Un Resumen Teórico. Matemática I
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- Ana Belén Arroyo Carrasco
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1 U Resume Teório De Mtemáti I WhittiLeks Los putes que ellos o quiere que seps de
2 Oture 26 WhittiLeks Teório Notió: [, ] (, ) Df Im( f ) Y (Ad) O (Or) Es idétio Perteee /Es u elemeto de Por lo tto/por ede Porque/Deido que Igul mteril/ es lo mismo que deir Etoes Itervlo errdo Itervlo ierto Domiio de f Imge de f tls de itegrles imedits, Tylor fmosos, regls de operioes o itegrles defiids/limites, et. Agrdeimietos Fede por prestrme putes reietes. C C Derivle vees o otiuidd Es otiu Ddo f C, se deerí leer de l siguiete mer: L fuió f perteee ls fuioes derivles o otiuidd. Que serí lo mismo que deir: L fuió f es derivle Como se suele deir e Mtemáti I Not del editor: Creo que les será útil pesrlo de est mer y que es omú que e los priles les pid pror que u fuió es derivle e u puto. Esto se he prodo que l derivd de l fuió(es) es otiu e ddo puto o por defiiió de l derivd. e (, ]: f es otiu e el itervlo f C ierto de hst, y otiu e Putos Files Est versió o iluye tems osiderdos demsido demes visulmete omo solidos de revoluió y sum de Riem. Este resume es purmete teório, fltr omplemetr el estudio o l memorizió de ls
3 Oture 26 WhittiLeks Teório Se A ; A y k Cots Si k x, x A k es ot superior Si k x, x A k es ot iferior El Supremo es l meor de ls ots superiores Si el supremo A se llm tmié Máximo El Ífimo es l myor de ls ots iferiores Si el ífimo (, ) E(, ) A se llm tmié Míimo E (, ) E E (, ) (, ) { } Etoro ; u etoro de etro y rdio se puede esriir: U Etoro Reduido es quel que o iluye el etro: Limite Fiito Defiiió: lim f( x) L El límite de l fuió x f( x) es L udo x tiede. () Si lim f ( x) f ( x) es ifiitesimo (if) e x x (2) Si lim f ( x) L f est otd e lgu etoro x (3) Si f es if e g est otd e u etoro lim f ( x). g( x) x (4) Se f ( x) h( x) e E ( x ) g( x) h( x) e E ( ) Si lim f ( x) lim g( x) L lim h( x) L ( T.Sdwih) x x x Limites Idetermidos. Cotiuidd f ( x) es otiu e x lim f ( x) f ( ) x Si lim f ( x) L pero L f ( ) f tiee x disotiuidd evitle e x lim f ( x) lim f ( x) f tiee disotiuidd eseil e x x x Disotiuiddes Eseiles () lim f ( x) lim f ( x) f tiee u slto ifiito e x x x (2) Si uo o mos limites lterles tiede ifiito, f tiee u sitot vertil e x Defiiió f es otiu e u itervlo errdo [, ] () f otiu e (, ) x (, ) (2) f es otiu por izquierd de, ose lim f ( x) f ( ) x (3) f es otiu por dereh de, ose lim f ( x) f ( ) x De u form similr podemos deir que f es otiu e u itervlo [, ) meiodo los putos () y (2), si eesidd de ver el limite por l dereh de e (3) Teorem de Weierstrss Se f ( x) otiu e [, ] x [, ] / f ( x ) es miimo soluto e [, ] y x [, ] / f ( x ) es mximo soluto e [, ] Teorem de Bolzo Se f ( x) otiu e [, ] / f ( ) f ( ) (, ) / f ( ) Deimos que f tiee l meos u riz e (, ) Corolrio del Teorem de Bolzo Se f ( x) otiu e [, ] / f ( x) x (, ) f mtiee el sigo e (, ) Teorem del Vlor Medio de Cotiuidd Se f ( x) otiu e [, ] ( ), ( ) ( ), ( ) d f f d f f (, ) / f ( ) d Derivd e u Puto Derivd e u puto Ddo que f C e el puto x f x f ( x) ( ) f '( x ) lim xx x x C es u otió pr idir que l derivd es otiu.
4 Oture 26 WhittiLeks Teório Altertivmete se he u sustituió y teemos: x x x : f '( x ) lim f x x f x x ( ) ( ) x Est últim puede resultr más útil que l primer pr oteer l derivd de ierts fuioes de form más fáil. Ret tgete u urv e u puto x y f '( ). x T Ret orml u urv e x yn x f '( ) Teorem:. f C x f es otiu e f C x f f (, ) (, ) e pero '( ) ( ) es u puto guloso Derivd de Fuió Ivers Usdo lgus propieddes de fuioes iverss podemos demostrr lo siguiete: Derivmos f f ( x) x f f ( x). f '( x) f Pr eotrr f sustituimos y f ( x) rri f f ( x) ( y) f '( x) Opers o est prte f '( x) Teorem de Rolle f otiu e [, ]; f derivle e (, ) / f ( ) f ( ) (, ) / f '( ) Teorem del Vlor Medio de Lgrge f otiu e [, ] f derivle e (, ) f ( ) f ( ) (, ) / f '( ) Teorem de Vlor Medio de Cuhy f g otius e [, ] f g derivles e (, ) / g '( x) x (, ) f '( ) f ( ) f ( ) (, ) / g '( ) g( ) g( ) Regl L Hospitl (l Hôpitl) f g otius e [, ] f g derivles e (, ) / g '( x) x (, ) lim f ( x) lim g( x) xx xx f '( x) lim L (L fiito o ifiito) xx g'( x) f( x) lim L xx gx ( ) L regl de L Hospitl puede ser plid sore u disotiuidd evitle y e el so tto omo pr el so mostrdo. De á opers o l derivd pr que te quede el ldo izquierdo de l iguldd totlmete e fuió de y. Vertil Asítots Derivds Implíits Si derivs u fuió que otiee x, e ye fuió de x, l y se omport omo u fuió. Ver Regls. d ( y ) y y ' Aproximió Liel por Difereil Queremos proximr f e u puto x, ooemos el vlor de f y f ' e u puto proximo x Se x x Difereil f ( x ) f '( ). x f ( ) e x lim f ( x) x Horizotl y Asitot Horizotl lim f ( x), Oliu x Alizr Ifiitos f( x) y mx Asitot Oliu lim m, m x x lim f ( x) mx, x Alizr Ifiitos
5 Oture 26 WhittiLeks Teório Creimieto y Dereimieto f reiete e (, ) f ( x ) f ( x ) dode x x 2 2 f estritmete reiete e (, ) f ( x ) f ( x ) dode x x f dereiete e (, ) f ( x ) f ( x ) dode x x f estritmete dereiete e (, ) f ( x ) f ( x ) dode x x Mooto Estritmete Teorems 2 2 f estritmete reiete e (, ) f '( x), x (, ) f estritmete dereiete e (, ) f '( x), x (, ) f reiete e (, ) f '( x), x (, ) f dereiete e (, ) f '( x), x (, ) Extremos x es u Mximo Reltivo f ( x) f ( x ), x E ( x ) x es u Miimo Reltivo f ( x) f ( x ), x E ( x ) Teorem f otiu e [, ] y derivle e (, ), x (, ) f tiee u extremo reltivo e x f '( x ) Se deomi putos ritios dode se ul l derivd Si f '( ) f '( ) es puto ritio de f Si f ( ) f ( ) es puto de iflexio de f f otiu e [, ]; f derivle e (, ) Brrig pr rri f ''( x) x (, ) f ( x) es ov x (, ) f otiu e [, ]; f derivle e (, ) Brrig pr jo f ''( x) x (, ) f ( x) es ovex x (, ) Si f ( x ) f ( x) x Df f tiee mximo soluto e x Si f ( x ) f ( x) x Df f tiee miimo soluto e x 2 2 f puede teer extremos solutos tto e dode hy u extremo reltivo omo e los ordes de Df U fuio f Tylor puede ser represetd omo u poliomio P de orde e u puto si es derivle vees, tl que vlg: f ( ) P( ) f '( ) P'( ) ( ) ( ) f ( ) P ( ) (derivdo Defiiió vees) Deomimos P ( x) el poliomio tylor de f de orde etrdo e, el ul est defiido de l siguiete mer: ( k ) f ( ) P( x) T f ( x), x ( k)! k ( ) f ''( ) 2 f ( ) f ( ) f '( ).( x ) ( x ) x (2)! ( )! Error/Resto de l Aproximió por Tylor Defiiió R ( x) E ( x) f ( x) T f ( x), x f ( x) P ( x) Formul del Resto de Lgrge ( ) f () R ( x).( x x )! Dode ( x, x ) ( x, x) L gri de l formul es otr detro ules vlores puede estr el error, trjdo o u modulo R ( x) Pr ver omo ot l fuio, o se us el modulo: Si el error es egtivo, l fuió ot e exeso f ( x) P ( x) Si el error es positivo, l fuió ot por defeto f ( x) P ( x) x / f ( x) C Primitivs Defiiió f ( x) F '( x) F es u primitiv de f k
6 Oture 26 WhittiLeks Teório Propiedd f ( x) F( x) / primitivs de f f tiee ifiits primitivs Itegrl Defiid lim f ( xi). xi f ( x) i sum de Riem difereil Pr que u fuio f se itegrle () o itegrle por trmos(2) : () f C e el itervlo [, ] (2) Si f o es otiu, tiee que teer u umero fiito de disotiuiddes y sus limites e los ordes de los trmos tiee que existir y o puede ser ifiitos. Defiiió f ( x) f ( x) Propieddes () f ( x) (2) f ( x) g( x) x [, ] f ( x) g( x) (3) (, ) f ( x) f ( x) f ( x) Teorem del Vlor Medio de Itegrles f x C ( ) e [, ] (, ) / f ( x) f ( ).( ) Teorem Fudmetl del Clulo Se e u itervlo f C [, ] Se H l fuio defiid x [, ] / H ( x) f ( t) H '( x) f ( x) ; x [, ] Corolrio (Brrow) Se e u itervlo f C [, ] Se F l primitiv de f x [, ] f ( t) H ( ) H ( ) x Corolrio 2 Se h u fuio derivle ulquier h( x) Se F l primitiv de f x / F( x) f ( t) F '( x) f h( x). h'( x) Operió importte h( x) h( x) ( x) f ( t) f ( t) f ( t) g ( x) g ( x) g ( x) h( x) ( x) f ( t) f ( t) '( x) f g( x). g '( x) f h( x). h'( x) Métodos de Itegrió Método Sustituió Si f tie primitiv F y se quiere lulr: f g( x). g '( x) t g( x); g '( x) ( ). '( ) ( ) ( ) ( ) f g x g x f t F t F g x Itegrió por Prtes udv uv vdu u di vi u v si ol vestid de uiforme f C e [, ] S f '( x) Logitud de Aro Dode S es l Logitud de Aro pr f de hst Imge 2 Biyetividd Se f u fuio mooto Si lim f ( x) lim f ( x) d x x Im( f ) (, d) f C e [, ] f :[, ] [, d] Pror dmisió de Ivers Se f u fuio mooto f es fuio Biyetiv y dmite ivers e [, ]
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