Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato FOTOCOPIABLE. LibrosMareaVerde.tk

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1 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato FOTOCOPIABLE ÍNDICE. Números reales. Potecias y raíces. Notació cietífica. Álgebra. Fucioes. Límites y cotiuidad 8. Derivadas 99. Estadística 8 7. Probabilidad 0 8. Distribucioes de probabilidad 8 TOTAL: 80 I.S.B.N. - : I.S.B.N. - 0:

2 . NÚMEROS REALES.. Números racioales y úmeros irracioales Recuerda que: Ya cooces los distitos tipos de cojutos uméricos: Naturales N = {0,,,, } Eteros Z = {,,,, 0,,,, } CAPÍTULO : NÚMEROS REALES a Racioales Q = ; a Z, b Z, b 0. b Los úmeros racioales tambié cotiee a los úmeros que tiee epresió decimal eacta 0 y a los que tiee epresió decimal periódica 7 0. Si el deomiador de la fracció irreducible úicamete tiee como factores primos potecias de o la epresió decimal es eacta. Si el deomiador de la fracció irreducible tiee algú factor primo que o sea i i la fracció tedrá ua epresió decimal periódica. Todas las fraccioes tiee epresió decimal eacta o periódica; y toda epresió decimal eacta o periódica se puede escribir e forma de fracció. Pero ya sabes que eiste úmeros que o so racioales. Por ejemplo: o puede escribirse e forma de fracció. Todos estos úmeros como por ejemplo, 7, π juto co los úmeros racioales forma el cojuto de los úmeros reales. A los úmeros reales que o so úmeros racioales se les llama úmeros irracioales. La epresió decimal de los úmeros irracioales es de ifiitas cifras o periódicas. Por tato Irracioales I = Q. El cojuto de los úmeros reales está formado por la uió de los úmeros racioales y de los úmeros irracioales. Reales = Q I. Teemos por tato que: N Z Q. I. Metalmete decide cuáles de las siguietes fraccioes tiee ua epresió decimal eacta y cuáles la tiee periódica: a /9 b 7/ c 9/0 d / e /8 f /. Halla la epresió decimal de las fraccioes del ejercicio aterior y comprueba si tu deducció era correcta.. Calcula la epresió decimal de las fraccioes siguietes: a / b / c /9 d / e /00 /. Escribe e forma de fracció las siguietes epresioes decimales eactas y redúcelas, después comprueba co la calculadora si está bie: a 8 ; b ; c 0 7. Escribe e forma de fracció las siguietes epresioes decimales periódicas, redúcelas y comprueba que está bie: a 9.. b 9 0. c d 7... Puedes demostrar que es igual a? Calcula cuáto vale 999? Ayuda: Escríbelos e forma de fracció y simplifica. 7. Demuestra que 7 es irracioal. 8. Cuátas cifras puede teer como máimo el periodo de? 7 9. Cuátos decimales tiee?, te atreves a dar ua razó? 7 0. Haz la divisió :7 y después haz :7, es casualidad?. Ahora divide 999 etre 7 y después :7, es casualidad? Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

3 .. La recta real Desidad de los úmeros reales Los úmeros reales so desos, es decir, etre cada dos úmeros reales hay ifiitos úmeros. a b Esto es fácil de deducir, si a, b so dos úmeros co a < b sabemos que a b, es decir, la media está etre los dos úmeros. Como ese proceso lo podemos hacer todas las veces que queramos, pues de ahí el resultado. Curiosamete los úmeros racioales so tambié desos, así como los irracioales.. Escribe úmeros reales que esté etre y.. Escribe úmeros racioales que esté etre y.. Escribe úmeros irracioales que esté etre y π. Represetació e la recta real de los úmeros reales Elegido el orige de coordeadas y el tamaño de la uidad o lo que es igual, si colocamos el 0 y el todo úmero real ocupa ua posició e la recta umérica y al revés, todo puto de la recta se puede hacer correspoder co u úmero real. El curso pasado estudiaste cómo represetar e la recta real fraccioes y raíces.. Represeta e la recta umérica los siguietes úmeros: 9 a, b, c, d.. Represeta e la recta umérica: a 0, b, c 7, d.. Valor absoluto. Distacia e la recta real El valor absoluto o módulo de u úmero es igual al valor de ese úmero igorado el sigo. Por ejemplo, el valor absoluto de es, y el valor absoluto de +, tambié es. E leguaje formal, el valor absoluto se defie de la siguiete maera: si 0 si 0 Si represetamos esta fució e u eje de coordeadas, resulta ua gráfica como la del marge. Como el valor absoluto es ua fució muy importate e matemáticas, tiee su propio símbolo. Para escribir el valor absoluto de u úmero, basta co ecerrar el úmero etre dos barras verticales:. El valor absoluto de u úmero se cosigue suprimiedo el sigo, y se aota mediate el símbolo. Ejemplo: El valor absoluto de es, igual que el valor absoluto de +. Escrito e leguaje formal sería: = = Halla el valor absoluto de los siguietes úmeros: a b c π Para qué sirve? El valor absoluto se utiliza pricipalmete para defiir catidades y distacias e el mudo real. Los úmeros egativos so ua costrucció matemática que se utiliza e el cálculo, pero e la realidad o eiste catidades egativas. No podemos viajar ua distacia de 00 kilómetros, o comer caramelos. Esto se debe a que el tiempo solo discurre e ua direcció positiva por coveció, pero eso o etra e el ámbito de las Matemáticas, sio e el de la Física. El valor absoluto se usa para epresar catidades o logitudes válidas e el mudo real, como la distacia. Ejemplo: Hago u viaje de ida y vuelta hasta ua ciudad que se ecuetra a 0 km de mi casa. Después de hacer el viaje, estoy e el mismo puto, así que mi posició o habrá cambiado, esto es: Posició = 0 km 0 km = 0 Esto o quiere decir que o haya recorrido ua distacia. Hay dos catidades a teer e cueta, ua distacia de ida y otra de vuelta, e total será: L = 0 km + 0 km = 80 km Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

4 Actividades resueltas Las propiedades del valor absoluto so: No egatividad: a 0. Simetría: a = a Defiició positiva: a = 0 a = 0. Valor absoluto y producto: ab = a b Desigualdad triagular: a + b a + b - Simetría. Si a > 0 a = a Si a < 0 a = a = a Etoces a = a = a Represeta la fució f = se Co trazos de putos está dibujada la fució seo. Debajo, e rojo, aparece f = se que es igual e su parte positiva y hace positiva su parte egativa. 8. Represeta las siguietes fucioes: a f = ² b f = ² c f = Demuestra que el valor absoluto uca puede ser egativo. No egatividad Por defiició, la fució valor absoluto solo cambia el sigo cuado el operado es egativo, así que o puede eistir u valor absoluto egativo. Demuestra que el valor absoluto de u úmero y su egativo coicide. Distacia e la recta real Ua distacia es ua medida que tiee uas determiadas propiedades: No egatividad. Simetría. Propiedad triagular. La distacia etre dos úmeros reales e y se defie como: Dist, y = y Verifica las propiedades ates idicadas pues: Al estar defiida co el valor absoluto es siempre u úmero o egativo. La distacia etre dos putos tiee valor cero, úicamete si los dos putos so coicidetes: 0 = Dist, y = y y = 0 = y. Simetría: Dist, y = y = y = Disty,. Propiedad triagular: Dist, y Dist, z + Distz, y. Ejemplo: Dist, 8 = 8 = Dist, 9 = 9 = 9 + = 7 = 7 Dist, = = + = = Dist9, = 9 = + 9 = = Ejemplo: Si estamos e el sótao 9º y subimos al piso º, cuátos pisos hemos subido? Como hemos visto e el ejemplo aterior, hemos subido e total pisos. Dist9, = 9 = + 9 = =. Si el termómetro marca ºC y luego marca ºC, cuátos grados ha subido la temperatura? Como hemos visto e el ejemplo aterior, la temperatura ha subido ºC. Fíjate que la escala termométrica que hemos usado es la Celsius, hay otras, pero esto lo estudiarás e Física. Dist, = = + = =. 9. Represeta e la recta real y calcula la distacia etre los úmeros reales siguietes: a Dist, 9 b Dist, c Dist/, 9/ d Dist 777., Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

5 .. Itervalos y etoros Recuerda que: U itervalo de úmeros reales es u cojuto de úmeros correspodietes a ua parte de la recta umérica, e cosecuecia, u itervalo es u subcojuto del cojuto de los úmeros reales. Tipos de itervalos Itervalo abierto: es aquel e el que los etremos o forma parte del mismo, es decir, todos los putos de la recta compredidos etre los etremos forma parte del itervalo, salvo los propios etremos. E otras palabras I = a, b = { a < < b}, observa que se trata de desigualdades estrictas. Gráficamete, lo represetamos e la recta real del modo siguiete: Itervalo cerrado: es aquel e el que los etremos si forma parte del mismo, es decir, todos los putos de la recta compredidos etre los etremos, icluidos éstos, forma parte del itervalo. E otras palabras I = [a, b] = { a b}, observa que ahora o se trata de desigualdades estrictas. Gráficamete: Itervalo semiabierto: es aquel e el que solo uo de los etremos forma parte del mismo, es decir, todos los putos de la recta compredidos etre los etremos, icluido uo de estos, forma parte del itervalo. Itervalo semiabierto por la izquierda, el etremo iferior o forma parte del itervalo, pero el superior sí, e otras palabras, I = a, b] = { a < b}, observa que el etremo que queda fuera del itervalo va asociado a ua desigualdad estricta. Itervalo semiabierto por la derecha, el etremo superior o forma parte del itervalo, pero el iferior sí, e otras palabras I = [a, b = { a < b}, observa que el etremo que queda fuera del itervalo va asociado a ua desigualdad estricta. Gráficamete: Semirrectas reales A ua semirrecta se la puede cosiderar como u itervalo ifiito. Semirrecta de los úmeros positivos S+ = 0,, es decir, desde cero hasta ifiito. Semirrecta de los úmeros egativos S- =, 0, es decir, desde el meos ifiito, el ifiito egativo, hasta cero. Co lo que toda la recta de los úmeros reales es =, = S+ S- {0}. Etoros Es ua forma especial de epresar los itervalos abiertos. Se defie el etoro de cetro a y radio r y se deota Ea, r otra forma usual es E r a como el cojuto de úmeros que está a ua distacia de a meor que r. Co u ejemplo lo etiedes mejor: Ejemplo: El etoro de cetro y radio so los úmeros que está de ua distacia meor que. Si lo pesamos u poco, será los úmeros etre y +, es decir, el itervalo, 7. Es como coger el compás y co cetro e marcar co abertura. Fíjate que el está e el cetro y la distacia del al 7 y al es. Ea, r = a r, a + r Ejemplo: E, =, + =, Es muy fácil pasar de u etoro a u itervalo. Vamos a hacerlo al revés. Ejemplo: Si tego el itervalo abierto, 0, cómo se poe e forma de etoro? 0 Hallamos el puto medio = que será el cetro del etoro. Nos falta hallar el radio: 0 : = es el radio la mitad del acho. Por tato, 0 = E, Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

6 E geeral: b c c b El itervalo b, c es el etoro E,. Ejemplo: 8 8 El itervalo 8, = E, E ', ' Tambié eiste los etoros cerrados pero so de uso meos frecuete. 0. Escribe los siguietes itervalos mediate cojutos y represétalos e la recta real: a [, 7 b, c, 8] d,. Represeta e la recta real y escribe e forma de itervalo: a < < b < c < d 7. Epresa como itervalo o semirrecta, e forma de cojuto usado desigualdades y represeta gráficamete: a U porcetaje superior al %. b Edad iferior o igual a 8 años. c Números cuyo cubo sea superior a 8. d Números positivos cuya parte etera tiee cifras. e Temperatura iferior a ºC. f Números para los que eiste su raíz cuadrada es u úmero real. g Números que esté de a ua distacia iferior a.. Epresa e forma de itervalo los siguietes etoros: a E, b E, 8/ c E0, Epresa e forma de etoro los siguietes itervalos: a, 7 b 7, c,. Los sueldos superiores a 00 pero iferiores a 000 se puede poer como itervalo de úmeros reales? *Pista: 00 puede ser u sueldo?.. Aproimació de u úmero decimal. Estimació, redodeo y errores Recuerda que: E la vida cotidiaa y tambié e las ciecias aplicadas es ecesario trabajar co úmeros aproimados. Uos ejemplos: Queremos comprar u tercio de metro de cita, teemos que decirle al depediete cuato queremos y o vamos a ser ta idiotas como para decirle que os dé 0 metros o cm que es lo eacto. Lo ormal es pedir cm o cm. Medimos u folio A co la regla y os da 9 7 cm, la regla llega a los mm. Queremos dividirlo e 8 partes iguales, cuáto medirá cada parte? Si hacemos 9 7 : 8 os da 7 cm, pero la regla o llega a tato, será mejor aproimar a 7 cm. Hacemos u eame co 9 pregutas que vale todas igual. Teemos bie y las demás e blaco. Qué ota teemos?, 0 /9 =, segú la calculadora, las poemos todas?, si lo hacemos estamos supoiedo que somos capaces de distiguir parte de etre 0000 milloes de partes iguales del eame. Lo razoable es o si somos muy pero que muy precisos. Resulta curioso y debería ser delito que e las gasolieras se aucie: Precio del gasoil 99 /litro. Si alguie va y pide u litro eacto, o o o se lo puede cobrar eactamete puesto que o eiste las milésimas de!, debería escribir 0 /litro. Es cierto que de esa maera te ahorras cétimos si echas 0 litros pero a ellos les compesa el tema psicológico, la gete poco culta e úmeros ve e lugar de. Eactamete lo mismo pasa e los supermercados: merluza 7 99 /Kg. So trucos baratos que ua mete etreada sabe detectar y actuar e cosecuecia. La diferecia etre 8 /Kg y 7 99 /Kg es que te ahorras cétimo! si compras Kg, si compras medio, cuáto te ahorras?, ada!, pues 7 99 : = 99 que redodeado es, que es lo que cobra. Auque bie mirada la oferta o está ta mal pues si compras Kg de merluza ahorras para comprarte u caramelo, eso sí, tiees que comprar más de medio Kg por vez. Redodeo Te recordamos como se redodea correctamete los úmeros. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

7 7 Redodear a las diezmilésimas: = 9, la cifra de las diezmilésimas es, como la cifra siguiete es 9 que es, le sumamos al y podremos. Fíjate que está más cerca de que de. Redodear a las cetésimas: =, ahora la cifra de las cetésimas es y la siguiete es < luego la dejamos tal cual,. La regla es: Localizamos la cifra de redodeo, miramos la siguiete cifra sólo la siguiete, si ésta es meor que la cifra de redodeo se queda igual, si la cifra siguiete es o mayor que icremetamos e la cifra de redodeo. Más ejemplos: Redodea 99 a las cetésimas 00 y los ceros hay que escribirlos para idicar hasta dóde hemos redodeado. 7 e los miles 7000 dode hay que completar co ceros después de los miles e las décimas 8 9 sólo hay que mirar el. Nota importate: Si el resultado de u problema so se redodeará siempre e los cétimos. Otra ota importate: Si queremos dar u resultado co decimales e los pasos itermedios trabajaremos co más decimales, al meos o, de lo cotrario el resultado o tedrá la precisió que pretedemos, u ejemplo: A = 9 ; B = 98 y C = 99. Queremos hacer A B C, si hacemos A B y redodeamos e las cetésimas os queda 7 y si ahora multiplicamos por 99 = 90 os sale 77. El resultado correcto es 77 0 dode sólo hemos redodeado al fial. Cifras sigificativas Es el úmero de cifras co valor que se utiliza para epresar u úmero aproimado. Uos cuatos ejemplos y lo etiedes: 7 tiee cifras sigificativas; 89 0 tiee cifras sigificativas. 00 tiee ; tiee ; 0000 o sabemos las cifras sigificativas que tiee, puede ser o o o o, os tiee que decir e qué cifra se ha aproimado. Para este último caso puede recurrirse a la otació cietífica para decir co precisió el úmero de cifras sigificativas, así: 0 tiee ua cifra sigificativa, 0 0 tiee y así hasta que tiee. Cosideracioes: Las cifras distitas de 0 siempre so sigificativas. Los ceros a la izquierda uca so cifras sigificativas: tiee cifra sigificativa. Los ceros e medio de otras cifras distitas de 0 siempre so sigificativos 00 tiee cifras sigificativas. Más que el úmero de decimales la precisió de ua aproimació se mide por el úmero de cifras sigificativas. No debe utilizarse más cifras de las que requiera la situació.. Copia esta tabla e tu cuadero y redodea co el úmero de cifras idicado Cifras sigificativas Número 0 / Error Absoluto Se defie el Error Absoluto EA como EA = valor real valor aproimado. Ejemplo: Si aproimamos tedremos que el EA = = uas 7 milloésimas. Observa que si o se cooce el valor real, o podemos calcular eactamete el error absoluto, pero si aproimarlo calculado ua cota del error. Cota del Error Absoluto Podemos coocer ua cota del error absoluto teiedo e cueta el orde de aproimació, así, si hemos redodeado e las diezmilésimas como e el ejemplo siempre podemos afirmar que el EA es meor o igual a , es decir, meor o igual que media uidad del valor de la cifra de redodeo o uidades de la siguiete ciemilésimas, que es lo mismo. Actividades resueltas Calcula la cota del error absoluto de N 7 EA 0 0. Calcula la cota de error de N 00 es EA 0 si supoemos que hemos redodeado e las ceteas. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

8 8 Error Relativo Para comparar errores de distitas magitudes o úmeros se defie el Error Relativo ER como: EA ER = Valor real que suele multiplicarse por 00 para hablar de % de error relativo. Si o se cooce el valor real se sustituye por el valor aproimado la diferecia ormalmete es pequeña. Actividades resueltas Si aproimamos raíz de por 7, el error relativo cometido es: 0'00 0'00 7 EA 0 00 ER = = % '7 E las aproimacioes A = 7 co EA 0 0 y B = 970 co EA, e cuál estamos cometiedo proporcioalmete meor error? Calculamos los errores relativos: 0'0 A ER ER 0 8 % 7' B ER 0 00 ER 0 % 970 Es mejor aproimació la de B. Cotrol del error cometido Recuerda que: E cada suma o resta el error absoluto es la suma de los errores absolutos. Por tato puede aumetar peligrosamete si hacemos varias sumas y restas. Los errores relativos se suma al multiplicar dos úmeros. Actividades resueltas Medimos el radio de ua circuferecia co ua regla milimetrada y marca 7 0 cm. Queremos calcular el área del círculo. El error máimo e el radio es de 0 0 cm luego puede estar etre 9 y 7 0. Si aplicamos la fórmula r para estos valores obteemos 7 y, que so los valores míimo y máimo. La diferecia es y su mitad es que es la cota de error absoluto. Decimos que A = 9 cm. ' A ER 0 0 ER % '9 0'0 r ER ER 0 7 % 7 El radio teía ua cota de 0 7 %, y el área del círculo de, luego hemos perdido precisió. Si operamos co úmeros aproimados, y peor aú, si lo hacemos e repetidas ocasioes, los errores se va acumulado hasta el puto de poder hacerse itolerables. 7. Redodea hasta las décimas y halla los errores absoluto y relativo cometidos. 8. Halla ua cota del error absoluto e las siguietes aproimacioes: a b c Ua balaza tiee u error iferior o igual a 0 g e sus medidas. Usamos esa balaza para elaborar paquetes de café de medio kilogramo cada uo que so u lote. Determia el peso míimo y máimo del lote. Cuál es la cota del error absoluto para el lote?. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO. PROPIEDADES.. Potecias de epoete atural Recuerda que: Dado a, u úmero cualquiera, y, u úmero atural, la potecia a es el producto del úmero a por sí mismo veces E forma desarrollada, la potecia de base a y epoete se escribe: a = a a a a, veces, siedo a cualquier úmero y u úmero atural. Ejemplo: =, veces =, veces. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

9 9 La base a puede ser positiva o egativa. Cuado la base es positiva el resultado es siempre positivo. Cuado la base es egativa, si el epoete es par el resultado es positivo, pero si es impar el resultado es egativo. Si calculamos los ejemplos de arriba tedremos: = =. Resultado positivo porque multiplico u úmero positivo veces. = =. Multiplico u úmero egativo u úmero impar de veces, por lo que el resultado es egativo. Cada vez que multiplicamos dos úmeros egativos os da uo positivo, como teemos, quedaría u sigo meos si multiplicar, luego + =. Recuerda que: Actividades resueltas: Calcula las siguietes potecias: a = = b = = c = = 0. Calcula las siguietes potecias: a b + c.. Propiedades de las potecias Las propiedades de las potecias so: a El producto de potecias de la misma base es igual a otra potecia de la misma base y como epoete la suma de los epoetes: a a m = a m+ Ejemplo: = = + = b El cociete de potecias de la misma base es igual a otra potecia que tiee como base la misma, y como epoete la diferecia de los epoetes: a : a m = a m Ejemplo: / = / = - = c La potecia de ua potecia es igual a ua potecia de la misma base y cuyo epoete es el producto de los epoetes: a m = a m Ejemplo: 7 = = 7 d El producto de potecias de distita base co el mismo epoete es igual a otra potecia cuya base es el producto de las bases y cuyo epoete es el mismo: a b = a b Ejemplo: = = = e El cociete de potecias de distita base y el mismo epoete es igual a otra potecia cuya base es el cociete de las bases y cuyo epoete es el mismo: a /b = a/b Ejemplo: 8 /7 = / = 8/7 8/7 8/7 = 8/7 Todas estas propiedades de las potecias que se ha citado para los epoetes aturales sigue siedo válidas para otros epoetes: egativos, fraccioarios.. Potecias de epoete egativo Defiició de potecia de epoete egativo y base a: a = /a Esto se justifica ya que se desea que se siga verificado las propiedades de las potecias: a m /a = a m. a m /a m+ = a m m + = a = /a. Ejemplo: es lo mismo que /. Actividades resueltas: Calcula las siguietes operacioes co potecias: a 9 = = = 9 b = = 9 c / 0 = 0 = Base positiva: resultado siempre positivo. Base egativa y epoete par: resultado positivo. Base egativa y epoete impar: resultado egativo Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales a = /a Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

10 0 d / = = + = 9. Efectúa las siguietes operacioes co potecias: a + + b + : + c { } d + +. Calcula las siguietes operacioes co potecias: a b c 7 / 7 0 d / e f 7 g / 7 0 h 7 /7. Simplifica: 8 7 a a b b c y z d a b 7 8 y z 0. POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL. RADICALES.. Potecias de epoete racioal Se defie la potecia de epoete fraccioario r/s y base a como: Ejemplo: / Epoetes fraccioarios: Las propiedades citadas para las potecias de epoete etero so válidas para las potecias de epoetes fraccioarios Ejemplo: / Radicales Se defie raíz -sima de u úmero a, como el úmero b que verifica la igualdad b = a. a b b = a Siedo: el ídice, a la catidad subradical o radicado y b es la raíz -sima de a Importate: siempre es positivo. No eiste la raíz de u úmero. La radicació de ídice es la operació iversa de la poteciació de epoete. Por la defiició de raíz -ésima de u úmero a se verifica que si b es raíz, etoces: a b b = a Observa que se puede defiir: a / = a ya que: a / = a / = a = a. Como a / satisface la misma propiedad que b debe ser cosiderados como el mismo úmero. Ejemplos: / 8 8 / 7.. Propiedades de los radicales Las propiedades de las potecias euciadas ateriormete para el caso de epoetes fraccioarios, tambié se puede aplicar a las raíces: a Si multiplicamos el ídice de ua raíz por u úmero p, y a la vez elevamos el radicado a ese úmero p el valor de la raíz o varía. Se verifica p 0 que: Demostració: Ejemplo:. p p a. p p a a. p p. a a a a r/s = s.. Se verifica puesto que segú acabamos de ver: b Para multiplicar raíces del mismo ídice, se multiplica los radicados y se halla la raíz de ídice comú: a r Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

11 Demostració: Segú las propiedades de las potecias de epoetes eteros se verifica que: a b a b a b a b c Para dividir raíces del mismo ídice se divide los radicados y se halla la raíz del ídice comú. Supoemos que b 0 para que tega setido el cociete. a a. b b Demostració: Si escribimos: a a a a b b. b b Ejemplo: 7 7 a a 7 a a a a a m m d Para elevar u radical a ua potecia basta co elevar el radicado a dicha potecia: a a Demostració: Esta propiedad la podemos demostrar como sigue: m m m m m a a a a a e La raíz de ua raíz es igual a la raíz cuyo ídice es el producto de los ídices: m a m. Demostració: Se verifica que: Ejemplo: m 0 a a m a m m y y a y y y Actividades resueltas: Reduce a ídice comú los siguietes radicales: ; ; Saca factores fuera de la raíz: 08 Escribe los siguietes radicales como ua sola raíz: Calcula: a a. b b.... c 8 a. Halla: a : y y b :. Realiza las siguietes operacioes co radicales: a : b y y Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

12 . OPERACIONES CON RADICALES: RACIONALIZACION.. Operacioes Suma y resta de radicales: 9 Para sumar estos radicales hay que sumar sus epresioes aproimadas. Si embargo la epresió: 7 7 sí se puede sumar y restar puesto que sus radicales so idéticos Para poder sumar o restar radicales es ecesario que tega el mismo ídice y el mismo radicado. Solo cuado esto sucede podemos sumar o restar los coeficietes o parte umérica dejado el mismo radical Ejemplo: Por las propiedades de los radicales podemos sacar factores del radical dejado que todos los radicales sea idéticos: 0 Producto de radicales Para multiplicar radicales debemos covertirlos e radicales de igual ídice y multiplicar los radicados:.- Calculamos el m.c.m.de los ídices.- Dividimos el m.c.m etre cada ídice y lo multiplicamos por el epoete del radicado y simplificamos. Ejemplo: Divisió de radicales Para dividir radicales debemos coseguir que tega igual ídice, como e el caso aterior y después dividir los radicales. Ejemplo: Raíz de ua raíz Es la raíz cuyo ídice es el producto de los ídices segú se demostró e la propiedad e, y después simplificamos etrayedo factores fuera el radical si se puede. Ejemplo: y = 7 y = y y 7 RECUERDA: Para sumar y restar radicales estos debe de ser idéticos: RECUERDA: Para etraer factores del radical se debe cumplir que el epoete del radicado sea mayor que el ídice de la raíz. Dos opcioes: Se divide el epoete del radicado etre el ídice de la raíz, el cociete idica el úmero de factores que etraigo y el resto los que se queda detro. Se descompoe los factores del radicado elevádolos al mismo ídice de la raíz, cada epoete que coicida co el ídice, saldrá el factor y los que sobre se queda detro Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

13 Ejemplo: Etrae factores del radical: = 7y y y y Los factores que podríamos etraer sería el,, y y el, de la siguiete maera: Dividimos el epoete de la,, etre, ya que el ídice de la raíz es, y teemos de cociete y de resto, por lo que saldrá dos y queda detro. De igual forma para la y, dividimos etre y obteemos de cociete y uo de resto, por lo que sale y y se queda otra detro Veamos: y y y y 7. Escribe bajo u solo radical y simplifica: 8. Calcula y simplifica:. y y. y 7 9. Realiza la siguiete operació: 0. Calcula y simplifica: Racioalizació Racioalizar ua fracció algebraica cosiste e ecotrar otra equivalete que o tega radicales e el deomiador. Para ello, hay que multiplicar umerador y deomiador por la epresió adecuada. Cuado e la fracció solo hay moomios, se multiplica y divide la fracció por u mismo úmero para coseguir completar e el deomiador ua potecia del mismo epoete que el ídice de la raíz. Ejemplo:. Multiplicamos y dividimos por para obteer e el deomiador ua cuarta potecia y quitar el radical. Cuado e la fracció aparece e el deomiador biomios co raíces cuadradas, se multiplica y se divide por u factor que proporcioe ua diferecia de cuadrados, este factor es el factor cojugado del deomiador. a b, su cojugado es: a b. Otro ejemplo: a b su cojugado es: a b Ejemplo: Multiplicamos por el cojugado del deomiador que e este caso es:. Racioaliza la epresió:. Racioaliza:. Racioaliza:. NOTACION CIENTÍFICA y y Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

14 .. Defiició La otació cietífica se utiliza para escribir úmeros muy grades o muy pequeños. La vetaja que tiee sobre la otació decimal es que las cifras se os da cotadas, co lo que el orde de magitud del úmero es evidete. U úmero puesto e otació cietífica costa de: Ua parte etera formada por ua sola cifra que o es el cero la de las uidades. El resto de las cifras sigificativas puestas como parte decimal. Ua potecia de base 0 que da el orde de magitud del úmero. N = a bcd... 0 siedo: a su parte etera solo ua cifra, b c d su parte decimal, 0 la potecia etera de base 0. Si es positivo, el úmero N es grade. Y si es egativo, etoces N es pequeño Ejemplos: 8 0 = : Número grade = 0, : Número pequeño... Operacioes co otació cietífica Para operar co úmeros dados e otació cietífica se procede de forma atural, teiedo e cueta que cada úmero está formado por dos factores: la epresió decimal y la potecia de base 0. El producto y el cociete so imediatos, mietras que la suma y la resta eige preparar los sumados de modo que tega la misma potecia de base 0 y, así poder sacar factor comú. Ejemplos: = 0 +8 = 0 0 = 0 0 ' 0 b 8 ' : ' 0 0'87 0 8'7 0 8 ' = = = = = Calcula: a b 0 - : 0 -. Efectúa y epresa el resultado e otació cietífica: a RECUERDA: Para multiplicar úmeros e otació cietífica, se multiplica las partes decimales y se suma los epoetes de la potecia de base 0. Para dividir úmeros e otació cietífica, se divide las partes decimales y se resta los epoetes de la potecia de base 0. Si hace falta se multiplica o se divide el úmero resultate por ua potecia de 0 para dejar co ua sola cifra e la parte etera. RECUERDA: Para sumar o restar úmeros e otació cietífica, hay que poer los úmeros co la misma potecia de base 0, multiplicado o dividiedo por potecias de base 0. Se saca factor comú la potecia de base 0 y después se suma o resta los úmeros decimales quedado u úmero decimal multiplicado por la potecia de 0. Por último si hace falta se multiplica o se divide el úmero resultate por ua potecia de 0 para dejar e la parte etera ua sola cifra ' 0 ' 0 0 b 7.. Realiza las siguietes operacioes y efectúa el resultado e otació cietífica: a b Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

15 . LOGARITMOS.. Defiició: El logaritmo de u úmero m, positivo, e base a, positiva y distita de uo, es el epoete al que hay que elevar la base para obteer dicho úmero. Los logaritmos más utilizados so los logaritmos decimales o logaritmos de base 0 y los logaritmos eperiaos llamados así e hoor a Neper o logaritmos e base e e es u úmero irracioal cuyas primeras cifras so: e = Ambos tiee ua otació especial: log 0 m = log m log e m = l m Ejemplos: log 9 = 9 = log = = log 000 = 000 = 0 l e = e = e Como cosecuecias imediatas de la defiició se deduce que: El logaritmo de es cero e cualquier base Demostració: Como a 0 =, por defiició de logaritmo, teemos que log a = 0 Ejemplos: log a = 0 log = 0 log = 0 El logaritmo de la base es. Demostració: Como a = a, por defiició de logaritmo, teemos que log a a = Ejemplos: log a a = log = log = log = Si a > 0, log a m = z m = a z El logaritmo de es cero e cualquier base El logaritmo de la base es. Solo tiee logaritmos los úmeros positivos. Solo tiee logaritmos los úmeros positivos, pero puede haber logaritmos egativos. U logaritmo puede ser u úmero atural, etero, fraccioario e icluso u úmero irracioal Al ser la base u úmero positivo, la potecia uca os puede dar u úmero egativo i cero. log No eiste log 0 No eiste. log 00 = 00 = 0. log 0 = 0 = 0. log 0 = / 0 = 0 /. log = Actividades resueltas: log 8 = = 8 = = log 8 = = 8 = 7 = 7 log = = / = / = / 7. Copia la tabla adjuta e tu cuadero y empareja cada logaritmo co su potecia: = log = 0 0 = = = log = 0 = log = = log = 0 log = log = = log 8 = log = = 8 8. Calcula utilizado la defiició de logaritmo: a log b log c log d log 0 9. Calcula utilizado la defiició de logaritmo: a log 7 b log 0 00 c log / / d log Calcula utilizado la defiició de logaritmo: a log = b log / = c log = Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

16 . Calcula, utilizado la defiició de logaritmo: a log + log / log 9 log b log / + log /7 log.. Propiedades de los logaritmos. El logaritmo de u producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores: log a y = log a + log a y Demostració: Llamamos A = log a y B = log a y. Por defiició de logaritmos sabemos que: A = log a a A = B = log a y a B = y Multiplicamos: y = a A a B = a A+B log a y = A + B = log a + log a y. Ejemplo: log a 7 = log a + log a 7. El logaritmo de u cociete es igual al logaritmo del dividedo meos el logaritmo del divisor: log a /y = log a log a y Demostració: Llamamos A = log a y B = log a y. Por defiició de logaritmos sabemos que: A = log a a A = B = log a y a B = y Dividimos: / y = a A / a B = a A-B log a / y = A B = log a log a y. Ejemplo: log a 7/ = log a 7 log a. El logaritmo de ua potecia es igual al epoete multiplicado por el logaritmo de la base de la potecia: log a y = y.log a Demostració: Por defiició de logaritmos sabemos que: A = log a a A = a A y = y = a Ay Ay = log a y = y log a Ejemplo: log a = log a. El logaritmo de ua raíz es igual al logaritmo del radicado dividido por el ídice de la raíz: log a loga Demostració: Teiedo e cueta que ua raíz es ua potecia de epoete fraccioario. Ejemplo: log 7 log a 7 a. Cambio de base: El logaritmo e base a de u úmero es igual al cociete de dividir el logaritmo e base b de por el logaritmo e base b de a: logb loga log a Esta epresió se cooce co el ombre de fórmula del cambio de base. Las calculadoras sólo permite el cálculo de logaritmos decimales o eperiaos, por lo que, cuado queremos utilizar la calculadora para calcular logaritmos e otras bases, ecesitamos hacer uso de ésta fórmula. log Ejemplo: log log log ' 9 log Actividades resueltas: Desarrollar las epresioes que se idica: a b log loga b log c log a log b log c log a log b log c c log y z log log y z log y z log log y log z log log y log z b Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

17 7 Escribe co u úico logaritmo: log a + log log b log c log a log log c log b log a c log a log log c log b log log a c log b. log b Epresa los logaritmos de los siguietes úmeros e fució de log = 0 000: a log= log = log = = b 0 log0 = log 0 = 0 log = = Desarrolla las epresioes que se idica: a l b a b log e c. d. Epresa los logaritmos de los úmeros siguietes e fució de log = 0 77 a 8 b 7 c 909. Simplifica la siguiete epresió: logm logt log p logh EJERCICIOS Y PROBLEMAS: Números reales. Clasifica los siguietes úmeros e racioales e irracioales y pasa a fracció los racioales: 0; 0 ; ; '7; ; '...; 9'9; 9 ; ; '; ' Represeta, aproimadamete, e la recta real los úmeros: 0 ; 8; ; ; ; 7 ; ; ' Escribe dos úmeros e las codicioes siguietes: a Mayores que 0 y meores que 0 b Compredidos etre y.comprueba que la diferecia etre estos úmeros y es meor que ua cetésima. Dados los itervalos: A = {; 0 < }; B = {; / < } ; C =, a Represétalos e la recta real b Calcula sus logitudes c Calcula: AB, AB, AC, ACB, ABC, ABC. Calcula e las siguietes ecuacioes: Pista: puede teer dos valores a = b = 0 c + 9 =. Represeta e la recta real los úmeros que verifica las siguietes relacioes: a < b c > d 7. Halla dos úmeros que diste uidades de, y otros dos que diste uidades de, calcula después la diferecia etre el mayor y el meor de todos estos úmeros. 8. Escribe el itervalo [, ], Escribe el itervalo formado por los úmeros reales que cumple Cuál es el error absoluto y el error relativo cometidos al hacer las siguietes aproimacioes: a por 7 b + por c Redodeo a cuatro cifras del úmero Potecias. Epresa e forma de potecia: a b t t. Calcula: a b c z c d 7 8 e 7. y 8. y d e 8 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

18 8. Calcula: a Radicales b 7 7. Epresa e forma de radical: a 9. Epresa e forma de radical: c y y 8 y d 0 b m c [ ] d a b a a b a. Epresa como potecia úica: 8 a a b a 7. Simplifica: a 9 b 8. Etrae factores del radical: a a c a. a c c a b c a. b. c b 8a b c c 0 d a b c 9. Itroduce factores e el radical: a. 0. Calcula a m k a d b. a a. b b b a 0ab 8a b a. Efectúa: d d 7 e a. e f a e f e 8a b c. f y f y. y g d. e 0 c d : 0 a b 0a 8a c d e 9 f g Racioaliza los deomiadores: a b c d. Racioaliza y simplifica: a b c ` d e 0 7 e : y g a a a a g 0. a b 9 f e 7 f. Efectúa y simplifica: a + b c - : Logaritmos. Desarrolla los siguietes logaritmos: a y l y z b log / z e 7. Simplifica la siguiete epresió: log log a log 9 Notació cietífica: 7. La masa del Sol es 0000 veces la de la Tierra, aproimadamete, y esta es 98 0 t. Epresa e otació cietífica la masa del Sol, e kilogramos. f 7 f Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

19 9 8. El ser vivo más pequeño es u virus que pesa del orde de 0-8 g y el más grade es la ballea azul, que pesa, aproimadamete, 8 t. Cuátos virus sería ecesarios para coseguir el peso de la ballea?. 9. Los cico países más cotamiates del mudo Estados Uidos, Chia, Rusia, Japó y Alemaia emitiero billoes de toeladas de CO e el año 99, catidad que represeta el % de las emisioes de todo el mudo. Qué catidad de CO se emitió e el año 99 e todo el mudo? 0. Epresa e otació cietífica: a Recaudació de las quiielas e ua jorada de la liga de fútbol: 8000 b Toeladas de CO que se emitiero a la atmósfera e 99 e Estados Uidos 8 miles de milloes. c Radio del átomo de oigeo: m. Efectúa y epresa el resultado e otació cietífica: a b c 0 : 0 - d e 0 -. Epresa e otació cietífica y calcula: a 7800 : 000 b 0 ' c d '000. Efectúa y epresa el resultado e otació cietífica: a ' 0 b 7 ' 0 0 c ,0000 0,000. Que resultado es correcto de la siguiete operació epresada e otació cietífica: : a 98 0 b 98 0 c 98 0 d 98 0 AUTOEVALUACION. El úmero 8 / vale: a u dieciseisavo b Dos c U cuarto d U medio.. Epresa como potecia de base cada uo de los úmeros que va etre parétesis y efectúa después la operació: /. El resultado es: a 8 -/ b -/ c -/ d -. El úmero: 8 es igual a : a / b / c / /9 d 8. Cuál es el resultado de la siguiete epresió si la epresamos como potecia úica?: a b c. d. Simplificado y etrayedo factores la siguiete epresió tiee u valor: a. b 7 c a. a. b. c a b. c b a. b. c a. b. c c. a. b. c a. b. c d. a. b. c a. b. c. Cuál de los siguietes valores es igual a a /? a a / a b a /.a - c a d a. a - 7. Cuál es el resultado de esta operació co radicales?: 8 a 7 b 7 c. 7 d Ua epresió co u úico radical de: está dada por: a. b 8.. c d.. 9. Para racioalizar la epresió: hay que multiplicar umerador y deomiador por: a b c + d 0. Cuál es el resultado e otació cietífica de la siguiete operació?: a 88.0 b 88 0 c 8 0 d Cuál es el resultado de la siguiete operació epresado e otació cietífica?: 0 ' 0 7 ' 0 a b c d Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

20 0 Números reales Valor absoluto RESUMEN: Está formado por la uió de los úmeros racioales Q y los úmeros irracioales si 0 si 0 Itervalos Abierto : a, b = { a < < b} Cerrado: [a, b] = { a b} Semiabierto izq: a, b] = { a < b} Semiabierto der: [a, b = { a < b},, /, 7, π, e, = = +, [, ], 8] [, 7 Potecias de epoete atural y etero Propiedades de las potecias Potecias de epoete racioal Propiedades de los radicales =. = 9 a - = /a a.a m =a m+ a :a m =a -m a m =a.m a.b =a.b a /b =a/b a r/s = s a r a. p a. b a. b a p a a m m a a b b m a m. a = + = : = = =. = 0 = / = / /. 7 a a 7 a a 7 a a a Racioalizació de radicales Se suprime las raíces del deomiador. Se multiplica umerador y deomiador por la epresió adecuada cojugado del deomiador, radical del umerador, etc... Notació cietífica Logaritmos Se suprime las raíces del deomiador. Se multiplica umerador y deomiador por la epresió adecuada cojugado del deomiador, radical del umerador, etc. Si a > 0, log a m = z m = a z log a y = log a + log a y; log a /y = log a log a y log a y = y.log a = = = = 0 0 = 0 0 loga 7/ = loga 7 loga loga = loga log 7 loga 7 a Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Números reales Autor: José Atoio Ecabo de Lucas y Paco Moya Revisora: Nieves Zuasti

21 CAPÍTULO : ÁLGEBRA. POLINOMIOS... Defiició. Térmios. Grado. Valor umérico Recuerda que: U moomio viee dado por el producto de úmeros reales e idetermiadas. Llamamos coeficiete de u moomio al úmero real que multiplica a la idetermiada, o idetermiadas; la idetermiada, o idetermiadas, coforma la parte literal del moomio. U poliomio es ua epresió costruida a partir de la suma de moomios. El grado de u poliomio viee dado por el mayor grado de sus moomios. Ejemplos: 8 es u poliomio de grado e la variable. 7 y es u poliomio de grado e las idetermiadas e y. y y es u poliomio de grado e e y. 8 9 y z es u poliomio de grado e, y y z. Tato e esta secció como e la siguiete os limitaremos, básicamete, a cosiderar poliomios co ua úica variable. El aspecto geérico de u poliomio e la variable es a a... a a a0 dode los coeficietes a k so úmeros reales. Decimos que u poliomio es móico cuado el coeficiete de su térmio de mayor grado es igual a. Los térmios de u poliomio viee determiados por el úmero de moomios que tega ese poliomio. Recuerda que: Moomio: moo: uo, omio: térmio: térmio Biomio: bio: dos, omio: térmio: térmios Triomio: trio: tres, omio: térmio : térmios. Cuatriomio: cuatri: cuatro, omio: térmio: cuatro térmios. A partir de cuatriomio se les ombra poliomios: Poli: varios, omio: térmios. Así por ejemplo: y y 7 está formado por moomios y, y, 7 por lo tato tedrá tres térmios. y 8 está formado por moomios, y, 8 y, por lo tiee térmios. Si fijamos, o escogemos, u valor cocreto para la variable de u poliomio aparece u úmero real, el valor umérico del poliomio para ese valor determiado de la variable. Si hemos llamado p a u poliomio, a la evaluació de p e, por ejemplo, el úmero la deotamos por p, y leemos p de meos cico o p e meos cico. Co este criterio, si p es u poliomio cuya idetermiada es la variable, podemos referiros a él como p o p idistitamete. De esta forma apreciamos que u poliomio puede ser etedido como ua maera cocreta de asigar a cada úmero real otro úmero real. Ejemplos: Si evaluamos el poliomio p e os ecotramos co el úmero p El valor del poliomio q y y y 7 para y es q Operacioes co poliomios Ya sabes que: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

22 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti Suma de poliomios: Como u poliomio es ua suma de moomios, la suma de dos poliomios es otro poliomio. A la hora de sumar dos poliomios procedemos a sumar los moomios de igual parte literal. Ejemplos: La suma de los poliomios y es el poliomio E el siguiete ejemplo sumaremos dos poliomios dispoiédolos, adecuadamete, uo sobre otro Propiedad comutativa. Si p y q so dos poliomios, o importa el orde e el que los coloquemos a la hora de sumarlos: p q q p Ejemplo: Propiedad asociativa. Nos señala cómo se puede sumar tres o más poliomios. Basta hacerlo agrupádolos de dos e dos: r q p r q p Ejemplo: Tambié: Elemeto eutro. Hay u poliomio co ua propiedad particular: el resultado de sumarlo co cualquier otro siempre es éste último. Se trata del poliomio dado por el úmero 0, el poliomio cero. Ejemplo: Elemeto opuesto. Cada poliomio tiee asociado otro, al que llamaremos su poliomio opuesto, tal que la suma de ambos es igual al poliomio cero. Alcazamos el poliomio opuesto de uo dado, simplemete, cambiado el sigo de cada moomio. Ejemplo: El poliomio opuesto de 7 p es 7, al que deotaremos como " " p. Ratifiquemos que su suma es el poliomio cero: Resta de poliomios Recordemos que el poliomio opuesto de otro se obtiee simplemete cambiado el sigo de cada moomio. Esta acció se correspode co multiplicar por el úmero el poliomio origial. De esta forma el poliomio opuesto de p es p p

23 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti E este mometo aparece de maera atural la operació diferecia, o resta, de poliomios. La defiimos co la ayuda del poliomio opuesto de uo dado: q p q p q p La resta cosiste e sumar a u poliomio el opuesto de otro. Ejemplo: Dado el poliomio: p y el poliomio: 7 7 q. Vamos a restar p q: El proceso es el mismo que para la suma, lo úico que cambia es que a p le sumamos el opuesto de q: Es decir a q le cambiamos de sigo y se lo sumamos a p: Recordemos que el opuesto de q es q, 7 7. Ejemplo: 8. Realiza la suma y resta de los siguietes poliomios: a b +. Realiza las siguietes sumas de poliomios: a b. Escribe el poliomio opuesto de cada uo de los siguietes poliomios: a b 7 c 7 8. Cosidera los poliomios p, q, así como el poliomio suma q p s. Halla los valores que adopta cada uo de ellos para, es decir, calcula p, q y s. Estudia si eiste algua relació etre esos tres valores.. Obté el valor del poliomio p e. Qué valor toma el poliomio opuesto de p e?. Realiza las siguietes diferecias de poliomios: a b c Producto de poliomios Otra operació que podemos realizar co poliomios es la multiplicació. El resultado del producto de poliomios siempre será otro poliomio. Auque e u poliomio teemos ua idetermiada, o variable, como ella toma valores e los úmeros reales, a la hora de multiplicar poliomios utilizaremos las propiedades de la suma y el producto de los úmeros reales, e particular la propiedad distributiva del producto respecto de la suma; así, todo queda e fució del producto de moomios, cuestió que resolvemos co facilidad: m m ab b a Ejemplos: a b 0 c 8 d e f

24 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti Ejemplo: Tambié podemos materializar el producto de poliomios tal y como multiplicamos úmeros eteros: 7. Efectúa los siguietes productos de poliomios: a b c d 7 8. Multiplica cada uo de los siguietes poliomios por u úmero de tal forma que surja poliomios móicos: a b c 7 9. Calcula y simplifica los siguietes productos: a b c a b b a d 9 8 a a a Propiedades del producto de poliomios Propiedad comutativa. Si p y q so dos poliomios, o importa el orde e el que los coloquemos a la hora de multiplicarlos: p q q p Ejemplo: Propiedad asociativa. Nos señala cómo se puede multiplicar tres o más poliomios. Basta hacerlo agrupádolos de dos e dos: r q p r q p Ejemplo: 8 Tambié: 8 Elemeto eutro. Hay u poliomio co ua propiedad particular: al multiplicarlo por cualquier otro siempre os da éste último. Se trata del poliomio dado por el úmero, el poliomio uidad. Ejemplo: Propiedad distributiva de la multiplicació respecto de la suma. Cuado e ua multiplicació de poliomios uo de los factores viee dado como la suma de dos poliomios como, por ejemplo, 8 teemos dos opcioes para coocer el resultado: a realizar la suma y, después, multiplicar b distribuir, aplicar la multiplicació a cada uo de los sumados y, después, sumar:

25 Comprobamos que obteemos el mismo resultado. E geeral, la propiedad distributiva de la multiplicació respecto de la suma os dice que pq r pq pr Coviee cometar que la aterior propiedad distributiva leída e setido cotrario, de derecha a izquierda, es lo que comúmete se deomia sacar factor comú. Ejemplo: 0 0. Realiza los siguietes productos de poliomios: a b. De cada uo de los siguietes poliomios etrae algú factor que sea comú a sus moomios: a 0 0 b 0 Productos otables de poliomios E este apartado vamos a destacar ua serie de productos cocretos de poliomios que surge frecuetemete. Podemos epoerlos de muy diversas formas. Tal y como lo haremos, aparecerá más de ua idetermiada; hemos de ser capaces de apreciar que si, e u algú caso cocreto, algua idetermiada pasa a ser u úmero cocreto esto o hará ada más que particularizar ua situació más geeral. Potecias de u biomio. Las siguietes igualdades se obtiee, simplemete, tras efectuar los oportuos cálculos: a b a abb El cuadrado de ua suma es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segudo, más el cuadrado del segudo. Comprueba la igualdad a partir de los cuadrados y rectágulos de la ilustració. a b a abb El cuadrado de ua diferecia es igual al cuadrado del primero, meos el doble producto del primero por el segudo, más el cuadrado del segudo. Observa la figura y coéctala co la igualdad: a b a a bab b Ratifica la igualdad co los cubos y prismas de la figura. a b a a bab b Podemos observar que, e cada uo de los desarrollos, el epoete del biomio coicide co el grado de cada uo de los moomios. Ejemplos: a a a a a a d y yy y9y b 0 c e 0 0 Suma por diferecia. De uevo la siguiete igualdad se obtiee tras efectuar el producto señalado: a b a b a b Suma por diferecia es igual a diferecia de cuadrados. Observa las figuras y coéctalas co la igualdad. Ejemplos: a a a a a b c 9 d 9 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

26 . Realiza los cálculos: a a b c d e. Obté las fórmulas de los cuadrados de los siguietes triomios: a a b c b a bc. Desarrolla las siguietes potecias: a - y b + y/ c / d a b e a + b f /y /y. Epresa como cuadrado de ua suma o de ua diferecia las siguietes epresioes algebraicas: a a + a + 9 b 9 + c b 0b + d y + y + 9 e a a + f y + y + 9. Efectúa estos productos: a y y b 8 8 c Divisió de poliomios Ya sabes que: Si aalizamos co deteimieto la divisió de dos úmeros eteros positivos. Ya sabes que, cuado dividimos dos úmeros, D dividedo etre d divisor, distito de 0, surge otros dos, el cociete c y el resto r, que se ecuetra ligados por la D r llamada prueba de la divisió: D dcr. Alterativamete: c d d Además, decimos que la divisió es eacta cuado r 0. El coocido algoritmo de la divisió persigue ecotrar u úmero etero, el cociete c, tal que el resto r sea u úmero meor que el divisor d, y mayor o igual que cero. Fijémoos e que, si esta eigecia para el resto r, podemos escoger arbitrariamete u valor para el cociete c el cual os sumiistra su valor asociado como resto r. E efecto, si teemos como dividedo D = 7 y como divisor d =, y queremos que el cociete sea c = 8 su resto asociado es r Dd c y la coeió etre estos cuatro úmeros es Esta última lectura de la divisió de úmeros eteros va a guiaros a la hora de dividir dos poliomios. Dados dos poliomios p y q, la divisió de p, poliomio dividedo, etre q, poliomio divisor, os proporcioará otros dos poliomios, el poliomio cociete c y el poliomio resto r. Tambié aquí pesará ua eigecia sobre el poliomio resto: su grado deberá ser meor que el grado del poliomio divisor. La relació etre los cuatro será, aturalmete, p q c r p r Tambié escribiremos c q q Al igual que ocurre co el algoritmo de la divisió etera, el algoritmo de la divisió de poliomios costa de varias etapas, de carácter repetitivo, e cada ua de las cuales aparece uos poliomios cociete y resto provisioales de forma que el grado de esos poliomios resto va descediedo hasta que os topamos co uo cuyo grado es iferior al grado del poliomio divisor, lo que idica que hemos cocluido. Veamos este procedimieto co u ejemplo cocreto Ejemplo: Vamos a dividir el poliomio p etre el poliomio q. Como el poliomio divisor, q, es de grado, debemos ecotrar dos poliomios, u poliomio cociete c, y u poliomio resto r de grado o 0, tales que p q c r Primera etapa: Para poder lograr la igualdad p qcr, como el grado de r será o 0, el térmio de mayor grado de p,, surgirá del producto q c. Así obteemos la primera aproimació de c, su moomio de mayor grado: y, de maera automática, tambié u primer resto r : c Como este poliomio r es de grado, mayor que, el grado del poliomio divisor q, ese poliomio resto o es el Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

27 7 defiitivo; debemos cotiuar. Seguda etapa: Esta seguda etapa cosiste e dividir el poliomio r 8 8, surgido como resto de la etapa aterior, etre el poliomio q, el divisor iicial. Es decir, repetimos lo hecho ates pero cosiderado u uevo poliomio dividedo: el poliomio resto del paso aterior. Al igual que ates, el grado de r debería ser o 0. Como el térmio de mayor grado de r, 8, sale del producto q c, es ecesario que el poliomio cociete cotega el moomio c. Ello os lleva a u segudo resto r : 9 Como este poliomio r es de grado, igual que el grado del poliomio divisor q, ese poliomio resto o es el defiitivo; debemos cotiuar. Primera y seguda etapas: Tercera etapa: Esta tercera etapa cosiste e dividir el poliomio r 9, el resto de la etapa aterior, etre el poliomio q, el divisor iicial. De uevo repetimos el algoritmo pero co otro poliomio dividedo, el poliomio resto del paso aterior. Perseguimos que r qc r. Como e cada paso, el grado de r debería ser o 0. El térmio de mayor grado de r,, surge del producto q c, por lo que c y el tercer resto r es: + Como este poliomio r es de grado, meor que, grado del poliomio divisor q, ese poliomio resto sí es el defiitivo. Hemos cocluido: Las tres etapas: Coclusió: al dividir el poliomio p etre el poliomio q obteemos como poliomio cociete c y como poliomio resto r. 7. Divide los siguietes poliomios: a 7 etre. b 0 etre c 7 etre d 8 0 etre e etre 8. Ecuetra dos poliomios tales que al dividirlos aparezca q como poliomio cociete y r como resto. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

28 8.. Regla de Ruffii. Teorema del resto Debido a la importacia que tiee la divisió de poliomios cuado el poliomio divisor es de la forma, es coveiete agilizar tales divisioes. Estamos ate la llamada regla de Ruffii, u algoritmo que os proporcioa tato el cociete como el resto que resulta de dividir u poliomio cualquiera etre otro de la forma. Veámoslo co u ejemplo: Cosideremos el poliomio p. Vamos a dividirlo etre Veamos cómo ha surgido tato el poliomio cociete como el resto. El que el grado del dividedo sea tres y que el divisor sea de grado uo impoe que el cociete tega grado dos y que el resto sea u úmero real. El cociete costa de los moomios, 7 y, los cuales coicide co los moomios de mayor grado de cada uo de los dividedos después de dismiuir sus grados e ua uidad: procede de el dividedo iicial, 7 viee de 7 y, por último, de. Este hecho, coicidecia e el coeficiete y dismiució del grado e ua uidad, se debe a que el divisor,, es móico y de grado uo. Seguidamete, vamos a teer e cueta úicamete los coeficietes del dividedo, por orde de grado,,, y ; e cuato al divisor, como es móico y de grado uo, basta cosiderar su térmio idepediete,, pero como el resultado de multiplicar los moomios que va coformado el cociete por el divisor hemos de restárselo a cada uo de los dividedos, atediedo a este cambio de sigo, e lugar del térmio idepediete,, operaremos co su opuesto, +, úmero que, a la vez, es la raíz del divisor y sobre el que pesa la preguta de si es o o raíz de p. Este último cocepto lo veremos más delate de maera detallada cuado defiamos raíz de u poliomio. Vamos a compararlo co el proceso de la divisió covecioal y veremos que es igual: Primer paso de la divisió: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra 7 Aparece e el cociete el moomio coeficiete, el cual provoca la desaparició de e el dividedo y la aparició del moomio 8 coeficiete 8. Después de operar sumar os ecotramos co 7 coeficiete 7 8 y, e el cociete 7. Segudo paso. El dividedo pasa a ser La irrupció e el cociete del moomio 7 coeficiete 7 provoca la desaparició de 7 e el dividedo y la aparició del moomio coeficiete 7. Después de operar sumar os ecotramos co coeficiete y, e el cociete. Tercer paso. El dividedo pasa a ser. 8 Paolo Ruffii Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

29 Teemos e el cociete el térmio idepediete. Éste provoca la elimiació de e el dividedo y la aparició del térmio. Después de operar sumar os ecotramos co el resto = +. E cada uo de los pasos figura, e la parte derecha, lo mismo que se ha realizado e la divisió covecioal, pero co la vetaja de que todo es más ágil debido a que úicamete se maeja úmeros reales: los coeficietes de los distitos poliomios iterviietes. Ejemplo: Dividamos el poliomio p etre + : Cociete: c 0; Resto:. 9. Usa la regla de Ruffii para realizar las siguietes divisioes de poliomios: a etre b etre c etre + d 9 etre 0. Estudia si es posible usar la regla de Ruffii, de algua forma, para dividir 7 etre +. Teorema del resto El teorema del resto es muy útil para hallar los valores uméricos de los poliomios si ecesidad de sustituir directamete e ellos la icógita por el úmero de que se trate. Haciedo uso de dicho teorema, podemos hallar las raíces de los poliomios, proceso que habrá que realizar co mucha frecuecia e lo sucesivo. El euciado del teorema del resto es el siguiete: Teorema del resto. El valor umérico que adopta u poliomio p al particularizarlo e coicide co el resto que aparece al dividir p etre. De esta forma, podremos saber de atemao si ua divisió va a ser eacta si ecesidad de efectuarla. Demostració: Segú vimos e el apartado de la divisió de poliomios, al dividir u poliomio D etre otro, d, la relació que se establece es: D = d c + r dode c y r so respectivamete, el cociete y el resto de la divisió. E este caso estamos dividiedo por, es decir, el divisor es d =. Por tato D = c + r. Hallamos el valor umérico del poliomio D para, para ello sustituimos la por : D = c + r Y, por tato, D = r = r, que es precisamete lo que queríamos demostrar. Ejemplo: Dividamos el poliomio p etre : 0 El cociete es 8 9 y el resto p 8 9 Si evaluamos p e = o puede dar cero, pero, qué valor resulta? Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

30 0 p Naturalmete hemos obteido el resto aterior. Vemos que coicide, el valor umérico del poliomio y el resto de la divisió.. Utiliza la regla de Ruffii para coocer el valor del poliomio 7 e... Raíces de u poliomio Dado u poliomio p diremos que u úmero real cocreto es ua raíz, o u cero, del poliomio p, si al evaluar p e obteemos el úmero 0, esto es, si p 0. Ejemplo: Cosideremos el poliomio s 8 8. o El úmero es ua raíz de s, puesto que s o Otra raíz de s es el úmero : s o E cambio, el úmero o es ua raíz de s : s o Tampoco es raíz de s el úmero 0: s Cálculo de las raíces de u poliomio Ejemplos: Comprobemos, mediate la regla de Ruffii, que es raíz del poliomio : para el que se tega / Así, el poliomio de grado dos tiee dos raíces distitas, las cuales so úmeros irracioales. Ya sabemos que hay poliomios que carece de raíces reales, como por ejemplo. Para facilitar la compresió de los coceptos y resultados de este asuto la mayoría de los úmeros que ha aparecido hasta ahora, coeficietes, raíces, etc., ha sido úmeros eteros. Por supuesto que podemos ecotraros co poliomios co coeficietes racioales, o irracioales, o co poliomios co raíces dadas por ua fracció o u úmero irracioal. Tambié eiste poliomios que carece de raíces reales. Ha sido ecesario ampliar el cojuto de los úmeros co los úmeros complejos para poder afirmar el Teorema Fudametal del Álgebra, que dice que todo poliomio de grado tiee raíces. Apreciamos que la regla de Ruffii os iforma sobre si u úmero cocreto es o o raíz de u poliomio. Naturalmete, cuado estamos ate u poliomio, y os iteresa coocer sus raíces, o es posible efectuar ua prueba co cada úmero real para determiar cuáles so raíz del poliomio. E el próimo párrafo destacaremos ciertos úmeros cadidatos a ser raíz de u poliomio. A la hora de buscar las raíces eteras de u poliomio dispoemos del siguiete resultado: Dado u poliomio cualquiera a a... a a a0 cuyos coeficietes so todos úmeros eteros, sus raíces eteras, si las tuviera, se ecuetra ecesariamete etre los divisores eteros de su térmio idepediete a 0. Para coocer las raíces del poliomio debemos estudiar si hay algú úmero real tal que lo aule, es decir, 0 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

31 Procedamos a su demostració. Supogamos que cierto úmero etero es ua raíz de ese poliomio. Tal úmero debe aularlo: a a... a a a0 0 a a... a a a0 a a... a a a0 a0 a a... a a E la última igualdad, el úmero del lado izquierdo es etero, porque está epresado como ua suma de productos de a úmeros eteros. Por ello, el úmero del lado derecho, 0, tambié es etero. Al ser tambié eteros tato a0 como, alcazamos que es u divisor de a 0. Ejemplos: Determiemos, co arreglo al aterior resultado, qué úmeros eteros so cadidatos a ser raíces del poliomio 7 : Tales úmeros eteros cadidatos debe ser divisores de, el térmio idepediete del poliomio. Por ello, los úicos úmeros eteros que puede ser raíz de ese poliomio so:,,, Las úicas posibles raíces eteras del poliomio tambié so:,,, Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Comprueba que e este caso y so raíces eteras del poliomio. Algo más geeral podemos afirmar sobre clases de úmeros y raíces de u poliomio: Dado u poliomio cualquiera a a... a a a0 cuyos coeficietes so todos úmeros eteros, sus raíces racioales, si las tuviera, ecesariamete tiee por umerador algú divisor del térmio idepediete, a 0, y por deomiador algú divisor del coeficiete del térmio de mayor grado, a. Ejemplos: E el poliomio los úmeros racioales cadidatos a ser raíces suyas tiee por umerador a u divisor de y por deomiador a u divisor de. Por lo tato, los úicos úmeros racioales que puede ser raíz de ese poliomio so:,,,,,,, Comprueba que además de y, tambié es raíz ; los demás o lo so. Las úicas posibles raíces racioales del poliomio 7 so:,,, E este caso iguo de esos úmeros es raíz del poliomio.. Emplea la regla de Ruffii para dictamiar si los siguietes úmeros so o o raíces de los poliomios citados: a de b de c de d de. Para cada uo de los siguietes poliomios señala, e primer lugar, qué úmeros eteros so cadidatos a ser raíces suyas y, después, determia cuáles lo so: a b c 8 9 d. Comprueba que es raíz del poliomio.. Para cada uo de los siguietes poliomios idica qué úmeros racioales so cadidatos a ser raíces suyas y, después, determia cuáles lo so: a b 9 Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

32 .. Factorizació de poliomios Todo poliomio de grado tiee a lo sumo raíces reales, algua de las cuales puede aparecer repetida etre esos o más de úmeros reales. Basádoos e el cálculo de las raíces de u poliomio vamos a realizar el proceso de descomposició de u poliomio e forma de producto de otros poliomios más secillos. Factorizació de u poliomio: Nos vamos a basar e el siguiete euciado: La codició ecesaria y suficiete para que u poliomio P sea divisible por a es que a sea ua raíz de P. Podemos reescribir este resultado de la siguiete maera: U poliomio P es divisible por a a es ua raíz de P. Vamos a demostrarlo: Si P es divisible por a a es ua raíz de P: Codició ecesaria E efecto: Si P divisible por a r = 0 Pa = 0 por el teorema del resto a es raíz de P Si a es ua raíz de P a divide a P: Codició suficiete E efecto: a raíz de P Pa = 0 por el teorema del resto. El resto de la divisió de P etre a es 0 a divide a P por la defiició de raíz. Como cosecuecia imediata se tiee: si a es ua raíz de P P = c a El poliomio dado queda descompuesto e forma de producto de dos factores. Repitiedo el proceso para c, éste se puede descompoer a su vez de uevo y así sucesivamete. Llegado al resultado geeral: Dado el poliomio P a a... a a0 cuyas raíces so,,,,dicho poliomio se puede descompoer factorialmete de la siguiete forma: P a... Decimos que u poliomio es reducible si admite ua factorizació mediate poliomios de grado iferior al suyo. E caso cotrario el poliomio será irreducible. Ejemplo: Descompoer factorialmete el poliomio: +. Como el coeficiete de es, segú vimos e el apartado de cálculo de raíces de u poliomio, las posibles raíces racioales, de eistir, ha de ser divisores de.por tato puede ser: +,, +,. Comprobamos si el es raíz. Aplicamos el teorema de Ruffii: 0 Por tato, es raíz y teemos: Resolviedo ahora la ecuació + = 0, resulta = y =. Por tato, + = y e defiitiva, el poliomio tedrá la siguiete descomposició factorial: siedo sus raíces =, doble y =. Hay poliomios que o admite raíces reales, es decir, que o se aula uca para u valor real. Ejemplos: El poliomio t o tiee raíces reales puesto que al evaluarlo e cualquier úmero real siempre os da u valor positivo y, por lo tato, distito de 0: t 0. Además, este poliomio de grado dos, t, es u poliomio irreducible porque, al carecer de raíces, o podemos epresarlo como producto de poliomios de meor grado. Otro poliomio si raíces reales es u.. Supogamos que teemos dos poliomios, p y p, y u úmero real. a Si es ua raíz de p, tambié es raíz del poliomio suma p p? b Si es ua raíz de p, tambié es raíz del poliomio producto p p? c Hay algua relació etre las raíces del poliomio p y las del poliomio p? 7. Costruye u poliomio de grado tal que posea tres raíces distitas. 8. Determia u poliomio de grado tal que tega, al meos, ua raíz repetida. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

33 9. Costruye u poliomio de grado de forma que tega ua úica raíz. 0. Cojetura, y luego demuestra, ua ley que os permita saber cuádo u poliomio cualquiera a a... a a0 admite al úmero 0 como raíz.. Demuestra ua orma que señale cuádo u poliomio cualquiera a a... a a0 admite al úmero como raíz.. Determia las raíces de cada uo de los siguietes poliomios: a b c 7 d e 7 f 8 g h i.. Fraccioes algebraicas Ua fracció algebraica es ua epresió de la forma: P Q 0 dóde tato P como Q so poliomios. Q Ejemplos: Así so fraccioes algebraicas las siguietes epresioes: 7 9 y y 9 7y So epresioes algebraicas, so fraccioes algebraicas. E geeral, o so u poliomio. Sólo lo es e el muy particular caso e el que el deomiador es u úmero real diferete de cero, esto es, u poliomio de grado 0. Es secillo costatar que las epresioes ateriores o so u poliomio: cualquier poliomio puede teer u valor umérico para cualquier úmero real. Si embargo esas epresioes o puede ser evaluadas para los valores que aula el deomiador. Podríamos creer que la siguiete fracció algebraica sí es u poliomio: La epresió de la derecha sí es u poliomio, pues se trata de ua suma de moomios, pero la de la izquierda o lo es ya que o puede ser evaluada e 0. No obstate, esa fracció algebraica y el poliomio, cuado so evaluados e cualquier úmero diferete de cero, ofrece el mismo valor. So epresioes equivaletes allí dode ambas tiee setido. Simplificació de fraccioes algebraicas: De la misma maera que se hace co las fraccioes uméricas, para simplificar fraccioes algebraicas se descompoe umerador y deomiador e factores, simplificado, posteriormete, aquellos que so comues. Ejemplo: 8 9 Ua fracció algebraica como puede ser simplificada gracias a que el umerador y el 7 deomiador admite factorizacioes e las que algú poliomio está presete e ambas Como ya hemos aputado e otras ocasioes, las epresioes fial e iicial o so idéticas pero sí so equivaletes e todos aquellos valores para los que ambas tiee setido, esto es, para aquellos e los que o se aula el deomiador. Operacioes co fraccioes algebraicas Las operacioes co fraccioes algebraicas se realiza de la misma forma que las respectivas operacioes co fraccioes uméricas. Puesto que las fraccioes algebraicas obteidas a partir de dos poliomios so, e potecia, úmeros reales, operaremos co tales epresioes siguiedo las propiedades de los úmeros reales. Suma o resta. Para sumar o restar dos fraccioes algebraicas deberemos coseguir que tega igual deomiador. Ua maera segura de lograrlo, auque puede o ser la más adecuada, es ésta: p p p q p q p q p q p q q q q q q q q q p q Producto. Basta multiplicar los umeradores y deomiadores etre sí: p p p p p q p q q q q q Divisió. Sigue la coocida regla de la divisió de fraccioes uméricas: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

34 Ejemplo: E ua suma de fraccioes algebraicas como ésta podemos alcazar u comú deomiador e las fraccioes a partir de la descomposició factorial de cada deomiador: Coviee destacar que e el resultado fial se ha optado por dejar el deomiador factorizado. De esa forma, etre otras cuestioes, se aprecia rápidamete para qué valores de la idetermiada esa fracció algebraica o admite ser evaluada.. Simplifica, si es posible, las siguietes epresioes: a b c 8 8. Simplifica las siguietes fraccioes algebraicas: a a y y a b ab a b c d 9 7a a y a b ab. Realiza las siguietes operacioes teiedo e cueta las factorizacioes de los deomiadores: a b. Efectúa los siguietes cálculos: a b c d : 7. Realiza las siguietes operacioes alterado, e cada apartado, úicamete uo de los deomiadores, y su respectivo umerador: 8 a b 8. Comprueba las siguietes idetidades simplificado la epresió del lado izquierdo de cada igualdad: 8a b y y a a b b y y a b y 9 a b 8a b 0ab ab a c d ab a b b 8a. ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO: E este apartado vamos a cetraros e la resolució de ecuacioes e iecuacioes de primer y segudo grado y e su iterpretació gráfica, para luego epoer los sistemas de ecuacioes e iecuacioes y su aplicació a las Ciecias y a las Ciecias Sociales. Ya sabes que:.. Resolució de ecuacioes de primer grado Recuerda que: La técica para resolver ua ecuació de primer grado cosiste siempre e trasformar la ecuació iicial e otra equivalete hasta coseguir aislar la icógita e el primer miembro: Ejemplo: 7 Resolver la ecuació: Primer paso: Suprimir los deomiadores. El m.c.m de los deomiadores es, multiplicamos por toda la ecuació Segudo paso: Efectuar los parétesis: Tercer paso: Traspoer térmios y simplificar: 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

35 0 0 Cuarto paso: despejar la icógita, simplificado el resultado. Quito paso: Comprobar el resultado. Sustituimos el resultado obteido e la ecuació dada y comprobamos que se verifica la igualdad. Recuerda que: Las ecuacioes permite resolver muchos tipos de problemas. El tratamieto habitual ate u problema cocreto es el siguiete:. Platear ua ecuació que cocuerde co el euciado.. Resolver la ecuació.. Comprobar el resultado e iterpretarlo Ejemplo: La suma de tres úmeros eteros cosecutivos es 08. Cuáles so esos úmeros? Llamado al meor. Los tres úmeros, al ser cosecutivos, será: º úmero: º úmero: + º úmero: + Plateamos ahora la ecuació correspodiete al euciado: la suma ha de ser 08. Por tato: = 08 Los parétesis, e este caso, o so ecesarios debido a la propiedad asociativa de la suma de úmeros reales. Se ha puesto, eclusivamete, para aclarar la ecuació que estamos escribiedo. Elimiamos los parétesis y agrupamos térmios os queda: = = 08 = 0 = 0 0 Despejado la icógita: =. Por tato los úmeros so, y 7, cuya suma es Ecuacioes de segudo grado Recuerda que Ua ecuació de segudo grado es aquella que tiee como forma geeral la siguiete: a + b + c = 0, co a 0. Ua ecuació tiee tatas solucioes como su grado. Ya sabes que al ser de grado tedrá solucioes o o igua e el campo real. Segú sea la ecuació de segudo grado sus solucioes se puede hallar: Caso : El coeficiete de la es 0: b = 0: E este caso la ecuació es de la forma: a + c = 0. Para hallar las solucioes basta co despejar la : c c c c a c ; a a a a Ejemplo: Resolver la ecuació: 8 = 0 Se despeja : 8 ; Caso : El térmio idepediete es 0: c = 0 La ecuació es ahora de la forma: a b 0. Para resolver basta co sacar factor comú a la : a b 0 a b 0 0; a b 0 E este caso siempre ua de las dos solucioes va a ser la = 0. Los casos y so ecuacioes de segudo grado icompletas, que tambié se puede resolver aplicado la fórmula geeral. Si embargo es más rápido resolverlas de la maera que acabamos de epoer. Caso : Resolució aalítica de ua ecuació de segudo grado completa: Solució gráfica de ua ecuació de segudo grado: Cosideramos la fució f Su represetació gráfica es ua parábola, dode las solucioes de la ecuació a b c 0 so los putos de corte de ésta co el eje de abscisas. Solució aalítica de ua ecuació de segudo grado completa: Partiedo de la ecuació a b c 0 vamos a obteer el valor de : b a a b c 0 Fuete Wikipedia Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

36 Pasamos el térmio idepediete al segudo miembro quedado epresado de la siguiete maera: Multiplicamos toda a b c la ecuació por a: a ab ac Sumamos b a ambos miembros: a ab b b ac El primer miembro es el cuadrado del biomio a + b. Por tato: a + b = b ac Etraemos la raíz cuadrada: a b b ac Pasamos b al segudo miembro y dividimos por a, co lo que obteemos el siguiete resultado: b b ac a Por tato: b b ac b b ac b b ac ; a a a Es la fórmula geeral para calcular las dos solucioes de la ecuació de segudo grado Particularidades: El radicado, b ac, recibe el ombre de discrimiate de la ecuació. Se represeta por la letra griega Δ. Segú sea el sigo del discrimiate puede darse tres casos: Δ > 0: La ecuació tedrá las dos solucioes y Δ = 0: La ecuació tiee ua úica solució doble, las dos solucioes de la ecuació so b 0 b iguales: a a Δ <0: El radicado es egativo, la ecuació o tiee raíces reales, la raíz da lugar a u úmero ** complejo o real,. Ejemplo: Resolver la ecuació: 0 Su solució gráfica es ua parábola co el vértice hacia abajo al teer positivo el coeficiete de, como hemos represetado aquí. Vamos a ver que sus solucioes aalíticas so los putos de corte de la parábola co el eje de abscisas. Comprobémoslo: 0. Aplicado la fórmula geeral de resolució de ua ecuació de segudo grado completa... 9 ;,. que coicide co los putos de corte de la parábola co el eje de abscisas. Ejemplo: Vamos a cosiderar ahora u ejemplo de ua ecuació de segudo grado co el coeficiete de egativo cuya represetació gráfica es ua parábola co el vértice hacia arriba: Como e el ejemplo aterior aplicamos la fórmula geeral de resolució de ecuacioes de segudo grado, la ecuació es: Cuya solució es:.. 0 ;,. que coicide co el corte de la parábola co el eje de abscisas. Suma y producto de las solucioes e ua ecuació de segudo grado Vamos a calcular ahora a qué es igual la suma y el producto de las dos raíces de ua ecuació de segudo grado. Llamamos: b b ac b b ac y a a a las dos solucioes o raíces. Veamos e primer lugar, a qué es igual la suma de ambas: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

37 7 b b ac b a b Es decir: a Veamos ahora el producto: Es decir:. c a. b b ac a b b ac b. a b ac b a b ac b a Fórmula de Cárdao. b ac b b a a b a ac b b ac ac a a Las igualdades ateriores os permite resolver el problema iverso al habitual: e lugar de dada ua ecuació hallar sus raíces o solucioes, podremos, sabiedo cuáles so las solucioes de ua ecuació, hallar la epresió de dicha ecuació. E efecto, cosideramos la ecuació de segudo grado de siempre, de solucioes y : a b c 0 Dividiedo toda la ecuació por el coeficiete de : b c 0 a a Ecuació equivalete a la dada. Fijádoos e dicha ecuació, vemos que el coeficiete de la es igual a la suma de las dos raíces co el sigo cotrario, mietras que el térmio idepediete es igual al producto de las dos raíces. Como cosecuecia: si las dos raíces de ua ecuació de segudo grado so y, la ecuació es:. 0 s p 0 Ejemplo: Las dos raíces de ua ecuació de segudo grado so = / y = /. Cuál es esa ecuació? 7 Sumado las dos raíces teemos:. Lo llamamos s. Multiplicamos las dos raíces y teemos:.. Lo llamamos p. Por la fórmula aterior obteemos que la ecuació es: 7 0. Si quitamos deomiadores os queda: 7 + = 0. Otra forma de resolver este tipo de problemas es hacer uso de la factorizació de poliomios que se estudió e págias ateriores. Cosideramos la ecuació de segudo grado completa a b c 0 de solucioes y. Sabemos que esta primera ecuació es equivalete a esta otra: b c 0 a a b c E cosecuecia, el poliomio correspodiete a la misma es: p a a Tiee como raíces los úmeros y y su descomposició factorial es: p Si efectuamos el producto, podemos escribir la ecuació correspodiete: 0 Se puede platear múltiples problemas de la vida real y de aplicació a otras ciecias. Las pautas a seguir so iguales que las de las ecuacioes de primer grado. Veamos u ejemplo: Ejemplo: Queremos sembrar de césped ua parcela rectagular de 7 m, de maera que uo de los lados de la misma sea el triple que el otro. Cuáles so las dimesioes de la parcela? Llamado al lado más pequeño del rectágulo, el otro, al ser triple, medirá. Puesto que el área del rectágulo es igual al producto de la base 7 7 por la altura: Por tato las dos solucioes de esta ecuació so = y =. Pero puesto que o tiee setido que ua logitud sea egativa para ua parcela, la úica solució válida para es = m. Segú esto las dimesioes de la parcela so m y 9 m. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti c a 9

38 8 Ecuacioes bicuadradas: Se llama ecuacioes bicuadradas a las ecuacioes del tipo siguiete: a b c 0 So ecuacioes de cuarto grado, e las cuales la icógita aparece úicamete elevada a potecias pares. Al ser de cuarto grado, tedrá solucioes. El proceso geeral para resolver este tipo de ecuacioes es hacer u cambio de variable. Haciedo t= tedremos la epresió siguiete: a b c 0 a b c 0 at btc 0 Coseguimos covertir la ecuació de cuarto grado e ua ecuació de segudo grado fácil de resolver, de ahí que lo haya icluido como ua ecuació de segudo grado particular. Se resuelve la ecuació de segudo grado como tal y ua vez resuelta debemos realizar el último paso: Hemos hallado el valor de t, pero la icógita es. Co lo cual hemos de deshacer el cambio efectuado: Si = t = t Ejemplo: Resolver la ecuació 0 Efectuado el cambio = t, la ecuació se covierte e : t t Que resolvemos para t: t t ; t. Es decir, las dos solucioes de esta ecuació so t = y t = /, deshacemos el cambio: t t i Esta última solució o es u úmero real, pues ua raíz cuadrada egativa o tiee solució real. Se ecuetra detro de los úmeros complejos que ya hemos mecioado. E defiitiva, las cuatro solucioes de la ecuació bicuadrada iicial so: ; ; i; i. Podemos decir que la ecuació sólo tiee las raíces reales ; y que la descomposició factorial del poliomio es: 9. Resolver las siguietes ecuacioes: a b 8 c 7 0. Resolver: a 9 b / c + 8 = 0 d Sumado siete uidades al doble de u úmero más los / del mismo obteemos como resultado el sétuplo de dicho úmero meos. De que úmero se trata?. Las dimesioes de u rectágulo so y metro. Trazar ua paralela al lado que mide m de modo que se forme u rectágulo semejate al primero. Cuáles so las logitudes de los segmetos e que dicha paralela divide al lado de m?. Deseamos veder u coche, u piso y ua fica por u total de Si la fica vale veces más que el coche y el piso cico veces más que la fica. Cuáto vale cada cosa?.. Resolució de iecuacioes de primer grado y su iterpretació gráfica Ua iecuació es ua desigualdad algebraica e la que aparece ua o más icógitas. El grado de ua iecuació es el mayor de los grados al que está elevadas sus icógitas. Así, + y + y so iecuacioes de primer grado, mietras que es de segudo grado. Resolver ua iecuació cosiste e ecotrar los valores que la verifica. Éstos se deomia solucioes de la misma. Por ejemplo: +, ] Iecuacioes equivaletes Dos iecuacioes so equivaletes si tiee la misma solució. A veces, para resolver ua iecuació, resulta coveiete ecotrar otra equivalete más secilla. Para ello, se puede realizar las siguietes trasformacioes: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

39 9 Sumar o restar la misma epresió a los dos miembros de la iecuació: + < 9 + < 9 < Multiplicar o dividir ambos miembros por u úmero positivo. < : < : < Multiplicar o dividir ambos miembros por u úmero egativo y cambiar la orietació del sigo de la desigualdad. < > >, + Iecuacioes de primer grado co ua icógita: Ua iecuació de primer grado co ua icógita puede escribirse de la forma: a > b, a b, a < b o bie a b. Para resolver la iecuació e la mayoría de los casos coviee seguir el siguiete procedimieto: º Quitar deomiadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuació por el m.c.m. de los deomiadores. º Quitar los parétesis, si los hay. º Traspoer los térmios co a u miembro y los úmeros al otro. º Reducir térmios semejates. º Despejar la. Ejemplo: ;,. Resuelve las siguietes iecuacioes y represeta la solució e la recta real: a + < + b c + > + d Resuelve las siguietes iecuacioes y represeta la solució e la recta real: a + < + 8 b c > +. Resuelve las siguietes iecuacioes y represeta la solució e la recta real: a + < / + b + / 9/ + c + / > + d + / + + / 7. Escribe ua iecuació cuya solució sea el siguiete itervalo: a [, b, c, d, 8. Calcula los valores de para que sea posible calcular las siguietes raíces: a b 9 c 7 d 7.. Resolució de iecuacioes lieales de segudo grado Ua iecuació de segudo grado co ua icógita puede escribirse de la forma: a + b + c > 0, empleado cualquiera de los cuatro sigos de desigualdad. Para resolverla, calculamos las solucioes de la ecuació asociada, las represetamos sobre la recta real, quedado por tato la recta dividida e tres, dos o u itervalo, depediedo de que la ecuació tega dos, ua o igua solució. E cada uo de ellos, el sigo del poliomio se matiee costate, por lo que bastará co determiar el sigo que tiee dicho poliomio para u valor cualquiera de cada uo de los itervalos. Para saber si las solucioes de la ecuació verifica la iecuació, bastará co sustituirla e la misma y comprobarlo. Ejemplo: Represeta gráficamete la parábola y = + + e idica e qué itervalos es + + > 0. Observa e la gráfica que la parábola toma valores positivos etre y. La solució de la iecuació es:,. El puto o es solució, i tampoco el puto, pues el problema tiee ua desigualdad estricta, >. Si tuviera la desigualdad, + + 0, la solució sería: [, }. Si fuera + + < 0, la solució sería:,, +. Si fuera + + 0, la solució sería:,] [, +. Ejemplo: + 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

40 0 Las raíces de + = 0 so = y =.,,, Sigo de si o si Por tato, la solució es, ] [, 9. Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a 0 b 0 c 9 >0 d + 0 e 0 < 0 f + 0 g > 0 h Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a + 0 b > 0 c 8 d e > 0 f 0 < 0. Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a 0 b c > 0 d e < 0 f > 0 g h 0. Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a + > 0 b 0 c 0 < 0 d + 0 e + + > 0 f + 0 g 7 0 h + < 0. Calcula los valores de para que sea posible obteer las siguietes raíces: a b c d. Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a + b 0 0 c. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES : Los sistemas de ecuacioes lieales so ecuacioes e las que todas sus icógitas está elevadas a la uidad, o pudiedo aparecer el producto de dos de ellas. Es u cojuto de ecuacioes que debe verificarse para los mismos valores de las icógitas, llamadas solucioes. Resolver u sistema es ecotrar los valores que, sustituidos e las icógitas, cumpla todas las ecuacioes a la vez. Se clasifica atediedo a criterios diversos: úmero de ecuacioes o de icógitas, tipo de las solucioes Los sistemas de ecuacioes lieales atediedo, al tipo de de solució, se clasifica e, los que tiee solució se llama compatibles y los que o, icompatible. Los compatibles puede ser Compatible determiado: si posee ua solució Compatible idetermiado: si posee más de ua solució posee ifiitas. Sist ema s de ecu acioes y posicioes de sus rectas e el plao: Vamos a repasar los tres métodos elemetales de resolució de sistemas lieales co dos ecuacioes y co dos icógitas que so: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

41 Ejemplo Resolveremos el siguiete sistema: + y = 8 Método de sustitució: El proceso cosiste e despejar ua cualquiera de las icógitas de ua cualquiera de las ecuacioes y sustituir e la otra. Despejamos por ejemplo, la y de la primera ecuació: Y sustituimos e la seguda: + = 8 = Y, por tato y =. Método de Igualació: Se despeja la misma icógita e las dos ecuacioes, igualado posteriormete ambas epresioes. Despejamos, por ejemplo, la y e ambas ecuacioes: + y = 8 y = 8 y = 8 Igualado: Posteriormete, para hallar y se sustituye el valor ecotrado de e ua cualquiera de las dos ecuacioes iiciales, y se calcula el correspodiete valor de y. Método de reducció: Este método cosiste e trasformar algua de las ecuacioes e otras equivaletes de maera que al sumarlas o restarlas se elimie ua de las icógitas. Multiplicado la primera ecuació por, obteemos el sistema equivalete al siguiete: 7 = 7 = + y = 8 + y = 8 Gráficamete las ecuacioes co dos icógitas represeta e el plao ua recta. 8 E el caso aterior, la ecuació: y = y la ecuació: y so dos rectas e el plao... Resolució por el método de Gauss: El método de Gauss está basado e el método de reducció tambié llamado de cascada o triagulació. La vetaja que tiee este método es que es fácilmete geeralizable a sistemas co cualquier úmero de ecuacioes y de icógitas. Este método cosiste e obteer, para u sistema de tres ecuacioes co tres icógitas, u sistema GAUSS: Fuete Google equivalete cuya primera ecuació tega tres icógitas; la seguda, dos; y la tercera ua. Se obtiee así u sistema triagular de la forma siguiete: Recuerda que: U sistema equivalete a otro cuado ambos tiee las mismas solucioes. So sistemas cuyas ecuacioes so complicadas, e su lugar resolvemos otro sistema que tega las mismas solucioes que el propuesto sistema equivalete y que sea de ecuacioes mucho más secilla A By Cz D 0 B y C z D 0 0 Cz D La resolució del sistema es imediata; e la tercera ecuació calculamos si dificultad el valor de z, llevamos este valor de z a la seguda ecuació y obteemos el valor de y, y co ambos valores calculamos el valor de e la primera ecuació. Ejemplo: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

42 Resuelve, aplicado el método de Gauss, el sistema: + y + z = y z = + y + z = El proceso es el siguiete:. Se elimia la icógita e las ecuacioes seguda y tercera, sumado a éstas, la primera ecuació multiplicada por y, respectivamete, quedado el sistema: + y + z = E - E 0 y 8z = E + E 0 + y + 7z =. Suprimimos la icógita y de la tercera ecuació sumado a la misma, previamete multiplicada por, la seguda multiplicada por : + y + z = 0 y 8z = E + E z = 9. Se resuelve el sistema escaloado empezado por la tercera ecuació: 9 9z = 9 z = z 9 Ahora, e la seguda ecuació: y 8 = y y Y, por último, e la primera: + + = 0 La solució del sistema es: = 0, y =, z = Geométricamete como cada ecuació lieal co tres icógitas represeta u plao, podemos decir que los tres plaos se corta e el puto 0,, que es el úico puto comú a los tres. Es u sistema compatible determiado... Discusió de sistemas aplicado el método de Gauss: Vamos a utilizar sistemas de ecuacioes y de icógitas. Discutir u sistema cosiste e eplicar razoadamete sus posibilidades de solució depediedo del valor de sus coeficietes y térmios idepedietes. E los sistemas escaloados la discusió se hace a partir de la ecuació más simple, que supodremos que es la última. Así, estudiado la tercera ecuació del sistema [], a z b, se determia las posibilidades de solució del sistema iicial, verificádose: Partimos del sistema iicial a + a y + a z = b E a + a y + a z = b E a + a y + a z = b E que trasformamos e otro equivalete a él, de la forma: a + a y + a z = b E 0 + a y + a z = b E a z = b E Para ello se elimia la icógita de la ecuació seguda E y E y las icógitas e y de la tercera ecuació E. Así, estudiado la tercera ecuació del sistema propuesto, a z = b, se determia las posibilidades de solució del sistema iicial, verificádose: Si a 0 el sistema es compatible determiado, pues siempre se puede ecotrar ua solució úica empezado a resolver el sistema por la tercera ecuació. Si a = 0 y b = 0 el sistema es compatible idetermiado, pues la ecuació E desaparece queda 0z = 0, que se cumple para cualquier valor de z resultado así u sistema co dos ecuacioes y tres icógitas, el sistema aterior queda: a + a y + a z = b a + a y + a z = b a + a y = b a z a y + a z = b a y + a z = b a y = b a z 0z = 0 Para resolver este sistema hemos de supoer la icógita z coocida y hallar las otras e fució de ella. E la práctica, suele hacerse z = k. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

43 Si a = 0 y b 0 el sistema es icompatible, pues la ecuació E queda 0z = b 0, que evidetemete es absurda, pues cualquier valor de z multiplicado por 0 debe dar 0. Ejemplo: Discute y halla la solució del sistema: + y + z = + y z = y + z = Utilizado el método de Gauss se tiee: + y + z = + y + z = + y + z = + y z = E + E y + z = y + z = y + z = E - E y z = E + E 0z = 0 Como la ecuació E se ha aulado el sistema es compatible Idetermiado, ya que tiee meos ecuacioes que icógitas, tedrá ifiitas solucioes, pudiedo epresarlas todas e fució de ua de ellas. Este sistema es equivalete a: + y + z = + y = z y + z = y = z z z z z Despejado y e E, resulta y =. Sustituyedo e E:. z z k k Haciedo z = k, la solució es: ; y ; z k Geométricamete, las ecuacioes del sistema aterior represeta a tres plaos co ifiitos putos comues alieados segú ua recta. Actividades resueltas: Resolver por el método de Gauss el siguiete sistema de ecuacioes: y z y z y z Elimiamos e la ª y ª ecuacioes. Para ello hacemos: E E y E - E y z y z y z Elimiamos y e la ª ecuació, para ello hacemos: E - E: y z y z 0 La última ecuació 0 = es u absurdo que os dice que el sistema es icompatible, si solució. Geométricamete, los plaos que represeta a las ecuacioes o tiee igú puto e comú. Resuelve, aplicado el método de Gauss, el sistema: y z y z y z El proceso es el siguiete:. Se elimia la icógita e las ecuacioes seguda y tercera, sumado a éstas, la primera ecuació multiplicada por - y, respectivamete: E - E; E + E, quedado el sistema: y z 0 y 8z 0 y 7z. Suprimimos la icógita y de la tercera ecuació sumado a la misma, previamete multiplicada por, la seguda multiplicada por : E + E. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

44 y z 0 y 8z 0 0 9z 9. Se resuelve el sistema escaloado empezado por la tercera ecuació: 9z = 9 z =. Ahora, e la seguda ecuació: y 8. = y = y = Y por último, e la primera: +. + = = + = 0. La solució del sistema es: = 0, y =, z =.. Resolver por el método de Gauss los sistemas: y z y z 0 a y z b 7 y z 0 y z y z 0. Resuelve y discute si es posible el siguiete sistema: y z y z y z 7. Discutir y resolver cuado sea posible, los siguietes sistemas lieales de ecuacioes. y z t y z 7 y z 8t 7 a 8y z b y y z t y z t 0.. Problemas de ecuacioes lieales. Se puede platear problemas de la vida diaria que se puede resolver aplicado el método de Gauss, ya que da lugar a sistemas de más de dos ecuacioes e icógitas. Ates de resolver u problema vamos a dar uos cosejos que vedrá bie para su prota y eficaz resolució. Recuerda que: E la resolució del problema o importa tato llegar a obteer la solució del problema como el proceso seguido e el mismo, que es el que realmete os ayuda a poteciar uestra forma de pesar. Para empezar debemos familiarizaros co el problema, comprediedo el euciado y adquiriedo ua idea clara de los datos que iterviee e éste, las relacioes etre ellos y lo que se pide. E la fase de familiarizació co el problema se debe teer e cueta las pautas siguietes: Ates de hacer trata de eteder Tómate el tiempo ecesario. Actúa si prisa y co traquilidad Imagíate los elemetos del problema y juega co ellos Po e claro la situació de partida, la itermedia y a la que debes llegar. Buscar estrategias para resolver el problema y ua vez ecotrada llevarla adelate. Revisar el proceso y sacar cosecuecias de él: El resultado que hemos obteido, hacemos la comprobació y observamos que verifica las codicioes impuestas por el problema. Ejemplo: Averigua cuátos hombres, mujeres y iños hay e ua reuió sabiedo que: Si hubiera u iño más, habría igual úmero de iños que de hombres y mujeres jutos. Si hubiese 8 mujeres más, el úmero de éstas doblaría a la suma de hombres y iños. El triple de la catidad de hombres más el úmero de mujeres es igual al úmero de iños más. Si llamamos al úmero de hombres, al de mujeres y y al de iños z, obtedremos el sistema siguiete: z y y 8 z y z Pasamos las icógitas al º miembro y obteemos el siguiete sistema: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

45 y z y z 8 y z Vamos a resolverlo aplicado el método de Gauss: Elimiamos e la ª y ª ecuació. Para ello hacemos E-E; E-E y z 0 y z 0 y z La ª ecuació es simplificable, la dividimos por, quedado E/: y z y z y z Elimiamos y e la ª ecuació. Para ello hacemos -E+E: y z y z z Obteemos así u sistema e forma escaloada muy secillo de resolver. De la ª ecuació obteemos el valor de z: z =. Sustituyedo z = e la ª ecuació: y + = y = y = Sustituyedo los valores de y y de z obteidos e la ª ecuació: + = = Es u sistema compatible determiado co solució úica: = hombres, y = mujeres, z= iños. Comprobamos el resultado. E efecto u iño más,, es igual al úmero de mujeres más hombres, +. 8 mujeres más, 0, dobla al úmero de hombres y iños: +. El triple de la catidad de hombres,, más el úmero de mujeres, + = 8, es igual al úmero de iños más, +. Geométricamete so tres plaos que se corta e el puto,, que es el úico puto comú a los tres. 8. Compramos 8 kg de café atural y kg de café torrefacto, pagado. Calcula el precio del kilo de cada tipo de café, sabiedo que si mezclamos mitad y mitad resulta el kilo a. 9. Ua madre tiee el doble de la suma de las edades de sus hijos. La edad del hijo meor es la mitad de la de su hermao.la suma de las edades de los iños y la de la madre es años. Qué edades tiee? 0. Deseamos veder u coche, u piso y ua fica por u total de Si la fica vale cuatro veces más que el coche y el piso cico veces más que la fica, cuáto vale cada cosa?. Las tres cifras de u úmero suma 8.Si a ese úmero se le resta el que resulta de ivertir el orde de sus cifras, se obtiee 9; la cifra de las deceas es media aritmética etre las otras dos. Halla dicho úmero... Sistemas de iecuacioes lieales: U sistema de iecuacioes lieales co dos icógitas es el cojuto de dos o más iecuacioes, que debe satisfacerse a la vez. Para su resolució, se procede de la maera siguiete: Se resuelve cada iecuació por separado. El cojuto solució del sistema, tambié llamado regió factible, está formada por las solucioes comues a todas las iecuacioes. Ejemplo: Tomemos como ejemplo el sistema de iecuacioes siguiete: y y º Represetamos la regió solució de la primera iecuació. Trasformamos la desigualdad e igualdad. + y = Damos a ua de las dos variables dos valores, co lo que obteemos dos putos. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

46 = 0; 0 + y = ; y = ; 0, = ; + y = ; y = ;, No º La solució es la itersecció de las regioes solucioes. Actividades resueltas: Resuelve el siguiete sistema de iecuacioes: Al represetar y uir estos putos obteemos ua recta. Tomamos u puto, por ejemplo el 0, 0, los sustituimos e la desigualdad. Si se cumple, la solució es el semiplao dode se ecuetra el puto, si o la solució será el otro semiplao. + y Sí El semiplao que está sombreado es la solució de la primera iecuació. Hacemos lo mismo co la seguda iecuació: º Represetamos la regió solució de la seguda iecuació. + y = = 0; 0 + y = ; y = ; 0, = ; + y = ; y = 0;, 0 Tomamos u puto, el 0, 0 por ejemplo y lo sustituimos e la iecuació, como o se cumple la desigualdad será el semiplao e el que o está el puto. + y Cojuto de solucioes de la primera iecuació: y = y = +. Putos de corte de la recta co los ejes: = 0 y = + = A = 0, y = 0 0 = + = / B = /, 0 Probamos co putos a ambos lados de la recta para ver cuál cumple la iecuació: 0, 0, y 0 SI Como se cumple la igualdad para el puto propuesto la regió factible es el semiplao al que perteece el puto referido. Cojuto de solucioes de la seguda iecuació: + y = y = Putos de corte de la recta co los ejes: = 0 y = = C = 0, y = 0 0 = = D =, 0 Probamos co putos a ambos lados de la recta para ver qué regió verifica la iecuació: 0, 0, + y < 0 < Como se cumple para el puto dado el semiplao elegido es e el que está el puto. El cojuto de solucioes del sistema, o regió factible, está formado por aquellos putos que cumpla ambas iecuacioes, por tato, la solució es la itersecció de ambos semiplaos: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

47 7. Ecuetra la regió factible del sistema:. Resuelve los siguietes sistemas de iecuacioes: y y y a b y y y 0 y 0 y 0 y 0 y 8 c y 0 y 0 d 0 0. PROBLEMAS DE MATEMÁTICA FINANCIERA. Vamos a platear y a resolver problemas de matemática fiaciera e los que iterviee el iterés simple y compuesto, y se utiliza tasas, marge de beeficio, amortizacioes, capitalizacioes y úmeros ídice. Parámetros ecoómicos y sociales. Podremos u ejemplo de cada uo y lo resolveremos epoiedo las fórmulas y coceptos que hace falta para ello. Vamos allá: Empezaremos por las tasas y los úmeros ídice etre los que destacaremos la tasa de atalidad y mortalidad y los ídices de las bolsas y el de precios al cosumo I.P.C. respectivamete, para después cotiuar co itereses y préstamos bacarios y sus amortizacioes... Tasas La tasa de atalidad es u idicador social. E toda tasa se da la catidad que iteresa e relació a ua catidad de referecia. Ejemplos: Tasa de atalidad:, 0/00 Nace, bebés por cada 000 habitates. Tasa de paro: % parados por cada 00 persoas e edad laboral. Tasa de alcoholemia: 0, 0, cm de alcohol por litro de sagre... Números ídice U úmero ídice, NI, es ua herramieta o parámetro creada para estudiar la variació e el tiempo de ua determiada magitud ecoómica. Medida actual de la magitud NI Medida atigua de la magitud Destacamos: El ídice de las bolsas refleja el valor global de las empresas que se cotiza e ellas. El valor del Ídice e cada mometo se obtiee mediate cálculos muy complejos e los que se valora las cotizacioes de las accioes y la catidad que se comercializa de cada ua. Más que su valor cocreto, se puede prestar ateció a su variació porcetual respecto a ua fecha aterior: El IBEX ha subido u 0 80 % durate esta semaa. Especialmete importate es el ídice de precios al cosumo IPC: No tiee, e cada mometo, u valor determiado, sio que se evalúa e referecia al año o al mes aterior: El IPC ha subido e mayo u 0 8 %, co lo que acumula u crecimieto aual del %. Para calcular la variació mesual del IPC, se tiee e cueta la variació del precio de cada uo de los biees de cosumo y la catidad ivertida e el mismo durate ese mes. El ídice de precios al cosumo es u úmero ídice que se utiliza para medir la variació de la iflació. Se calcula tomado el precio de ua serie de artículos represetativos de cosumo habitual cesta de la compra, p, p, p, Y multiplicado dichos precios por su correspodiete peso o poderació, q, q, q, segú la importacia asigada e el mometo Medidaactual de la magitud pq pq pq... IPC Medidaatigua de la magitud p0q0 p0q0 p0q Iterés simple Cuado depositamos ua determiada catidad de diero capital e u baco lo que hacemos es prestar este capital a la etidad bacaria y ésta, a cambio, os da u tato por cieto del diero que depositamos. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

48 8 Por ejemplo, Si depositamos 0000 e ua libreta de ahorro al % cada año recibimos: 0000 ' ' La catidad que hemos depositado, 0000 es el capital: El beeficio obteido, 70, se llama iterés. La catidad que produce 00 cada año,, se llama rédito o tato por cieto. Y la catidad que produce aualmete, 0 0, se llama tato por uo. C.R U capital colocado al R % e u año produce de iterés, luego e t años producirá u iterés de: C. R. t 00 I Crt 00 Capital, C, es la catidad de diero que depositamos e ua etidad fiaciera. Iterés, I, es la catidad de diero producida por u capital de u iterés determiado. Rédito o tato por cieto, R, es la gaacia que produce 00 e u año. Tato por uo, r, es la gaacia que produce e u año. R Se verifica: r 00 Actividades resueltas Colocamos e u baco 0000 al %, percibiedo los itereses semestralmete. Si hemos cobrado 00 e cocepto de itereses. Cuáto tiempo hemos teido el diero e el baco? Al ser el cobro de itereses semestral, la fórmula que aplicamos es: CrT I.00 I T semestres. Cr ,0 Esto sigifica que el diero ha estado depositado e el baco semestres, o lo que es lo mismo, meses... Iterés compuesto Cuado o cobramos los itereses e los distitos periodos de tiempo sio que éstos se va sumado al capital, éste se va icremetado. A este proceso le llamamos capitalizació y afirmamos que hemos colocado el capital a iterés compuesto. Colocar u capital a iterés compuesto sigifica que el capital se va icremetado co los itereses producidos e cada periodo de tiempo. Al capital eistete e cada mometo, le llamamos motate. Cuado colocamos u capital, C, al tato por uo, r, al fial del primer año teemos u motate de: M = C + Cr = C + r. Al fial del segudo año, tedremos: M = C + r + C + rr = C + r + r = C + r. Al fial del tercer año, tedremos: M = C + r + C + r r = C + r + r = C + r. Razoado y siguiedo la misma pauta, llegamos a obteer que el motate, al cabo de t años, es: t M C r De forma aáloga, obteemos el motate cuado capitalizamos veces al año o e periodos cada año: T r M C Siedo T el úmero de periodos. Actividades resueltas Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

49 9 Durate cuáto tiempo ha de ivertir u capital de 000 al % de iterés compuesto para llegar a obteer u motate de si la capitalizació se produce trimestralmete? Como la capitalizació es trimestral, es. Por tato: T r r log M log C M C log M log C T log T log = trimestres. r Por lo tato el capital ha de ivertirse durate trimestres = meses y medio... Aualidades de capitalizació E muchas situacioes se platea el problema de coseguir u obteer u capital al cabo de u úmero determiado t de años. Para ello, hacemos uos pagos o aportacioes, siempre iguales, al pricipio de cada uo de los años. Estos pagos o aportacioes se llama aualidades de capitalizació. Recuerda que: Las aualidades de capitalizació so pagos o aportacioes fijas que hacemos al pricipio de cada año para formar, juto co sus itereses compuestos, u capital al cabo de u úmero determiado de t años. Supogamos que la aualidad de capitalizació es a, que el tato por uo aual es r y el tiempo de capitalizació es de t años. Utilizado la epresió de iterés compuesto, obteemos que la aualidad que etregamos al iicio del primer año se covierte o capitaliza e el siguiete motate: a + r t La seguda aualidad, etregada al pricipio del segudo año, capitaliza al cabo de t años el motate: a + r t- La tercera aualidad capitaliza e t años el motate: a + r t- y así sucesivamete, la aualidad t-ésima, que etregamos al comiezo del t-ésimo año o último, capitaliza e año el siguiete motate: a + r La suma de todos estos motates da lugar a la capitalizació del capital C: C = a + r + a + r + + a + r t- + a + r t Aplicado la epresió de la suma de térmios cosecutivos de ua sucesió o progresió geométrica a la progresió aterior de razó + r y úmeros de térmios t, obteemos: t t a r r a r a r. r C r Recuerda que: Ua sucesió: a, a, a, se llama sucesió o progresió geométrica si cada térmio, ecepto el primero, se obtiee multiplicado el aterior por ua catidad costate, r, llamada razó de la progresió: a = a r ; a =a.r; a =a -.r. Por tato la suma de los primeros térmios a + a +. + a vale: a. p a Cuado los pagos o aportacioes los hacemos al pricipio de cada mes, la capitalizació o es aual, lo que capitalizamos cada mes es: T r r a C r siedo a la aportació mesual y T el tiempo de capitalizació e meses. T r r a E geeral, cuado los pagos los hacemos veces al año, el capital obteido es: C r siedo T el úmero de periodos de capitalizació. Actividades resueltas Ua persoa, al cumplir los 0 años, decide hacer u pla de ahorro. Llega co el baco a u acuerdo de capitalizar trimestralmete al % aual, depositado 90 al iicio de cada trimestre. Qué capital obtedrá al cumplir los 0 años? La capitalizació es trimestral, co lo cual el úmero de periodos e u año es =. El tiempo de capitalizació es 0 0 igual a 0 años, que epresado e periodos de capitalizació o trimestres, es de 0 = 80 trimestres. Se trata de ua Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti r S p

50 0 capitalizació o aual. El capital que obtedrá segú la fórmula que hemos visto ates será: T r r a 80 0'0 0'0 0'0 C /90 989'0 r Qué aualidad tedríamos que aboar al pricipio de cada año durate años para capitalizar o coseguir 8000 al % aual? Se trata de ua capitalizació aual, por lo tato segú la fórmula siguiete obtedremos: a r r C r t rc a r t r a 0' '0 0'0 '.. Tasa aual equivalete. T.A.E. E cuetas de ahorro, llamamos TAE al tato por cieto de crecimieto total del capital durate u año cuado los periodos de capitalizació so iferiores a u año. E préstamos bacarios, la TAE, tambié es superior al rédito declarado. Al calcularla se icluye los pagos fijos comisioes, gastos que cobra el baco para coceder el préstamo Pago mesuales de itereses: C r siedo C el capital y el úmero de meses Actividades resueltas Si colocamos 00 al % aual co capitalizació trimestral, e u año geera u motate de: 0'0 M 00 '090. Si ahora os pregutamos, a qué tato por cieto aual hemos de colocar el mismo capital para geerar el mismo motate co capitalizació aual? T. A. E. ' Operado, obteemos el T.A.E. = 0 Esto idica que el T.A.E. es el tato por cieto aual, que geera el mismo motate que ua capitalizació e periodos de tiempo al año al r % aual..7. Aualidades de amortizació E la vida real es muy frecuete pedir prestado a u baco o ua etidad fiaciera ua catidad de diero que llamamos deuda. Esta deuda la devolvemos o la amortizamos mediate pagos siempre iguales, durate u úmero t de años cosecutivos, haciedo cada pago o aportació al fial de cada año. Estos pagos o aportacioes iguales se llama aualidades de amortizació. Las aualidades de amortizació so pagos o aportacioes fijas que hacemos al fial de cada año, para amortizar o cacelar ua deuda, juto co sus itereses compuestos, durate u úmero determiado, t de años. La deuda D, al cabo de t años, al tato por uo aual, r, capitaliza el siguiete motate: t M D r Las aualidades, a, que aportamos al fial de cada año, capitaliza los siguietes motates: La primera aualidad e t años se covierte e: a + r t- La seguda aualidad e t años se covierte e: a + r t- La tercera aualidad e t años se covierte e: a + r t- Y así sucesivamete, la aualidad t-ésima, que aportamos al fial del último año, es: a La suma de los ateriores motates ha de coicidir co M: t t t M D r a a r... a r a r Aplicado la epresió de la suma de térmios cosecutivos de ua sucesió o progresió geométrica a la sucesió aterior de razó + r y de t térmios, obteemos: t t a r. r a D r r Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

51 t Y de aquí obteemos la epresió que os da la aualidad de la amortizació: Dr r a t r Cuado los pagos o aportacioes los hacemos al fial de cada mes, la amortizació mesual viee dada por: T r r D.. a dode D es la deuda y T es el tiempo de amortizació e meses. T r E geeral, cuado los pagos los hacemos veces al año, la cuota de amortizació es: siedo T el úmero de periodos de amortizació. r D.. a T r Actividades resueltas E el Mercado de Ocasió del coche usado os vede u coche por 800. La empresa tiee ua etidad fiaciera, la cual cobra u % aual. Cuál debe ser la amortizació mesual para saldar la deuda e años? La amortizació es mesual, por lo que el úmero de periodos e u año es de y la epresió que utilizamos es: T r r 0'0 0'0 D 800 a 7'8 T r 0'0 La empresa Frío Idustrial ha adquirido ua máquia por la que se compromete a pagar 000 e el mometo de la adquisició y 000 al fial de cada año, durate 0 años. Si se aplica u % de iterés aual, cuál es el valor de la máquia? La deuda, D, que la empresa amortiza e 0 aualidades es: t 0 a r 000 0'0 D 9'7 t 0 r r 0'0 0'0 Luego el valor de la máquia es: = U empresario icremeta el precio de sus productos e u % aual. Actualmete, uo de sus productos vale 8. Respode a las siguietes cuestioes: a Cuáto costará el producto detro de años? b Cuáto costaba hace años? c Cuátos años ha de pasar para que el precio actual del producto se duplique?. Calcula el tiempo que debe de estar colocado u capital de 00 e ua cueta corriete al % de iterés compuesto aual para que el capital se duplique. Calcula el tiempo ecesario para que u capital impuesto a iterés compuesto al % aual se duplique. Y para que se triplique? 7. Durate cuáto tiempo hemos de aboar mesualidades de 0 al % aual para coseguir capitalizar 00? 8. El abuelo de Luis, al acer éste, decidió igresar e u baco u capital de 00 a iterés compuesto aual del %. Cuáto diero recibirá al cumplir años? Si la capitalizació se hubiera hecho semestral, cuáto diero hubiera recibido? 9. Ua persoa etrega al pricipio de cada mes y durate años ua catidad fija de 0.La capitalizació es mesual al % aual. Qué capital tedrá al fial de los años? 70. Ua persoa compra u piso e A la firma del cotrato etrega 8000 y el resto lo paga ua etidad fiaciera que le ha cocedido el préstamo correspodiete. Esta etidad le cobra el % aual y las cuotas de amortizació mesuales. A cuáto asciede cada ua de estas cuotas si ha de saldar la deuda e 0 años? 7. Ua empresa maderera compra u camió, el cual se compromete a pagar e aualidades al %.cada aualidad de amortizació asciede a 00. Cuáto costó el camió? r T Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

52 RESUMEN Noció Descripció Ejemplos Poliomio Epresió costruida a partir de la suma de moomios 8 Suma, resta y producto de poliomios Regla de Ruffii El resultado siempre es otro poliomio p = + ; q = +. p + q = + 0; p q = + ; p q = + +. Nos puede ayudar a la hora de factorizar u poliomio y coocer sus raíces Fraccioes algebraicas Ecuacioes de primer y segudo grado Desigualdades de primer o segudo grado Parámetros ecoómicos y sociales Aualidades de capitalizació o de amortizació Es ua fracció de epresioes algebraicas So igualdades etre poliomios de primer o segudo grado. Desigualdades etre poliomios de primer o segudo grado Problemas fiacieros que se da e la realidad y su solució So pagos que hacemos al pricipio de cada año para formar o amortizar, juto co sus itereses compuestos, u capital al cabo de u úmero determiado de t años. EJERCICIOS Y PROBLEMAS Poliomios:. Estudia si hay úmeros reales e los que las siguietes epresioes o puede ser evaluadas: a 7 9 b 7 c 9 d Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra 7 + > 0 su solució es el itervalo,. Tasas Números ídice. Iterés simple y compuesto T.A.E a r. r C r Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti Dr r a t r y y. Calcular cuáto debe valer la letra m para que el valor umérico de la epresió algebraica siguiete sea para = 0. m m. Cosideremos los poliomios p, q y r 7. Realiza las siguietes operacioes: a p q r b p q c p r d p rq. Efectúa las divisioes de poliomios: a 7 9 etre b etre. Señala si efectuar la divisió, si las siguietes divisioes so eactas o o: a b c. Costruye u poliomio de grado tal que el úmero sea raíz suya. 7. Escribe dos poliomios de grados diferetes y que tega e comú las raíces y. 8. Costruye u poliomio de grado tal que tega úicamete dos raíces reales. t t

53 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti 9. Ecuetra u poliomio q tal que al dividir p etre q se obtega como poliomio resto r. 0. Halla las raíces eteras o racioales de los siguietes poliomios: a b c d. Descompó los siguietes poliomios como producto de poliomios irreducibles: a b c d. Realiza las operacioes etre fraccioes algebraicas: a 9 b 9 c 9 d 9 :. Aaliza si los siguietes poliomios ha surgido del desarrollo de potecias de biomios, o triomios, o de u producto suma por diferecia. E caso afirmativo epresa su procedecia. a 9 b 8 c 0 y y d e f g h i y. Efectúa las siguietes operacioes y simplifica todo lo posible: a b y y y y c. Efectúa las siguietes operacioes y simplifica todo lo posible: a : b a a a a a a : c b a ab b a b a b a b a :. Efectúa las siguietes operacioes y simplifica todo lo posible: a y a y a y a y a : b : c y y y y Ecuacioes, iecuacioes y sistemas: 7. Resolver las ecuacioes siguietes: a 9 b 7 c 8. Resolver las siguietes ecuacioes idicado cuatas solucioes tiee y cuales so: a 8 7 b 0 8 c d 9. El cateto mayor de u triágulo rectágulo es ua uidad mayor que el cateto meor. La hipoteusa es tres uidades mayor que el cateto meor. Se pide: a Escribir la epresió algebraica que resulta de aplicar el Teorema de Pitágoras. b Calcula la hipoteusa y los catetos. 0. E ua competició de balocesto a doble vuelta participa doce equipos. Cada partido gaado vale putos y los partidos perdidos, puto o puede haber empates. Al fial de la competició, u equipo tiee putos. Cuátos partidos ha gaado?. Ua caja de forma cúbica se llea co cierto úmero de cubitos de u cetímetro cúbico y sobra 7 cubitos; pero si todos los cubitos que hay se poe e otra caja que tiee u cetímetro más por cada arista, falta 00 para llearla. Calcula las logitudes de las aristas de las dos cajas y el úmero de cubitos que hay.. Las tres cifras de u úmero suma. Si a ese úmero se le resta el que resulta de ivertir el orde de sus cifras, se obtiee 98; la cifra de las deceas es la media aritmética etre las otras dos. Halla el úmero.. Queremos averiguar las edades de ua familia formada por los padres y los dos hijos. Si sumamos sus edades de tres e tres, obteemos 00, 7, 7 y 98 años, respectivamete. Cuál es la edad de cada uo de ellos?

54 . Resuelve: a 9 b 7 c d e f 7. Calcula los valores de para que sea posible calcular las siguietes raíces: a b c d. Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a 8 < 0 b + 0 c d 0 e 9 > 0 f 9 < 0 g 9 < 0 h Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a b c < 8 d 0 e 7 + < 0 f Resuelve las siguietes iecuacioes de segudo grado: a 0 b 7 > 0 c < 0 d 0 9. Calcula los valores de para que sea posible obteer las siguietes raíces: a + b + c d + e f + 7 g 0. Resuelve los siguietes sistemas por el método de Gauss y discute el resultado: y t y z y z z t a y b c y z y z y z t y z y z y z t y z y 8z 8 y z t d y z e 8y z f y 8 y z y z t y z t Problemas de Matemáticas Fiacieras. Ua persoa etrega al pricipio de cada mes y durate años ua catidad fija de 00.La capitalizació es mesual al % aual. Qué capital tedrá al fial de los años?. La abuela de María, al acer ésta, decidió igresar e u baco u capital de 000 a iterés compuesto aual del 7 %. Cuáto diero recibirá al cumplir años? Si la capitalizació se hubiera hecho semestral, cuáto diero hubiera recibido?. Tasa Aual Equivalete T.A.E.. Si colocamos 00 al 8 % aual co capitalizació trimestral, e u año, qué motate geera? A que tato por cieto debemos colocar el mismo capital para geerar el mismo motate si la capitalizació es aual.. Calcula el T.A.E. e los siguietes casos: a Partiedo del motate que se geera e el problema aterior, cuado los itereses se devega mesualmete al % aual. b Los itereses se devega trimestralmete al % aual. c Los itereses se devega diariamete al % aual. d Ecuetra la fórmula geeral para calcular el T.A.E.. Ua persoa compra u piso por A la firma del cotrato etrega 0000 y el resto lo paga ua etidad fiaciera que le ha cocedido el préstamo correspodiete. Esta etidad le cobra u 9 % aual y las cuotas de amortizació mesuales. A cuáto asciede cada ua de estas cuotas si ha de saldar la deuda e 0 años?. Tu hermaa se ha comprado ua moto cuyo valor es de La va a pagar mediate cuotas trimestrales de 7 al % aual. Cuátos años tardará e pagar la moto? 7. Al comiezo de cada uo de años cosecutivos depositamos e ua libreta de ahorro 000. Al comezar el quito año, sacamos 000 de la libreta. Qué catidad de diero queda e la libreta si sabemos que los itereses so compuestos al % aual? 8. A qué tato por cieto aual debe prestarse u capital puesto a iterés compuesto para que e 0 años se duplique? Y para que se duplique e 0 años? 9. Cuál es la cuota mesual de amortizació de u préstamo hipotecario de 000 a años al % aual? Qué catidad de diero pagamos durate los años? Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

55 AUTOEVALUACIÓN. Completa adecuadamete las siguietes frases: a La suma de dos poliomios de grado dos es siempre otro poliomio de grado. b La suma de tres poliomios de grado dos es siempre otro poliomio de grado. c El producto de dos poliomios de grado dos es siempre otro poliomio de grado. d La diferecia de dos poliomios de grado dos es siempre otro poliomio de grado.. Cosidera el poliomio 7 7. Cuál de los siguietes úmeros eteros es u cadidato razoable para ser ua raíz suya? a b c d 7. La desigualdad < < 7 se verifica para los valores: a, y b, 7 y c, y 7 d, y 8. La solució de la iecuació + 8 < es: a < 0/7 b > +/0 c > 0/ 7 d < +/0. La suma de las edades de dos persoas es mayor de 0 años y su diferecia meor o igual que 8 años. Cuál de los siguietes sistemas de iecuacioes os permite calcular sus edades? y 0 y 0 y 0 y 0 a b c d y 8 y 8 y 8 y 8. El perímetro de u rectágulo es meor que cm. Si la base es mayor que el doble de la altura meos cm, algú valor que verifica es sistema es: a base = cm, altura = cm b base = cm, altura = cm c base =, altura = cm d base = 9 cm, altura = cm 7. Ua iecuació cuya solució sea el itervalo, es: a + < 9 + b < 9 + c + < d + > La solució de la iecuació es: a, b, c < > d, y z 9. Cuál es la solució del siguiete sistema de ecuacioes?: y z y 7z a = y = 0 z = b = y = 0 z = c = y = 0 z = d = 0 y = z = 0. E el mercado de ocasió del coche usado os vede u coche por 000. La empresa tiee ua etidad fiaciera que cobra u 8 % aual. Cuál debe ser la amortizació mesual para saldar la deuda e años? a 8 b 8 c 8 d 8 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Álgebra Autores: José Atoio Ecabo de Lucas y Eduardo Cuchillo Revisora: Nieves Zuasti

56 CAPÍTULO : FUNCIONES. TIPOS DE FUNCIONES.. Fucioes e forma de tabla, gráfica o epresió algebraica Recuerda que: E tercero y e cuarto de ESO ya estudiaste el cocepto y las características de ua fució. Como es muy importate, vamos a isistir y a profudizar e ello. Ya sabes que ua fució puede veir dada pricipalmete de tres formas: Fucioes e forma de tabla Si recogemos los datos de u eperimeto obteemos ua tabla de valores, como por ejemplo: Ejemplo: Soltamos ua pelota desde 0 m de altura y medimos el espacio recorrido e segudos. Obteemos etoces la tabla siguiete: Espacio m Tiempo s Cuado la fució viee dada por ua tabla de valores úicamete coocemos alguos valores de co sus correspodietes valores de y. Si deseamos estimar el valor de y para algú que o figure e la tabla debemos recurrir a iterpolacioes y etrapolacioes, que estudiaremos e el apartado.. Fucioes e forma de epresió algebraica Cooces muchas fórmulas que puede dar orige a fucioes. Ejemplo: El volume de líquido coteido e u cilidro de cm de radio al variar la altura del líquido. y = 9 Fucioes e forma de gráfica A veces la gráfica de ua fució puede obteerse directamete del feómeo estudiado mediate u aparato. Ejemplo: U electrocardiograma es ua fució que idica la variació del potecial eléctrico del corazó al trascurrir Sismograma el tiempo. U sismograma idica la variació de la velocidad y aceleració de las odas producidas por u terremoto. Otras veces la obtedremos de su epresió aalítica o de la fució dada como tabla. Pero hay que advertir que, como e los ejemplos ateriores de electrocardiograma o sismograma, e ocasioes o es posible coocer la epresió aalítica Cocepto de fució Ua fució es ua relació etre dos magitudes de forma que a u valor cualquiera de ua variable idepediete le hacemos correspoder, como mucho, u úico valor de la otra variable depediete. Para idicar que la variable y depede o es fució de otra,, se usa la otació y = f, que se lee y es la image de mediate la fució f. Ua fució real de variable real es aquella e la que tato el domiio como la image so subcojutos de. Si A y B so subcojutos de la fució se idica: f Y tambié y = f, Domf = A. Esta relació fucioal se puede establecer, muchas veces, mediate ua epresió matemática o fórmula, lo que os permitirá trabajar de forma cómoda co ella. Otras veces viee dada mediate ua tabla dode aparece los valores relacioados etre sí. E ocasioes teemos la relació e forma de gráfica Y tambié eiste fucioes que o se puede escribir mediate ua epresió algebraica! Por tato, se puede asemejar co ua máquia que coge u úmero y lo trasforma e otro mediate ua serie de operacioes que, a veces, podemos describir mediate ua fórmula. f : A B Electrocardiograma Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

57 7 Ejemplos: Fucioes costates los úmeros vistos como fucioes: f = k, para todo f =, para todo, así f = ; f0 = ; f = ; Fució idetidad trasforma cada úmero e él mismo: I =, para todo, así I = ; I = ; I = ; 0 0 f 0 que o eiste 0 0 f 08 f f ' 9 ' f ' ' Tipos de fucioes Eiste distitos tipos de fucioes segú sea la fórmula que las defie: TIPO Poliómicas ALGEBRAICAS Racioales Irracioales Epoeciales TRASCENDENTES Logarítmicas Trigoométricas DEFINIDAS A TROZOS ' FÓRMULA Poliomio Cociete de poliomios Raíz de ua racioal Epoecial variable e el epoete Logaritmo variable como argumeto de u logaritmo Trigoométrica variable como argumeto de ua razó trigoométrica Varias fórmulas depediedo de los valores de la variable La gráfica de ua fució es el lugar geométrico de todos los putos del plao, pares ordeados, e los que el primer valor correspode a uo cualquiera de la variable idepediete y el segudo a su image, es decir, al que se obtiee al trasformarlo mediate dicha fució: {, y ; y = f} Se represeta dibujado todos los putos ateriores y uiédolos co ua líea, y se hace sobre los ejes de coordeadas dos rectas perpediculares: eje de abscisas para los valores que toma la variable idepediete, eje de ordeadas para los valores que toma la variable depediete, y orige de coordeadas, puto de itersecció de ambos. Uo de los objetivos importates de este capítulo y los siguietes es llegar a represetar gráficamete todo tipo de fucioes o ecesivamete complejas. Ejemplos: TIPO GRÁFICAS Poliómicas Racioales Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

58 8 TIPO GRÁFICAS Irracioales Epoeciales Logarítmicas Defiidas a trozos.. Fucioes racioales. Ua fució moómica es aquella e la que, la fórmula que establece la relació etre la variable depediete y la idepediete es u moomio, es decir, ua epresió algebraica e la que úicamete aparece productos e la parte variable. Ejemplos: Fució idetidad: Fució poliómica: Volume esfera respecto al radio: I = f = V r r U caso particular de fució moómica es la fució potecial, aquella e la que la fórmula que establece la relació etre las variables es ua potecia de epoete atural. Ejemplos: Fució idetidad: f = Área del cuadrado respecto del lado: I = = Al = l Ua fució poliómica es aquella e la que, la fórmula que establece la relació etre la variable depediete y la idepediete es u poliomio, es decir, ua suma de moomios o semejates. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

59 9 Ejemplos: p = + MRUA Movimieto rectilíeo uiformemete acelerado: e t t t Actividades resueltas Mediate la fució aterior que relacioa el área de u cuadrado co su lado, calcula el área de u: Cuadrado de lado cm: A = = A = cm. Cuadrado de lado 0 m: A0 = 0 = 0 A = 0 m. Cuadrado de lado mm: A = = A = mm. Qué otras fórmulas de áreas o volúmees de figuras cooces que sea fucioes poliómicas?: Área de los triágulos de base cm e fució de la altura: h Ah h moómica Área de los rectágulos de altura m e fució de la base: Ab b b moómica Área de los trapecios de bases y 8 dm e fució de la altura: 8 h Ah 7 h Área total del coo de geeratriz mm e fució del radio: Arr r poliómica Volume de la pirámide cuadragular de altura 7 m e fució del lado: 7 V l l 7 l. Realiza ua tabla de valores y represeta la fució idetidad.. Calcula las imágees de los úmeros ; ; 0; ; ; ; 0 por la fució f = +. Área total de u cilidro de altura respecto al radio: Ar = r + r Fució afí Recuerda que: Como casos especiales detro de las fucioes poliómicas, se ecuetra las fucioes afies y las cuadráticas que se estudiaro e cursos ateriores: Ua fució afí es ua fució poliómica de grado meor o igual que uo: y = f = m +. Su represetació gráfica es ua recta, su pediete es el coeficiete líder m e idica la icliació de la misma si es positivo la recta será creciete y si es egativo decreciete y su ordeada e el orige es el térmio idepediete, que os proporcioa el puto dode la recta corta al eje de ordeadas. Ejemplo: GRÁFICA f = poliomio de primer grado / 0 f 0,, /, 0 0,, Pediete: recta decreciete Ordeada e el orige: 0, puto de corte de la recta co el eje de ordeadas Casos particulares de fucioes afies so: Fució costate recta horizotal: es aquella que siempre toma el mismo valor para todos los valores de la variable idepediete la pediete es ula: f =. Ejemplos: Gráficas de f = ; f = ; f = 0; f =. Por tato, la recta o tiee icliació, es decir, es paralela al eje de abscisas. Observa que La ecuació del eje de abscisas es y = f = 0. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

60 0 Fució lieal o de proporcioalidad directa: es aquella que tiee ordeada e el orige igual a 0 pasa por el orige de coordeadas, es decir, es moómica de grado : f = m. Ejemplos: Gráficas de f = y es el triple de ; f = y es el opuesto del doble de ; I = fució idetidad: y es igual a. Fució cuadrática Ua fució cuadrática es ua fució poliómica de segudo grado: y = f = a + b + c. La gráfica de este tipo de fucioes se llama parábola. Si el coeficiete líder o cuadrático es positivo a > 0, la parábola está abierta hacia el eje Y positivo covea. Si el coeficiete líder o cuadrático es egativo a < 0, la parábola está abierta hacia el eje Y egativo cócava. y = + > 0 y = + < 0 Los otros coeficietes del poliomio afecta a la posició que ocupa la parábola respecto a los ejes. E ua fució cuadrática hay ua rama que crece y otra que decrece. El puto dode se produce ese cambio se llama vértice y es el mayor máimo o meor míimo valor que toma la fució. Es el puto más sigificativo e ua parábola y, b por eso, es importate saber calcularlo. Para ello, le damos a la variable idepediete el valor, y lo sustituimos e a la fució para calcular su image. Dicho valor es fácil de recordar ya que es lo mismo que aparece e la fórmula de las ecuacioes de º grado quitádole la raíz cuadrada. Ejemplo: GRÁFICA y poliomio º grado 0 f 0 0 0,, 0,, 0, Coeficiete líder: > 0 parábola covea Vértice: b y, a a b Ordeada e el orige: 0, puto de corte co el eje de ordeadas. Putos de itersecció co el eje de abscisas:, 0 y, Fucioes poliómicas Las fucioes poliómicas de grado mayor que dos so más complejas de dibujar, auque las gráficas tambié tiee características llamativas: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

61 Fució racioal Ua fució racioal es aquella e la que, la fórmula que establece la relació etre la variable depediete y la idepediete es ua epresió racioal o fracció algebraica, es decir, ua divisió de dos poliomios. Ejemplos: Fució de proporcioalidad iversa: f t g t h t Recuerda que: Cuado los poliomios que forma la fracció algebraica so, como mucho, de grado el del deomiador obligatoriamete, la gráfica de la fució es ua curva llamada hipérbola. Ejemplo: GRÁFICA La gráfica de la fució de proporcioalidad iversa es: / / / / f / / / /.. Iterpolació y etrapolació lieal y cuadrática. Ajuste mediate fucioes poliómicas Iterpolar es itercalar etre los etremos. Ua iterpolació lieal cosiste e ajustar ua recta a los datos para obteer u valor itermedio. Ejemplo: E el tratamieto de ua efermedad se está probado e u laboratorio distitas dosis de u medicameto para comprobar sus efectos. Se ha obteido los siguietes datos: Dosis mg: Curacioes %: y Se puede dibujar gráficamete los datos de esta tabla, y uirlos segú diferetes criterios. Si los uimos mediate segmetos de rectas y queremos estimar el porcetaje de curacioes para ua dosis de mg, debemos calcular la ecuació de la recta que pasa por los putos, y 7, : Cálculo de la ecuació de la recta: y = f = m + f = = m + f7 = = m7 + Restamos: = m = m = =. Ecuació de la recta: y = +. Para ua dosis de mg tedremos, aproimadamete, y = + =. Aproimadamete tedremos u porcetaje de curacioes del %. Hemos hecho ua iterpolació lieal.. Utiliza la recta aterior y =, + para obteer el porcetaje de curacioes esperado para ua dosis de 7 mg. Al querer obteer u valor que está fuera del itervalo [, 7] lo que hacemos ahora es ua etrapolació lieal. Etrapolar es estimar más allá del itervalo de observació. Etrapolació lieal es etrapolar utilizado ua recta. Ya sabes, por putos pasa ua úica recta, por putos pasa ua úica fució cuadrática, por putos pasa ua úica fució poliómica de tercer grado y por + putos pasa ua úica fució poliómica de grado. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

62 Iterpolació y etrapolació cuadrática E el ejemplo aterior tambié podíamos haber uido los putos de la tabla mediate otro tipo de curvas. Si los uimos mediate parábolas estaremos haciedo ua iterpolació o ua etrapolació cuadrática. Queremos coocer, como e el caso aterior, el porcetaje de curacioes para ua dosis de de mg. Para ello ecesitamos putos:,, 7, y 8, 9 y buscamos la parábola que pasa por esos tres putos. Cálculo de la ecuació de la parábola: y = f = a + b + c f = = a + b + c f7 = = a9 + b7 + c f8 = 9 = a + b8 + c Restamos: = a + b = a +b Y volvemos a restar y obteemos el coeficiete a: 0 9 = a a = 0. Sustituyedo e cualquiera de las dos ecuacioes ateriores obteemos el coeficiete b: b = 0 = 9 Despejado c de cualquiera de las primeras ecuacioes y sustituyedo a y b: c = a b = 0 9 =. La parábola buscada es: y = f = Para coocer el porcetaje de curacioes, por iterpolació cuadrática, co ua dosis de mg, sustituimos ese valor e la ecuació de la parábola: y = f = = 08. Ahora prevemos u porcetaje algo mayor de curacioes: 08 %. Ua iterpolació cuadrática cosiste e ajustar ua fució cuadrática a los datos para obteer u valor itermedio. Si utilizamos la parábola para determiar el porcetaje de curacioes para ua dosis de fuera del itervalo, 8, como por ejemplo para mg, estaremos haciedo ua etrapolació cuadrática: y = f = = 0 9 %. Ua etrapolació cuadrática cosiste e ajustar ua fució cuadrática a los datos para obteer u valor fuera del itervalo de observació. Cómo podemos coocer si uestros datos se ajusta a ua fució lieal, a ua fució cuadrática o a ua fució poliómica de grado? Si, como e uestro ejemplo, la variable idepediete está e progresió aritmética, calculamos las diferecias sucesivas, hasta que todas las diferecias sea iguales: Dosis mg: Curacioes %: y Diferecias primeras Diferecias segudas Si las diferecias primeras hubiera sido todas iguales, los datos se ajustaría a ua fució lieal. Si las diferecias de orde so todas iguales, los datos se ajusta a ua fució poliómica de grado. E uestro ejemplo las diferecias segudas so todas iguales, luego los datos se ajusta a ua parábola, la parábola: y = f = Fució raíz. Ua fució raíz es aquella e la que la variable depediete se calcula haciedo ua raíz a la variable idepediete. Ejemplos: gt f t ht t j Es importate recordar que la raíz es ua operació u tato especial puesto que o siempre se puede obteer, por ejemplo cuado el radicado es egativo y el ídice par. La fució raíz cuadrada tiee u úico resultado real, el que asiga la calculadora o cofudir co las solucioes de ua ecuació de segudo grado, que so dos. Gráficamete, lo aterior se traduce e: RAÍCES DE ÍNDICE PAR f f RAÍCES DE ÍNDICE IMPAR f f Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

63 . Copia e tu cuadero las siguietes gráficas de fucioes e idica si el ídice es par o impar e las represetacioes de las siguietes fucioes raíz: ÍNDICE ÍNDICE FUNCIÓN FUNCIÓN Par Impar Par Impar.. Fucioes epoeciales y logarítmicas Ua fució epoecial es aquella e la que la variable depediete se calcula elevado u úmero coocido a la variable idepediete. Actividades resueltas Si la catidad de bacterias de ua determiada especie se multiplica por cada hora, podemos escribir la siguiete fórmula para calcular el úmero y de bacterias que habrá al cabo de horas comezado por ua sola bacteria: y = f =. Número de bacterias e cada hora Gráfica de la fució Tabla de valores de la fució: Horas Número de trascurridas 0... bacterias y Observa que e este ejemplo o se ha dado a la valores egativos, ya que o tiee setido u úmero de horas egativo. E las fucioes epoeciales e geeral, la variable idepediete sí puede teer valores egativos, pero sus imágees siempre so positivas.. Realiza e tu cuadero ua tabla de valores y la gráfica para u caso similar, supoiedo que el úmero de bacterias se duplica cada hora.. Vuelve a repetir otra vez el ejercicio aterior supoiedo que el úmero de bacterias queda dividido por cada hora. Observarás que, e el primer caso, los valores de y aumeta mucho más deprisa y eseguida se sale del papel. Mietras que los valores de aumeta de e los valores de y se va multiplicado por. Esto se llama crecimieto epoecial. E el segudo caso, como e lugar de multiplicar se trata de dividir, teemos u decrecimieto epoecial. 7. E tu cuadero, represeta cojutamete las gráficas de y = f =. fució potecial y f =. fució epoecial, co valores de etre 0 y. Observa la diferecia cuatitativa etre el crecimieto potecial y el crecimieto epoecial. Distitas fucioes epoeciales: Las gráficas de las fucioes epoeciales f = a se diferecia segú el valor de la base a : So distitas si 0 < a < o a >. E el caso e el que a = teemos la fució costate y =, cuya gráfica es ua recta horizotal. Veamos las gráficas de alguas fucioes epoeciales, comparádolas co otras: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

64 Fucioes f = y g = Fucioes f y g Observamos que la gráfica de f = a y la de f so simétricas respecto del eje OY. a El úmero e. La fució epoecial f = e : El úmero e tiee ua gra importacia e Matemáticas, comparable icluso al úmero π, auque su compresió o es ta elemetal y ta popular. Ya lo hemos estudiado e capítulos ateriores. Ya sabes que es u úmero irracioal cuyo valor aproimado es e = Este úmero aparece e las ecuacioes de crecimieto de poblacioes, desitegració de sustacias radiactivas, itereses bacarios, etc. Tambié se puede obteer directamete el valor de e co la calculadora siempre como aproimació decimal, puesto que es u úmero irracioal. Normalmete hay ua tecla co la etiqueta e pero puedes usar tambié la tecla etiquetada e. Para ello tedrás que calcular el valor de e. La gráfica de la fució f = e es similar, y comparte características, a la de las fucioes epoeciales de base mayor que dibujadas ateriormete. 8. Utilizado la calculadora, haz e tu cuadero ua tabla de valores y represeta las fucioes f = e y g = e Ua persoa ha igresado ua catidad de.000 euros a iterés del % e u baco, de modo que cada año su capital se multiplica por 0. a. Escribe e tu cuadero ua tabla de valores co el diero que tedrá esta persoa al cabo de,,,, y 0 años. b. Idica la fórmula de la fució que epresa el capital e fució del úmero de años. c. Represeta e tu cuadero gráficamete dicha fució. Piesa bie qué uidades deberás utilizar e los ejes. U determiado atibiótico hace que la catidad de ciertas bacterias se multiplique por / cada hora. Si la catidad a las 9 de la mañaa es de 0 milloes de bacterias: a Haz ua tabla calculado el úmero de bacterias que hay cada hora, desde las de la mañaa a las de mediodía observa que tiees que calcular tambié hacia atrás. b Represeta gráficamete estos datos. Fució logaritmo E el capítulo ya hemos estudiado los logaritmos, pero ahora vamos a estudiar la fució logarítmica. Ua fució logarítmica es aquella e la que la variable depediete se calcula haciedo el logaritmo, e ua base coocida, de la variable idepediete. Ejemplos: Fució logaritmo: f = log Fució logaritmo eperiao: g = l Hay ua fució distita para cada valor de la base a. La tabla de valores y la gráfica de la fució log so las siguietes: y Fució logaritmo de base / : ht = log 0 t log La tabla de valores y la gráfica de la fució y log so las siguietes: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

65 log Observa que: Las gráficas de f = log a y g = log /a so simétricas respecto del eje OX: Relació etre las fucioes epoecial y logarítmica Segú la defiició del logaritmo teemos la siguiete relació: y = log a = a y. Por tato, lleva itercambiado el lugar de la y la y. E cosecuecia, si partimos de u úmero y le aplicamos la fució logarítmica, y luego al resultado le aplicamos la fució epoecial volvemos al úmero de partida. Lo mismo ocurre si primero aplicamos la fució epoecial y después la logarítmica. Ejemplo: Partiedo del úmero, utilizado la calculadora aplicamos ua fució logarítmica: log = 0 8 recuerda la fórmula de cambio de base. Si a cotiuació aplicamos la fució epoecial: 0 8 = y obteemos el úmero del pricipio. Haciédolo e setido iverso, partiedo del úmero aplicamos primero ua fució epoecial: =. A cotiuació aplicamos la fució logarítmica: log = y tambié hemos obteido el úmero del pricipio. Gráficamete, la propiedad aterior se traduce e que sus gráficas so simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrates. Esto se debe a que si el puto a, b es de la gráfica de ua de ellas, el puto b, a perteece a la gráfica de la otra. Ejemplos: Actividad resuelta Represeta la fució f = log usado ua tabla de valores. A cotiuació, a partir de ella y si calcular valores, represeta las fucioes siguietes: g =, h = log / y, utilizado tambié g =, represeta k = /. Solució: Por la simetría respecto a la bisectriz Por la simetría respecto al eje OX: Por la simetría respecto al eje OY: del primer cuadrate: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

66 0. Represeta e tu cuadero, mediate tablas de valores, las gráficas de las siguietes fucioes: a f log b f log / c f log,. Comprueba que e todos los casos pasa por los putos, 0, a, y /a,, dode a es la base.. Idetifica las fórmulas de las siguietes fucioes a partir de sus gráficas, sabiedo que so fucioes logarítmicas: a b c d.. Fucioes defiidas a trozos. Fució valor absoluto. Fució parte etera Ua fució defiida a trozos es aquella e la que la fórmula que establece la relació etre las dos variables o es úica, sio que depediedo de los valores que tome la variable idepediete, los de la variable depediete se calcula e ua u otra fórmula. Piesa e la siguiete situació: Para la tarifa de u teléfoo móvil se paga u fijo de 0 al mes y co eso so gratis los 00 primeros miutos. A partir de allí, se paga a cétimos por miuto. Es evidete que es diferete el comportamieto ates de 00 miutos y después. Para valores meores que 00, el gasto es siempre 0 ; para valores mayores, los miutos que gastamos por ecima de 00 so 00 y, por tato, lo que pagamos por esos miutos es , pues lo medimos e euros, más los 0 que pagamos de fijo. Aalíticamete: Gráficamete: 0 0 ' 0 00, 00 f 0, 00 Otros ejemplos: Fució valor absoluto: t si si 0 g si h t f t si 0 si. Represeta gráficamete la fució valor absoluto.. Represeta las siguietes fucioes a trozos. Se idica los putos que tiees que calcular. si f si 0 Putos: ; ; ; 0 ; 0; ; ; si 0 si t si t t t si t Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

67 7 si g si si Putos: 9 ; ; ; 0 ; 0; ; ; Fucioes parte etera Se defie Parte Etera de, como el úmero etero k, meor o igual a, más próimo. Parte Etera de = [] = má{k Z; k }. Actividad resuelta Represeta la gráfica de la fució Parte Etera de. Vamos a calcular alguos valores: Parte Etera de =. La parte etera de u úmero etero es dicho úmero Parte Etera de =. Parte Etera de 0 = 0. Parte Etera de 0 =. Fucioes de oferta y demada. Los datos de la tabla idica e la primera fila, los precios, e euros, por saco de arajas, e la seguda fila, las catidades demadadas de arajas por semaas, y e la tercera fila, las catidades ofrecidas: Precio por saco euros 8 Catidad demadada miles de sacos por semaa Catidad ofrecida miles de sacos por semaa a Dibuja ua gráfica co los datos de esta tabla, represetado e el eje vertical los precios, y e el eje horizotal las catidades demadadas y ofrecidas. Ue co u trazo cotiuo ambas curvas. La curva catidad demadada precio es u ejemplo de fució de demada. Observa que es ua fució decreciete, pues al aumetar los precios el cosumidor demada meor catidad del producto. Ilustra el comportamieto de los cosumidores. La curva catidad ofrecida precio es u ejemplo de fució de oferta. Observa que es ua fució creciete, pues al aumetar los precios el vededor aumeta la producció y ofrece mayor catidad del producto. Ilustra el comportamieto de los vededores. b Determia de forma aproimada e la gráfica aterior el puto de itersecció de ambas gráficas. A ese puto se le deomia puto de equilibrio. La demada y la oferta determia el precio y la catidad de equilibrio. E ese puto se iguala las catidades ofrecidas y demadadas. A u precio mayor la catidad ofrecida ecede la catidad demadada, y al haber depósitos de mercacía o vedida la competecia etre vededores hará que el precio baje hasta el puto de equilibrio. Hay u ecedete. A u precio meor la catidad demadada es mayor que la ofrecida, los compradores quiere más arajas, y eso eleva el precio hasta el puto de equilibrio. Hay u déficit. Este problema ilustra uos coceptos que se utiliza e Teoría Ecoómica. Es u modelo ideal que se eplica e u mercado co competecia perfecta, co muchos compradores y muchos vededores, e los que la demada y la oferta determia el precio.. Los datos de la tabla idica e la primera fila, los precios, e euros, del alquiler de u piso de 70 m, e la seguda fila, la catidad de persoas que desea alquilar u piso, y e la tercera fila, los pisos vacíos e ua determiada ciudad: Precio de u piso euros Catidad demadada persoas que desea alquilar Catidad ofrecida pisos libres a Dibuja ua gráfica de las curvas de oferta y demada. b Determia de forma aproimada el puto de equilibrio Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

68 8. OPERACIONES CON FUNCIONES.. Operacioes básicas La fució suma, diferecia, producto o cociete de otras dos es aquella que aplica cada elemeto origial e la suma, diferecia, producto o cociete de los elemetos image por cada ua de las fucioes. La epresió algebraica se obtiee sumado, restado, multiplicado o dividiedo respectivamete las epresioes algebraicas de las fucioes origiales: OPERACIÓN EJEMPLO: f ; g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g Caso particular: kf = kf k f g f g, g 0 f g f g f f fució opuesta de f Gráficamete, ua fució y su opuesta so simétricas respecto del eje de abscisas f f g g.. Composició de fucioes Eiste ua operació específica de las fucioes que se llama composició y cosiste e: º Aplicamos ua fució a u úmero. º Aplicamos otra fució al resultado obteido. Ejemplo: f ; g dode poga e f, f g f g f g f poemos g g compuesto co f se lee primero la fució que actúa ates, NO de izquierda a derecha dode poga e g, g f g f g f g poemos f f compuesto co g se lee primero la fució que actúa ates, NO de izquierda a derecha Como queda patete e el ejemplo aterior, la composició de fucioes NO es comutativa, auque sí es asociativa si variar el orde: f g h = f g h. Además, podemos observar que, al hacer cualquier operació co fucioes, aparece epresioes de los tipos estudiados, auque más complejas al estar todas mezcladas. A partir de ahora, los distitos tipos de fucioes tedrá fórmulas parecidas a las de los siguietes ejercicios: 7. Realiza las operacioes idicadas co las siguietes fucioes: p ; q 7 ; r ; s f ; g ; h ; j k e ; l ; m ; e a L ; b log ; c L ; d log a p q b q r c qr s d s q e q r f r p g f p h j f i g k j m a Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

69 9 k b d l r m m p q qr o q r : s p p: q q f p r j f s g : k t ab u p q v a b w r s f p y j f z g k.. Fució iversa o recíproca f f I La fució iversa o recíproca de ua fució f es otra fució, f, tal que:. f f I Para que la fució iversa esté bie defiida sea fució es ecesario que e la fució de partida, cada image tega u úico origial. Para obteerla, seguiremos los siguietes pasos: PASOS EJEMPLO: f = º Llamamos y a f º Despejamos e fució de y y y = y y = y = y y = y º Cambiamos los papeles de e y y f Esto o siempre es posible realizarlo, ya que o siempre se puede despejar la o el resultado al hacerlo o es úico, e cuyo caso cuál sería la iversa? Por ejemplo:??? f y y ó y??? f Si eiste, la iversa es úica y, gráficamete, ua fució y su iversa so simétricas respecto a la recta y = bisectriz del er y er cuadrates, que es la gráfica de la fució idetidad. Ejemplos y y f f g Las fucioes logaritmo y epoecial de la misma base so fucioes iversas. 8. Calcula e tu cuadero las iversas que eista de las fucioes del ejercicio aterior: p ; q 7 ; r ; s f ; g ; h ; j k e ; l ; m ; e a L ; b log ; c L ; d log FUNCIÓN INVERSA FUNCIÓN INVERSA Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

70 70 a p b q c r d s e f f g g h h j i k j l k m l m a b o c p d 9. Calcula la fució iversa de:. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS.. Domiio El domiio o campo de eistecia de ua fució, Domf, es el cojuto de valores que tiee image: Domf = { ; y, y = f}. Actividad resuelta TIPO DOMINIO Ejemplos Fució afí: p I idetidad ; p Fució cuadrática: p ; p Fució poliómica geeral: p Irracioales Poliómicas Racioales Ídice par Ídice impar Epoeciales Logarítmica s {polos} f 0 Sol Dom f g 0 Sol Dom g Polos = ceros del deomiador h 0 Sol ; Dom g ; { ; radicado 0} {putos problemáticos del radicado} {putos problemáticos del epoete} { ; argumeto > 0} f 0 Sol, Dom f, g 0 Sol,, Domg,, h 0 Sol Dom h f 0 0 Sol, Dom f, 7 g Domg f e Dom f g 0 0 Sol 0 Dom g 0 h 7 0 Sol, Dom h, 0 f L Sol Dom f g log 0 Sol, Dom g, h log 0 Sol Dom h j log 0 Sol 0, 0 Sol 0, Sol, Dom j, Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

71 7 0 Valores variable f Dom f L 0 Putos problemáticos No hay Defiidas a trozos {valores que o toma la variable y putos problemáticos de cada fórmula icluidos e su rago} Valores variable g Putos problemáticos ya que??? y Dom g 0, h Dom h, 0, Valores variable Putos problemáticos 0, Como se puede ver e todos los ejemplos ateriores, la clave para calcular el domiio de ua fució es localizar todos aquellos putos que NO tiee image, que so más fáciles de idetificar ya que so los que provoca algú tipo de problema a la hora del cálculo de la image, es decir, aparece algua operació que o se puede realizar e el cojuto de los úmeros reales. Y las úicas operacioes que o se puede hacer e so: a La divisió por cero. b La raíz de ídice par y radicado egativo. c El logaritmo de u úmero egativo o de cero. Por tato, cuado os ecotremos co algua de esas operacioes DIVISIÓN, RAÍZ DE ÍNDICE PAR o LOGARITMO, tedremos que estudiar deteidamete si hay algúos valores que provoque problemas, y esto lo podremos hacer, segú la situació, resolviedo ua ecuació o ua iecuació. E caso cotrario, tedremos asegurado que el domiio de la fució es todo el cojuto de los úmeros reales Gráficamete, lo podemos ituir viedo si la recta vertical paralela al eje de ordeadas OY que pasa por u puto del eje OX es tal que: corta a la gráfica: dicho valor de la variable idepediete perteece al domiio porque tiee image que será el valor de la ordeada que os proporcioa el puto de corte de recta y gráfica NO corta a la gráfica: dicho valor o estará e el domiio. Ejemplo Dom f = {} Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

72 7 0. Calcula e tu cuadero el domiio de las siguietes fucioes: FUNCIÓN DOMINIO FUNCIÓN DOMINIO a f b j c g e h d k f l g i h m. Calcula e tu cuadero el domiio de cada ua de las siguietes fucioes: p ; q 7 ; r ; s f ; g ; h ; j k e ; l ; m ; e a L ; b log ; c L ; d log FUNCIÓN DOMINIO FUNCIÓN DOMINIO a p b q c r d s e f f g g h h j i k j l k m l m a b o c p d.. Recorrido o image El recorrido de ua fució, Imf, es el cojuto de valores que so image de algú origial, es decir, el cojuto de valores que toma la variable depediete y = f. E geeral o resulta fácil calcular la image de ua fució, auque: Actividades resueltas A veces se puede deducir de algua propiedad de la fució: a. Fució afí: f = a + b Imf = b. f = Imf = + 0 al elevar u úmero al cuadrado siempre sale positivo o 0 c. Fució epoecial: f = a Imf = + d. Fució logaritmo: f = log a Imf = Si la fució tiee iversa, la image será el domiio de la iversa: 7 7 7y f y y7y y y 7y y 7 y f Dom f e Im f Dom f Gráficamete, lo podemos ituir trazado rectas horizotales paralelas al eje de abscisas y viedo si corta a la gráfica de la fució. U puto del eje OY tal que la recta horizotal que pasa por él o corta a la gráfica, o estará e la image: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

73 7 Im f =, ] 0, +.. Simetrías Ua fució par es aquella e la que se obtiee lo mismo al sustituir u úmero que su opuesto: f = f Dom f Esta propiedad se traduce e que la fució es simétrica respecto al eje de ordeadas, es decir, si doblamos el papel por dicho eje, la gráfica de la fució coicide e ambos lados. Ejemplo La fució cuadrática f = es par: f = = = f Actividades resueltas Comprueba que la fució valor absoluto es par. FUNCIÓN DEMOSTRACIÓN GRÁFICA f f f Ua fució impar es aquella e la que se obtiee lo opuesto al sustituir u úmero que su opuesto: f = f Dom f Esta propiedad se traduce e que la fució es simétrica respecto al orige de coordeadas, es decir, si trazamos u segmeto que parte de cualquier puto de la gráfica y pasa por el orige de coordeadas, al prologarlo hacia el otro lado ecotraremos otro puto de la gráfica a la misma distacia. Ejemplo La fució de proporcioalidad iversa f es impar porque: f f Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

74 7 Actividades resueltas Comprueba que las fucioes potecia de epoete es ua fució impar. FUNCIÓN DEMOSTRACIÓN GRÁFICA f E geeral, cualquier poliomio co sólo grados impares f f.. Periodicidad Ua fució periódica es aquella e la que las imágees de la fució se repite siempre que se le añade a la variable idepediete ua catidad fija, llamada periodo. Matemáticamete, esto se epresa de la siguiete forma: ; f + = f Dom f Gráficamete se busca u trozo del dibujo que, si lo repetimos e ambos setidos, os proporcioe la gráfica completa: Ejemplos: La gráfica de u electrocardiograma: Se observa claramete que la gráfica se repite a itervalos iguales, ya que los latidos del corazó so rítmicos. Actividades resueltas Qué sigificaría, e la gráfica aterior, que los itervalos de repetició o fuera iguales? Si o teemos u periodo fijo, querría decir que el corazó o está fucioado de forma rítmica y, por tato, diríamos que se ha producido ua arritmia. Cómo ifluiría e la gráfica aterior el que el periodo sea más o meos grade? Qué sigificado tedría? Si el periodo es más grade, es decir, los itervalos de repetició se ecuetra más distaciados, tedríamos u ritmo de latido más leto meos pulsacioes por miuto, lo que se cooce como bradicardia. Si el periodo es meor, pasaría justo todo lo cotrario, esto es, el corazó estaría latiedo más rápido de lo ormal más pulsacioes por miuto y tedríamos ua taquicardia... Putos de corte co los ejes El puto de corte de f co el eje de ordeadas OY se obtiee dado a la variable idepediete el valor 0, siempre y cuado dicho valor esté e el domiio: 0, f0, si f0 o 0 Dom f. E caso cotrario o habrá. Recordemos que, por la propia defiició de fució, si eiste f0 es úico. Los CEROS o putos de corte de f co el eje de abscisas OX so los que se obtiee dado a la variable depediete el valor 0: {, 0; Dom f y f = 0}. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

75 7 Actividad resuelta Tipo PUNTOS CORTE EJES Ejemplos p p0 0 0, 0 OY 0, f0 q q0 0, Poliomios Racioales OX OY Solucioes de la ecuació 0, f0 si 0 Dom f p 0 Sol0, 0, 0;, 0 q 0 Sol No hay t Sol, 0, f f 0??? No hay g g 0 0 0, 0 h h, 0 0 f 0 falsedad No hay , 9 0, 0; 9, 0 h 0 Sol, 0 OX Numerador igual a cero g Sol Irracioales Epoeciales OY OX OY OX 0, f0 si 0 Dom f Radicado igual a cero 0, f0 si 0 Dom f NUNCA f f 0 No hay g g 0 0, 8 8 f 0 Sol, 0 g 0 Sol, 0, ; 0, 8 0 f e f 0 e??? No hay g g 0 0, f e e 0 Nuca g 0 Nuca Logarítmicas Defiidas a trozos f log f 0 log??? No hay OY 0, f0 si 0 Dom f 7 g log g 0 log 9 0, OX Argumeto igual a OY OX 0, f0 si 0 Dom f Sustituyedo e la fórmula cuyo rago cotiee al 0. Cada fórmula igualada a 0 Sólo vale las solucioes icluidas e el rago correspodiete f log Sol, g log Sol,, 0 ;, 0 0 f f 0 0 0, 0 l 0 g f 0??? No hay Sol0, y 00, f l 0 l 0 Sol y 0, 0 0 Sol y No hay g 0 Sol No hay 0, 0 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

76 7. Calcula e tu cuadero los putos de corte co los ejes de las fucioes siguietes: p ; q 7 ; r ; s ; f g ; h ; j ; k e ; l ; m e ; a L ; b log ; c L ; d log FUNCIÓN PUNTOS CORTE EJES PUNTOS CORTE EJES FUNCIÓN Ordeadas Abscisas Ordeadas Abscisas a p b q c r d s e f f g g h h j i k j l k m l m a b o c p d. Estudia las simetrías y los putos de corte co los ejes de las siguietes fucioes: f 8 h k e g 7 j 9.. Sigo de ua fució Los itervalos de sigo de ua fució proporcioa ua iformació muy útil para la represetació gráfica. Para estudiarlos, hay que teer e cueta: º Los putos que o está e el domiio, ya que o tiee image y, por tato, hay que estudiar el comportamieto de la fució e u etoro de dichos putos. º Los ceros, puesto que cuado la fució vale cero puede ser que haya u cambio de sigo e ese puto. º E las fucioes defiidas a trozos, los putos dode cambia la defiició, ya que las fórmulas so diferetes ates y después de esos putos, lo que puede provocar u cambio de sigo. Irracioales TIPO SIGNO Ejemplos Poliomios Racioal es Ídice par Ídice impar -Ceros -Recta -Estudio del sigo: * dar valores o * los sigos se altera si hay tatas raíces como grado y so distitas. -Ceros y polos -Recta -Estudio del sigo dado valores POSITIVO siempre e todo su domiio meos e los ceros. Sigo del radicado l Positivo : Nuca p No hay ceros Negativo : Positivo : Nuca q 0 Hay ifiitos ceros Negativo : Nuca Positivo : r No hay ceros Negativo : Nuca Positivo :, s 8 Negativo :, Positivo : 0, t 0 Negativo :, 0, Positivo : f Negativo : Nuca Positivo :, f 0 Negativo :, 0 Positivo : g No hay ceros i polos Negativo : Nuca Positivo :,, f Negativo : Nuca Positivo :,, f Negativo :,, g 7 Positivo : Nuca Negativo : Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

77 77 Epoecial es Logarítmica s Defiidas a trozos POSITIVO siempre e todo su domiio. 0 < a < : argumeto< + argumeto> - a > : argumeto< - argumeto> + -Ceros, putos problemáticos y putos dode cambia la defiició -Recta -Estudio del sigo, utilizado la fórmula correspodiete. 0 Positivo : f Negativo : Nuca Positivo :, g 7 Negativo : Nuca Sol 0, Positivo : 0, f log0. Sol, Negativo :, Sol, 0, Positivo :, 0, g L Sol0, Negativo : 0, Nada L Positivo :,, f 0 Negativo : 0,, g. Calcula e tu cuadero el sigo de las siguietes fucioes: Positivo :, Negativo :, p ; q 7 ; r ; s f ; g ; h ; j k e ; l ; m ; e a L ; b log ; c L ; d log FUNCIÓN SIGNO SIGNO FUNCIÓN POSITIVO NEGATIVO POSITIVO NEGATIVO a p b q c r d s e f f g g h h j i k j l k m l m a b o c p d. Iterpreta gráficamete los itervalos de sigo del ejercicio aterior, siguiedo el ejemplo: f Ceros: 0 0 f f la gráfica de la fució debe Polos: 0 f ir por la zoa o sombreada: f 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

78 78 TIPOS DE FUNCIONES Poliómicas ALGEBRAICAS Racioales Irracioales Epoeciales TRASCENDENTES Logarítmicas Trigoométricas DEFINIDAS A TROZOS RESUMEN FÓRMULA Poliomio Cociete de poliomios Raíz de ua racioal Epoecial variable e el epoete Logaritmo variable como argumeto de u logaritmo Trigoométrica variable como argumeto de ua razó trigoométrica Varias fórmulas depediedo de los valores de la variable OPERACIÓN EJEMPLO: f ; g Fució suma f g f g f g f g Fució compuesta Fució iversa f : f f I f f I Si eiste, la iversa es úica y su gráfica y la de la fució so simétricas respecto a la de la fució idetidad. Fució resta f g Fució producto f g : Fució cociete f g: f f f g f g, g 0 g g f f g f g g dode poga e f, f g f g f g f poemos g g compuesto co f dode poga e g, g f g f g f g poemos f f compuesto co g primero la fució que actúa f g f g se lee primero la fució que actúa ates, NO de izquierda a derecha se lee ates, NO de izquierda a derecha º Llamamos y a f º Despejamos e fució de y º Cambiamos los papeles de e y CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES Domiio Cojuto de valores que tiee image. Putos de corte co los ejes Simetría Ordeadas OY f 0 0, f 0 f No hay g y y y y y y y y y y f Operació umérica 0 Nada Abscisas OX -CEROS- f 0,,..., 0;, 0 ;... Ecuació Par f f Operació Impar f f algebraica Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

79 79 FAMILIAS DE FUNCIONES Domiio D {polos} Racioal Irracioal Epoecial Logarítmica Defiida a trozos Ídice par { ; radicado 0} Ídice impar {putos problemáticos radicado} {putos problemáticos epoete} { ; argumeto > 0} -Valores de la variable -Putos problemáticos de cada fórmula {valores que o toma la variable y putos problemáticos icluidos e el rago} Putos de corte co los ejes OY 0, f0 si 0Dom f 0, f0 si 0Dom f 0, f0 si 0Dom f 0, f0 si 0Dom f 0, f0 si 0Dom f OX Numerador = 0 Radicado = 0 Radicado = 0 No hay Argumeto = 0, f0 si 0Dom f sustituyedo e la fórmula cuyo rago cotiee al 0 Cada fórmula = 0 Solucioes que perteece a su rago Sigo Ceros y polos Estudio del sigo e la recta real Positivo siempre salvo e los ceros Sigo del radicado Positivo e todo su domiio 0<a<: argumeto<: + argumeto>: a>: argumeto<: argumeto>: + Ceros, polos y putos dode cambia la defiició Estudio del sigo e la recta real Simetría PAR IMPAR Todos los grados pares o impares Todos los grados del dor pares y del d dor impares o viceversa Nuca Simetría del radicado Argumeto par Nuca Argumeto par Nuca Es ta ifrecuete la simetría e este tipo de fucioes que o merece la pea estudiarla CARACTERÍSTICAS 0 < a < a > a log a a log a Domiio =, + = 0, =, + = 0, Recorrido + = 0, =, + = 0, =, Ordeadas 0, 0, 0, Abscisas, 0, 0 Putos de corte co los ejes Sigo Simetría Positivo =, 0, =,, Negativo, 0, DIBUJO Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

80 80 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Esboza la gráfica de la fució f: dada por si, f si.. Copia e tu cuadero y realiza las operacioes idicadas co las siguietes fucioes: p ; q 7 ; r ; s f ; g ; h ; j k e ; l ; m ; e a L ; b log ; c L ; d log a s q b r p c p q d p q r s e qr s f p q r s g g h h s g i k j g d k b d l c s m s q r r p o q: p p s: q q g h r s: g s k t g : d u s q v r p w q p g h y s g z k. Cosidera la fució f: defiida por Determia los siguietes elemetos: su domiio, putos de corte f. co los ejes, sigo y simetrías.. Dibuja el recito limitado por los semiejes positivos de coordeadas y las curvas y, y e y.. Cosideremos las siguietes fucioes: f h k 0 m g 7 j L 9 l 7 9 a Calcula las siguietes composicioes: f h ; gh ; g j ; kh ; gh j ; m j ; lh ; mh ; jh ; l m b Calcula f, h, k, j, Por qué g y m o so iversas? y verifica que so las iversas de f, h, k, j y. c Calcula todos los domiios. d Calcula los putos de corte co los ejes de todas las fucioes.. U objeto se laza verticalmete hacia arriba desde u determiado puto. La altura e metros alcazada al cabo de t segudos, viee dada por ht tt. Calcula la altura desde la que se laza el objeto y a la que se ecuetra después de segudo. Determia e qué istate alcazará la altura máima y cuál es. Por último, calcula el istate e que caerá al suelo y represeta gráficamete la situació co los datos obteidos ateriormete. 7. Cosidera las fucioes f, g: [0, ], f se y g se. Dibuja la regió del plao limitada por las gráficas de f y de g. 8. Sea la fució dada por f a bc. Determia a, b y c sabiedo que es impar y que pasa por el puto,. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

81 8 9. Sea las fucioes defiidas mediate f y g. Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los putos de corte etre ambas. 0. El gasto por el cosumo de luz e cétimos de euro de ua vivieda, e fució del tiempo trascurrido e horas, os viee dado por la epresió f t t t 0 0 t. a Represeta gráficamete la fució. b Cuál es el cosumo a las horas? Y después de horas?. Cosidera la fució defiida por log f. Calcula su domiio.. Dibuja el recito limitado por las curvas y e, y e y 0.. Las gaacias de ua empresa, e milloes de pesetas, se ajusta a la fució 0 00 f, dode represeta los años de vida de la empresa, cuado 0. Calcula el domiio, corte co los ejes, sigo y simetrías de dicha fució.. Cosidera la fució defiida por g l dode l deota el logaritmo eperiao. Esboza el recito limitado por la gráfica de g y la recta y =. Calcula los putos de corte etre ellas.. Calcula el domiio de las siguietes fucioes: L f L idica logaritmo eperiao de ; g cos y h. e si. Sea la fució. Dibuja su gráfica y, a la vista de ella, idica su domiio, sus putos f 9 si 0 si de corte co los ejes y su sigo. 7. Estudia el domiio, putos de corte co los ejes y sigo de las siguietes fucioes: a b c d 8. El estudio de la retabilidad de ua empresa revela que ua iversió de milloes de euros produce ua gaacia de f milloes de, siedo: 8 8 si 0 f 0 si. Razoa cuál es el rago de valores de la variable, los putos problemáticos de cada ua de las fórmulas y, fialmete, el domiio de la fució. 9. U objeto se laza verticalmete hacia arriba de modo que la altura h e metros a la que se ecuetra e cada istate t e segudos viee dada por la epresió ht t 0 t. a E qué istate alcaza la altura máima? Cuál es esa altura? b Represete gráficamete la fució ht. c E qué mometo de su caída se ecuetra el objeto a 0 metros de altura? d E qué istate llega al suelo? Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

82 8 AUTOEVALUACIÓN. Señala cuál de las siguietes gráficas o correspode a ua fució: a b c d. La fórmula de la composició fog de las fucioes f = y g = + es: a + b c + + d. La fórmula de la fució iversa o recíproca de f es: a. La gráfica de la fució b c f es: d a b c d. El domiio de la fució f e es: a b {} c {, } d {0}. El recorrido de la fució es: a, b, c, d {} 7. Los putos de corte co el eje de abscisas de la fució f l so: a No tiee b 0, ; 0, c, 0; 0, d 0,l 8. La úica fució impar etre las siguietes es: a b c d 9. El itervalo dode la fució es egativa es: a, b, c, d, 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Fucioes Autor: José Gallegos Ferádez Revisor: Javier Rodrigo

83 8 CAPÍTULO : LÍMITES Y CONTINUIDAD. LÍMITES.. Cocepto de ite Idea ituitiva Qué es u ite? Límite: lo podemos defiir como aquel lugar al que, si o llegamos, seremos capaces de acercaros todo lo que queramos. E setido matemático, el ite de ua fució e u puto, tiee setido de lugar hacia el que se dirige el valor de la fució f cuado la variable idepediete se aproima a u valor determiado. Si tomamos la fució del gráfico adjuto, cuado se aproima al valor, el valor de la fució f se aproima al valor. Además, e este caso, o solo podremos acercaros todo cuato queramos, sio que llegamos a ese valor, puesto que el valor de la fució para = es f =. Ampliado la gráfica de la fució, e el etoro del puto,, hemos dibujado los valores de f e el etoro de = y, como primera observació, vemos que os podemos acercar al valor de = desde valores mayores a rojo o meores a él verde. E el primer caso diremos que os aproimamos al valor de = por la derecha y, e el segudo caso, por la izquierda. E ambos casos, podemos ver que el valor de f se aproima a, tato como queramos, por la derecha desde valores meores a rojo, pero tambié lo podremos hacer, desde la izquierda, desde valores mayores a verde. Actividades resueltas Estima el valor de Por lo tato, podemos ituir que, el ite de la fució f es, cuado el valor de la variable idepediete se acerca a y se epresa de la siguiete forma: f Damos valores a la variable para valores próimos al puto = f f Observa cómo, al aproimaros los valores de la variable a, siedo mayor que :,,, los valores de la fució se aproima a :,,,, 0, 00, 0000, siedo siempre mayores que, mietras que al aproimaros a, siedo meores que :,, 99, 999, 9999 los valores de la fució tambié se aproima a, tato como queramos, siedo ahora meores que :, 0,, 0,, , Pretedemos escribir co rigor matemático la idea de aproimarse y estar cerca, tato como queramos. Defiició Dada ua fució f: X, X u itervalo de, y u puto = a, se dice que el ite de f, cuado se aproima a a es L, y se epresa: f L Para todo > 0, eiste u > 0 tal que, siempre que 0 < a <, X, se cumple f L<. a Del gráfico aterior, se desprede que, cualquier puto que perteezca al itervalo a, a +, salvo quizás el propio puto a por ese motivo aparece e la defiició es sigo <, 0 < a, para elimiar del etoro al puto a, su image siempre estará coteida e el itervalo L, L +. Y como lo podemos hacer para cualquier, etoces, podremos afirmar que L es el ite de f, cuado se aproima a a. Es ua defiició rigurosa, co u alto ivel de abstracció, pero o te preocupes, o es la vamos a utilizar e el cálculo de ites. Auque sí la vamos a usar ua vez: Actividades resueltas Utiliza la defiició de ite para comprobar que La defiició dice: para todo, por lo que elegimos u cualquiera, e impoemos: Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia

84 8 f L< < = + < < <. Basta tomar 0 < < para que se verifique si 0 < < etoces <.. Utiliza la defiició de ite para probar que... Propiedades de los ites Habrás observamos que calcular ites utilizado la defiició puede ser muy complicado. Por eso os iteresa obteer propiedades y ecotrar procedimietos que os permita calcularlos co mayor soltura. Si eiste, es úico: Si eiste f, es úico. a Si hubiera dos ites distitos bastaría tomar como u tercio de la distacia etre ambos ites para llegar a cotradicció. Operacioes co los ites Para estudiar las operacioes co los ites vamos a supoer que f y g so dos fucioes defiidas sobre u mismo itervalo X y co valores e. Cuado idicamos f L debe ser a y L úmeros reales. a Respecto de la suma de fucioes: El ite de la suma de dos fucioes, es igual a la suma de los ites de las fucioes siempre que la operació etre los ites esté defiida y dichos ites eista, y se epresa así: f g f g a a Aálogo es para la resta de fucioes. Respecto del producto de fucioes: El ite del producto de dos fucioes, es igual al producto de los ites de las fucioes siempre que dichos ites eista y la operació etre los ites esté defiida, y se epresa así: a f g f g a U caso particular se preseta cuado ua de las fucioes es ua costate, e ese caso, la epresió queda: K f K f a a Respecto del cociete de fucioes: El ite del cociete de dos fucioes, es igual al cociete de los ites de las fucioes, siempre que los ites eista, la operació etre los ites esté defiida y que g M 0, y se epresa así: a f a g f a g a a a si g M 0 Respecto de la potecia de fucioes: El ite de ua potecia de fucioes, es igual, e geeral, a la potecia de los ites de las fucioes, y se epresa así: f g a f g a a Aalizaremos casos particulares e el cálculo de ites, como cuado el ite de la base sea, y el epoete tieda a ifiito. U caso particular se preseta cuado ua de las fucioes es costate, e ese caso, la epresió es: a K a a f f Respecto de la composició de fucioes: El ite de la composició de fucioes, es igual a la composició de los ites de las fucioes, siempre que g sea cotiua e f, y se epresa así: g f g f si g es cotiua e f. a a Como vimos ates, podemos acercaros a a por la derecha o por la izquierda y, de ahí, obteemos los ites laterales. Actividades resueltas Calcula el valor de Aplicado las propiedades sabemos que. Aplicado la defiició comprobamos K Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia

85 8 que y que el ite de, por lo que usar las propiedades os permite calcular u bue úmero de ites sustituyedo. Calcula los ites siguietes: Así, por ejemplo, podemos calcular los siguietes ites simplemete sustituyedo: Límites laterales Límite lateral por la derecha El ite lateral, por la derecha de u puto, de la fució f, se epresa como: f L a y se defie como el valor de f cuado tiede a a, siempre que se cumpla la codició > a. Es decir, para todo > 0, eiste u > 0 tal que, siempre que 0 < a <, X, se cumple f L <. Límite lateral por la izquierda. El ite lateral, por la izquierda de u puto, de la fució f, se epresa como: f L a y se defie como el valor de f cuado tiede a a, siempre que se cumpla la codició < a. Es decir, para todo > 0, eiste u > 0 tal que, siempre que 0 < a <, X, se cumple f L <. Eistecia de Límite Para que ua fució f tega ite e u puto = a, es ecesario y suficiete que eista los ites laterales y coicida, es decir: Dada ua fució f y u puto = a, se dice que el ite de f, cuado se aproima a a es L si se verifica que: Eiste f y f a a So iguales: f f L. a a Etoces decimos que: f = f f L. a a a Actividades resueltas Estima el valor del ite a la derecha y el valor del ite a la izquierda de = e la fució: si 7 f si Damos valores a la variable para valores próimos al puto =. Para estimar el ite a la derecha os aproimamos a, tato como queramos, co valores mayores que, utilizado la rama de la fució defiida para valores mayores que, es decir: : f Observa cómo al aproimaros a, siedo mayor que :,,, 00, 000, los valores de la fució se aproima a, el valor del ite lateral por la derecha:,,, 00, 000. Para estimar el ite a la izquierda os aproimamos a, tato como queramos, co valores meores que, utilizado la rama de la fució defiida para valores meores que, es decir: : X f Observa cómo al aproimaros a, siedo meor que : 0, 0,, 0 999, , los valores de la fució se aproima a, el valor del ite lateral por la izquierda: 0, 0,, , E este caso ambos ites laterales coicide. Observa la gráfica de la fució: Si embargo, el valor de la fució o está defiido e =. Calcula el valor del ite a la derecha y el valor del ite a la izquierda de = e la fució: f si si Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia

86 8 Para calcular el ite por la izquierda de la fució e = os aproimamos a, siedo meores que, por lo que tomamos la rama de la fució: + : Para calcular el ite por la derecha de la fució e = os aproimamos a, siedo mayores que, por lo que tomamos la rama de la fució: : Los dos ites laterales so distitos, luego o eiste el ite.. Calcula los ites laterales y determia si eiste el ite e las fucioes siguietes defiidas a trozos, e los putos e los que se ue dos ramas: a si si si f b f c si 7 f si si.. Tipos de ites Límites ifiitos Dada ua fució f: X, X = [a, +, se dice que el ite de f, cuado tiede a + es L, y se epresa: f L, cuado para todo > 0, eiste u k > 0 tal que, siempre que > k, X, se cumple f L <.. De forma aáloga podemos defiir cuado el puto se aproima a. O más geeral: f L > 0, k > 0 tal que, siempre que > k, X, se cumple f L <. La defiició es la misma que e el caso fiito, sustituyedo el etoro del puto = a por u etoro del ifiito. Dada ua fució f: X, X u itervalo de, y u puto = a, se dice que el ite de f, cuado se aproima a +, y se epresa: f a Cuado para todo k > 0, eiste u > 0 tal que, siempre que 0 < a <, X, se cumple f > k. De forma aáloga podemos defiir cuado la fució tiede a. Y tambié cuado el puto se aproima a + y la fució tiede a +, cuado a E ocasioes, para u determiado valor de la variable idepediete, = a, el valor de la fució crece tato como se quiera e valor absoluto: a f k > 0, > 0 tal que, siempre que 0 < a <, X, se cumple f> k. Observa que o os estamos fijado e el sigo de ifiito. Actividades resueltas Observa la gráfica de la fució y estima el valor del ite a la derecha de = 0 y el ite cuado tiede a +. El ite a la derecha de = 0 es +, f, y el ite cuado 0 tiede a + observamos que es 0, que f 0 Los tipos de ites que os podremos ecotrar depederá de los valores que tome, tato la variable idepediete, como la fució. Así, tedremos: Fiito - Valor del Límite Ifiito Fiito - Valor al que tiede la variable idepediete Ifiito Haciedo las combiacioes de ambos elemetos, tedremos cuatro posibilidades: VALOR VARIABLE INDEPENDIENTE VALOR DEL LÍMITE FINITO INFINITO FINITO INFINITO f L f L a f a f Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia

87 87 Actividades resueltas Veamos alguos ejemplos de tipos de ites. Límite fiito e puto fiito E este caso el valor del ite es fiito cuado la variable idepediete tiede a u valor fiito. E la fució: f cuado el ite de la fució es : Límite fiito e puto ifiito E la fució aterior, f cuado, el ite es 0: 0 Limite ifiito e puto fiito E la misma fució de la gráfica, f, cuado 0, el ite tomará el valor : 0 Límite ifiito e puto ifiito E el caso de valor de ite ifiito cuado la variable idepediete tiede a ifiito, deberemos tomar otra fució cualquiera que sea siempre creciete a partir de u valor. Sea la fució, f. El ite de la fució, cuado tiede a, toma el valor :. Es más, tato cuado tiede a como cuado tiede a +, la fució tiede a +.. Clasifica los siguietes ites e fiitos o ifiitos, y calcúlalos: a b c. Calcula los siguietes ites, idicado el sigo: a b c d d f. Calcula los siguietes ites, idicado el sigo: a b c d e.. Cálculo de ites Operacioes co y 0 Para poder calcular ites, debemos coocer previamete ciertas operacioes co y 0, y ciertas propiedades que tiee los ites respecto de alguas operacioes matemáticas como so la suma-resta, multiplicació-divisió, potecias, composició, etc. Si sumamos, restamos, multiplicamos dos úmeros reales, o teemos igú problema para saber el resultado, pero y si es el? Observa la tabla siguiete y comprueba que e ocasioes sí sabemos el resultado, pero e otras, decimos idetermiado pues o lo sabemos de forma imediata, debemos trabajar más para saberlo. SUMA PRODUCTO COCIENTE K = K = 0 0 K + = = K = Idetermiado 0 = Idetermiado Idetermiado 0 K 0 K 0 0 Idetermiado Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia

88 88 K 0 = 0 = 0 POTENCIAS K 0 si K 0 0 si K = Idetermiado 0 si 0 K K si K 0 = Idetermiado = = Idetermiado Nota: Idetermiado o sigifica que o pueda eistir el ite, sio que será ecesario realizar alguas operacioes previas para poder determiar si eiste, y su valor. Actividades resueltas El ite de 0 pues segú vimos e las operacioes co, al dividir u úmero por algo que tedía a se obteía 0 Como ifiito o es u úmero real, cuado el ite tiede a ifiito, decimos que o eiste. Idetermiacioes El proceso de cálculo de u ite cosiste, como ya hemos visto, e sustituir la variable por el valor al que tiede y operar, obteiedo el resultado del ite que podrá ser u valor fiito, ifiito o idetermiado. Si el resultado es idetermiado debemos trabajar más. Como hemos visto e el apartado aterior, e alguas operacioes co y 0, o podíamos llegar a determiar el valor, puesto que resultaba ua idetermiació. Eiste alguos tipos de idetermiacioes que so resolubles haciedo operacioes y/o simplificacioes previas que estudiamos a cotiuació. Aalizaremos como resolver cada caso de idetermiació. Idetermiació Este tipo de idetermiacioes se puede resolver operado co ambas fucioes, ya que suele ser del tipo f g. Actividad resuelta Idetermiado 0 0 Pero si hacemos operacioes y las sumamos previamete: Calculamos el ite de la fució, y os resulta: pues el deomiador tiede a 0.. Calcula el ite: 9 7. Calcula el ite: 8. Calcula el ite: 9. Calcula el ite: Idetermiació 0 Normalmete suele darse e productos de fucioes f g, dode f = 0 y g =. Suele resolverse operado y simplificado. Actividad resuelta 9 0 Idetermiado Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia

89 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia 89 Si calculamos las raíces del poliomio + + 9, obteemos que = es ua raíz doble, por lo que los factores del poliomio so + y sustituyédolo e la ecuació os queda 9 Calculamos, ahora, el ite de la fució simplificada, y obteemos: 0 9 Actividad resuelta El ite siguiete tambié es idetermiado es decir, todavía o lo hemos determiado. Idetermiado Si calculamos las raíces del poliomio, obteemos que so = y =, por lo que los factores del poliomio so: = + y, sustituyédolo e el ite, os queda: Calculamos, ahora, el ite de la fució simplificada, y obteemos: 0. Calcula el ite: 9. Calcula el ite: Idetermiació 0/0 Este tipo de idetermiacioes se produce porque eiste alguos factores e el umerador y deomiador que lo hace cero y que será coveiete elimiar por algú método matemático. Para ello, debemos factorizar poliomios, multiplicar y dividir por el cojugado o cualquier otro procedimieto que os permita elimiar la idetermiació. Actividad resuelta Si sustituimos valores e el siguiete ite, tambié es idetermiado, por lo que calculamos los factores de los poliomios del umerador y deomiador, y simplificado lo posible, obteemos:: Actividad resuelta Si sustituimos valores e el siguiete ite, tambié es idetermiado. Uo de los sumados es ua raíz, por lo que para quitar la idetermiació vamos a probar multiplicado por el cojugado:. Calcula el ite: 9. Calcula el ite:. Calcula el ite: 0. Calcula el ite:

90 90 Idetermiació / Auque puede presetarse muchos casos, el más frecuete es el de cocietes de poliomios cuado la variable idepediete tiede a. Así tedremos que P Q P Luego Q es ua idetermiació del tipo /. Para resolver este tipo de idetermiacioes, es ecesario comparar el grado del poliomio del umerador co el grado del poliomio del deomiador, pudiédose presetar los siguietes casos: P Si gradop > grado Q etoces Q P Si gradop = grado Q etoces K Q P Si gradop < grado Q etoces 0 Q Para resolver este tipo de ites observamos que cuado la variable se hace muy grade el ite vedrá dado por los térmios de mayor grado. Nos quedamos co ellos, y simplificamos. Actividades resueltas gradop = grado Q: Observa lo que ocurre si damos valores: f , Se aproima, a 8 tato a la derecha como a la izquierda. gradop > grado Q: gradop < grado Q: 7 0. E el caso de ites ifiitos de cociete de poliomios si m a podemos simplificar los... a0 a a si m cálculos pues hemos visto que: m b b m b b m... 0 m m 0 si m. Escribe, si hacer cálculos, el valor de los ites siguietes: a b 7. Calcula los ites siguietes: a 8. Calcula los ites siguietes: a b b se c 7 c c 7 00 d d e d Idetermiació Para poder resolver este tipo de idetermiacioes, es ecesario coocer el úmero e, que se defie como: e '788. Si f etoces e ' 788 f f e l 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia

91 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia 9 Las solucioes de este tipo de idetermiacioes pasa, irremediablemete, por llegar a ua epresió del tipo de la defiició del úmero e. Observamos que es el ite de ua potecia e la que la base tiede a, y el epoete tiede a ifiito. Así, cuado al calcular u ite estemos e esa situació decimos que es u ite tipo e. Veamos alguos ejemplos. Actividad resuelta E el ite siguiete: La base tiede a, y el epoete a luego es u ite tipo e. Para resolverlo, primero completamos el primer de la defiició, y luego el segudo: Luego hacemos el epoete igual al deomiador para lo que multiplicamos y dividimos el epoete por el deomiador del sumado de la base. Así, tedremos El ite de la base es e y el ite del uevo epoete e este caso es, por lo que: e e Este tipo de idetermiacioes, tambié se puede resolver mediate la epresió: Idetermiació, 0 0, 0. Este tipo de idetermiacioes epoeciales se resuelve mediate la aplicació de logaritmos eperiaos l. Supoemos que el ite de estas idetermiacioes es: L g a e f Tomado logaritmos eperiaos e ambos miembros de la igualdad, tedremos: l l L g a e f Y por propiedades de los ites y de los logaritmos se tiee: L e L e f g f L a a g a l l l l Por tato: l f g L a a y L g a e f 9. Determia los ites siguietes: a b c d 0. Determia los ites siguietes observa que o so tipo e: a b c d

92 9. ASÍNTOTAS Las asítotas de ua fució caso de eistir so rectas del plao a las que la fució se aproima tato como queramos. Puesto que las asítotas so rectas del plao, puede ser horizotales, verticales y oblicuas... Asítotas verticales Para que ua recta vertical pueda ser asítota de ua fució, se debe cumplir: f o f a Etoces decimos que = a es ua asítota de y = f. La recta = a es vertical. Las posibles asítotas verticales de ua fució, estará e los putos de la fució que o perteezca a su domiio y se debe verificar que el ite de la fució, cuado el valor de tiede a ese puto, se hace muy grade e valor absoluto, es decir, tome el valor. Actividades resueltas Asítotas verticales de la fució: a f. La fució f tiee ua asítota vertical e =, pues para = la fució o está defiida, o perteece a su domiio de defiició, y el ite a la derecha y la izquierda, tiede a ifiito. Tambié tiee ua asítota vertical e =, pues para = la fució o está defiida, o perteece a su domiio de defiició, y el ite tiede a ifiito. Por tato las asítotas verticales de f so las rectas verticales: = y =.. Determia las asítotas verticales de las fucioes siguietes: a f b f c f d f.. Comportamieto e el ifiito Asítotas horizotales Para que ua recta horizotal sea asítota de ua fució se debe cumplir la siguiete codició: f K o f K Etoces decimos que y = K es ua asítota horizotal de y = f. Actividades resueltas La fució: f tiee ua asítota horizotal, y = 0 y ua asítota vertical = 0. Ya lo hemos visto e actividades ateriores. Determia la asítota horizotal de la fució: f. Al aalizar el comportamieto de la fució cuado la variable idepediete tiede a ifiito, tato a +, como a, se observa que la fució se acerca a, luego tiee ua asítota horizotal, y =. Asítotas oblicuas Para que ua recta oblicua y = m + pueda ser asítota de ua fució, debe eistir, y ser fiitos, los ites siguietes: f m y f m. Actividades resueltas Determia la asítota oblicua, si eiste, de la fució: f. f Calculamos el ite m - Por tato eiste ua asítota oblicua de pediete m =. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia

93 9 Calculamos la ordeada e el orige co el ite: f m Por tato la recta y = + es ua asítota oblicua de la fució. Ramas parabólicas Pero e muchas ocasioes o hay i asítotas horizotales i asítotas oblicuas. Ya cooces bie, por ejemplos, la parábola y =, que cuado tiede a +, o a la fució crece si aproimarse a igua recta. Por simplificació, se dice e todos estos casos que hay ua rama parabólica. Actividades resueltas La fucioes: f, f, f, f, tiee ramas parabólicas e su comportamieto e el ifiito. Observa que y y y y, luego f tiee ua rama parabólica., luego f tiee ua rama parabólica., luego f tiee ua rama parabólica., luego f tiee ua rama parabólica.. Determia la asítota horizotal de cada ua de las fucioes siguietes: a f b f c f d f. Determia la asítota oblicua, si eiste, de cada ua de las fucioes siguietes: a f b f c f d f. Aaliza el comportamieto e el ifiito de cada ua de las fucioes siguietes: a f b f c f d f. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN Ituitivamete, podemos decir que ua fució es cotiua e u puto si somos capaces de pitarla, cerca de ese puto, si levatar el lápiz del papel, o si somos capaces de recorrerla co el dedo si ecotraros igú obstáculo saltos, idefiicioes, etc.. Pero la cotiuidad de ua fució se puede estudiar e u puto, e u itervalo o e todo su domiio de forma más precisa... Cotiuidad de ua fució E leguaje matemático, la aterior defiició simple, se complica bastate y se epresa así: Dada ua fució f: X, X u itervalo de, y u puto = a X, se dice que la fució f es cotiua e el puto = a, si: Para cualquier > 0, eiste u > 0 tal que siempre que a <, X se cumple quef fa <. Esto lo podemos euciar diciedo que, si os acercamos al puto a, etoces las imágees de la fució se aproimará a la image de a. Si esto o ocurre, etoces, la fució o será cotiua e = a y diremos que la fució tiee ua discotiuidad e = a. Compara la defiició de cotiuidad co la de ite, y observa que ahora el puto a debe perteecer al itervalo X, mietras que e la de ite podía o ocurrir. Esta relació puede epresarse de la siguiete forma: Ua fució f es cotiua e el puto = a sí, y solo sí, se cumple estas tres codicioes: Que para el puto = a eista fa. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia

94 9 Que eista y sea fiito el ite de la fució para = a, lo que implica que eista los ites laterales y coicida. Que los dos valores ateriores coicida: f f a a Bajo estas tres codicioes, la fució f es cotiua e el puto = a. Cotiuidad de ua fució e u itervalo abierto Para que ua fució sea cotiua e u itervalo abierto, la fució debe ser cotiua e todos los putos del itervalo. Si lo fuera e todo el domiio, decimos que la fució es cotiua. Actividad resuelta si Estudia la cotiuidad de la fució f si Las fucioes poliómicas so cotiuas e toda la recta real. El úico puto dudoso es =. Estudio de la cotiuidad de la fució e el puto = : Comprobemos, como primera medida, que la fució está defiida e =. Para =, teemos que determiar f = + = + = 8, luego eiste. Calculamos, etoces los ites laterales de la fució para =. Limite por la izquierda: 8 Limite por la derecha: 8 Los ites laterales, eiste, so fiitos y coicide. Veamos si coicide, el ite de la fució co el valor de la fució e = : f = 8 = f Luego, como se cumple las tres codicioes, la fució es cotiua e =. Como ese era el úico puto dudoso, se puede afirmar que la fució es cotiua e toda la recta real... Propiedades de las fucioes cotiuas Las fucioes poliómicas, racioales, co radicales, epoeciales, logarítmicas y trigoométricas so siempre cotiuas e su domiio. Por lo tato, presetará discotiuidades e aquellos putos e los que o esté defiida y, por lo tato, o perteezca a su domiio. Operacioes de fucioes cotiuas Sea las fucioes f y g cotiuas e el puto = a, etoces podemos afirmar que: f + g es cotiua e = a. f g es cotiua e = a. f es cotiua e = a, si ga 0. fg es cotiua e = a, si f es cotiua e ga. g Actividades resueltas Las fucioes poliómicas so fucioes cotiuas e todo. Basta comprobar que la fució f =, la fució f = a so fucioes cotiuas para comprobar que cualquier fució poliómica es suma y producto de estas fucioes. Las fucioes racioales so cotiuas e todo salvo para los valores que aula al deomiador. Estudia la cotiuidad de f. E efecto, las fucioes racioales so cociete de fucioes poliómicas, que so cotiuas e toda la recta real. La fució f es cotiua e {, }, pues el deomiador se aula e dichos valores... Tipos de discotiuidad Eiste varios tipos de discotiuidades de las fucioes, que se epresa e el cuadro siguiete: EVITABLES No eiste image fa e el puto Eiste los ites laterales y so La image fa eiste pero o coicide co los ites laterales fiitos e iguales INEVITABLES Los ites laterales o eiste, bie porque alguo es ifiito o porque so distitos, o alguo de los ites laterales o eiste. De primera especie De salto fiito Límites laterales fiitos pero distitos De salto ifiito Alguo o los dos ites laterales so ifiitos De seguda especie No eiste alguo de los ites laterales. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia

95 9 Las discotiuidades evitables, se llama así porque se puede solvetar mediate la redefiició de la fució e el puto, bie porque o estuviera defiida, bie porque o coicidiera la image co los ites laterales, que eiste, coicide y so fiitos. Las discotiuidades ievitables viee dadas porque: los ites laterales eiste, so fiitos y o coicide de primera especie de salto fiito. Salto es igual a f _ f a a eiste pero alguo es ifiito de primera especie de salto ifiito. Salto ifiito. o o eiste alguo de los ites laterales o los dos de seguda especie. Discotiuidad evitable f si si Discotiuidad de primera especie salto fiito f si si Discotiuidad de primera especie salto ifiito f si 0 si 0 Discotiuidad de seguda especie 0 f se si 0 si 0 Actividad resuelta Estudia la cotiuidad de los ejemplos ateriores. Observa que la fució si o está defiida e =. Bastaría defiir f si si si f para que la fució fuese cotiua. Por tato la fució tiee ua discotiuidad evitable e =, siedo la fució cotiua e {}. La fució si tiee ambos ites laterales e = y so fiitos, pero distitos, por lo que tiee ua f si discotiuidad de primera especie e = de salto fiito, co salto. Es ua fució cotiua e {}. La fució si 0 tiee el ite a la derecha de 0, ifiito, por lo que tiee e = 0 ua discotiuidad de primera f si 0 especie de salto ifiito. La fució es cotiua e {0}. 0 si 0 La fució o tiee ite a la derecha de 0. La fució seo tiee fluctuacioes cada vez más jutas por f se si 0 lo que dicho ite o eiste. Es ua discotiuidad de seguda especie. La fució es cotiua e {0}.. Estudia la cotiuidad de las fucioes siguietes: a f b f c f log d. Determia el valor de k para que la fució k si si f sea cotiua e toda la recta real. f e 7. Estudia la cotiuidad de las fucioes siguietes: si a f si b f c f si si 0 si 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia

96 9 Defiició de ite RESUMEN f L Para todo > 0, eiste u > 0 tal que, siempre a que a <, se cumple f L <. Límite lateral a la derecha Límite lateral a la izquierda Eistecia de ite Asítotas Propiedades de los ites f L el valor de f cuado tiede a a, siempre que a se cumpla la codició > a f L el valor de f cuado tiede a a, siempre que a se cumpla la codició < a a Si Si f f a a f K hay ua asítota horizotal y = K. f hay ua asítota vertical = a. a La fució si tiee f si de ite lateral a la izquierda 8, y de ite lateral a la derecha tambié 8, pues 8 8 f L La fució tiee ite e = f si si f asítota horizotal, y = 0 y asítota vertical = 0 f g f g f g f g a a K f K f a a a a f a g f a g a a a si ga 0. Cotiuidad de ua fució e u puto Propiedades de las fucioes cotiuas Ua fució f es cotiua e el puto = a, si para cualquier > 0, eiste u > 0 tal que siempre que a <, se cumple quef fa <. La suma y el producto de fucioes cotiuas es ua fució cotiua. El cociete de fucioes cotiuas es ua fució cotiua si o se aual el deomiador. La fució cotiua e = f Los poliomios so fucioes cotiuas e si si f es cotiua e {0} es Tipos de discotiuidad Evitable. De primera especie de salto fiito. De primera especie de salto ifiito. De seguda especie Límites. Calcula los ites siguietes: 9 a b 9 8 e f. Calcula los ites siguietes: 8 8 a b e f EJERCICIOS Y PROBLEMAS. c c g g f si si evitable e = f= / de primera especie co salto ifiito e = 0 d d h Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia

97 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia 97. Determia las asítotas de las fucioes siguietes: a f b f c f d f e f f f g l f h f Cotiuidad. Estudia la cotiuidad de las fucioes siguietes, idicado e cada caso el tipo de discotiuidad. a log f b 0 0 g c h. Estudia la cotiuidad de las fucioes siguietes, idicado e cada caso el tipo de discotiuidad. a f b g c h. Estudia la cotiuidad de las fucioes siguietes, idicado e cada caso el tipo de discotiuidad. a f b g 7 c h 7. Estudia la cotiuidad de las fucioes siguietes, idicado e cada caso el tipo de discotiuidad. a f b g c h 8. Estudia la cotiuidad de las fucioes siguietes, idicado e cada caso el tipo de discotiuidad. a l f b l g c 9 l h 9. Estudia la cotiuidad de las fucioes siguietes, idicado e cada caso el tipo de discotiuidad. d e f 7 9 e g h 0. Dada la fució 0 0 e f a Estudia su cotiuidad. b Represeta su gráfica. Dada la fució k f a Determia el valor de k para que la fució sea cotiua e toda la recta real. Represeta su gráfica. Dada la fució f. a Estudia su cotiuidad. b Represeta su gráfica. Dada la fució f. a Estudia su cotiuidad. b Represeta su gráfica. Esboza la gráfica de la fució f idicado sus asítotas y sus putos de discotiuidad.. Esboza la gráfica de la fució f idicado sus asítotas y sus putos de discotiuidad.

98 98 AUTOEVALUACIÓN. El ite es igual a: a b 0 c d /. El ite es igual a es igual a: a b 0 c d. El ite es igual a: a b 0 c / d. El ite es igual a: a / b 0 c d 7. El ite es igual a: a b 0 c d 7. El ite es igual a: a b 0 c d 7. El ite es igual a: a b 0 c d 8. Estudia la cotiuidad de f si 0 e = 0. si 0 a Es cotiua b Tiee ua discotiuidad evitable c U salto fiito d U salto ifiito 9. Estudia la cotiuidad de si f e =. si a Es cotiua b Tiee ua discotiuidad evitable c U salto fiito d U salto ifiito 0. Estudia la cotiuidad de si f e =. si a Es cotiua b Tiee ua discotiuidad evitable c U salto fiito d U salto ifiito Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Límites y cotiuidad Autor: Luis Ágel Morales García Revisora: Raquel Herádez Ilustracioes: Elaboració propia

99 99 CAPÍTULO : DERIVADAS. CONCEPTO DE DERIVADA.. Tasa de variació media de ua fució Actividades de itroducció U viaje Jorge y Adela ha ido de viaje desde Madrid hacia Alicate. Ha salido a las horas. Lleva u aparato que les dice e todo mometo cuáto tiempo lleva viajado desde que saliero y los kilómetros que lleva recorridos. Por eso sabe que a la hora de haber salido de casa sólo ha recorrido kilómetros y que a las horas ha recorrido kilómetros. Ha represetado gráficamete la fució tiempo e horas distacia recorrida e km. Los tramos OA, AB, CD y DE los ha represetado co segmetos, y los tramos BC y EF co parábolas. Qué distacia ha recorrido e total? Cuáto ha tardado? Cuál ha sido la velocidad media del coche durate el viaje? Ha parado e algú mometo? E cuál o e cuáles? Cuáto cosideras que tardaro e salir de Madrid hacia la autovía? Cuál ha sido la velocidad media etre la primera media hora y ua hora? Crees que había mucho tráfico e la autovía? Cuál ha sido la velocidad media etre la primera hora y la seguda hora? Cuál ha sido la velocidad media etre los istates y horas? Cuál ha sido la velocidad media etre los istates y horas? E autovía la velocidad máima permitida es de 0 km/h, crees que e algú mometo se ha sobrepasado? Puedes estar seguro? E la gráfica podemos ver que se ha recorrido uos 0 km. Ha sido eactamete km. Ha tardado horas. - La velocidad media etre los istates t y t f t viee dada por el cociete: f t t t luego la velocidad media del viaje ha sido de: f f 0 ' 0 89' km/h. 0 0 Ha ido muy despacio al pricipio del viaje. Quizás estaba todavía e Madrid y paraba e los semáforos o había atascos. Tardaro ua media hora e salir de Madrid. Posteriormete hay ua parada larga de media hora a las dos horas de viaje. Quizás pararo a comer. - La velocidad media etre la primera media hora y ua hora ha sido de: f f 0' 80 km/h. 0' 0' Había bastate tráfico e la autovía. Es ua velocidad media bastate baja. - La velocidad media etre la primera hora y la seguda hora ha sido de: f f ' 0' km/h. f f ' 08' ' - La velocidad media etre los istates y ha sido de: 0 km/h. ' 0' f f ' 08' - La velocidad media etre los istates y horas ha sido de: 8' 8 km/h. Por el cálculo que hemos hecho de velocidades medias observamos que ha estado cerca de la velocidad máima permitida, pero o podemos asegurar que se haya sobrepasado, i tampoco que o. Para respoder a esta preguta deberemos saber más. Tasa de variació Se defie la tasa de variació de ua fució f etre los valores a y b como: TVa, b = fb fa Tasa de variació media Se defie la tasa de variació media de ua fució f etre los valores a y b como: f b f a TVMa, b = b a Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

100 00 La tasa de variació media determia la velocidad media, si la fució f es ua fució espacio tiempo, y determia la pediete o coeficiete agular de la recta secate que pasa por los putos a, fa y b, fb. Actividades de itroducció Gaacias de ua empresa Las gaacias de ua empresa ha sido: Años Gaacias miles de euros E qué año fuero máimas las gaacias? Cuál ha sido la gaacia media desde 009 hasta 0? Y desde 0 hasta 0? Las gaacias fuero máimas e el año 0. f b f a f 0 f La gaacia media etre 009 y 0 ha sido: = 7' euros b a f b f a f 0 f 0 8 La gaacia media etre 0 y 0 ha sido: = 7' euros b a 0 0 Actividades resueltas La pediete o coeficiete agular de la recta secate de y = ² + e el itervalo [, ] es: f f E efecto, la recta que pasa por los putos, y, 8 tiee de ecuació: y = 7, y su coeficiete agular es 7. La pediete o coeficiete agular de la recta secate de y = ² + e el itervalo [, 0] es: f 0 f 0. 0 E efecto, la recta que pasa por los putos, y 0, 0 tiee de ecuació: y =, y su coeficiete agular es. La tasa de variació media de ua fució f e el itervalo a, b coicide co la pediete de la recta secate a la gráfica de la fució que pasa por los putos a, fa y b, fb. La velocidad media de u coche que tarda horas e recorrer 0 km es 0/ = 0 km/h. La tasa de variació media de ua fució espacio tiempo e el itervalo a, b os proporcioa la velocidad media etre el tiempo a y el tiempo b. La tasa de variació media de ua fució velocidad - tiempo os proporcioa la aceleració media. C = + 7 es la fució de costes dode C idica el coste de fabricació de uidades. Calcula la tasa de variació media etre 0 y 000 uidades, y la tasa de variació media etre 00 y 00 uidades. C000 C TVM 0, C00 C TVM 00,00 ' Halla la tasa de variació media e los itervalos [, ], [, ] y [0, ] de las fucioes siguietes: a y = b y = c y = 0 + d y = A la vista de lo que has obteido, crees que la tasa de variació media de las fucioes poliómicas de primer grado es siempre costate e igual a la pediete de la recta que la represeta?. Halla la tasa de variació media de la fució y = e los itervalos [, ], [, ] y [0, ]. Es ahora costate?. Halla la tasa de variació media de la fució y = + e los itervalos [, ], [, ] y [0, ]. Habrás comprobado que e los dos últimos ejercicios la tasa de variació media o es costate.. Al hacer u estudio sobre el aterrizaje de avioes se graba ua película desde el mometo e que el avió toca tierra hasta que se para, y se mide los tiempos y las distacias recorridas: Tiempo t e segudos Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Distacia d e metros a Calcula la velocidad media del avió. b Calcula la velocidad media e los itervalos: [0, ], [, 0] y [, ]. c Es costate?. Se estudia la posició de u coche respecto de la salida de u túel y se obtiee los datos siguietes: Tiempo segudos Distacia metros a Calcula la velocidad media del coche e el itervalo [0, 0]. Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

101 0 b Calcula la velocidad media e los itervalos [, ] y [0, 0]. Es cotate? c Si la velocidad máima permitida es de 0 km/h, cosideras que ha podido sobrepasarla e algú mometo? Y si la velocidad máima fuese de 80 km/h?. El tre AVE sale de la estació y aumeta su velocidad hasta llegar a 0 km/h e 0 miutos, matiee etoces esa velocidad costate durate hora y media, y comieza a dismiuirla hasta pararse e otros 0 miutos. a Represeta e ua gráfica la fució tiempo - velocidad. b Ya sabes que la aceleració os idica la variació de velocidad. Idica la aceleració media e los primeros 0 miutos. c Idica la aceleració media etre el miuto 0 y el miuto 90. d Determia la aceleració e los últimos 0 miutos. 7. La fució de beeficios de ua cierta empresa viee dada por: B = + 7 +, dode B idica el beeficio que obtiee la empresa cuado fabrica uidades. Calcula la tasa de variació media de los beeficios etre 0 y 00 uidades, y la tasa de variació media de los beeficios etre y 00 uidades. 8. Ua empresa determia que los costes de producció por trabajador cotratado so C = +, y que los igresos por vetas tambié por trabajador cotratado viee dados por I = +. Por tato los beeficios B por trabajador cotratado so igresos meos costes. Observa que estas fucioes o so cotiuas, o se puede cotratar 7 trabajadores, es ua fució escaloada, pero vamos a trabajar co ellas como si fuera cotiuas. Determia la tasa de variació media si se cotrata etre 00 y 00 trabajadores... Tasa de variació istatáea El estudio de la tasa de variació media resulta isuficiete para resolver determiados problemas. Por ejemplo, si volvemos a la actividad del viaje, o sabemos a qué velocidad iba el coche a las horas eactamete. Tampoco sabemos si e algú mometo ha sobrepasado la velocidad permitida de 0 km/h. Otro ejemplo: Si u avió o u coche sufre u accidete, y los epertos quiere determiar las causas, o les iteresa la velocidad media del avió, sio la velocidad istatáea e el mometo del accidete. Otro ejemplo más: Los bomberos utiliza loas para recoger a las persoas que debe saltar de u icedio. Para fabricar la loa y que resista debe coocer la velocidad e el mometo del impacto, o la velocidad media de caída. Actividades de itroducció La rama de parábola que represeta el último tramo del viaje del ejercicio de itroducció tiee por ecuació: y = 0 ² + 8. Ha puesto ua multa, y queremos saber si hemos sobrepasado la velocidad permitida. Cómo crees que la policía de tráfico sabe si la hemos sobrepasado? Sabe calcular la tasa de variació istatáea? No. No sabe. Hace ua fotografía y calcula la tasa de variació media e u itervalo muy pequeño. Queremos saber cuál ha sido la velocidad del coche e el istate t =, e el que os ha puesto la multa. Utilizamos la calculadora del móvil y calculamos la velocidad media e el itervalo [, ], que es la pediete de la recta secate PQ. f f ' 7' 8'9 Calculamos velocidades medias y pedietes e itervalos cada vez más pequeños: f ' f 9' 8 7' '88 Velocidad media e el itervalo [, ]: 8' 8 ' 0' 0' f '0 f 8'880 7' ' 880 Velocidad media e el itervalo [, 0]: 8' 80 '0 0'0 0'0 f '00 f 7'800 7' 0' 8800 Velocidad media e el itervalo [, 00]: 8' 800 '00 0'00 0'0 f '000 f 7' ' 0' Velocidad media e el itervalo [, 000]: 8' 8000 '000 0'000 0'00 Los valores: 8 9; 8 8; 8 80; 8 800; , a qué valor crees que se aproima? Parece acercarse a 8 8? Tomamos ahora itervalos de etremo : Velocidad media e el itervalo [, ] = pediete de la recta R P: f f 7' 08' 8'7 f f '9 7' ' '79 Velocidad media e el itervalo [ 9, ]: 8' 79 '9 0' 0' Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

102 0 f f '99 7' ' 0 ' 8799 Velocidad media e el itervalo [ 99, ]: 8' 799 '99 0'0 0'0 f f '999 7' 7' 800 0' Velocidad media e el itervalo [ 999, ]: 8' 7999 '999 0'00 0'00 f f '9999 7' 7'88 0' Velocidad media e el itervalo [ 9999, ]: 8' '9999 0'000 0'000 Los valores 8 7; 8 79; 8 799; ; , a qué valor tiede? Parece acercarse, de uevo, a 8 8? Este es el procedimieto usado por la policía de tráfico. Hace ua fotografía y determia la velocidad media e u itervalo muy pequeño. Estamos seguros de que a las horas o hemos sobrepasado los 0 km/h permitidos, pero hemos estado muy cerca, 8 8 km/h. NOTA: Este procedimieto de ir calculado velocidades medias e itervalos cada vez más pequeños es muy laborioso. Nuca más vamos a hacerlo así. Pero hemos querido hacerlo al meos ua vez para que compredas mejor el paso al ite. Observa que las velocidades medias y las pedietes de las rectas secates que pasa por P parece que se aproima a u úmero, 8 8, tato cuado es el orige del itervalo como cuado es el etremo. A ese úmero, el ite al que tiede las velocidades medias, es lo que vamos a defiir como velocidad istatáea, y e geeral como derivada de ua fució e u puto. E el ejemplo aterior ese ite parece que es 8 8 km/h que es la velocidad istatáea a las horas de viaje. Observa cómo las rectas secates se aproima a ua recta, que es la recta tagete a la gráfica de la fució e el puto P Actividades resueltas Calcula la derivada de la fució y = 0 ² + 8 e =. Hemos afirmado que, parece acercarse, pero para aseguraros vamos a calcular la tasa de variació media e cualquier itervalo [, ] y calcular el ite cuado tiede a. Por lo que la solució pasa por resolver este ite. f f 0' 8 ' 7' 0' 8 7' f ' Recordado lo apredido sobre ites, vemos que se trata de ua idetermiació que se resuelve dividiedo los poliomios. De maera que, igual que e otras ocasioes, dividiremos los poliomios para simplificar la epresió y calcular el ite. Mediate cualquier método de descomposició mediate raíces, se comprueba que: 0 ² = Por ejemplo, para calcular el ite podemos dividir el poliomio del umerador etre por la regla de Ruffii: El cociete es: Por lo que la solució pasa por resolver este ite: f ' 0' 8 7' 0' 8' 8'8 Resuelta la idetermiació, para calcular el ite, basta sustituir por, y hemos obteido 8 8. Actividad resuelta Para estar seguros de o haber sobrepasado la velocidad permitida vamos a calcular la velocidad istatáea a las horas de haber comezado el viaje: f f 0' 8 ' ' 0' Para simplificar el cociete hemos dividido los poliomios por la regla de Ruffii: 8 9' 0' 8' 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

103 El cociete es Resuelta la idetermiació, para calcular el ite, basta sustituir por, y hemos obteido 0 La velocidad istatáea a las horas es de 0 km/h, pero o hemos sobrepasado los 0 km/h... Defiició de derivada de ua fució e u puto La derivada de ua fució e u puto respode al estudio de dos problemas aparetemete distitos: El primero es el estudio del ritmo de variació de la fució e dicho puto. El segudo es de ídole geométrica: la derivada de ua fució e u puto idica el valor de la pediete de la recta tagete a la gráfica de la fució e ese puto. Por eso se calcula como el valor de la pediete de ua recta, dividiedo el icremeto de la variable y etre el icremeto de la variable : Icremeto de la variable y = f fa Icremeto de la variable = a f f a Pediete de la recta secate que pasa por, f y por a, fa = m = a Ese cociete de icremetos es el valor de la pediete de la recta secate alrededor de a, o de la tagete e el puto a. Para que sea tagete e el puto a, el valor de se tiee que aproimar al valor de a y, por ello, debemos calcular el ite. Etoces las rectas f f a secates se aproima a la recta tagete. a a Si hacemos u cambio de variable, tal que = a + h tedremos que, cuado tiede a a etoces h tiede a 0 y por ello, podemos escribir la defiició de derivada como: f a h f a h0 h Defiició: Si X es u itervalo abierto, f: X ua fució y a X, se dice que f es derivable e a si eiste el ite: f f a y es u úmero real es decir, o es ifiito. a a df El valor del ite lo deomiamos derivada de f e = a, y lo represetamos por f a, Dfa o por a. d df f f a f a h f a f ' a DF a a = d a h a h0 Actividades resueltas Calcula la derivada de la fució y = 0 ² + 8 e = a. Queremos hacer lo mismo que e actividades resueltas ateriores, pero e u puto geérico = a. Por tato f f a 0' 8 ' 0' a 8a ' 0' a 8 a a a a a a a a0' a 8 0' a 8 0'a 8. Por tato f a = 0 a + 8. a a a Reto: Calcula la derivada para cualquier puto = a de la fució y = ². Solució : Sustituyedo los valores de la fució y = ² e la defiició resulta que: f = ; fa = a ; f f a a f ' a a a a a Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

104 0 Por lo que la solució pasa por resolver este ite. Recordado lo apredido sobre ites, vemos que se trata de ua idetermiació ya que para el valor a se aula el umerador y el deomiador. De maera que, igual que e otras ocasioes, debemos dividir ambos poliomios. Mediate cualquier método de descomposició mediate raíces, se comprueba que: a = a + a suma por diferecia, diferecia de cuadrados a a a Así que, después de sustituir, el ite sería: f ' a a a a a a a a Calcula la derivada de la fució y = ² mediate el ite de la otra epresió de la derivada. Solució : f a h f a Sustituyedo los valores de la fució y = ² e la defiició f ' a resulta que: h0 h f = ; fa = a ; fa+h = a+h f a h f a a h a a ah h a ah h. f ' a h0 h h0 h h0 h h0 h ah h Dividiedo por h, se obtiee: f ' a a h a h0 h h0 Reto: Calcula la derivada e u puto cualquiera para la fució y = ². 9. Halla la derivada de las fucioes siguietes e los putos =, = y = : a y = b y = c y = 0 + d y = A la vista de lo que has obteido, crees que la derivada de las fucioes poliómicas de primer grado es siempre costate e igual a la pediete de la recta que la represeta? 0. Halla la derivada de la fució y = e los putos =, = y =. Es ahora costate?. Halla la derivada de la fució y = + e los putos =, = y =. Habrás comprobado que e los dos últimos ejercicios la derivada o es costate.. E el viaje de la actividad de itroducció el coche recorría etre la primera hora y la seguda ua distacia y dada por la ecuació: y = Determia la velocidad que llevaba el coche para =.. E dicho viaje la distacia recorrida para viee dada por la ecuació y = 0. Y para por y = 0 ² + 8. Para = hay u cambio e la velocidad. Calcula la velocidad ates de =, y la velocidad después de =.. U vehículo espacial despega de u plaeta co ua trayectoria dada por: y = 0 0 ² e y e km. La direcció del vehículo os la proporcioa la recta tagete e cada puto. Determia la direcció del vehículo cuado está a km de distacia sobre el horizote.. Desde u avió odriza se suelta u avió eperimetal cuyo impulsor se eciede a la máima potecia y permaece ecedido 0 segudos. La distacia que separa al avió eperimetal del avió odriza viee dada por d = 0 t⁴. Calcula la velocidad del avió eperimetal a los,, 7 y 0 segudos de haber sido soltado.. Represeta gráficamete la fució y =, y determia su derivada para =,,... a. Cuáto vale? Es siempre la misma? Ocurrirá lo mismo para cualquier recta horizotal y = b? 7. Dibuja ua fució cualquiera y dos putos sobre ella, f y fa, correspodietes a las ordeadas, a. Iterpreta geométricamete la defiició de derivada a partir del dibujo. 8. Dibuja ua fució cualquiera y u puto cualquiera sobre la fució fa. Dibuja tambié u segmeto sobre el eje de abscisas co orige e a y logitud h. Iterpreta de uevo la defiició de derivada e u puto basádote e dicha figura. 9. E u ejercicio aterior vimos que ua empresa determia que los igresos por vetas por trabajador cotratado viee dados por I = +. Observa que esta fució o es cotiua, o se puede cotratar 7 trabajadores, es ua fució escaloada, pero vamos a trabajar como si lo fuera. Determia la derivada de la fució igresos respecto a las persoas cotratadas. Qué sigificado crees que tiee? 0. Caída libre de ua pelota. E la figura se muestra, mediate fotografía estroboscópica, las posicioes de la pelota a itervalos regulares de tiempo: para t =,,,,,..., el espacio recorrido es proporcioal Posicioes de la pelota a itervalos regulares de tiempo, para t =,,,,... Ua lámpara estroboscópica es u istrumeto que ilumia ua escea durate itervalos regulares de tiempo. Si utilizamos este tipo de luz sobre u movimieto repetitivo, como la rotació de ua rueda, y el itervalo coicide co u periodo completo de movimieto, el objeto parecerá estático al observador. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

105 0 a,, 9,,,..., etc. Calcula la fució de posició y = ft, y calcula la velocidad y la aceleració derivado la fució de posició.. Calcula la derivada mediate el ite de la fució y = ² + e el puto =. Calcula la derivada mediate el ite de la fució y = ² + e el puto = a. Calcula mediate la epresió resultate f, f, f, f y f 7. Ejemplo: E el ejercicio de itroducció del viaje calculamos las velocidades medias cuado era el orige y luego cuado era el etremo del itervalo. E u caso los valores de las velocidades medias obteidas era de: 8 7; 8 79; 8 799; ; , cuado el puto era meor que, y e el otro de: 8 9; 8 8; 8 80; 8 800; , cuado el puto era mayor que. E el primer caso se ha calculado el ite a la izquierda y e el segudo, el ite a la derecha. f f a Para que eista derivada de la fució e u puto a, fa, debe eistir el ite por lo que debe eistir los a a dos ites laterales y sus valores debe coicidir. Actividades resueltas Las fucioes cuyas gráficas aparece a cotiuació so derivables e todos los putos ecepto e 0, 0. Observa el comportamieto de la gráfica e dicho puto. Comprueba cómo o o eiste alguo de los ites laterales o éstos o coicide. Los ites laterales eiste, pero o coicide, vale y respectivamete. Los ites laterales eiste, pero o coicide, vale 0 y respectivamete. El ite lateral a la izquierda o eiste. Los ites laterales eiste, pero o coicide. La fució o es cotiua e el orige... Fució derivada Hasta ahora hemos calculado la derivada de ua fució e u puto, o lo que es lo mismo, la pediete de la recta tagete a la curva e ese puto. Hemos calculado derivadas e putos cocretos como =, =... y e ocasioes e u puto geérico = a. La vetaja de utilizar u puto de cálculo geérico = a, es, que sustituyedo por el valor que os iterese a =, a =..., podemos calcular rápidamete la derivada e dichos putos, y o tedremos que repetir el cálculo para cada uo de ellos. De esta forma estamos defiiedo ua ueva fució, pues a cada puto le asigamos su derivada, que vamos a deomiar fució derivada, y = f, y al puto le vamos a llamar, e lugar de a,. A la fució f se le llama fució derivada de f. Defiició: Si f es derivable e X se llama fució derivada de f a la fució que asocia a cada úmero real de X el valor de la derivada df de f e dicho puto. A esta ueva fució la desigamos por f, Df o. d Por ejemplo, e el caso: f = ³ etoces f a = a² La seguda epresió es ua fució que asiga a cada puto a su cuadrado multiplicado por tres. Por lo tato: si f = ³ etoces f = ². Ejemplo: f b f 0 0 Para calcular la derivada de f = k, utilizamos la defiició de derivada: f ' 0 b b b b Ejemplo: Para calcular la derivada de f = ³ volvemos a utilizar la defiició de derivada: f ' f b f b b b b b b b b b b b b b Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

106 0 Derivació y cotiuidad Si f es derivable e u puto etoces la fució es cotiua e dicho puto.. Completa e tu cuadero la siguiete tabla co las derivadas: Fució f = ³ f = f = ² f = f = k f = + f = ² + Derivada f = ² f = f = f = f = f = f =. Piesa e u ejemplo de fució o derivable y que sí sea cotiua.. REGLAS DE DERIVACIÓN El procedimieto de calcular la fució derivada calculado el ite se puede simplificar mucho utilizado las reglas de derivació. Ya hemos calculado muchas derivadas, por lo que ya sabes que la derivada de y = ² + es y = ; que la derivada de y = 80 7 es y = 80; que la derivada de y = 0 ² + 8 es y = Para que el proceso de calcular derivadas o sea ta laborioso como lo es aplicado la defiició de derivada, vamos a estudiar las reglas que os permita derivar rápidamete y co eficacia... Derivada de la fució potecial f =, N Observa que ya hemos calculado la derivada de varias de estas fucioes: si f = ² etoces f = ; si f = ³ etoces f = ²... Cuál crees que es la derivada de ⁸? Y la de ⁵? So 8⁷ y ⁴, has acertado? Para la derivada de f =, N esperamos obteer que: Si f = etoces f =, N Para demostrarlo usamos la defiició de derivada y la regla de Ruffii para calcular el ite: b = b b + b + b + + b f b f b f b b + b + b + + b + c.q.d. b b b b b b Observació: El símbolo + co putos suspesivos equivale la suma de todos los térmios itermedios, que como se puede ver e los epoetes, so u total de. Tambié se puede escribir e forma de sumatorio: b + b + b + + b + = k k b Otra observació: c.q.d. es la abreviatura de como queríamos demostrar. Otra observació más: La derivada de la fució f = k, auque k o sea u úmero atural, es f = k k. La demostració que hemos hecho es sólo válida para valores aturales del epoete, pero si embargo el resultado es más geeral y sirve para cualquier úmero de epoete. Más adelate lo demostraremos, pero así ya puedes utilizarlo desde el pricipio del cálculo de derivadas. Actividades resueltas Halla la derivada de la fució f Se tiee que y por lo tato: f Observa cómo se ha obteido las derivadas siguietes: Fució f = ⁴ f = ⁷ f = = / f = / = f = /² = Derivada f = ³ f = 7⁶ f = / / = / / = f = ² = f = ³ =.. Derivada de ua suma Tambié ya os hemos ecotrado co sumas e los ejercicios que hemos hecho, para y = 0 ² hemos obteido que su derivada es y = 0 + 0; o que si y = 0 etoces y = 0. Cuál crees que es la derivada de y = 7 + ²? Si opias que es y =, has acertado! Vamos a ecotrar ahora la regla geeral: La derivada de ua suma de fucioes es la suma de las derivadas de cada ua. Es decir: f + g = f + g Demostració: Por la defiició de derivada y por la propiedad del ite de ua suma: k Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

107 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz 07 b g f b g b f b g f b g f g f b b ' ' ' g f b g b g b f b f b g b g b f b f b b b, c.q.d. Actividades resueltas Halla la derivada de la siguiete fució f = ⁵ + ³. Se deriva cada térmio y se suma el resultado, luego f = ⁴ + ²... Derivada de ua costate por ua fució E ejercicios ateriores ya hemos obteido que la derivada de 0 ² es 0, o que la derivada de 0 es 0. Cuál crees que es la derivada de ²? Si opias que es tu cojetura es acertada. Ahora vamos a ecotrar ua regla geeral. Cuado ua fució esté multiplicada por ua costate, su derivada es igual a la costate por la derivada de la fució: Si f = c g etoces f = c g. Demostració: Utilizamos la defiició de derivada: f ' g c b g b g c b g c b g c b f b f b b b, c.q.d. Actividades resueltas Halla la derivada de la siguiete fució f = 8⁴. Lo primero es "bajar" el epoete a multiplicar por la variable y hallar u uevo epoete restado ua uidad. Después se simplifica la epresió y se elimia los parétesis. f = 8⁴ = 8 ⁴ luego f = 8 ⁴ ¹ = ³... Derivada de u producto La derivada del producto de dos fucioes es igual al producto de la derivada de la primera fució por la seguda fució si derivar más el producto de la primera fució si derivar por la derivada de la seguda fució: f g = f g + f g Demostració: Escribimos la defiició de derivada: b g f b g b f g f b ' Sumamos y restamos f gb: b g f b g f b g f b g b f b Sacamos factor comú f y gb: b g b g f b g f b f b Aplicamos propiedades de los ites, el ite de ua suma y el ite de u producto: b g b g f b g b f b f b b b b Calculamos los ites: f g + f g, c.q.d. Para hallar la derivada del producto de más de dos fucioes puedes utilizar la propiedad asociativa. Actividades resueltas Halla la derivada de la siguiete fució f = + ⁷ +. Idetificamos las fucioes de la siguiete maera: g = + luego g = ; h = ⁷ + luego h = ⁶ y utilizado la regla ateriormete epuesta, vemos que: f = g h = g h+g h = ⁷ ⁶ = ⁷ ⁷ + ⁶ = 9⁷+ ⁶+ 8 Comprueba que el resultado es el mismo si primero efectuamos el producto y luego derivamos... Derivada de u cociete La derivada del cociete de dos fucioes es igual a la derivada del umerador por el deomiador si derivar meos el umerador si derivar por la derivada del deomiador, divididos por el cuadrado del deomiador. ' ' g g f g f g f l Auque o es riguroso, para simplificar la otació y favorecer la memoria, se puede escribir de la siguiete maera: ' ' g g f g f g f l Teiedo siempre presete que la variable de las fucioes es comú a todas.

108 08 Actividades resueltas Halla la derivada de la siguiete fució h Idetificamos las fucioes de la siguiete maera: f = + f = ; g = g = y utilizado la regla de la derivada del cociete, vemos que: f' g f g' h' g h' h' h' Resume: Derivada de ua suma de fucioes f + g = f + g Derivada del producto de ua costate por ua fució c f = c f. Derivada de u producto de fucioes f g = f g + f g Derivada de u cociete Actividades resueltas Calcula las siguietes derivadas y comprueba el resultado: a f f' b c f f' d e f f ' f f f g l f' g f g' 9 f f f' g 9 f' f'. Escribe las fucioes derivadas de las fucioes siguietes: a f = ²⁴; b g = ¹⁰; c h = /7¹³; d j = ⁴ ² + 7; e p = ³. Calcula las derivadas de las siguietes fucioes poliómicas: a y = + ²; b y = ² 7 + ⁵; c y = /⁷ + 8/⁵ 9/⁴; d y = ⁸. Ya hemos obteido la derivada de y. Utilízala para obteer la derivada e =,,... Puedes obteer la derivada e = 0? Razoa la respuesta. 7. Calcula las derivadas de las siguietes fucioes: a y = ² + ⁶ ; b y = 7³ ⁴ + ; c y 8. Calcula las derivadas de las siguietes fucioes: a y ; b y = ² + /³ + 7; c y ; d y 9. Calcula las derivadas de las siguietes fucioes: a 7 y ; b y ; c y ; d y. 0. E u ejercicio aterior vimos que ua empresa determia que los costes de producció por trabajador cotratado era C = +, y que los igresos por vetas tambié por trabajador cotratado viee dados por I = +. Por tato los beeficios B por trabajador cotratado so igresos meos costes. Observa que estas fucioes o so cotiuas, o se puede cotratar 7 trabajadores, es ua fució escaloada, pero vamos a trabajar co ellas como si fuera cotiuas. Determia la derivada de la fució costes C y de la fució beeficios B respecto del úmero de trabajadores cotratados. Qué sigificado tiee? Notació diferecial La tasa de variació media de ua fució y = f e el itervalo a, a + h es: fa h fa h. Siedo el umerador el dy icremeto de la fució y el deomiador el icremeto de la variable. Gottfried Wilhelm Leibiz utilizó la otació: para d deotar la derivada de la fució y respecto de la variable, dode dy y d o so umerador y deomiador, sio u todo iseparable. Se lee, derivada de y respecto de. Esta otació es útil, sobre todo, si hay distitas variables. ds dv Ejemplo: Si S = πr² etoces 8 r. Si V = πr²h etoces = πr h y dv = πr². dr dh dr Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

109 09.. Regla de la cadea La regla de la cadea es ua fórmula matemática para calcular la derivada de la fució compuesta por dos o más fucioes. Esto es, la regla de la cadea epresa la derivada de la fució compuesta f g e térmios de las derivadas de f y g: df df dg h f g f g h' f g ' f ' g g ' o escrito e otació de Leibiz d dg d Demostració La demostració rigurosa es complicada pero si o eplicamos los pasos difíciles podemos compreder de dóde procede: hb h f gb f g h' b b b b f Multiplicamos y dividimos por gb g: gb f g gb g = b gb g b Aplicamos la propiedad de los ites: el ite de u producto es el producto de los ites: f gb f g gb g b gb g Co determiadas codicioes de cotiuidad, cuado b tiede a etoces gb tiede a g, por lo que: h = f g g. Actividades resueltas Utilizado que la derivada de y = e es igual a y = e halla la derivada de la fució h e Idetificamos las fucioes de la siguiete maera: f e f' e ; g g' y utilizado la regla de la cadea obteemos que: h e h' f'g g' f' g' e. Calcula la derivada de y = ³ + ². Para aplicar bie la regla de la cadea es muy importate que compredas bie la composició de fucioes. E la derivada propuesta teemos la fució elevar al cuadrado, cuya derivada cooces bie, y la fució ³ + cuya derivada es ². Aplicamos la regla de la cadea, primero la derivada de la fució cuadrado e el puto ³ +, y luego multiplicamos por la derivada de esta fució: y = ³ + ² = ⁵ + 8². E este caso particular podemos comprobar el resultado calculado el cuadrado y derivado e otros casos o queda más remedio que derivar aplicado la regla de la cadea: y = ³ + ² = ⁶ + ³ + 9 luego y = ⁵ + 8². Comprobado! La derivada de la fució seo es la fució coseo y = se y = cos. Utiliza esta iformació para calcular las derivadas de y = se² y la de y = se². E la fució y = se² la fució seo se aplica a la fució cuadrado, luego su derivada es y = cos². Mietras que e la fució y = se² = se os ecotramos primero co la fució cuadrado que se aplica a la fució seo, luego su derivada es: y = se cos. Si f y g so dos fucioes derivables e todo puto, y se sabe que f =, f =, g =, f =, f =, f =, f =, g =, g =, g =. Determia el valor de: a f g' ; b g f ' ; c g f ' ; d f f '. a f g' = f ' g g ' = f g = =. b g f ' = g ' f f ' = g f = = 9. c g f ' = g ' f f ' = g f = =. d f f ' = f ' f f ' = f f = = 8. Actividades resueltas Calcula las derivadas de las fucioes siguietes y comprueba el resultado: a f f' b f f' c f f'. Calcula las derivadas de las siguietes fucioes: b b Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas d f 9 f ' 9 a y = ⁵ 7³¹² b y = ³ ²⁷ c y 8 d 7 y. Calcula las derivadas de las siguietes fucioes: y b 7 a 7 y c y d y 8 Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

110 0. APLICACIONES DE LA DERIVADA.. Iterpretació geométrica de la derivada: Recta tagete Ya hemos visto que la pediete de la recta tagete a la gráfica de y = f e el puto a, fa es igual a f a. Por tato la ecuació de la recta tagete es: y = fa + f a a. Ejemplo: Para ecotrar la recta tagete a y = ³ + e = buscamos la recta de pediete f que pase por el puto, f: f = ³ + = ; f = ² + ; f = ² + = ; Ecuació de ua recta de pediete que pasa por el puto, : y = +.. Determia la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució y = 7² + e el puto =. El perfil de ua cierta motaña tiee la forma de ua parábola: y = ², dode e y se mide e km. Escribe la ecuació de la recta tagete para = 0, =, =, = km... Crecimieto y decrecimieto Actividades resueltas Imagia que desde u puto 0 soltamos u avió de juguete que describe ua trayectoria f = 0 ². Cómo podemos saber si a los metros del puto de lazamieto el avió está subiedo o bajado? Lo mismo a los metros? E este caso es fácil que lo sepas, ya que la trayectoria es ua parábola que corta al eje de abscisas e los putos 0,0 y 0,0, que como es ua curva simétrica a los metros el avió está subiedo. Alcaza el puto más alto a los 0 metros, y a los metros desciede. Para cualquier otra curva, que o coozcas ta bie, este problema os lo resuelve la derivada: Como f a h f a f ' a etoces para valores de h próimos a cero, h0 h f a h f a teemos: f ' a. h E este ejemplo: f = 0 ² f = 0. Para a = teemos f = 0 = > 0. f h f Por tato cuado h es próimo a cero. h Como el cociete es positivo, umerador y deomiador debe teer el mismo sigo. Por lo que, si h > 0 tedrá tambié que ser: f + h f > 0, luego f + h > f. Si h < 0 tambié f + h f < 0, luego f + h < f. La situació es la de la figura y podemos asegurar que, e u itervalo suficietemete pequeño de cetro, la fució es creciete. Observa que hemos podido afirmarlo por ser la derivada e u úmero positivo. Para a = teemos f = 0 = < 0. Por tato f+h f/h cuado h es próimo a cero. Como el cociete es egativo, umerador y deomiador debe teer distito sigo. Por lo que, si h > 0 tedrá que ser: f + h f < 0, luego f + h < f. Si h < 0 tambié f + h f > 0, luego f + h > f. La situació es la de la figura y podemos asegurar que, e u itervalo suficietemete pequeño de cetro, la fució es decreciete. Observa que hemos podido afirmarlo por ser la derivada e u úmero egativo. E geeral, podemos afirmar que: Si f a > 0 etoces la fució y = f es creciete e = a. Si f a < 0 etoces la fució y = f es decreciete e = a. Ejemplo: Determia si y = 0 ² + 8 es creciete o decreciete e =. Calculamos la derivada: y = 0 + 8; e = : y = = 8 8 > 0. La fució es creciete.. El departameto de marketig de ua empresa estima que los igresos mesuales que va a producir el lazamieto de u uevo producto viee dados por: y = 0 + t² 0 t³, dode t es el tiempo epresado e meses desde que el Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

111 producto salga al mercado, e y so los igresos e cietos de euros. a Calcula si los igresos está creciedo o decreciedo a los meses de lazamieto del producto. b Durate qué periodo de tiempo aumeta los igresos? c Durate qué periodo de tiempo dismiuye? Solució: a y = 0t t², y = > 0. Creciete. b 0t t² = 0 t0 t = 0 t = 0, 0 = t t = 8. Aproimadamete a poco más de los 8 meses empieza a desceder los igresos.. Determia los itervalos de crecimieto y decrecimieto de la fució: y = ³ +. Determia los itervalos de crecimieto y decrecimieto de la fució: y = ³. Cómo es e = 0? Y e =? Y e =? 7. E u ejercicio aterior vimos que ua empresa determia que los costes de producció por trabajador cotratado era C = +, y que los igresos por vetas tambié por trabajador cotratado viee dados por I = +. Por tato los beeficios B por trabajador cotratado so igresos meos costes. La fució beeficios B respecto del úmero de trabajadores cotratados, es creciete o decreciete?.. Máimos y míimos Recuerda que: Ua fució alcaza e a, fa u máimo global o absoluto si fa es el mayor valor que alcaza la fució. Ua fució alcaza e a, fa u míimo global o absoluto si fa es el meor valor que alcaza la fució. Ua fució alcaza e a, fa u máimo local o relativo si eiste u itervalo que cotiee a a e el que fa es el mayor valor de la fució e ese itervalo. Ua fució alcaza e a, fa u míimo local o relativo si eiste u itervalo que cotiee a a e el que fa es el meor valor de la fució e ese itervalo. Ejemplo: La fució y = + de la gráfica del marge o alcaza i máimos i míimos absolutos, pero alcaza u máimo relativo e puto A0, y u míimo relativo e el puto B. Ejemplo: La fució de la gráfica del marge o tiee máimos absolutos, pero alcaza máimos relativos e = y e = 0. Tiee tres míimos que so a la vez absolutos y relativos e =, = 0 y e =. Refleioa: Imagia ua fució cotiua y co derivada cotiua. Ates de que la fució alcace u máimo, debe ser ua fució creciete, y después del máimo debe ser decreciete la fució. Por tato, ates de u máimo la derivada debe ser positiva, y después debe ser egativa. E cosecuecia si la fució tiee u máimo e u puto a de u itervalo y es derivable e dicho puto, etoces la derivada e el máimo es cero. Hacemos u razoamieto similar para u míimo. Ates de que ua fució alcace u míimo, debe ser ua fució decreciete, y después del míimo debe ser creciete. Por tato, ates de u míimo la derivada debe ser egativa, y después debe ser positiva. E cosecuecia si la fució tiee u míimo e u puto a de u itervalo y es derivable e dicho puto, etoces la derivada e el míimo es cero. Propiedad Si ua fució tiee u máimo o u míimo e a, fa y eiste f a, etoces f a = 0. Ejemplo: La fució y = 0 + t² 0 t³ os da los igresos mesuales por u uevo producto que ha salido al mercado. Alcazará máimos o míimos locales e los putos e los que se aula la derivada: y = 0t t² = 0 t = 0 y t = /. Para valores de t < 0 la derivada es siempre egativa, por qué? E t = la derivada es positiva. Veamos, por ejemplo, el sigo para t = 0: y 0 = = 00 0 = 0 < 0. Podemos asegurar que para t < 0 la derivada es egativa, que 0 < t < / es positiva y que para t > / es egativa. Por tato la fució tiee u míimo local para t = 0, e el puto 0, 0 y u máimo local para t = /, e /, 7. Ejemplo: La parábola y = ² tiee por derivada y =, que úicamete se aula e = 0. Para valores egativos de la derivada es egativa, y para valores positivos, es positiva, luego, como ya sabíamos, la parábola tiee u míimo e 0, 0, su vértice. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

112 Actividades resueltas U arquitecto está diseñado las vetaas para u bloque de viviedas y desea que tega ua superficie de m², pero que el coste de los perfiles sea el míimo posible. Todas las vetaas tiee la misma luz, m², por tato su base,, por su altura, y, debe ser igual a. Despejado y = /. El perímetro P de la vetaa es igual a P = + y = + /. Para coseguir que el perímetro sea míimo, derivamos e igualamos a cero: P = /² = 0 /² = ² = = o =. La solució egativa o es válida como base de ua vetaa, luego =, y por tato y =. La solució de perímetro míimo es el cuadrado de base m y altura m. Dos observacioes importates Puede eistir máimos o míimos e putos dode o eista la derivada. Por ejemplo: si 0 La fució valor absoluto de tiee u míimo e 0, 0. si 0 Pero la derivada o se aula e 0, 0. No eiste. La derivada a la derecha de 0 vale, y la derivada a la izquierda vale. So distitas, luego la fució o es derivable e 0, 0. Puede eistir putos dode la derivada valga 0 y si embargo o sea i máimos i míimos. Por ejemplo: La fució y = ³ de derivada y = ², que se aula e 0, 0 o tiee e dicho puto i u máimo, i u míimo. La fució es siempre creciete. Va a teer e 0, 0 u puto de ifleió de tagete horizotal. Vamos a deomiar puto sigular o puto crítico de y = f a los putos e los que se aule la derivada. E la actividad resuelta aterior de la vetaa, cómo sabemos que la solució obteida es la de meor perímetro, la más barata, y que o es la más cara? Para saber si u puto crítico es u máimo, o u míimo, o u puto de ifleió podemos utilizar alguo de los tres criterios siguietes: Criterio : Si f a = 0, estudiamos los valores de próimos a a, tato a la derecha como a la izquierda. E el problema de la vetaa, calculamos el perímetro para a =, y tomamos por ejemplo valores próimos a, como 0 9 y, e los que calculamos el perímetro: P = ; P0 9 = /0 9 = 8/0 9 > ; P = + / = / >. Por tato es u míimo. Si embargo para la cúbica: y =, estudiamos putos próimos a 0, 0, y0 = 0 00; y0 = 0 00, por tato y0 < y0 < y0, por lo que la fució es creciete. No tiee i máimo i míimo, como ya sabíamos. Criterio : Estudiar el sigo de la derivada e putos próimos a a, co lo que sabremos si la fució crece o decrece e esos putos. E el problema de la vetaa, sabemos que P = /², por tato: P 0 9 = /0 8 = 0 7 < 0. La fució es decreciete e 0 9. P = / = 0 > 0. La fució es creciete e. Si ates del puto es decreciete y después es creciete, el puto es u míimo. Si embargo para la cúbica: y = y =, estudiamos el valor de la derivada e putos próimos a 0, 0, y 0 = 0 0; y 0 = E ambos putos la derivada es positiva y la fució es creciete, por lo que 0, 0 o es i máimo i míimo. Criterio : Para que el puto a, fa sea u míimo, la derivada debe ser egativa ates de a, cero e a, y positiva después de a, lo que os idica que la fució derivada debe ser creciete. Como f es ua fució derivable, podemos calcular su derivada, f, que es la seguda derivada de la fució. Para que f sea creciete e = a debe ser f a positiva. Se hace u razoamieto aálogo si el puto es u máimo, la derivada pasa de ser positiva a aularse y luego ser egativa, lo que os idica que la fució derivada debe ser decreciete y la seguda derivada de la fució e = a egativa. Por tato este criterio os dice: Si f a = 0 y f a > 0 etoces a, fa es u míimo. Si f a = 0 y f a < 0 etoces a, fa es u máimo. E el ejemplo de la vetaa: P = /² = ² P = ³ = /³ P = > 0, luego es u míimo. E el ejemplo de la cúbica: y = y = y =, por lo que y 0 = 0, luego el puto 0, 0 o es i u máimo Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

113 i u míimo. Es u puto de ifleió de tagete horizotal. Actividades resueltas Se quiere costruir depósitos cilídricos de m³ de capacidad. Se desea que la superficie de chapa sea míima para abaratar costes. Qué dimesioes so más coveietes? El volume de u cilidro es igual a V = r² h que debe ser igual a m³. Por lo que h = / r². La superficie, S, de u cilidro es igual a: S = r h + r² = r/r² + r² = 8/r + r². Derivamos e igualamos a cero: S = 8/r² + r = 0 r = 8/ = / r =. Los putos críticos so: 0, 0 y, 8. Si r = 0 o teemos cilidro. Usamos el tercer criterio para saber si el puto crítico es máimo o míimo: S r = 8 /r³ + = /r³ + S = / + > 0. Es u míimo. 8. Calcula los máimos y míimos de las fucioes siguietes: a y = ² + ; b y = ⁴ ; c y = ³ + ; d y = ⁴ ² + ; e y = 7³. 9. Se desea fabricar evases co forma de prisma recto cuadragular de base cuadrada de forma que el volume sea de u litro y la superficie empleada sea míima. 0. Determia los máimos y míimos de las fucioes siguietes: a y = ³ ² + + 7; b y = ³ + ; c y = I I; d y = I + I + I I. Para determiar todos los máimos y míimos absolutos y relativos de ua fució y estar seguros de o perder igua posible solució coviee buscar: Los putos dode se aula la derivada: f = 0. Los putos dode la fució o sea derivable. Los valores de f e los etremos del domiio de defiició de la fució. Determiamos el valor de la fució e todos estos putos y comparamos estos valores. Actividades resueltas Se desea diseñar vetaas para u edificio co uos perfiles de m de logitud, de forma que tega la máima luz. Las paredes dode va dichas vetaas mide m de altura y m de logitud. Las vetaas tiee forma de rectágulo. Llamamos a la base de las vetaas e y a su altura. El perímetro de la vetaa es igual a: = + y y = 7. La luz, que queremos hacer máima es A = y = 7 = 7 ². Codicioes Fució a optimizar Represetació = base; y = altura. A = y = 7 = 7 ² gráfica y < m < m Logitud de los perfiles: m. Luz máima. La fució A = 7 ² es derivable e toda la recta real. Buscamos los putos dode se aula la derivada: A = 7 = 0 =, y =, A = m². Pero ua base de metros, correspode co ua altura de y = 7 = metros que o cabe e la pared. El mayor valor que puede tomar la altura es y = m siedo etoces = m y ua luz de A = = m². Miramos qué ocurre e el otro etremo del domiio de defiició:. La mayor base que puede teer la vetaa es de =, siedo etoces y = y la luz, A = 0 m². Observa que la fució A es ua parábola, fució que ya cooces muy bie. Tiee el vértice e el puto, que es u máimo, pero o os resuelve el problema pues o perteece al domiio de defiició. Por ello hemos debido buscar la solució e los etremos del itervalo de defiició. La vetaa elegida co esos perfiles de m de largo debe teer ua base de m y ua altura de m, para que la luz sea máima. Determia los máimos y míimos, absolutos y relativos, de la fució f = 9 +, e el itervalo [0, ] y e el itervalo [0, 7]. La fució es derivable e todos los putos. f = 8 +, que se aula e y. E el itervalo [0, 7] ambas valores perteece al itervalo, por lo que los valores a valorar so: 0,, y 7. E el itervalo [0, ] el puto o perteece, luego teemos que valorar 0, y. f0 = 0; f = 0; f = 8; f = ; f7 = 70. Calculamos la derivada seguda: f = 8, e los putos dode se aula la derivada: f = < 0; f =. E Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

114 , 0 se alcaza u máimo relativo y e, u míimo relativo. Itervalo [0, ]: Máimo absoluto y relativo e, 0 y míimo absoluto e 0, 0. Itervalo [0, 7]: Máimo absoluto e 7, 70 y míimo absoluto e 0, 0. Máimo relativo e, 0 y míimo relativo e,. Determia los máimos y míimos, absolutos y relativos, de la fució f = e el itervalo [, ]. La fució o es derivable e 0, 0. La derivada vale si es positivo, y si es egativo, por lo que la derivada o se aula e igú puto. Estudiamos los etremos del itervalo, y : f = = ; f = =. El míimo absoluto de la fució se alcaza e 0, 0 y el máimo absoluto e,.. Calcula los máimos y míimos relativos y absolutos de la fució: f = + 7, e el itervalo [, ] y e el itervalo [0, ].. Determia los máimos y míimos, absolutos y relativos, de la fució f = + e el itervalo [, ].. Determia las dimesioes de u coo de volume míimo iscrito e ua esfera de radio R = cm. Ayuda: La altura del coo es igual a R +, y el radio de la base r = R. RESUMEN Defiició de derivada Cálculo de derivadas f f a f ' a a a f a h f a f ' a h0 h Si f = k etoces f = 0. Si f = k etoces f = k k Si f = g + h etoces f = g + h Si f = kg etoces f = kg Si f = g h etoces f = g h + g h l f g f ' g f g' g f g f g h' f ' g g' h Recta tagete y = fa + f a a Crecimieto y decrecimieto Máimos y míimos Si f a > 0 etoces y = f es creciete e = a. Si f a < 0 etoces y = f es decreciete e = a. Si a, fa es u máimo o u míimo de y = f y eiste f a etoces f a = 0. Si f a = 0 etoces a, fa es u puto crítico. Si f a = 0 y f a > 0 etoces a, fa es u míimo. Si f a = 0 y f a < 0 etoces a, fa es u máimo. EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas y = 7³ + /⁵ y = ² 0/ ⁶ y = y =/ + y y ' y = y' Tagete a y = ³ + e el puto 0, 0: y = =. y = ³ y = ² = 0 =, =. Para <, y > 0 y creciete. Para < <, y < 0 y decreciete Para >, y > 0 y creciete y = ³ y = ² y =. y = 0, y < 0, luego, es u máimo relativo. y = 0, y > 0, luego, es u míimo relativo. Defiició de derivada. Utiliza la defiició de derivada para calcular la derivada de la fució y = ³ e el puto =.. Utiliza la defiició de derivada para calcular la derivada de la fució y = e =.. Utiliza la defiició de derivada para calcular la derivada de la fució y = /² e =.. Utiliza la defiició de derivada para calcular la derivada de la fució y = ² + e el puto de abscisa =.. Utiliza la defiició de derivada para calcular la derivada de la fució y = e =. Cálculo de derivadas. Calcula las derivadas de las siguietes fucioes: a y = ² + b y = ³ ² c y = ² + d y = 8⁷ 9⁶ ³ Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

115 7. Calcula: a D² + 7 b D ² c D 7 + dy d 9⁶ 8 d 8. Calcula las derivadas de las siguietes fucioes: a y = 7² + / b y = ³ ² + c y d 9. Calcula las derivadas de las siguietes fucioes: a y = 7²/ + / 8/ b y = ³/ ²/ + / c 7y = ³/ ²/7 + 7/ 0. Calcula las derivadas de las siguietes fucioes: y b a 7. Calcula las derivadas de las siguietes fucioes: 8 7 y c y d y y 9 a y = b y c y = ³ + ⁵ d y = ² + ⁹. Calcula las derivadas de las siguietes fucioes: a y = ⁷ + ²⁶ b. Calcula las derivadas de las siguietes fucioes: 9 y c y = ³ + ⁵ ⁵ ⁸ d y 7 a y = e ⁵ + ³ b y = e ³ 7² ⁷ c y = e ⁵ + ³ 9 ⁵ d 8 y e. Calcula las derivadas de las siguietes fucioes: a y = cos⁵ 7³se⁵ 7³ b y = cos 7 ³ ² se ³ ² c y = cos⁵ 8³⁵ d y cos 7 Aplicacioes de la derivada. Calcula las rectas tagetes de la gráfica de la fució y = ³ e = 0, = y =.. Calcula las rectas tagetes de las gráficas de las fucioes siguietes e los putos idicados: a y = ³ e =. b y = + e =. c y = ³ 7 + e = Idica la pediete de la recta tagete de: a y = ³ + e =. b y + = 0. c y = ³ + e =. 8. Determia las coordeadas de los putos de la gráfica y = ³ + e los que su tagete sea paralela: a a la recta y = 0; b a la recta y =. 9. Determia la recta tagete de la gráfica de la fució y e = Si f =, cuál de las siguietes gráficas podría ser la de f?. Determia las rectas tagetes a la fució f = e los putos e los que la pediete es. Cuál es el meor valor que puede teer la pediete a esta curva? E qué putos se alcaza?. Determia la recta tagete a la fució f = e el puto A,. E qué otro puto corta la recta tagete a la fució?. Determia los coeficietes a, b y c de la fució f = a + b + c, que pasa por el puto A, y es tagete a la recta y = e el puto O0, 0.. Determia los coeficietes a, b y c para que las fucioes f = + b + c y g = c tega la misma recta tagete e el puto A, 0.. Determia el coeficiete a, para que la fució f = + a, sea tagete a la recta y =.. Determia los itervalos de crecimieto y decrecimieto de f = /. 7. Determia los itervalos de crecimieto y decrecimieto de f = /. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

116 8. Determia los itervalos de crecimieto y decrecimieto de f = +. Calcula sus máimos y míimos y haz u esbozo de su gráfica. 9. Determia los itervalos de crecimieto y decrecimieto de f = Calcula sus máimos y míimos. E qué puto corta al eje de ordeadas? Haz u esbozo de su gráfica. 0. Determia los itervalos de crecimieto y decrecimieto de f = +. Calcula sus máimos y míimos. Haz u esbozo de su gráfica.. Determia los itervalos de crecimieto y decrecimieto de f = 9. Calcula sus máimos y míimos. Haz u esbozo de su gráfica.. Determia los itervalos de crecimieto y decrecimieto de f = 9. Calcula sus máimos y míimos. Haz u esbozo de su gráfica.. Calcula los máimos y míimos relativos y absolutos de la fució f = + 7 e el itervalo [7, ] y e el itervalo [0, 8].. Determia los máimos y míimos, absolutos y relativos, de la fució f = + e el itervalo [, ]. Problemas. El espacio recorrido, e metros, por u vehículo a los t segudos de pasar por u cotrol de radar, viee dado por: y = t + 0 8t². Qué velocidad llevaba al pasar por el cotrol? Y a los segudos? Si cotiúa así, e qué mometo pasará de los 0 km/h?. La temperatura, T, e grados, de ua bola de hierro que se está caletado viee dada por T = 00 00/t, dode t es el tiempo e segudos. El radio, r, e mm, de la bola cuado la temperatura es de T grados viee dado por r = T. A qué velocidad varía el radio cuado la temperatura es de 0º, 7º, 00º? A qué velocidad varía la temperatura a los 0 segudos? Y para t = 90 segudos? A qué velocidad varía el radio a los 0 segudos, a los 0 segudos y a los 90 segudos? 7. La distacia, d, e metros, recorrida por u objeto e caída libre e la Tierra a los t segudos, viee dada aproimadamete por d = t². Si se cae u torillo desde la primera plataforma de la Torre Eiffel, que está a 7 m de altura, a qué velocidad llegaría al suelo? Y si cayera desde la seguda plataforma que está a m? Y desde la tercera plataforma que está a 7 m? 8. La fució e = ft idica el espacio recorrido, e, e metros, por u cuerpo e el tiempo t e segudos. Determia e cada caso la fució velocidad y la fució aceleració: a e = t t + b e = t t + t c e = t + t + d e = t 9. U depósito cilídrico de 0 metros de diámetro se llea de agua a 0 m³ por miuto. A qué velocidad varía la altura de agua a los miutos? Y a los miutos? 0. La distacia, d, e metros, recorrida por u trieo que se desliza por ua pediete helada, a los t segudos, viee dada por d = 0 t² + 0 0t³. Determia la velocidad del trieo a los,, 7 y segudos. Se sabe que si la velocidad del trieo alcaza los 0 km/h le puede fallar los freos, cuádo debería comezar a aplicar los freos para o perder el cotrol?. Queremos costruir cajas usado cartulias rectagulares de 0 cm por cm. Para ello se corta e cada esquia u cuadrado de lado, y se dobla. Qué valor debe teer el lado del cuadrado,, recortado para que las cajas cotega u volume máimo? Ayuda: Tedrás que escribir el volume de las cajas e fució de.. Uos barriles para almacear aceite so cilídricos y tiee ua capacidad de 0 litros. Si se desea costruirlos de forma que su superficie lateral sea míima, cuáto debe medir su altura y el radio de su base?. Al hacer las pruebas de u uevo medicameto se comprueba que segú la dosis,, e miligramos, que se admiistre, el porcetaje de curacioes, y, viee dado por: y = 00 80/ +. Si embargo el medicameto tiee efectos secudarios ya que perjudica al riñó. El úmero de efermos a los que el tratamieto produce efectos secudarios aumeta u % por cada miligramo que se aumeta la dosis. Podrías ayudar a determiar la dosis de medicameto adecuada? Razoa la respuesta.. E ua idustria la fució u = ft idica el úmero de persoas que costituye la fuerza del trabajo e el istate t, y la fució v = gt idica la producció media por persoa icorporada a la fuerza de trabajo e el istate t. Vamos a cosiderar que ambas fucioes so derivables, auque e realidad el úmero de persoas es siempre u úmero atural, y por tato so fucioes escaloadas. La producció total es igual a y = u v. Si la fuerza de trabajo aumeta u % aual, u = 0 0u y la producció por trabajador aumeta u % aual v = 0 0v total, determia la tasa de crecimieto istatáea de la producció total.. E el ejercicio aterior cosidera que la fució que idica el úmero de persoas que costituye la fuerza del trabajo e el istate t es u = ft = t y que la fució v = gt = t + t, idica la producció media por persoa icorporada a la fuerza de trabajo e el istate t. La producció total es igual a y = u v. Determia la tasa de crecimieto istatáea de la producció total. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

117 7. Si e el ejercicio aterior cosideras que la fuerza de trabajo ha dismiuido u % aual, y la producció por trabajador ha aumetado u % aual total, determia etoces la tasa de crecimieto istatáea de la producció total. Crece o decrece la producció total? AUTOEVALUACIÓN. Idica cuál de las siguietes epresioes es la defiició de derivada de ua fució e = a: f b f f f a f a h f a f b h f b a b c d b b 0 a h0 h h0 h. La derivada de y = e = es: a 0 b / c d. La derivada de y e = es: a / b 0/ c / d /. La derivada de y = e ² + es: a y = e ²+ b y = e ² e c y = + e ² d y = e ². La derivada y = cos³ es: a y = cos² se³ b y = se³ ² c y = se³ cos² d y = cos² se. La ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució y = + + ² ³ e = es: a y = b y = + 8 c y = + d y = La ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució y = ² ³ e = 0 es: a y = + b y = + 8 c y = d y = 0 8. La fució y = ⁴ ³ + ² + e = es: a creciete b decreciete c alcaza u míimo d alcaza u máimo 9. Si la derivada de ua cierta fució es: y = etoces los itervalos de crecimieto y decrecimieto de dicha fució so: a < 0, decreciete; 0 < <, decreciete; >, creciete b < 0, decreciete; 0 < <, creciete; >, decreciete c < 0, creciete; 0 < <, creciete; >, decreciete d < 0, creciete; 0 < <, decreciete; >, creciete 0. La fució y = ² ³ alcaza los siguietes máimos y míimos: a 0, 0 máimo y, míimo b, máimo y, míimo c, míimo y, máimo d 0, 0 míimo y, máimo Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo 7: Derivadas Autor: Jorge Muñoz Revisora: María Molero y Emilio Díaz

118 8 CAPÍTULO : ESTADÍSTICA. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UNIDIMENSIONAL Ya cooces de º y º de ESO mucho sobre Estadística, recueto de datos, tablas y gráficas, parámetros como media, mediaa, moda. Vamos a revisar estos coocimietos... Método estadístico La Estadística es la Ciecia que se ecarga de la recopilació, represetació y el uso de los datos sobre ua o varias características de iterés para, a partir de ellos, tomar decisioes o etraer coclusioes geerales. Ejemplo : El gobiero desea averiguar si el úmero de hijos por familia ha descedido respecto a la década aterior. Para ello ha etrevistado a 0 familias y les ha pregutado por el úmero de hijos obteiedo los siguietes datos: Ejemplo : U uevo hotel va a abrir sus puertas e uestra ciudad. Ates de decidir el precio de sus habitacioes, el gerete ivestiga los precios por habitació de los 0 hoteles de la misma categoría que hay cerca de uestra ciudad. Los datos obteidos so: La Estadística descriptiva es la parte de la estadística que se ecarga de orgaizar, resumir y dar ua primera descripció si coclusioes geerales de los datos. E Estadística se sigue u método estadístico que está formado por distitas fases segú se trata la iformació recibida. 0. Plateamieto del problema e térmios precisos: ámbito de aplicació població y características a estudio variables.. Recogida de datos de la població de iterés: Muestreo.. Orgaizació, presetació y resume de los datos o de la muestra: Estadística descriptiva.. Modelos matemáticos: Teoría probabilidad.. Obteer coclusioes geerales o verificar hipótesis. Població. Es el cojuto de idividuos o etes sujetos a estudio. Ejemplo : Cojuto de todas las familias españolas Ejemplo : Todos los hoteles de esta categoría de las cercaías. Alguas poblacioes so fiitas y puede coocerse e su totalidad, otras e cambio puede ser ifiitas y abstractas. Muestra: Es el úmero de datos que tomamos de la població para realizar uestro estudio. Ejemplo : Las 0 familias a las que se ha pregutado por el úmero de hijos Ejemplo : Los 0 hoteles. Tamaño muestral: Número de observacioes e la muestra. Habitualmete se deotará por. Ejemplo : = 0. Ejemplo : = 0. Dato: Cada valor observado de la variable. Ejemplo : Ejemplo : Variable: Característica que estamos midiedo. Ejemplo : Número de hijos. Ejemplo : Precio de la habitació. Las variables suele deotarse por las letras mayúsculas X, Y.... Tipos de variables Cualitativas o categóricas: Aquellas que o so medibles, es decir aquellas cuyas observacioes o tiee carácter Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

119 9 umérico. Epresa cualidades o categorías. Ejemplos: Seo, profesió, estado civil Cuatitativas: Aquellas que so medibles, es decir, sus observacioes tiee carácter umérico. Estas se divide e: Discretas: Toma valores uméricos fijos. Ejemplos: Número de habitacioes, úmero de hijos de ua familia, úmero de trabajadores de ua fábrica Cotiuas: Toma valores e itervalos de úmeros Ejemplos: Peso, estatura, cuado se orgaiza los datos e itervalos... Distribucioes de frecuecias Observado los datos del ejemplo es fácil adiviar cuál será el primer paso e la orgaizació de los datos, cosistirá e agrupar los datos que se repite varias veces. Teemos las siguietes defiicioes: Frecuecia absoluta i : Es el úmero de veces que se repite e la muestra u determiado valor i de la variable. Ejemplo: Para el dato = 0, = ; para el dato =, =. Propiedad: La suma de todas las frecuecias absolutas es igual al tamaño muestral. i Frecuecias relativas f i : Es igual a la frecuecia absoluta dividida por el úmero total de datos, es decir por el tamaño muestral: f i i Ejemplo: f 0' 0 f 0' 0 0 Propiedad: La suma de todas las frecuecias relativas es igual a. Frecuecias acumuladas N i : Nos dice el úmero de datos que hay igual o iferiores a uo determiado. Se calcula sumado el úmero de frecuecias absolutas que hay ateriores a llegar a la que queremos calcular. Ejemplo: N = N =. Propiedad: La última frecuecia acumulada es igual al tamaño muestral, al úmero total de datos. Frecuecia relativa acumulada F i : Es el resultado de dividir cada frecuecia acumulada por el úmero total de datos: N F i i Ejemplo: F 0' 0 F 0 0' 8 Propiedad: La última frecuecia relativa acumulada es siempre. Tabla o distribució de frecuecias de ua variable Llamamos así a ua tabla coteiedo el cojuto de diferetes valores que ha tomado ua variable los datos si repetir ordeados de meor a mayor co sus correspodietes frecuecias. Actividades resueltas La tabla de valores del ejemplo del úmero de hijos i i f i N i F i Cuál es el úmero de familias que tiee como máimo dos hijos? Miramos la columa seguda i: + + = 7 o miramos la columa cuarta, tercera fila: N i: os da 7 Cuátas familias tiee más de u hijo pero como máimo? Miramos la columa seguda: + = o miramos la columa cuarta y restamos las filas cuarta meos seguda =. Qué porcetaje de familias tiee más de hijos? Miramos e la columa tercera: = 0 % o e la columas quita restado a la última fila la cuarta fila, es decir, 0 8 = 0 %. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

120 0 Distribucioes de frecuecias agrupadas Ahora vamos a trabajar co ua distribució de frecuecias agrupadas co el ejemplo del precio de ua habitació de hotel. Ejemplo : i i f i N i F i Esta tabla es demasiado grade y muy poco operativa. Cuado la variable toma muchos valores, la tabla que se obtiee es demasiado grade y por tato poco clarificadora, esto os va a ocurrir frecuetemete e el caso e que la variable a estudiar sea cotiua. La solució a este problema está e agrupar los diferetes valores de la variable e itervalos o itervalos de clase. Teiedo e cueta que lo que gaamos e maejabilidad lo perdemos e iformació, es decir los resultados será aproimados. Agrupar e itervalos de clase cosiste e agrupar los datos e úmeros relativamete pequeño de itervalos que cumpla: No se superpoga etre sí, de forma que o eista ambigüedad co respecto a la clase a que perteece ua observació particular. Cubra todo el rago de valores que teemos e la muestra. Llamaremos: A las froteras del itervalo, ites iferior y superior de clase y los deotaremos por l i, L i respectivamete. Marca de clase c i al puto medio del itervalo, es decir, al promedio aritmético etre el ite iferior y el superior: Li li ci. Es el valor que tomaremos como represetativo del itervalo o clase. Amplitud a i es la diferecia etre el etremo superior e iferior: a i = L i l i. Al úmero de observacioes de ua clase se le llama frecuecia de clase i si dividimos esta frecuecia por el úmero total de observacioes, se obtiee la frecuecia relativa de clase f i, y del mismo modo que lo hacíamos para datos si agrupar defiiríamos N i y F i. Cómo costruir ua distribució de frecuecias agrupada e itervalos. Empezamos determiado el recorrido de la variable Re o rago de valores que teemos e la muestra. Se defie como la diferecia etre el mayor y el meor valor de la variable.. Número de clases. Depede del tamaño de la muestra. Para muestras de tamaño moderado N meor que 0, se suele elegir u úmero de clases o itervalos igual a. Para muestras mayores se utiliza la fórmula de Sturges log, e geeral el úmero de itervalos o debe sobrepasar de o 0, e casos de muestras muy grades. log. Determiamos la amplitud de los itervalos. Es más cómodo que la amplitud de todas las clases sea la misma siempre que sea posible y ecepto el primero y el último, si es así a i = a = Re/º itervalos.. Tomaremos como regla geeral, a o ser que se idique lo cotrario, hacer que el itervalo esté cerrado por la izquierda y abierto por la derecha ecepto el último itervalo. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

121 Ejemplo: Represeta la distribució de frecuecias agrupadas para los datos del ejemplo del precio de las habitacioes de u hotel. Recorrido: El meor valor es y el mayor es, la diferecia es 8 y por tato el recorrido es: Re = 8. Número de clases: N = 0, hacemos que la tabla tega clases, pues 0. Amplitud: a = 8/ = 7 Como la amplitud os sale u úmero co decimales los itervalos os va a quedar raros por tato hacemos el arreglo siguiete: Para que los itervalos os quede co amplitud tomamos como primer valor el e lugar del y como último el e lugar del. Amplitud: a =. Así pues la tabla queda: [l i, L i [ c i i f i N i F i [, 7 [ [7, [ [, 7 [ 0 0 [7, [ [, 7 [ [7, [ Cuátos hoteles tiee u precio etre y 7 euros? Cuátos hoteles tiee u precio superior a 7? Qué porcetaje de hoteles cuesta como mucho? 7 %.. Completa los datos que falta e la tabla. i i f i N i F i Completa los datos que falta e la tabla. [l i, L i [ i f i N i [0, 0[ 0 0 [0, 0[ 0 [0, 0[ 0 70 [0, 0[ 0 [0, 0] 00.. Gráficos La forma de la distribució de frecuecias se percibe más rápidamete y quizás se retiee durate más tiempo e la memoria si la represetamos gráficamete. Diagrama de barras Número de hijos Es la represetació gráfica usual para las variables cuatitativas si agrupar o para variables cualitativas. E el eje de abscisas represetamos los diferetes valores de la variable i. Sobre cada valor levatamos ua barra de altura igual a la frecuecia absoluta o relativa. 0 0 Diagrama de sectores o pastel Es el más usual e variables cualitativas. Se represeta mediate 0 círculos. A cada valor de la variable se le asocia el sector circular 0 proporcioal a su frecuecia. Para hallar el águlo usamos ua regla de tres: 0º o 0º i águlo i f i águlo i Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

122 Ejemplo : E uas votacioes de ua comuidad de vecios para decidir si cambia la atea de televisió de la comuidad, de 0 vecios vota a favor, e cotra y 0 se abstiee. Represeta los datos mediate u diagrama de sectores. Histogramas Es la represetació gráfica equivalete al diagrama de barras para datos agrupados. E el eje de ordeadas represetamos las clases y levatamos sobre cada clase rectágulos uidos etre sí de altura igual a la frecuecia de la clase absolutas o relativas si todas las clases tiee la misma amplitud y i f o i ai ai si tiee distitas amplitudes. E cualquier caso, observa que, e u histograma el área de los rectágulos es proporcioal a la frecuecia represetada. El histograma o diagrama de barras proporcioa mucha iformació respecto a la estructura de los datos y si la muestra es represetativa de la població, respecto a la estructura de la població: el valor cetral de la distribució, su dispersió y la forma de la distribució. i Precio de habitació de hotel f i A favor 0 E cotra 0 Absteció 0 votacioes Precio de habitació de hotel a favor e cotra absteció Polígoo de frecuecias Es la represetació habitual para datos cuatitativos agrupados de las frecuecias absolutas o relativas, acumuladas absolutas o relativas, mediate putos se represeta las frecuecias e el eje de ordeadas y la marca de clase e el de abscisas. Después se ue estos putos por segmetos de rectas... Parámetros estadísticos Para datos cualitativos, la distribució de frecuecias proporcioa u resume cociso y completo de la muestra, pero para variables cuatitativas puede complemetarse este resume utilizado medidas descriptivas uméricas etraídas de los datos. Estas medidas so valores uméricos calculados a partir de la muestra y que os resume la iformació coteida e ella. Media aritmética Es el promedio aritmético de las observacioes, es decir, el cociete etre la suma de todos los datos y el úmero de ellos. Teiedo e cueta que si u valor se repite hay que cosiderar estas repeticioes. k i ii i fi i Si los datos está agrupados e itervalos utilizaremos las marcas de clase, c i, e vez de i. Es la medida de cetralizació más importate. Ejemplo. Número medio de hijos. 0 ' hijos. 0 0 Utilizado los datos de las frecuecias relativas. 00'00'08 0' 0'0 0' 0'0 0'0 ' hijos. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

123 Ejemplo. Precio medio. Como teemos los datos agrupados e itervalos utilizamos las marcas de clase: ' 0'8 ' 0' ' 0' 87 ' O equivaletemete: 0'07 00' 0' 00' 0' 00' '87. Propiedades.. Si a todos los valores de ua variable les sumamos ua costate, la media aritmética queda aumetada e esa costate.. Si a todos los valores de ua variable los multiplicamos por ua costate, la media aritmética queda multiplicada por la misma costate.. Si cosideramos y i = a + b i siedo a y b dos costates cualesquiera, la ueva media aritmética quedaría y a b. La suma de todos los valores de la variable restádoles la media es cero. Mediaa Es aquel valor que, al ordear las observacioes de meor a mayor, ocupa el lugar cetral, dividiedo al cojuto de observacioes e dos partes iguales. Es decir, que deja a su derecha y a su izquierda el 0 por cieto de las observacioes. Si el tamaño de la muestra,, es impar, ecesariamete eiste u dato que ocupa el lugar cetral, cocretamete el dato que al ordearlos está e la posició +/; pero si es par, so dos los datos que ecotramos e el lugar cetral, los que ocupa los lugares / y /+, calculado etoces la mediaa como el puto medio etre ambos datos. Ejemplo : Si teemos los datos de 0 valores sobre el peso de los estudiates de º de bachillerato ordeados de meor a mayor Como = 0 es par, la mediaa será el valor medio de los valores que ocupa las posicioes y e la tabla: 8 8 Mediaa = Me = / = 8 kg. Ejemplo : Las primeras observacioes correspodietes al úmero de chocolatias cosumidas e u día por los estudiates de ua clase so: 0. El dato que ocupa el valor cetral, es el que ocupa el lugar séptimo ya que hay valores, ese dato es la mediaa por tato la mediaa es : Me =. Moda Es aquel valor que tiee mayor frecuecia. E el caso de las frecuecias agrupadas e itervalos se toma el itervalo que más veces se repite como la moda Ejemplo : Para la variable cosumo de chocolatias del ejemplo la moda es Mo = Ejemplo : Para los datos del ejemplo es el itervalo [, 7. Percetiles El percetil p-ésimo es aquel valor que verifica la codició de que el p % de los datos so meores o iguales a él. Así, el percetil 70 supoe que el 70 % de los datos so meores o iguales a él. Ejemplo: Queremos calcular el percetil 0 de los datos del ejemplo, tedremos e cueta que el 0 % de 0 datos que hay es 9, así buscamos el dato que ocupa esa posició e la ordeació del ejemplo, que es 7 9. Si queremos calcular el percetil, teemos e cueta que el % de 0 es, pero como este dato o perteece a igua posició tomamos la aproimació por eceso, o sea tomamos el dato que ocupa la posició por tato el percetil seria el dato. Tambié es posible aproimarlo mejor mediate ua iterpolació lieal. Nota: Los percetiles, 0 y 7 recibe el ombre de primer cuartil, segudo cuartil y tercer cuartil. Además el segudo cuartil que es el percetil 0 coicide co la mediaa. Si los datos está ordeados e itervalos tomamos el itervalo correspodiete al porcetaje del percetil como valor del percetil correspodiete. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

124 Parámetros estadísticos de dispersió Las medidas de posició estudiadas e el apartado aterior, os da ua iformació icompleta, por parcial, acerca de los datos. Veamos u ejemplo: Supogamos las otas de matemáticas de los estudiates perteecietes a dos clases distitas clase A y clase B, co 0 estudiates cada ua. Clase A,,,,,,, 7,, Clase B,,,,, 8,, 7,, 9 Clase A Clase B E los dos casos la media, como podemos calcular es, pero sus diagramas de frecuecias so muy distitos. Los diagramas de frecuecias ateriores os muestra que los valores se distribuye simétricamete respecto a la ota, pero e la clase A eiste ua meor dispersió que e la clase B. Cómo medir la distita maera e que los valores se agrupa alrededor de la media? Las distitas medidas de dispersió proporcioa esta iformació. Al igual que ocurre para la posició, eiste diversas formas para medir la dispersió, de etre ellas estudiaremos: rago, desviació típica, variaza y rago itercuartílico. Rago Es la diferecia etre el dato mayor y el dato meor. Así por ejemplo El rago de las otas de la clase A vale 7 = y el rago e la clase B vale 9 = 8, deotado mayor dispersió de la variable e la clase B. La variaza y la desviació típica Puesto que se trata de medir cómo se agrupa los datos alrededor de la media, podríamos utilizar como criterio las desviacioes de dichos datos respectos aquella, es decir, las diferecias etre la media y los datos y más cocretamete la media de esas diferecias. Auque a primera vista la sugerecia pueda ser buea, vamos a aplicarla a los valores de las otas de clase para evideciar el icoveiete isalvable que ua medida de este tipo tiee. E los cuadros aparece las otas de cada clase y e columas sucesivas sus desviacioes respecto a la media y el cuadrado de estas desviacioes, al que aludiremos más tarde. Al tratar de obteer la media de las diferecias, que recordemos es la suma de todas ellas divididas por su úmero, os ecotramos que dicha media es 0 e ambos casos, porque eistiedo desviacioes positivas y egativas, uas aula los efectos de las otras. E realidad eso os ocurrirá co cualquier otro cojuto de datos, porque puede demostrarse que esa es ua propiedad que tiee las desviacioes respecto de la media. Clase A Clase B Nota i d i Nota i d i Suma 0 Suma 0 0 E las tablas aparece las desviacioes respecto de la media y sus cuadrados para las otas de las dos clases. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

125 Puesto que el uso de las desviacioes respecto de la media parece razoable, cómo resolver el problema que las sumas de 0? Ua secilla maera de hacerlo es utilizar, o las desviacioes, sio sus cuadrados. Al ser éstos catidades positivas, su suma uca podrá ser cero. De acuerdo co esto la variaza se defie por la fórmula. suma del cuadrado de las desviacioes i i Variaza = s La desviació típica se defie como la raíz cuadrada de la variaza y la desigaremos por s. s = Variaza Ejemplo: Para el ejemplo de las otas de las clases. i i i i Clase A s ' s ' ' 9 0 Clase B s ' s ' ' 8 9 Que poe de maifiesto la diferete distribució de los valores e u caso y e el otro. Propiedad de la desviació típica. Aproimadamete el 8 % de los datos dista como mucho ua desviació típica de la media.. Aproimadamete el 9 % de los datos dista como mucho dos desviacioes típicas de la media.. Aproimadamete más del 99 % de los datos dista como mucho tres desviacioes típicas de la media. Rago itercuartílico. Se defie como la diferecia etre el tercer y el primer cuartil. El itervalo itercuartílico es el itervalo defiido por los cuartiles primero y tercero, cuya logitud es, el rago itercuartílico. Este itervalo así defiido cotiee el 0 % de los datos. Coeficiete variació Si queremos comparar dos secuecias de datos, y decir e cual hay mayor dispersió, sobre todo e el caso e que sea datos epresados e diferetes uidades, co los parámetros defiidos, desviació típica, itervalo itercuartílico, lo teemos complicado, por eso se hace ecesario defiir el coeficiete de variació como, s CV 00 Ejemplo: E el ejemplo de las calificacioes de dos clases os permite comparar las dos secuecias de datos. Clase A CV = /00 = %. Clase B CV = 8/00 = %. Llegado a la misma coclusió que percibíamos e los histogramas ya que la clase B tiee ua mayor dispersió de las otas.. Clasifica las siguietes variables como cualitativas o cuatitativas, y estas últimas como cotiuas o discretas. a Iteció de voto de u partido b Número de correos electróicos que recibes e u mes. c Número de calzados d Número de kilómetros recorridos e fi de semaa. e Marcas de cerveza f Número de empleados de ua empresa g Altura h Temperatura de u efermo.. Muchas persoas que ivierte e bolsa lo hace para coseguir beeficios rápidos, por ello el tiempo que matiee las accioes es relativamete breve. Pregutada ua muestra de 0 iversores habituales sobre el tiempo e meses que ha mateido sus últimas iversioes se recogiero los siguietes datos: Costruye ua tabla de frecuecias que recoja esta iformació y haz algua represetació gráfica.. Ivestigados los precios por habitació de 0 hoteles de ua provicia se ha obteido los siguietes resultados Determiar: a Distribució de frecuecia de los precios, si agrupar y agrupado e itervalos de la misma amplitud; b Porcetaje de hoteles co precio superior a 7; c Cuátos hoteles tiee u precio mayor o igual que 0 pero meor o igual a 00? d Represeta gráficamete las distribucioes del apartado a. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

126 . El gobiero desea saber si el úmero medio de hijos por familia ha descedido respecto a la década aterior. Para ello se ha ecuestado a 0 familias respecto al úmero de hijos y se ha obteido los datos siguietes a Costruye la tabla de frecuecias co estos datos. b Cuátas familias tiee eactamete hijos? c Qué porcetaje de familias tiee eactamete hijos? d Qué porcetaje de familias de la muestra tiee más de dos hijos? Y meos de tres? e Costruye el gráfico que cosideres más adecuado co las frecuecias o acumuladas. f Costruye el gráfico que cosideres más adecuado co las frecuecias acumuladas. 7. E u hospital se desea hacer u estudio sobre los pesos de los recié acidos. Para ello se recoge los datos de los 0 bebes y se tiee: a Costruye la tabla de frecuecias. b Si sabemos que los bebes que pesa meos de kilos lo hace prematuramete Qué porcetaje de iños prematuros ha acido etre estos 0? c Normalmete los iños que ace prematuros que pesa más de kilos y medio o ecesita estar e icubadora. Puedes decir que porcetaje de iños está e esta situació? d Represeta gráficamete la iformació recibida. 8. E ua fica de vecios de Beicasim, se reúe la comuidad de vecios para ver si cotrata a ua persoa para que les lleve la cotabilidad. El resultado de la votació es el siguiete: vecios a favor de la cotratació, vecios e cotra y vecios se abstiee. Represeta la iformació mediate u diagrama de sectores 9. Se toma ocho medicioes del diámetro itero de los aillos para los pistoes del motor de u automóvil. Los datos e mm so: Calcula la media y la mediaa de estos datos. Calcula tambié la variaza, la desviació típica y el rago de la muestra. 0. Dada la distribució de datos co frecuecias, 8,,, 8, halla la media de la distribució.. La distribució de los salarios e la idustria turística española es la que figura e la tabla. Calcula: a El salario medio por trabajador marcas de clase del último itervalo 0000 b El salario más frecuete. c El salario tal que la mitad de los restates sea iferior a él. [l i, L i [ i [0,00[ [00, 000[ 0 [000, 00[ 80 [00, 000[ 9 [000, 00[ 0 [00, 000[ [000, 000[ 0 [000, 0000[ Calcula la mediaa, la moda, primer y tercer cuartil y oagésimo percetil de la distribució: i Se ha diseñado dos uidades gemelas de platas pilotos y ha sido puestas e fucioamieto e u determiado proceso. Los resultados de los diez primeros balaces e cada ua de las uidades ha sido los siguietes: Uidad A Uidad B a Haz ua represetació gráfica de estas muestras; b Determia las medias y las variazas. i Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

127 7. E cierto barrio se ha ecotrado que las familias residetes se ha distribuido, segú su composició de la forma siguiete: Composició Nº de familias a Cuál es el úmero medio de persoas por familia? b Cuál es el tamaño de la familia más frecuete? c Si solo hubiera plazas de aparcamieto para el 7 % de las familias y estas se atediera por familias de mayor tamaño a meor, qué compoetes tedría que teer ua familia para etrar e el cupo? d Número de miembros que tiee como máimo el 8 % de las familias.. Al lazar 00 veces u dado se obtuvo la siguiete distribució de frecuecias. i i a b Halla la mediaa y la moda de la distribució, sabiedo que la media aritmética es.. Los siguietes datos so medidas de la capacidad craeal de u grupo de homíidos: 8, 9,, 0, 8, 7,,, 70, 9, 80, 8, 8, 0, 7, 7, 7, 70, 7,, 70, 78,, 7,, 7, 7,, 70, 8, 7, 79, 7, 7, 8,. a Calcula la media y la mediaa muestrales. b Halla los cuartiles primero y tercero. c Halla los percetiles cicueta y oveta. d Calcula el rago muestral. e Calcula la variaza muestral y la desviació estádar muestral. 7. Los siguietes datos procede de u estudio de cotamiació del aire a Costruye u histograma. b Determia los cuartiles. c Calcula la media y la desviació típica.. ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL.. Itroducció. Tablas de cotigecia Ejemplo : Co el fi de hacer u estudio de aceptació sobre dos modelos de impresoras D de reciete fabricació, se cosideraro el úmero de vetas efectuado por u determiado distribuidor durate días. Modelo A: 0 Modelo B: 0 E muchos procesos de la vida se hace ecesario estudiar simultáeamete dos características, dos variables. Su estudio cojuto permite determiar las relacioes etre ellas. Supodremos iicialmete que estamos observado dos variables auque el tratamieto que se preseta se geeraliza si dificultad a cualquier úmero de variables. Notació. Cotiuado co el ejemplo vamos a llamar: X úmero de impresoras del modelo A vedidas e u día. Y úmero de impresoras del modelo B vedidas e u día. umero de pares de observacioes. i Cada dato diferete observado e la muestra de X. K úmero de valores distitos de X. y j Cada dato diferete observado e la muestra de Y. h úmero de valores distitos de Y... Distribució de frecuecias cojutas Cuado queremos describir cojutamete dos variables, el primer paso al igual que e el caso uivariate, será la represetació de los datos e ua tabla de frecuecias. Frecuecia absoluta cojuta i j Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

128 8 Número de veces que se preseta e la muestra el valor i de la variable X co el valor y j de la variable Y. Ejemplo : Para el par de valores = 0, y =, = Propiedad: La suma de las frecuecias absolutas es igual a. Frecuecia relativa cojuta ij fij Ejemplo : f 0' 0 Propiedad La suma de las frecuecias relativas es igual a la uidad. Tabla de frecuecias cojuta Llamamos así a ua tabla de doble etrada dode se represeta e la primera columa los diferetes valores observados para la variable X ordeados de meor a mayor y e la primera fila los diferetes valores observados para la variable Y, y e el cetro de la tabla sus correspodietes frecuecias cojutas, tato absolutas como relativas. Ejemplo : i / y j 0 i f i 0 0/0 0/0 /0 0 0/ /0 0/0 0/0 / /0 /0 /0 0 0/ /0 8/0 /0 0/0 0 8 /0 0 /0 08 0/0 0/0 0 i 0 f i Qué porcetaje de días vederemos ua impresora del modelo A y del modelo B? % Qué porcetaje de días vederemos más impresoras del modelo B que del modelo A? 8 %; NOTA: E el caso e que las variables sea cualitativas la tabla de distribució cojuta tambié recibe el ombre de tabla de cotigecia. Ejemplos de tablas de cotigecia..- Se quiere estudiar el efecto de tres fármacos e el tratamieto de ua efermedad ifecciosa. Para ello se dispoe de u grupo de pacietes ifectados, distribuyédose al azar e tres grupos de tratamieto. Tratamieto A Tratamieto B Tratamieto C Total Si mejora 9 No mejora 7 Total E u estudio se ha aplicado durate u año ua terapia basada e la ejercitació metal para frear el deterioro cogitivo observado e efermedades degeerativas, e la tercera edad. Para evaluar el grado e que la terapia es efectiva, se ha registrado los resultados observados al cabo de u año de tratamieto e cada tipo de efermedad, teiedo e cueta que la evolució atural al cabo de u año, de estas efermedades, es el empeoramieto. Empeora Estable Mejora Total Parkiso seil 7 7 Alzheimer Demecia vascular 0 7 Total.. Distribució de frecuecias margiales Para distiguir las frecuecias de cada variable al estudiarlas aisladamete llamaremos frecuecias margiales a las de cada variable por separado. De esta forma tedríamos dos distribucioes uidimesioales a partir de las cojutas. Frecuecia absoluta margial Para la X i sería el úmero de veces que se repite el valor i si teer e cueta los valores de Y, la represetamos por i. Para la Y y j sería el úmero de veces que se repite el valor y j si teer e cueta los valores de la X, la represetamos por j. Nota:.-Co las defiicioes de media, desviació típica y variaza del apartado de distribucioes uidimesioales, utilizado para Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

129 9 la X los valores i y el úmero de veces que se repite i y N el úmero total de pares observados, y para la Y los valores y j y el úmero de veces que se repite j y N el úmero total de pares observados, calcularemos las medias margiales, desviacioes típicas margiales y variazas margiales..- Si os fijamos bie podemos relacioar el ombre de frecuecias margiales co el hecho de que tato los valores de las variables, i e y j como las veces que aparece cada uo de estos datos, i y j los ecotramos e los márgees de la tabla de distribució cojuta. Frecuecias relativas margiales A partir de las ateriores, y del mismo modo, se costruirá estas frecuecias f i y f j. La distribució de frecuecias margiales puede colocarse e ua tabla separadamete. Pero si deseamos teer toda la iformació e ua misma tabla lo que se suele hacer es colocar: E la última columa de la tabla cojuta, las frecuecias margiales de X es decir, i, añadiedo tatas columas como otros tipos de frecuecias margiales se desee añadir. E la última fila de la tabla cojuta, las frecuecias margiales de Y, es decir, j añadiedo tatas filas como otros tipos de frecuecias margiales se desee añadir... Distribució de frecuecias codicioadas A partir de la distribució de frecuecias cojutas podemos defiir otro tipo de distribucioes uidimesioales, tato para X como para Y. Estas distribucioes se obtedrá al fijar el valor de la otra variable y recibe el ombre de distribucioes codicioadas. Frecuecia absoluta codicioada para X i dado que Y y j es el úmero de veces que se repite el valor i teiedo e cueta solo aquellos valores e que Y y j ; así es ij = ij para todo i =,,, k. Frecuecia absoluta codicioada para Y y j dado que X i es el úmero de veces que se repite el valor y j teiedo e cueta solo aquellos valores e que X i ; así es ij = ij para todo j =,,, h. E las distribucioes codicioadas o se suele utilizar las distribucioes absolutas, puesto que como sabemos, estas depede del úmero de datos y el úmero de datos será diferete para cada distribució, pues depederá de la frecuecia del valor que fijamos de la otra variable. So mucho más útiles las frecuecias codicioadas que se defie: Frecuecia relativa codicioada para X dado que Y = y j es Frecuecia relativa codicioada para Y dado que X = i es ij fi j j ij f i j i Ejemplo: Distribució de frecuecias de X codicioada a Y = i i f i Nota: Si la tabla resulta muy grade deberemos agrupar ua o las dos variables e itervalos de clase del mismo modo que lo hacíamos e el apartado de ua variable. E este caso todas las defiicioes se aplica tal como las hemos visto e dicho apartado... Idepedecia estadística Defiició : Dos variables X e Y se dice que so idepedietes estadísticamete cuado la frecuecia relativa cojuta es igual al producto de las frecuecias relativas margiales, es decir, para todo i, j: ij fij i j fi f j Defiició : Dos variables X e Y se dice que so idepedietes estadísticamete cuado todas las frecuecias relativas codicioadas so iguales a sus correspodietes frecuecias margiales, es decir: f ij = f i para todo j y f ij = f j para todo i... Diagrama de dispersió. Nube de putos Se obtiee represetado cada par observado i, y j, como u puto del plao cartesiao. Se utiliza co los datos si agrupar y sobre todo para variables cotiuas. Si los datos está agrupados se toma las marcas de clase. Es más útil porque os Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

130 0 permite ver visualmete la relació etre las dos variables.,,, 0, 0 o relació 0,,, 0, 0 relació lieal iversa 0. COVARIANZA.. Idea correlació. Covariaza Al aalizar dos variables cuatitativas de forma cojuta, el objetivo que se pretede es, por lo geeral, determiar si eiste o o algú tipo de variació cojuta o covariaza etre ellas: si ua variable aumeta, la otra tambié o lo cotrario. La catidad se deomia covariaza S y y tiee la siguiete epresió: i j i yi y ij i ji yi ij Sy y Ayuda a aalizar la covariaza etre dos variables de la forma siguiete: Cuado el resultado es positivo, hay ua tedecia a que a mayores observacioes de X correspoda mayores observacioes de Y. Por ejemplo A mayor catidad de agua de lluvia e u año, suele correspoder ua mejor cosecha. Cuado el resultado es egativo, la tedecia resulta cotraria; es decir a mayores valores de la variable X solemos ecotrar meores valores de la variable Y. Por ejemplo, A mayor reta per cápita e los países suele ecotrarse ua meor mortalidad ifatil... Coeficiete correlació lieal El valor de la covariaza depederá de los valores de las variables, por tato de sus uidades. Para poder elimiar las uidades y teer ua medida adimesioal utilizamos el coeficiete de correlació r y : Sy ry s sy Siedo tambié ivariate frete a trasformacioes lieales cambio de orige y escala de las variables. Citamos las siguietes propiedades: Es u coeficiete adimesioal. Toma valores etre y. Si hay relació lieal positiva el valor será positivo y próimo a. Si hay relació lieal egativa el valor será egativo y próimo a. Si o hay relació el valor se aproima a cero. Si X e Y so idepediete el valor del coeficiete es cero. Pero o al cotrario. Puede ocurrir que el coeficiete de correlació valga cero y las variables sea depedietes... Recta regresió lieal El diagrama de dispersió o ube de putos os permitía visualizar la relació etre dos variables X e Y. Al represetar el diagrama de dispersió podemos ecotrar las siguietes situacioes: Distribucioes estadísticas para las que la ube de putos se dispoe de tal forma que eiste ua fució matemática cuyos putos so ua parte de su represetació gráfica. Si coicidir sus putos co los de ua gráfica de ua fució matemática, se aproima a ella co mayor o meor itesidad. La ube de putos preseta u aspecto tal que o eiste cocetració de putos hacia igua grafica matemática, distribuyédose de ua forma uiforme e ua regió del plao. E el primer caso se dice que eiste ua depedecia fucioal o eacta etre las variables X e Y, es decir eiste ua,, 0, 0 relació lieal directa 0 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

131 fució matemática tal que y = f. E el segudo caso se dice que eiste ua depedecia estadística o aproimada etre las dos variables, Y aproima f. Y e el último caso decimos que las variables so idepedietes. Es el segudo caso del que se ocupa la teoría de regresió. Las técicas de regresió tiee por objeto modelar, es decir, ecotrar ua fució que aproime lo máimo posible la relació de depedecia estadística etre variables y predecir los valores de ua de ellas: Y variable depediete o eplicada a partir de los valores de la otra u otras: X variable idepediete o eplicativa. Llamamos regresió Y sobre X a la fució que eplica la variable Y depediete para cada valor de la X idepediete. Llamamos regresió de X sobre Y a la fució que eplica la variable X depediete para cada valor de la Y idepediete. La recta de regresió que estudiamos es ua fució lieal por que el modelo de fució de regresió seleccioado es ua recta. Sy Recta de regresió Y sobre X es y = a + b dode a y b y b =. Recta de regresió de X sobre Y es = a + b y dode a Escribe la tabla de frecuecias cojuta. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística a ' b' y y b = s Sy s y Los valores de b y b so los correspodietes coeficietes de regresió para cada ua de las rectas. Hay que teer e cueta que la recta de regresió de sobre y o se obtiee despejado de la recta de regresió de y sobre... Predicció y causalidad El objetivo último de la recta de regresió es la predicció de ua variable para u valor determiado de la otra. La predicció de Y para X = 0, será simplemete el valor obteido e la recta de regresió de Y sobre X al sustituir el valor de por 0. Es claro que la fiabilidad de esta predicció será tato mayor cuato mayor sea la correlació etre las variables, es decir mayor sea el valor de r y... Coeficiete determiació El coeficiete de determiació represeta el porcetaje de la variabilidad de la variable Y eplicada por la recta de regresió, es decir por su relació co la variable X. El coeficiete determiació es el cuadrado del coeficiete de correlació: R r y El coeficiete determiació complemeta el coeficiete de correlació para evaluar ua predicció hecha mediate la recta de regresió. Refleja el porcetaje de variabilidad de los datos que es capaz de eplicar la recta de regresió. 0 R Si R = el ajuste es perfecto, si R = 0 el ajuste es iadecuado. Nota aclaratoria: U coeficiete de correlació r = 0 7 podría idicar que eiste ua depedecia lieal apreciable etre ambas variables. Si embargo, R = r = 0 que refleja que la recta de regresió sólo es capaz de eplicar u % de variabilidad de los datos y, por tato el ajuste mediate ua recta o es bueo. Ejemplo: Coocida la recta de regresió del gasto e fució de la reta y = , determiar el gasto para este año si la reta es de 7 milloes de euros. Dar ua medida de la bodad de la predicció. Cuál es el porcetaje de variabilidad e el gasto atribuible a la reta de los cosumidores? Como la reta esta medida e milloes de euros, la predicció del gasto será: y = = 87 milloes de euros. Ua medida de la bodad de la predicció os vedrá dada por el coeficiete de correlació lieal etre las variables: sy 0' 9 r 0' 99 predicció muy fiable. s sy 0' 0' 9 El porcetaje de variabilidad e el gasto atribuible a la reta de los cosumidores os viee dado por el coeficiete determiació: R r 0'99 0' 98 y 8. Los datos siguietes so las calificacioes obteidas por los estudiates de u grupo de de º de bachillerato e las asigaturas de Matemáticas y Legua. Matemáticas Legua Matemáticas Legua Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

132 b Proporció de estudiates que obtiee más de u cico e ambas asigaturas, proporció de estudiates que obtiee más de u cico e Matemáticas, proporció estudiates que obtiee más de u cico e Legua. c So idepedietes las calificacioes de Matemáticas y Legua? d Represeta gráficamete. e Calcula el coeficiete correlació. 9. Para realizar u estudio sobre la utilizació de ua impresora e u determiado departameto, se midió e u día los miutos trascurridos etre las sucesivas utilizacioes X y el úmero de págias impresas Y, obteiédose los siguietes resultados. X Y a Escribe la distribució de frecuecias cojuta. Porcetaje de veces que trascurre más de ueve miutos desde la aterior utilizació y se imprime meos de doce págias. Número de veces que se imprime meos de doce págias y trascurre ueve miutos desde la utilizació aterior. b Frecuecias margiales. Veces que se imprime como mucho doce págias. Número de págias que se imprime e el 80 % de las ocasioes. c Calcula la distribució del úmero de págias impresas codicioada a que ha trascurrido ueve miutos etre sucesivas utilizacioes. d Dibuja el diagrama de dispersió. 0. Las estaturas de los 0 iños acidos e ua materidad durate ua semaa fuero los siguietes: Estatura Peso a Costruye ua tabla de doble etrada, agrupado los pesos e itervalos de 0 kg. b Es la estatura idepediete del peso?. E el eame de ua asigatura que costa de parte teórica y parte práctica, las calificacioes de ueve alumos fuero: Teoría 7 9 Práctica 8 7 Calcula la covariaza y el coeficiete de correlació lieal. Dibuja la ube de putos. Cometa los resultados.. Se desea ivestigar el gaado caprio y el gaado ovio de u país. E la tabla de doble etrada adjuta se preseta los resultados de u estudio de 00 eplotacioes gaaderas, seleccioadas aleatoriamete del ceso agropecuario. Se proporcioa las frecuecias cojutas del úmero de cabezas e miles de cabras X y ovejas Y que posee las eplotacioes. X / Y a Halla las medias, variazas y desviacioes típicas margiales. b Halla el úmero medio de ovejas codicioado a que e la eplotació hay 000 cabras. c Halla el úmero medio de cabras que tiee aquellas eplotacioes que sabemos que o tiee ovejas. d Halla la covariaza y el coeficiete de correlació etre ambas variables.. El volume de ahorro y la reta del sector familias e milloes e euros costates de 00 para el periodo 00-0 fuero. Años Ahorro Reta a Recta regresió del ahorro sobre la reta. b Recta de regresió de la reta sobre el ahorro. c Para el año 0 se supoe que la reta era de. milloes de euros. cuál será el ahorro esperado para Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

133 el año 0? d Estudiar la fiabilidad de la predicció aterior.. Se midió el tiempo e segudos que tardaro e grabarse los mismos ficheros e u lápiz USB X y e u disco duro eterior Y. X Y X Y a Costruye la tabla de frecuecias cojuta. Cuál es el porcetaje de ficheros que tarda meos de segudos e el primer tipo y más de e el segudo? Cuátos ficheros tarda e grabarse etre 0 y segudos e el primer tipo de memoria? Cuáto tiempo tarda como mucho e gravarse al meos el 90 % de los ficheros e el segudo tipo de memoria? b Halla la tabla de frecuecias codicioadas de los tiempos del segudo tipo de memoria de aquellos programas que tardaro e el primer tipo de memoria. Cuál es la proporció de estos programas que tarda e grabarse más de segudos e el segudo tipo de memoria? c Represeta gráficamete los datos y cometa el resultado obteido. d Si u fichero tarda 0 8 segudos e grabarse e el primer tipo de memoria, cuatos segudos tardara e grabarse e el segudo tipo? Dar ua medida de fiabilidad. Cofirma esta medida lo cometado e el apartado c?. De u muelle se cuelga pesos y obteemos los alargamietos siguietes. Peso gr X Alargamieto cm Y Ecuetra la recta de regresió de Y sobre X y estima el alargamieto que se coseguirá co pesos de 00 y 00 gr. Cuál de las dos estimacioes es más fiable?. La tabla siguiete muestra el úmero de gérmees patógeos por cetímetro cubico de u determiado cultivo segú el tiempo trascurrido. Número de horas 0 Número de gérmees 0 7 a Calcula la recta de regresió para predecir el úmero de gérmees por cetímetro cubico e fució del tiempo. b Qué catidad de gérmees por cetímetro cubico es previsible ecotrar cuado trascurra horas? Es buea esta predicció? 7. E u depósito cilídrico, la altura del agua que cotiee varía a medida que pasa el tiempo segú los datos recogidos e la tabla: Tiempo: h Altura: m 7 a Ecuetra el coeficiete correlació etre el tiempo y la altura. Da ua iterpretació de él. b Qué altura se alcazara cuado haya trascurrido 0 horas? c Cuado la altura alcaza m suea ua alarma. Cuáto tiempo tiee que pasar para que suee la alarma? 8. La evolució del IPC ídice de precios al cosumo y la tasa de iflació e los meses idicados de u determiado año, va ser: Eero Febrero Marzo Abril Mayo Juio IPC Tasa iflació 8 9 a Represeta la ube de putos. b Calcula el coeficiete de correlació etre el IPC y la tasa de iflació. c Se puede estimar la tasa de iflació a partir del IPC? Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

134 RESUMEN Ejemplos Histograma Represetació gráfica de los datos agrupados e itervalos. 0 Media aritmética i i i k i i fi 0 ' 0 0 Mediaa Moda Valor tal que e la distribució hay tatos datos meores que él como mayores que él. Dato co mayor frecuecia, el que más veces se repite. Variaza s i i i i f i Desviació típica s = Variaza Covariaza Coeficiete correlació Depedecia lieal Recta regresió Y sobre X i j i yi y ij i ji yi ij Sy y S y ry r s s y r = depedecia fucioal lieal egativa < r < 0 depedecia egativa r = 0 o eiste depedecia lieal, i fucioal 0< r < depedecia positiva r = depedecia fucioal lieal positiva S y y y s Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

135 EJERCICIOS Y PROBLEMAS Estadística descriptiva uidimesioal. Se cooce el volume semaal de residuos sólidos recogidos e m durate 0 semaas, e u muicipio pequeño: ', 7', '8, ', 8'9, ', 8'7, ', ', 9' Calcula: a Las medidas de cetralizació: la media, mediaa, moda b Las medidas de dispersió: desviació típica, variaza, coeficiete de variació, valor míimo, valor máimo, recorrido, primer cuartil, tercer cuartil e itervalo itercuartílico. c Haz ua represetació gráfica e serie temporal, que permita observar tedecias, ciclos y fluctuacioes. Recuerda que e ua serie temporal, e el eje de abscisas está el tiempo de observació y e el eje de ordeadas la magitud de observació.. Ua compañía de seguros desea establecer ua póliza de accidetes. Para ello, seleccioa al azar a 00 propietarios y les preguta cuátos euros ha gastado e reparacioes del automóvil. Se ha agrupado e itervalos los valores de la variable obteidos: Euros [0, 00 [00, 00 [00, 00 [00, 00 [00, 800 [800, 000 Número de persoas a Calcula las marcas de clase y escribe e tu cuadero ua tabla de frecuecias absolutas, frecuecias relativas, frecuecias acumuladas absolutas y frecuecias relativas acumuladas. b Represeta los datos e u diagrama de barras, otro de líeas y uo de sectores. c Represeta u histograma de frecuecias relativas. Cuidado: Los itervalos o so todos iguales. d Calcula la media y la desviació típica. e Calcula la mediaa y los cuartiles.. Se ha pregutado a 0 alumos por el úmero de hermaos que teía, y se ha obteido Número de hermaos 0 o más Número de veces 7 a Represeta u diagrama de barras de frecuecias absolutas y u diagrama de líeas de frecuecias relativas. b Calcula la media, la mediaa y la moda.. Se ha pregutado a 0 estudiates de º de Bachillerato por el úmero de hermaos que teía, y se ha obteido: Número de hermaos 0 o más Número de veces a Represeta los datos e u diagrama de barras de frecuecias absolutas, e u diagrama de líeas de frecuecias relativas, y e u diagrama de sectores. b Haz u histograma. c Calcula la media, la mediaa y la moda. Calcula los cuartiles. d Calcula la variaza, la desviació típica, el recorrido y el itervalo itercuartílico. Utiliza ua hoja de cálculo co el ordeador Se cooce el volume semaal de residuos sólidos recogidos e m durate las semaas de u año, e u muicipio pequeño: ', 7', '8, ', 8'9, ', 8'7, ', ', 9', ', '7, ', ', ', ', '7, 9', ', 0', 8', 9', '7, ', ', '7, ', 7', '7, ', 8', ', 8', '7, '8, 9'9, '7, ', 8', '9, 8', ', ', '7, ', ', ', ', '9, ', ', ', '.. Calcula, utilizado Ecel u otra hoja de cálculo: Parámetros estadísticos a Las medidas de cetralizació: la media, mediaa, moda b Las medidas de dispersió: desviació típica, variaza, coeficiete de variació, valor míimo, valor máimo, recorrido, primer cuartil, tercer cuartil e itervalo itercuartílico. c Otros coeficietes: coeficiete de asimetría y coeficiete de curtosis que ecuetres. Ivestiga las posibilidades del ordeador para obteer parámetros estadísticos. d Haz ua represetació gráfica e serie temporal, que permita observar tedecias, ciclos y fluctuacioes. Recuerda que e ua serie temporal, e el eje de abscisas está el tiempo de observació y e el eje de ordeadas la magitud de observació. Para ello, escribe e la casilla A,, e A,, y arrastra para escribir el orde de las semaas, hasta que aparezca el. Escribe e la columa B el volume recogido cada semaa. E la casilla A u título, por ejemplo, Residuos sólidos. E la casilla C escribe Media, y e la casilla D calcúlala usado la fució PROMEDIO. De igual forma calcula los otros parámetros. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

136 Observa u trozo de patalla co alguos resultados:. Los datos de la práctica aterior se quiere represetar e u histograma para mejor determiar su distribució. Para ello: a Idica el úmero total de datos, N, el meor valor: X m, el mayor valor, X M, y el recorrido R. b La catidad de barras del histograma, k, se suele tomar, para meos de 0 datos, etre y 7. Para N etre 0 y 00, etre y 0. Para N etre 00 y 0, etre 7 y. Y para N mayor de 0, etre 0 y 0. E este caso N es igual a, luego el úmero de barras podría ser etre y 0. Al dividir R etre 0 se obtiee,87 que sería el itervalo de clase. Para facilitar la divisió e clases fijamos el itervalo de clase, h, e, y el úmero de barras, k, e 0. Para o teer valores e los ites de clase tomamos el iicio del primer itervalo e 0. Así, los itervalos so: 0,, de valor cetral: ; [,, de valor cetral... Ahora ya se puede costruir la tabla de frecuecias y dibujar el histograma. c Calcula y represeta e el histograma los putos m, m s, m s, m s, dode m y s so la media y la desviació típica, respectivamete Vamos a ivestigar qué ocurre al hacer u cambio de variables. Dijimos que si cosideramos y i = a + b i siedo a y b dos costates cualesquiera, la ueva media aritmética quedaría y a b. a Abre Ecel. Itroduce los datos: X =, 7, 8,, 89,... e la columa A, a partir de la fila. Qué cambio de variable se ha hecho? Observa: = X/0. b E la columa C, a partir de la fila escribe los ites de clase, e la columa D el valor medio, e la columa E vamos a cotar las frecuecias absolutas y e la columa F las frecuecias acumuladas. Utiliza la fució CONTAR.SI para cotar. Por ejemplo, escribe e E, CONTAR.SIA:A; <0. E F escribe =E. E E escribe CONTAR.SIA:A; <0-F. Completa la tabla de frecuecias. Escribe títulos e la fila 0. c Calcula la media y la desviació típica. Para ello escribe e la fila y, columa B, las fucioes =PROMEDIOA:A y =DESVESTA:A. Escribe los resultados co decimales. d Cómo obtiees ahora la media y la desviació típica de los datos reales? Cómo deshaces el cambio? Si o lo recuerdas, o o tiees seguridad, ivestígalo. Calcula la media y la desviació típica, ates y después del cambio. Escribe este resultado, e geeral, para u cambio de variables lieal y = a+b. e Dibuja el histograma. No olvides uca idicar las uidades e ambos ejes, y toda la iformació que ayude a compreder el gráfico. Añade siempre el tamaño, N, y los valores de la media y la desviació típica. f Discute el resultado. Es grade la dispersió? La distribució, es simétrica? Otra ivestigació: Vamos a ivestigar la distribució de la media. Para ello vamos a tomar muestras de tamaño. Utiliza la columa G. E G escribe =PROMEDIOB:B, e G la media de B a B0, y así hasta el fial. Teemos calculadas las 0 medias de muestras de tamaño. Calcula la media y la desviació típica de estas medias. Compara co los resultados ateriores. Escribe e tu cuadero las coclusioes. Estadística descriptiva bidimesioal 7. E ua muestra de 0 persoas miramos su color de ojos y pelo y ecotramos que hay moreos de ojos marroes, moreo de ojos verdes, rubios de ojos azules y rubio de ojos verdes. A Represeta e ua tabla de doble etrada esta situació. B Escribe la tabla de frecuecias relativas. C Escribe las frecuecias absolutas y relativas margiales. D Escribe la distribució de frecuecias codicioadas. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

137 7 8. Lola ha calculado los coeficietes de correlació de las tres ubes de putos adjutas, y ha obteido: 0 8, 0 8 y 0 0, pero ahora o recuerda cuál es de cada ua. Puedes ayudar a decidir qué coeficiete correspode co cada ube? A B C E ua tieda quiere estudiar las vetas del pa de molde e fució del precio. Para ello prueba cada semaa co u precio distito y calcula las vetas realizadas. Ha obteido los siguietes datos: Precio euros Vetas medias a Represeta los datos e u diagrama de dispersió ube de putos e idica a qué coclusioes crees que se va a llegar. b Calcula la covariaza, el coeficiete de correlació, la recta de regresió y el coeficiete de determiació c Decide poer u precio de euros, cuáles opias que sería las vetas medias semaales? 0. Ua compañía aérea realiza u estudio sobre la relació etre las variables X, tiempo de u vuelo, e horas; e Y, cosumo de combustible gasóleo para dicho vuelo, e litros, y se ha obteido los siguietes datos. X horas 0 Y litros a Represeta los datos e u diagrama de dispersió. b Calcula la covariaza y el coeficiete de correlació etre ambas variables. Iterpreta los resultados. c Calcula la ecuació de las rectas de regresió. d Calcula el coeficiete de determiació.. Pregutamos a 0 estudiates de º de Bachillerato por sus calificacioes e Matemáticas, por el úmero de miutos diarios que ve la televisió, por el úmero de horas semaales que dedica al estudio, y por su estatura e cetímetros. Los datos se recoge e la tabla adjuta. Calificacioes de Matemáticas Miutos diarios que ve la TV Horas semaales de estudio Estatura e cm Queremos estudiar la relació etre las calificacioes de Matemáticas y las otras tres variables. Para ello dibuja los diagramas de dispersió, y calcula los coeficietes de correlació y determiació. Calcula las rectas de regresió.. Haz u trabajo. Pasa ua ecuesta a tus compañeros y compañeras de clase. Elige ua muestra de 0 persoas y hazles dos pregutas co datos uméricos, como por ejemplo, cuáto mide su mao, qué úmero de zapato calza, el úmero de libros que lee e u mes, el úmero de horas que ve la televisió a la semaa, diero que gasta al mes e comprar música, la calificació e Matemáticas de su último eame Represeta los datos obteidos e ua tabla de doble etrada. Haz u estudio completo. Puedes utilizar el ordeador: a Escribe e tu cuadero ua tabla de doble etrada de frecuecias absolutas, frecuecias relativas. Obté las distribucioes margiales y codicioadas. b Co las distribucioes uidimesioales, dibuja los diagramas de barras, diagramas de líeas y diagramas de sectores. Calcula las medias, mediaas y modas. Calcula las variazas y las desviacioes típicas. Calcula los cuartiles y los itervalos itercuartílicos. c Co las distribucioes bidimesioales, dibuja u diagrama de dispersió, y calcula la covariaza, el coeficiete de correlació y la recta de regresió. d Refleioa sobre los resultados y escribe u iforme. Utiliza ua hoja de cálculo co u ordeador. El objetivo de esta práctica es estudiar la dispersió etre dos variables, mediate ua ube de putos o diagrama de dispersió, el coeficiete de correlació y la recta de regresió. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

138 8 E 0 países se aota los igresos medios, e euros, por habitate y año, y el porcetaje medio e los residuos sólidos de comida. Se obtiee: i y i % a Abre ua hoja de cálculo. Copia los datos. Calcula la media y la desviació típica de las, y la media y la desviació típica de las y. b Represeta la ube de putos. Seleccioa los datos, icluyedo a las medias. Aprieta el botó de asistete de gráficos y elige XY Dispersió. E títulos escribe como Título del gráfico Correlació, e Eje de valores X describe la variable si olvidar decir las uidades, escribe: Igresos/habitate, e Eje de valores Y describe la variable y si olvidar decir las uidades, escribe: Porcetaje de residuos de comida e los RSU %. E Leyeda elige o mostrar leyeda. c Observa que si e y y tiee el mismo sigo queda e los cuadrates I y III y si lo tiee distito e II y IV. Cueta los putos que queda e los cuadrates I y III, cueta los que queda e los cuadrates II y IV. Nos puede dar ua idea de la correlació. Va a ser positiva o egativa? Es ua correlació fuerte o débil? Etre que valores puede variar el coeficiete de correlació? Estima a ojo u valor para esa correlació. d Orgaiza e Ecel ua hoja de cálculo que te permita calcular la correlació. Escribe los datos e las filas y. E L y L calcula las medias utilizado la fució PROMEDIO. E M y M calcula la desviació típica utilizado la fució DESVEST. E N calcula el coeficiete de correlació, utilizado la fució: COEF.DE.CORRELB:K;B:K e Ahora vamos a mejorar uestro gráfico. Observa que si colocas al rató ecima de u puto idica las coordeadas. Traza las rectas =, y = y que idica las medias. Utiliza para ello la paleta de dibujo. Dibújalas e color rojo. sy f La recta de regresió es la recta que hace míimas las distacias de la ube de putos. Es la recta: y = y + - s. Calcula e N la pediete de la recta. Escribe la ecuació de la recta. Observa el gráfico. Cómo la habrías estimado a ojo? Evalúa la pediete y la ordeada e el orige.. Se recoge e ua tabla la altura e metros de u padre y de la de su hijo co años de edad. Padre Hijo a Utiliza el ordeador para represetar el diagrama de dispersió. Copia los datos e ua hoja de cálculo e las columas A y B. Señala las dos series y elige isertar gráfico de dispersió. Automáticamete verás que aparece el diagrama de dispersió ube de putos. Juega co las opcioes para modificar el título, el formato, la escala de los ejes b Dibuja la recta de regresió. Picha sobre u puto de la ube, y elige Agregar líea de tedecia. Para que dibuje el ordeador la recta de regresió la líea de tedecia debe ser Lieal. E la patalla que aparece marcamos la casilla que dice: Presetar ecuació e el gráfico y la casilla que dice Presetar el valor de R cuadrado e el gráfico. Al fial, si lo has hecho bie, el dibujo debe ser más o meos algo similar a esto: c Utiliza la recta para determiar que altura del hijo correspodería a ua altura del padre de 7 m.,, 0, 0,,,7,8,9 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

139 9 AUTOEVALUACIÓN Realizamos ua prueba a 0 aspirates a u puesto de grabador cosistete e u dictado co cierto tiempo de duració e miutos y luego cotar el úmero de errores cometidos al trascribirlo a ordeador. Los resultados fuero. Tiempo Errores La media de errores es a 7 b 7 c 7 9 d 9. La media de tiempos es a 7 b 7 c 7 9 d 9. La desviació típica de errores es a b c d. La desviació típica de tiempos es a b c d. El primer cuartil, la mediaa y el tercer cuartil de los tiempos vale respectivamete: a 7, 8 y 9 b, y 7 c 9, y 7 d, 7 y 8. El primer cuartil, la mediaa y el tercer cuartil de los errores vale respectivamete: a 7, 8 y 9 b, y 7 c, 7 y 8 d, 7 y 8 7. La covariaza es: a b c d 8. El coeficiete de correlació es: a 0 8 b 0 8 c 0 7 d La recta de regresió lieal de los errores sobre el tiempo es: a y = 0'7 b y = + 0'7 c y = 0' + 0'8 d y = 0' 0'8 0. La recta de regresió lieal del tiempo sobre los errores es: a y = 0'7 b y = + 0'7 c y = 0' + 0'8 d y = 0' 0'8 Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. º Bachillerato. Capítulo : Estadística Autor: Igasi Clausell Revisora: Raquel Caro

140 0 CAPÍTULO 7: PROBABILIDAD. PROBABILIDAD.. Itroducció a la Probabilidad Actividad de itroducció U uevo jugador para mi equipo Como todos podéis observar, mi físico me ha hecho u porteto del balocesto. Mi equipo o me quiere por mi altura, sio porque hago matemáticas. El caso es que me ha ecargado la difícil tarea de elegir u jugador para el próimo año, y o sé cómo empezar. Me ha madado uas cosas que o sé muy bie qué sigifica. Me podéis ayudar? Esto es lo que me ha madado: Tiros de Tiros de Tiros libres Co It Co It Co It José Hierro Leopoldo María Paero Federico García Lorca Nicaor Parra Washigto Cucurto Primero vamos a itetar descifrar qué es cada cosa: Qué sigifica Co? Qué sigifica It? o Co: so tiros coseguidos o It: so tiros itetados Ahora, lo siguiete que teemos que hacer, es saber qué jugador queremos fichar: Qué tiee que teer uestro jugador para que lo fichemos? Ua primera clasificació la podríamos hacer co los putos logrados. Es u cálculo fácil, o? Tiros de Tiros de Tiros libres Putos Totales Co It Co It Co It Co It José Hierro Leopoldo María Paero Federico García Lorca Nicaor Parra Washigto Cucurto Me surge uevas pregutas co la ueva columa de Putos Totales: Qué sigifica Putos Totales Coseguidos? Qué sigifica Putos Totales Itetados? Me sirve de algo saber los Putos Totales Itetados? Es mejor presetar los ombres e ese orde o es preferible otro? Yo creo que si los ordeamos, vemos más claramete las cosas: Tiros de Tiros de Tiros libres Putos Totales Co It Co It Co It Co It José Hierro Federico García Lorca Washigto Cucurto Nicaor Parra Leopoldo María Paero Esta es ua actividad adecuada para desarrollar e el aula e grupo, discutiedo sobre la iformació que aparece. Las pregutas va ecamiadas a valorar la utilidad de la iformació, si me está diciedo algo o o. Aquí los alumos ya estará decidiedo qué jugador es mejor para ficharlo, así que se trata de dar razoes favorables o desfavorables para justificar su ituició. Se fometa primero que piese, y después que eprese sus ideas, las debata, critique otras y sepa escuchar críticas a las suyas,... Se puede relacioar co ua competecia de leguaje, tato matemático como ligüístico. El tiempo adecuado para desarrollar esta actividad es de ua hora de clase. Se pretede que recuerde y utilice coceptos como eperimeto aleatorio, suceso, espacio muestral, regla de Laplace º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

141 Tambié se puede hacer la clasificació segú los tiros de, los tiros de o los tiros libres. Qué jugador es mejor e tiros de? Y e tiros de? Cuál es mejor e tiros libres? Ordeado por tiros de : Tiros de Tiros de Tiros libres Putos Totales Co It Co It Co It Co It Federico García Lorca Nicaor Parra José Hierro Washigto Cucurto Leopoldo María Paero Ordeado por tiros de : Tiros de Tiros de Tiros libres Putos Totales Co It Co It Co It Co It José Hierro Washigto Cucurto Leopoldo María Paero Federico García Lorca Nicaor Parra Ordeado por tiros libres: Tiros de Tiros de Tiros libres Putos Totales Co It Co It Co It Co It José Hierro Federico García Lorca Washigto Cucurto Nicaor Parra Leopoldo María Paero La ordeació de las tablas es ua itroducció a la represetació de datos estadísticos. Aquí podemos ver que hay u jugador que destaca e casi todas las clasificacioes: Podemos fiaros de estas clasificacioes? Tedrá algo que ver el úmero de caastas coseguidas co el úmero de lazamietos? Otra vez cuestioamos la iformació hallada. E probabilidad, al hacer u eperimeto, es importate recoger la iformació que verdaderamete os es útil, y rechazar iformació que o os va a servir para uestro eperimeto. Más o meos, se va viedo u poco las características de cada jugador. Me preguto si podemos añadir algo más que apoye uestra decisió. Sería iteresate calcular cuátas caastas ha fallado? Por qué? Me da algua iformació saber cuátas caastas ha fallado Fall? Pues etoces añadimos la ueva iformació que es fácil de calcular. Cómo se calcula? Restado las caastas itetadas a las caastas coseguidas. Pues la ueva tabla es: Tiros de Tiros de Tiros libres Putos Totales Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It José Hierro Federico García Lorca Washigto Cucurto Nicaor Parra Leopoldo María Paero No sé si teemos claro ya el jugador que queremos, pero yo o estoy muy covecido. Se os ocurre algú otro tipo de clasificació para que os ayude a decidir? A mí se me ha ocurrido estudiar los tiros totales realizados: Si los ordeo segú los tiros coseguidos: º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

142 Tiros de Tiros de Tiros libres Putos Totales Tiros Totales Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It José Hierro Federico García Lorca Washigto Cucurto Nicaor Parra Leopoldo María Paero Segú los tiros que ha fallado: Tiros de Tiros de Tiros libres Putos Totales Tiros Totales Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It José Hierro Federico García Lorca Leopoldo María Paero Washigto Cucurto Nicaor Parra Podemos ver que el jugador que más putos ha coseguido, que es el que más caastas ha coseguido, tambié es el que más caastas ha fallado: Qué quiere decir los Tiros Totales Coseguidos? Y los Tiros Totales Itetados? Tiee algua relació los Tiros Totales Coseguidos co los Tiros Totales Itetados? Es decir, cuátos más tiros itetados, más tiros coseguidos? La respuesta a la última preguta es muy iteresate, porque se suele creer que si se tira muchas veces, meterá muchas caastas y será el mejor jugador. Y esto o es verdad. Se puede decir que cada lazamieto es u iteto distito. Ahora estoy algo cofuso. Hemos ecotrado u jugador que mete muchos putos, pero es el que más caastas falla. Qué podría hacer para saber, de maera más clara, qué jugador es el mejor. Se me ocurre calcular las frecuecias relativas de tiros totales que ha sido caasta. Tiros de Tiros de Tiros libres Tiros Totales Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It Fr José Hierro Federico García Lorca Leopoldo María Paero Washigto Cucurto Nicaor Parra Voy a ordearlo por la mayor frecuecia relativa de tiros totales coseguidos: Tiros de Tiros de Tiros libres Tiros Totales Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It Fr Washigto Cucurto José Hierro Nicaor Parra Federico García Lorca Leopoldo María Paero Qué iformació me está dado esa frecuecia relativa? Qué sigifica? Qué aporta esta frecuecia relativa para la decisió? Vamos a defiir bie cada cosa: Co: caasta coseguida tras u lazamieto para abreviar, lo escribiremos como C. Fall: caasta fallada tras u lazamieto lo mismo, lo llamamos F. It: es u lazamieto, I. Qué hemos hecho para coseguir u tiro de cualquier valor? Lazar a caasta. Pues podemos decir que el lazamieto a caasta es uestro eperimeto o el eperimeto aleatorio. Cuado hemos lazado a caasta, qué puede suceder? Que cosigamos el tiro, es decir, C, o que lo fallemos, es decir, F lo que calculamos más adelate. Por eso, diremos que Coseguir y Fallar so sucesos, para aclararos mejor. Es decir, C y F so sucesos. Y o sólo eso, o bie se cosigue o se falla el tiro. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

143 Al realizar uestro eperimeto, los resultados que obtedremos siempre va a ser estos dos sucesos. Etoces, si reuimos todos los sucesos e ua caja osotros los matemáticos lo llamamos cojuto, diremos que este cojuto {C, F} es uestro espacio muestral. Para que os etedamos, fijaos e esta image: Es ua carta de lo que podemos pedir. No sólo tiee u producto de cada, so todas las cosas que tiee, es ua muestra de lo que puedes pedir. Este cartel, e matemáticas, lo podemos llamar espacio muestral. Puedo pedir algo que esté e la carta, y o puedo pedir ada que o esté e la carta. E u eperimeto, el espacio muestral so las cosas que os puede salir al realizar el eperimeto, y lo que o esté detro de ese espacio, o saldrá uca. Pues etoces teemos lo siguiete: Eperimeto: lazamieto a caasta Espacio muestral: {C, F}. Sucesos: o C: coseguir el lazamieto o F: fallar el lazamieto. Cuado calculasteis los lazamietos fallados, qué hicisteis? Restasteis a los lazamietos itetados, los coseguidos. Podemos escribir que: F = It C o lo que es lo mismo: F = Total C Decimos que fallar la caasta es lo cotrario de coseguir la caasta. Por tato, F es el suceso cotrario suceso opuesto, suceso complemetario de C. Lo podemos escribir de distitas formas segú los autores: F = C c = C = oc = C. Podemos decir que so complemetarios porque C F = Total, se complemeta. Cuado hemos ido viedo las distitas clasificacioes de los jugadores, por qué se dice que uo era mejor que otro? El que metía más caastas era el mejor, pero tambié era el que más había fallado. Cuado calculamos los porcetajes de acierto, os aclaró u poco la situació. La tabla era esta: Voy a ordearlo por la mayor frecuecia relativa de tiros totales coseguidos: Tiros de Tiros de Tiros libres Tiros Totales Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It Fr Washigto Cucurto José Hierro Nicaor Parra Federico García Lorca Leopoldo María Paero Ahora el jugador que lidera esta clasificació o es el que más putos había metido el año pasado. Etoces, qué sigifica esa frecuecia relativa? Cómo lo habíamos calculado? La frecuecia relativa sigifica que de todos los lazamietos que itetó, 7, cosiguió meter caasta, calculamos el cociete etre los tiros coseguidos y los lazamietos itetados, 0 7. Si queremos saber cuál va a ser el mejor jugador para uestro equipo el próimo año, me gustaría que el jugador, de todos los lazamietos que itete, cosiga muchos. Qué certeza tedré yo de que el próimo año, ese porcetaje de acierto sea grade? A esto es a lo que respode la probabilidad. Ya sabes que, por la ley de los grades úmeros, cuado el úmero de eperiecias es muy grade la frecuecia relativa tiede a estabilizarse. Y a ese úmero al que tiede, lo deomiamos probabilidad. Recuerda que hay dos formas de asigar probabilidades, por simetría, a priori, si los sucesos elemetales sabemos que so equiprobables, mediate la ley de Laplace, o a posteriori, haciedo u bue úmero de eperimetos y valorado a dode tiede las frecuecias relativas. Si la tabla que os ha proporcioado para hacer la selecció recoge u úmero suficiete de eperimetos de tiros a caasta etoces, mirado uestra tabla, vemos que todos uestro jugadores tiee ua probabilidad de ecestar e u tiro próima a /, pero el jugador que vamos a seleccioar es Washigto Cucurto pues su probabilidad de ecestar e u tiro a caasta es la mayor, 0 7. Otra actividad de itroducció Mirada desde la perspectiva de Laplace. Pedro y Elisa va a jugar tirado dos dados. Gaa Pedro si la suma de los úmeros de las caras superiores es meor que 7, y gaa Elisa si es mayor que 7. Si es 7, i gaa i pierde iguo. Pero Daiel les preguta si está seguros que ese juego es justo. Puedes ayudarles a decidirlo? Ha cotactado co u amigo para que les ayude. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

144 Pero es algo aticuado, esto o mola, vamos a poerle algo. Bueo, algo ha mejorado. Ayúdaos desde el pricipio. Seguro que tú sabes. Quiero calcular la probabilidad de que gae Pedro y la de que gae Elisa. o Eperimeto: lazar dos dados y sumar los úmeros de las caras superiores o Sucesos: A: Sume meos de 7 B: Sume más de 7 C: Sume 7. o Espacio muestral: E = {A, B, C}? No. Este espacio muestral o os iteresa. No so sucesos equiprobables. El espacio muestral E = {,,,,,, } si os iteresa, porque los sucesos elemetales so equiprobables. Nos dice lo que ha salido e la cara superior del primer dado, y e la del segudo. Nos dice uestro amigo que cotemos el úmero total de casos posibles:,,,,,,,,. Cuátos so? So? Que cotemos aquellos casos e los que gaaría Pedro:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Cuátos so? So? Y los casos e los que gaaría Elisa:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Cuátos so? So? úmero de casos favorables al suceso A Y ahora que usemos: P A úmero de casos posibles Segú uestro cálculo hay: o Casos posibles = o Casos favorables = úmero de casos favorables al suceso A Por tato: P A 0' P B úmero de casos posibles El juego es justo. P C 0' Observa además que: PA + PB + PC = =. La probabilidad vale siempre u úmero etre 0 y. No eiste probabilidades que valga más que, i meos de 0. Aspectos a teer e cueta: Por qué se poe arriba los casos favorables? Estamos calculado ua razó, que es ua parte del total. Puede haber ua frecuecia relativa meor que 0? Siempre que hacemos u eperimeto, el valor de algo que os sale siempre es positivo, es decir, o podemos teer casos favorables. Puede haber ua frecuecia relativa mayor que? Si diese mayor que querría decir que hay más casos favorables que todos los posibles. Se llama suceso imposible al que o tiee igú caso favorable, por lo que su frecuecia relativa y su probabilidad es siempre 0. Si el suceso está formado por todos los casos posibles, la frecuecia relativa y la probabilidad es. Siempre que realizamos el eperimeto ocurre. Lo llamamos suceso seguro. Tambié se podría calcular porcetajes e lugar de frecuecias relativas. Ambos so razoes, sólo que e el porcetaje el total es 00, y e la frecuecia relativa es. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

145 Otra actividad de itroducció más Actividades culturales e u cetro escolar E ua clase de estudiates, quiere hacer teatro, editar ua revista, y 9 o quiere participar e igua actividad. a Qué proporció quiere hacer teatro? b Qué proporció quiere editar ua revista? c Qué proporció o quiere participar e igua actividad? d Qué proporció quiere hacer teatro o bie editar ua revista? e Qué proporció quiere hacer teatro y además editar ua revista? f Qué proporció de estudiates, de los que quiere editar ua revista, quiere tambié hacer teatro? Observa que es ua preguta diferete a la aterior pues cotamos aquellos estudiates que desea hacer teatro etre los que quiere editar ua revista. Es u suceso codicioado a querer editar ua revista. g Qué proporció de estudiates, de los que quiere hacer teatro, quiere tambié editar ua revista? La mejor maera de resolver esto es dar ombres y dibujar u diagrama para aclararos. o Total de estudiates, E: o Quiere hacer teatro, T: o Quiere editar ua revista, V: o No hacer ada, N: 9. Por tato, e E N hay 9 = 7 estudiates, que so los que quiere hacer teatro o bie editar la revista, T R. Ayúdate de ua diagrama y observa que e T R hay estudiates y e R T hay estudiates. Por tato hay estudiates que quiere hacer teatro y además editar ua revista. E T R hay estudiates. Por tato: a T: / = 0 %. b R: / = % c N: 9/ = 0 % d T R: 7/ = % e T R: / = 0 % Queremos ahora saber cuátos estudiates, de etre los que desea editar ua revista, quiere hacer teatro. Hay que quiere editar la revista, y que desea hacer ambas cosas: f T/R: / = 0 0 % Y de los estudiates que quiere hacer teatro, tambié quiere editar ua revista: g R/T: / = %.. Álgebra de sucesos Recuerda que: Eperimeto aleatorio U feómeo o eperimeto aleatorio es aquel que, mateiedo las mismas codicioes e la eperiecia, o se puede predecir el resultado. Ejemplos: So eperimetos aleatorios: a Lazar ua moeda y aotar si sale cara o cruz. b Lazar dos dados y aotar los úmeros de las caras superiores. c Si e ua ura hay bolas blacas y rojas, sacar ua al azar y aotar el color. d Sacar, si reemplazamieto, dos cartas de la baraja. e Abrir u libro y aotar la págia por la que se ha abierto. Si embargo, calcular el coste de ua mercacía, sabiedo el peso y el precio por kg, o es u eperimeto aleatorio. Tampoco lo es calcular el coste del recibo de la luz sabiedo el gasto. No so eperimetos aleatorios a Salir a la calle si paraguas cuado llueve y ver si te mojas. b El precio de medio kilo de rosquillas, si las rosquillas cuesta a el kilo. c Soltar u objeto y ver si cae.. Idica si so, o o, feómeos aleatorios: a La superficie de las provicias españolas. b Aotar el seo del próimo bebé acido e ua clíica determiada. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

146 c El área de u cuadrado del que se cooce el lado. d Tirar tres dados y aotar la suma de los valores obteidos. e Saber si el próimo año es bisiesto. Suceso, suceso elemetal, espacio muestral Al realizar u eperimeto aleatorio eiste varios posibles resultados o sucesos posibles. Siempre se obtedrá uo de los posibles resultados. Se llama suceso elemetal a cada uo de los posibles resultados de u eperimeto aleatorio. El cojuto de los posibles resultados de u eperimeto aleatorio se deomia espacio muestral, E. U suceso es u subcojuto del cojuto de posibles resultados, es decir, del espacio muestral. Ejemplos: Los posibles resultados al tirar ua moeda so que salga cara o salga cruz. El cojuto de sucesos elemetales es E = {cara, cruz}. Al lazar u dado, el cojuto de posibles resultados es E = {,,,,, }, el suceso obteer par es {,, }, el suceso obteer impar es {,, }, el suceso obteer múltiplo de es {, }, sacar u úmero meor que es {, }. El cojuto de posibles resultados de los eperimetos aleatorios siguietes, so: a Etraer ua bola de ua bolsa co 9 bolas blacas y 7 egras es E = {blaca, egra}. b Sacar ua carta de ua baraja española es E = {As de Oros, O, O,, SO, CO, RO, As de Copas,, RC, As de Bastos,, RB, As de Espadas,, RE} Al lazar dos moedas el cojuto de posibles resultados es E = {C, C, C, +, +, C, +, +}. El suceso sacar cero caras es {+, +}, sacar ua cara es {C, +, +, C} y sacar dos caras {C, C}.. Escribe el cojuto de posibles resultados del eperimeto aleatorio: Escribir e cico tarjetas cada ua de las vocales y sacar ua al azar.. Escribe el cojuto de posibles resultados del eperimeto aleatorio: Tirar ua chicheta y aotar si cae de puta o o.. Iveta dos sucesos del eperimeto aleatorio: Tirar dos moedas.. E el juego de lotería, idica dos sucesos respecto a la cifra de las uidades del primer premio.. Escribe tres sucesos aleatorios del eperimeto aleatorio sacar ua carta de ua baraja española. Operacioes co sucesos Dados dos sucesos A y B: La uió: A B se verifica si se verifica A o bie se verifica B. La itersecció: A B se verifica si se verifica A y además se verifica B. La diferecia: A B se verifica si se verifica A y o se verifica B. La uió, itersecció y diferecia de dos sucesos aleatorios, so tambié sucesos aleatorios. Las operacioes co sucesos verifica las mismas propiedades que las operacioes co cojutos: Asociativa: A B C = A B C A B C = A B C Comutativa: A B = B A A B = B A Distributiva: A B C = A B A C A B C = A B A C Simplificativa: A B A = A A B A = A Leyes de Morga: A B C = A C B C A B C = A C B C Todas ellas puedes comprederlas represetado cojutos usado diagramas de Ve. Ejemplos: Al lazar u dado, llamamos A al suceso obteer par: A = {,, }, y B al suceso obteer múltiplo de : B = {, }. Etoces A B = {,,, }, A B = {}, A B = {, }. 7. Al sacar ua carta de ua baraja española, llamamos B al suceso sacar u as y A al suceso sacar ua figura. Escribe los sucesos A B, A B y A B. Suceso seguro, suceso imposible y suceso cotrario Se cosidera que el espacio muestral, E, es u suceso al que se deomia suceso seguro, y que el cojuto vacío,, es otro suceso, al que se llama suceso imposible. Dado u suceso A, se deomia suceso cotrario o complemetario de A, y se escribe A, o A, o A C, o oa, al suceso E A. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

147 7 Sucesos icompatibles Dos sucesos A y B so icompatibles si A B =. E caso cotrario se llama sucesos compatibles. Ejemplos: Al lazar u dado, si A = {,, }, y B = {, }. Etoces A = {,, }, B = {,,, }, A B = {, }. Los sucesos A y B so compatibles pues A B = {}. 8. Sea A el suceso tirar u dado y sacar u úmero mayor que. Escribe el suceso cotrario de A. 9. U suceso y su suceso cotrario, cómo so, compatibles o icompatibles? Razoa la respuesta. 0. E el eperimeto aleatorio, sacar ua carta de ua baraja española, escribe tres sucesos icompatibles co el suceso sacar u as... Asigació de Probabilidades Eiste ua defiició aiomática de probabilidad debida a Kolmogorov relativamete reciete 90, pero ates ya había sido usado este cocepto, por ejemplo por Fermat y Pascal e el siglo XVII que se escribiero cartas refleioado sobre lo que ocurría e los juegos de azar. Cuado o compredía cómo asigar ua determiada probabilidad, jugaba muchas veces al juego que fuese y veía a qué valor se aproimaba las frecuecias relativas. Así, la probabilidad de u suceso podría defiirse como el ite al que tiede las frecuecias relativas de ese suceso cuado el úmero de eperimetos es muy alto. Por tato: Para calcular probabilidades se usa dos técicas, ua eperimetal, a posteriori, aalizado las frecuecias relativas de que ocurra el suceso, y la otra por simetría, a priori, cuado se sabe que los sucesos elemetales so equiprobables, es decir, que todos ellos tiee la misma probabilidad, etoces se divide el úmero de casos favorables por el úmero de casos posibles, que se cooce como Regla de Laplace y dice que: Regla de Laplace Si los sucesos elemetales so equiprobables, la probabilidad de u suceso A es el úmero de casos favorables dividido por el úmero de casos posibles. úmero decasos favorables al suceso A P A úmero de casos posibles La regla de Laplace está basada e el pricipio de razó isuficiete: si a priori o eiste igua razó para supoer que u resultado se puede presetar co más probabilidad que los demás, podemos cosiderar que todos los resultados tiee la misma probabilidad de ocurrecia. Ley de los grades úmeros Jakob Beroulli, e 89, defiió probabilidad utilizado la ley de los grades úmeros, que dice que la frecuecia relativa de u suceso tiede a estabilizarse cuado el úmero de pruebas tiede a ifiito. A ese úmero al que tiede las frecuecias relativas lo llamó probabilidad. Puedes compreder que esta defiició tiee graves icoveietes. No sabemos cuátas pruebas debemos realizar. Hay que hacer muchas y e las mismas codicioes. Se obtiee u valor aproimado de la probabilidad. Actividades resueltas La probabilidad de que salga cara al tirar ua moeda es /, pues sólo hay dos casos posibles {cara, cruz}, u úico caso favorable, cara, y supoemos que la moeda o está trucada. Si sospecháramos que la moeda estuviera trucada para asigar esa probabilidad habría que tirar la moeda u motó de veces para observar hacia qué valor se acerca la frecuecia relativa de obteer cara. La probabilidad de sacar u al tirar u dado es / pues hay seis casos posibles {,,,,, }, u úico caso favorable,, y supoemos que el dado o está trucado, luego todos ellos so equiprobables. La probabilidad de que al cruzar la calle te pille u coche NO es /, auque sólo hay dos casos posibles, que te pille el coche y que o te pille, pues ya te habría pillado u motó de veces. Para calcular esa probabilidad se recoge datos de peatoes atropellados y se calcula utilizado las frecuecias relativas. La probabilidad de sacar ua bola roja de ua bolsa co 7 bolas rojas y bolas blacas es 7/0. La probabilidad de que u bebé sea iña es aproimadamete 0, pero al hacer el estudio co las frecuecias relativas se ha visto que es 0 9. Si cosideramos ua baraja española de 0 cartas y elegimos ua carta, alguos de los sucesos que puede ocurrir so sacar u oro, o sacar u as, o sacar el caballo de copas Como de atemao o sabemos lo que va a ocurrir decimos que estos sucesos so aleatorios o de azar. Ates de sacar igua carta todas ellas so igualmete factibles, y como puede salir ua cualquiera de las 0 cartas decimos que la probabilidad de, por ejemplo, sacar el caballo de copas es /0, la de sacar u oro es 0/0, y la de u as es /0. Cuál es la probabilidad de sacar el rey de copas? Y de sacar u rey? Y ua copa? La probabilidad de sacar el rey de copas es /0. Pero el suceso sacar u rey se cumple si sale el rey de oros, o de copas, o de bastos o de espadas. Es decir, o es u suceso simple, está formado, e este caso, por sucesos elemetales, luego su º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

148 8 probabilidad es /0 = /0. Lo mismo le ocurre a sacar ua copa. Es u suceso compuesto, y como hay 0 copas su probabilidad es 0/0 = /. E ua clase hay chicos y chicas. Como o se preseta adie para ser delegado se hace u sorteo. Cuál es la probabilidad de que e la clase haya delegada? Como hay chicas los casos favorables sobre ua població de 9 idividuos, de acuerdo co la Ley de Laplace, la úmero decasos favorables al suceso A probabilidad pedida es: P A úmero decasos posibles 9 E el moedero teemos moedas de cétimo, 7 moedas de cétimos, moedas de 0 cétimos y moedas de 0 cétimos. Sacamos ua moeda al azar, cuál es la probabilidad de que la catidad obteida sea u úmero par de cétimos? Al sacar ua moeda, para teer u úmero par de cétimos tiee que ser de 0 cétimos o de 0 cétimos. Por tato el total de casos favorables es de hay de 0 y de 0. El úmero de casos posibles es el de moedas que teemos e el moedero, que so =. La probabilidad de obteer u úmero par de cétimos es: úmero decasos favorables al suceso " par de cétimos" P par de cétimos úmero decasos posibles 8. Calcula la probabilidad de que al sacar ua carta de la baraja sea ua espada.. Para saber la probabilidad de que u recié acido sea zurdo, te basarías e el estudio de las frecuecias relativas o la asigarías por simetría? Defiició aiomática de probabilidad debida a Kolmogorov La defiició aiomática de Kolmogorov es más complicada que la que viee a cotiuació. Pero esta simplificació puede serviros: La probabilidad de u suceso es u úmero que debe verificar estas propiedades:.- La probabilidad del suceso seguro es : PE =..- La probabilidad de cualquier suceso siempre es u úmero o egativo: PA 0, para todo A..- Si dos sucesos so icompatibles etoces la probabilidad de la uió es la suma de sus probabilidades: Si A B = etoces PA B = PA + PB. Las dos últimas las verifica todas las medidas. La probabilidad es ua medida. De estos aiomas se deduce las siguietes propiedades: a La probabilidad del suceso imposible es 0: P = 0 b La probabilidad del suceso cotrario es meos la probabilidad del suceso: P A = PA. c La probabilidad de u suceso fiito es la suma de las probabilidades de los sucesos elemetales que lo compoe. Actividades resueltas Cuál es la probabilidad de sacar u as e la baraja de 0 cartas? Y de o sacar u as? Y de sacar ua copa? Y de o sacar ua copa? El suceso o sacar u as es el suceso cotrario al de sacar u as. Cartas que o so ases hay, luego la probabilidad de o sacar as es /0 = 9/0. Observa que se obtiee que Pas + Po as = /0 + 9/0 = 0/0 =. La probabilidad de sacar copa es 0/0, y hay 0 cartas que o so copas, luego la probabilidad de o sacar copa es 0/0, y 0/0 + 0/0 =.. Cuál es la probabilidad de o sacar u al tirar u dado? Y de o sacar u múltiplo de? Y de o sacar u úmero meor que?. Al tirar ua moeda dos veces, cuál es la probabilidad de o sacar igua cara? Y de sacar al meos ua cara? Observa que sacar al meos ua cara es el suceso cotrario de o sacar igua cara. Sucesos compatibles e icompatibles Ejemplo: Cuál es la probabilidad de, e ua baraja de 0 cartas, sacar ua copa o u oro? Hay 0 copas y 0 oros, y igua carta es a la vez copa y oro, luego la probabilidad es 0/0. Cuál es la probabilidad de, e ua baraja de 0 cartas, sacar u as o u oro? Hay ases y hay 0 oros, pero hay el as de oros, luego las cartas que so o bie u as o bie u oro so, luego la probabilidad es /0. Llamamos sucesos icompatibles a los que, como copa y oro, o puede realizarse a la vez, y sucesos compatibles a los que, como as y oro, puede realizarse a la vez. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

149 9 Desigamos PA B a la probabilidad del suceso se verifica A o bie se verifica B. Hemos visto e el ejemplo que si los sucesos so icompatibles su probabilidad es igual a la suma de las probabilidades. PA B = PA + PB, si A y B so icompatibles. Pero si A y B sí puede verificarse a la vez habrá que restar esos casos, esas veces e que se verifica A y B a la vez. PA B = PA + PB PA B, si A y B so compatibles. Esta seguda epresió es más geeral que la primera, ya que e el caso e que A y B so icompatibles etoces PA B = 0. Actividades resueltas Calcula la probabilidad de los sucesos siguietes: a Sacar u rey o ua figura; b No sale u rey o sale u rey; c Sacar u basto o ua figura. a Hay reyes y hay = figuras as, sota, caballo y rey, pero los cuatro reyes so figuras, por tato PRey Figura = /0 + /0 /0 = /0 = 0. b Hay 0 = cartas que o so reyes, y hay reyes, luego Po rey rey = /0 + /0 =. Esta coclusió es más geeral. Siempre: P A A =, pues u suceso y su cotrario ya vimos que verificaba que PA + P A =. c Hay 0 bastos y hay figuras, pero hay figuras que so a la vez bastos as, sota, caballo y rey, luego PBasto Figura = 0/0 + /0 /0 = /0 = /0. Sucesos depedietes e idepedietes Ejemplo: Teemos ua bolsa co bolas rojas y bolas egras. Cuál es la probabilidad de sacar ua bola roja? Si sacamos dos bolas, cuál es la probabilidad de sacar dos bolas rojas? La probabilidad de sacar ua bola roja es /. Pero la de sacar dos bolas rojas, depede! Depede de si volvemos a meter e la bolsa la primera bola roja, o si la dejamos fuera. E el primer caso decimos que es co reemplazamieto y e el segudo, si reemplazamieto. Si la volvemos a meter, la probabilidad de sacar bola roja volverá a ser /, y la probabilidad de sacar dos bolas rojas es / / = 9/. La probabilidad de esta seguda bola o depede de lo que ya hayamos sacado, y e este caso la probabilidad se obtiee multiplicado. Si los sucesos A y B so idepedietes: PA B = PA PB. Pero si la dejamos fuera, ahora e la bolsa sólo hay bolas y de ellas sólo queda bolas rojas, luego la probabilidad de que esa seguda bola sea roja es /, y está codicioada por lo que ates hayamos sacado. Se escribe: PRoja/Roja y se lee probabilidad de Roja codicioado a haber sacado Roja. La probabilidad de sacar dos bolas rojas es ahora: / / = /0 = /0. Observa el diagrama de árbol y comprueba que la probabilidad de sacar primero ua bola roja y luego ua bola egra o Roja es / / = /0 pues después de sacar ua bola roja e la bolsa queda sólo bolas y de ellas so egras. La probabilidad de sacar primero ua bola egra o Roja y luego bola Roja es / / = /0 = /0, y la de sacar dos bolas egras es: / / = /0 = /0. Pero observa más cosas. Por ejemplo, sumado las probabilidades de Roja y oroja se obtiee: / + / = ; y lo mismo e las otras ramas del árbol: / + / = ; / + / = ; e icluso sumado todas las probabilidades fiales: PE = PA +PA + +PA = /0 + /0 + /0 + /0 =. Los sucesos o so idepedietes. El que ocurra A, o o ocurra A, afecta a la probabilidad de B. Por eso se dice que B está codicioado a A. Si los sucesos A y B so depedietes etoces: PA B = PA PB/A Actividades resueltas Sacamos dos cartas de ua baraja de 0 cartas si reemplazamieto. Cuál es la probabilidad de sacar dos ases? Si fuera co reemplazamieto la probabilidad sería /0 /0, pero al ser si reemplazamieto la probabilidad del segudo as viee codicioada por que hayamos sacado u as previamete. Ahora e la baraja ya o queda 0 cartas sio 9, y o queda ases sio sólo, luego la probabilidad es: /0 /9 = /0. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

150 0 Observa que: Si dos sucesos so depedietes etoces: PB/A PB. Pero si dos sucesos so idepedietes etoces: PB/A = PB/ A = PB. Resume: Suceso cotrario: PA + P A = Itersecció: PA B = PA PB/A Si A y B so idepedietes PA B = PA PB Uió: PA B = PA + PB PA B Si A y B so icompatibles PA B = PA + PB. Haz u diagrama e árbol similar al aterior e tu cuadero co los sucesos A y B: A = sacar u as e la primera etracció, A = o sacar as, y B = sacar u as e la seguda etracció, B = o sacar as e la seguda etracció. Cuál es la probabilidad de sacar as e la seguda etracció codicioado a o haberlo sacado e la primera? Y la de o sacar as e la seguda etracció codicioado a o haberlo sacado e la primera? Cuál es la probabilidad de sacar dos ases? Y la de sacar u solo as?. E el diagrama de árbol aterior idica cual es la probabilidad de o sale ases y la de o sale igú as. 7. E el eperimeto sacar tres cartas seguidas, cuál es la probabilidad de sacar tres ases? Primero co reemplazo, y luego si reemplazo. 8. Al tirar dos veces u dado calcula la probabilidad de que salga u seis doble. 9. Al tirar dos veces u dado calcula la probabilidad de sacar al meos u. Ayuda: Quizás te sea más fácil calcular la probabilidad de o sacar igú, y utilizar el suceso cotrario. 0. Lazamos dos dados que o esté trucados y aotamos los úmeros de su cara superior. Cosideramos el suceso A que la suma de las dos caras sea 8, y el suceso B que esos úmeros difiera e dos uidades. a Comprueba que PA = / casos favorables: + ; + ; + ; + ; + y que PB = 8/ casos favorables:,,,,. b Calcula las probabilidades de: PA B; PA B; PA B ; P A B; P A B. c Calcula PA/B; PA/ B ; P A/B... Tablas de cotigecia y diagramas de árbol Diagramas de árbol Ejemplo: Se hace u estudio sobre los icedios y se comprueba que e ua determiada zoa el 0 % de los icedios so itecioados, u 0 % se debe a egligecias y 0 % a causas aturales como rayos o a otras causas. Represeta esta situació co u diagrama de árbol. Actividades resueltas Si cosideramos que la probabilidad de que u icedio sea itecioado es 0, cuál es la probabilidad de que al cosiderar dos icedios, al meos uo haya sido itecioado? Llamamos I al suceso ser itecioado y I = oi al suceso o ser itecioado. Represetamos la situació e u diagrama de árbol. Como el que u icedio sea itecioado es idepediete de cómo sea el segudo, teemos que: PI, I = 0 0 = 0 PI, I = 0 0 = 0 ya que es la probabilidad de que el primer icedio sea itecioado y el segudo o. P I, I = 0 0 = 0 P I, I = 0 0 = 0 La probabilidad de que al meos uo haya sido itecioado la podemos calcular sumado las probabilidades de I, I, I, I, y I, I que es = 0 8. Pero más secillo es calcular la probabilidad del suceso cotrario PoI, oi = P I, I = 0 y restarla de : Pal meos uo itecioado = 0 = Dibuja e tu cuadero u diagrama e árbol para tres icedios, y calcula la probabilidad de que al meos uo haya sido itecioado siedo PI = 0.. E ua aeroave se ha istalado tres dispositivos de seguridad: A, B y C. Si falla A se poe B e fucioamieto, y si tambié falla B empieza a fucioar C. Las probabilidades de que fucioe correctamete cada dispositivo so: PA = 0 9; PB = 0 98 y PC = a Calcula la probabilidad de que falle los tres dispositivos. b Calcula la probabilidad de que todo vaya bie. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

151 . Ua fábrica de muñecas desecha ormalmete el 0 % de su producció por fallos debidos al azar. Calcula la probabilidad de que: a Al coger dos muñecas al azar haya que desechar ambas. b Al coger dos muñecas al azar haya que desechar sólo ua. c Al coger dos muñecas al azar o haya que desechar igua d Verificamos muñecas, calcula la probabilidad de desechar úicamete la tercera muñeca elegida.. Lazamos ua moeda hasta que aparezca dos veces seguidas del mismo lado. Calcula las probabilidades de que: A La eperiecia termie al segudo lazamieto. B Termie al tercer lazamieto. C Termie e el cuarto. D Termie a lo sumo e el cuarto lazamieto es decir, que termie e el segudo o e el tercero o e el cuarto lazamieto. Tablas de cotigecia Ejemplo: Se ha estudiado 00 efermos del hígado aalizado por u procedimieto uevo si las lesioes so beigas o maligas. Luego se les volvió a aalizar por el procedimieto usual determiado qué diagósticos había sido correctos y cuáles icorrectos. Los valores obteidos se represeta e la tabla: Diagóstico correcto Diagóstico icorrecto Totales Lesió maliga 0 8 Lesió beiga 8 8 Totales 7 00 Determiamos la tabla de frecuecias relativas: Diagóstico correcto C Diagóstico icorrecto I Totales Lesió maliga M Lesió beiga B Totales Actividades resueltas Imagia que estas frecuecias relativas pudiera tomarse como probabilidades. Iterpreta etoces el sigificado de cada uo de estos valores. 0 sería la probabilidad de que el diagóstico de lesió maliga fuese correcto: PM C. 0 0 = PM I; 0 = PB C; 0 08 = PB I. Y 0? El úmero de lesioes maligas es 8, luego 0 = PM. Del mismo modo: 0 = PB; 0 98 = PC; 0 0 = PI. Observa que PM + PB = y que PC + PI =. So sucesos cotrarios. So depedietes o idepedietes los sucesos M y C? PM C = PM PC/M, por tato: 0 = 0 PC/M, de dode PC/M = 0 /0 = 0 9 que es distito de 0 98 que es la probabilidad de C. Se puede afirmar que M y C so depedietes ya que PC/M PC. Pero si redodeamos a dos cifras decimales PC/M = 0 9 = PC, y e este caso cosideramos que so sucesos idepedietes. E geeral se deomia tabla de cotigecias a: A No A = A B PA B P A B PB No B = B PA B P A B P B PA P A E ua tabla de cotigecia figura todas las probabilidades o cotigecias de los sucesos compuestos. Observa que: Como sabemos por la probabilidad del suceso cotrario: PA + P A = y PB + P B =. Observa tambié que: PA = PA B + PA B, del mismo modo que PB = PA B + P A B pues se obtiee sumado respectivamete la primera columa y la primera fila. Tambié: P A = P A B + P A B y P B = PA B + P A B.. Se ha hecho u estudio estadístico sobre accidetes de tráfico y se ha determiado las siguietes probabilidades reflejadas e la tabla de cotigecia: Accidete e carretera C Accidete e zoa urbaa U Totales Accidete co víctimas V Accidete co sólo daños materiales M Totales 0 8 a Copia la tabla e tu cuadero y complétala. b Determia las siguietes probabilidades: PV C; PV U; PM C; PM U; PV; PM; PC y PU. º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

152 c Calcula PU/V; PC/V; PV/U; PV/C. So depedietes o idepedietes los sucesos: accidete co víctimas y accidete e carretera?. Iveta ua tabla de cotigecia cosiderado que los accidetes pueda ser de carretera C o urbaos U, pero que ahora los clasificamos e leves L, graves G o mortales M. Observa que lo fudametal para cofeccioar la tabla es que los sucesos sea icompatibles dos a dos. Diagramas de árbol y tablas de cotigecia Los diagramas de árbol y las tablas de cotigecia está relacioados. Dado u árbol puedes obteer ua tabla de cotigecia, y viceversa. Tiee iterés esta relació pues co los datos del problema a veces es más secillo costruir uo de ellos y dar la solució pasado al otro. Actividades resueltas Dada la tabla de cotigecia, obteer el diagrama de árbol que comieza co A y oa = A. A No A = A B /9 /9 7/9 No B = B /9 /9 /9 /9 = / /9 = / Coocemos la PA = /9 = /, P A = /9 = /, PB = 7/9 y P B = /9. Tambié coocemos PA B = /9; PA B =/9; P A B = /9 y P A B = /9. Nos falta coocer PB/A que podemos obteer dividiedo PA B etre PA: PB/A = PA B/PA = /9 : /9 = /. Del mismo modo calculamos las probabilidades codicioadas y completamos el árbol: P B /A = PA B /PA = /9 : /9 = / PB/ A = P A B/P A = /9 : /9 = / P B / A = P A B /P A = /9 : /9 = /. Actividades resueltas Recíprocamete, dado el diagrama de árbol obteer la tabla de cotigecia: Ahora coocemos PA = 0 y P A = 0 7. Además coocemos PB/A = /; PB/ A = /7; P B /A = / y P B / A = /7. Calculamos, multiplicado: PA B = 0 / = 0 ; PA B = 0 / = 0 ; P A B = 0 7 /7 = 0 y P A B = 0 7 /7 = 0 que poemos tambié e el árbol. Relleamos co estos datos ua tabla de cotigecia: A No A = A B 0 0 No B = B Calculamos, sumado, las casillas que os falta, PB = = 0 7 y P B = = 0. A No A = A B No B = B Puede ser muy iteresate pasar de u diagrama de árbol a la tabla de cotigecia y de ésta, al otro diagrama de árbol, co el que podemos coocer: PA/B = 0 /0 7 = /7; P A /B = 0 /0 7 = /7; PA/ B = 0 /0 = / = /; P A / B = 0 /0 = /. 7. Dada la tabla de cotigecia, costruye dos diagramas de árbol. A No A = A B No B = B º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

153 8. Dado el diagrama de árbol del marge, costruye la tabla de cotigecia, y después el otro diagrama de árbol. 9. Teemos dos uras, A y B. La primera co 8 bolas blacas y bolas egras. La seguda co bolas blacas y bolas egras. Se saca ua bola al azar, de ua de las dos uras, tambié al azar y resulta ser egra. Cuál es la probabilidad de que proceda de la ura A? 0. Se está estudiado u tratamieto co u uevo medicameto, para lo que se seleccioa 00 efermos. A 0 se les trata co el medicameto y a 0 co u placebo. Los valores obteidos se represeta e la tabla adjuta Medicameto M Placebo o M Curados C No curados o C Se utiliza esos valores para asigar probabilidades. Calcula: a La probabilidad de que u efermo curado haya sido tratado co el medicameto. Ayuda: PM/C b La probabilidad de que u efermo curado haya sido tratado co el placebo. Ayuda: P M /C... Teorema de Bayes Thomas Bayes e 7 eució el teorema que lleva su ombre. Sirve para resolver problemas del tipo de la págia iicial: Coocemos la probabilidad de que u efermo que tiee hepatitis esté algo amarillo. Calcula la probabilidad de que alguie que esté algo amarillo, tega hepatitis. Es decir permite calcular la probabilidad de A/B coociedo la probabilidad de B/A o mejor, las probabilidades de B codicioado a u cojuto de sucesos A i tales que so icompatibles dos a dos y cuya uió es todo el espacio muestral. Vamos a euciarlo, pero o te asustes! Ya sabes resolver problemas e los que se usa el Teorema de Bayes! No hace falta que te apredas la fórmula! Euciado del teorema de Bayes Sea {A, A,, A } u sistema completo de sucesos icompatibles dos a dos, co probabilidades o ulas, suma de probabilidades. Sea B otro suceso del que coocemos las probabilidades codicioadas: PB/A i. Etoces: P B / Ai P Ai P B / Ai P Ai P Ai / B P B P B / Ak P Ak k Vamos a comprobar que ya lo sabes co u ejemplo secillo, que ya has resuelto e las actividades propuestas del apartado aterior. Para resolver problemas tipo Bayes basta costruir u diagrama de árbol, luego la tabla de cotigecia asociada, y a cotiuació el otro diagrama de árbol. Actividades resueltas Teemos dos uras, A y B. La primera co 8 bolas blacas y bolas egras. La seguda co bolas blacas y bolas egras. Se saca ua bola al azar, de ua de las dos uras, tambié al azar y resulta ser egra. Cuál es la probabilidad de que proceda de la ura B? Debemos calcular PB/Negra. Para que se parezca más al euciado del teorema vamos a llamar a Blaca = A y a Negra = A. El cojuto de sucesos {A, A } verifica las codicioes del teorema de Bayes. Por tato queremos calcular PB/ A. Podemos costruir el árbol del marge. Por el euciado coocemos las siguietes probabilidades. Nos dice que la elecció de ura es al azar, por tato PA = PB = /. Si sacamos ua bola de la ura A sabemos que PBlaca/A = PA /A = 8/0, pues e la ura A hay 0 bolas de las que 8 so bolas blacas. Del mismo modo sabemos: PNegra/A = PA /A = /0; PBlaca/B = PA /B = /0, PNegra/B = PA /B = /0. Multiplicado calculamos las probabilidades de los sucesos compuestos: PA A = /, PA A = /0, PB A = /, PB A = /0. Estos datos os permite costruir la tabla de cotigecia asociada: Blaca = A Negra = A A PA A = / PA A = /0 PA = / + /0 = / B PB A = / PB A = /0 PB = / + /0 = / PA = / + / = / PA = /0 + /0 = /0 = / º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

154 Observa que: PB = / + /0 = / = PB A + PB A = PB/A PA + PB/A PA E geeral, si hubiera u cojuto de sucesos {A, A,, A } se escribiría: PB = PB/A PA + PB/A PA + + PB/A PA Costruimos el otro diagrama de árbol. Coocemos PA = / y PA = /, además de las probabilidades de las iterseccioes, por lo que podemos calcular las probabilidades codicioadas, dividiedo: Por ejemplo: PA/A = PA A /PA = /// = /. Co lo que teemos resuelto uestro problema pues: PB / Negra = PB /A = /. Vamos a comprobar que es el mismo resultado y los mismos cálculos que hubiéramos obteido usado la epresió del teorema de Bayes: P A / B P B P A / B P B P A B P B / A P A P A / A P A P A / B P B P A A P A /0 B /0 /0 Problemas propuestos e Selectividad. E u proceso de fabricació de móviles se detecta que el % sale defectuosos. Se utiliza u dispositivo para detectarlos que resulta que detecta el 90 % de los móviles defectuosos, pero señala como defectuosos u % que o lo so. A Calcula la probabilidad de que sea correcto u móvil que el dispositivo ha calificado como defectuoso. B Calcula la probabilidad de que sea defectuoso u móvil que el dispositivo ha calificado como correcto. Ayuda: Utiliza primero u diagrama e árbol y luego ua tabla de cotigecia.. Se tiee cajas, A, B y C. La caja A tiee 0 bolas de las cuales so egras. La caja B tiee bolas co ua bola egra. La caja C tiee 8 bolas co egras. Se coge ua caja al azar y de esa caja se saca ua bola, tambié al azar. Comprueba que la probabilidad de que la bola sea egra es /0.. Teemos ua moeda trucada cuya probabilidad de obteer cara es / y la de cruz es /. Si sale cara se escoge al azar u úmero del al 8, y si sale cruz, se escoge u úmero del al. Calcula la probabilidad de que el úmero escogido sea impar.. COMBINATORIA.. Permutacioes u ordeacioes de u cojuto Diagrama e árbol Actividades resueltas E ua fiesta se cueta co tres grupos musicales que debe actuar. Para orgaizar el orde de actuació, cuátas posibilidades distitas hay? Esta técica que ya cooces, cofeccioar u diagrama e árbol, os va a ayudar mucho a resolver los problemas de combiatoria. Como resordarás, cosiste e ua represetació por iveles e la que cada rama represeta ua opció idividual para pasar de u ivel al siguiete, de tal maera que todos los posibles recorridos desde la raíz hasta el último ivel, el ivel de las hojas, so todos los posibles resultados que se puede obteer. Llamamos a los tres grupos musicales A, B y C. Primer ivel del árbol: E primer lugar podrá actuar o bie A, o bie B o bie C. Segudo ivel del árbol: Ua vez que el grupo A ha sido elegido para actuar e primer lugar, para el segudo puesto sólo podremos colocar a B o a C. Igualmete, si ya B va e primer lugar, sólo podrá estar e el segudo lugar A o C. Y si actúa e primer lugar C, para el segudo puesto las opcioes so A y B. Tercer ivel del árbol: Si ya se hubiera decidido que e primer lugar actúa el grupo A y e segudo el grupo B, para el tercer lugar, que se puede decidir? Sólo os queda el grupo C, y de la misma maera, e todos los otros casos, sólo queda ua úica posibilidad Cofeccioar el diagrama e árbol, icluso úicamete comezar a cofeccioarlo, os permite cotar co seguridad y facilidad. Para saber cuátas formas teemos de orgaizar el cocierto, aplicamos el pricipio de multiplicació: sólo teemos que multiplicar los úmeros de ramificacioes que º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

155 hay e cada ivel: = formas de orgaizar el orde de actuació de los grupos. Tambié permite escribir esas seis posibles formas si más que seguir al árbol: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.. E ua carrera compite corredores y se va a repartir tres medallas, oro, plata y broce. Haz u diagrama e árbol y comprueba que hay 0 formas distitas de repartir las medallas.. Haz diagramas e árbol para calcular: a Cuátas palabras de dos letras co sigificado o si él puedes escribir co las letras A, B o C, todas distitas. Y si puede repetirse las letras? b Cuátas palabras de tres letras que empiece por vocal y termie por cosoate se puede formar co las letras del alfabeto. Recuerda que hay vocales y cosoates.. Aa tiee camisetas, pataloes y pares de zapatillas. Puede llevar ua combiació diferete de camiseta, pataló y zapatilla durate dos meses días? Cuátos días deberá repetir combiació? Ayuda: Seguro que u diagrama e árbol te resuelve el problema. Permutacioes Llamamos permutacioes a las posibles formas distitas e que se puede ordear u cojuto de elemetos distitos. Cada cambio e el orde es ua permutació. Ejemplos: So permutacioes: o o Las formas e que puede llegar a la meta 0 corredores. Las palabras de cuatro letras, si repetir igua letra, co o si setido que podemos formar co las letras de la palabra MESA. o Los úmeros de cifras distitas que se puede formar co los dígitos:,,, y. El úmero de permutacioes de u cojuto de elemetos se desiga por P, y se lee permutacioes de elemetos. La actividad resuelta de los tres grupos musicales que iba a actuar e ua fiesta era de permutacioes, era ua ordeació, luego lo escribiríamos como P, y se lee permutacioes de elemetos. Actividades resueltas E la fase preparatoria de u campeoato del mudo está e el mismo grupo España, Fracia y Alemaia. Idica de cuátas formas puede quedar clasificados estos tres países. So permutacioes de elemetos: P. Hacemos u diagrama de árbol. Puede quedar primeros España E, Fracia F o Alemaia A. Si ha gaado España, puede optar por el segudo puesto F o A. Y si ya hubiese gaado España y luego Fracia, para el tercer puesto sólo quedaría Alemaia. Puede quedar de = formas distitas. E geeral para calcular las permutacioes de elemetos se multiplica por, y así, bajado de uo e uo, hasta llegar a : P =. A este úmero se le llama factorial de, y se idica! P = =! Correspode a u árbol de iveles co,,,,,, posibilidades de elecció respectivamete. Para realizar esta operació co la calculadora se utiliza la tecla! Ejemplos: Las formas e que puede llegar a la meta 0 corredores so: P 0 = 0! = = Las palabras co o si setido que podemos formar co las letras, si repetir, de MESA so P =! = =. Los úmeros de cifras, todas distitas, que se puede formar co los dígitos:,,, y so: P =! = 0. España, Fracia y Alemaia puede quedar clasificados de P =! = formas distitas. 7. De cuátas formas puede repartirse cico persoas, cico pasteles distitos, comiedo cada persoa u pastel? 8. E ua carrera de caballos participa cuatro caballos co los úmeros,, y. Cuál de ellos puede llegar el primero? Si la carrera está amañada para que el úmero cuatro llegue el primero, cuáles de ellos puede llegar e segudo lugar? Si la carrera o está amañada, de cuátas formas distitas puede llegar a la meta? Haz u diagrama e árbol para respoder. 9. De cuátas maeras puedes meter seis objetos distitos e seis cajas diferetes, si sólo puedes poer u objeto e cada caja? 0. Cuátos países forma actualmete la Uió Europea? Puedes ordearlos siguiedo diferetes criterios, por ejemplo por su població, o co respecto a su producció de acero, o por la superficie que ocupa. De cuátas maeras distitas º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

156 es posible ordearlos?. E el año 97 había seis países e el Mercado Comú Europeo. De cuátas formas puedes ordearlos?. E ua oficia de colocació hay siete persoas. De cuátas formas distitas puede haber llegado? Actividades resueltas! Cálculo de.! Cuado calculamos cocietes co factoriales siempre simplificamos la epresió, elimiado los factores del umerador que sea comues co factores del deomiador, ates de hacer las operacioes. E geeral siempre suele ser preferible simplificar ates de operar, pero e este caso resulta imprescidible, para que o salga úmeros demasiado grades.! Es 0.! Epresa, utilizado factoriales, los productos siguietes: a 0 9 8; b + + +; !! b c = 7 7!!! 8! 9! 7!! 77!. Calcula: a ; b ; c ; d ; e ; f.!!!!!! 7!!!!!. Calcula: a ; b ; c ; d.!!!!. Epresa utilizado factoriales: a ; b 0 ; c 8 7 ; d Epresa utilizado factoriales: a + + +; b + + +; c + + +k. 7. Escribe e forma de factorial las distitas formas que tiee de setarse e ua clase los 0 alumos e los 0 puestos que hay. No lo calcules. El resultado es u úmero muy grade, para calcularlo se ecesita u ordeador o ua calculadora, y habría que recurrir a la otació cietífica para epresarlo de forma aproimada. 8. Nueve ciclistas circula por ua carretera e fila idia. De cuátas formas distitas puede ir ordeados?.. Variacioes co repetició Ya sabes que las quiielas cosiste e adiviar los resultados de partidos de fútbol señalado u si pesamos que gaará el equipo de casa, u si gaa el visitate y ua X si esperamos que haya empate. E ua misma jorada, cuátas quiielas distitas podía rellearse? Observa que ahora cada diferete quiiela cosiste e ua secuecia de los símbolos, y X, e las que el mismo símbolo puede aparecer varias veces repetido a lo largo de la secuecia y dos quiielas puede difereciarse por los elemetos que la compoe o por el orde e que aparece. Ates de resolver este problema, resolveremos uo más fácil. Actividades resueltas Co dos símbolos, 0 y, cuátas tiras de símbolos se puede escribir? Igual que e ateriores ejemplos, formamos el diagrama de árbol. Observado que e el primer lugar de la tira podemos poer los dos símbolos. E el segudo lugar, auque hayamos puesto el 0, como se puede repetir, podemos volver a poer el 0 y el. Lo mismo e el tercer y e el cuarto lugar. Es decir, el úmero de ramificacioes o se va reduciedo, siempre es igual, por lo tato el úmero de tiras distitas que podemos formar es = = tiras distitas. Las diferetes secuecias de logitud que se puede formar co u cojuto de m elemetos diferetes, se llama variacioes co repetició de m elemetos tomados de e. El úmero de diferetes secuecias que se puede formar se desiga co la epresió VR m,, y se calcula co la fórmula: VR m, = m E la actividad resuelta aterior so variacioes co repetició de elemetos tomados de e : VR, = = tiras distitas. Actividad resuelta E el cálculo del úmero de quiielas distitas, los elemetos so,, X y se forma secuecias de logitud, por lo tato se trata de variacioes co repetició de elemetos tomados de e : VR, = = Para teer la certeza absoluta de coseguir aciertos hay que rellear apuestas simples. La probabilidad de que te toque ua quiiela e ua apuesta simple es, por tato, º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

157 7 9. Co los 0 dígitos, cuátos úmeros distitos puede formarse de cifras? 0. Co los 0 dígitos y las cosoates del alfabeto, cuátas matriculas de coche puede formarse tomado cuatro dígitos y tres letras?. U byte u octeto es ua secuecia de ceros y uos tomados de 8 e 8. Cuátos bytes distitos puede formarse?. Calcula: a VR, ; b VR, ; c VR 0, ; d VR,0.. Epresa co ua fórmula: a Las variacioes co repetició de elemetos tomadas de e. b Las variacioes co repetició de 8 elemetos tomadas de e. c Las variacioes co repetició de 7 elemetos tomadas de e.. Cuátas palabras de cuatro letras co sigificado o o puedes formar que empiece por cosoate y termie co la letra S?.. Variacioes si repetició Actividades resueltas Ua asociació de vecios va a reovar la juta directiva. Ésta costa de tres cargos, presidecia, secretaría y tesorería. a Si úicamete se preseta cuatro persoas. De cuátas maeras puede estar formada la juta? b Si, ates de que empiece la votació, se preseta otros dos cadidatos, cuátas jutas diferetes podrá formarse ahora? a Cofeccioamos uestro diagrama e árbol. Numeramos los cadidatos del al. A la presidecia puede optar los cadidatos, pero si u determiado cadidato ya ha sido elegido para la presidecia, o podrá optar a los otros dos cargos, por lo que desde cada ua de las primeras cuatro ramas, sólo saldrá tres ramas. Ua vez elegida ua persoa para la presidecia y la secretaría, para optar a la tesorería habrá úicamete dos opcioes, por lo cual de cada ua de las ramas del segudo ivel, sale dos ramas para el tercer ivel. De este modo, multiplicado el úmero de ramificacioes e cada ivel, teemos que la juta puede estar formada de = maeras. b Si e lugar de cadidatos fuese, podría estar formada de = 0 maeras. Estas agrupacioes de elemetos, e que u elemeto puede aparecer e cada grupo como máimo ua vez, si repetirse, y cada grupo se diferecia de los demás por los elemetos que lo compoe o por el orde e que aparece se deomia variacioes si repetició. E las variacioes, tato co repetició como si repetició, se tiee e cueta el orde y los elemetos que forma el grupo. La diferecia es que e las variacioes co repetició puede repetirse los elemetos y e las variacioes ordiarias o. E el ejemplo aterior o tedría setido que u mismo cadidato ocupara dos cargos, o se repite los elemetos. Las variacioes si repetició o simplemete variacioes de m elemetos tomados de e se desiga como V m,. So los grupos de elemetos distitos que se puede formar de modo que u grupo se diferecie de otro bie por los elemetos que lo compoe bie por el orde e que aparece. El úmero de variacioes es igual al producto de multiplicar factores partiedo de m y decreciedo de uo e uo: V m, = m m m factores Observacioes m debe ser siempre mayor o igual que. Las variacioes de m elemetos tomados de m e m coicide co las permutacioes de m elemetos: V m,m = P m. Actividades resueltas Observa las siguietes variacioes e iteta ecotrar ua epresió para el último factor que se multiplica e el cálculo de las variacioes: a V, = b V, = c V 0, = d V 9, = E el caso a es igual a +. E b = +. E c = 0 +. E d = 9 +. E geeral el último elemeto es m +. V m, = m m m m + Escribe la fórmula de las variacioes utilizado factoriales: a V, = =!! b V, = =!! c V 0, = = Presidete/a Secretario/a Tesorero/a º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo 0!! d V 9, = = 9!!

158 8 Para escribirlo como cociete de factoriales se debe dividir por m!. m! V m, = m m m m + = m! Para realizar esta operació co la calculadora se utiliza la tecla etiquetada Pr. Cuatro persoas va a ua pastelería e la que úicamete queda cico pasteles, distitos etre sí. De cuátas formas distitas puede elegir su pastel si cada ua compra uo?. Co los 0 dígitos se desea escribir úmeros de seis cifras, todas ellas distitas. Cuátas posibilidades hay para escribir la primera cifra? Ua vez elegida la primera, cuátas hay para elegir la seguda? Ua vez elegidas las dos primeras, cuátas hay para la tercera? Cuátas posibilidades hay e total? 7. Si tiees elemetos diferetes y los tiees que ordear de e de todas las formas posibles, cuátas hay? 8. Co las letras A, B y C, cuátas palabras de letras o repetidas podrías escribir? 9. Co los dígitos,, 7, 8 y 9, cuátos úmeros de cifras distitas puedes formar? 0. Calcula: a V 0, ; b V 9, ; c V 7,.! 8!!. Calcula: a ; b ; c.!! 8! Otra observació m! m! Hemos dicho que V m,m = P m pero si utilizamos la fórmula co factoriales teemos que: V m,m = P m =. m m! 0! Para que tega setido se asiga a 0! el valor de. 0! =... Combiacioes Actividades resueltas E ua librería quiere hacer paquetes de tres libros, usado los seis libros más leídos. Cuátos paquetes diferetes podrá hacer? E este caso cada grupo de tres libros se difereciará de los otros posibles por los libros elemetos que lo compoe, si que importe el orde e que estos se empaqueta. A esta agrupació se la deomia combiació. Se llama combiacioes de m elemetos tomados de e y se desiga C m, a los grupos de elemetos que se puede formar a partir de u cojuto de m elemetos diferetes etre sí, de modo que cada grupo se diferecie de los demás por los elemetos que lo forma o por el orde e que aparece. Desigamos los libros co las letras A, B, C, D, E y F. Paquetes co A Paquetes si A pero co B Paquetes si A i B pero co C ABC BCD CDE ABD ACD BCE BDE CDF CEF DEF ABE ACE ADE BCF BDF BEF ABF ACF ADF AEF Hemos formado primero todos los paquetes que cotiee el libro A, hay 0; Luego seguimos formado los que o cotiee el libro A pero si cotiee el B. Luego los que o cotiee i A i B pero sí C. Y por último, el paquete DEF que o cotiee los libros A, B i C. Co este recueto hemos idetificado u total de 0 paquetes distitos. C, = 0. Esta forma de hacerlo es poco práctica. Para ecotrar ua fórmula geeral que os permita calcular el úmero de grupos, vamos a apoyaros e lo que ya sabemos. Si fuera relevate el orde e que aparece los libros e cada paquete, además de los libros que lo compoe, sería u problema de variacioes y calcularíamos: V, = = 0 diferetes: ABC, ABD, ABE, ABF, ACB, ACD, ACE, ACF, ADB, ADC, ADE, ADF, AEB, AEC, AED, AEF, AFB, AFC, AFD, AFE, BAC, BAD, BAE, BAF, BCA, BCD, BCE, BCF, BDA, BDC, BDE, BDF, BEA, BEC, BED, BEF, BFA, BFC, BFD, BFE, CAB, CAD, CAE, CAF, CBA, CBD, CBE, CBF, CDA, CDB, CDE, CDF, CEA, CEB, CED, CEF, CFA, CFB, CFD, CFE, DAB, DAC, DAE, DAF, DBA, DBC, DBE, DBF, DCA, DCB, DCE, DCF, DEA, DEB, DEC, DEF, DFA, DFB, DFC, DFE, EAB, EAC, EAD, EAF, EBA, EBC, EBD, EBF, ECA, ECB, ECD, ECF, EDA, EDB, EDC, EDF, EFA, EFB, EFC, EFD, FAB, FAC, FAD, FAE, FBA, FBC, FBD, FBE, FCA, FCB, FCD, FCE, FDA, FDB, FDC, FDE, FEA, FEB, FEC, FED. E la lista aterior hemos señalado co el mismo color alguos de los paquetes que cotiee los mismos tres libros, verás que el paquete co los libros A, B y C se repite seis veces: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Las mismas veces se repite el paquete ABD, el ACF, etc. Puedes probar a señalar cualquier otra combiació y verás que todas está repetidas eactamete seis veces. Ello es debido a que hay seis variacioes posibles co la misma composició de elemetos, que se º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

159 9 diferecia por el orde las permutacioes de esos tres elemetos que so P =. Así pues, como e el recueto de variacioes, cada paquete está cotado P = veces. Para saber el úmero de paquetes diferetes dividimos el total de variacioes etre P =. V, 0 Por tato basta co dividir las variacioes etre las permutacioes: C, = = 0. P Y, e geeral, de acuerdo co el mismo razoamieto se calcula las combiacioes de m elemetos tomados de e, dividiedo las variacioes etre las permutacioes, co la fórmula: Vm, m! C m, = P m!! Para realizar esta operació co la calculadora se utiliza la tecla etiquetada Cr Actividades resueltas U test costa de 0 pregutas y para aprobar hay que respoder correctamete. De cuátas formas se puede elegir esas pregutas? No importa e qué orde se elija las pregutas, sio cuáles so las pregutas elegidas. No puede repetirse o tiee setido que respodas veces la primera preguta. Úicamete ifluye las pregutas los elemetos. Se trata de u problema de combiacioes, e que teemos que formar grupos de, de u cojuto formado por 0 pregutas diferetes, 0! 0987 luego so combiacioes, C 0, : C 0, = 07 0 maeras.!! Teemos libros si leer y queremos llevaros tres para leerlos e vacacioes, de cuátas maeras distitas podemos elegirlos? So combiacioes de elemetos tomados de e. C, = 0 formas. Tiees 7 moedas de euro que colocas e fila. Si muestra la cara y la cruz, de cuátas formas distitas puedes ordearlas? Bastará co colocar e primer lugar las caras y e los lugares libres poer las cruces. Teemos 7 lugares para colocar caras, será por lo tato las combiacioes de 7 elemetos tomados de e. C 7, =. Observa que se obtiee el mismo resultado si colocas las cruces y dejas los lugares libres para las caras ya que C 7, =.. Teemos bomboes iguales que queremos repartir etre 7 amigos, de cuátas formas se puede repartir los bomboes si a iguo le vamos a dar más de u bombó?. Jua quiere regalar DVDs a Pedro de los 0 que tiee, de cuátas formas distitas puede hacerlo?. E el juego del póker se da a cada jugador ua mao formada por cico cartas, de las que tiee la baraja fracesa, cuátas maos diferetes puede recibir u jugador?.. Números combiatorios Las combiacioes so muy útiles, por lo que su uso frecuete hace que se haya defiido ua epresió matemática deomiada úmero combiatorio. m El úmero combiatorio m sobre se desiga m y es igual a: m! = Cm, = m!! Propiedades de los úmeros combiatorios Actividades resueltas 7 9 Calcula,,, Habrás comprobado que: =, =, = y =. Razoa el motivo. Podemos geeralizar y decir que m 0 =? E efecto: Recuerda que 0! =. m m! = =. 0 m! 0! º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo

160 º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo 0 Calcula 7 7,, 9 9,. Habrás comprobado que: 7 7 =, =, 9 9 = y =. Razoa el motivo. Podemos geeralizar y decir que m m =? E efecto: m m =! 0!!!!! m m m m m m =. Recuerda que 0! =. Calcula 7,, 9,. Habrás comprobado que: 7 = 7, =, 9 = 9 y =. Razoa el motivo. Podemos geeralizar y decir que m = m? E efecto: m =!!! m m = m. Calcula 7, 7, 7 9, 9 e idica cuáles so iguales. Habrás comprobado que: 7 = 7 y que 7 9 = 9. Razoa el motivo. Podemos geeralizar y decir que: m = m m E efecto: m =!!! m m =!!! m m m m = m m. Hasta ahora todas las propiedades ha sido muy fáciles. Teemos ahora ua propiedad más difícil. Veamos que: m = m + m. Pero ates lo comprobaremos co u problema. Luis y Miriam se ha casado y les ha regalado seis objetos de adoro. Quiere poer tres e ua estatería, pero Miriam quiere que e la estatería esté, sí o sí, el regalo de su madre. Si embargo, a Luis o le gusta ese objeto, y le da igual cualquier combiació e la que o esté. Uo de los dos se saldrá co la suya. Calcula cuatas so las posibilidades de cada uo. A Luis y Miriam les ha regalado objetos de adoro y quiere poer e ua estatería. Las formas de hacerlo co C, =. Pero Miriam quiere que e la estatería esté, sí o sí, el regalo de su madre. De cuátas formas lo haría Miriam? So C, =. Si embargo a Luis, ese objeto o le gusta, y le da igual cualquier combiació e la que o esté. De cuátas formas lo haría Luis? So C, =.

161 º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo Las opcioes de Miriam más las de Luis so las totales: = +. Comprueba que = + y que 7. E geeral, m = m + m. Te atreves a demostrarlo? Para demostrarlo recurrimos a la defiició y realizamos operacioes: m + m =!!! m m +!!! m m reducimos a comú deomiador =!!! m m m m +!!! m m Recuerda: m m! = m! =!!! m m m +!!! m m Poemos el deomiador comú y sumamos los umeradores =!!!! m m m m Sacamos m! factor comú =!!! m m m De uevo usamos que m m! = m! =!!! m m = m. Triágulo de Pascal o Triágulo de Tartaglia A u matemático italiao del siglo XVI, llamado Tartaglia pues era tartamudo, se le ocurrió dispoer a los úmeros combiatorios así: A ambos triágulos se les llama Triágulo de Pascal o Triágulo de Tartaglia. Los valores que hay que poer e cada fila del triágulo se calcula, si teer que usar la fórmula de los úmeros combiatorios, de ua forma más fácil basada e las propiedades de los úmeros combiatorios que acabamos de probar: Por la propiedad 0 m = = m m, cada fila empieza y termia co. O bie calculado sus valores correspodietes:

162 m m Por la propiedad =, sabemos que el Triágulo de Tartaglia es simétrico o sea que el primer elemeto de m cada fila coicide co el último, el segudo co el peúltimo y así sucesivamete. m m m Por la propiedad = +, podemos obteer las siguietes filas sumado térmios de la aterior, ya que cada posició e ua fila es la suma de las dos que tiee justo ecima de la fila aterior. De este modo el triágulo se costruye secuecialmete, añadiedo filas por abajo hasta llegar a la que os iteresa. Si sólo ecesitamos coocer u úmero combiatorio aislado, tal vez o valga la pea desarrollar todo el triágulo, pero e muchas ocasioes ecesitamos coocer los valores de toda ua fila del triágulo por ejemplo cuado desarrollamos u biomio de Newto, o cuado resolvemos problemas de probabilidad.. Añade tres filas más al triágulo de Tartaglia de la derecha.. Suma los úmeros de cada fila y comprueba que la suma de los elemetos de la fila m es siempre igual a m. 7. Si calcularlos, idica cuáto vale C, ; C, ; C, y C, buscado su valor e el triágulo... Distribució biomial Recorridos aleatorios o camiatas al azar Los úmeros combiatorios sirve como modelo para resolver situacioes muy diversas. Actividades resueltas El dispositivo que aparece a la izquierda se deomia aparato de Galto. Su fucioamieto es el siguiete: cuado se itroduce ua bola por el embudo superior, va cayedo por los huecos que eiste e cada fila. E cada paso puede caer por el hueco que tiee a su derecha o por el que tiee a su izquierda co igual probabilidad, de forma que es imposible, cuado poemos ua bola e el embudo predecir e cuál de los carriles iferiores acabará cayedo. Si itroducimos muchas bolas por el agujero superior, por ejemplo 0, crees que al llegar abajo se distribuirá uiformemete etre todos los carriles o habrá lugares a los que llegue más bolas? Observa que para llegar a la primera fila, sólo hay u camio posible, que es el que va siempre hacia la izquierda, y para llegar a la última, el úico camio posible es el que va siempre a la derecha. Mietras que para llegar a los huecos cetrales de cada fila el úmero de camios posibles es mayor. Por ejemplo, para llegar al segudo hueco de la seguda fila, hay dos camios. E geeral, al primer hueco de cada fila sólo llega u camio, igual que al último y a cada uo de los otros huecos llega tatos camios como la suma de los camios que llega a los dos huecos que tiee m justo ecima. Comprueba que para llegar al hueco de la fila m hay camios. E resume, el úmero de camios aleatorios que llega a cada hueco se calcula igual que los úmeros e el triágulo de Tartaglia. Si uestro aparato de Galto tiee 9 filas, el úmero de camios que llega a cada uo de los compartimetos de salida es el que se obtiee co la ovea fila del Triágulo de Tartaglia: , de u total de 9 = camios diferetes que puede realizar la bola. Así que cuado echamos e el aparato 0 bolas, habrá aproimadamete bolas que haga cada uo de los recorridos posibles, ya que todos tiee la misma probabilidad de ocurrir. Por tato el úmero de bolas que podemos esperar que caiga e cada compartimeto es el siguiete: Compartimeto Número aproimado de bolas 0 = = 9 = 8 = 7 8 = 8 = 0 = = 8 = = 0 0 = º Bachillerato. Matemáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada Revisor: Javier Rodrigo = 8 = 8 = 7 9 = 8 Vemos que o se deposita el mismo úmero de bolas e todos los compartimetos. Mietras que e los etremos habrá aproimadamete bolas, e los cetrales habrá uas. De acuerdo co ley de los grades úmeros, los resultados eperimetales será más parecidos a los teóricos cuato mayor sea el úmero de veces que se realiza el eperimeto es decir, cuato mayor sea el úmero de bolas. E Youtube buscado la epresió máquia de Galto puedes ver muchos vídeos e que se realiza el eperimeto y se verifica este hecho.