ENERGÍA DE ENLACE DEL ESTADO BASE DE UNA IMPURE- ZA DONADORA D 0 EN UN NANOTUBO CUÁNTICO CON CAMPO MAGNÉTICO AXIAL Y DIFERENTES FORMAS DE POTENCIAL

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1 Revista Colombiana de Física, vol.xx, No. x, xxxx ENERGÍA DE ENLACE DEL ESTADO BASE DE UNA IMPURE- ZA DONADORA D EN UN NANOTUBO CUÁNTICO CON CAMPO MAGNÉTICO AXIAL Y DIFERENTES FORMAS DE POTENCIAL J. D. González, F.J. Rondano, J. Barba-Ortega Grupo en Teoría de la Materia Condensada, Universidad del Magdalena, Santa Marta-Colombia Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia Sede Bogotá. Recibido XXXX; Aceptado XXXX; Publicado en línea XXXX Resumen Usando el Método de Dimensión Fractal calculamos la energía de enlace para el estado base de una impureza donadora D en un nanotubo cilíndrico de GaAs/GaAlAs en presencia de un campo magnético uniforme aplicado a lo largo del eje de simetría. Analizamos el efecto dos pozos de potencial en la energía. La función de onda utilizada en este método variacional se expresa como un producto de la combinación de funciones s y p x,y y una función envolvente que depende de la separación entre ión y electrón. Los resultados obtenidos para la energía de enlace en función de la posición de la impureza, fueron obtenidos para diferentes formas y alturas del potencial de confinamiento, estos muestran picos adicionales debido a la presencia de una barrera de potencial adicional. Encontramos que el campo magnético incrementa la energía de enlace para posiciones de la impureza cerca del eje de simetría, mientras que esta disminuye para el caso opuesto. Palabras claves: Nanotubo, Impureza Donadora, Mezcla de sub-bandas, Campo Magnético, Doble pozo. Abstract Using the fractal dimension method we calculate the ground state energy for an off-axis neutral donor in GaAs/GaAlAs cylindrical nanotube in the presence of a uniform magnetic field applied along of the symmetry axis. We analyze the effect of two quantum well on the energy. To take into account the mixing of the low lying subbands, we express the wave function as a product of combination of s and p x,y wave functions with an unknown envelope function that depends only on electron-ion separation. Curves of the D ground state binding energies as a function of the donor distance from axis for soft potential shapes and potential heights that shown an additional peak, which is due to the presence of the additional barrier. Also it is found that the magnetic field enhances binding energies of donors located close to the axes whereas for donors located far from the axis the effect of the magnetic field on the binding energy is opposite. Keywords: Nanotub, Donor Impurity, Subband Mixing, Magnetic Field, Two Quantum well.

2 J. D. González. et al.: Energía De Enlace Del Estado Base De Una Impureza Donadora D En Un Nanotubo Cuántico Con Campo Magnético Axial Y Diferentes Formas De Potencial 9 Revista Colombiana de Física. Todos los derechos reservados.. Introducción En las dos últimas décadas, ha crecido el interés por el estudio de las propiedades físicas de los sistemas de baja dimensionalidad y en particular de los hilos cuánticos y nanotubos cilíndricos. Extensas investigaciones teóricas acerca del comportamiento de las impurezas poco profundas en hilos cuánticos y nanotubos han sido desarrolladas utilizando una función de prueba tipo Bastard [,6]. Los nanotubos son hilos cuánticos con un centro repulsivo alrededor del eje de simetría del nanotubo, el confinamiento adicional en el centro del nanotubo genera una situación similar al doble pozo. Donde la mezcla de subbandas juega un papel importante en la correcta determinación de la energía de enlace en un doble pozo cuántico. En trabajos de investigación previos se ha demostrado la relevancia del efecto de la mezcla de subbandas del electrón libre en un nanotubo []. En este trabajo se analizó el estado base de una impureza donadora en un nanotubo cilíndrico de GaAs/GaAlAs con un doble pozo y diferentes formas de potencial de confinamiento en presencia de un campo magnético uniforme aplicado a lo largo del eje de simetría. Nanotubos con esta configuración son generados y estudiados experimentalmente, siendo principalmente analizadas las propiedades de fotoluminiscencia en estas heteroestructuras [3]. Usando el método de Dimensión Fractal [] encontramos la ecuación diferencial unidimensional para la función de onda envolvente, que posteriormente es resuelta numéricamente.. Modelo Teórico Despreciando las diferencias entre los parámetros correspondientes a la constante dieléctrica y masa efectiva del electrón m en los materiales que componen el pozo y la barrera de potencial. El Hamiltoniano para el electrón y la impureza en presencia de un campo magnético aplicado en dirección axial, puede ser escrito como se muestra a continuación respectivamente: H ) i ; H V ( H () - r - Las unidades utilizadas para las longitudes es el radio de Bohr efectivo a, Rydberg R para la energía y la y intensidad del campo magnético en el primer nivel de Landau eb / m cry. Para calcular la energía de enlace del estado base es utilizada una función de de prueba como el producto de la combinación lineal de las funciones de onda del electrón libre s y p x,y con una función unidimensional arbitraria r : f s f p r ( () Donde es un parámetro variacional que toma valores ( ) y provee el grado de la mezcla entre las subbandas. Para se puede ver que no existe mezcla y la función de prueba se hace igual a la función de prueba de Bastard. La ecuación de onda para el electrón libre es separable y es representada por H f ( E f (, mientras la función de onda puede ser escrita como sigue: ikz im f ( e e g( ) Donde es el momento angular en dirección z, k es el número de onda correspondiente al movimiento libre en la dirección z ( k ) y g(p) al problema unidimensional de valores en la frontera g ( ) g( ) g( ), m E m k V ( ), g() ; g( ) El método de Barrido Trigonométrico [5] es utilizado para la solución numérica de la ecuación (). (3) ()

3 rev. col. fís.(c), vol., No., () El modelo utilizado para el potencial de confinamiento está dado por la concentración de aluminio que define la altura de la barrera, así como el ancho de la región de transición suavidada por la función de Heaviside modificada: ( z, z, W ) ; z W z z ( z z) / W ; ; z z W z z El perfil del potencial de confinamiento está dado por la ecuación V ( ) V (, R V (, R 3 3, W ) V (, R, W ) V (, R, W ), W ) (5) (6) Fig. b Función de onda de los dos niveles más bajos, s and p de un electrón en un nanotubo cilíndrico con doble pozo de potencial, bajo la influencia de un campo magnético. A partir del principio variacional y usando el método descrito en el artículo (I. D. Mikhailov et al.,, 3), podemos obtener la siguiente ecuación de Euler-Lagrange para la función de correlación: Donde R, R, R3, R y V, V, V3, V representan los radios y alturas de la barrera del doble pozo respectivamente, y W es el parámetro relacionado con el ancho de la región de transición Fig.. d d ( ~ J( E( E( D ) J( dr dr r (7a) Donde E( D ) representa la energía de la impureza donadora, J ( es la parte radial del Jacobiano y ~ E ( r ) es la energía del electrón libre, dada por las siguientes expresiones: J ( r ~ E( r i, k, i, k, ik ik ( i k ) / ( i k ) / P (, ik E (, i) P ( / J ( ik (7b) Fig. a. Esquematización de un nanotubo con la inclusión de un core y cilindro hueco de Ga -xal xas coaxiales embebidos en la región con GaAs. 6 5 V=V=Ry V=V3=Ry R=a,R=a,R3=3a,R=a P ( ik r ~ g ik, ( ~ ) g ik, sin sin / ~ ~ i ( ) r sin r sin cos k sindd ; i, k, / (7c) V()/Ry 3 W=.3a, =G 3 W=.a, =G W=.a, =

4 J. D. González. et al.: Energía De Enlace Del Estado Base De Una Impureza Donadora D En Un Nanotubo Cuántico Con Campo Magnético Axial Y Diferentes Formas De Potencial Donde es la distancia desde el eje de simetría a la posición de la donadora y las funciones g ) y ) (, r (, r son encontradas, las funciones P i, k (, ( i,k,) y J ( pueden ser fácilmente calculadas a partir de la ecuación (7b). Finalmente para definir la energía de la donadora resolvemos la ecuación de onda.7(a) a partir de método de barrido trigonométrico. g Fig. b,8,6 = =G =G Wbar=.3a Vint=Vext=R 3. Resultados y Discusión En las figuras a, b, c. se muestra la variación de la energía de enlace de una donadora en función de la posición de la impureza, con la inclusión de un doble pozo, para diferentes perfiles de potencial W bar =.a,.a,.3a intensidades del campo magnético aplicado a lo largo del eje del nanotubo cilíndrico Podemos observar en las Fig. a, b, c que al incrementar la región de transición (.a,.a,.3a ) y la intensidad del campo magnético ( G, G, G) se produce un incremento de la energía, en el primer pozo los picos son mayores y donde se producen cambios en la energía de un % a 6%, debido a que el campo magnético produce un confinamiento adicional, generando que el electrón se encuentre más localizado en el primer pozo disminuyendo la distancia de separación ion-electrón para posiciones de la impureza cerca del eje de simetría del nanotubo, mientras E/Ry E/Ry,8,6,, Fig.a,8,8 = =G =G Wbar=.a Vint=Vext=R Vlayer=R =,6,6 =G =G Wbar=.a 3 Vint=Vext=R /a,,,8,6 Vlayer=R E/Ry,,,8,6, Fig.c Vlayer= R 3 /a Fig. a, b, c. Energía de enlace del estado base en función de la posición de la impureza donadora D sobre el eje del nanotubo cilíndrico con dos pozos de potencial para diferentes valores del campo magnético y perfil del potencial de confinamiento. que, en el segundo pozo hay una disminución en la energía entre un 5% a %, a medida que es incrementado el valor del campo magnético y la distancia de separación. Cabe resaltar que la posición de los picos coincide aproximadamente con el punto medio en cada pozo de potencial (primer pozo y segundo pozo ). Se muestra en las Fig. a,b,c el incremento del segundo pico a medida que aumentan los valores de la región de transición desde (.a,.a,.3a ), llegando a obtener una gran similitud en los máximos de ambos picos a pesar de elevar el valor del campo magnético, esto cuando es utilizado un valor de, debido al confinamiento adicional generado al modificar el perfil del potencial. E b /Ry,8,6,,,8 V=V=V3=V=Ry R=a,R=a, R3=3a,R=a Ancho Barrera Central=.5a =Gauss =Gauss =,8,6,,,8, 3 /a,6,6 3 /a

5 rev. col. fís.(c), vol., No., () g(e b ) Fig. 3a. =Gauss 5 =Gauss V=V=V3=V=Ry R=a,R=a, R3=3a,R=a Ancho de la Barrera Central=.5a estado base de una impureza donadora D en un nanotubo cilíndrico con un doble pozo de potencial GaAs/GaAlAs en presencia de un campo magnético uniforme aplicado a lo largo del eje de simetría. La función de onda utilizada en este método variacional propuso como un producto de la combinación de funciones s y p x,y y una función envolvente que depende de la separación entre ión y electrón. Los resultados para la energía de enlace en función de la posición de la impureza y la densidad de estados, se fueron obtenidos para diferentes formas e intensidades del campo magnético. La función de prueba utilizada presenta gran flexibilidad, y tiene la capacidad de registrar las variaciones que sufra el sistema en relación a la inclusión de un doble pozo de potencial con diferentes perfiles de potencial, alturas de la barrera y valores del campo magnético, para seguir minimizando la energía del mismo. Todos estos efectos quedan consignados en el jacobiano asociado al sistema; razón por la cual la estructura del método se mantiene invariante. Fig. 3b,6,8,,,6 E b /Ry Fig.3a. Energía del estado base en función del desplazamiento desde el eje de simetría del nanotubo de una impureza donadora con diferentes valores del campo magnético. Fig. 3b Densidad de estados de impureza como función de la energía de enlace. A partir de los resultados obtenidos de la energía de enlace de la donadora, se obtuvo las curvas correspondientes a la densidad de estados de impurezas en la heteroestructura propuesta. En este último, gracias al efecto producido por el doble pozo de potencial utilizado en este trabajo, es posible controlar los valores de la energía para el cual se presenta la singularidad de van-hove en la densidad de estados. Lo cual resulta muy atractivo si se desea analizar transiciones ópticas. Este comportamiento de la energía de enlace en la Fig. 3a se ve reflejado en las curvas de densidad de estados de impurezas en la Fig. 3b. El principal efecto que se observa en esta figura son los picos adicionales en los valores de la densidad en función de la energía debido a la presencia de dos pozos de potencial. Puede observarse estas singularidades cerca de las regiones de la derecha, izquierda y central en la gráfica. Estas singularidades son ocasionadas por la existencia de un mínimo o un máximo en la curva de energía donde la derivada de ( )/ d es igual a cero. Agradecimientos Este trabajo fue parcialmente financiado por FONCIEN- CIAS convocatoria interna, Universidad del Magdalena y la División de investigaciones, Universidad Nacional de Colombia (DIB Bogotá). 5. Referencias. Conclusiónes Usando el Método de Dimensión Fractal fue posible determinar la energía de enlace y la densidad de estado para el 5 [] A. Fereira da Silva (99); Physical Review B - Condensed Matter and Material Physics,, 68. [] F. J. Betancur, E. A. Orozco, J. D. Gonzalez and I. D. Mikhailov (5); Physica Status Solidi B, 833.

6 J. D. González. et al.: Energía De Enlace Del Estado Base De Una Impureza Donadora D En Un Nanotubo Cuántico Con Campo Magnético Axial Y Diferentes Formas De Potencial [3] K. Kubotaa, P.O. Vaccaroa, N. Ohtani, Y. Hiroseb, M. Hosodab,T.Aidaa (. Physica E [] I. D. Mikhailov, F. J. Betancur, R. Escorcia and J. Sierra-Ortega (), Physica Status Solidi B 3 (b), 59. (3). Physica Status Solidi B, 67, [5] F. J. Betancur, I. D. Mikhailov and L. E. Oliveira, (998).. Journal of Physics D: Applied Physics. 3, 339. [6] A. Latge, N.Porras-Montenegro and L. E. Oliveira (99, Physical Review B Condensed Matter and Material Physics, 5, 9. 6