4.3 Cuál es el número máximo de arcos que puede tener un grafo no dirigido sin ciclos? Y cuál será para un grafo dirigido acíclico (GDA)?
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- Vicente Maldonado Molina
- hace 6 años
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1 Tm. Grfos. Do un árol xpnsión, rsultnt un rorrio sor un grfo no irigio, qué tipo ros (prt los l árol) pun prr si l rorrio s un úsqu n profuni o un úsqu n nhur? Qué ros prrán si l rorrio (n profuni o n nhur) s plio sor un grfo irigio?. Pusto qu l úsqu primro n profuni s quivlnt un rorrio n prorn un árol, un progrmor i implmntr l quivlnt un rorrio n postorn (orn postrior). Pr llo, moifi l proiminto pp hino qu l mr visito s stli l finl l mismo. Amás, ñ tmién l finl un instruión writ(v) pr qu s mustr l orn visit los noos. Es orrt st moifiión pr rlizr un rorrio n orn postrior? En so ngtivo, ómo s soluionrí?. Cuál s l númro máximo ros qu pu tnr un grfo no irigio sin ilos? Y uál srá pr un grfo irigio ílio (GDA)?. Implmntr l pru ilii n un grfo no irigio. S pu hr n un timpo O(n)? Sugrni: tnr n unt l rsulto l jriio ntrior.. Moifir l proiminto ntrior pr qu, n so nontrr qu xist un ilo, vulv n un list los lmntos qu formn l ilo nontro. S suponrá qu tnmos un tipo ListNoos, on oprions Anul (List), InsrtCz (noo, List) InsrtCol (noo, List), pr ñir un noo l prinipio y l finl l list, rsptivmnt.. Un pliión plnifiión vijs utiliz grfos irigios y tiqutos pr rprsntr un onjunto grn ius y minos o ruts érs ntr lls. En gnrl, los grfos utilizos srán poo nsos (s ir, l númro minos srá muho mnor qu (númro ius) ). Nsitmos qu l onsult ls rrtrs qu sln un iu y ls qu llgn l mism s rápi. ) Proponr un strutur rprsntión qu s fiint n unto uso mmori y timpo juión ls os oprions onsult ntriors. Tnr n unt qu nsitmos lmnr muh informión tnto pr ls ius (nomr, posiión, pís,...) omo pr los minos (tipo, istni...). ) Pr u l utilizión grfos irigios pr st prolm? Ponr rgumntos fvor y n ontr.. * Mostrr un ornión topológi pr l siguint grfo irigio ílio. L ornión otni s úni? En so ngtivo, mostrr otr ornión váli. (No s nsrio xplir l juión l lgoritmo.)
2 Tm. Grfos. * Convrtir óigo Psl l siguint frgmnto n psuoóigo: for noo y ynt x o Aión (y, x); Elgir un tipo rprsntión grfos ulquir, sriino su lrión tmién n sintxis Psl. (Si s utilizn lists, suponr ls oprions típis sor ls misms: Primro, Avnz, Fin...)..9 Suponr l grfo no irigio l siguint figur. Mostrr: ) El osqu xpnsión n profuni, mpzno n y n. ) El osqu xpnsión n mplitu, mpzno n y n. ) El árol xpnsión osto mínimo utilizno l lgoritmo Prim. ) El árol xpnsión osto mínimo utilizno l lgoritmo Kruskl. Son iguls ls soluions otnis n mos lgoritmos? En so ontrrio, son vális ls istints soluions? Por qué? g f h.0 Esriir un proiminto qu rli un úsqu primro n profuni sor un grfo irigio, y qu vz qu nuntr un rist qu no s l árol lul qué tipo s ( vn, rtroso o ru) y lo mustr por pntll.. Disñr un lgoritmo pr ontr l númro ilos simpls xistnts n un grfo no irigio. Cuál s l orn omplji st lgoritmo? Cuántos ilos pun hr omo máximo n un grfo ulquir?. Cómo s porí moifir l proiminto p (utilizo n l úsqu primro n nhur) pr rlizr un rorrio n profuni, rlizno un mio mínimo n l lgoritmo? Sugrni: onsirr l strutur tos utiliz.. Moifir l proiminto úsqu primro n profuni pr qu unt l númro árols l osqu ror n profuni. Amás, s lmnr n un rry MA[..n] l númro árol l qu prtn noo. S supon qu l primr árol gnro s l, lugo l y sí susivmnt.. Dmostrr qu l lgoritmo Dijkstr no funion uno ls rists pun tnr osto ngtivo, un uno no xistn ilos n l grfo. Sugrni: r un ontrjmplo un grfo irigio sin ilos n l qu l lgoritmo Dijkstr no é l rsulto orrto.
3 Tm. Grfos. Utilizr l lgoritmo Dijkstr pr nontrr los minos más ortos qu vn s l noo hst los rstnts noos, n l siguint grfo irigio. Mostrr los vlors S, D y P pr toos los psos juión l lgoritmo. f. En gnrl, os os noos v, w n un grfo ponro, pu xistir más un mino mínimo ntr mos (unqu nsrimnt toos tnrán l mismo ost). Explir ómo s moifir l lgoritmo Dijkstr pr ontr l númro minos mínimos istintos xistnts ntr un noo v y l rsto noos.. Dtrminr uál s l orn omplji l lgoritmo pr nontrr ls omponnts furtmnt onxs n un grfo irigio. Suponr qu l grfo tin n noos y rists, sino >n..8 Aplir l lgoritmo pr otnr ls omponnts furtmnt onxs pr l grfo l jriio 09. A prtir l rsulto otnio, mostrr l grfo ruio orrsponint..9 Mostrr l rsulto l pliión l lgoritmo Floy sor l siguint grfo irigio. Con l rsulto l lgoritmo, lulr uál s l noo más ntrl l grfo..0 * Moifir l lgoritmo Dijkstr pr qu, más lulr los minos mínimos ntr un noo y los más, tmién lul n otro rry L l númro
4 Tm. Grfos rists por ls qu ps uno los minos mínimos. Dir únimnt ls prts qu s n moifir l lgoritmo..* Moifir l lgoritmo Dijkstr pr qu, más lulr los minos mínimos ntr un noo y los más, tmién lul otro rry L oolnos, inino pr noo si su mino mínimo s l orign s únio o no. Dir únimnt ls prts qu s n moifir l lgoritmo.. Dmostrr qu l grfo ruio un grfo irigio G ulquir (l qu rprsnt omponnt onxo G on un noo) s simpr un GDA.. Un grfo no irigio G = (V, A), s i qu s iprtio si V s pu prtiionr n os suonjuntos V y V, mnr qu pr to rist (v, w) A, l noo v prtnz uno los onjuntos (V o V ) y w prtnz l otr prtiión. Proporionr un lgoritmo on timpo O(n+) pr ompror si un grfo s iprtio o no. Sugrni: usr un pp pr signr un prtiión ( ó ) noo visito. E j m p lo g r fo ip rti o. * Aplir l lgoritmo Kruskl sor l siguint grfo, mostrno l orn n qu son ñis ls rists l soluión. Si pliármos l lgoritmo Prim, pomos sgurr qu s otnrí simpr l mism soluión? Pomos sgurr qu l ost l soluión srí l mismo? Por qué? 8. * Pr srrollr l spifiión forml l TAD grfo irigio y tiquto isponmos los siguints onjuntos:
5 Tm. Grfos G M E N B U Conjunto grfos irigios y tiqutos Conjunto noos los grfos Conjunto vlors ls tiquts n ls rists Conjunto nturls Conjunto oolnos Conjunto mnsjs rror Esriir l prt sintxis orrsponint ls oprions qu son los onstrutors l tipo. Ponr tmién l sintxis lgun oprión moifiión y otr onsult sor l grfo.. Suponr qu stmos trjno on GDA. Es posil mjorr l fiini otni on l lgoritmo Dijkstr pr st tipo grfos? Cómo srí l moifiión st lgoritmo pr onsguir l mjor? I: hr uso l ornión topológi, pr slionr los noos ntr los nitos.. * En l spifiión forml l TAD GrfoNoDirigio, por l métoo lgrio, tnmos finios los siguints onstrutors l tipo: GrfoVío: G // Cr un grfo vío InsrtArist: GxN xn G // Añ l rist (N, N ) l grfo Mostrr ls fórmuls qu rín prr n l prt smánti pr l siguint oprión onsult, qu ompru si l rist (N, N ) prtn l grfo o no: ExistArist: GxN xn B S suponn los onjuntos: G: Conjunto grfos no irigios N: Conjunto noos (N=N =N ) B: Conjunto vlors oolnos= {tru, fls}.8 Disñr un lgoritmo pr nontrr l ilo simpl más lrgo n un grfo irigio, psno por un vérti o v. Cuál s l omplji st lgoritmo?.9 * Mostrr los puntos rtiulión l siguint grfo. Cuáls son los omponnts ionxos? 8.0 Un ríz un GDA s un vérti r tl qu toos los noos l grfo pun lnzrs s r (s ir xistn minos ntr r y l rsto noos). Esriir un proiminto pr trminr si un GDA pos un ríz.
6 Tm. Grfos. * Pr los siguints tipos grfos, ir si son ionxos o no, y uál s su ontivi: Grfo on strutur nillo. Grfo on strutur árol. Grfo omplto, on n noos.. Construir un lgoritmo pr vlur xprsions ritmétis rprsnts mint GDA. Suponr qu tnmos lmn un tiqut pr noo ETIQ[..n] on los vlors (+, -, *, A, B,..., Z). Los vlors pr ls vrils son otnios llmno un funión VlorVril (rátr): Rl. Sugrni: lmnr l vlor noo n un rry VALOR[..n].. Enontrr un ornión topológi pr l siguint grfo. Mostrr los psos juión l lgoritmo. Es úni st ornión o xistn otrs ornions vális? s g h. Un prolm plnifiión trs s rprsnto utilizno GDA. Los noos ontinn trs rlizr y ls rists inin l prni trs (si tnmos <v, w>, ntons w no pu mpzr hst qu hy o v). Ests rists son tiquts on un osto, qu ini l timpo nsrio pr r l tr qu s z l rist (n st so v). Existn os noos stos, Iniio y Finl, pr inir l prinipio y l finl l pln. Pusto qu tos ls trs s n rlizr nsrimnt pr r l pln, l prolm funmntl onsist n lulr l longitu l mino más lrgo ntr Iniio y Finl, qu srá l timpo mínimo n jutr l pln. ) Compror qu un simpl moifiión l lgoritmo Dijkstr (usno máximos n lugr mínimos) no rsulv l prolm lulr l mino más lrgo. ) Proponr un lgoritmo pr lulr l longitu l mino más lrgo ntr los noos Iniio y Finl, tnino n unt qu trjmos on GDA. Cuál s l orn omplji l lgoritmo?. L signión númros n orn topológio (num_top) pu sr rliz on un rorrio n profuni. Si G s un GDA, ntons l orn trminión ls llms rursivs pp (orn postrior) s un orn topológio invrso. L numrión s pu rlizr signno N l primr noo n slir pp, N- pr l siguint y sí susivmnt. Es ir, llvrímos un ontor qu mpiz n N y v rino hst. Dmostrr qu l orn otnio st form s un orn topológio. i f t
7 Tm. Grfos. * En un pliión qu us grfos tiqutos, qurmos prmitir qu pu xistir más un rist ntr os noos (v, w). Tnrímos lo qu s nomin multigrfo. Cuál ls struturs rprsntión grfos s pt más fáilmnt st moifiión? Justifir l rspust rvmnt. n Ejmplo multigrfo tiquto. Aplir l lgoritmo pr lulr los puntos rtiulión sor l grfo l siguint figur. Suponr qu l úsqu primro n profuni mpiz s l noo. h j f i k g.8 Supongmos un grfo no irigio y onxo on N noos. Cuál s l máximo vlor posil ontivi pr st grfo? A qué tipo grfo orrspon? Cuál s l númro mínimo rists nsrio pr qu l grfo s ionxo, s ir, qu no tng puntos rtiulión?.9 Implmntr l lgoritmo pr l úsqu puntos rtiulión n un grfo no irigio, moifino ls prts us l proiminto pp l úsqu primro n profuni. Cuál s l orn omplji l lgoritmo?.0 En l lgoritmo pr lulr los puntos rtiulión un grfo no irigio, pusto qu l oniión l punto no s pu umplir pr los noos hoj l árol xpnsión n profuni, s pu onluir qu ls hojs nun srán puntos rtiulión. Dmostrr qu st onlusión s irt, sin usr ls propis l lgoritmo omnto.. Cuál s l osto, n l por so, l lgoritmo pr lulr l flujo máximo n un grfo irigio? Suponr qu l grfo tin n noos, rists y stmos usno l primr vrsión ls vists n ls (qu no prmit shr minos).
8 Tm. Grfos. Aplir l lgoritmo flujo máximo sor l grfo l jriio, otnino l grfo G F flujos rsultnts. Aplir l lgoritmo qu prmit shr minos.. * Enontrr los omponnts furtmnt onxos l siguint grfo irigio. Con l rsulto otnio, mostrr l grfo ruio orrsponint. D A B C E F. * Do l siguint iujo líns, s posil iujrlo on un olígrfo, psno un y sólo un vz por lín y sin lvntr l olígrfo l ppl (puino mpzr y r n sitios istintos)? En so firmtivo, iujrlo n l orn uo. En so ngtivo, mostrr por qué no s posil.. * Mostrr un jmplo grfo no irigio on ontivi y qu tng ino noos o más. Cuántos noos hy qu liminr pr sontr l grfo?. * Pr rsolvr l prolm los minos mínimos ntr ulquir pr noos s pu usr l lgoritmo Floy o l lgoritmo Dijkstr rptio n vs (un vz por noo orign). Cuáno srá más rápi un u otr opión, n unto órns omplji (usno ls implmntions vists n ls)?. * Do l siguint GDA, lulr los omponnts furtmnt onxos y l grfo ruio orrsponint. 8 A l vist l rsulto, pomos stlr lgun rlión gnrl ntr un GDA y su grfo ruio? Cuál? Por qué? 8
9 Tm. Grfos.8 * Elgir un lgoritmo pr lulr l árol xpnsión ost mínimo. Mostrr los psos juión ( form rv) y l rsulto otnio pr l siguint grfo. En gnrl, n l so on tos ls rists tinn l mismo ost K, qué onlusions pomos xtrr sor l árol xpnsión ost mínimo?.9 * Pr rprsntr ls rists un grfo irigio y tiquto usmos un strutur isprsión irt on M uts. D un rist <v, w> on tiqut E(v, w), l funión isprsión s h(v, w). Comprr, mint un tl, l ntrior strutur on ls mtris y lists yni, pr l mmori oup y l timpo ls oprions úsqu un rist y ontr l númro rists. Los grfos tinn n vértis y rists. Suponr ls más onstnts qu s onsirn nsris..0 * Dmostrr qu l siguint proposiión s irt o r un ontrjmplo n so sr fls. PROPOSICIÓN: Do un grfo no irigio G ulquir: L ontivi G s k toos los vértis G tinn gro k o myor 9
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