Funciones, límites y continuidad

Transcripción

1 Funciones, límites y continuidad Funciones Las funciones de una variable real son el principal objeto de estudio de este curso. Notación. Sea f : D f R R una función de una variable real. Entonces: D f = { R : f está definida en } es el dominio de f. y = f es la imagen de un punto D f por f. R f = {y R : D f tal que y = f} es el rango de f. fx = {y R : X tal que y = f} es la imagen de un conjunto X D f por f. f Y = { R : f Y } es la anti-imagen de un conjunto Y R f por f. Definición Composición. Sean f : D f R R y g : D g R R dos funciones de una variable real. Entonces la composición g f : D g f R R es la función dada por g f = gf. Es decir, primero se calcula f = imagen de por f, y luego gf = imagen de f por g. El dominio de la composición es D g f = { R : D f, f D g }. Observación. La composición no es una operación conmutativa: g f f g. Definición Inversa. Sea f : D f R R una función de una variable real. Diremos que f es: Inyectiva cuando no eistan dos puntos diferentes del dominio con la misma imagen; Ehaustiva cuando R f = R; y Biyectiva cuando sea inyectiva y ehaustiva simultáneamente. Si f : X R R es inyectiva y Y = fx es la imagen de X por f, entonces f : X Y es biyectiva y eiste una única función f : Y R R, denominada inversa de f, tal que f = y = f y. La inversa cumple que f f = para toda X y f f y = y para toda y Y. Es decir, f es la inversa de f respecto la composición. Ejercicio. Sea f : [0, ] R la función f = +. Dibujar la gráfica de f y dar sus simetrías. Calcular R f, fx y f Y, donde X = [/3, 3/4], Y = [ + 3 2, 2]. Ver que f : [0, /2] [, 2] es biyectiva y calcular la inversa f : [, 2] [0, /2]. Definición. Las funciones elementales simples son las constantes: k R; las potencias: n con n N o α con α 0 y > 0; las eponenciales: e y a = e ln a con a > 0; los logarítmos: ln y log a con a > 0; las trigonométricas: sin, cos, tan = sin cos y sus inversas arcsin, arccos, arctan ; las hiperbólicas: sinh, cosh, tanh y sus inversas argsinh, argcosh, argtanh. Las funciones elementales son las combinaciones finitas de funciones elementales simples mediante sumas, restas, productos, cocientes y composiciones. Ejemplo. Todos los polinomios son elementales. Las funciones cosec = sin, sec = cos, cotan = tan, y f = ep [ ] + cos + sinh ln cosh arctan +3 también lo son. Ejemplo 2. La función error erf = 2 π dt, la función de Dirichlet D, la función signo 0 e t2 sg, la función valor absoluto o la función parte entera E no son elementales, donde D = { 0, si Q, de lo contrario, sg =, si < 0 0, si = 0, si > 0, = y E = má{n Z : n }. Notamos que 2 = y E, = 2. Ejercicio. Dibujar las gráficas de las funciones D, sg, y E. {, si < 0, si 0,

2 2 Depositado en rafael/continuidadsin.pdf Límites Sea f una función definida en un entorno de un punto c. Sea L R. Damos cuatro definiciones del significado del símbolo lím c f = L, empezando por la más informal y terminando por la más formal, que es la que usaremos en el resto del curso. El símbolo anterior se lee así: L es el límite de f cuando tiende a c, o también f tiende a L cuando tiende a c. Definición Muy informal. L es el límite de f cuando tiende a c si y sólo si f está cerca de L cuando está cerca pero no es igual de c. Esta definición es poco precisa. Intentamos deshacer la imprecisión añadiendo un par de adverbios. Definición Informal. L es el límite de f cuando tiende a c si y sólo si f está arbitrariamente cerca de L cuando está suficientemente cerca pero no es igual de c. Lo cerca que debe estar de c depende de lo cerca que queramos que f lo esté de L, lo cual nos conduce a la tercera versión de la definición, más cuantitativa que la anterior. Definición Formal literaria. L es el límite de f cuando tiende a c si y sólo si dado un error arbitrario ɛ > 0, eiste una distancia δ = δɛ > 0 tal que si la distancia entre y c es menor que δ pero no es igual a c, entonces la distancia entre f y L es menor que ɛ. Definición Formal con símbolos. lím c f = L si y sólo si ɛ > 0, δ = δɛ > 0 tal que 0 < c < δ f L < ɛ. Esta definición corresponde a una de las quince situaciones en las que es posible formalizar la idea de límite. Las otras situaciones se obtienen al tener en cuenta las cinco formas en que podemos mover ver el primer cuadro y los tres tipos de valores que puede tomar un límite ver el segundo cuadro. Límite Normal Lateral izquierdo Lateral derecho A menos infinito A más infinito Símbolo lím f = lím f = lím f = lím f = lím f = c c c + + f definida en a, b c a, c c, b, b a, Condición 0 < c < δ c δ < < c c < < c + δ < N > N distancia Cuadro. Las cinco formas en que podemos mover. Valor del límite Finito Menos infinito Más infinito Símbolo lím f = L R lím f = lím f = + Condición error f L < ɛ f < M f > M Cuadro 2. Los tres posibles valores que puede tomar un límite. Definición. Si lím f no toma ninguno de los tres posibles valores listados en el segundo cuadro diremos que el límite no eiste. Ejercicio. Escribir las definiciones de las quince posibles variaciones. Por ejemplo: lím c f = L R si y sólo si ɛ > 0, δ = δɛ > 0 tal que c δ < < c f L < ɛ. lím c + f = si y sólo si M > 0, δ = δm > 0 tal que c < < c + δ f < M. lím + f = L R si y sólo si ɛ > 0, N = Nɛ > 0 tal que > N f L < ɛ. lím f = + si y sólo si M > 0, N = NM > 0 tal que < N f > M.

3 Depositado en rafael/continuidadsin.pdf 3 Observación. El cálculo de un límite de la forma c se puede reducir al cálculo de los dos límites laterales c ±, pues lím f = lím f = f. c c c + Por tanto, si alguno de los dos límites laterales c ± no eiste o ambos límites laterales eisten pero no coinciden, entonces el límite c no eiste. Definición. f tiene una asíntota vertical en = c cuando ambos límites laterales lím c ± f toman un valor infinito, sin importar ni el signo del infinito ni que coincidan ambos límites laterales. Y diremos que f tiene una asíntota vertical por la derecha respectivamente, por la izquierda en = c cuando el límite lateral por la derecha respectivamente, por la izquierda toma un valor infinito. Las operaciones básicas productos por escalar, sumas, restas, productos, cocientes y potencias y los límites se pueden permutar. Es decir, el límite de la suma es la suma de límites, el límite del producto es el producto de límites, etcétera. Las siguientes propiedades son ciertas para las cinco formas en que se puede mover por eso escribimos siempre y cuando ambos límites lím f y lím g eistan y tengan valores finitos:. lím k f = k lím f. 2. lím f ± g f ± lím g. 3. lím f g f lím g. 4. lím f n = lím f n. 5. lím f/g f/ lím g, si lím g 0. g lím g 6. lím f f, si lím f 0. Las siguientes situaciones también están determinadas: { a a ± = ±, = 0, a ±, si a > 0 = si a 0, a ± = 0, si a < 0, { a, si a > 0 = 0, si a < 0, 0a = a, log+ = +, log0 + =, a + = { 0, si 0 < a < +, si a >, 0 + = 0, a = a +. En algunas de estas fórmulas el signo del resultado se debe concretar en cada caso particular. Cuando lím f y/o lím g valen infinito o, en el caso del cociente y la potencia, cero aparecen indeterminaciones que complican sensiblemente el cálculo del límite. Las más típicas son: 0 0,, 0, +,, 0 0, 0. Observación. Todas estas indeterminaciones son equivalentes. Si aprendemos a resolver 0 0, entonces podremos reducir cualquier otra indeterminanción a esa. Efectivamente, pues: = / / = 0 0 = 0 / = 0 ; ep+ = e + e = 0 ; ln = ln = 0, ln0 0 = 0 log0 = 0 y ln 0 = 0 log = 0. Hay varias maneras de resolver una indeterminación 0 0. Dos de la más típicas son las siguientes: Cancelación: lím 3 Racionalización: lím = = 2. Teorema Bocadillo. Si tenemos tres funciones definidas en un entorno de un punto c tales que h f g para todo c ecepto, quizá, en = c y L c h c g, entonces lím c f = L.

4 4 Depositado en rafael/continuidadsin.pdf Observación. Este teorema es cierto, con las modificaciones lógicas, para los quince tipos de límite. Basta considerar una tostada en vez de un bocadillo cuando los límites tienen un valor infinito. Por ejemplo, si tenemos dos funciones tales que h f cuando c ecepto, quizá, en = c y lím c h = +, entonces lím c f = +. Ejemplo 3. Ahora ya podemos calcular dos de los límites indeterminados 0 0 más importantes del curso: sin cos lím =, lím = 2. Para calcular el primer límite basta comprobar gráficamente mediante trigonometría elemental que cos sin para todo π/2 < < π/2 y usar que lím 0 cos = cos0 =. Después, calculamos cos + cos cos cos 2 2 sin cos 0 + cos = 2. cos lím 0 2 Corolario. El producto de una función que tiende a cero y una función acotada, tiende a cero. Ejemplo 4. lím 0 sin/ = 0, pues sin/ está acotada y tiende a cero. Ejemplo 5. Acabamos con otros dos límites indeterminados cruciales: ln + lím =, lím + / = e. 0 0 El primero da lugar a una indeterminación 0 0 que se resuelve por la regla de l Hôpital del próimo tema. El segundo da una indeterminación que se resuelve calculando la eponencial del primero: [ ] [ ] ln + lím + ln + 0 / ep = ep lím = e. 0 0 Continuidad En los ejemplos 3 y 5 hemos usado, sin decirlo, que la función coseno es continua en = 0 y que la función eponencial es continua en =, luego conviene repasar el concepto de continuidad. Definición. Una función f definida en un entorno de un punto c R es continua en c si y sólo si lím c f = fc. Una función f : a, b R es continua en el intervalo abierto a, b si y sólo si f es continua en cuaquier punto de a, b. Una función f : [a, b] R es continua en el intervalo cerrado [a, b] si y sólo si f es continua en a, b, lím a + f = fa y lím b f = fb. Una función f definida en un intervalo de la forma c, b es continua en c por la derecha si y sólo si lím c + f = fc. La definición de continuidad por la izquierda es similar. Teorema. Si g es una función continua en L y lím c f = L, entonces lím gf = g lím f = gl. c c Es decir, de la misma manera que los límites y las operaciones básicas se pueden permutar, los límites y las funciones continuas también. Es algo que ya habíamos aplicado, sin decirlo, en el ejemplo 5. Las operaciones básicas entre funciones continuas, la composición de funciones continuas y la inversión de funciones continuas biyectivas dan lugar a funciones continuas:. f y g son continuas en c y k R k f, f ± g, f g y f/g si gc 0 son continuas en c. 2. f es continua en c y g es continua en fc g f es continua en c. 3. f es continua en c y f es invertible en un entorno de c f es continua en fc. Los polinomios y las funciones eponenciales, trigonométricas e hiperbólicas son continuas en sus respectivos dominios. Por tanto, cualquier función elemental es continua en su dominio. Esto se conoce como continuidad por generación. En particular, lím c f = fc para toda función elemental f, siempre y cuando la función f esté bien definida en el punto c. Definición. Si una función f definida en un entorno de un punto c R no es continua en c, entonces la discontinuidad es:

5 Depositado en rafael/continuidadsin.pdf 5. Evitable cuando lím c f eiste, pero su valor no coincide con fc. En tal caso, podemos conseguir que f sea continua en c simplemente redefiniendo fc : c f. 2. De salto cuando ambos límites laterales lím c ± f eisten, pero sus valores no coinciden. 3. Asintótica cuando alguno de los límites laterales es ± o no eiste. Observación. La función definida como f = sin/ si 0 y f0 = 0 tiene una discontinuidad asintótica en = 0, pero en cambio, no tiene una asíntota vertical en = 0. Notación. Dados dos números reales α y β, α, β es el intervalo cerrado de etremos α y β. Es decir, α, β = [α, β] si α β y α, β = [β, α] si β α. Teorema Valor intermedio. Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y fa fb, entonces f toma todos los valores entre fa y fb; es decir, u fa, fb, c a, b tal que fc = u. Definición. Los puntos en los que una función se anula son las raíces o ceros de la función. Teorema Bolzano. Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y fa fb < 0, entonces f tiene al menos un cero en el intervalo abierto a, b; es decir, c a, b tal que fc = 0. Corolario. Todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real. Método Bisección. Sea f : [a, b] R una función continua tal que fa fb < 0, luego sabemos que f tiene al menos un cero c a, b. Queremos diseñar un método que nos permita obtener aproimaciones de algún cero de f con tanta precisión como deseemos. La idea consiste en bisecar de ahí el nombre del método el intervalo original tantas veces como sea necesario, escogiendo tras cada bisección el subintervalo adecuado para poder asegurar que contiene un cero. Para eso, basta escoger el subintervalo tal que la función toma valores con signos distintos en sus etremos. El punto medio del intervalo final será el valor aproimado al cero que buscamos. El método es lento, pero nunca falla. Pregunta. Cuántos pasos se necesitan para conseguir una precisión ɛ? Se necesitan n pasos, con b a 2 n ɛ 2 n b a n ln 2 ln b a/ɛ n ln b a/ɛ. ɛ ln 2 Si [a, b] = [0, ] y ɛ = 0 5, entonces n ln0 5 / ln 2 6,6, luego se necesitan diecisiete pasos. Observación. Para calcular un cero con p decimales correctos, necesitamos la precisión ɛ = 0 p.