TEORÍA DE ESTRUCTURAS

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1 TEORÍ DE ESTRUTURS TEM 3: LÍNES DE INFLUENI EN ESTRUTURS ISOSTÁTIS DEPRTMENTO DE INGENIERÍ MEÁNI - MEKNIK INGENIERITZ SIL ESUEL TÉNI SUPERIOR DE INGENIERÍ DE ILO UNIVERSIDD DEL PÍS VSO EUSKL HERRIKO UNIERTSITTE UPV/EHU Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao

2 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao. oncepto de línea de nfluenca En algunos casos las cargas no son fjas sno móvles a lo largo de la estructura, como es el caso de un puente recorrdo por un vehículo, o una vga carrl sobre la que se desplaza un puente grúa, o la pluma de una grúa de construccón a lo largo de la cual se desplaza el carro que sustenta la carga: en estos casos varía el punto de aplcacón de la carga (carga móvl), y por tanto, los esfuerzos y deformacones que se orgnan en la estructura, ya que estos valores dependen de la poscón que ocupa la carga. x arga móvl Vgas Tablero D E F G H elosía El valor máxmo de la respuesta de la estructura, sea valorada en esfuerzos (y por tanto tensones), y/o deformacones, se producrá para una poscón partcular y determnada de la carga, que por lo general será desconocda y que se deberá determnar. Para cada una de las barras de la celosía de la fgura, la poscón del coche para la cual el esfuerzo en esa barra alcanza el valor máxmo puede ser dferente. Se debe calcular la poscón más desfavorable de la carga para cada esfuerzo y/o deformacón que se esté analzando. TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

3 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao. oncepto de línea de nfluenca Supuestos báscos empleados en el estudo de las líneas de nfluenca: ) ajo la accón de las cargas, la estructura mantene un comportamento elástco lneal y expermenta pequeñas deformacones, sendo aplcable, por consguente, el prncpo de superposcón. 2) Se consderará una únca fuerza móvl de módulo undad. Es un supuesto que se ntroduce para facltar el estudo ncal, pero que se puede generalzar sn dfcultad a otro tpo de cargas. 3) Se prescnde del posble efecto dnámco en cargas móvles (prncpalmente de posbles vbracones). Defncón de Línea de Influenca: Se defne la línea de nfluenca de una reaccón, un determnado esfuerzo o una determnada deformacón, como la funcón que proporcona dcha reaccón, esfuerzo o deformacón, para las dstntas poscones de la carga móvl a lo largo de la estructura, y para un valor untaro de dcha carga. Es decr, una línea de nfluenca es una curva cuya ordenada en un punto cualquera proporcona el valor de la respuesta que queremos calcular, debdo a una carga undad en ese punto. TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

4 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao. oncepto de línea de nfluenca L a) P En la fgura se lustra esta defncón aplcándolo a la determnacón de la línea de nfluenca del momento flector del empotramento de la vga de la fgura. La fgura b) muestra el parámetro x utlzado para defnr la poscón de la carga untara móvl, y en la fgura c) se representa la línea de nfluenca de dcha reaccón, defnda como M, cuya expresón analítca se obtene aplcando las ecuacones de equlbro: M M = 0 M = x = x (0 x l) x M b) La línea de nfluenca buscada tene un valor únco, y no debe confundrse esa representacón gráfca del momento de empotramento en con el dagrama de momentos flectores de la vga: son cosas dferentes. x L c) TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

5 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao. oncepto de línea de nfluenca x x2 P P 2 P 3 En vrtud del Prncpo de Superposcón, s M = x es el valor del momento en debdo a la accón de una carga undad en la poscón x, el valor de este momento debdo a una carga P stuada en la msma poscón será: M = P x, y su valor debdo a la accón smultánea de tres cargas P, P 2 y P 3 aplcadas a dstancas x, x 2 y x 3, respectvamente de (ver fgura), será: x 3 L M = P x + P2 x2 + P3 x3 a) M x x 2 x3 L Para el caso de una carga P actuando sobre la vga de la fgura, el valor máxmo del momento en es P L y corresponde a la poscón de la carga P en el extremo lbre, como fáclmente puede deducrse a partr de la línea de nfluenca. b) TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

6 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 2. Propedades para dversos tpos de cargas 2.. argas concentradas x L L V V V a) En las fguras se representan las líneas de nfluenca de las reaccones en los apoyos y de la vga bapoyada representada. Sus expresones se obtenen medante la smple aplcacón de las ecuacones de equlbro: M M = 0 = 0 V V l = x = l ( l x) V l x = l ( ) b) ( ) - Seccón Seccón Seccón ( x = 0) V = V = 0 ( x = l) V = 0 V = ( x = 2l) V = V = 2 V c) ( ) 2 El valor de una respuesta (reaccón, esfuerzo o deformacón) debdo a una carga aslada, es gual al producto de la magntud de la carga por la ordenada de la línea de nfluenca de esa respuesta, medda en el punto de aplcacón de la carga. TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

7 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 2. Propedades para dversos tpos de cargas 2.2. Trenes de cargas puntuales Para calcular el valor de la respuesta (reaccón, esfuerzo de seccón, ) debda a un tren de cargas puntuales P, se calcula en prmer lugar la línea de nfluenca de esa respuesta, a la que se denomna línea de nfluenca básca. contnuacón se suma el valor que tene la línea de nfluenca básca en la poscón de cada carga, multplcada por el valor de la carga correspondente con su sgno. P P 2 P 3 Poscón más desfavorable del tren de cargas estudado anterormente (para M ) M L Ejemplo: La vga de la fgura nferor está recorrda por dos cargas de 5000 N y 4000 N, respectvamente, separadas m entre sí. alcular los valores máxmos de las reaccones en los apoyos. El movmento de las cargas puede producrse sobre toda la vga, y con las cargas stuadas en los dos sentdos N 5000 N L x m 2 m 0 m TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

8 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 2. Propedades para dversos tpos de cargas 2.3. argas dstrbudas El caso de una carga dstrbuda móvl es smlar al de un tren de cargas puntuales, pero consderando que las cargas están nfntamente próxmas. M x q df = q.dx N Sobre cada segmento nfntamente pequeño de la vga actúa una fuerza concentrada df = q dx. S df se stúa en x, donde la ordenada de la línea de nfluenca de la respuesta que se esté estudando (reaccón, esfuerzo, ) es K, entonces el valor de esa respuesta es: Línea de nfluenca dx ( df) y = ( q dx) y y El efecto smultáneo de todas las fuerzas concentradas se obtene ntegrando a lo largo de la longtud de la vga: l q y dx = q y dx l x dx Esta segunda ntegral representa precsamente el área bajo la línea de nfluenca. Por consguente, puede afrmarse que el valor de la respuesta producda por una carga unformemente dstrbuda móvl es gual al producto de la ntensdad de la carga por el área total del dagrama de la línea de nfluenca básca de la respuesta consderada, correspondente a la zona de estructura cargada. TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

9 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 2. Propedades para dversos tpos de cargas Ejemplo Para la vga bapoyada de la fgura, determnar la longtud que debe ocupar una carga unformemente dstrbuda q, para que las reaccones en los apoyos alcancen los valores máxmos posbles, y calcular asmsmo estos valores máxmos. x V q a) = q l q = l 2 2 ( ) L L q V V V ( ) V a) b) ( ) - V b) q = q l q = l 2 2 ( ) ( ) 2 V = c) 2l 2 q = 2 q l 2 ( ) c) TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

10 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 3. Líneas de nfluenca en vgas sostátcas Exsten dos grandes procedmentos para la determnacón de líneas de nfluenca en estructuras sostátcas: el prmero de ellos basado en la smple aplcacón de las ecuacones de la estátca, y el segundo fundamentado en el Prncpo de los Trabajos Vrtuales. 3.. plcacón de ecuacones de equlbro estátco En vgas sostátcas es posble calcular cualquer esfuerzo nterno y reaccones en los apoyos utlzando exclusvamente ecuacones de la estátca, y de gual forma tambén éstas son sufcentes para calcular las líneas de nfluenca. Habtualmente el cálculo de las líneas de nfluenca de los esfuerzos nternos se faclta cuando se conocen las líneas de nfluenca de las reaccones, por lo que la obtencón de éstas suele consttur el prmer paso en el proceso de cálculo. a x Ejemplo: Para la vga en voladzo de la fgura, calcular las líneas de nfluenca de las reaccones en el empotramento, así como las del momento flector y del esfuerzo cortante en la seccón. L TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

11 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 3. Líneas de nfluenca en vgas sostátcas x La línea de nfluenca del momento en el empotramento se obtene aplcando la ecuacón de equlbro de momentos: a M L a) M = 0 M = x = x (0 x l) V b) x L Planteando la ecuacón de equlbro de fuerzas vertcales, puede obtenerse la línea de nfluenca de la reaccón vertcal en el empotramento. Supuesta postva haca arrba, su valor será: ( ) F = 0 V = (0 x l) y c) TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

12 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 3. Líneas de nfluenca en vgas sostátcas a x Para hallar la línea de nfluenca del esfuerzo cortante en se aísla el tramo zquerdo o derecho de la vga, según nterese. Y así, s la carga está a la zquerda de, se aísla el tramo derecho de la vga y se estuda su equlbro: V L a) ( ) F = 0 V = 0 0 x a y M a d) e) L-a S la carga está a la derecha de, se aísla y estuda el equlbro del tramo zquerdo: ( l) F = 0 V = V = a x y Para obtener la línea de nfluenca del momento flector en se aplca el msmo procedmento. Por lo tanto, s la carga está a la zquerda de, se aísla el tramo derecho: ( ) M = 0 M = 0 0 x a Y s la carga está a la derecha de, se aísla el tramo zquerdo: ( l) M = 0 M = V a M = a x M = a x a x TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

13 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 3. Líneas de nfluenca en vgas sostátcas Vga smplemente apoyada. Para la vga de la fgura, calcular las líneas de nfluenca de las reaccones en los apoyos así como la del esfuerzo cortante y el momento flector en la seccón. L/4 L M La línea de nfluenca de la reaccón en, supuesta postva haca arrba, se obtene tomando momentos respecto de : = 0 V l = l x l ( l x) V = ( 0 x l) V ( ) a) b) La línea de nfluenca de la reaccón en, supuesta asmsmo postva haca arrba, se obtene tomando momentos respecto de (o del equlbro vertcal del conjunto): V c) ( ) M x = 0 V l = x V = l l ( 0 x ) TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

14 V d) M 3/4 /4 3L/ x x V V F y = = = l l Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao Para hallar las líneas de nfluenca del esfuerzo cortante y del momento flector en, s la carga está a la zquerda de se aísla el tramo derecho de la vga: 3. Líneas de nfluenca en vgas sostátcas x x V M M x x V V F y = = = = = = = l l l l l l l l l e) x x V M M = = = = l l l TEORÍ DE ESTRUTURS: Y s la carga está a la derecha de, se aísla el tramo zquerdo: Tema 3: Líneas de nfluenca

15 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 3. Líneas de nfluenca en vgas sostátcas 3.2. plcacón del prncpo de los trabajos vrtuales S en una estructura sostátca en equlbro se elmna la lgadura que da lugar a la reaccón (o el esfuerzo) cuya línea de nfluenca se desea hallar, la estructura se converte en un mecansmo, con lo cual puede tener movmentos de sóldo rígdo que se producen sn que la se estructura se deforme y, por tanto, sn acumulacón de energía elástca. De acuerdo con el P.T.V., al aplcar ahora un desplazamento vrtual y puesto que la estructura está en equlbro, se cumple que el trabajo vrtual de todas las fuerzas que actúan sobre la estructura es nulo, al no acumularse energía elástca: δw = δu = 0 Las fuerzas que actúan sobre la estructura transformada por ese procedmento en mecansmo, son las sguentes: la fuerza untara móvl, las reaccones en los apoyos, que no producen trabajo vrtual, el esfuerzo (o reaccón) cuya línea de nfluenca se desea hallar, y que llamaremos genércamente LI. S se aplca sobre la estructura un desplazamento vrtual en la dreccón del esfuerzo o reaccón LI cuya línea de nfluenca se busca, la estructura adopta una confguracón deformada como sóldo rígdo. En esta confguracón deformada se denomna δ LI al desplazamento vrtual en la dreccón del esfuerzo buscado y δ al desplazamento en la dreccón de la fuerza untara móvl. El trabajo vrtual producdo por ambas fuerzas es: δw = δ LI + δ 0 LI = TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

16 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 3. Líneas de nfluenca en vgas sostátcas Despejando el valor de la línea de nfluenca: LI δ = δ LI S se elge el desplazamento vrtual de tal manera que valga la undad (δ LI = ), se obtene: LI = δ Esta expresón ndca que la línea de nfluenca de un esfuerzo (o reaccón) cualquera en una estructura sostátca es gual a la deformada - cambada de sgno que adopta la estructura consderada como rígda, cuando se aplca un desplazamento untaro en la dreccón de ese esfuerzo (o reaccón). Esta deduccón es totalmente general, válda tanto para reaccones como esfuerzos de seccón. Se expondrán a contnuacón varos ejemplos sencllos para lustrar la aplcacón de este Prncpo a la determnacón de dversas líneas de nfluenca. TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

17 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 3. Líneas de nfluenca en vgas sostátcas Ejemplo: Línea de nfluenca de la reaccón en el apoyo en la vga bapoyada de la fgura x Para aplcar el método se quta el apoyo colocando la reaccón V, y se permte en un desplazamento vrtual δ en la dreccón de la reaccón. La vga gra alrededor de como un mecansmo hasta la poscón. En la fgura δ ndca el desplazamento en el punto de aplcacón de la carga untara. plcando el P.T.V.: V L δw = 0 V δ δ = 0 V δ = δ S : δ = V = δ δ = V δ Por defncón de línea de nfluenca, se concluye que la línea es la línea de nfluenca para V, sempre que δ =. TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

18 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 3. Líneas de nfluenca en vgas sostátcas Ejemplo: Línea de nfluenca de la reaccón en en la vga de la fgura Reptendo el planteamento realzado en el caso anteror: δ δ W = 0 V 0 + Vδ δ = 0 V = δ L V S : δ = = δ V δ δ = Es decr, la línea de nfluenca es la recta. omo es obvo, el valor de puede obtenerse sencllamente a partr de puras consderacones geométrcas. V TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

19 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 3. Líneas de nfluenca en vgas sostátcas Ejemplo: Línea de nfluenca del esfuerzo cortante en la seccón de la fgura a L b Para obtener la línea de nfluenca del esfuerzo cortante en una seccón, se corta por dcha seccón y se aplca un movmento vertcal relatvo de valor undad entre ambas caras, mantenendo el msmo gro en ambas (no se puede ntroducr una rotacón relatva en la seccón). on ello el momento flector en no produce trabajo vrtual. V onsderando la vga bapoyada de la fgura, lo dcho es equvalente a rotar y el msmo ángulo pequeño alrededor de y, respectvamente: V 2 b/l a/l tg δ = δ tg tg = tg = a b a ( b + a) = a = l 2 = b b y 2 = l a b δ W = 0 V + V δ = 0 V = δ l l TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

20 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 3. Líneas de nfluenca en vgas sostátcas Ejemplo: Línea de nfluenca del momento flector en la seccón de la vga bapoyada δθ = Para obtener la línea de nfluenca del momento flector en una seccón, se mpone un gro relatvo untaro entre ambas caras (como ntroducr una artculacón en ), mantenendo la flecha contnua entre ellas a fn de que el cortante no produzca trabajo vrtual. L ( δϑ = ) δ = 0 δ W = 0 M M = δ Esto que prueba que la línea es la línea de nfluenca correspondente al momento flector en la seccón. Esa línea representa el movmento posble de sóldo rígdo al ntroducr una rótula en. TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

21 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 3. Líneas de nfluenca en vgas sostátcas Este procedmento para construr líneas de nfluenca fue desarrollado por Henrch Müller-reslau en 886, y se conoce con el nombre de Prncpo de Müller-reslau, el cual podría enuncarse de la sguente forma: La línea de nfluenca de una reaccón (o de un esfuerzo de seccón) es gual a la confguracón deformada que adopta la estructura (consderada como rígda) cuando se elmna de la estructura orgnal la lgadura correspondente a esa reaccón o esfuerzo, y se comunca a la estructura lberada un desplazamento (o rotacón) undad en el lugar y dreccón de esa reaccón o esfuerzo, de tal forma que úncamente esta respuesta estructural y la carga undad realcen trabajo exteror. S además se desean calcular tambén valores numércos de las ordenadas de las líneas de nfluenca, puede aplcarse para ello el método del equlbro prevamente vsto. La combnacón de ambos consttuye un procedmento muy efcaz para la construccón de líneas de nfluenca. El procedmento conjunto podría resumrse en los sguentes pasos:. Dbujar la forma general de la línea de nfluenca aplcando el Prncpo de Müller-reslau. Para ello se comenza elmnando de la estructura dada la lgadura correspondente a la respuesta estructural cuya línea de nfluenca se pretende calcular. Se obtene un mecansmo. contnuacón se aplca a este mecansmo un pequeño desplazamento (o rotacón) en el lugar y en la dreccón postva de esa respuesta (reaccón o esfuerzo de seccón). Se dbuja la correspondente confguracón deformada del mecansmo que sea compatble con las condcones de apoyo y de contnudad de la estructura. Esta confguracón corresponde a la forma general de la línea de nfluenca buscada. TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

22 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 3. Líneas de nfluenca en vgas sostátcas 2. Determnar los valores numércos de las ordenadas de la línea de nfluenca utlzando el método del equlbro y la propa geometría de la línea. olóquese una carga undad en la poscón correspondente a la respuesta estructural en la estructura orgnal (no lberada), y medante la aplcacón de las condcones de equlbro determínese el valor de la ordenada de la línea de nfluenca correspondente a esa poscón. S la respuesta estructural buscada es un esfuerzo cortante, entonces la carga undad debe colocarse sucesvamente en dos lugares, nmedatamente a la zquerda y a la derecha, de la seccón correspondente, y para ambas poscones deben calcularse los valores de las ordenadas de la línea de nfluenca. S la ordenada de la seccón correspondente a la respuesta estructural que se está estudando es cero, entonces colóquese la carga undad en la poscón de ordenada máxma o mínma, y determínese el valor numérco de la ordenada aplcando condcones de equlbro. Utlzando la geometría de la línea de nfluenca, determínense los valores numércos de las restantes ordenadas en todas aquellas poscones correspondentes a cambos de pendente en la línea de nfluenca. Este prncpo es úncamente váldo para líneas de nfluenca correspondentes a respuestas estructurales que son reaccones o esfuerzos de seccón, pero no puede aplcarse al cálculo de líneas de nfluenca de deformacones. Y puede aplcarse ndstntamente en estructuras sostátcas o hperestátcas. TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

23 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 3. Líneas de nfluenca en vgas sostátcas D V 4/3 3 m ( ) 3 m 6 m a) 2/3 D Ejemplo: En la fgura se representan, debdamente acotadas, las líneas de nfluenca de las reaccones en los apoyos así como las del esfuerzo cortante y del momento flector en la seccón. V D b) /3 V ( ) /3 c) ( ) ( ) D /3 2 2/3 -/3 D M d) 2-2 D e) TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

24 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 3. Líneas de nfluenca en vgas sostátcas a a a a) D a E Ejemplo: En la fgura se representan las líneas de nfluenca de la reaccón en el apoyo así como las del esfuerzo cortante y del momento flector en las seccones y D. (V ) δ = b) E (V ) (M ) 2 /2 δ = /2 c) θ = a a/2 d) E E (V D ) (M D ) e) a f) D δ D = D θ D = D a E E TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

25 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Se pueden determnar las líneas de nfluenca correspondentes a los esfuerzos axales en las barras de una celosía medante procedmentos smlares a los estudados para el caso de vgas. La prncpal dferenca es que en el caso de celosías las cargas úncamente pueden estar aplcadas en los nudos, y no a lo largo de todo el vano, por lo que en prncpo, las líneas de nfluenca no serían rectas de uno al otro lado del vano. Pero dado que las dversas barras están desconectadas a flexón unas de otras y su comportamento es lneal, ocurre que la línea de nfluenca cuando la carga móvl está entre dos nudos es tambén lneal. Por tanto, es sufcente con hallar la línea de nfluenca para la carga aplcada en los dstntos nudos de la trayectora, y unr los valores dscretos obtendos medante líneas rectas. uando la carga undad ocupa una poscón ntermeda entre M y N, por ejemplo, a una dstanca x de M, esta carga se transmtrá a los nudos M y N con los valores (L-x)/L y x/l respectvamente. Para verfcarlo basta estudar el equlbro tomando momentos respecto de ambos nudos: L x L M x L-x N x L M N = 0 R M l = ( l x) R M = l x l L Línea de nfluenca M M = 0 R N l = x R N = x l δ M δ δ N TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

26 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas x L-x L x L M N x L Por consguente, el efecto de esa carga equvale a la superposcón de esas otras dos cargas de valores (L-x)/L y x/l actuando en los nudos M y N, respectvamente. L δ M δ δ N Fáclmente puede demostrarse que s δ es la ordenada de la línea de nfluenca cuando la carga undad está colocada en la poscón de la fgura, se verfca, por pura equvalenca estátca: Ecuacón de una recta l x δ = δ l M + x δ N l Para Para x = 0 : x = l : δ = δ δ = δ M N TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

27 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas 4.. plcacón de ecuacones de equlbro estátco Un procedmento sencllo y rápdo para determnar la línea de nfluenca de cualquer barra de una celosía utlzando exclusvamente consderacones de equlbro estátco, consste en aplcar los ya conocdos métodos de los nudos o de las seccones de Rtter (con sus smplfcacones), calculando prevamente, cuando sean necesaros, los valores de las líneas de nfluenca de las reaccones en los apoyos, y tener en cuanta la propedad que acaba de demostrase, es decr, que la línea de nfluenca varía lnealmente cuando la carga se mueve entre dos nudos. Ejemplo: Para la celosía de la fgura 3.9 se representan las líneas de nfluenca de las reaccones y de los esfuerzos en dversas barras. La carga untara se mueve a lo largo del cordón nferor. D E F L G H J K L M x 6L TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

28 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao Las líneas de nfluenca de las reaccones se calculan aplcando el equlbro de todo el conjunto: ( ) l l l l l l x V x V M x V x V M G G G = = = = = = 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas TEORÍ DE ESTRUTURS: D E F H J K L M G L x 6L V G V Tema 3: Líneas de nfluenca

29 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas D E F L G x H J K L M V = 6l x 6l 6 L ( ) ( V ) 5 / 6 4 / 6 3 / 6 2 / 6 / 6 H J K L M G a ) ( ) ( V G ) ( N H ) ( + ) 5 / 6 3 / 6 4 / 6 / 6 2 / 6 H J K L M G b ) V G = x 6l H J K L M G c ) TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

30 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Línea de nfluenca en el trante vertcal H: onsderando el equlbro vertcal del nudo H, el elemento H está sometdo a un esfuerzo undad cuando la fuerza está justo en H, y tene un esfuerzo nulo cuando la fuerza está en otros nudos. Para completar la representacón basta con tener en cuanta la propedad de varacón lneal cuando la carga se mueve entre dos nudos. D E F L V H J K L M G V G x 6L (N H ) (+) H J K L M G TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

31 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Línea de nfluenca en la dagonal : onsderando el equlbro vertcal del nudo : D E F L G N = 2 V = 6l x 2 6l H J K L M V V G x 6L (N ) H J K L M G (-) uando la carga está en el esfuerzo en es nulo, por lo que la línea de nfluenca en el tramo H es dstnta y llega a cero en el punto. TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

32 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Línea de nfluenca en la barra H: onsderando el equlbro horzontal del nudo : D E F L H J K L M G N H = N 2 = V = 6l x 6l V V G x 6L (N H ) 5 6 (+) H J K L M G uando la carga está en el esfuerzo en H es nulo, por lo que la línea de nfluenca en el tramo H es dstnta y llega a cero en el punto. TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

33 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Línea de nfluenca en la dagonal K: plcando el método de las seccones y dando el corte de la fgura: D E F L V H J K L M G V G x 6L TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

34 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas S la carga está entre y J, se aísla la parte de la derecha: Fy = 0 NK = 2 V G D E F V N K N K H J K L M f) G V G V (N K ) H (-) J (+) K L M G 2 V G TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

35 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas S la carga está entre K y G, se aísla la parte de la zquerda: Fy = 0 N = 2 V K D E F V N K N K H J K L M f) G V G (N K ) Lneal entre los dos tramos 2 V G H (-) J (+) 2 V K L M G TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

36 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Línea de nfluenca en la barra JK: plcando el método de las seccones y dando el corte de la fgura: D E F L V H J K L M G V G x 6L TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

37 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas S la carga está entre y J, se aísla la parte de la derecha: M = 0 N l = V 4l N = 4V JK G JK G D E F N J N J H J K L M G V h) V G 4V G 2V (N JK ) 4/6 (+) 8/6 4/6 H J K L M G TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

38 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas S la carga está entre K y G, se aísla la parte zquerda: M = 0 N JK = 2V D E F N J N J H J K L M G V Lneal entre los dos tramos h) V G 4V G 2V (N JK ) 4/6 (+) 8/6 4/6 H J K L M G TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

39 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas 4.2. plcacón del prncpo de los trabajos vrtuales l gual que se hzo para el caso de vgas, tambén en el caso de estructuras en celosía resulta especalmente adecuado la aplcacón del Prncpo de Müller-reslau para la determnacón de la forma general de la línea de nfluenca. S además se queren calcular valores numércos de las ordenadas de la línea de nfluenca, el procedmento más rápdo para acotarla numércamente es colocar una carga undad en un nudo cualquera de la celosía para obtener el valor de la ordenada de la línea de nfluenca en ese punto de una forma analítca, al msmo tempo que se determna s la barra trabaja a traccón o compresón. Proceso: ) Se suprme la barra y se susttuye por dos fuerzas de la msma dreccón, guales y de sentdo contraro, que representan las accones sobre la estructura. 2) Se obtene un mecansmo con un grado de lbertad. 3) La línea de nfluenca del esfuerzo axal de la barra suprmda concde con la deformada del cordón nferor (consderado rígdo) cuando se da a la estructura un pequeño desplazamento compatble con ese grado de lbertad ntroducdo en la estructura. TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

40 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Ejemplo: Determnar la línea de nfluenca de la barra de la celosía del apartado anteror. Por lo que respecta al cordón superor, la fgura nferor muestra el mecansmo resultante de suprmr la barra, así como la deformada del cordón nferor al proporconar un pequeño desplazamento posble a este mecansmo (gro alrededor de las artculacones, G y J). De acuerdo con lo dcho anterormente, la línea de nfluenca de es la línea H J K L M G. N D E F H J K L M M H L K J G Línea de nfluenca TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

41 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

42 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

43 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

44 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

45 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

46 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

47 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

48 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

49 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

50 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

51 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: La línea de nfluenca es la deformada del cordón nferor TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

52 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Para acotarla numércamente basta con calcular un únco valor, pues el resto se deduce por puras consderacones geométrcas. Y así, colocando una carga undad en H, y suponendo que la barra trabaja a traccón: álculo de la reaccón en : J M G = 0 V 6l = 5l V = álculo del esfuerzo en. plcando el método de las seccones con el corte ndcado, aslando la parte zquerda J y tomando momentos respecto de J, resulta: M = 0 V 2l + N l l = 0 N = 2V = N D E F H J K L M M G Luego la ordenada de la línea de nfluenca en H es 2/3, y como se había supuesto que la barra trabajaba a traccón, realmente lo hace a compresón. H L V K J TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

53 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Ejemplo: Determnar la línea de nfluenca de la barra JK de la celosía del apartado anteror. Por lo que respecta al cordón superor, la fgura nferor muestra el mecansmo resultante de suprmr la barra, así como la deformada del cordón nferor al proporconar un pequeño desplazamento posble a este mecansmo (gro alrededor de las artculacones, G y J). De acuerdo con lo dcho anterormente, la línea de nfluenca de es la línea H J K L M G. D E F H J K L M N JK M G H K L Línea de nfluenca J TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

54 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

55 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

56 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

57 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

58 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

59 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

60 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

61 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

62 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

63 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

64 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

65 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

66 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: La línea de nfluenca es la deformada del cordón nferor TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

67 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Para acotarla numércamente se procede de la msma forma que en el caso anteror. olocando una carga undad en H, y suponendo que la barra trabaja a traccón: álculo de la reaccón en : M G = 0 V 6l = 5l V = 5 6 álculo del esfuerzo en JK. plcando el método de las seccones con el corte ndcado, aslando la parte zquerda J y tomando momentos respecto de, resulta: M = 0 V 2l N l l = 0 N = 2V = 2 3 D E F N JK G Luego la ordenada de la línea de nfluenca en H es 2/3, y la barra trabaja a traccón. H J K L M V H L M K J TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

68 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Ejemplo: Determnar la línea de nfluenca de la barra K de la celosía del apartado anteror. En cuanto a la dagonal K, la fgura muestra el mecansmo resultante de suprmr esta dagonal, así como la deformada del cordón nferor al proporconar un pequeño desplazamento posble a este mecansmo (en este caso al suprmr la dagonal del cuadrlátero DKJ, éste se dstorsona como un cuadrlátero artculado permanecendo rígda la celosía a ambos lados, lo cual mplca que debe grar alrededor de las artculacones y G exactamente el msmo ángulo). onsecuentemente, la línea de nfluenca de K es la línea H J K L M G. D E F H H J K L M N K J K L M G Línea de nfluenca TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

69 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase : Desplazamento relatvo de una parte de la celosía respecto de la otra Paralelogramo artculado TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

70 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase : Desplazamento relatvo de una parte de la celosía respecto de la otra TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

71 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase : Desplazamento relatvo de una parte de la celosía respecto de la otra TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

72 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase : Desplazamento relatvo de una parte de la celosía respecto de la otra TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

73 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase : Desplazamento relatvo de una parte de la celosía respecto de la otra TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

74 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase : Desplazamento relatvo de una parte de la celosía respecto de la otra TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

75 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase : Desplazamento relatvo de una parte de la celosía respecto de la otra TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

76 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase : Desplazamento relatvo de una parte de la celosía respecto de la otra TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

77 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase : Desplazamento relatvo de una parte de la celosía respecto de la otra TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

78 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase : Desplazamento relatvo de una parte de la celosía respecto de la otra TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

79 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase : Desplazamento relatvo de una parte de la celosía respecto de la otra TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

80 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase : Desplazamento relatvo de una parte de la celosía respecto de la otra TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

81 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase : Desplazamento relatvo de una parte de la celosía respecto de la otra El cordón nferor a ambos lados del paralelogramo artculado queda paralelo TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

82 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase 2: Gro respecto del apoyo zquerdo para respetar condcón de apoyo derecho TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

83 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase 2: Gro respecto del apoyo zquerdo para respetar condcón de apoyo derecho TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

84 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase 2: Gro respecto del apoyo zquerdo para respetar condcón de apoyo derecho TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

85 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase 2: Gro respecto del apoyo zquerdo para respetar condcón de apoyo derecho TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

86 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase 2: Gro respecto del apoyo zquerdo para respetar condcón de apoyo derecho TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

87 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase 2: Gro respecto del apoyo zquerdo para respetar condcón de apoyo derecho El cordón nferor a ambos lados del paralelogramo artculado queda paralelo TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

88 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Movmento del mecansmo: Fase 2: Gro respecto del apoyo zquerdo para respetar condcón de apoyo derecho La línea de nfluenca es la deformada del cordón nferor TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

89 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 4. Líneas de nfluenca en celosías sostátcas Para acotarla numércamente se procede de la msma forma que en el caso anteror. olocando una carga undad en H, y suponendo que la barra trabaja a traccón: álculo de la reaccón en : M G = 0 V 6l = 5l V = 5 6 álculo del esfuerzo en JK. plcando el método de las seccones con el corte ndcado, aslando la parte zquerda y planteando el equlbro vertcal: F y = 0 V N K = 0 N K = 2 ( V ) = H D E F N K K L M H J K L M J G Luego este es el valor de la ordenada de la línea de nfluenca en H, y la barra trabaja a compresón. V TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

90 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 5. Líneas de nfluenca de deformacones Una línea de nfluenca de una determnada deformacón en una estructura elástca lneal representa cómo varía esa deformacón a medda que una carga concentrada de valor undad se mueve a lo largo de la msma. Supongamos que se desea construr la línea de nfluenca para la deformacón vertcal en la seccón de la vga smplemente apoyada de la fgura. Un procedmento efcaz para construr esta línea de nfluenca (y por extensón, para obtener la línea de nfluenca de cualquer deformacón, sea flecha o gro), es el basado en el Teorema de Recprocdad de Maxwell. x X X y X y X a) b) S y X es la flecha en cuando la carga undad está aplcada en un punto arbtraro X de la vga, entonces y X representa, por defncón de línea de nfluenca, la ordenada en X de la línea de nfluenca de la flecha en. TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

91 Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao 5. Líneas de nfluenca de deformacones onsdérese ahora la carga undad colocada en, como se muestra en la fgura de la derecha, y sea Y X el valor de la flecha en X para esta carga undad en. Según el Teorema de Recprocdad de Maxwell, ha de cumplrse: y X = y X Esto quere decr que la flecha en X debda a una carga undad en (Y X ) tambén representa la ordenada en X de la línea de nfluenca representatva de la flecha en. Y, puesto que el punto X se ha elegdo de forma totalmente arbtrara, se concluye que: La curva elástca (deformada) de una estructura elástca lneal debda a la carga undad aplcada en un punto representa la línea de nfluenca de la flecha en el punto donde la carga untara está aplcada. Por consguente, para obtener la línea de nfluenca de una deformacón en un punto de una estructura, basta con colocar en ese punto la carga undad en la dreccón de la deformacón cuya línea de nfluenca se busca, y determnar la curva elástca de la estructura por cualquera de los procedmentos conocdos. TEORÍ DE ESTRUTURS: Tema 3: Líneas de nfluenca

92 TEORÍ DE ESTRUTURS TEM 3: LÍNES DE INFLUENI EN ESTRUTURS ISOSTÁTIS DEPRTMENTO DE INGENIERÍ MEÁNI - MEKNIK INGENIERITZ SIL ESUEL TÉNI SUPERIOR DE INGENIERÍ DE ILO UNIVERSIDD DEL PÍS VSO EUSKL HERRIKO UNIERTSITTE UPV/EHU Ingenartza Go Eskola Teknkoa Escuela Técnca Superor de Ingenería lbao