LA ELIPSE DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA ELIPSE

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1 1 LA ELIPSE DEFINICIÓN L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos P del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos, F 1 y F, llmdos focos es un constnte positiv. Es decir: L elipse es l curv cerrd que result l cortr l superficie de un cono por un plno olicuo l eje de simetrí con un ángulo myor que el de l genertriz respecto del eje de revolución. ELEMENTOS DE LA ELIPSE En un elipse se pueden distinguir los siguientes elementos: Focos. Son los puntos fijos F y F'. Eje focl. Es l rect que ps por los focos. Eje secundrio. Es l meditriz del segmento FF'. Centro. Es el punto de intersección de los ejes. Rdios vectores. Son los segmentos que vn desde un punto de l elipse los focos: PF y PF'. Distnci focl. Es el segmento FF'de longitud c, c es el vlor de l semidistnci focl. Vértices. Son los puntos de intersección de l elipse con los ejes: A,A',B y B'. Eje myor. Es el segmento AA' de longitud, es el vlor del semieje myor. Eje menor. Es el segmento BB' de longitud, es el vlor del semieje menor. Profesor: Jvier Trigoso T. Mtemátic 1

2 Ejes de simetrí. Son ls rects que contienen l eje myor o l eje menor. Centro de simetrí. Coincide con el centro de l elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetrí. Relción entre, y c Uicremos punto P(;y) en l intersección de l elipse con el eje Y pr estlecer ls siguientes relciones: d P;F d P;F 1 c c Ecentricidd (e) L ecentricidd de l elipse es igul l cociente entre su semidistnci focl y su semieje myor. Es l rzón entre ls medids de c y, que indic el grdo de chtmiento de l elipse. Así, en e = c/: Si e se proim 0, l elipse tiende dquirir l form de un circunferenci. Si e se proim 1, l elipse tiende ser cd vez más chtd. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE Eisten dos csos en los cules el centro de l elipse se encuentr en el origen de coordends C(0;0) y su eje focl coincide con uno de los ejes crtesinos. Cundo el eje focl coincide con el eje X y 1 Cundo el eje focl coincide con el eje Y y 1 F 1 (-c;0), F (c;0), V 1 (-,0), V (;0) F 1 (0;-c), F (0;c), V 1 (0;-), V (0;) Profesor: Jvier Trigoso T. Mtemátic 1

3 3 Si en l ecución de l elipse el denomindor de es myor que el denomindor de y, entonces el eje focl coincide con el eje X. En cso contrrio, el eje focl coincide con el eje Y. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE Eisten dos csos en los cules el centro de l elipse se encuentr en el punto de coordends C(h;k) y su eje focl coincide con uno de los ejes crtesinos. Cundo el eje focl coincide con el eje X h y k 1 C(h;k), F(h±c;k), V(h±;k) Cundo el eje focl coincide con el eje Y h y k 1 C(h;k), F(h;k±c), V(h;k±) ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE Prtiendo de l ecución nterior y relizndo un proceso similr l relizdo pr otener l ecución generl de l circunferenci, se lleg l ecución generl de l elipse, donde los coeficientes A y B deen tener el mismo signo. A By C Dy E 0 PARA LA CLASE 01. Hll el centro y los focos de l elipse de ecución: 8 y 3 0. Reduce l ecución 4y C(8; -3), F 1 (8;-7), F (8;1) 6 16y 1 0 l form ordinri de un elipse y determin ls coordends del centro, vértices, focos, ls longitudes de los ejes myor y menor, l cuerd focl y l ecentricidd. C(3; -), V1(1; -), V(5; -) Eje myor 4, eje menor e 3 Profesor: Jvier Trigoso T. Mtemátic 1

4 4 03. Determin l ecución de l elipse con centro en el origen, focos en los puntos (0; -3) y (0; 3) y eje myor igul 10 u. y Hll l ecución de l elipse de ecentricidd /3 y cuyos focos son los puntos (-; 6) y (8; 6). 3 y Determin l ecución de l elipse cuyo centro de grvedd está en el origen e coordends, el eje myor lo lrgo del eje X, el ldo recto es igul 6 y el vlor de l ecentricidd es 1/. y Hll l ecución de l elipse cuy longitud de l cuerd norml (ldo recto) es 5 y sus vértices los puntos (-10;0) y (10; 0) y Ls distncis de un punto P de un elipse sus focos F 1 y F son 6 y 8 cm. Clcul e, si m < F 1 PF = 90º e = 5/7 y 08. En l elipse 1. El áre 9 4 del triángulo formdo por un ldo recto y los segmentos que unen los etremos con el centro de l elipse es: 4 S 5 cm Hll l ecución de l elipse que tiene por centro el punto (; 4), l distnci del centro los focos es 3, su ecentricidd 1/3 y l elipse es de eje verticl. y Hll l ecución de l elipse, cuyo eje es coincidente con = 1, su centro (1; 5), foco (1; 8) y l sum de ls distncis focles de un punto de l elipse es 1. 1 y Encuentr l ecución de l elipse que teng como centro el punto C(-; 4) y se tngente los dos ejes de coordends. y Hll l ecución generl de l elipse, si uno de los vértices se encuentr en el punto V(5; 0) y ps por el punto P(; 3) y 75 Profesor: Jvier Trigoso T. Mtemátic 1

5 5 LA HIPÉRBOLA DEFINICIÓN L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos P del plno cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, F 1 y F, llmdos focos es un constnte positiv. Es decir: L Hipérol es l curv curv iert, formd por dos rms, que se otiene l cortr un superficie cónic medinte un plno que no ps por el vértice. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA En un hipérol se pueden distinguir los siguientes elementos: Focos. Son los puntos fijos F y F'. Eje focl. Es l rect que ps por los focos. Eje secundrio o imginrio. Es l meditriz del segmento FF'. Centro. Es el punto de intersección de los ejes. Vértices. Los puntos A y A' son los puntos de intersección de l hipérol con el eje focl. Los puntos B y B' se otienen como intersección del eje imginrio con l circunferenci que tiene por centro uno de los vértices y de rdio c. Rdios vectores. Son los segmentos que vn desde un punto de l hipérol los focos: PF y PF'. Profesor: Jvier Trigoso T. Mtemátic 1

6 6 Distnci focl. Es el segmento FF'de longitud c. Eje myor (eje trnsverso).es el segmento AA' de longitud. Eje menor (eje conjugdo). Es el segmento BB' de longitud. Asíntots. Son rects que jmás cortn l hipérol por más que se cerque ell. Ams psn por el centro de l hipérol. Relción entre, y c Uicremos punto P(;y) en l intersección de l hipérol con el eje Y pr estlecer ls siguientes relciones: d P;V d P;V c 1 c c Ecentricidd (e) L ecentricidd mide l ertur myor o menor de ls rms de l hipérol. Es l rzón entre ls medids de c y. Así, en e = c/: ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA Eisten dos csos en los cules el centro de l hipérol se encuentr en el origen de coordends C(0;0) y su eje focl coincide con uno de los ejes crtesinos. Cundo el eje focl coincide con el eje X y 1 Cundo el eje focl coincide con el eje Y y 1 F 1 (-c;0), F (c;0), V 1 (-,0), V (;0) Asíntots y F 1 (0;-c), F (0;c), V 1 (0;-), V (0;) Asíntots y Profesor: Jvier Trigoso T. Mtemátic 1

7 7 Si en l ecución de l hipérol el denomindor de es myor que el denomindor de y, entonces el eje focl coincide con el eje X. En cso contrrio, el eje focl coincide con el eje Y. ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA Eisten dos csos en los cules el centro de l hipérol se encuentr en el punto de coordends C(h;k) y su eje focl coincide con uno de los ejes crtesinos. Cundo el eje focl coincide con el eje X h y k 1 C(h;k), F(h±c;k), V(h±;k) Asíntots y k h Cundo el eje focl coincide con el eje Y y k h 1 C(h;k), F(h;k±c), V(h;k±) Asíntots y k h ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA Prtiendo de l ecución nterior y relizndo un proceso similr l relizdo pr otener l ecución generl de l elipse, se lleg l ecución generl de l hipérol, donde los coeficientes A y B deen tener signos opuestos. A By C Dy E 0 HIPÉRBOLA EQUILÁTERA Son quells hipérols en ls que los semiejes son igules ( = ), por lo tnto su ecución es: y Ls síntots tienen por ecución: y isectrices de los cudrntes. L ecentricidd es: e, Es decir, ls Profesor: Jvier Trigoso T. Mtemátic 1

8 8 PARA LA CLASE 13. Determin los elementos (focos, eje trnsverso, eje conjugdo, ldo recto, ecentricidd, vértices y síntots) de l hipérol de ecución: y Determin los elementos de l hipérol de ecución: 16 5y 96 00y Determin l ecución de l hipérol de focos (0; -10) y (0; 10) y eje conjugdo igul 1. y Determin l ecución del lugr geométrico de todos los puntos P(; y) del plno, pr los cules l diferenci de sus distncis los puntos fijos (-6; -4) y (; -4) es y 8 7y Determin l ecución de l hipérol siendo que sus focos son los puntos F 1 (3; 4) y F (3; -) y su ecentricidd es igul. 4 y Hll l ecución de l hipérol que ps por el punto A(; 3), tiene su centro en el origen de coordends, su eje trnsverso está sore el eje Y, y un de sus síntots es l rect y 7 0 y Hll l ecución de l hipérol con vértices en V(0; ±7) y e = 4/3. 9 7y Hll l ecución de l hipérol con focos F 1 (-1; 1) y F (5; 1) y un vértice en V(0; 1) y Determin l ecución de l hipérol con centro en (5; -1), uno de los vértices es (5; 3) y el eje conjugdo mide 6u. y Encuentr l ecución de l hipérol cuyo centro es el punto (3; - 5), uno de sus vértices es (7; -5) y uno de sus focos es (8; -5) 3 y Ls coordends de los focos de un hipérol son los puntos (-1, 4) y (7; 4), su ecentricidd es 3. Hll l ecución de l hipérol y Ls coordends del centro de un hipérol es el punto (4; -1), uno de sus focos es el punto (1; -1), demás ps por el punto (8; 0). Hll l ecución de l hipérol. 4 8 y 1 1 Profesor: Jvier Trigoso T. Mtemátic 1

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