POLINOMIOS DE LEGENDRE.

Transcripción

1 POLINOMIOS DE LEGENDRE. 1. DEFINICIÓN. Se definen los polinomios de Legendre por la cual es llamada fórmula de Rodrígues. De aquí, se obtiene De acuerdo con el desarrollo binomial, se tiene que por lo que, al sustituir en (1), queda

2 y, como resulta que 2. FUNCIÓN GENERADORA. La función es llamada función generadora de los polinomios de Legendre, ya que En efecto: Usando la conocida fórmula queda y como se tiene que 2

3 1 + "f (2~,- 1)tn(2.T - tt n=l 2 n n ' 1+ --, t(2x - t) + -2-' t2(2x - t)2 + 3, t 3 (2x - t) (2n - 3) tn-1(2x _ tt-1 + 2n-l(n - 1)! (2n - 1) ' nt n (2x - tt +. 2 n n! Llamando a.; (x) al coeficiente de t",se verá a continuación que a., (x) = Pn(x): _1_ 3_ _5_ _.. ~(2_n_, ----=-1) (2x)n _ (2n - 3) (n - 1) (2x)n-2 + 2nn! 2n-l(n - 1)! 1! (217,- 5) (n - 2)(n - 3) (2xt-4 _ n-2(n - 2)! 2! Usando la identidad (2n)! (2n - 1) = - 2n n! resulta que (2n)! n (2n - 2)! n-2 n,,x - n '( )' ( 9)' x + 2 n.n ti - 1. n - ~. (2n - 4)! n-4 + 2n2!(n - 2)!(n _ 4)!x - +. Pn(x) Tomando x = 1 en (4), se tiene de donde L Pn(1)t n = (1-2t + t 2 )-1/2 = 1_ t = L i" ~O n~ P,,(l) = 1 (5) 3

4 Similarmente, para x = -1 se obtiene Se observa que (6) 00 (1 + 2xt + t 2 )-1/2 = [1-2( -x)t + er 1 / 2 = L Pn( -x)t n n=o y, al comparar ambos resultados, se obtiene que 00 [1-2x( -t) + (_t)2rl/2 = L Pn(x)( _t)n n=o 00 L(-ltPn(x)t n n=o La fórmula (7) dice que Pn (x) es una función par si n es par y una función impar cuando ti es impar. 3. FÓRMULAS DE RECURRENCIA. Derivando la función generadora w(x, t) respecto a t, se tiene aw at (7) de donde se obtiene aw (1-2xt + t 2 )a + (t - x)w = O En términos de las series, queda (1-2xt + t 2 ) L npn(x)t n (t - x) L Pn(x)t n = O n=o 11=0 Igualando a cero el coeficiente de i"; se tiene (71 + 1)Pn+1(x) - 2xnPn(x) + (n - l)p"_l(:r) + P"-l(X) - xpn(x) = O 4

5

6 (1- X2)y" - 2xy' + n(n + l)y O [(1 - X2)y,], + n(n + l)y O (14) la cual se conoce como ecuación de Legendre. 5. REPRESENTACIÓN INTEGRAL. Es conocido que r de Jo 1 + A cos e Tomando se tiene que r (1 - tx)de Jo 1 - t(x + vx2-1cos e) A = _ tvx tx ' 1r(1 - tx) t' de Jo 1- t(x + VX2 -lcose) VI - 2xt + t 2 CXJ Usando el resultado l~z = zn (1 z 1< 1) Y la función generadora, n=o queda Igualando los coeficientes de t", resulta 1 r( )7l Pn(X)=:;Jo x+vx 2-1cose de (15) 6

7 6. ORTOGONALIDAD. De acuerdo con (14), se tiene que y Multiplicando en la primera ecuación por Pm(x), en la segunda por Pn(x) y restando luego, queda +(n - m)(n + m + l)pm(x)pn(x) = O Integrando entre -1 y 1,se tiene que Luego, si m #- n lo cual indica que el conjunto Pn (x) (n = O,1, 2,...) de polinomios de Legendre es ortogonal en el intervalo (-1, 1). 7 (16)

8 A continuación se calculará la integral J2] P~(x)dx : Primeramente, se reemplaza n por n - 1 en la ecuación (8) y se multiplica luego por (2n + 1) Pn(x). Si a la ecuación que resulta se le resta (8) multiplicada por (2n - 1)P n - 1 (x), se obtiene n(2n+ 1)P~(x )+(n-1) (2n+ 1)Pn-2(x )Pn(x) - (n+ 1)(2n-1 )Pn-l (x )Pn+l (x)- 1 -n(2n - l)pll(x) = O (n=2,3,...) Integrando en (-1, 1) Y aplicando la propiedad de ortogonalidad (16), queda 1 2n P~(x)dx = P~-l (x)dx -1 2n (n=2,3,...) Aplicando repetidamente la fórmula anterior, se observa que (2n - 1) (2n - 3) 11 P~ 2(x)dx (2n + 1) (2n - 1) -1 - (2n - 3) (2n - 5) 11 P~ 3(x)dx (2n + 1) (2n - 3) P;(x)dx 2n de donde P~(x)dx = n+ (n = 2,3,.. ) Nótese que la expresión anterior es válida también para n = O Y n = 1: ') 2 1 Po (x)dx = 2 = '). O 1 PI2(x)dx = ~ = ~ Luego, resulta 1 ') 2 P,~(x)dx = n + 1 (n=o,1,2,.. ) (17) 8

9 7. SERIES DE FOURIER-LEGENDRE. Supóngase que f (x) tiene un desarrollo convergente de la forma f(x) 00 = LCnPn(x) n=o -1<::c<1 (18) Multiplicando en (18) por Pm(x) (m fijo) e integrando entre -1 y 1 (suponiendo la integración término a término de la serie), se tiene que de donde, al aplicar la ortogonalidad (16), resulta que Cn = 2n + 1JI e _ J21 f(x)pn(x)dx n f(x)pn(x)dx J21 P;(x)dx (n = o, 1, 2,... ) (19) Teorema. Si f y f' son seccionalmente contínuas en el intevalo (-1, 1), la serie de Fourier-Legendre (18) con coeficientes (19) converge a f(x) en cualquier punto x donde f es contínua. Si x es lid punto de discontinuidad, la serie converge al valor ~[j(x+) + f(x- )]. Del comportamiento de Pn(x) establecido en la ecuación (7), se deducen dos casos particulares de la serie de Fourier-Legendre: a) Si f es una función par, entonces C 2n + 1 = O,Y queda f(x) 00 L C 2n P 2n (X) n=o (20) b) Cuando f es impar, C 2n = OY se tiene (n=0,1,2, ) 9

10 00 f(x) - L C2n+lP2n+l(X) n=o (21 ) (n = O, 1, 2,... ) Ejemplo. Hallar el desarrollo de Fourier-Legendre de la función f(x)={ O,-l<x<a 1, a < x < 1 Solución. f(x) De acuerdo 00 L CnPn(x) n=o 2n f(x)pn(x)dx 2-1 con (12), se tiene que 2n C; = Pn(x)dx 2 a (n=1,2, ) Luego, Puesto que Pn (1) = 1, queda (n=1,2, ) y así 10

11 (n=1,2,"') Para n = O: Finalmente, j'1 1 C o = - Po(x)dx = - dx = -(1 - a) 2 a 2 a 2 resulta f(x) = 2(1 - a) + 2 [Pn-1(a) - Pn+1(a)] Pn(x) n=1 8. TEMPERATURAS ESTACIONARIAS EN UNA ESFERA. Considérese el problema de determinar la temperatura u en el interior de una esfera de radio r = a, tal que u toma valores prescritos en la superficie de la espera y u es independiente de la coordenada cp. En este caso, el problema de contorno a resolver es el siguiente: (O < r < a,o < e < K) (22) u(a, e) = F(e) Ahora, la eco (22) también puede escribirse como fj2 1 o [ 2 1 OU] r or 2 (ru) + sene oe (1 - cos e) sene oe = O (23) De esta manera, haciendo las ecs. (22) y (23) quedan o 1 o x = cose=}- = ~ x Selle ae r 0 2 (TU) + ~ [(1 - x2) ou] = O 01'2 OX OX (O < r < a, -1 < x < 1) (24) u(a, :1:) = f(x) (25) 11

12 Se; determinará la solución de este problema usando el clásico método del producto: Sustituyendo en (24), se tiene U(T, x) = R(T)Y(X) (26) 0 2 a I r or 2 [TR(T)Y(X)] + ox [(1- x 2 )R(T)Y(X)] = o TY(X) [TR"(r) + 2R'(r)] + R(T) [(1- x 2 )yl/(x) - 2xY/(x)] = o Luego: (1- x 2 )YI/(x) - 2xY/(x) T 2 R"(r) + 2rR'(T) --' = - = -A Y(x) R(T) (1 - x 2 )yl/(x) - 2xY/(x) + AY (x) = O (27) T 2 R"(r) + 2r R'(r) - AR(T) = O (28) De acuerdo con la Sección 4, si se toman los valores An = n(n + 1) (n = 0,1,2,'... ) la eco (27) corresponde a una ecuación de Legendre, la cual tiene las soluciones particulares La eco (28) (n=0,1,2, ) r 2 R"(r) + 2TR'(r) - n(n + l)r(r) = O es una ecuación de tipo Cauchy, cuya solución general es de la forma 12

13 PllF;StOque para r = O la temperatura u debe ser finita, se deduce que C 2 = r) y, aparte del factor constante, se tiene que Así, se tiene que la sucesión de funciones (71,= 0,1,2, ) (71,=0,1,2,"') satisface la ecuación diferencial (24) y, de acuerdo con el principio de superposición, la función 00 u(r, x) = 2:: c;»pn(x) n=ü también la satisface. La condición (25), u(a, x) = j(x), exige que (29) j(x) 00 = 2:: c;«pn(x) n=ü de donde (71,=0,1,2,.) Luego, ( )n u(r,x) = "2 ~ [(271, + 1) [1j(X)Pn(X)dX] ~ Pn(X) (30) y, finalmente ( )n u(r,e) =-2:: [(271,+1)! j(x)pn(x)dx]!:.. Pn(cose) 2 n=ü -1 a (31) 13

14 EJERCICIOS 1. Demostrar: a) 1 1 Pn(x)dx = O (n = 1,2",,) b) P2n(O) = (_1)"1. ~: ~: ~..(.2.n~~ 1) P2n+1(0) = O J I 2 2n(n + 1) d) x Pn+l(X)Pn-l(X)dx = ( )( )( ) -1 Zti - 1 2n + 1 2n Hallar la distribución de tcmpcrauuas estaciouarias 11,('-, O) en una esfera sólida de radio r = 1 si u( 1 O) = { 1, O < e < íf /2, O, íf/2<0<íf Sol. u(r,o) = ~ + ~ f [P2n(0) - P2n+2(0)]r2n+lP2n+l(COSO) n==o 3. Hallar las temperaturas estacionarias en tilla esfera hueca (a ::; r ::;b) cuando u(a,e) = (cose) y u(b,e) = O (O < e < ít) 00 b2n+1 -r 2n+l ( a)11+1. Sol. u(r,e) = ~ C"b _ a 2n+ 1 -;: Pn(cose) donde 2n + 1JI e; = 2-1 (X) PlI ( X ) dx 4. Si u(x, t) representa las temperaturas en una barra aislada no homogénea -1 ::; x ::; 1 él. lo largo del eje de las :1.:, en In que la conductividad térmica es proporcional a 1-3;'2, la ecuación de calor torna la forma

15 donde b > O. Los extremos x = ±1 están aislados porque allí la conductividad se hace cero. Si u(x,o) = f(x) (-1 < x < 1), deducir la fórmula de las temperaturas u(x, t) [ 1 ] Sol. u(x, t) = :2 ~ (2n + 1) 11f(x)Pn(x)dx e- n (n+l)bt Pn(X) 5. Cuando f(x) = x 2 (-1 < x < 1) en el problema anterior, demostrar que u(x,t) = ~ + (X2 _~) e- 6bt 15

16 BIBLIOGRAFÍA 1. N.N. Lebedev: SPECIAL FUNCTIO:'\S A~D THEIR APPLICA- TIONS. Dover Publications, Inc. 2. W.W. Bell: SPECIAL F"C\'CTIONS FOR SCIENTISTS AND ENGI- NEERS. D. Van Nostrand Company, Ltd. 3. R.V. Churchill: SERIES DE FOURIER y PROBLEMAS DE CON- TOR:t\O. Me Graw-Hill. 16