Preguntas básicas de geometría computacional. comp-420

Transcripción

1 Preguntas básicas de geometría computacional comp-420

2 Bibliografía Joseph O Rourke. Computational Geometry in C. Cambridge University Press Mark de Berg, et al. Computational Geometry. Algorithms and Applications. Springer Verlag 1997.

3 Operaciones básicas Dados dos segmentos de recta p 1 p 2 y p 1 p 3, cuál está en sentido horario o sentido antihorario de cuál? Dados p 1 p 2 y p 2 p 3, el camino p 1 p 2 p 3 hace una vuelta a la izquierda o a la derecha? Dados p 1 p 2 y p 3 p 4, hay un punto en el cuál estos segmentos intersectan?

4 Representación del tipo punto Algunas notaciones (de O Rourke): identificadores de tipo empiezan con t. las constantes definidas aparecen en mayúsculas. los sufijos i y d indican entero (int) o doble punto flotante (double) respectivamente. en expresiones matemáticas usaremos p 0 y p 1 para indicar p[0] y p[1].

5 Representación del tipo polígono Un polígono es una región del plano acotada por una colección finita de segmentos de recta formando una curva cerrada simple. Sean v 0, v 1, v 2,..., v n-1, donde n es el número de puntos en el plano. Suponemos la aritmética de los índices ser mod n, implicando un orden cíclico de los puntos, donde v 0 sigue a v n-1 ya que (n-1)+1 n 0(mod n). Sean e 0 = v 0 v 1, e 1 =v 1 v 2,..., e n-1 =v n-1 v 0, n segmentos de recta conectando los puntos. Estos segmentos acotan al polígono si y solo si: La intersección de cada par de segmentos adyacentes en orden cíclico es el único punto compartido por los segmentos, Segmentos no adyacentes no tiene intersección.

6 Área de un triángulo Área de un triángulo: bh/2 base: a-b altura? Cualquier triángulo puede verse como medio paralelogramo.

7 Producto vectorial El producto vectorial o producto cruz de dos vectores <x 1,y 1 > y <x 2,y 2 > es el número: <x1,y1> x <x2,y2> = x1y2 - x2y1. Que geométricamente representa el área del paralelogramo creado por los dos vectores:

8 Producto vectorial El significado geométrico del signo del producto cruz es:

9 Área de un triángulo Si hacemos A = b-a y B = c-a, entonces el área del triángulo es la mitad de la magnitud de AxB. Donde î, ĵ y k son vectores unitarios en las direcciones de x, y y z respectivamente.

10 Representación Área de del un triángulo tipo polígono

11 Representación Área de del un triángulo tipo polígono

12 Representación Área de un polígono del tipo polígono convexo

13 Representación Área de un cuadrilátero del tipo polígono convexo

14 Representación Área de un cuadrilátero del tipo polígono convexo

15 Representación del tipo polígono Área desde cualquier punto central, interno o externo

16 Representación Área de un polígono, del tipo convexo polígono o

17 Representación Área de un polígono, del tipo convexo polígono o

18 Representación Intersección de del segmentos tipo polígono de recta

21 Representación del tipo polígono Intersección de segmentos de recta: LEFT

22 Representación Implementación del tipo de polígono LEFT

23 Representación Intersección? del tipo polígono

27 Envolvente convexo (convex hull) Los tres puntos están en sentido contrario a las manecillas del reloj si y solo si: la línea (a,b)(c,d) tiene una pendiente menor que la línea (a,b)(e,f): que se puede escribir también como: Si los puntos están en sentido horario se invierte la desigualdad. Si los puntos son colineales (supondremos que este caso no sucederá), las dos expresiones son iguales. tomado del curso de Jeff Erickson de la U. de Illinois

28 Envolvente convexo (convex hull) Otra forma de pensar la prueba de sentido de los puntos es calcular el producto cruz de dos vectores: (c,d)-(a,b) y (e,f)-(a,b), definido por un determinante de 2x2: Mismo papel que comparaciones en algoritmos de ordenamiento. Convex hull de 3 puntos, análogo a ordenamiento de dos números.

29 Envolvente convexo (convex hull) El algoritmo para calcular CH(P ) se basa en su estructura de aristas: Los puntos extremos p y q de cada arista son puntos de P. Si esta arista está dirigida de tal forma que CH(P ) esté a la derecha, entonces todos los puntos de P deben estar a la derecha de esta linea. El argumento inverso es también cierto, si todos los puntos de P \{p, q} está a la derecha de la línea dirigida entre p y q, entonces pq es una arista de. CH(P ) p q

30 Algoritmo Algorithm SLOWCONVEXHULL(P) Input. A set P of points in the plane. Output. A list L containing the vertices of CH(P) in clockwise order. 1. E /0. 2. for all ordered pairs (p,q) P P with p not equal to q 3. do valid true 4. for all points r P not equal to p or q 5. do if r lies to the left of the directed line from p to q 6. then valid false. 7. if valid then Add the directed edge pq to E. 8. From the set E of edges construct a list L of vertices of CH(P), sorted in clockwise order.

31 Envolvente convexo (convex hull) Cómo se puede verificar que los puntos estén a la derecha o a la izquierda de una línea dirigida? en los algoritmos de geometría computacional suponemos esta operación como una de tiempo de ejecución constante. Cómo se puede construir una lista, a partir de las aristas, ordenada en el orden de las manecillas del reloj? Las aristas en E son dirigidas, por lo que tenemos un origen y un destino. Como las aristas están dirigidas de tal forma que los otros puntos estén a su derecha, el vértice destino viene después del origen cuando están ordenados en sentido de las manecillas del reloj.

32 Envolvente convexo (convex hull) destination of e 1 = origin of e 2 e 1 e 2 origin of e 1 Una implementación simple del procedimiento de la línea 8 toma pero se puede mejorar a O(n lg n). O(n 2 ) El resto del algoritmo domina el tiempo total de ejecución. Verificamos n 2 n pares de puntos. Para cada par miramos n 2 puntos para encontrar los que están del lado derecho. Esto hace en total O(n 3 ). La operación de la línea 8 toma algoritmo es. O(n 3 ) O(n 2 ) por lo que la complejidad total del

33 Envolvente convexo (convex hull) Algunos detalles sobre este algoritmo: verificar co-linearidad en los puntos que no están a la derecha. errores de punto flotante que no permitan determinar de manera correcta la configuración de los puntos en el plano. en este caso habrá problemas al tratar de reconstruir la representación del convex hull. q r p q r p

34 Envolvente convexo (convex hull) Agregamos los puntos uno a uno, actualizando la solución después de cada adición. Los puntos se agregan de izquierda a derecha por lo que primero se ordenan de acuerdo a su coordenada x, obteniendo una secuencia ordenada ~~~~~~~~~~que establece el orden en que son añadidos. p 1,p 2,...,p n Al estar trabajando de izquierda a derecha sería también conveniente tener los puntos de la envolvente convexa ordenados de izquierda a derecha. Como esto no es el caso encontramos primero la parte superior de la envolvente (upper hull - que va de izquierda a derecha) y luego el lower hull. upper hull p i p 1 p n lower hull points deleted

35 m Algoritmo C O N V E X H U L L A e A e v S o r t e o o r d i n a t e g a P u t e a w i t h e fi r s t A p p e n d m o r e a n o e e a k e a h t D e l e t e e m i d d l e e e m P u t e a w e r w i t h e fi r s t A p p e n d w e r w e r m o r e a n e e w e r a k e a h t D e l e t e e m i d d l e e e m w e r R e m o v e e fi r s t e m w e r a v e w h e r e e w e r e e t A p p e n d w e r e g Algorithm (P) Input. set P ofpoints in th plane. Output. list containing th ertices ofch(p) in clockw ise order. 1. th points byx-c, resu ltin in sequence p 1,..., p n. 2. th points p 1 and p 2 in list L upper, p 1 as th point. 3. for i 3 to n 4. do p i to L upper. 5. while L upper contains th tw points and th la st th re points in L upper do notm rig tu rn 6. do th ofth la st th re points fro L upper. 7. th points p n and p n 1 in list L lo, p n as th point. 8. for i n 2 downto 1 9. do p i to L lo. 10. while L lo contains th 2 points and th la st th re points in L lo do not rig tu rn 11. do th ofth la st th re points fro L lo. 12. th and th la st pointfro L lo to oid duplication ofth points th upperand lo hullm. 13. L lo to L upper, and callth resu ltin list L. 14. return L

36 Algoritmo incremental: casos degenerados not a right turn Un punto tiene la misma coordenada x que otro punto. En este caso podemos ordenarles primero respecto a x y luego respecto a y. Los tres últimos puntos pueden ser co-lineares. En este caso, el punto intermedio no debería ocurrir en el envolvente convexo. Estos casos se tratan como si fueran vuelta a la izquierda. Errores de redondeo o de punto flotante resultarán en un polígono convexo pero no necesariamente el correcto.

37 Envolvente convexo (convex hull) El envolvente convexo de un conjunto de puntos n en el plano se puede calcular en tiempo O(n lg n). Prueba por inducción: antes del ciclo for, la lista contiene a los puntos p 1 y p 2, que trivialmente forma el envolvente superior de {p 1,p 2 }. L upper Supongamos que contiene los vértices del envolvente superior de {p ~~~~~~~~~~y 1,...,p i 1 } vamos a agregar p i. Después de ejecutar el ciclo while, sabemos que tendremos una cadena con solamente vueltas a la derecha. Además sabemos que esta cadena empieza en el punto extremo izquierdo y termina en el punto extremo derecho de {p 1,...,p i }. Si probamos que todos los puntos de están debajo de la cadena, entonces L upper que no estén en es correcta. {p 1,...,p i } L upper L upper

38 Envolvente convexo (convex hull) Por inducción sabemos que no había punto más arriba de la cadena antes que fuera añadido. p i empty region p i p i 1 Ordenamiento: O(n lg n) Ciclo for: O(n) Ciclo while: O(n)

39 Algoritmo incremental: casos degenerados Primera etapa: Entender la geometría del problema, ignorar los casos degenerados. Segunda etapa: Ajustar el algoritmo a los casos degenerados. Tratar de generalizar y no resolver caso por caso. Tercera etapa: Implementación, especial atención a redondeos y puntos flotantes.