TEMA 11: ESTUDIO LOCAL Y GLOBAL DE FUNCIONES. OPTIMIZACIÓN

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1 TEMA 11: ESTUDIO LOCAL Y GLOBAL DE FUNCIONES. OPTIMIZACIÓN ESTUDIO DE LA MONOTONÍA DEF.- Una función es CRECIENTE en un intervalo I del dominio de la función si: x1 < x2 I f ( x1 ) f ( x2). Si se cumple con < estricto se dice ESTRICTAMENTE CRECIENTE y si se verifica: x1 < x2 I f ( x1 ) f ( x2) se dice DECRECIENTE y en sentido estricto > ESTRICTAMENTE DECRECIENTE. DEF.- Una función es CRECIENTE en un punto x del dominio de f si es creciente en un entorno de dicho punto que pertenece al dominio. TEOREMA 1: CRITERIO ESTUDIO DE LA MONOTONÍA (CONDICIÓN SUFICIENTE) Sea f una función sea I un intervalo abierto dentro del dominio de f. Si f es derivable en dicho intervalo entonces: 1.- Si f ʹ ( x) > x I f es estrictamente creciente en I 2.- Si f ʹ ( x) < x I f es estrictamente decreciente en I Dem: En el primer caso basta fijarse en que la derivada coincide con la pendiente de la recta tangente es por hipótesis es positiva y por tanto la función es estrictamente creciente en I. OBS.- Es condición suficiente pero no necesaria, así, ya que hay funciones que no tienen derivada positiva ni negativa, de hecho, ni existe y se puede ver si son crecientes o no. x si x < 1 EJ: f x = No es derivable en el punto x=1 y se puede analizar su 2x 1 si x 1 monotonía sin aplicar el criterio directamente. EJ 1: 1

2 ESTUDIO DE LOS EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS DEF.- Diremos que una función tiene un MÁXIMO RELATIVO en un punto x del dominio de f cuando en un entorno de dicho punto todos los valores que toma la función son más pequeños que f ( x ) y tendrá un MÍNIMO RELATIVO en un punto x si los valores que toma la función en un entorno de x son mayores que f x ) ( Se dirá que x es MÁXIMO ABSOLUTO de f si f ( x ) = max f ( D) con D dominio de f Se dirá que x es MÍNIMO ABSOLUTO de f si f ( x ) = min f ( D) con D dominio de f TEOREMA 2: EXISTENCIA DE EXTREMO RELATIVO (CONDICIÓN NECESARIA) Sea f una función y sea I intervalo abierto del dominio de f. f es derivable en un punto x I y f tiene extremo relativo en x f ʹ ( x ) = Dem: Supongamos que f (x! ) entonces ó f es estrictamente creciente o decreciente en un entorno del punto y por tanto no puede tener extremos ya que debería haber un cambio de la monotonía en x TEOREMA 3: CRITERIO PARA HALLAR EXTREMOS RELATIVOS CON LA 1ª DERIVADA Nos situamos en un punto x del dominio de f y f es derivable en un entorno del punto x : Para x< x Para x< x f tiene un extremo relativo en x f ʹ ( x) > f ʹ ( x) < f ʹ ( x) < f ʹ ( x) > EJ 2: x es máximo relativo de f x es mínimo relativo de f 2

3 TEOREMA 4: CRITERIO PARA HALLAR EXTREMOS RELATIVOS CON 2ª DERIVADA (CONDICIÓN SUFICIENTE) Sea f dos veces derivable en un punto x del intervalo I del dominio de f y se verifica que f ʹ ( x ) =. Entonces: 1.-Si f ʹ ʹ ( x ) > f tiene un mínimo relativo en x 2.- Si f ʹ ʹ ( x ) < f tiene un máximo relativo en x Dem: Veamos el primer caso f ʹ ʹ ( x ) > f es creciente en x, por otro lado f ʹ ( x ) = así f será negativa a la izquierda y positiva a la derecha de x y por tanto f crece a la izquierda y decrece a la derecha de x así f tiene un mínimo relativo en x OBS.- Hay funciones donde el criterio 4 no sirve ya que la segunda derivada puede ser cero, así sucede con f(x)=x 3 en x=. Para solucionarlo aplicaremos el criterio 3 EJ 3: ESTUDIO DE LA CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN DEF.- Una función es CÓNCAVA HACIA ARRIBA (CONVEXA) en un intervalo (a,b) cuando la recta secante que une los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) está siempre por encima de la gráfica de f en dicho intervalo. Y se dice CÓNCAVA HACIA ABAJO (CÓNCAVA) en (a,b) si dicha recta secante está siempre por debajo de la gráfica de f en dicho intervalo. Una función es CÓNCAVA ó CÓNVEXA en un punto xsi es cóncava ó convexa en un entorno de dicho punto x Una función f presenta un PUNTO DE INFLEXIÓN en x=a cuando en dicho punto cambia su curvatura: pasa de ser cóncava a convexa o al revés: Existe α> tal que f es cóncava en (a-α,a] y convexa en [a,a+α) ó al revés. 3

4 TEOREMA 5: CRITERIO DE LA 1ª DERIVADA Sea f un función e I intervalo dentro del dominio de f y f es derivable en I. Se tiene: 1.- Si f x es creciente en I f es convexa en I 2.- Si f x es decreciente en I f es cóncava en I TEOREMA 6: CRITERIO DE LA 2ª DERIVADA (CONDICIÓN SUFICIENTE) Sea f un función e I intervalo dentro del dominio de f y f es dos veces derivable en I. Se tiene: 1.- Si f x > en I f es convexa en I 2.- Si f (x) < en I f es cóncava en I Dem: Veamos el primer caso, así supongamos f x > así f es creciente en x así f que coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva es creciente y por tanto la función será convexa EJ 4: TEOREMA 7: EXISTENCIA DE PUNTOS DE INFLEXIÓN (CONDICIÓN NECESARIA) Sea f un función e I intervalo dentro del dominio de f y f es dos veces derivable en a I. Se tiene: 1.- Si x=a es punto de inflexión de f f a = Dem: Supongamos que f a entoces o es positiva y por tanto convexa o es negativa y por tanto cóncava así no podría haber punto de inflexión. 4

5 TEOREMA 8: CRITERIO DE LA 2ª DERIVADA PARA ESTUDIAR LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN (CONDICIÓN SUFICIENTE) Sea f tres veces derivable en un punto x del intervalo I del dominio de f y se verifica que f ʹ ʹ ( x ) = Entonces: 1.-Si f ʹ ʹ ʹ ( x ) > f tiene un punto de inflexión en x que pasa de cóncavo a convexo 2.- Si f ʹ ʹ ʹ ( x ) < f tiene un punto de inflexión en x que pasa de convexo a cóncavo Dem: Veamos el primer caso. Así si f ʹ ʹ ʹ ( x ) > entonces f crece en x y como f ʹ ʹ ( x ) = será negativa a la izquierda del punto y positiva a la derecha y por tanto hay un cambio de curvatura, punto de inflexión, de cóncavo a convexo. EJ 5: 5

6 CUADRO RESUMEN NOMBRE CANDIDATOS VALOR RESULTADO Monotonía --- Si f ʹ ( x ) > Extremos relativos Si f ʹ ( x ) < f ʹ ( x ) = Si f ʹ ʹ ( x ) > Si f ʹ ʹ ( x ) < Curvatura --- Si f ʹ ʹ ( x ) > f CRECE en x f DECRECE en x x es un MÍNIMO REL de f x es un MÁXIMO REL de f f CONVEXA en x Puntos de inflexión Si f ʹ ʹ ( x ) < f CÓNCAVA en x f ʹ ʹ ( x ) = f ʹ ʹ ʹ ( x ) x es un P.I. de f ESTUDIO COMPLETO DE FUNCIONES 1. Tipo de función 2. Dominio e imagen de la función 3. Puntos de corte con los ejes OX y OY 4. Simetrías: Par o impar 5. Periodicidad 6. Asíntotas: Verticales, horizontales y oblicuas 7. Monotonía: Crecimiento y decrecimiento 8. Extremos relativos y absolutos: Máximos y mínimos 9. Curvatura: Concavidad, convexidad y puntos de inflexión EJ 6: 6

7 INCISOS SOBRE: Puntos de corte con los ejes Simetrías Eje OX: resolvemos y= Eje OY: resolvemos x= PAR o simetría respecto eje OY: f(x)=f(-x) IMPAR o simetría respecto del origen O: f(x)=-f(-x) Periodicidad. Una función es periódica de periodo k, si k es el menor valor positivo que cumple la condición f(x)=f(x+k). Así el estudio queda reducido al intervalo [x,x+k] ya que el resto de la gráfica será una traslación paralela al eje OX Asíntotas: Se llama ASÍNTOTA de una curva y=f(x) a la recta que tiene la propiedad de que la distancia entre un punto de la curva y otro de la recta tiende hacia cero cuando el punto de la curva se aleja infinitamente del origen de coordenadas. OBS.- Cuando un punto de la función se aleja infinitamente del origen se dice que describe una rama infinita de la función. Verticales: La recta x=a es una AV de la curva y=f(x) cuando se verifica que lim!! f x = ± con s = a, a! ó a! (el límite en el punto a o un lateral al menos es más o menos infinito. OBS.- En las funciones racionales serán los puntos que anulan al denominador pero no al numerador, generando expresiones en el límite! con k. Si anula a ambos tendremos indeterminación!! y será un punto de discontinuidad evitable no existiendo AV! EJ 7: Horizontales: La recta y=b es una AH cuando lim f x = b R! ± EJ 8: 7

8 Oblicuas: Para que haya una AO se debe cumplir lim f x = ± y así la! ± recta y=mx+n será una AO de la función f(x) si se cumple:!! m = lim R y m n = lim! ±!! ± ser finito y distinto de cero y n finito) EJ 9: f x mx R (m debe - Si m ó n fuesen infinito la función tendría una rama parabólica (rama infinita que no tiene asíntota) OBS.- Una función no puede tener simultáneamente asíntotas horizontales y oblicuas. OBS.- La gráfica de una función puede cortar tanto las AH como las AO, nunca las AV (éstas últimas se dibujan con líneas discontinuas para resaltar que no puede ser cortada por la gráfica de f. OPTIMIZACIÓN A través del cálculo de máximos y mínimos de funciones podemos resolver problemas en muchas disciplinas científicas. Nuestro objetivo puede ser, por ejemplo, maximizar una comisión de una venta, minimizar los gastos de producción Seguiremos los siguientes pasos: 1. Se plantea la función a maximizar o minimizar llamada FUNCIÓN OBJETIVO: máx (ó mín) f(x,y )= 2. Si la función tiene más de una variable hay que relacionar dichas variables por ecuaciones que vendrán dadas por condiciones impuestas 3. Se expresa la función objetivo dependiente de una única variable y se hallan los máximos y mínimos 4. Se interpretan los resultados EJ 1: 8