DPTO. FISICA APLICADA II - EUAT

Transcripción

1 Capítulo 6 Estática de fluidos 6.1. Introducción La segunda parte del curso está dedicada al estudio de los fundamentos físicos de las instalaciones arquitectónicas. Los temas 6 y 7 tienen por objeto, respectivamente, el estudio del comportamiento estático y dinámico de los fluidos, que colectivamente se conoce como Mecánica de Fluidos. Las aplicaciones de la Mecánica de Fluidos en el ámbito de la construcción son muy variadas. Por ejemplo: redes de tuberías para el agua o el gas, embalses (de líquidos e incluso de tierras), piscinas, etc Sólidos, ĺıquidos, gases La materia suele presentarse en uno de los siguientes tres estados, llamados estados de agregación: sólido, líquido y gaseoso. Las propiedades físicas que presenta la materia en estos estados están estrechamente ligadas a la intensidad de las interacciones entre las partículas (átomos o moléculas) que constituyen la materia. Así, tenemos que: En un sólido, la interacción entre las partículas es tan fuerte que éstas ocupan posiciones fijas en un retículo tridimensional (red cristalina) y sólo están permitidos movimientos oscilatorios de pequeña amplitud en torno a sus posiciones de equilibrio. Consecuencia de ello es que los sólidos tienen forma y volumen propios, siendo éste último prácticamente invariable frente a cambios de presión (incompresible) y de temperatura (no dilatable). En un líquido, la interacción entre las partículas es más débil que la existente en los sólidos, por lo que éstas no ocupan posiciones fijas en una red sino que tienen cierta libertad para moverse. En consecuencia, los líquidos carecen de forma propia, adoptando la del recipiente que los contiene. Sin embargo, como los sólidos, tienen volumen propio y son poco compresibles y dilatables. sólido ĺıquido 165

2 166 Estática de fluidos da df n df t gas A los gases y a los líquidos se les denomina genéricamente fluidos. Sin embar- go, la clasificación precisa de una substancia como fluido se efectúa en función de su respuesta a la aplicación de un esfuerzo cortante. Supongamos que sobre una substancia se aplica una fuerza distribuida sobre una cierta superficie. Sea df la fuerza que se ejerce sobre un área infinitesimal da. Dicha fuerza puede descomponerse en una componente normal, df n, y otra tangencial, df t (fig. 6.1). Se denomina esfuerzo 1 a la fuerza que actúa por unidad de área: τ = d F da. (6.1) El esfuerzo normal y el esfuerzo cortante son, respectivamente, las componentes normales y tangenciales del vector esfuerzo: fluidos df FIGURA 6.1: Componentes normal y tangencial de una fuerza. h 0 y x (a) c FIGURA 6.2: Comportamiento de un sólido elástico (a) y de un fluido (b) ante la aplicación de un esfuerzo cortante. V (b) c En un gas, por último, la interacción entre las partículas es muy débil y puede ignorase habitualmente. Este hecho se traduce en que los gases carecen de forma y volumen propios (tienden a ocupar todo el volumen disponible) y se comprimen y dilatan con facilidad. A temperatura ambiente y presión atmosférica, los gases son típicamente 1000 veces menos densos que los sólidos y los líquidos Concepto de fluido τ n = d F n da, (6.2) τ c = d F t da. (6.3) En este contexto, una substancia se clasifica como fluido si se pone en movimiento, deformándose, bajo la acción de un esfuerzo cortante, sin importar cuán pequeño sea éste, y continúa deformándose hasta que cesa el esfuerzo cortante. El comportamiento de los fluidos frente a un esfuerzo cortante es, por tanto, completamente distinto al que presentan los sólidos. Un sólido, como el que se muestra en la fig. 6.2a, puede resistir un esfuerzo cortante mediante una deformación estática, de magnitud x, proporcional al esfuerzo cortante aplicado, siendo τ c x h. (6.4) Cuando el esfuerzo cortante aplicado cesa, el sólido recupera su forma original. Consideremos en cambio un fluido alojado entre dos placas planas paralelas (fig. 6.2b). Según dicta la experiencia, las partículas de fluido en contacto con una superficie sólida se adhieren a la misma y se desplazan con la velocidad de ésta (condición de no deslizamiento). Por tanto, si se aplica una fuerza horizontal sobre la placa superior (y = h) se estará también ejerciendo un cierto esfuerzo cortante sobre la capa superior de fluido. De acuerdo con la definición de fluido, éste no podrá entonces permanecer en reposo y se pondrá en movimiento. Experimentalmente se observa que el esfuerzo cortante aplicado es proporcional a la velocidad V que adquiere la placa y la capa de fluido superior τ c V h. (6.5) 1 En ciertos textos, a la fuerza por unidad de superficie se le denomina tensión.

3 6.2 Algunas propiedades de los fluidos 167 El fluido continuará moviéndose hasta que cese todo esfuerzo cortante. Sin embargo, cuando esto ocurra, el fluido no recuperará su forma original sino que quedará permanentemente deformado. El comportamiento de los sólidos que hemos descrito al principio es el de los sólidos elásticos. Los llamados sólidos plásticos tienen un comportamiento intermedio entre sólidos y fluidos. Dichos materiales pueden resistir mediante una deformación estática esfuerzos cortantes que no superen un cierto valor límite y no estén actuando durante un período de tiempo prolongado. Sin embargo, cuando se supera dicho límite o el esfuerzo se aplica durante largo tiempo, el sólido plástico fluye deformándose permanentemente Algunas propiedades de los fluidos El estudio de los fluidos pueden efectuarse desde dos puntos de vista distintos: macroscópico o microscópico. El punto de vista que adoptamos aquí es el macroscópico. Éste es el enfoque que adopta la mecánica de los medios continuos, que considera al fluido como un medio continuo sin espacios vacíos, tal como aparece a nuestros sentidos, ignorando partículas materiales (átomos o moléculas) que los constituyen. Por tanto, cuando hablemos de partícula de fluido o partícula fluida nos estaremos refiriendo a una porción de fluido con dimensiones infinitesimales comparadas con el volumen total, pero suficientemente grande como para poder asumir un punto de vista macroscópico, es decir, la partícula fluida contendrá un número muy elevado de las partículas materiales que constituyen el fluido. Por el contrario, el enfoque microscópico del estudio de los fluidos considera que la materia está formada por átomos o moléculas y obtiene las propiedades macroscópicas de los fluidos como promedio sobre un gran número de estas partículas materiales. Así, por ejemplo, la temperatura puede relacionarse con la energía cinética media de los átomos o moléculas. Ésta es la forma de proceder de la teoría cinético-molecular y de la mecánica estadística. Presentamos seguidamente algunas de las propiedades más relevantes de los fluidos desde un enfoque macroscópico Densidad Se define la densidad ρ como ρ = lím V 0 m V. (6.6) donde m es la masa contenida en el volumen V. En el SI la densidad se mide en kg/m 3. Físicamente no podemos hacer V 0, ya que a medida que V se hace muy pequeño, la masa contenida en V variará de manera discontinua dependiendo del número de átomos o moléculas que haya en V. En realidad, el cero en la definición de densidad debería reemplazarse por un cierto volumen límite por debajo del cual la hipótesis del continuo falla. Para todos los líquidos y gases a presión atmosférica, un valor típico de dicho volumen límite es 10 9 mm 3. Por ejemplo, 10 9 mm 3 de aire en condiciones normales contiene aproximadamente moléculas, lo cual es suficiente para definir una densidad constante de acuerdo con la ec. (6.6). Este volumen es, a su vez, el volumen más pequeño que podemos considerar para una partícula fluida. partícula de fluido densidad

4 168 Estática de fluidos peso específico Típicamente, la densidad de los gases es unas mil veces menor que la de los líquidos. Por ejemplo, la densidad del aire a presión atmosférica y 15 C de temperatura es 1,23kg/m 3. La del agua es 10 3 kg/m 3. La densidad de un fluido puede variar en el espacio y en el tiempo. Si la densidad es la misma en todos los puntos del fluido, el fluido se dice que es homogéneo. En caso contrario, se dice que es heterogéneo Peso específico Se define el peso específico γ como γ = lím V 0 mg V, (6.7) donde g es el módulo de la aceleración debida al campo gravitatorio terrestre en la superficie de la tierra (g = 9,8 m/s 2 ). El peso específico es pues el peso por unidad de volumen. Las unidades de peso específico en el SI son N/m 3. La relación entre el peso específico y la densidad es γ = ρg Viscosidad En el seno de un fluido en movimiento surgen esfuerzos normales y cortantes entre una partícula fluida y sus vecinas. Tales esfuerzos frenan o aceleran la partícula fluida, de forma que por su acción la partícula tiende a igualar su velocidad con la de las partículas que la rodean. Estos esfuerzos están relacionados con la propiedad del fluido denominada viscosidad. La viscosidad es una propiedad importantísima en dinámica de fluidos. Como veremos más adelante, la viscosidad controla la cantidad de fluido que puede ser transportada por una conducción y las pérdidas de energía que se producen asociadas a este transporte. Además, su valor es decisivo para que en el flujo se produzcan o no turbulencias. En esta sección centraremos nuestra atención sobre los esfuerzos cortantes viscosos. Consideremos nuevamente el fluido confinado entre dos placas paralelas mostrado en la fig. 6.2b. Según ya se ha visto, la aplicación de un esfuerzo cortante sobre la capa superior de fluido (y = h) pone en movimiento a la misma con una velocidad V, siendo el esfuerzo cortante proporcional a razón V/h. Debido la viscosidad del fluido, la capa de fluido superior ejerce un esfuerzo cortante sobre la capa subyacente, tirando de la misma y poniéndola a su vez en movimiento. Este hecho se repite en las capas inferiores consecutivas hasta alcanzar la placa inferior (y = 0). La velocidad del fluido junto a la placa inferior es cero, por encontrarse ésta en reposo. En las capas intermedias, se observa que la velocidad del fluido es proporcional a su distancia a la placa inferior, de forma que v(z) = V z. (6.8) h Por analogía con la capa de fluido superior, en las capas de fluido intermedias también existirá un esfuerzo cortante debido a la viscosidad, de valor τ c v(z) = V z h. (6.9) De forma más general, los esfuerzos cortantes de origen viscoso que surgen entre capas de fluidos que se mueven a distinta velocidad satisfacen la denominada ley de la viscosidad de Newton, ley de la viscosidad de newton

5 6.2 Algunas propiedades de los fluidos 169 τ c = η dv dz, (6.10) La constante de proporcionalidad η se denomina coeficiente de viscosidad dinámica o, simplemente, viscosidad dinámica del fluido. De esta manera, la viscosidad es una propiedad física del fluido que caracteriza la resistencia al deslizamiento relativo de capas contiguas del fluido. La magnitud dv/dz representa el cambio de velocidad en la dirección normal a la de la propia velocidad y se denomina gradiente de velocidad o razón de deformación. Teniendo en cuenta la ec. (6.8), la razón de deformación del fluido en el ejemplo que estamos considerando es precisamente dv/dz = V/h. Las unidades de τ c en el SI son N/m 2 (ó Pa). Las unidades de η son pues Pa s. En el sistema cegesimal la unidad empleada es el poise (p), 1 poise = 1 dina s/cm 2. El factor de conversión al SI es: 10 poise = 1 Pa s. Relacionada con la viscosidad dinámica, la viscosidad cinemática se define como ν = η/ρ, donde ρ es la densidad del fluido. Sus dimensiones en el SI son m 2 /s, mientras que en el sistema cegesimal es el stoke (st), 1 stoke = 10 4 m 2 /s. La ec. (6.10) es aplicable a los fluidos newtonianos, tales como el agua, el aire o el aceite. Existen otros fluidos (fluidos no-newtonianos) en los cuales el esfuerzo cortante viscoso no es directamente proporcional a la razón de deformación, sino que guarda otro tipo de relación más compleja (fig. 6.3). Ejemplos de fluidos no newtonianos son los fluidos pseudoplásticos (sangre, leche, cemento antes de fraguar) y los fluidos dilatantes (almíbar). Por otro lado, también existen fluidos en los que el esfuerzo cortante que ha de aplicarse para mantener una razón de deformación constante (dv/dz = cte) cambia en el tiempo (fig. 6.4). Tales fluidos se clasifican como fluidos tixotrópicos (ciertos tipo de pinturas, cementos y hormigones) ó fluidos reopécticos (substancias bituminosas). No obstante, lo que sí es común para todos los fluidos es que los esfuerzos cortantes debidos a la viscosidad sólo aparecen cuando existe un gradiente de velocidad. En caso de que la velocidad sea constante o, simplemente, el fluido esté en reposo, tales esfuerzos no existirán. La viscosidad de un fluido depende de su temperatura. En los líquidos la viscosidad disminuye conforme aumenta la temperatura, mientras que en los gases sucede lo contrario. La dependencia con la temperatura es, además, mucho más fuerte en líquidos que en gases. El motivo de este distinto comportamiento se debe a que en los líquidos la viscosidad se ve influenciada principalmente por las fuerzas de cohesión que existen entre sus moléculas, mientras que en los gases las fuerzas de cohesión son despreciables y son las colisiones entre moléculas las que provocan los esfuerzos internos de fricción. En caso de que los efectos de la viscosidad en un fluido puedan despreciarse (matemáticamente, cuando la viscosidad tiende a cero) se dice que el fluido es un fluido perfecto. En el seno de un fluido perfecto no hay esfuerzos cortantes de origen viscoso. Si, además, la densidad es constante en todos sus puntos, se dice que es un fluido ideal Compresibilidad El volumen de un fluido depende de la presión y de la temperatura a la que se encuentre. La compresibilidad de un fluido viene caracterizada por su coeficiente de compresibilidad, que mide la variación (por unidad de volumen) del volumen del fluido con la presión a temperatura constante. coeficiente de viscosidad dinámica George Gabriel Stokes (Skreen, 1819; Cambridge, 1903): Matemático y físico irlandés que contribuyó a la ciencia de la hidrodinámica con su ley de viscosidad. Stokes investigó el movimiento de fluidos incompresibles, la fricción en los fluidos y el movimiento elástico de los sólidos. plástico ideal razón de deformación esfuerzo cortante dilatante newtoniano pseudoplástico FIGURA 6.3: Dependencia del esfuerzo cortante con la razón de deformación en fluidos newtonianos, nonewtonianos y en plásticos. esfuerzo cortante tiempo reopéctico tixotrópico newtoniano FIGURA 6.4: Variación en el tiempo del esfuerzo cortante que ha de aplicarse para mantener una razón de deformación constante en el fluido. fluido perfecto fluido ideal compresibilidad

6 170 Estática de fluidos tensión superficial < π_ 2 θ > π_ 2 FIGURA 6.6: Ángulo de contacto en la interfaz para un ĺıquido que moja la pared del recipiente (izda.) y otro que no moja dicha pared (dcha.). Todos los fluidos se comprimen en cierta medida cuando se ejerce sobre ellos una presión, y el resultado de dicha compresión se manifiesta como un incremento de su densidad. La compresibilidad de los gases es bastante aparente. Por el contrario, las presiones requeridas para cambiar el volumen de un líquido son tan elevadas que éstos pueden considerarse prácticamente incompresibles. Así, por ejemplo, para causar un cambio del 1% en la densidad del agua se requiere una presión de Pa (aproximadamente 210 atmósferas). Sin embargo, pequeños cambios en la densidad de un líquido pueden ser muy significativos si están presentes cambios de presión grandes. Por ejemplo, el efecto llamado golpe de ariete se produce al cerrar rápidamente una válvula en una tubería, lo que da lugar a un aumento súbito de presión junto a la válvula. Se genera entonces una onda de presión interna que se propaga aguas arriba a lo largo de la tubería, se refleja en el extremo, y retorna de nuevo hacia la válvula, repitiéndose este movimiento de forma periódica. Como resultado, se produce un sonido de martilleo debido al movimiento de la tubería cuando la onda se refleja en la válvula cerrada Tensión superficial y capilaridad Las moléculas situadas en la superficie de un líquido están sujetas a fuerzas atractivas de cohesión ejercidas por las moléculas vecinas, de forma que la superficie se encuentra en un estado de tensión similar al que se tiene en una membrana. Debido a esta tensión, la superficie libre de un líquido tiende a ser mínima. Para ilustrar el efecto de esta tensión podemos considerar el experimento que se muestra en la fig Un alambre en forma de U está cerrado por otro alambre recto, de longitud d, que puede deslizar sin fricción sobre el primero. Si colocamos una delgada película de líquido sobre el alambre, la película tiende a colapsar a causa de la tensión de su superficie. Para evitarlo, es necesario ejercer sobre el alambre móvil una fuerza proporcional a su longitud, tal que F = σ2d. (6.11) El coeficiente de proporcionalidad σ recibe el nombre de coeficiente de tensión superficial o, simplemente, tensión superficial. El factor numérico 2 es debido a que la película de líquido posee dos caras, por lo que la fuerza ha de ser también doble. La tensión superficial depende de la naturaleza del líquido, del medio que lo rodea y de la temperatura. En general, la tensión superficial disminuye con la temperatura, pues las fuerzas de cohesión disminuyen al aumentar la agitación térmica. La tensión superficial tiene dimensiones de fuerza por unidad de longitud y, por tanto, se mide en N/m. Para el agua a 15 C su valor es σ = 0,0741N/m. Cuando un líquido entra en contacto con las paredes del recipiente, el líquido adopta una forma curva que se denomina menisco (fig. 6.6). La formación del menisco se debe a que las moléculas del líquido no solo interaccionan con el resto del fluido (fuerzas de cohesión) sino también con las moléculas de la pared sólida del recipiente (fuerzas de adhesión). La forma final que adopta el menisco surge de la competencia entre las fuerzas de cohesión y de adhesión. El menisco se caracteriza por el ángulo de contacto entre la pared y el líquido. Así, si el ángulo de contacto es θ < π/2 se dice que el líquido moja la pared, y si θ > π/2 el líquido no moja la pared. El ángulo de contacto entre el agua y el vidrio limpio es θ = 0, lo que corresponde a una mojabilidad perfecta.

7 6.3 Presión 171 película de fluido varilla deslizante d F película de fluido varilla deslizante La curvatura que adopta la interfaz líquido-aire en el equilibrio da origen a una sobrepresión p en el líquido debido a tensión superficial. A consecuencia de esta sobrepresión, el nivel de un líquido en un tubo capilar (tubo de pequeño diámetro) difiere del nivel del mismo líquido en un vaso ancho comunicante con aquel. El nivel del líquido en el tubo capilar es más alto (más bajo) que en el vaso comunicante si el líquido moja (no moja) sus paredes (fig. 6.7). La magnitud de la elevación capilar está dada por 2σ cosθ h = γr, (6.12) donde σ es la tensión superficial, γ el peso específico y R el radio del capilar. El fenómeno del ascenso capilar del agua es de suma importancia en construcción. Así, los cimientos de las estructuras pueden humedecerse por la acción de la capilaridad sobre las aguas freáticas, provocando la corrosión del acero de refuerzo usado en estos. Cuando los niveles de ascenso capilar son muy altos, el agua puede alcanzar las paredes de la edificación, generándose problemas en los ladrillos y los acabados de la edificación Presión Concepto y unidades Según hemos visto en la sección anterior, los únicos esfuerzos que pueden estar actuando sobre un fluido en reposo son esfuerzos normales. Dichos esfuerzos son de compresión y definen la presión, p, en un punto del fluido según p = τ n = d F n da, (6.13) donde df n es la fuerza normal que actúa sobre el área elemental da que contiene al punto. Nótese que la presión es una magnitud escalar. Su unidad fundamental en el SI es el newton por metro cuadrado (N/m 2 ) o pascal (Pa). Como el pascal es una unidad de presión muy pequeña, frecuentemente se expresa la presión en kilopascales (kpa) o megapascales (MPa). Por ejemplo, la presión de la atmósfera a nivel del mar es 101,2 kpa. Otras unidades de presión habitualmente usadas y sus equivalencias son: FIGURA 6.5: Experimento para ilustrar la existencia de las fuerzas de tensión superficial. Si no actúa ninguna fuerza, las fuerzas de tensión superficial de la peĺıcula de fluido hacen que la varilla deslizante esté en la posición de la izquierda. Sólo si actúa una fuerza se logra estirar la peĺıcula de fluido como se ilustra a la derecha. FIGURA 6.7: Elevación capilar de un ĺıquido que moja la pared (izda.) y de otro que no moja la pared (dcha.). presión pascal

8 172 Estática de fluidos FIGURA 6.8: Equilibrio de una cuña elemental de fluido en reposo. Por claridad se omiten las fuerzas de presión paralelas al eje x. Evangelista Torricelli (Faenza, 1608; Florencia, 1647): Físico italiano que investigó el vacío y construyó el primer barómetro de mercurio. presión manométrica presión absoluta p dxdz y z dz dx dl dw dy x p dxdy z p dldx Atmósfera (atm o atmos), es la presión promedio en la atmósfera de la Tierra a nivel del mar. 1 atm = 101,325 kpa 10 5 Pa. Baria (ba), es la unidad de presión CGS. 1 baria = 1 dina/cm 2 = 0,1 Pa. Bar (b). 1 bar = 10 5 Pa 1 atm. Milímetro de mercurio (mm Hg ó torr, es la presión que ejerce sobre su base una columna de mercurio de un milímetro de altura a nivel del mar. 760 mmhg = 1 atm. Frecuentemente, los valores de la presión suelen darse referidos a la presión atmosférica local. Dicha presión se denomina presión manométrica, p man, p man = p p atm. (6.14) y puede adquirir valores tanto positivos como negativos. En contraste, la presión absoluta, p, siempre es positiva y sólo alcanza el cero cuando se logra un vacío ideal, esto es, cuando no quedan moléculas o átomos en un espacio Presión en un punto La presión en un punto de un fluido en reposo se ha definido como el módulo de la fuerza normal dividida entre el área infinitesimal sobre la que actúa. Cabe preguntarse si el valor de la presión así obtenido se modificaría al cambiar la orientación del área infinitesimal. Para mostrar que esto no sucede, consideremos el elemento de volumen en forma de cuña, que se muestra en la fig Sea p θ la presión que actúa sobre la cara de área dxdl, dispuesta con inclinación θ, y sean p y y p z las presiones que actúan sobre las caras vertical y horizontal, de áreas respectivas dxdy y dx dz. Por sencillez, supondremos que la única fuerza de volumen presente es el peso de la cuña, de módulo dw = 1 dxdy dzρg. (6.15) 2 Según vimos en la sección V-A del capítulo 2, la nulidad de la resultante de las fuerzas que actúan sobre un sistema material es condición necesaria de y

9 6.3 Presión 173 equilibrio para dicho sistema. Si exigimos esta nulidad para las componentes y y z de las fuerzas presentes resulta, Teniendo en cuenta que p y dxdz p θ dxdl sen θ = 0, (6.16) p z dxdy p θ dxdl cosθ 1 dxdydzρg = 0. (6.17) 2 las ecuaciones (6.16) y (6.17) quedan como dz = dl senθ, (6.18) dy = dl cosθ, (6.19) p y p θ = 0, (6.20) p z p θ 1 dzρg = 0. (6.21) 2 El último término de la segunda ecuación es un infinitésimo que puede despreciarse frente a los otros sumandos. Resulta entonces, p y = p z = p θ, (6.22) cualquiera que sea el ángulo θ. Si la orientación de la cuña fuese a lo largo del eje x en lugar del eje y, un razonamiento similar conduciría a p x = p z = p θ. (6.23) Puesto que la orientación de los ejes x e y es arbitraria, podemos entonces concluir que la presión en un punto es independiente de la orientación del área infinitesimal elegida en su definición. En otras palabras, la presión es una función del punto. La ec. (6.13) no puede usarse como definición de presión en un fluido en movimiento, pues en estos existen esfuerzos normales de naturaleza viscosa que dependen de los gradientes de velocidad, y éstos son diferentes en cada dirección de espacio. Por tanto, el valor de la presión que se obtendría a partir de (6.13) dependería (aunque en general débilmente) de la orientación elegida para da. Sin embargo, en los flujos incompresibles, que serán los que trataremos aquí, puede demostrarse que el promedio de los esfuerzos normales que actúan según las tres direcciones del espacio es independiente de la razón de deformación del fluido. Por dicho motivo, en los fluidos en movimiento, se define la presión como p = 1 3 ( τ nx + τ ny + τ nz ). (6.24) En un fluido perfecto, sin viscosidad, los esfuerzos viscosos están ausentes tanto si el fluido está en reposo como si está en movimiento. En tal caso, la definición de presión según (6.13) sigue siendo válida.

10 174 Estática de fluidos FIGURA 6.9: Equilibrio de una partícula de fluido en reposo en el seno de un campo gravitatorio. Por claridad se omiten las fuerzas de presión paralelas al eje x. Brook Taylor (Edmond, 1685; Londres, 1731): Matemático inglés. El desarrollo que lleva su nombre era ya conocido por James Gregory (Drumoak (Aberdeen), 1638; Edimburgo, 1675). x z p( x,y _ dy,z) dxdz 1 2 dx p( x,y,z+ _ 1 dz) dxdy dy 2 ( x,y,z) dw p( x,y,z _ 1 dz ) dxdy 2 dz p( x,y+ _ 1 dy,z) dxdz 6.4. Ecuación fundamental de la estática de fluidos en el campo gravitatorio Consideremos una partícula de fluido de forma paralelepipédica centrada en el punto de coordenadas (x, y, z) (fig. 6.9). Si el fluido está en reposo, la partícula estará sometida a la acción de fuerzas normales sobre cada una de sus seis caras y, además, la fuerza de volumen debida a su propio peso. La presión que actúa sobre cada una de las caras de la partícula puede obtenerse mediante un desarrollo de Taylor. Así, por ejemplo, la presión en la cara perpendicular al eje z situada a la altura z 1 2dz se expresará como p(x, y, z 1 p 2dz) = p(x, y, z) z y 2 dz 2, (6.25) donde se ha limitado el desarrollo hasta términos infinitésimos de primer orden. Análogamente, la presión del fluido en la cara opuesta valdrá p(x, y, z + 1 p 2dz) = p(x, y, z) + z dz 2. (6.26) Expresiones análogas se obtienen para las restantes caras. Puesto que la partícula fluida está en equilibrio, la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre ella ha de ser necesariamente nula. El balance de fuerzas en la dirección z es entonces p(x, y, z 1 2 dz)dxdy p(x, y, z dz)dxdy y teniendo en cuenta las ecuaciones (6.25) (6.26) resulta ρgdxdydz = 0, (6.27) p + ρg = 0. (6.28) z En las direcciones x e y del espacio no actúa ninguna fuerza de volumen, por lo que los respectivos balances de fuerzas resultan ser p = 0, x (6.29) p = 0. y (6.30)

11 6.4 Ecuación fundamental de la estática de fluidos en el campo gravitatorio 175 El conjunto de las ecuaciones (6.28) (6.30) puede escribirse como una única ecuación vectorial que recibe el nombre de ecuación fundamental de la estática de fluidos en el campo gravitatorio, p = ρ g, (6.31) donde g = g k es el vector gravedad y p es el gradiente de la presión, ( p p = x, p y, p ). (6.32) z De las ecs. (6.29) (6.30) se deduce que la presión en el campo gravitatorio es independiente de las coordenadas x e y. Por tanto, las superficies isobaras (lugares geométricos de los puntos de igual presión) son planos horizontales. Por el contrario, como lo muestra la ec. (6.28), la presión sí cambia con la coordenada z. Puesto que el cambio de presión por unidad de longitud en la dirección z ( p/ z) es negativo ( ρg), la presión en el fluido disminuye con la altura. Teniendo en cuenta que p = p(z), la ec. (6.28) puede integrarse fácilmente entre dos puntos arbitrarios de alturas z A y z B y presiones p A y p B respectivamente, pb p A dp = zb Si la densidad del fluido es constante resulta entonces o bien z A ρgdz. (6.33) p B p A = ρg(z B z A ), (6.34) p A + ρgz A = p B + ρgz B. (6.35) Claramente, si la presión en el punto B es conocida, la presión en el punto A puede determinarse en función de la presión en el punto B y la diferencia de alturas entre los dos puntos (fig. 6.10). Frecuentemente, el punto B se toma en la superficie libre del fluido (B ), donde la presión es igual a la presión atmosférica. La presión en el punto A vale entonces p A = p atm + ρgh, (6.36) donde H = z B z A es la profundidad del punto A respecto de la superficie libre. Debido a la baja densidad del aire, la variación de la presión atmosférica con la altura es mucho más pequeña que en los líquidos, por lo que su valor puede considerarse prácticamente constante. Así, por ejemplo, para que la presión atmosférica disminuya en un 10% respecto de su valor a nivel del mar tendríamos que ascender hasta una altura H tal que ρ aire gh = 0,1atm. Teniendo en cuenta que la densidad del aire es aproximadamente 1,3kg/m 3, resulta 0,1 atm H = 800 m. (6.37) ρ aire g Evidentemente, tales distancias quedan prácticamente fuera del interés arquitectónico, por lo que no se comete un error apreciable al suponer p atm =cte en todos los puntos. La densidad de los líquidos, por el contrario, es típicamente 1000 veces superior a la densidad del aire. En el agua, por ejemplo, la presión se incrementa en aproximadamente 1 atm por cada 10m de profundidad. H z B' z B z A 0 z p B' = patm B' p A A p B FIGURA 6.10: Presión en los puntos de un fluido situados a distintas alturas. B

12 176 Estática de fluidos PROBLEMA RESUELTO 6.1: PROBLEMA RESUELTO 6.1 Numerosos experiencias cotidianas referentes al equilibrio de líquidos encuentran su explicación en la aplicación de la ec. (6.36). Consideremos, por ejemplo, la horizontalidad de la superficie libre de un líquido en reposo, o la igualdad de los niveles alcanzados por un líquido en las distintas ramas de un vaso comunicante. El equilibrio de la superficie libre impone la igualdad de la presión en el líquido y en el aire para todos y cada uno de los puntos de la superficie libre. Sin embargo, según hemos probado, la presión en el aire es constante, por lo que la interfaz líquido-aire debe necesariamente coincidir con una superficie isobara del líquido, esto es, una superficie horizontal (H = 0). La ec. (6.35) se escribe frecuentemente en términos de alturas en lugar de presiones, para lo cual se divide toda la ecuación por ρg, p A ρg + z A = p B ρg + z B = constante. (6.38) Los sumandos reciben los siguientes nombres: Altura geométrica, z. Altura de presión, p/ρg. Altura piezométrica, z + p/ρg. En la figura se muestra un depósito de agua conectado a otro de aceite mediante un tubo en U. El depósito de agua está cerrado por su parte superior, siendo la presión del aire encerrado p B = 6, Pa. El depósito de aceite, por el contrario, está abierto a la atmósfera. Para evitar que aceite y agua entren en contacto, un tercer ĺıquido, de densidad ρ = 1, kg/m 3, se interpone entre el aceite y el agua en el tubo en U. Para la situación que se muestra en la figura, determine el desnivel d entre el aceite y el agua. Datos adicionales: p atm 10 5 Pa, ρ agua = 10 3 kg/m 3, ρ aceite = 0, kg/m 3. B 6 m agua 0,5 m aire d C E aceite

13 6.5 Principio de Pascal 177 Solución: Mediante la ecuación fundamental de la estática de fluidos, la presión en el punto E (de contacto entre el aceite y el ĺıquido de densidad ρ ) se puede relacionar con la presión atmosférica a la que se encuentra el aceite que está en la superficie en el depósito de la derecha (abierto a la atmósfera): p E = p atm + ρ aceite g(6,5 d), (P1.1) o bien con la presión a la que se encuentra el aire encerrado en el depósito de la izquierda: p E = p B + ρ agua g6 + ρ g0,5. (P1.2) Sustituyendo los datos y despejando la única incógnita llegamos a que 6.5. Principio de Pascal d = 2,5 m. (P1.3) Llamado principio por razones históricas es, en realidad, una consecuencia importante de la variación lineal de la presión con la profundidad en un líquido en reposo. Este principio fue establecido experimentalmente por primera vez por Pascal y puede enunciarse como sigue: si la presión ejercida en un punto de un fluido incompresible en equilibrio cambia en una cantidad p, entonces la presión cambia en la misma cantidad p en todos los puntos del fluido. En efecto, sean dos puntos A y B de un fluido incompresible en equilibrio. Como ya sabemos, las presiones en dichos puntos están relacionadas mediante la ec. (6.35). Supongamos ahora que la presión del fluido se modifica por alguna causa, de forma que en el punto A pasa a ser p A + p A y en el punto B pasa a ser p B + p B. Si el fluido continúa en equilibrio, tendrá que cumplirse nuevamente que p A + p A + ρgz A = p B + p B + ρgz B, (6.39) y teniendo en cuenta la ec. (6.35) resulta p A = p B. (6.40) Una de las aplicaciones más importantes del principio de Pascal es la prensa hidráulica. Básicamente, una prensa hidráulica es un recipiente cerrado, dotado de dos émbolos de distinta superficie, y que contiene un líquido incompresible en su interior. Al aplicar sobre el émbolo de menor superficie, S A, una fuerza normal de módulo F A, la presión del fluido situado tras el émbolo se modificará en la cantidad p A = F A /S A. Según el principio de Pascal, dicho incremento de presión se transmite a todos los puntos del fluido y, en particular, a los puntos del fluido situados bajo el émbolo de mayor superficie. Para equilibrar dicho émbolo, de superficie S B, deberá aplicarse una fuerza normal de módulo F B tal que Blaise Pascal (Clermont-Ferrand, 1623; París, 1662): Filósofo, matemático y físico, destaca por sus contribuciones a la geometría de cónicas, la combinatoria, cálculo de probabilidades. Descubrió la utilidad del barómetro como altímetro y fue el fundador de la estática de fluidos. En 1642 construyó la primera calculadora. prensa hidráulica p A = F A S A = F B S B = p B. (6.41)

14 178 Estática de fluidos FIGURA 6.11: Fuerzas hidrostáticas sobre una pared inclinada. Por tanto, si la superficie de los émbolos se elige de forma que S A S B se tendrá que F A F B, de donde se desprende la utilidad de este dispositivo para amplificar la fuerza ejercida. El principio del funcionamiento de la prensa hidráulica se utiliza en otras muchas aplicaciones prácticas, por ejemplo en sistemas de elevación electro-hidráulicos de cargas o en los frenos de discos de los coches y motocicletas Empuje sobre paredes sumergidas Empuje sobre una pared horizontal Sea una pared horizontal, de superficie S, en contacto con un líquido de densidad ρ en una de sus caras. Sobre cada punto de dicha cara el líquido ejerce una presión de idéntico de valor, p = p atm + ρgh, donde H es la profundidad de la pared respecto de la superficie libre. Por tanto, la pared está sometida a una fuerza distribuida homogéneamente por su superficie y el módulo de la fuerza total será entonces F = p da S = p da = ps S = (p atm + ρgh)s. (6.42) La dirección de la fuerza es vertical y su sentido es siempre hacia la pared. El punto de aplicación de dicha fuerza es siempre el del centroide de la superficie S. Si al otro lado de la pared hay aire, la fuerza neta ejercida sobre la pared será entonces F neta = ps p atm S = ρghs. (6.43) Empuje sobre una pared inclinada Sea una pared rectangular, inclinada un ángulo θ respecto de la horizontal, tal que una de sus caras está en contacto con un líquido de densidad ρ y la cara opuesta está en contacto con la atmósfera (fig. 6.11). Consideremos el elemento de superficie mostrado en la fig. 6.11, de área da = wdl, y situado a una profundidad h respecto de la superficie libre. Siendo la presión constante en todos los puntos de dicho elemento, la fuerza neta ejercida por el fluido y la atmósfera tendrá por valor df neta = p da p atm da = ρghwdl, (6.44) estará aplicada en el centroide del elemento de área y su dirección será normal a la pared. La fuerza neta por unidad de longitud que actúa sobre la pared

15 6.6 Empuje sobre paredes sumergidas 179 puede expresarse entonces como f = df neta dl = ρghw. (6.45) Tal distribución de fuerzas varía linealmente con la profundidad, siendo cero en la superficie libre (h = 0) y adquiriendo su máximo valor, f = ρghw, en el extremo inferior de la pared (h = H). Se trata pues de una distribución triangular de fuerzas (fig. 6.12), análoga a las cargas planas estudiadas en la sección 3.11 del capítulo 3. Por tanto, la fuerza neta total será igual al área de la superficie de carga, esto es F neta = 1 H2 ρgw 2 sen θ, (6.46) y estará aplicada a una altura 1 3H respecto del extremo inferior de la pared. El punto de aplicación de la fuerza F neta recibe el nombre de centro de presiones. En el caso de una pared vertical, θ = π 2, y se tiene PROBLEMA RESUELTO 6.2: F neta = 1 2 ρgwh2. (6.47) El depósito de la figura, abierto a la atmósfera, contiene agua hasta una altura de 2m. El tubo en U que sale del depósito está parcialmente lleno de un fluido (de tono más oscuro) de densidad ρ fluido = 1200kg/m 3. La pared AB pesa N y está empotrada en el suelo. En estas condiciones, calcula: (a) La altura h que alcanza el fluido oscuro en el tubo en U respecto del fondo del depósito, sabiendo que la interfaz agua-fluido (punto C) está a una altura de 0,5m respecto del fondo del depósito. FIGURA 6.12: Densidad de fuerzas hidrostáticas sobre una pared inclinada (izda.) y fuerza neta equivalente (dcha.). centro de presiones (b) Para la pared vertical AB, los vectores fuerza de reacción vincular y momento en el empotramiento B.

16 180 Estática de fluidos PROBLEMA RESUELTO 6.2 Solución: 2 m 2/3 m F Bx G A P By B M B FIGURA P2a: Diagrama de fuerzas del apartado (b). h C 0,5 m 2 m 3 m B A 5 m Datos adicionales: p atm 10 5 Pa, ρ agua = 10 3 kg/m 3. (a) La presión en el contacto entre el fluido y el agua se puede relacionar mediante la ecuación fundamental de la estática de fluidos con la presión atmosférica a la que se encuentra el agua en el depósito abierto a la atmósfera o bien con la presión atmosférica a la que se encuentran los puntos del fluido en U que distan una altura h respecto del fondo del depósito: Por tanto, despejando p C = p atm + ρ fluido g(h 0,5), p C = p atm + ρ agua g(2 0,5). h = 1,75 m. (P2.1) (P2.2) (P2.3) (b) La pared vertical AB se puede considerar como un sólido rígido vinculado en el punto B mediante un empotramiento. Para estudiar el equilibrio aplicamos el principio de liberación y sustituimos el empotramiento por dos fuerzas de reacción vincular φ Bx y φ By, que impidan respectivamente las posibles traslaciones horizontal y vertical, y un momento de reacción vincular M B que impida los posibles giros alrededor de B. El diagrama de fuerzas se ilustra en la fig. P2a. Las fuerzas activas son el peso de la pared y la resultante del sistema de fuerzas distribuidas triangular debido a la presencia de los fluidos agua y aire a la izquierda y derecha, respectivamente, de la pared. Este sistema de fuerzas distribuidas puede reducirse a una única fuerza de componentes las de la resultante y aplicado en el centro de vectores paralelos, que en el caso de una carga triangular se encuentra a h 3 desde el punto de empotramiento, donde h es la altura de la columna de agua (fig. P2a). Las ecuaciones de equilibrio del sólido rígido en el plano son: Fx = 0, Fx = 0, MOz = 0. (P2.4) (P2.5) (P2.6) Teniendo en cuenta que la pared es de grosor despreciable, la ecuaciones de equilibrio quedan F φ Bx = 0, (P2.7)

17 6.7 Empuje de tierras 181 φ By P = 0, M B F h 3 = 0, donde la resultante del sistema de fuerzas distribuidas triangular es siendo a = 5m y h = 2m. F = 1 2 ρgah2, (P2.8) (P2.9) (P2.10) Resolviendo el sistema de ecs. (P2.7) (P2.9) y expresando la solución en forma vectorial obtenemos 6.7. Empuje de tierras φ B = ( 10 5, )N, M B = (0, 0, )Nm. (P2.11) (P2.12) Si se deja caer un chorro de arena seca sobre un plano horizontal se forma un cono. Las generatrices de dicho cono forman con el plano horizontal un ángulo bien definido, llamado ángulo de talud natural, de forma que cualquier talud de mayor pendiente sería inestable. La presencia de humedad en la tierra puede alterar su cohesión, por lo que el ángulo de talud natural podría verse afectado por el grado de humedad. Cuando se requiere que un apilamiento de tierras tenga una pendiente superior a la de su ángulo de talud natural es necesario emplear un muro de contención o de sostenimiento que impida el deslizamiento de las tierras. La resultante de las fuerzas que ejercen las tierras sobre el muro se denomina empuje y, en ciertas circunstancias, guarda gran similitud con el empuje hidrostático sobre una pared sumergida en un fluido. Existen dos teorías aceptadas comúnmente para el cálculo del empuje de tierras: la teoría de Coulomb (1776) y la teoría de Rankine (1857). Ambas teorías presuponen que el terreno del suelo es no cohesivo (sin componentes H arcillosos), homogéneo (no es una mezcla variable de distintos materiales), isotrópico (presenta propiedades similares en todas las direcciones), semi-infinito (el muro de contención es muy largo y la tierra contenida termina lejos del muro) y bien drenado (no acumula agua). H/3 Tanto en la teoría de Rankine como en la teoría de Coulomb se tiene en cuenta la fricción interna del terreno, aunque desde enfoques diferentes. En la teoría de Coulomb, además, se considera la fricción entre la pared y la tierra retenida y puede aplicarse a muros de contención dispuestos con inclinación arbitraria. Cuando en la teoría de Coulomb se desprecia la fricción en la pared y se considera que el muro de contención es vertical, sus resultados coinciden con la teoría de Rankine si el terraplén tras el muro es horizontal. En las condiciones expresadas, el empuje que ejerce el muro de contención (fig. 6.13) está dado por ángulo de talud natural William John Macquorn Rankine (Edimburgo, 1820; Glasgow, 1872): Es uno de los fundadores de la teoría de las máquinas de fuerza termodinámica; investigó la máquina de vapor y la resistencia por fricción en los barcos. E = 1 ( 2 ρ tgw tan 2 45 ψ ) H 2, (6.48) 2 E FIGURA 6.13: Densidad de fuerzas que actúan sobre un muro de contención vertical según la teoría de Rankine. w

18 182 Estática de fluidos FIGURA 6.14: Realización práctica de un muro de contención de tierras. Ángulos de talud nat- TABLA 6.1: ural. b p E sup p bc inf bc c FIGURA 6.15: El empuje E que actúa sobre el paralelepípedo surge de la diferencia de presiones que actúa sobre las caras inferior y superior. a centro de empuje donde ρ t es la densidad de la tierra, w la longitud del muro, H la altura de la tierra contenida y ψ el ángulo de talud natural de dichas tierras. La ec. (6.48) es formalmente idéntica a la correspondiente al empuje hidrostático ejercido por un fluido de densidad ( ρ = ρ t tan 2 45 ψ ). (6.49) 2 Además, como en dicho caso, el punto de aplicación del empuje del terreno está aplicado a una altura h = H/3 medida desde la base del muro. Clase de terreno ψ ( ) Tierra de aluvión seca 40 Tierra de aluvión mojada 30 Tierra colorada compacta 40 Arcilla seca 40 Arcilla mojada 20 Arena seca 31 Arena húmeda 40 Arena mojada 29 Gravilla seca 30 Gravilla húmeda 25 Piedra partida Teorema de Arquímedes Un cuerpo sumergido (parcial o totalmente) en un fluido experimenta un empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desplazado. Aún cuando el teorema de Arquímedes tiene validez general, la demostración de este teorema la efectuaremos para un paralelepípedo, de dimensiones a b c, completamente sumergido en un fluido de densidad ρ (fig. 6.15). Las fuerzas sobre las cuatro caras laterales se anulan dos a dos, pues las fuerzas debida a la presión son idénticas. El empuje que experimenta el paralelepípedo surge pues de la diferencia de presiones entre la cara inferior y la cara superior, E = (p inf p sup )bc = ρgabc = ρgv = P, (6.50) donde P es el peso que tendría el volumen V del paralelepípedo si estuviera ocupado por el fluido. El punto de aplicación de dicho empuje es el centroide del paralelepípedo y se le denomina centro de empuje o de carena.

19 6.8 Teorema de Arquímedes 183 PROBLEMA RESUELTO 6.3: Una barra ciĺındrica, de sección S = 5 cm 2 y de longitud L = 1 m, encuentra atada mediante un cable de 25cm de longitud al techo de un depósito de agua. El agua del depósito dista 50cm del techo y la barra flota parcialmente sumergida en el agua según se muestra en la figura. Determine (a) Ángulo que forma el cable con la vertical en el equilibrio. (b) La longitud l de la barra que está sumergida. (c) La tensión del cable. Dato adicional: ρ barra /ρ agua = 0,84. Solución: A (a) El peso de la barra y el empuje que experimenta la porción de barra sumergida son fuerzas verticales. Por tanto, la única posibilidad para que exista equilibrio es que la tensión que ejerce el cable sea también vertical, luego el ángulo que forma el cable con la vertical es 0. (b) Dibujamos el diagrama de fuerzas. Hay dos fuerzas activas: el peso P de la barra y el empuje E, y una fuerza de reacción vincular: la tensión T del cable. En el equilibrio, la suma de todas las fuerzas en la dirección vertical debe ser el vector nulo. Por tanto, E P + T = 0. (P3.1) Además, la suma de los momentos de todas las fuerzas en un punto también debe ser el vector nulo. Tomando momentos en el punto B obtenemos: P L ( 2 cosα E L l ) cosα = 0. (P3.2) 2 B PROBLEMA RESUELTO 6.3

20 184 Estática de fluidos A E l FIGURA P3a: Diagrama de fuerzas del apartado (b). P T B Teniendo en cuenta el teorema de Arquímedes, el módulo del empuje vale Por otro lado, el módulo del peso vale, E = Slρ agua g, P = SLρ barra g. Sustituyendo en la ec. (P3.2) y sacando factor común cosα, [P L2 ( E L l )] cosα = 0. 2 (P3.3) (P3.4) (P3.5) En este problema cosα 0, puesto que en el enunciado nos dicen que la barra está parcialmente sumergida (y no totalmente sumergida y horizontal). Por tanto, SLρ barra g L ( 2 Slρ agua g L l ) = 0. (P3.6) 2 Eliminando S g, dividiendo por ρ agua y multiplicando por 2, L 2ρ barra 2lL + l 2 = 0, ρ agua (P3.7) que es una ecuación de segundo grado en l. Resolviendo llegamos a que ( l = L 1 ± 1 ρ ) barra. (P3.8) ρ agua Como la longitud sumergida l tiene que ser menor que la distancia total L = 1m, la única solución válida es l = 0,6 m. (P3.9) (c) De la ec. (P3.1) podemos despejar la tensión del cable, T = P E = SLρ barra g Slρ agua g = 1,2 N. (P3.10)

21 Problemas propuestos 185 Problemas propuestos 6.1. Un depósito prismático de base 2 2 m y de altura 5m está abierto a la atmósfera y se encuentra parcialmente lleno de aceite de densidad ρ aceite = 0, kg/m 3. A 40 cm del fondo se ha instalado un manómetro que marca una presión manométrica o diferencial de Pa. (a) Cuál es el peso del ĺıquido contenido en el recipiente? (b) Cuánto vale la fuerza que el ĺıquido ejerce sobre el fondo del recipiente? (c) Cuánto vale la fuerza neta ejercida sobre una pared lateral por el fluido y el aire? Datos adicionales: p atm 10 5 Pa Dos tubos de igual sección están comunicados como se indica en la figura. Al principio la llave L está cerrada. El tubo de la izquierda contiene agua y el de la derecha aceite de densidad 0,8 g/cm 3, estando los dos tubos llenos hasta la misma altura H = 1 m. El volumen del tubo de comunicación se supone despreciable. (a) Calcula los niveles alcanzados por los ĺıquidos después de abrir la llave si h 0 = 0,2m. (b) Calcula los niveles alcanzados por los ĺıquidos si h 0 = 0,02 m. H h 0 L PROBLEMA La figura representa la sección de un depósito, abierto a la atmósfera, que contiene un ĺıquido de densidad ρ = 1200kg/m 3 y, por encima de éste, agua, de densidad ρ agua = 1000kg/m 3, tal y como se indica en la figura. Del depósito parte una tubería de 0,03 m 2 de sección, también llena del primer ĺıquido y cerrada mediante una válvula V, perpendicular a la tubería. Una de las paredes laterales del depósito consiste en una compuerta rectangular de 9 m de longitud y 1,5 m de anchura, articulada en su extremo superior O y con un tope T en su parte inferior. Para la situación descrita, calcula: (a) la presión del ĺıquido en la válvula V. (b) la fuerza neta ejercida por el ĺıquido y el aire sobre la válvula V. (c) la fuerza neta ejercida por el agua y el aire sobre la compuerta y la distancia de su punto de aplicación al punto O. Datos adicionales: p atm 10 5 Pa. 3 m 6 m 1 m 1 m 4,5 m T O PROBLEMA El muro vertical que se muestra en la figura está empotrado en el suelo y sirve de contención de tierra. Sabiendo que el muro posee una masa de 500kg por metro lineal, que el peso específico de la tierra es γ = 4000 kp/m 3 y que su ángulo de talud natural es de 10, determine, de acuerdo con la hipótesis de Rankine, (a) La fuerza de reacción (por metro) en el empotramiento. (b) El momento (por metro) en el empotramiento. V

22 186 Estática de fluidos 2 m PROBLEMA Una pared vertical de 2m de altura, 0,25m de anchura y 1 m de profundidad, cuyo peso es 10 4 N, se apoya sobre el suelo mediante un contacto rugoso, siendo el coeficiente de rozamiento estático suelo-pared µ = 0,1. A ambos lados de la pared hay sendos depósitos que contienen agua. El nivel de la izquierda alcanza una altura h 1 = 1m, mientras que a la derecha la altura es h 2, desconocida. Se sabe que si no hubiese agua en el depósito de la derecha (h 2 = 0), la pared no estaría en equilibrio a causa de las fuerzas de presión que se ejercen desde la izquierda. Qué altura mínima debería alcanzar el agua del depósito de la derecha para garantizar el equilibrio de la pared? 1 m h = 1 1 m 0,25 m PROBLEMA Un depósito de agua de anchura unidad se cierra mediante una compuerta tal y como la que muestra la figura, con un tramo horizontal de longitud b y un tramo inclinado 60 respecto de la horizontal. La compuerta, que se considera un único sólido rígido plano de peso despreciable, se encuentra apoyada en A y articulada al exterior en O. Determina: (a) Las fuerzas de reacción en A y en O en función de h y b. h 2 (b) La altura del nivel de agua para la que se abre la compuerta. A b PROBLEMA 6.6 O 60 o h