TEMA 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

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1 Aloso Ferádez Gliá Tem : Epresioes lgerics - - TEMA : EXRESIONES ALGEBRAIAS U poliomio es u sum idicd de moomios de distito grdo. Los poliomios se omr medite u letr múscul seguid de l vrile escrit etre prétesis. or ejemplo: -Los distitos sumdos se deomi térmios del poliomio. E prticulr, el térmio de grdo se deomi térmio idepediete. -El grdo del poliomio es el mor de los grdos de sus térmios. Vlor umérico de u poliomio. Se deomi vlor umérico del poliomio cudo l úmero que result de sustituir por e el poliomio. Se deot por. Ejemplo: lcul l sum de los siguietes poliomios:. Ejemplo: El opuesto de es: Not: U poliomio su opuesto sum. SUMA Y RESTA DE OLINOIMOS Ejemplo: lcul el vlor umérico de cudo cudo. El vlor umérico cudo es: El vlor umérico cudo es: Sum de poliomios L sum de dos poliomios se otiee sumdo los térmios de igul grdo. El opuesto de u poliomio es quél que result de cmir el sigo todos sus térmios. Rest de poliomios L rest de dos poliomios es igul l sum del primero co el opuesto del segudo.

2 Tem : Epresioes lgerics - - Ejemplo: lcul l rest de los siguietes poliomios: Ejemplo: lcul: c Ejemplo: lcul el producto de los siguietes poliomios. Se multiplic todos los térmios del primer poliomio por todos los térmios del segudo: Ejemplo: lcul ls potecis segud tercer de. otecis de u poliomio U poteci es u producto de fctores igules. RODUTO DE OLINOMIOS roducto de dos poliomios r multiplicr dos poliomios se plic dos veces l propiedd distriutiv, de form que todos los térmios del primer poliomio se multiplique por todos los térmios del segudo. roducto de u moomio por u poliomio r multiplicr u moomio por u poliomio se plic l propiedd distriutiv, de form que el moomio se multiplique por todos los térmios del poliomio.

3 Tem : Epresioes lgerics - - Ejemplo: lcul: c d Ejemplo: lcul: c d udrdo de u iomio U iomio es u poliomio co dos térmios: udrdo de u sum: pues. udrdo de u rest: pues. Sum por difereci U sum por u difereci co los mismos térmios es igul l difereci de los cudrdos de los dos térmios: ues. RODUTOS NOTABLES Ejemplo: Fctoriz los siguietes poliomios: Fctorizr u poliomio cosiste e epresrlo como u producto de fctores. d e c f

4 Tem : Epresioes lgerics - - Ejemplo: Divide etre. L divisió de poliomios se reliz de mer similr l divisió de úmeros eteros: El cociete es el resto R. Ejemplo: Reliz ls siguietes divisioes medite l regl de Ruffii: etre. R etre. R DIVISIÓN DE OLINOMIOS Divisió etre + etre L divisió de u poliomio etre u poliomio de ls forms ó se puede relizr tmié trjdo directmete co los coeficietes medite l llmd regl de Ruffii. Divisió de poliomios Dividir el poliomio etre el poliomio cosiste e clculr el poliomio que, l multiplicrlo por, más se proime. Lo que flte hst llegr se deomi resto de l divisió. R, R El grdo de R dee ser meor que el grdo de.

5 Tem : Epresioes lgerics - - Ejemplo: Fctoriz el poliomio etredo fctor comú /o usdo idetiddes otles: Ejemplo: Fctorizr el siguiete poliomio:. Los divisores del térmio idepediete so,,. Vemos pr cuáles de ellos l divisió es ect: Dode ls sucesivs divisioes ls hemos ido hciedo medite l regl de Ruffii: or lo tto, l fctorizció de es: Ejemplo: Fctorizr el siguiete poliomio: Vmos dividiedo sucesivmete medite l regl de Ruffii: or lo tto, l fctorizció de es: No siempre el último cociete es. Ejemplo: Fctorizr el siguiete poliomio: rocedemos como tes: or lo tto, l fctorizció de es: FATORIZAIÓN DE OLINOMIOS Fctorizr u poliomio cosiste e escriirlo como u producto de fctores del meor grdo posile, deomidos poliomios irreduciles. Fctorizció de poliomios usdo l regl de Ruffii r fctorizr u poliomio se procede de l mism mer que pr fctorizr u úmero, dividiedo sucesivmete etre sus fctores irreduciles. Es fácil ver demás que: r que, co u úmero etero, pued ser u fctor irreducile del poliomio es ecesrio que se u divisor de su térmio idepediete. Así, pr fctorizr u poliomio deemos ir prodo dividirlo etre poliomios de l form, co u divisor del térmio idepediete del poliomio.

6 Tem : Epresioes lgerics Fctorizció cudo el térmio idepediete es. Si el poliomio o tiee térmio idepediete es decir, si el térmio idepediete de es igul cero, deemos empezr scdo fctor comú. Ejemplo: Fctorizr el poliomio. omo o h térmio idepediete, deemos empezr scdo fctor comú : Fctorizmos hor el poliomio que qued etre prétesis: Teemos, por tto: El teorem del fctor. Se deomi ríces de u poliomio los úmeros pr los que el poliomio se ul,. Fctorizdo el poliomio se oserv que: es u ríz de es u fctor de Ejemplo: lculr ls ríces del poliomio. L fctorizció del poliomio es: Ls ríces de so, por tto,,. Not Fctorizció de poliomios de segudo grdo: Si es u poliomio de segudo grdo, c, sus ríces puede tmié clculrse directmete: c Así, el poliomio se fctoriz de l siguiete mer: dode so ls ríces de. c c... Ejemplo: Fctorizr el poliomio clculdo previmete sus ríces. lculmos ls ríces del poliomio: El poliomio se fctoriz como: - -

7 Tem : Epresioes lgerics - - Ejemplo: Simplific ls siguietes frccioes lgerics: c d Vemos hor cómo operr co frccioes lgerics. Ejemplo: lcul ls siguietes sums rests de frccioes lgerics: c FRAIONES ALGEBRAIAS U frcció lgeric es u cociete de poliomios: or ejemplo:,,, Simplificció de frccioes lgerics: r simplificr todo lo posile u frcció lgeric: Se fctoriz el umerdor el deomidor se ccel los fctores comues Sum rest de frccioes lgerics -Si ls frccioes tiee igul deomidor, summos los umerdores. -Si ls frccioes tiee distito deomidor, ls reducimos previmete comú deomidor.

8 Tem : Epresioes lgerics - - d e Ejemplo: lcul los siguietes productos cocietes de frccioes lgerics: c : d : Ejemplo: Efectú ls siguietes opercioes: roducto cociete de frccioes lgerics -r multiplicr frccioes lgerics, se multiplic el umerdor por el umerdor el deomidor por el deomidor: D B A D B A -r dividir frccioes lgerics, se multiplic l primer por l ivers de l segud: : B D A D B A

9 Tem : Epresioes lgerics ANEXO: OMBINAIONES Y EL BINOMIO DE NEWTON Nuestro ojetivo es geerlizr l epresió del cudrdo de u iomio epoetes mores que. r ello deemos itroducir previmete lguos coceptos de comitori. El fctoril de u úmero. Se deomi fctoril de u úmero etero positivo l producto de todos los eteros positivos meores o igules que él. Se deot por!. Acordmos demás que!. Así:...!!!!!!!! El fctoril de u úmero idic el úmero de permutcioes reordecioes que podemos formr co elemetos. or ejemplo, co ls cutro letrs,, c d podemos formr! permutcioes:,,c,d,,d,c,c,,d,c,d,,d,,c,d,c,,,c,d,,d,c,c,,d,c,d,,d,,c,d,c, c,,,d c,,d, c,,,d c,,d, c,d,, c,d,, d,,,c d,,c, d,,,c d,,c, d,c,, d,c,, omicioes: Se deomi comició de elemetos tomdos de k e k cd uo de los sucojutos de k elemetos que podemos formr, si que importe el orde, prtir de los elemetos ddos. El úmero de comicioes de elemetos tomdos de k e k se deot por:, k se deomi úmero comitorio. Se puede demostrr que es igul :! k k! k! Dode, pr simplificr el cálculo, se desrroll los fctoriles se ccel fctores. Ejemplo: El úmero de comicioes de elemetos tomdos de e es:!!! or ejemplo, co ls letrs,, c, d e podemos formr u totl de diez sucojutos de elemetos:, c,, d,, e, c, d, c, e,, d, e, c, d, c, e, d, e c, d, e Ejemplo: E u equipo de locesto formdo por jugdores, el úmero de quitetos titulres que puede lier el etredor es:!!! - -

10 Tem : Epresioes lgerics - - oteci de u iomio: Vemos filmete l fórmul pr clculr ls potecis de u io-mio, coocid como fórmul del iomio de Newto:... Así, pr los primeros epoetes teemos:... : : : : Y, utilizdo el triágulo de Trtgli: El triágulo de Trtgli: Los os comitorios stisfce ls siguietes propieddes:.. k k. k k k A prtir de ells se podemos costruir el siguiete triágulo umérico, deomido triágulo de Trtgli, que permite clculr los os comitorios de mer recursiv: Notemos que cd fil empiez c e, que cd uo de los úmeros iteriores se otiee sumdo los dos úmeros que tiee sore él demás, el triágulo es simétrico.

11 Tem : Epresioes lgerics - - Not: Si e lugr de u sum teemos u rest, l epresmos como l sum del opuesto:... Así: or ejemplo: Not Justificció de l fórmul del iomio de Newto: Vmos justificr l fórmul del iomio de Newto. Lo ilustrmos medite el ejemplo. Empecemos desrrolldo como u producto de fctores:.. Notemos que todos los sumdos que prezc e el resultdo se form tomdo u elemeto de cd prétesis, será por tto de l form i j. Además: d sumdo i j prece tts veces como forms h de tomr, de etre los prétesis, quellos i de los que usmos el sumdo. or último, utilizdo l defiició de úmero comitorio, se tiee: Ejemplo: Desrroll: e Ejemplo: Desrrollr ls siguietes potecis: c z z z z z d

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