camoes ) hasta que se estropee pues se queda s produccó. E este caso es mprescdble seleccoar ua muestra. La varable e este caso es cuattatva, y el tempo toma cualquer valor, es ua varable cuattatva cotua. S pregutamos por el úmero de hermaos es ua varable cuattatva dscreta. E cotrol de caldad se hace estudos estadístcos y se toma muestras. Actvdades propuestas 1. Queremos realzar u estudo estadístco sobre el tempo dedcado al estudo por el alumado de ESO de Madrd. Para ello se seleccoa adecuadamete 100 alumos. Idca cuál es la poblacó, cuál la muestra, qué tamaño tee la muestra y qué sería u dvduo.. Queres pasar ua ecuesta para coocer, lo msmo que e el problema ateror, el tempo dedcado al estudo, e este caso el de los compañeros y compañeras de tu cetro escolar. Se la pasarías sólo a las chcas? Sólo a los chcos? Pregutarías a los mejores de la clase? A los de peores otas? Idca el crtero que segurías para seleccoar la muestra a la que pregutar.

5 1.. Varable dscreta. Tablas y gráfcos Tablas Al hacer u estudo estadístco o realzar u expermeto aleatoro la formacó obteda se resume e ua tabla o dstrbucó de frecuecas. Ejemplo: Pregutamos a 40 estudates de 4º s les gusta, o o, el fútbol. E la tabla del marge reflejamos los resultados. Es ua tabla de frecuecas absolutas. Al dvdr la frecueca absoluta etre el úmero total teemos la frecueca relatva, así la frecueca relatva de los que les gusta el fútbol es 8/40 = 0,7, y la de los que o les gusta el futbol es 1/40 = 3/10 = 0,3. La frecueca absoluta es el úmero de veces que se ha obtedo ese resultado. La frecueca relatva se obtee dvdedo la frecueca absoluta etre el úmero total de datos. La suma de las frecuecas relatvas es sempre gual a 1. Multplcado por 100 se obtee los porcetajes. Actvdad resuelta Se ha obtedo los datos sobre el úmero de vstas que se ha hecho de los Textos Marea Verde de Matemátcas e los meses dcados, y se ha reflejado e ua tabla. Haz ua tabla de frecuecas absolutas, relatvas y porcetajes, de frecuecas acumuladas absolutas y de Resultados frecuecas relatvas acumuladas. Marea verde Frecuecas absolutas Frecuecas relatvas Porcetajes Frecuecas acumuladas absolutas Frecuecas acumuladas relatvas Septembre , ,5 Octubre 956 0, ,77 Novembre 43 0, ,89 Dcembre 389 0, TOTAL Frecuecas absolutas Observa que las frecuecas acumuladas se obtee sumado la frecueca ateror e dca, e este ejemplo, el úmero de vstas hasta ese mometo. Actvdades propuestas Posbles resultados Posbles resultados Frecueca absoluta Les gusta 8 No les gusta 1 Total 40 Frecuecas relatvas Porcetaje Les gusta 0,7 70 No les gusta 0,3 30 Suma total Copa e tu cuadero y completa la sguete tabla de frecuecas absolutas de los valores obtedos al trar u dado, co las frecuecas relatvas y porcetajes, y co frecuecas acumuladas absolutas y frecuecas relatvas acumuladas.

6 3 Gráfcos estadístcos Las represetacoes gráfcas ayuda a compreder el sgfcado de los datos. Dada ua tabla de frecuecas (absolutas, relatvas, porcetajes, acumuladas absolutas o acumuladas relatvas) para represetar u dagrama de rectágulos o de barras se traza para cada valor de la varable u rectágulo o barra de altura proporcoal a la frecueca que se esté represetado. S se ue los putos medos de los extremos superores de las barras teemos u polígoo de frecuecas o dagrama de líeas. E u dagrama de sectores se dbuja u círculo que se dvde e sectores de ampltudes proporcoales a las frecuecas. Deportes Frecueca Actvdad resuelta Teemos u estudo estadístco sobre las preferecas deportvas del alumado de 4º de u determado cetro escolar. Represétalos e u dagrama de barras de frecuecas absolutas, e u polígoo de frecuecas relatvas y e u dagrama de sectores. Absoluta Futbol 56 Balocesto 8 Natacó 14 Baló volea 1 Dagrama de barras de frecuecas absolutas Polígoo de frecuecas relatvas o dagrama de líeas Dagrama de sectores ,6 0,4 0, 0 Futbol Balocesto Natacó Baló volea Actvdades propuestas 4. Co la tabla de valores del ejercco ateror, dbuja e tu cuadero el dagrama de frecuecas relatvas, el polígoo de frecuecas absolutas acumuladas y el dagrama de sectores. 5. Haz u estudo estadístco pregutado a tus compañeros y compañeras de clase sobre el úmero de lbros que lee al mes. Cofeccoa ua tabla y represétala e u dagrama de rectágulos, u polígoo de frecuecas y u dagrama de sectores. 6. Seleccoa ua muestra etre tus compañeros y compañeras y realza u estudo estadístco sobre el deporte que más le gusta a cada uo. Haz la represetacó que sea más seclla de terpretar.

7 4 Utlza el ordeador Las hojas de cálculo so ua herrameta muy útl para trabajar la Estadístca. Suma, multplca, y dbuja los gráfcos co gra facldad. Para la actvdad resuelta ateror, copamos la tabla co los datos e la hoja de cálculo a partr de la caslla A1. Calculamos la suma total e la caslla B6, smplemete apretado la tecla:, o be escrbedo =SUMA(B:B5) que sgfca que queremos sumar lo que hay desde la caslla B a la B5. Para calcular las frecuecas relatvas escrbmos e C1: Frecueca relatva, y e C, escrbmos el sgo gual, (co lo que estamos dcedo a la hoja que vamos a calcular algo), pchamos e la caslla B, escrbmos: /, y pchamos e B6: =B/B6, os sale 0,50909 La caslla B va a r varado cuado calculemos C3, C4, pero queremos que la caslla B6 se quede fja. Para decr eso, poemos el símbolo $: =B/$B$6. Y ahora arrastramos hasta la caslla C5. (S arrastramos ates de poer el $ os sale u error, pues está dvdedo por cero al r modfcado la caslla). Teemos las frecuecas relatvas calculadas. Para dbujar los gráfcos sólo teemos que seleccoar las flas y columas que os terese y e el meú de Isertar seleccoar el tpo de gráfco deseado: Columa, Líea, Crcular

8 Parámetros de cetralzacó y dspersó Parámetros de cetralzacó Ya sabes que los parámetros de cetralzacó os da formacó sobre el cetro de u cojuto de datos. Estudamos la meda artmétca, la moda y la medaa. Actvdad resuelta Neves ha tedo e Matemátcas las sguetes otas: 8, 4, 6, 10 y 10. Calcula su meda, su moda y su medaa. Su ota meda se calcula sumado todas las otas: = 38, y dvdedo la suma etre el úmero total de otas que es 5: 38/5 = 7,6. La moda es 10 pues es el valor más frecuete. Ua forma de calcular la medaa es ordear los valores de meor a mayor, y s el úmero de datos es mpar, el valor cetral es la medaa. S el úmero de datos es par, la medaa es la meda de los dos datos cetrales. E uestro caso: , por lo que la medaa es 8. Para calcular la meda (m) de x 1, x,, x, se suma todos y se dvde por el úmero total de datos (). Meda = m = (x 1 + x + + x )/ Qué es lo que está de moda? Lo que más se lleva. La moda (mo) de ua dstrbucó de frecuecas es el valor más frecuete. La medaa (me) es el valor cetral que deja por debajo el msmo úmero de valores de la varable que por ecma. Utlza el ordeador Para calcular la meda, la medaa y la moda co la hoja de cálculo, copamos e la caslla B, B3 los datos: 8, 4, 6, 10 y 10. Escrbmos e la caslla A7, Meda, y para calcular la meda escrbmos u sgo gual e B7. Buscamos, desplegado las posbles fucoes, la fucó PROMEDIO, y escrbmos =PROMEDIO(B:B6), que sgfca que calcule la meda de los valores que hay e las casllas desde B hasta B6. Del msmo modo calculamos la medaa buscado e las fucoes o escrbedo =MEDIANA(B:B6) y la moda buscado e las fucoes o escrbedo =MODA(B,B6).

9 6 Actvdades propuestas 7. Dadas las temperatura e ua cudad a ua hora determada el día 1 de cada mes se tee la sguete tabla: Eero Febrero Marzo Abrl Mayo Juo Julo Agosto Septembre Octubre Novembre Dcembre Temperatura a) Calcula la temperatura meda, la moda y la medaa. b) Utlza el ordeador para comprobar el resultado. 8. Calcula la meda, la medaa y la moda de las dstrbucoes sguetes: a), 3, 4, 5, 7, 9, 9, 1000 b), 3, 4, 5, 7, 9, 9, 10 c) 0, 0, 4, 5, 7, 9, 9, 100, 00 Utlza el ordeador para comprobar los resultados. Observa e cada caso cómo fluye los valores extremos. Ifluye e la moda? Y e la medaa? Y e la meda? Actvdad resuelta E ua clase de 40 alumos las calfcacoes ha sdo: x Suma f A cada ota la llamamos x y a la frecueca absoluta de esa ota: f. Esto sgfca que ha habdo u cero, dos uos, gú y 3 deces. Para calcular la meda artmétca añadmos a la tabla ua fla co los productos x f y sumamos esa fla: x f Al ser 40 el úmero total de estudates la meda es: Meda = m = 51 / 40 = 6,75. La moda es la ota más frecuete, que es mo = 5 pues es la de mayor frecueca. Para calcular la medaa añadmos ua ueva fla, la de las frecuecas acumuladas: x Frecuecas acumuladas La mtad de los datos es 40/ = 0, y como 14 < 0 < 1, la medaa es 6. S la varable toma los valores x 1, x,, x, co ua frecueca absoluta f 1, f,, f, para calcular la meda se multplca cada valor por su frecueca absoluta, se suma dchos productos y se dvde por el total de valores de la varable: m = Meda = (x 1 f 1 + x f + + x f ) / (f 1 + f + + f ) La moda es la frecueca más alta. Puede ocurrr que ua dstrbucó de frecuecas tega más de ua moda. Por ejemplo, la dstrbucó: x f tee 3 modas, 1, 3 y 6, ya que el valor más alto de la frecueca absoluta es 10 e los tres casos.

10 7 La moda permte clasfcar los cojutos de datos e umodales, bmodales o plurmodales, segú el úmero de modas que tega. Para obteer la medaa se calcula las frecuecas acumuladas y se busca el valor de la varable que ocupa el lugar cetral: /. Utlza el ordeador Copamos los datos de la actvdad resuelta e ua hoja de cálculo, escrbedo x e la caslla B1, f e la C1. E B escrbmos 0, y e B3, 1. Seleccoamos estas dos casllas y arrastramos hasta la caslla B1. Copamos las frecuecas e la columa C. E A13 escrbmos SUMA. Calculamos la suma de las frecuecas co la tecla: y se obtee 40 e la caslla C13. E la columa D1 escrbmos x f. E D escrbmos = y pchamos e B, escrbmos * y pchamos e C (=B*C). Seleccoamos D y arrastramos hasta D1. Calculamos la suma (51) y dvdmos el valor de la caslla D1 etre el de la caslla C1. Podemos calcular el valor máxmo de las frecuecas, que e este caso se ve a ojo, pero s hubera muchos más valores, muchas más flas, se puede utlzar la fucó MAX. Para calcular las frecuecas acumuladas utlzamos la columa E. E E escrbmos =C. E E3 escrbmos =E+C3. Por qué? Y seleccoado E3 arrastramos hasta E1. Actvdades propuestas 9. Se ha lazado u dado 100 veces y se ha cofeccoado la sguete tabla de frecuecas absolutas: x f a) Calcula la meda, moda y medaa. b) Utlza el ordeador para comprobar los resultados. 10. Lazamos dados y sumamos los valores obtedos. Repetmos el expermeto 1000 veces y obteemos las sguete tabla de frecuecas absolutas. x f a) Calcula la meda, la medaa y la moda. b) Utlza el ordeador para comprobar los resultados. c) Repte tú los lazametos, ahora sólo dez veces, y calcula de uevo la meda, medaa y moda. 11. Utlza el ordeador para calcular la meda, la medaa y la moda de la sguete tabla de frecuecas absolutas, que dca el úmero de hjos que tee 00 famlas etrevstadas: x f

11 8 Parámetros de dspersó Nos da ua medda de lo dspersos que está los datos. La prmera medda os la da el recorrdo, o el valor máxmo meos el valor mímo. Las más utlzadas so la varaza y la desvacó típca (o desvacó estádar) que mde la dstaca de los datos respecto de la meda. Ya sabes que la medaa os dca el valor de la varable que ocupa el lugar cetral. Se deoma prmer cuartl (Q1) al valor de la varable que deja meores o guales que él a la cuarta parte de los datos, (o u 5 %), (sedo por tato las tres cuartas partes mayores o guales que él). La medaa es el segudo cuartl, que deja por debajo la mtad de los datos o u 50 %. El tercer cuartl (Q3) es el valor de la varable que deja meores o guales que él las tres cuartas partes de los datos o u 75 % (y mayores o guales la cuarta parte). Se llama tervalo tercuartl (o recorrdo tercuartílco) a la dstaca etre el tercer y el prmer cuartl (Q3 Q1). Por lo que hemos dcho, e ese tervalo está la mtad de los datos. Actvdad resuelta Segumos co la msma actvdad ateror. Neves ha tedo e Matemátcas las sguetes otas: 8, 4, 6, 10 y 10. Calcula su recorrdo, la varaza, la desvacó típca, los cuartles y el tervalo tercuartl. La mayor calfcacó ha sdo u 10 y la meor u 6, luego el recorrdo es 10 4 = 6. Recorrdo = Máxmo Mímo. La meda ya la hemos calculado y es 7 6. Queremos aalzar cómo las observacoes se separa de la meda. S a cada valor le restamos la meda, uos sale postvos y otros egatvos, y s sumamos todos, se compesa, por lo que sale 0. Es posble superar esa dfcultad calculado esas dferecas e valor absoluto, o elevádolas al cuadrado. S las elevamos al cuadrado, sumamos todo y dvdmos por el úmero total de valores de la varable meos 1, obteemos la varaza. Se dvde por 1 para mejorar las propedades del estadístco: Varaza. S después calculamos la raíz cuadrada, se obtee la desvacó típca. Estamos evaluado la dstaca de los valores de la varable a la meda. x x meda (x meda) Meda = 7 6 Suma = 7 S dvdmos 7 etre 5 () se obtee 5 44 que es la varaza.

12 9 Calculamos la raíz cuadrada: 33 que es la desvacó típca. Varaza = ((x 1 meda) + (x meda) + + (x meda) )/ = m x 1 ) ( S = Desvacó típca = m x 1 ) ( Se puede demostrar, hacedo operacoes ua fórmula más cómoda para calcular la varaza y la desvacó típca: Varaza = 1 m x S = 1 m x x x m = 7 6 Suma = 38 Suma = 316 Varaza = (316/5) (7 6) = = La desvacó típca es la raíz cuadrada de la varaza, es decr, s = 33. Para calcular los cuartles debemos ordear los datos; El prmer cuartl deja por debajo la cuarta parte o el 5 % de los datos. Hay 5 datos y 5/4 = 1 5, como 1 < 1 5 <, el prmer cuartl es 6. Q1 = 6. El tercer cuartl deja por debajo las tres cuartas partes o el 75 % de los datos: 3(5/4) = Como 3 < 3 75 < 4, etoces Q3 = 10. Itervalo tercuartl = Q3 Q1. E el ejemplo, el tervalo tercuartl = Q3 Q1 = 10 6 = ) ( ) ( ) ( m x m m m x m x m x m m x x m x

13 30 Utlza el ordeador Igual que hemos calculado la meda, la medaa y la moda, la hoja de cálculo se puede utlzar para obteer: El recorrdo calculado MAX MIN. La varaza utlzado VARP. La desvacó típca usado DESVESTP. Los cuartles, (CUARTIL), sedo el cuartl 0 el mímo; el cuartl 1, Q1; el cuartl, la medaa; el cuartl 3, Q3; y el cuartl 4, el máxmo. Actvdades propuestas 1. Dadas las temperatura e ua cudad de u ejercco ateror: Meses Eero Febrero Marzo Abrl Mayo Juo Julo Agosto Septembre Octubre Novembre Dcembre Temperatura a. Calcula el recorrdo, la varaza, la desvacó típca, los cuartles y el tervalo tercuartl. b. Utlza el ordeador para comprobar los resultados. 13. Calcula el recorrdo, la varaza, la desvacó típca, los cuartles y el tervalo tercuartl. de las dstrbucoes sguetes: a), 3, 4, 5, 7, 9, 9, 1000 b), 3, 4, 5, 7, 9, 9, 10 c) 0, 0, 4, 5, 7, 9, 9, 100, 00 Utlza el ordeador para comprobar los resultados.

14 Dagrama de cajas El dagrama de cajas es ua represetacó gráfca e la que se utlza los cuartles, la medaa, los valores máxmos y mímos tetado vsualzar todo el cojuto de datos. Se forma u rectágulo (o caja) cuyos lados so los cuartles y dode se señala e el cetro, la medaa. Se añade dos brazos (o bgotes) dode se señala los valores máxmo y mímo. Se puede calcular, además, uos límtes superor e feror. El feror, L1; es Q1 meos 1,5 por el tervalo tercuartl, y el superor Ls es Q3 + 1,5 por el tervalo tercuartl. El dagrama de caja es el de la fgura del marge. Q3 Me Q1 Max Ls Itervalo tercuar L Mí E el ejemplo ateror, ua vez ordeados los datos: , hemos calculado que: Medaa = Me = 8. Q1 = 6. Q3 = 10. Itervalo tercuartl = 4. Los bgotes os dca: Máx = 10. Mí = 4. Ls = Q3 + 4*1,5 = 16. L = Q1 4*1,5 = 0. E este ejemplo el máxmo es gual a 10, que es meor que el posble extremo superor, gual a 16. El mímo es 4, mayor que el extremo feror, luego o hay valores atípcos que sea mayores que el límte superor o meores que el límte feror. Los extremos de los bgotes, e uestro ejemplo so 10 y 4.

15 Varable cotua: tervalos y marcas de clase. Hstogramas Recuerda que las varables puede ser cualtatvas, s o so umércas, o cuattatvas, que a su vez puede ser dscretas o cotuas. Por ejemplo: S se hace u estudo estadístco sobre la poblacó de estudates, se puede pregutar sobre la profesó de sus padres y madres, que es ua varable cualtatva, sobre el úmero de hermaos, que es ua varable cuattatva dscreta (ade tee 3,7 hermaos), o sobre la edad, la estatura, la calfcacó meda que so varables cuattatvas cotuas. Co las varables cuattatvas cotuas tee setdo agrupar los valores e tervalos. Al valor cetral del tervalo se le deoma marca de clase. La represetacó gráfca más adecuada es el hstograma que es u dagrama de rectágulos e el que el área de cada rectágulo es proporcoal a la frecueca. Tee la vetaja de que de esa forma la frecueca de cada suceso vee represetada por el área. Actvdad resuelta Realza u estudo estadístco sabedo que la tabla de frecuecas absolutas, co tervalos, de los pesos de 40 estudates de u cetro escolar, es: Peso [34, 40) [40, 46) [46, 5) [5, 58) [58, 64) [64, 70) [70, 76) Estudates La tabla os dce que hay estudates cuyo peso es mayor o gual a 34 y es meor que 40. Calculamos las marcas de clase, buscado el puto medo de cada tervalo: (40 34)/ = 3 y 34+3 =37. Todos los tervalos e este ejemplo tee ua logtud de 6. Reescrbmos la tabla co las marcas de clase y las frecuecas absolutas: x f E este caso el hstograma de las frecuecas absolutas es muy secllo pues todos los tervalos tee gual logtud. S o fuera así, habría que calcular co cudado las alturas de los rectágulos para que las áreas fuera proporcoales a las frecuecas

16 33 Vamos a represetar també el hstograma de las frecuecas relatvas y de las frecuecas relatvas acumuladas: x Frecuecas relatvas Frecuecas relatvas acumuladas Frecuecas Relatvas Frecuecas relatvas acumuladas 0,35 0,3 0,5 0, 0,15 0,1 0, ,8 0,6 0,4 0, Cálculo de la meda y la desvacó típca: Procedemos de la forma que ya coocemos, calculado el producto de las marcas de clase por las frecuecas: x Suma f x f La meda es gual a 038/40 = Para calcular la desvacó típca restamos a cada marca de clase, la meda, elevamos al cuadrado y multplcamos por la frecueca relatva: x Suma f x m (x m) f (x m) f La suma de las dferecas de la meda al cuadrado por las frecuecas relatvas es Ahora dvdmos etre que e uestro caso es 40, y se obtee 65 5 que es la varaza. Calculamos la raíz cuadrada. La desvacó típca es 8 09.

17 34 Actvdad resuelta Utlzamos la otra fórmula: Varaza = x f 1 x Suma f x m x f Varaza = (106456/40) (50 95) = = 65 5 y desvacó típca = s = Veamos otro ejemplo de cálculo de la meda y la desvacó típca utlzado la otra fórmula: Varaza = 1 x Suma f x f x x f = 80. La meda es gual a m = 5577/80 = x f m La varaza es gual a 1 x f m = ,7 = = La desvacó típca es gual a la raíz cuadrada de la varaza, s = 8.

18 35 Cálculo de la medaa y los cuartles. Represetamos el hstograma de frecuecas absolutas acumuladas, y cortamos por las líeas / para la medaa, /4 para el prmer cuartl, y 3/4 para el segudo. E uestro caso por 0, 10 y 30. Observamos, vedo dode las rectas horzotales, y = 0, y = 10 e y = 30 corta al hstograma, que la medaa está e el tervalo [46, 5) cuya marca de clase es 49, el prmer cuartl e el tervalo [40, 46) cuya marca de clase es 43, y el tercer cuartl e [5, 58) cuya marca de clase es 55. x [34, 40) [40, 46) [46, 5) [5, 58) [58, 64) [64, 70) [70, 76) f F Podemos ajustarlo más hacedo ua terpolacó leal, es decr, aproxmado co ua recta. Para la medaa trazamos la recta que pasa por los putos (46, 1) y (5, 4) (y = x 80) y calculamos dóde corta a la recta y = 0. Corta e x = 50. Por tato la medaa es Me = 50. El tercer cuartl está e el tervalo [5, 58). Calculamos la ecuacó de la recta que pasa por los putos F. A. Q1 Me Q3 (5, 4) y (58, 33), que es y = (3/)x 54. Calculamos dóde corta a y = 30, que es e x = 56. Por tato Q3 = 56. El prmer cuartl está e el tervalo [40, 46). La recta que pasa por los putos: (40, ) y (46, 1) tee por ecuacó y = (5/3)x 64,6666, que corta a y = 10 e x = 44, Q1 = 44,8. Utlza el ordeador Para dbujar hstogramas co el ordeador utlzado ua hoja de cálculo os ecotramos co la dfcultad de que éste dbuja los rectágulos separados. Dbuja u dagrama de rectágulos. Para arreglarlo e el caso de que la logtud de todos los tervalos sea la msma, debes señalar uo de los rectágulos, etrar e dar formato a la sere de datos y, e Opcoes de sere seleccoar e Acho del tervalo u acho del 0 %, es decr, s tervalo. S las logtudes so dsttas se debe calcular prevamete las alturas de los rectágulos. Actvdades propuestas 14. Utlza el ordeador para dbujar el hstograma de la actvdad Se cooce las catdades de resduos sóldos recogdos e m 3 /semaa durate 1 semaas de ua urbazacó: 3, 7, 30, 34, 38, 1, 30, 33, 36, 39, 3, 4. Escrbe e tu cuadero ua tabla de frecuecas absolutas co cuatro tervalos: [0, 5), [5, 30), [30, 35) y [35, 40). Calcula las marcas de clase. Dbuja el hstograma de frecuecas absolutas. Calcula la meda y la desvacó típca. Calcula gráfcamete la medaa y los cuartles. 16. Haz u estudo estadístco pregutado a tus compañeros y compañeras de clase sobre el úmero de lbros que lee al mes. Cofeccoa ua tabla y represétala e u dagrama de rectágulos, u polígoo de frecuecas y u dagrama de sectores

19 36. DATOS BIDIMENSIONALES.1. Ideas geerales Posblemete, la aplcacó más mportate de la estadístca o sea el estudo de ua varable aslada so el aálss de las relacoes etre varables. S teemos dos meddas que se da jutas, es lógco querer saber e qué medda ua fluye e la otra. Veamos alguos ejemplos. Ejemplos: E ua teda de camsas, queremos saber cuátas vederemos (por térmo medo) e fucó del preco. S sabemos la altura del padre de u ño, cuál será la altura del hjo? S a u grupo de alumas le damos ua paga y medmos sus calfcacoes. Las alumas que recbe más dero saca mejores otas? Cuáto más? Este msmo estudo puede hacerse co los trabajadores de ua empresa. S se les paga más aumeta la produccó? So más telgetes los hombres que las mujeres? O vceversa? Puede parecerte que alguo de estos casos es elemetal. Es obvo que los padres altos tee hjos altos y que s bajo el preco, vedo más. Pero lo mportate es CUÁNTO. S yo tego ua teda, lo que quero es gaar dero. Y por supuesto que s pogo las camsas a 0 voy a veder mucho pero o gaaré ada. Lo que quero es ua estmacó de cuáto vedo a cada preco para poder saber el preco que me teresa poer... Varables bdmesoales. Frecuecas cojutas Ua varable bdmesoal so dos varables que se mde cojutamete. S X e Y so las varables, la varable bdmesoal es (X, Y). Ejemplos: El preco al que poemos las camsas (X) y el preco ateror (Y). La altura de u padre (X) y la altura del hjo (Y) El color del pelo (X) y el color de los ojos (Y). El sexo de ua persoa (X) y su coefcete de telgeca (Y). Date cueta que las varables bdmesoales puede ser cualtatvas o cuattatvas e cluso cada ua de u tpo. Asmsmo podríamos teer los datos agrupados, y etoces lo que habría sería parejas de tervalos. La represetacó de forma de tabla de frecuecas es exactamete gual que e el caso udmesoal co la salvedad de que ahora teemos parejas. Vamos prmero co u ejemplo y luego troducremos los coceptos.

20 37 Ejemplo: Teemos ua muestra de 8 persoas y mramos su color de ojos y pelo. Hay 4 moreos de ojos marroes, 1 moreo de ojos verdes, dos rubos de ojos azules y u rubo de ojos verdes. Aú o hemos defdo las frecuecas pero creemos que lo puedes eteder gual. La tabla es: Idvduo Frecuecas absolutas Frecuecas relatvas (Moreo, marroes) = 4/8 (Moreo, verdes) = 1/8 (Rubo, azules) 0 5 = /8 (Rubo, verdes) = 1/10 TOTAL 8 1 Como puedes ver, para que dos elemetos sea guales, debe ser guales las dos compoetes. La varable X es el color del pelo y la varable Y el color de los ojos. Se tee X = { Moreo, Rubo } e Y={ Marroes, Verdes, Azules }. No tee por qué haber el msmo úmero de valores e cada varable. Las defcoes so las msmas. La frecueca absoluta es el úmero de veces que se ha obtedo esa pareja de resultados (dos parejas so guales s sus dos compoetes so guales). La frecueca relatva es la frecueca absoluta dvdda etre el úmero total de datos. Tabla de frecuecas cojuta: A veces, e vez de mostrar los datos e pares, se poe e ua tabla de doble etrada o tabla de cotgeca. Se llama así porque la X está e vertcal y la Y e horzotal. E los cruces se poe las frecuecas, ya sea absolutas o relatvas. S se poe las absolutas se dce tabla de doble etrada de frecuecas absolutas y s se poe las relatvas pues tabla de doble etrada de frecuecas relatvas. La tabla ateror, co (x, y ) o tee u ombre especal uversalmete aceptado. Podemos llamarla tabla de frecuecas de pares.

21 38 Ejemplo: Teemos la msma muestra de ates: 4 moreos de ojos marroes, 1 moreo de ojos verdes, dos rubos de ojos azules y u rubo de ojos verdes. Vamos a colocarlos e tablas de doble etrada de frecuecas absolutas y luego relatvas. Nos lmtamos a poer e la prmera columa los dos valores que teemos de la X, que es el color de pelo ( Moreo y Rubo ) y e la prmera fla los de la Y, que es el color de los ojos ( Marroes, Verdes y Azules ). X Y Marroes Verdes Azules Moreo Rubo 0 1 Observa que e esta tabla puede aparecer ceros, que represeta que o hay ade co esa pareja de característcas. S dvdmos las frecuecas absolutas por el úmero total de datos (que e este caso es 8) obteemos la tabla de doble etrada de frecuecas relatvas. X Y Marroes Verdes Azules Moreo 0 5 = 4/8 0 15=1/8 0 Rubo =1/8 0 5=/8 Actvdades propuestas 17. Co la tabla de valores del ejemplo, costruye la tabla de frecuecas absolutas y relatvas de la varable X ( Color de pelo ) y la varable Y ( Color de ojos ) por separado, como varables udmesoales. 18. Completa la sguete tabla y exprésala e forma de tabla de doble etrada, prmero co frecuecas relatvas y luego co frecuecas absolutas. x, y Frecueca absoluta (0, 1) 1 (1,.) 14 (,3) 14 Frecueca relatva 19. Completa la sguete tabla de frecuecas cojuta y exprésala e frecuecas de pares (x, y ), tato co frecuecas relatvas como absolutas.

22 39.3. Dagrama de dspersó y recta de regresó U dagrama de dspersó, també llamado ube de putos por su apareca, es u gráfco que se obtee represetado cada pareja como u puto del plao cartesao. Se usa prcpalmete co varables cuattatvas y datos s agrupar (s estuvera agrupados tomaríamos las marcas de clase). Es muy smple de dbujar. Basta co poer u puto e cada pareja. A veces s hay valores repetdos se poe los putos más gordos pero també es comú poerlos todos gual. Ejemplo: Teemos ua teda y queremos estudar las vetas de ua camsa e fucó del preco. Para ello, probamos cada semaa co u preco dstto y calculamos las vetas medas. Obteemos así ua tabla como la que sgue Preco Vetas (medas) S copamos los datos a ua hoja de cálculo y le damos a dbujar u dagrama de dspersó, obteemos algo como lo sguete: 0 Preco y vetas ,5 11,5 1,5 13,5 14,5 15,5 16,5 que es el típco gráfco que puede verse para hacer u estudo de resultados e cualquer empresa. La recta de regresó El problema co la ube de putos es que smplemete descrbe lo que pasa. Esto certamete es mportate e sí msmo, pero lo que es realmete teresate es PREDECIR qué pasará. E el ejemplo ateror, uestros datos llega a precos de 16. Qué pasaría s submos el preco a 17? O lo bajamos a 9? Y co los precos termedos, como 1 5? Como hay ftos precos, o vamos a poder teer e cueta ftos precos. Lo teresate es teer u modelo matemátco que os dga, para u preco dado, cual es el valor esperado de las vetas. O, e geeral, para u valor de X cuál es el valor esperado de Y.

23 40 Lo más fácl es hacer ua recta que se aproxme. Se puede dbujar práctcamete a mao, pero hay ua fórmula matemátca que la calcula. Esa fórmula es complcada y está fuera del alcace de este curso pero sí vamos a eseñarte cómo hacerla co ordeador. Ates de ada, vamos a mostrarte e el ejemplo ateror la líea de tedeca. Preco y vetas 0 Observa que o pasa por todos los putos, so que uos queda arrba y otros abajo. De hecho es mposble 15 que ua recta pase por todos y, e el mudo real, el ajuste uca es exacto. La recta pasa por el medo de los 10 putos. 5 Utlza el ordeador 0 10,5 11,5 1,5 13,5 14,5 15,5 16,5 Lo sguete so datos de la altura de u padre y de la de su hjo co 15 años de edad. Las alturas está e metros. Padre Hjo Lo prmero, vamos a hacer el dagrama de dspersó. Copamos los datos e ua hoja de cálculo. Los vamos a poer e vertcal para que se vea mejor, pero se podría hacer exactamete gual e horzotal. Después, señalamos las dos seres y le damos a sertar gráfco de dspersó. Automátcamete os aparece el dagrama de dspersó (ube de putos). S juegas u poco co las opcoes puedes modfcar el título, el formato, la escala de los ejes Más aú, la recta de regresó es muy fácl de dbujar. Basta co que seleccoes el gráfco y le des a aálss y a líea de tedeca. Escogedo ua tedeca leal, ya tees la recta de regresó. Al fal, s lo has hecho be, el dbujo debe ser más o meos algo smlar a esto: Y fíjate, la recta tee todos los valores posbles. Para ver qué valor correspodería a ua altura del padre de 1 75 m, lo buscamos e la recta.,5 1,5 1 0,5 0 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

24 41.4. Iterpretacó de la recta. Itroduccó a la correlacó Ua vez hemos dbujado la recta de regresó, podemos ver cómo es la relacó etre las dos varables. E eseca el tpo de relacó vee dada por la pedete de la recta. 1. S la recta de regresó tee pedete postva (más formalmete, s va haca arrba ) se dce que la relacó etre las varables es postva.. S la recta de regresó tee pedete cero (más formalmete, s queda horzotal ) se dce que la relacó etre las varables es ula o que o hay relacó leal. 3. S la recta de regresó tee pedete egatva (más formalmete s va haca abajo ) se dce que la relacó etre las varables es egatva La cuestó es, pues, seclla. Basta dbujar la recta y ver haca dóde va. Pero també os teresa ver s los putos está cerca de la recta o lejos. E otras palabras, mrar s la recta ajusta be o ajusta mal. Para calcular esto, se obtee lo que se llama coefcete de correlacó. Se defe como: r N ( x y ) x y N s s 1 x y Ya ves, muy complcado! Pero, como ates, basta co usar Excel o cualquer hoja de cálculo. La orde e Excel es COEF.DE.CORREL(sere1;sere). El coefcete de correlacó os mde s la relacó es postva, egatva o ula. Y TAMBIÉN os dce s el ajuste es bueo. Vamos a ver e u cuadro los detalles. El coefcete de correlacó,, mde la relacó etre dos varables. Es u úmero etre 1 y 1 (puede ser exactamete 1 o exactamete 1). S el coefcete de correlacó es exactamete 1 la relacó es perfecta postva. La recta va haca arrba y TODOS los putos está sobre ella. S el coefcete de correlacó está e el tervalo (0, 1) Resume la relacó es postva. La recta va haca arrba pero o pasa por todos los putos. = 1 correlacó perfecta postva S el coefcete de correlacó es exactamete 0, la = 1 correlacó perfecta egatva relacó es ula (o hay relacó leal). = 0 correlacó ula S el coefcete de correlacó está e (1, 0) la relacó (0, 1) correlacó postva es egatva. La recta va haca abajo pero o pasa por (1, 0) correlacó egatva todos los putos. S el coefcete de correlacó es exactamete 1 la relacó es perfecta egatva. La recta va haca abajo y TODOS los putos está sobre ella. Esto es lo que es objetvo. E alguas ocasoes, se habla de correlacó postva fuerte (s está cercaa a 1) o postva débl (s está etre 0 y 1 pero próxma a 0) y lo msmo egatva. Pero claro, eso depede de la terpretacó de cada uo. Así, ua correlacó de 0 96 es postva fuerte y ua de 0 0 es egatva débl. Pero, y 0 55? Pues depede de lo que cosderes. Lo que sí es objetvo es s es perfecta o ula, postva o egatva.

25 4 Utlza el ordeador Co los datos de la actvdad ateror, vamos a calcular el coefcete de correlacó. Lo úco que hay que hacer es poer, e la caslla correspodete =COEF.DE.CORR. e uestro ejemplo es la caslla D. Automátcamete os da a escoger dos matrces y escogemos prmero lo de la X y después lo de la Y. Nos da el coefcete de correlacó, que e este caso resulta ser Es ua relacó postva fuerte como ya magábamos por la ube de putos y la recta de regresó. Utlza el ordeador Pregutamos a 10 alumos de 4º ESO por sus calfcacoes e Matemátcas, por el úmero de mutos daros que ve la televsó, por el úmero de horas semaales que dedca al estudo, y por su estatura e cetímetros. Los datos se recoge e la tabla adjuta. Queremos dbujar las ubes de putos que los relacoa co las calfcacoes de Matemátcas, el coefcete de correlacó y la recta de regresó. Calfcacoes de Matemátcas Mutos daros que ve la TV Horas semaales de estudo Estatura (e cm) Para hacerlo, etramos e Excel, y copamos los datos. Seleccoamos la prmera y la seguda fla, luego la prmera y la tercera y por últmo la prmera fla y la cuarta. Co la prmera y seguda flas seleccoadas, vamos a Isertar, Dspersó y elegmos la ube de putos. Podemos cosegur que el eje de abscsas vaya de 0 a 10 e Dar formato al eje. Pchamos sobre u puto de la ube, y elegmos Agregar líea de tedeca. Para que dbuje el ordeador la recta de regresó la líea de tedeca debe ser Leal. E la patalla que aparece marcamos la caslla que dce: Presetar ecuacó e el gráfco y la caslla que dce Presetar el valor de R cuadrado e el gráfco Mutos daros que ve la TV y = 13,485x + 131,59 R² = 0, Observa, la recta de regresó, e color rojo, es decrecete y su ecuacó es aproxmadamete: y = 13 5 x El cuadrado del coefcete de correlacó es = La correlacó es egatva y alta: 0'95 0,975

26 43 Hacemos lo msmo co la prmera y tercera fla y co la prmera y cuarta fla. Obteemos los gráfcos: Horas semaales de estudo Estatura (e cm) y = 1,9343x + 155,77 y = 1,8535x 3,5455 R² = 0,477 R² = 0, Observa que e ambos casos la pedete de la recta de regresó es postva pero e el prmero el coefcete de correlacó, postvo, es próxmo a 1, 0'96 0, 98. La correlacó es alta y postva. E el segudo 0'5 0, 5. Actvdades resueltas El propetaro de ua stalacó mxta solar eólca está realzado u estudo del volume de eergía que es capaz de producr la stalacó. Para ello, mde dcha eergía a lo largo de u total de N = 16 días que cosdera sufcetemete represetatvos. La eergía (e kwh) producda e dchos días por las stalacoes solar y eólca se ecuetra recogda e la sguete tabla: Geeracó solar (x ) Geeracó eólca (y ) Vamos a realzar ua actvdad resuelta completa utlzado las fórmulas de la meda, la desvacó típca y de la correlacó para que pueda servrte de modelos s ecestas algua vez calcularlas s ayuda del ordeador. Vamos a deotar a la geeracó solar como varable X y la geeracó eólca como varable Y. Añadmos uevas flas a uestra tabla, los cuadrados de x, de y y los productos de ambas: Geeracó solar (x ) Geeracó eólca (y ) x y x y

27 44 Cálculo de las medas: Sumado la prmera fla y dvdedo por N = 16, obteemos la meda de la Geeracó Solar e Kwh. Recuerda N x x 1 : N N x x N 131' 10'5 41' 14'8 19'5 11'9 18 8'6 5'7 15'9 11' 6'8 14' 8' '6 9' '95 Kwh Sumado la seguda fla y dvdedo por N = 16 obteemos la meda de la Geeracó Eólca e Kwh: N y y N 8'5 14'3 4'7 4 '3 6'4 3'6 9' 13'5 1'4 7'6 1'8 10'3 16'5 1'4 10' '463 Kwh Las medas so: Muy parecdas. x 10'95Kwh y y 10' 463 Kwh, Cálculo de las desvacoes típcas: E la tercera fla hemos calculado los cuadrados de los valores de la prmera varable y los utlzamos para calcular la varaza: s N x 1 x N x x Recuerda 1 sx x : N N 131' 10'5 41' 14'8 19'5 11'9 18 8'6 5'7 15'9 11' 6'8 14' 8' '6 9'7 141'5 10'9 10'9 ' E la cuarta fla los cuadrados de los valores de la seguda varable y calculamos su varaza: s N y 1 y N y 8 '5 14'3 4'7 4 '3 6'4 3'6 9' 13'5 1'4 7'6 1'8 10'3 16'5 1'4 10'9 150'48 10'5 10'5 41' La desvacó típca es la raíz cuadrada de la varaza, por tato: s ' 16 4'71 y x s y 41'01 6'4

28 45 Cálculo del coefcete de correlacó: Para calcular el coefcete de correlacó calculamos e la quta fla los productos de la varable x por la varable y. Así, = N ( x y ) 1 Queremos calcula el térmo:. N Al sumar esa fla obteemos 1401, que dvdmos etre 16, le restamos el producto de las medas y dvdmos por el producto de las desvacoes típcas: N ( x y ) 1 x y N s s x y 1401' (10'9 10'5) 16 4'71 6'4 6'78 4'71 6'4 0'887 Este coefcete de correlacó egatvo y cercao a 1 os dca que la relacó etre las dos varables es egatva y bastate mportate. Actvdades propuestas 0. María ha calculado los coefcetes de correlacó de las tres ubes de putos adjutas, y ha obtedo: 0,05, 0,98 y 0,99, pero ahora o recuerda cuál es de cada ua. Puedes ayudarla a decdr qué coefcete correspode co cada ube? A B C Haz ua ecuesta etre tus compañeros de clase. Co ella vas a realzar u trabajo de vestgacó y presetar u forme. Elge co cudado las pregutas. Vas a pregutar a cada uo de tus compañeros seleccoados, la muestra, dos pregutas, como por ejemplo lo que mde su mao y su ota e legua, pero a t puede teresarte otras cuestoes muy dsttas. a. Lo prmero que vas a hacer es tabular las respuestas y cofeccoar dos tablas de frecuecas absolutas. Luego completa esas msmas tablas co las frecuecas relatvas y las frecuecas acumuladas. Haz represetacoes gráfcas de esas frecuecas: de barras, de líeas, de sectores. b. Calcula las medas, modas y medaas así como recorrdo, desvacó típca, cuartles, tervalo tercuartílco Represeta los datos e ua tabla de doble etrada y dbuja la ube de putos. Calcula el coefcete de correlacó. Preseta u forme de este trabajo.

29 46 3. AZAR Y PROBABILIDAD 3.1. Expermeto aleatoro y suceso U feómeo o expermeto aleatoro es aquel que, mateedo las msmas codcoes e la expereca, o se puede predecr el resultado. So expermetos aleatoros: a) Lazar ua moeda y aotar s sale cara o cruz. b) Lazar u dado y aotar el úmero de la cara superor. c) Lazar dos dados o dos moedas. d) S e ua ura hay bolas blacas y rojas, sacar ua al azar y aotar el color. e) Sacar ua carta de ua baraja. f) Sacar, s reemplazameto, dos cartas de la baraja. g) Abrr u lbro y aotar la pága por la que se ha aberto. S embargo, calcular el coste de ua mercacía, sabedo el peso y el preco por kg, o es u expermeto aleatoro. Tampoco lo es calcular el coste del recbo de la luz sabedo el gasto. No so expermetos aleatoros a) Salr a la calle s paraguas cuado llueve y ver s te mojas. b) El preco de medo klo de rosqullas s las rosqullas cuesta a 3 el klo. c) Soltar u objeto y ver s cae. Actvdades propuestas. Idca s so, o o, feómeos aleatoros: a) La superfce de las comudades autóomas españolas. b) Aotar el sexo del próxmo bebé acdo e ua clíca determada. c) El área de u cuadrado del que se cooce el lado. d) Trar tres dados y aotar la suma de los valores obtedos. e) Saber s el próxmo año es bsesto.

30 47 Al realzar u expermeto aleatoro exste varos posbles resultados o sucesos posbles. Al realzar u expermeto aleatoro sempre se obtedrá uo de los posbles resultados. Se llama suceso elemetal a cada uo de los posbles resultados de u expermeto aleatoro. El cojuto de los posbles resultados de u expermeto aleatoro se deoma espaco muestral. U suceso es u subcojuto del cojuto de posbles resultados, es decr, del espaco muestral. Actvdad resuelta Por ejemplo los posbles resultados al trar ua moeda so que salga cara o salga cruz. El cojuto de sucesos elemetales es {cara, cruz}. El cojuto de posbles resultados de los expermetos aleatoros sguetes: a) Extraer ua bola de ua bolsa co 9 bolas blacas y 7 egras es {blaca, egra}. b) Sacar ua carta de ua baraja española es {AO, O, 3O,, SO, CO, RO, AC,, RC, AB,, RB, AE,, RE }. c) Trar dos moedas es: {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara), (cruz, cruz)}. Al lazar u dado, el cojuto de posbles resultados es {1,, 3, 4, 5, 6}, el suceso obteer par es {, 4, 6}, el suceso obteer mpar es {1, 3, 5}, el suceso obteer múltplo de 3 es {3, 6}, sacar u úmero meor que 3 es {1, }. Al lazar dos moedas el cojuto de posbles resultados es {(C, C), (C, +), (+, C), (+, +)}. El suceso sacar cero caras es {(+, +)}, sacar ua cara es {(C, +), (+, C)} y sacar dos caras {(C, C)}. Actvdades propuestas 3. Escrbe el cojuto de posbles resultados del expermeto aleatoro: Escrbr e cco tarjetas cada ua de las vocales y sacar ua al azar. 4. Escrbe el cojuto de posbles resultados del expermeto aleatoro: Trar ua chcheta y aotar s cae de puta o o. 5. Iveta dos sucesos del expermeto aleatoro: Trar dos moedas. 6. E el juego de lotería, dca dos sucesos respecto a la cfra de las udades del prmer premo. 7. Escrbe tres sucesos aleatoros del expermeto aleatoro sacar ua carta de ua baraja española.

31 Frecueca y probabldad No vamos a defr probabldad, pues exste varas defcoes posbles. Exste ua axomátca debda a Kolmogorov relatvamete recete (1930), pero ates ya se había sdo usado este cocepto por ejemplo por Fermat y Pascal e el sglo XVII que se escrbero cartas reflexoado sobre lo que ocurría e los juegos de azar. Cuado o compredía cómo asgar ua determada probabldad, jugaba muchas veces al juego que fuese y veía a qué valor se aproxmaba las frecuecas relatvas. Así, la probabldad de u suceso podría defrse como el límte al que tede las frecuecas relatvas de ese suceso cuado el úmero de expermetos es muy alto. Por tato: Para calcular probabldades se usa dos téccas, ua expermetal, aalzado las frecuecas relatvas de que ocurra el suceso, y la otra por smetría, cuado se sabe que los sucesos elemetales so equprobables, es decr, que todos ellos tee la msma probabldad, etoces se dvde el úmero de casos favorables por el úmero de casos posbles. Esto últmo, cuado se puede usar, smplfca la forma de asgar probabldades y se cooce como Regla de Laplace que dce que: S los sucesos elemetales so equprobables, la probabldad de u suceso es el úmero de casos favorables dvddo por el úmero de casos posbles. Actvdad resuelta La probabldad de que salga cara al trar ua moeda es 1/, pues sólo hay dos casos posbles {cara, cruz}, u úco caso favorable, cara, y supoemos que la moeda o está trucada. S sospecháramos que la moeda estuvera trucada para asgar esa probabldad habría que trar la moeda u motó de veces para observar haca qué valor se acerca la frecueca relatva de obteer cara. La probabldad de sacar u 5 al trar u dado es 1/6 pues hay ses casos posbles {1,, 3, 4, 5, 6}, u úco caso favorable, 5, y supoemos que el dado o está trucado, luego todos ellos so equprobables. La probabldad de que al cruzar la calle te plle u coche NO es 1/, auque sólo hay dos casos posbles, que te plle el coche y que o te plle, pues ya te habría pllado u motó de veces. Para calcular esa probabldad se recoge datos de peatoes atropellados y se calcula utlzado las frecuecas relatvas. La probabldad de sacar ua bola roja de ua bolsa co 7 bolas rojas y 3 bolas blacas es 7/10. La probabldad de que u bebé sea ña es aproxmadamete 0,5, pero al hacer el estudo co las frecuecas relatvas se ha vsto que es 0,49. S cosderamos ua baraja española de 40 cartas y elegmos ua carta, alguos de los sucesos que puede ocurrr so sacar u oro, o sacar u as, o sacar el caballo de copas Como de atemao o sabemos lo que va a ocurrr decmos que estos sucesos so aleatoros o de azar. Ates de sacar gua carta todas ellas so gualmete factbles, y como puede salr ua cualquera de las 40 cartas decmos que la probabldad, de por ejemplo, sacar el caballo de copas es 1/40, la de sacar u oro es 10/40, y la de u as es 4/40. Cuál es la probabldad de sacar el rey de copas? Y de sacar u rey? Y ua copa? La probabldad de sacar el as de copas es 1/40. Pero el suceso sacar u as se cumple s sale el as de oros, o de copas, o de bastos o de espadas. Es decr, o es u suceso smple, está formado, e este caso por 4 sucesos elemetales, luego su probabldad es 4/40 = 1/10. Lo msmo le ocurre a sacar ua copa. Es u suceso compuesto, y como hay 10 copas su probabldad es 10/40 = 1/4. Actvdades propuestas 8. Calcula la probabldad de que al sacar ua carta de la baraja sea ua espada. 9. Para saber la probabldad de que u recé acdo sea zurdo, te basarías e el estudo de las frecuecas relatvas o la asgarías por smetría?

32 Asgacó de probabldades Suceso cotraro Actvdades resueltas Cuál es la probabldad de sacar u as e la baraja de 40 cartas? Y de o sacar u as? Y de sacar ua copa? Y de o sacar ua copa? El suceso o sacar u as es el suceso cotraro al de sacar u as. Cartas que o so ases hay 36, luego la probabldad de o sacar as es 36/40 = 9/10. Observa que se obtee que p(as) + p(o as) = 1/10 + 9/10 = 10/10 = 1. La probabldad de sacar copa es 10/40, y hay 30 cartas que o so copas, luego la probabldad de o sacar copa es 30/40, y 10/ /40 = 1. S desgamos por p(x) a la probabldad de u suceso X y por p(ox) a la probabldad de su suceso cotraro resulta que: p(x) + p(ox) = 1. La probabldad de u suceso más la probabldad de su suceso cotraro es gual a 1. Actvdades propuestas 30. Cuál es la probabldad de o sacar u 5 al trar u dado? Y de o sacar u múltplo de 3? Y de o sacar u úmero meor que? 31. Al trar ua moeda dos veces, cuál es la probabldad de o sacar gua cara? Y de sacar al meos ua cara? Observa que sacar al meos ua cara es el suceso cotraro de o sacar gua cara. Sucesos depedetes e depedetes Ejemplo: Teemos ua bolsa co 3 bolas rojas y bolas egras. Cuál es la probabldad de sacar ua bola roja? S sacamos dos bolas, cuál es la probabldad de sacar dos bolas rojas? La probabldad de sacar ua bola roja es 3/5. Pero la de sacar dos bolas rojas, depede! Depede de s volvemos a meter e la bolsa la prmera bola roja, o s la dejamos fuera. E el prmer caso decmos que es co reemplazameto y e el segudo, s reemplazameto. S la volvemos a meter, la probabldad de sacar bola roja volverá a ser 3/5, y la probabldad de sacar dos bolas rojas es 3/5 3/5 = 9/5. La probabldad de esta seguda bola o depede de lo que ya hayamos sacado, y e este caso la probabldad se obtee multplcado. S los sucesos A y B so depedetes: p(a y B) = p(a) p(b). Pero s la dejamos fuera, ahora e la bolsa sólo hay 4 bolas y de ellas sólo queda bolas rojas, luego la

33 50 probabldad de que esa seguda bola sea roja es /4, y está codcoada por lo que ates hayamos sacado. Se escrbe: p(roja/roja) y se lee probabldad de roja codcoado a haber sacado roja. La probabldad de sacar dos bolas rojas es ahora: 3/5 /4 = 6/0 = 3/10. Observa el dagrama de árbol y comprueba que la probabldad de sacar prmero ua bola roja y luego ua bola egra (o roja) es 3/5 /4 = 3/10 pues después de sacar ua bola roja e la bolsa queda sólo 4 bolas y de ellas so egras. La probabldad de sacar prmero ua bola egra y luego bola roja es /5 3/4 = 6/0 = 3/10, y la de sacar dos bolas egras es: /5 1/4 = /0 = 1/10. Pero observa más cosas. Por ejemplo, 3/5 + /5 = 1; /4 + /4 = 1; 3/4 + 1/4 = 1; 3/10 + 3/10 + 3/10 + 1/10 = 1. Los sucesos o so depedetes. El que ocurra A, o o ocurra A, afecta a la probabldad de B. Por eso se dce que B está codcoado a A. S los sucesos A y B so depedetes etoces: p(a y B) = p(a) p(b/a) Actvdades resueltas Sacamos dos cartas de ua baraja de 40 cartas s reemplazameto. Cuál es la probabldad de sacar dos ases? S fuera co reemplazameto la probabldad sería 4/40 4/40, pero al ser s reemplazameto la probabldad del segudo as vee codcoada por que hayamos sacado u as prevamete. Ahora e la baraja ya o queda 40 cartas so 39, y o queda 4 ases so sólo 3, luego la probabldad es: Observa que: 4/40 3/39 = 1/130. S dos sucesos so depedetes etoces: p(b/a) p(b). Pero s dos sucesos so depedetes etoces: p(b/a) = p(b/oa) = p(b). Actvdades propuestas 3. E tu cuadero haz u dagrama e árbol smlar al ateror co los sucesos A y B: A = sacar u as e la prmera extraccó (oa = o sacarlo), y B = sacar u as e la seguda extraccó (o B = o sacarlo). Cuál es la probabldad de sacar as e la seguda extraccó codcoado a o haberlo sacado e la prmera? Y la de o sacar as e la seguda extraccó codcoado a o haberlo sacado e la prmera? Cuál es la probabldad de sacar dos ases? Y la de sacar u solo as? 33. E el dagrama de árbol ateror dca cual es la probabldad de o sale ases y la de o sale gú as. 34. E el expermeto sacar tres cartas segudas, cuál es la probabldad de sacar tres ases? Prmero co reemplazo, y luego s reemplazo. 35. Al trar dos veces u dado calcula la probabldad de que salga u ses doble. 36. Al trar dos veces u dado calcula la probabldad de sacar al meos u 6. Ayuda: Quzás te sea más fácl calcular la probabldad de o sacar gú 6, y utlzar el suceso cotraro.

34 51 Sucesos compatbles e compatbles Ejemplo: Cuál es la probabldad de, e ua baraja de 40 cartas, sacar ua copa o u oro? Hay 10 copas y 10 oros, y gua carta es a la vez copa y oro, luego la probabldad es 0/40. Cuál es la probabldad de, e ua baraja de 40 cartas, sacar u as o u oro? Hay 4 ases y hay 10 oros, pero hay el as de oros, luego las cartas que so o be u as o be u oro so 13, luego la probabldad es 13/40. Llamamos sucesos compatbles a los que, como copa y oro, o puede realzarse a la vez, y sucesos compatbles a los que, como as y oro, puede realzarse a la vez. Desgamos p(a o B) a la probabldad del suceso se verfca A o be se verfca B. Hemos vsto e el ejemplo que s los sucesos so compatbles su probabldad es gual a la suma de las probabldades. P(A o B) = p(a) + p(b), s A y B so compatbles. Pero s A y B s puede verfcarse a la vez habrá que restar esos casos, esas veces e que se verfca A y B a la vez. P(A o B) = p(a) + p(b) p(a y B), s A y B so compatbles. Esta seguda expresó es más geeral que la prmera, ya que e el caso e que A y B so compatbles etoces p(a y B) = 0. Resume: Actvdades resueltas Suceso cotraro: p(x) + p(ox) = 1. Calcula la probabldad de los Sucesos depedetes: p(a y B) = p(a) p(b/a). sucesos sguetes: a) Sacar u rey o ua fgura; b) No sale u rey o Sucesos compatbles: P(A o B) = p(a) + p(b) p(a y B). sale u rey; c) Sacar u basto o ua fgura. a) Hay 4 reyes y hay 4 4 = 16 fguras (as, sota, caballo y rey), pero los cuatro reyes so fguras, por tato p(rey o Fgura) = 4/ /40 4/40 = 16/40 = 0,4. b) Hay 40 4 = 36 cartas que o so reyes, y hay 4 reyes, luego p(o rey o rey) = 36/40 + 4/40 = 1. Esta coclusó es más geeral. Sempre: p(oa o A) = 1, pues u suceso y su cotraro ya vmos que verfcaba que p(a) + p(oa) = 1. c) Hay 10 bastos y hay 1 fguras, pero hay 4 fguras que so a la vez bastos (as, sota, caballo y rey), luego p(basto o Fgura) = 10/ /40 4/40 = /40 = 11/0. Actvdades propuestas 37. Lazamos dos dados que o esté trucados y aotamos los úmeros de su cara superor. Cosderamos el suceso A que la suma de las dos caras sea 8, y el suceso B que esos úmeros dfera e dos udades. a) Comprueba que p(a) = 5/36 ( + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + ) y que p(b) = 8/36 ((1,3), (, 4), ). b) Calcula las probabldades de: p(a y B); p(a o B); p(a y ob); p(oa y B); p(oa y ob). c) Calcula p(a/b); p(a/ob); p(oa/b).

35 Experecas compuestas: tablas de cotgeca y dagramas de árbol Dagramas de árbol Ejemplo: Se hace u estudo sobre los cedos y se comprueba que e ua determada zoa el 70 % de los cedos so tecoados, u 5 % se debe a eglgecas y 5 % a causas aturales como rayos o a otras causas. Represeta esta stuacó co u dagrama de árbol. Actvdades resueltas S cosderamos que la probabldad de que u cedo sea tecoado es 0,7, cuál es la probabldad de que al cosderar dos cedos, al meos uo haya sdo tecoado? Llamamos I al suceso ser tecoado y oi al suceso o ser tecoado. Represetamos la stuacó e u dagrama de árbol. Como el que u cedo sea tecoado es depedete de cómo sea el segudo, teemos que: P(I y I) = 0,7 0,7 = 0,49 P(I y oi) = 0,7 0,3 = 0,1 ya que es la probabldad de que el prmer cedo sea tecoado y el segudo o. P(oI y I) = 0,3 0,7 = 0,1 P(oI y oi) = 0,3 0,3 = 0,09 La probabldad de que al meos uo haya sdo tecoado la podemos calcular sumado las probabldades de (I y I), (I y oi), y (oi y I) que es 0,49 + 0,1 + 0,1 = 0,91. Pero más secllo es calcular la probabldad del suceso cotraro p(oi y oi) = 0,09 y restarla de 1: p(al meos uo tecoado) = 1 0,09 = 0,91. Actvdades propuestas 38. Dbuja e tu cuadero u dagrama e árbol para tres cedos, y calcula la probabldad de que al meos uo haya sdo tecoado sedo p(i) = 0, E ua aeroave se ha stalado tres dspostvos de segurdad: A, B y C. S falla A se poe B e fucoameto, y s també falla B empeza a fucoar C. Las probabldades de que fucoe correctamete cada dspostvo so: p(a) = 0,95; p(b) = 0,97 y p(c) = 0,98. a) Calcula la probabldad de que falle los tres dspostvos. b) Calcula la probabldad de que todo vaya be. 40. Ua fábrca de muñecas desecha ormalmete el 0,5 % de su produccó por fallos debdos al azar. Calcula la probabldad de que: a) Al coger dos muñecas al azar haya que desechar ambas. b) Al coger dos muñecas al azar haya que desechar sólo ua. c) Al coger dos muñecas al azar o haya que desechar gua d) Verfcamos 4 muñecas, calcula la probabldad de desechar úcamete la tercera muñeca elegda. 41. Lazamos ua moeda hasta que aparezca dos veces segudas del msmo lado. Calcula las probabldades de que: A) La expereca terme al segudo lazameto. B) Terme al tercer lazameto. C) Terme e el cuarto. D) Terme a lo sumo e el cuarto lazameto (es decr, que terme e el segudo o e el tercero o e el cuarto lazameto).

36 53 Tablas de cotgeca Ejemplo: Se ha estudado 500 efermos del hígado aalzado por u procedmeto uevo s las lesoes so begas o malgas. Luego se les volvó a aalzar por el procedmeto usual determado qué dagóstcos había sdo correctos y cuáles correctos. Los valores obtedos se represeta e la tabla: Dagóstco correcto Dagóstco correcto Totales Lesó malga Lesó bega Totales Determamos la tabla de frecuecas relatvas: Dagóstco correcto (C) Dagóstco correcto (I) Totales Lesó malga (M) 0,41 0,04 0,436 Lesó bega (B) 0,536 0,08 0,564 Totales 0,948 0,05 1 Actvdades resueltas Imaga que estas frecuecas relatvas pudera tomarse como probabldades. Iterpretamos etoces el sgfcado de cada uo de estos valores. 0,41 sería la probabldad de que el dagóstco de lesó malga fuese correcto: p(m y C). 0,04 = p(m y I); 0,536 = p(b y C); 0,08 = p(b y I). Y 0,436? El úmero de lesoes malgas es 18, luego 0,436 = p(m). Del msmo modo: 0,564 = p(b); 0,948 = p(c); 0,05 = p(i). Observa que p(m) + p(b) = 1 y que p(c) + p(i) = 1. So sucesos cotraros. So depedetes o depedetes los sucesos M y C? Recuerda que p(m y C) = p(m) p(c/m), por tato: 0,41 = 0,436 p(c/m), de dode p(c/m) = 0,41/0,436 = 0,945 que es dstto de 0,948 que es la probabldad de C. Se puede afrmar que M y C so depedetes ya que p(c/m) p(c). E geeral se deoma tabla de cotgecas a: A No A B P(A y B) P(oA y B) P(B) No B P(A y ob) P(oA y ob) P(oB) P(A) P(oA) 1 E ua tabla de cotgeca fgura todas las probabldades o cotgecas de los sucesos compuestos.

37 54 Observa que, como sabemos por la probabldad del suceso cotraro: p(a) + p(oa) = 1 y p(b) + p(ob) = 1. Observa també que: p(a) = p(a y B) + p(a y o B), del msmo modo que p(b) = p(a y B) + p(oa y B) pues se obtee sumado respectvamete la prmera columa y la prmera fla. També: p(oa) = p(oa y B) + p(oa y o B) y p(ob) = p(a y ob) + p(oa y ob). Actvdades propuestas 4. Se ha hecho u estudo estadístco sobre accdetes de tráfco y se ha determado las sguetes probabldades reflejadas e la tabla de cotgeca: Accdete e carretera (C) Accdete e zoa urbaa (U) Totales Accdete co víctmas (V) 0,7 0,56 Accdete co sólo daños materales (M) Totales 0,58 1 a) Copa la tabla e tu cuadero y complétala. b) Determa las sguetes probabldades: p(v y C); p(v y U); p(m y C); p(m y U); p(v); p(m); p(c) y p(u). c) Calcula p(u/v); p(c/v); p(v/u); p(v/c). So depedetes o depedetes los sucesos: accdete co víctmas y accdete e carretera? 43. Iveta ua tabla de cotgeca cosderado que los accdetes pueda ser de carretera (C) o urbaos (U), pero que ahora los clasfcamos e leves (L), graves (G) o mortales (M). Observa que lo fudametal para cofeccoar la tabla es que los sucesos sea compatbles dos a dos.

38 55 Dagramas de árbol y tablas de cotgeca Los dagramas de árbol y las tablas de cotgeca está relacoados. Dado u árbol puedes obteer la tabla de cotgeca, y vceversa. Tee terés esta relacó pues co los datos del problema a veces es más secllo costrur uo de ellos y dar la solucó pasado al otro. Actvdades resueltas Dada la tabla de cotgeca, obteer el dagrama de árbol que comeza co A y oa. A No A B /9 5/9 7/9 No B 1/9 1/9 /9 3/9 = 1/3 6/9 = /3 1 Coocemos la p(a) = 3/9 = 1/3, p(oa) = 6/9 = /3, p(b) = 7/9 y p(ob) = /9. També coocemos p(a y B) = /9; p(a y ob) =1/9; p(oa y B) = 5/9 y p(oa y o B) = 1/9. Nos falta coocer p(b/a) que podemos obteer dvdedo p(a y B) etre p(a): p(b/a) = p(a y B)/p(A) = /9 : 3/9 = /3. Del msmo modo calculamos: p(ob/a) = p(a y ob)/p(a) = 1/9 : 3/9 = 1/3 p(b/oa) = p(oa y B)/p(oA) = 5/9 : 6/9 = 5/6 p(ob/oa) = p(oa y ob)/p(oa) = 1/9 : 6/9 = 1/6. El árbol es:

39 56 Actvdades resueltas Recíprocamete, dado el dagrama de árbol obteer el dagrama de cotgeca: Ahora coocemos p(a) = 0,3 y p(oa) = 0,7. Además coocemos p(b/a) = 1/3; p(b/oa) = 6/7; p(ob/a) = /3 y p(ob/oa) = 1/7. Calculamos, multplcado: p(a y B) = 0,3 (1/3) = 0,1; p(a y ob) = 0,3 (/3) = 0,; p(oa y B) = 0,7 (6/7) = 0,6 y p(oa y ob) = 0,7 (1/7) = 0,1 que poemos també e el árbol. Relleamos co estos datos, ua tabla de cotgeca: A No A B 0,1 0,6 No B 0, 0,1 0,3 0,7 1 Calculamos, sumado, las casllas que os falta, p(b) = 0,1 + 0,6 = 0,7 y p(ob) = 0, + 0,1 = 0,3. A No A B 0,1 0,6 0,7 No B 0, 0,1 0,3 0,3 0,7 1 Puede ser muy teresate pasar de u dagrama de árbol a la tabla de cotgeca y de ésta, al otro dagrama de árbol, co el que podemos coocer p(a/b) = 0,1/0,7 = 1/7; p(oa/b) = 0,/0,7 = /7; p(a/ob) = 0,3/0,6 = 3/6 = 1/ y p(oa/ob) = 0,1/0,3 = 1/3.

40 57 Actvdades propuestas 44. Dada la tabla de cotgeca, costruye dos dagramas de árbol. A No A B 0,4 0, 0,6 No B 0,15 0,5 0,4 0,55 0, Dado el dagrama de árbol, costruye la tabla de cotgeca, y después el otro dagrama de árbol. 46. Teemos dos uras, A y B. La prmera co 8 bolas blacas y bolas egras. La seguda co 4 bolas blacas y 6 bolas egras. Se saca ua bola al azar, de ua de las dos uras, també al azar y resulta ser egra. Cuál es la probabldad de que proceda de la ura A? 47. Se está estudado u tratameto co u uevo medcameto, para lo que se seleccoa 100 efermos. A 60 se les trata co el medcameto y a 40 co u placebo. Los valores obtedos se represeta e la tabla adjuta Medcameto (M) Placebo (o M) Curados (C) No curados (o C) Se utlza esos valores para asgar probabldades. Calcula: a) La probabldad de que u efermo curado haya sdo tratado co el medcameto. Ayuda: p(m/c) b) La probabldad de que u efermo curado haya sdo tratado co el placebo. Ayuda: p(om/c).

41 58 CURIOSIDADES Y REVISTA Estadístca El ombre de Estadístca provee del s. XIX, s embargo ya se utlzaba represetacoes gráfcas y otras meddas e peles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para cotrolar el úmero de persoas, amales o certas mercacías desde la Prehstora. Los babloos usaba ya evases de arclla para recoplar datos sobre la produccó agrícola. Los egpcos aalzaba los datos de la poblacó y la reta del país mucho ates de costrur las prámdes. Los atguos gregos realzaba cesos cuya formacó se utlzaba haca 600 ac. El co de la Teoría de la Probabldad, como sabes, fuero los juegos de azar. Caballero de la Meré Al Caballero de la Meré le gustaba jugar y era u gra jugador, por eso sabía que era favorable apostar, al trar u dado sacar al meos u 6 e 4 tradas de u dado y que o lo era al trar dos dados el sacar al meos u 6 doble e 4 jugadas. Se ve que había jugado mucho para saber que las frecuecas relatvas le decía que el prmer suceso teía ua probabldad superor a 0,5, y el segudo la teía feror. Pero o lo compredía. No era matemátco y sólo se sabía la regla de tres. Esto o es ua proporcoaldad! Djo 6 : 4 = 36 : 4. Pero las frecuecas relatvas le decía que o era así, por lo que escrbó a Pascal para que le solucoara el problema. Tu ya sabes lo sufcete para solucoárselo. Ates de segur leyedo, teta resolverlo. E lugar de calcular la probabldad de sacar al meos u 6 e 4 tradas, calcula la probabldad de o sacar u 6, 5 que es su suceso cotraro, y es. Por tato la 6 probabldad de sacar al meos u 6 e 4 tradas es: = 0,5177 > 0,5. 6 Calculamos del msmo modo la probabldad de sacar al meos u ses doble al trar dos dados 4 veces, calculado la de su suceso cotraro, la de o sacar 4 35 gú ses doble:, por lo que sacar al meos u 6 36 doble es: = 0,4914 < 0,5. 36 Cuáto debó de jugar el Caballero de la Meré para darse cueta de esa pequeña dfereca e las probabldades!

42 59 S queres saber más, busca: ca.org/msc34/caballero.pdfhttp: // g/msc34/caballero.pdf Galleo, E el sglo XVI plateó el sguete problema: Al trar tres dados, por qué es más probable obteer que la suma de las caras superores sea 10, que sea 9? Cotuaba la reflexó co las posbles descomposcoes e esas sumas: 9 = = = = = = = = = = = = E ambos casos hay 6 descomposcoes posbles, s embargo, trado muchas veces los 3 dados comprobaba que es más probable sacar u 10. S haces u dagrama e árbol comprobarás que todas esas descomposcoes o so gualmete probables. Por ejemplo: (3, 3, 3) tee ua probabldad de 1/16, metras que la suma 6 + +, puede salr co tres sucesos (6,, ), (, 6, ) y (,, 6), luego su probabldad es 3/16. Calcula las probabldades de cada ua de las sumas y la de sacar 10 y de sacar 9. La ruleta Wllam Jaggers llegó a Motecarlo co uos pocos fracos e el bolsllo y, durate u mes aotó los úmeros que salía e cada ruleta, y e cuatro días gaó dos mlloes cuatrocetos ml fracos. Jaggers cosguó quebrar a la baca e Motecarlo aalzado las frecuecas relatvas de cada úmero de la ruleta y observado que se había desgastado algo del mecasmo de ua de ellas, co lo que todos los valores o teía gual probabldad. Apostó a los úmeros más probables y gaó.