1 Resolución de algunos ejemplos y ejercicios del tema 1.

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1 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 1 1 Resolución de algunos ejemplos y ejercicios del tema Ejemplos Ejemplo 1 Se han medido el grup sanguíneo de 40 individuos y se han observado las siguientes frecuencias absolutas para cada categoría: 12 para x 1 = A, 11 para x 2 = B, 8 para x 3 = AB y 9 para x 4 = O. a) De qué tipo es la variable estudiada? Construir la tabla de frecuencias correspondiente. b) Qué porcentaje de individuos son del grupo A? c) Qué porcentaje de individuos no son del grupo O? d) Cuántos individuos no son del grupo B? Respuestas: a) Categórica nominal. grupo n i f i A B AB O Total 40 1 b) El 30%, c) el = 77.5%, d) = 29 o bien = 29. Ejemplo 2 La siguiente tabla muestra la clasificación de 901 individuos según la variable satisfacción en el trabajo x i n i muy insatisfecho 62 moderamademte insatisfecho 108 moderadamente satisfecho 319 muy satisfecho 412 Total 901 a) De qué tipo es la variable de estudio? Calcular la tabla de frecuencias correspondiente. b) Qué porcentaje de individuos están moderadamente satisfechos? c) Cuántos individuos están a lo sumo moderadamente insatisfechos? Qué porcentaje representan? d) Cuántos individuos están por lo menos moderadamente satisfechos? Qué porcentaje representan? Respuestas: a) Categórica ordinal, x i n i f i N i F i muy insatisfecho moderamademte insatisfecho moderadamente satisfecho muy satisfecho Total 901 1

2 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 2 b) El 35%, c) 170 y representan el 19%, d) = 731 o bien = 731, que representan el = 81% (o bien = 81%). Ejemplo 3 Se quiere estudiar la eficacia de un nuevo insecticida para plantas de interior. Se seleccionan 50 plantas y se cuenta el número de hojas que han sido atacadas después de haber tratado la planta con el nuevo producto. Los resultados son: Hojas atacadas n i a) De qué tipo es la variable de estudio? Construir la tabla de frecuencias correspondiente. b) Qué porcentaje de plantas tienen sólo 3 hojas atacadas? c) Cuántas plantas tienen como máximo 3 hojas atacadas? d) Cuántas plantas tienen como mínimo 6 hojas atacadas? e) Qué porcentaje de plantas tienen entre 3 y 5 hojas atacadas? f) Qué porcentaje de plantas tienen al menos 8 hojas atacadas? g) Qué porcentaje de plantas tienen a lo sumo 2 hojas atacadas? Respuestas: a) Cuantitativa discreta, Hojas atacadas n i f i N i F i 0 6 0,12 6 0, , , , , , , , , , , , , , , , b) el 16%, c) 36, d) = 5 o bien = 5, e) el = 34% o bien ( )/ = 34%, f) el = 4% o bien = 4%, g) el 56%. Ejemplo 4 En veinte vuelos de Barcelona a Madrid se han contado el número de asientos vacíos en cada vuelo. Se han agrupado los datos en intervalos de longitud 4.

3 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 3 asientos vacíos n i a) De qué tipo es la variable estudiada? Construir la tabla de frecuencias correspondiente. b) En cuántos vuelos hay menos de 8 asientos vacíos? Qué porcentaje representan? c) En cuántos vuelos hay como mínimo 10 asientos vacíos? Qué porcentaje representan? Respuestas: a) Cuantitativa discreta, intervalos x i n i f i N i F i [0, 4) 2 9 0,45 9 0,45 [4, 8) 6 5 0, ,70 [8, 12) , ,90 [12, 16] , ,00 Total 20 1 b) En 14 vuelos, y representan el 70% de los vuelos, c) Aproximadamente en (12 10)/(12 8) = 4 vuelos, que representan el 4/ = 20% de los vuelos. Algunas representaciones gráficas. Figura 1: Diagrama de barras y polígono de frecuencias. Datos del ejemplo polígono de frecuencias 10 diagrama de barras

4 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 4 Figura 2: Diagrama de sectores. Datos del ejemplo 1. A B 0,275 0,3 0,2 0,225 O AB Figura 3: Histograma y polígono de frecuencias. Datos del ejemplo polígono de frecuencias 2 histograma Ejemplo 5 Los datos siguientes corresponden a ciertas longitudes (en cm). Construir un diagrama de tallo y hojas , , , , , , , , , , , , , , , Respuesta: Datos redondeados y expresados en mm: 114, 125, 114, 124, 142, 152, 133, 113, 172, 127, 135, 161, 122, 127, 134, 147. Diagrama de tallo y hojas (datos en mm):

5 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 5 Ejemplo 7 Calcular la mediana de los conjuntos de datos siguientes: a) 18,18,19,17,23,20,21,18 b) 20,21,18,19,18,17,18 Respuestas: a) Ordenados los datos en orden creciente, 17, 18, 18, 18, 19, 20, 21, 23, el valor de la mediana es M e = ( )/2 = b) Ordenados los datos en orden creciente, 17,18,18,18,19,20,21, el valor de la mediana es Me = 18. Ejemplo 8 Con los datos del ejercicio 2 (habitantes de las provincias españolas) calcular la media aritmética y la mediana. Respuestas: Utilizando la tabla de frecuencias calculada en el apartado b) del ejercicio 2 (véase la Sección 1.2), tenemos que x = 1 n k i=1 x i n i = = , que significa que, en promedio, hay habitantes por provincia. Para el cálculo de la mediana, buscamos primero el intervalo mediano. Puesto que n/2 = 26, el intervalo mediano es [500000, ). Aplicando la fórmula de la mediana: Me = = , esto significa que el 50% de las provincias españolas tienen menos de habitantes. Ejemplo 10 Cálculo de algunas características numéricas con los datos del ejemplo 3. hojas atacadas n i N i x i n i x 2 i n i Total Medidas de tendencia central: x = = 2.68, Me = 2, Mo = 2. Observemos que Me < x, por tanto, esto debe advertirnos que la distribución tiene asimetría positiva. Véase el diagrama de barras de la figura 1.

6 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 6 Medidas de posición: Medidas de dispersión: Q 1 = 1, Q 3 = 4, P 35 = 2, P 80 = 4, P 95 = 6. s 2 n = = 4.46, s n = 4.46 = 2.11, R = 10 0 = 10, RI = 4 1 = 3. Ejemplo 11 Cálculo de algunas características numéricas con los datos del ejemplo 4. intervalo x i n i N i n i /L i x i n i x 2 i n i [0, 4) / [4, 8) / [8, 12) / [12, 16) / Total Medidas de tendencia central: x = = 5.8, Intervalo mediano: [4,8), por tanto la mediana es Me = 4 + (8 4) = 4.8, 5/4 Intervalo modal: [0, 4), por tanto la moda es M o = 0 + (4 0) 0+5/4 = 4. Observemos que Me < x, por tanto, esto debe advertirnos que la distribución tiene asimetría positiva. Véase el histograma de la figura 3. Medidas de posición: Q 1 = 0 + 4(5 0) 9 0 = 2.22, Q 3 = 8 + 4(15 14) (6 0) 4(11.4 9) 4(16 14) P 30 = 0+ = 2.67, P 57 = 4+ = 5.92 P 80 = 8+ = Medidas de dispersión: s 2 n = = 16.76, s n = = 4.09, R = 16 0 = 16, RI = = = 9, Pregunta: De las variables del ejemplo 10 y del ejemplo 11, cuál presenta mayor dispersión? Repuesta: Si llamamos X = num. de hojas atacadas e Y = num. de asientos vacíos en un vuelo BCN-MAD, para ver qué variable tiene mayor dispersión debemos utilizar una medida adimensional, como el coeficiente de variación de Pearson, puesto que directamente ambas variables no son comparables. Es decir, sería del todo incorrecto comparar directamente s 2 n(x) con s 2 n(y ) al estar X e Y medidas en unidades distintas. CV (X) = = 0.787, CV (Y ) = = Puesto que CV (X) > CV (Y ), X presenta más dispersión.

7 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 7 Ejemplo 12 Se consideran los siguientes datos, correspondientes a la tasa de incrementos de precios al consumo, en 1985, para 24 países de la OCDE: Llamamos X a los datos sin transformar e Y = log(x) a los datos transformados. La tabla 1 contiene estos datos ordenados. Tabla 1: Datos del ejemplo 12. país x y = log(x) país x y = log(x) Si se dibujan los histogramas de frecuencias (véase la figura 4), se observa que la variable X presenta una fuerte asimetría positiva: la mayor parte de los países tienen valores por debajo de 10 y, unos pocos, un valor mucho mayor. En cambio, el histograma de la variable Y muestra una distribución más simétrica. Figura 4: Histograma de frecuencias absolutas con los datos del ejemplo X Y = log(x)

8 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 8 Si se dibujan los diagramas de caja (véase la figura 5), para la variable X se obtienen numerosos atípicos, mientras que para la variable Y los atípicos desaparecen. Las medidas numéricas necesarias para dibujar los diagramas de caja se encuentran en la tabla 2. Tabla 2: Medidas numéricas con los datos del ejemplo 12. medidas numéricas X Y = log(x) media x Q cuartiles Me = Q Q RI = Q 3 Q as y 2as Q 1 1.5RI barreras Q RI exteriores Q 3 + 3RI mínimo ( ) máximo ( ) (*) el mínimo y el máximo de los datos antes de las primeras barreras exteriores. Figura 5: Diagramas de caja con los datos del ejemplo X Y = log(x)

9 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE Ejercicios Ejercicio 2 Clasificadas las provincias españolas por su número de habitantes en 2001, se obtuvieron los siguientes datos: Num. habitantes Num. provincias de 1 a de a de a de a de a de a de a de a de a a) Constuir una tabla estadística con las marcas de clase, las frecuencias absolutas y las frecuencias relativas. b) Cuántas provincias tienen menos de habitantes? Qué porcentaje representan? c) Cuántas provincias tienen entre y habitantes? d) Construir el histograma de frecuencias absolutas. Respuestas: a) La tabla de frecuencias con una columna adicional que será útil para la construcción del histograma es la siguiente: intervalos x i n i f i N i F i n i /L i [0,100000) [100000,250000) [250000,500000) [500000,750000) [750000, ) [ , ) [ , ) [ , ) [ , ) b) 24 provincias, que representan el 46.2%. c) El inetrvalo [800000, ] está situado encima de dos intervalos de clase: [[ )[ ] )

10 INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA. GRUPO 71 LADE. 10 Por tanto, el número de provincias que tienen entre y habitantes es aproximadamente = = 8 provincias. d) La figura 6 contiene el histograma de frecuencias absolutas. Figura 6: Histograma de frecuencias absolutas. Datos del ejercicio millones de habitantes Ejercicio 6 Dada la siguiente distribución en el número de hijos de cien familias, calcular sus cuartiles. x i n i N i Empezamos calculando la mediana Me = Q 2 : puesto que n = 100, que es par, la mediana será la media aritmética de los dos valores centrales: Me = x (50) + x (51) 2 = = 3. Para calcular Q 1 y Q 3 debemos buscar los valores n/4 y 3n/4 en la columna de las frecuencias acumuladas. Puesto que n = 100, tenemos que n 4 = 25 Q 1 = 2, 3n 4 = 75 Q 3 = 4.