Los hadrones y el modelo de quarks

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1 Los hadrones y el modelo de quarks Introducción Conceptos básicos de Teoría de Grupos El grupo SU() El grupo SU() El modelo de quarks Bariones Mesones Masas y momentos magnéticos de los hadrones Los quarks pesados José Ignacio Illana Departamento de Física Teórica y del Cosmos jillana@ugr.es

2 Introducción En la década de 96 se descubrieron un gran número de hadrones. Sus propiedades pudieron entenderse al postular que no eran elementales sino compuestos de quarks lo que permitió su clasificación Los hadrones forman multipletes de una simetría aproximada SU(m) de sabor * Los bariones están compuestos por tres quarks * Los mesones están compuestos por un quark y un antiquark Los quarks (antiquarks) viven en la representación m (m ) de SU(m) Los quarks son fermiones de espín bajo rotaciones SU() Las interacciones fuertes no distinguen el sabor: partículas idénticas Para respetar el postulado de simetrización se introduce el grupo SU() de color Nos centraremos en m = sabores: u, d, s Introducción

3 Conceptos básicos de Teoría de Grupos Grupo Simetrías Espaciotemporales: Continuas traslaciones, rotaciones, Lorentz,... Discretas paridad, inversión temporal,... Internas: Globales conservación de la carga,... Gauge interacciones fundamentales Bajo permutaciones: Intercambio partículas idénticas,... Ejemplo: Modelo de quarks Simetría interna global y bajo permutaciones Representaciones (irreps): Transformaciones de simetría Sistema físico Operadores Espacio vectorial (invariante e irreducible) El grupo S n = {permutaciones de n elementos} [ciclos: e, (), (),...] Grupos de Lie (continuos): Generadores (J a ) y álgebra de Lie [J a,j b ] = if abc J c El grupo SU(m) = {matrices m m complejas unitarias con det. unidad} Teoría de Grupos Conceptos básicos

4 Representación fundamental de SU(m): = m (sobre V m ) Representación producto directo (sobre Vm) n descomponible gráficamente en irreps (tanto de SU(m) como de S n ) mediante Tableros de Young de n casillas i base de V m, α = i i...i n base de Vm n, i k =,...,m Cada Tablero de Young θ p λ tiene asociado una irrep λ de SU(m) de dimensión F H Al Tablero de Young Normal θ λ se asocia el simetrizador irreducible e λ θ λ : e λ = [e + ()][e ()] Ejemplo con n =, m = : θ p λ, p = () Hay = n! H de dimensión = F H = Los siguientes subespacios vectoriales de Vm n son invariantes e irreducibles { T λ (a) = {pe λ α ; α Vm, n p θ p λ fijo} λαa ; α =,..., F } bajo SU(m) H Teoría de Grupos Conceptos básicos 4

5 El grupo SU() = generadores : J i = σ i i =,, = generador diagonal : J Matrices de Pauli σ i : σ = σ = i i σ = Álgebra de SU(): [J a,j b ] = iǫ abc J c (ǫ abc = símbolo de Levi-Civita) SU() es isomorfo a SO() = rotaciones en D Los vectores base j,j de una irrep son propios de J = J j,j = j(j +) j,j, J = j j,j j {,,,,...}, i= J i y de J j {j,j,..., j} Operador escalera J ± = J ±ij : sube/baja j en unidad, ya que [J,J ± ] = ±J ± Cada irrep se caracteriza por j y tiene dimensión d = j + Las irreps de SU() son reales (equivalentes a sus complejo-conjugadas) Teoría de Grupos El grupo SU() 5

6 El grupo SU() = 8 generadores : F i = λ i i =,...,8 = generadores diagonales : F, F 8 (conmutan entre sí) Matrices de Gell-Mann λ i : λ = λ 4 = λ 6 = λ = λ 5 = λ 7 = i i i i i i λ = λ 8 = SU() SU() Teoría de Grupos El grupo SU(): generadores 6

7 Álgebra de SU(): [F a,f b ] = if abc F c. Las constantes de estructura no nulas son: f =, f 458 = f 678 =, f47 = f 56 = f 46 = f 47 = f 45 = f 67 = y perm. cícl. Los vectores base I,I,Y de una irrep son propios de I = Fi, I = F, Y = F 8 i= Hay tres operadores escalera (tres subgrupos con simetría SU()): I ± = F ±if : sube/baja I en unidad y no cambia Y U ± = F 6 ±if 7 : baja/sube I en V ± = F 4 ±if 5 : sube/baja I en unidad y sube/baja Y en unidad unidad y sube/baja Y en unidad Y [I,I ± ] = ±I ± [Y,I ± ] = U + V + [I,U ± ] = U ± [Y,U ± ] = ±U ± [I,V ± ] = ± V ± [Y,V ± ] = ±V ± I I + I V U Teoría de Grupos El grupo SU(): álgebra de Lie 7

8 Notación de pesos: Cada irrep se caracteriza por dos números naturales (p, q) (p +)(q +)(p +q+) La dimensión de la irrep es d =. La irrep complejo-conjugada de la (p,q) es la (q,p) y no son equivalentes, en general. Cada irrep (p,q) está generada por los estados dados por los puntos en el plano (I,Y) cuya frontera son el hexágono o triángulo siguientes: Y q p q I p Y p Y q p I q I p p q q (p,q) (p,) (,q) Teoría de Grupos El grupo SU(): notación de pesos 8

9 Puede haber más de un estado con los mismos (I,Y) (tienen distinto I). Los estados del borde exterior de (p,q) tienen ocupación, los de la capa siguiente (p,q ) ocupación, y así sucesivamente hasta que se alcanza un nivel en el que la ocupación permanece q + si p > q o p + si p < q: 4 = (,) I máx = p +q Teoría de Grupos El grupo SU(): notación de pesos 9

10 Ejemplos: Y Y I I = (,) = (,) Teoría de Grupos El grupo SU(): notación de pesos

11 Ejemplos: Y Y I I 8 = (,) = (,) Teoría de Grupos El grupo SU(): notación de pesos

12 Relación entre la notación de pesos (p,q) y los tableros de Young: p es el número de casillas de la primera fila que sobrepasan a las de la segunda fila y q es el número de casillas de la segunda fila que sobrepasan a las de la tercera fila. Ejemplos: = = (,) = 8 = (,) = = (,) = = (,) = = (,) = 6 = (,) = 6 = (,) Teoría de Grupos El grupo SU(): tableros de Young

13 El modelo de quarks [Gell-Mann 6, Neeman 6, Zweig 64] Los quarks (u,d,s) son base de la representación fundamental de SU() Sus números cuánticos (isospín I e hipercarga Y) son: [Se toma: I = λ = diag{,,}, Y = λ 8 = diag{,, }] Quark Q I I Y u d s Q = I + Y [Q = carga eléctrica/(e > )] Y d = = (,) = = (,) Y s u ū d s I I Los antiquarks (u, d, s) tienen todas las cargas opuestas Cada quark tiene espín bajo el grupo SU() de las rotaciones El modelo de quarks

14 Bariones SU(): Tres quarks de espín {, } = = 4 S MS MA λ { λαa } Bases ortonormales Espín S e s χ S (+ ) = Simétrica 4 S e s χ S (+ ) = ( + + ) e s e s χ S ( ) = ( + + ) χ S ( ) = MS e m χ MS (+ ) = 6 ( ) e m χ MS ( ) = 6 ( ) Mixtas MA # ()e m χ MA (+ ) = ( ) ()e m χ MA ( ) = ( ) # Con e m α y ()e m α se construye el vector unitario El modelo de quarks Bariones en SU() 4

15 SU(): Tres quarks q q q con sabores q i {u,d,s} = = S 8 MS 8 MA A λ { λαa } Base ortonormal e s uuu ψ S (uuu) = uuu Simétrica S e s uud ψ S (uud) = ( uud + udu + duu ) e s ddu ψ S (ddu) = ( ddu + dud + udd ) e s ddd ψ S (ddd) = ddd e s uus ψ S (uus) = ( uus + usu + sus ) e s uds ψ S (uds) = 6 ( uds + dus + usd + sdu + sud + dsu ) e s dds ψ S (dds) = ( dds + dsd + sds ) e s ssu ψ S (ssu) = ( ssu + sus + uss ) e s ssd ψ S (ssd) = ( ssd + sds + dss ) e s sss ψ S (sss) = sss El modelo de quarks Bariones en SU() 5

16 λ { λαa } Bases ortonormales e m uud ψ MS (uud) = 6 ( uud duu udu ) 8 MS e m ddu ψ MS (ddu) = 6 ( ddu udd dud ) Mixtas e m uus ψ MS (uus) = 6 ( uus suu usu ) e m dds ψ MS (dds) = 6 ( dds sdd dsd ) e m uds ψ MS (uds) = ( uds + dus sdu dsu ) e m usd ψ M S (uds) = ( usd + sud uds e m ssu ψ MS (ssu) = ( 6 ssu uss sus ) e m ssd ψ MS (ssd) = 6 ( ssd dss sds ) ()e m uud ψ MA (uud) = ( udu duu ) 8 MA # ()e m ddu ψ MA (ddu) = ( dud udd ) ()e m uus ψ MA (uus) = ( usu suu ) ()e m dds ψ MA (dds) = ( dsd sdd ) ()e m uds ψ MA (uds) = ( usd sud + uds dus + dsu sdu ) ()e m usd ψ M A (uds) = ( uds dus + sdu dsu ) ()e m ssu ()e m ssd ψ MA (ssu) = ( uss suu ) ψ MA (ssd) = ( dss duu ) El modelo de quarks Bariones en SU() 6

17 Decuplete J P = + Estados simetrizados ψ S (q q q )χ S (m J ) m J {+, +,, } Barión Quarks Función de onda ++ uuu uuu χ S (m J ) + uud ( uud + udu + duu )χ S (m J ) udd ( ddu + dud + udd )χ S (m J ) ddd ddd χ S (m J ) Σ + uus ( uus + usu + sus )χ S (m J ) Σ uds 6 ( uds + dus + usd + sdu + sud + dsu )χ S (m J ) Σ dds ( dds + dsd + sds )χ S (m J ) Ξ uss ( ssu + sus + uss )χ S (m J ) Ξ dss ( ssd + sds + dss )χ S (m J ) Ω sss sss χ S (m J ) El modelo de quarks Bariones en SU() 7

18 Octete J P = + [ ψms (q q q )χ MS (m J ) + ψ MA (q q q )χ MA (m J ) ] m J {+, } Barión Quarks Función de onda (m J = + { ( ) p uud u u d + d u u + u d u ) ( u u d + d u u + u d u ) ( u u d + d u u + u d u ) } { ( n udd d d u + u d d + d u d ) ( d d u + u d d + d u d ) ( d d u + u d d + d u d ) } Σ + { ( uus u u s + s u u + u s u ) ( u u s + s u u + u s u ) ( u u s + s u u + u s u ) } Σ dds { ( d d s + s d d + d s d ) ( d d s + s d d + d s d ) ( d d s + d s d + d s d ) } El modelo de quarks Bariones en SU() 8

19 Octete J P = + (cont.) Nota: Σ y Λ elegidas para dar isospín correcto Barión Quarks Función de onda (m J = + ) Σ uds 6 {( usd + sdu )( ) ( dus + usd )( ) ( sdu + dus )( )} Λ uds {( usd sdu )( ) ( dus usd )( ) ( sdu dus )( )} Ξ { ( uss s s u + u s s + s u s ) ( s s u + u s s + s u s ) ( s s u + u s s + s u s ) } Ξ dss { ( s s d + d s s + s d s ) ( s s d + d s s + s d s ) ( s s d + d s s + s d s ) } El modelo de quarks Bariones en SU() 9

20 El estado fundamental tiene momento angular orbital L =. Por tanto el momento angular total del barión (su espín) J coincide con la suma vectorial de los espines de los tres quarks S. Su paridad es P = ( ) L La total simetría del estado fundamental [espacial] [espín] [sabor] ocasiona un conflicto con el postulado de simetrización: esperamos que bajo el intercambio de fermiones idénticos la función de onda debe ser antisimétrica. Para solucionar este problema se supone que los quarks son la representación fundamental de una simetría SU() de color que, a diferencia de la SU() de sabor, es exacta: los quarks puden tener color rojo (R), verde (G) o azul (B). Se postula que los hadrones son neutros de color, es decir, pertenecen a la representación singlete de SU() de color. Así los bariones pertenecen a la representación antisimétrica A de SU() de color: e a RGB = 6 ( RGB GRB RBG BGR + BRG + GBR ) de modo que la función de onda [espacial] [espín] [sabor] [color] es en efecto antisimétrica. El modelo de quarks Bariones en SU()

21 Los números cuánticos de los multipletes de bariones Y ddd udd uud uuu Y d s u = dds dss uds uss uus I sss I El modelo de quarks Bariones en SU()

22 Decuplete J P = + (L =, S = ) Quarks I I Y M [MeV] Y uuu + uud Σ Σ Σ + udd ddd Ξ Ξ Σ + uus 8 Σ uds 84 Ω Σ dds 87 Ξ uss 5 I Ξ dss 5 Ω sss 67 El modelo de quarks Bariones en SU()

23 Octete J P = + (L =, S = ) Y Σ n Σ Λ p Ξ Ξ Σ + Quarks I I Y M [MeV] p uud 98 n udd 99 Λ uds 5 Σ + uus 89 Σ uds 9 Σ dds 97 I Ξ uss 4 Ξ dss El modelo de quarks Bariones en SU()

24 Mesones SU(): Un quark y un antiquark, ambos de espín = = S A λ { λαa } Base ortonormales Espín S e s χ S (+) = Simétrica S e s χ S () = ( + ) e s χ S ( ) = Antisimétrica A e a χ A () = ( ) El modelo de quarks Mesones en SU() 4

25 SU(): Un quark q y un antiquark q de sabores q {u,d,s}, q {u,d,s} = = 8 Nota: El grupo SU() de sabor posee un subgrupo SU() de isospín I. Los multipletes de isospín de las antipartículas deben ser definidos con cuidado (deben transformarse igual y tener I opuesto). Así, por ejemplo: u d Por tanto: = u d }{{} e i π σ I d I Estado ud u = (uu dd) du (uu +dd) d u El modelo de quarks Mesones en SU() 5

26 λ Base ortonormal I I Y (No hay simetría de intercambio) C (uu +dd +ss) Este deber ser el singlete } B (uu +dd 6 ss) Ortogonales a C con I =Y= A (uu dd) ud Los seis estados restantes du us ds sd su Los estados B (octete) y C (singlete) no se mezclan bajo transformaciones de SU() pero tienen los mismos I = Y =. Pueden superponerse. Por ejemplo: L =, S = : η 6 (uu +dd ss), η (uu +dd +ss) L =, S = : ω (uu +dd), φ ss El modelo de quarks Mesones en SU() 6

27 Los números cuánticos de los multipletes de mesones El espín J del mesón es la suma vectorial de L y S del sistema quark-antiquark S. La paridad es el producto de la paridad intrínseca y la extrínseca P = ( ) L Un mesón neutro es autoestado de conjugación de carga con C = ( ) L+S Y d u s Y d s u s Y s I = dū uū, d d, s s u d ū d sū s d I I El modelo de quarks Mesones en SU() 7

28 Nonete J P = (L =, S = ) (octete y singlete casi no se mezclan) Función de onda I I Y M [MeV] π (uu dd) 5 Y K K + π + ud 4 π du 4 π π, η, η π + η 6 (uu +dd ss) 547 K + us 49 K K K su 49 K ds 498 I K sd 498 η (uu +dd +ss) 958 [multiplicar por χ A ()] Nota: π, η y η tienen J PC = + El modelo de quarks Mesones en SU() 8

29 Nonete J P = (L =, S = ) (octete y singlete se mezclan) Función de onda I I Y M [MeV] ρ (uu dd) 775 Y K K + ρ + ud 775 ρ du 775 ρ ρ, ω, φ ω + ω (uu +dd) 78 K + us 89 K K K su 89 K ds 89 I K sd 89 φ ss [multiplicar por χ S (m J )] Nota: ρ, ω y φ tienen J PC = El modelo de quarks Mesones en SU() 9

30 Masas y momentos magnéticos de los hadrones Diferencias de masa en multipletes de isospín Atribuirlas a la interacción eléctrica entre quarks constituyentes y m u = m d = m s. Por ejemplo, para los hiperones Σ: Σ + (89) = uus Σ (9) = uds Σ (97) = dds tendríamos, suponiendo interacción eléctrica entre pares de quarks, M Σ + = M +m s +m u + (Q u +Q u Q s +Q u Q s )δ M Σ = M +m s +m d +m u + (Q u Q d +Q u Q s +Q d Q s )δ, δ = e 4πǫ r M Σ = M +m s +m d + (Q d +Q dq s +Q d Q s )δ de donde m d m u = [M Σ + M Σ M Σ +] =.7 MeV que confirma la similitud entre los quarks del doblete de isospín u d. Hadrones Diferencias de masa en multipletes de isospín

31 Masas de los bariones Las masas de los hadrones de un mismo multiplete no son iguales. Suponer que el hamiltoniando de la interacción fuerte H contiene un término H que rompe SU(): H = H + H donde H conmuta con los generadores diagonales I e Y. [vid. valores tablas] Fórmula de Gell-Mann Okubo (empírica, consistente con lo anterior) [ ] para bariones: M = M + M Y + M I(I +) Y 4 Decuplete de bariones J P = +, cumplen Y = (I ): M = A +BY [A 8 MeV, B 5 MeV] Octete de bariones J P = + : M Λ + M Σ = M n +M Ξ [se cumple con una precisión del 5] Hadrones Masas de los bariones

32 Masas de los mesones Suponer que la relación entre masas es cuadrática. Fórmula de Gell-Mann Okubo para mesones: M = M + M Y + M ] [I(I +) Y 4 Octete de mesones psedoescalares J P = : M η + M π = M K +M K y como M K = M K se obtiene finalmente M η + M π = 4M K que se cumple con una precisión del 8%. Hadrones Masas de los mesones

33 Momentos magnéticos de los bariones El operador momento dipolar magnético de un fermión sin estructura, de espín, carga Q y masa m es: µ = Q e h σ µ σ m Para un barión constituido por tres quarks i =,, el modelo de quarks predice µ = µ i = µ barión = ψ µ i σ i ψ i i donde ψ es su función de onda en el estado de m J = J. Teniendo en cuenta que sólo se están considerando las contribuciones de los quarks de valencia (quarks constituyentes), el éxito del modelo es bastante bueno, como muestra la siguiente tabla. Hadrones Momentos magnéticos de los bariones

34 Modelo de quarks µ/µ N Experimento µ/µ N p (4µ u µ d ) ±.8 n (4µ d µ u ).947 ±.5 Λ µ s.6 ±.4 Σ + (4µ u µ s ) ±. Σ (µ u +µ d µ s ) +.79 Σ (4µ d µ s ).9.6 ±.5 Ξ (4µ s µ u ).4.5 ±.4 Ξ (4µ s µ d ) ±.5 Ω µ s.84. ±.5 donde se ha usado como unidad el magnetón nuclear µ N Nota: Si suponemos m u = m d, el modelo de quarks predice µ n µ p =.667, bastante de acuerdo con el valor experimental µ n µ p =.685 Hadrones Momentos magnéticos de los bariones 4 e h m p

35 Los quarks pesados El quark c (mesón J/ψ: SLAC y Brookhaven, 974; m c.5 GeV) Se introduce un cuarto sabor, ampliándose la simetría a SU(4). El quark b (mesón Y: Fermilab, 977; m c 4.5 GeV) Se introduce un quinto sabor, ampliándose la simetría (aún más aproximada) a SU(5). El quark t (pp t t +X: Fermilab, 994; m t 7 GeV) Tan pesado que puede decaer débilmente: t Wb antes de hadronizarse. Números cuánticos (conservados en interacciones fuertes). Quark Q I I S C B T d u s c b t Q = I + Y Y = B +S+C+B+T B = número bariónico = S = strangeness C = charm B = beauty o bottomness T = topness Los quarks pesados c, b y t 5

36 SU(4) { SU() { SU() (a) (b) Σ c Ξ + cc ddc udc uuc dsc usc Ξ Ω Ξ c + c ssc c uss Ξ Ω ++ ccc Ξ cc + Ξ cc ++ dcc ucc Ω cc + scc Σ Σ c + c ddc Σ c ++ udc uuc Ξc dsc usc Ξ c + ssc Ωc + ddd udd uud uuu Σ dds uds Σ uus Σ + Ξ dss uss sss Ω Ξ Σ ++ c n p udd uud Σ uds dds Λ,Σ uus Σ + dss Ξ dcc scc Ω cc + ucc Λ + c,σ + c Ξ ++ cc ++ u,d,s,c C π D K du K su D D * ds + D s cu cs cd η c π D + + K η sd ud dc sc dc sc D* s η K uc D uc us D* (a) π Y D s D* I + s (b) D* cu cs cd D* + K * * + K ρ ds ρ us du ω + ρ su J/ ψ sd ud φ K * K* + } SU() } SU() Bariones Mesones Los quarks pesados SU(4) 6

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