Calcular los parámetros y los vértices de las siguientes hipérbola equilátera: La hipérbola equilátera es aquella cuyos ejes son iguales a = b
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- José Ángel Guzmán Ramos
- hace 6 años
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1 Problem relizdo por Elen Abd Felip Enunido: Clulr los prámetros y los vérties de ls siguientes hipérbol equiláter: y = 6 ) Según sus síntots b) Según sus ejes Bses teóris: L hipérbol equiláter es quell uyos ejes son igules = b L euión de ls síntots (rets que ortn l funión en el infinito) b de un hipérbol es: y = ± L euión de l hipérbol equiláter referid sus síntots (síntots omo ejes de oordends) si el giro es de 45º es: y = L euión reduid de l hipérbol equiláter es: y = En un hipérbol siempre se umple que = + b En un hipérbol equiláter l eentriidd siempre es: e = e = Teorem de Pitágors pr verigur oordends: d = + y ( d es l distni l punto, oordend, y oordend y ) Elementos o prámetros de un hipérbol: ejes fol e imginrio: (rets que ontienen los foos y los vérties) entro: (interseión de los ejes) foos: F, F (puntos fijos) vérties: A, A, B, B (interseiones de l hipérbol on los ejes) semiejes myor y menor:, (l mitd de l longitud del segmento AA ), b (l mitd de l longitud del segmento BB ) semidistni fol:, (l mitd de l longitud del segmento CC )
2 Resoluión gráfi: ) Según sus síntots Se dibujn ls síntots que vn ser los ejes de oordends. Se representn los foos (F y F ) on ls oordends que les orresponden y que l ser l hipérbol equiláter son (±, ± ) en este so = 3 Se representn los vérties (A, A, B y B ) tmbién on sus respetivs oordends que tmbién son igules (±, ±) y que en este so son = 4 Se trzn los ejes de l hipérbol (rel e imginrio) que psrán por los vérties y los foos y son bisetries de los ejes de oordends por ser l hipérbol equiláter. Se dibuj l hipérbol sbiendo que es el lugr geométrio de los puntos uy difereni de distnis los foos es onstnte. b) Según sus ejes Se dibujn los ejes de oordends, que oiniden on los ejes de l hipérbol el eje rel on el eje y el imginrio on el eje y Se representn los foos on ls oordends que les orresponden. Al enontrrse los foos en el eje rel (eje ) serín (±, 0) en este so = 8 Se representn los vérties. El A y el A se enuentrn en el eje rel (eje ) serán (±, 0) y los vérties B y B que se enuentrn en el
3 eje imginrio (eje ±y) serán (0, y) Además, omo es un hipérbol equiláter, = y. En este so onreto = 3 Se dibujn ls síntots que son bisetries de los ejes de oordends por ser hipérbol equiláter. Se dibuj l hipérbol sbiendo que es el lugr geométrio de los puntos uy difereni de distnis los foos es onstnte. Cálulos: ) Según sus síntots Centro de l hipérbol (0, 0) Los ejes de oordends son ls síntots Los ejes rel e imginrio son bisetries de los ejes de oordends.. Se ompr l euión que tenemos on l euión de un hipérbol referid sus síntots y se enuentr (distni del entro de l hipérbol los vérties A y A ) y = 6 y = = 6 = 3 = 3 = 4. Teniendo en uent que en un hipérbol equiláter = b (semiejes igules) se utiliz l euión de ls onstntes de l hipérbol y el vlor de que hemos enontrdo y desubrimos (semidistni fol)
4 = + b = b = 3 = = = 64 = Los ejes de l hipérbol equiláter referid sus síntots no oiniden on los ejes de oordends sino que son sus bisetries. Pr hllr l posiión de los vérties (que están olodos en los ejes de l hipérbol), se deben verigur sus oordends ( e y ). Tenemos l distni del entro los vérties ( = b, semiejes) y ls oordends son igules l ser el eje bisetriz. Se utiliz Pitágors: d d = = = y + y = 3 3 = = = 6 = ± Pr hllr ls oordends de los foos (, y ) se utiliz Pitágors y todo lo de ntes mbindo por (semidistni fol): d d = = = y + y = = = = 3 + = ± 3 = ± 4 5. Y on todos los dtos luldos se esriben los prámetros y vérties según sus síntots: Ejes de l hipérbol Eje rel: y = Eje imginrio: y = Asíntots y = 0 = 0 Vérties A(4,4) A' ( 4, 4) B( 4,4) B' (4, 4) F(4,4 ) Foos F' ( 4, 4 )
5 b)según sus ejes Eentriidd e = 8 e = e = 4 Centro de l hipérbol (0, 0) Los ejes de oordends son los ejes rel e imginrio de l hipérbol. Ls síntots son bisetries de los ejes de oordends.. Se quiere sber l euión de est hipérbol equiláter y y se h luldo ntes sí que se sustituye en l euión generl: y = 3 = y = 3. Los dtos son los mismos que se hn luldo ntes pero olodos de distint form. En este so no he flt Pitágors por que los ejes de l hipérbol están olodos de form que oiniden on los ejes de oordends y ls distnis irán sobre el eje o y, solo tendrán un omponente. Ejes de l hipérbol Eje rel: y = 0 Eje imginrio: = 0 Asíntots y = y = Vérties Foos A(4,0) A' ( 4,0) B(0,4 ) B' (0, 4 ) F(8,0) F' ( 8,0) Eentriidd e =
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