i = -1 / i = 1 se pueden calcular las raíces de índice par con cantidad subradical negativa, las que no tienen solución en IR. Ejemplos: d) 81 e) 121

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Domingo Ortiz de Zárate Cáceres
hace 6 años
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1 Los números gnros: Clse-15 En hy stucones que no tenen solucón; por ejemplo no exste nngún número cuyo cudrdo se gul -1. Pr dr solucón est stucón recurrremos l conjunto de los números mgnros, donde se defne por "" quél número cuyo cudrdo es gul -1; es decr "" es tl que: = -1 / 1 = Con l yud de l undd mgnr = 1 1 se pueden clculr ls ríces de índce pr con cntdd subrdcl negtv, ls que no tenen solucón en. ) 4 b) 5 c) 64 d) 81 e) 11 f) 5 Ejerccos: Reducr ls sguentes expresones rdcles: ) b) De estos ejemplos se deduce que los números mgnros son de l form "b" con b. Potencs de : Por defncón = 1 ; tl que = -1; luego: = = -1 3 = 4 = 5 = = -1 = - 6 = 7 = 8 = 9 = 10 = Donde ests potencs de "" tomn sólo cutro vlores:, -1, -, 1 ; vlores que se repten ndefndmente y en el msmo orden. (1)

2 Pr el cálculo de un potenc de "", se plc el sguente reloj o método práctco: ) ) -1 1 m(4) 1 - n 1 s n : 4 tene resto 0 s n : 4 tene resto 1-1 s n : 4 tene resto - s n : 4 tene resto 3 Tods ls potencs de "" elevds un múltplo de 4 son de vlor 1. Ejercco: 1) Clculr el vlor de ls sguentes potencs de "" ; recuerde que -n 1 =. n ) 3 = b) 4 = c) 57 = d) 7 = e) 8 = f) 97 = g) 8 = h) 15 = ) Reducr ls sguentes expresones con potencs de "": ) = c) = b) = d) = Los números Complejos: Son los elementos del conjunto C ; defnéndose: C = { ( + b) /, b } Los números (3 + 7), ( - 9), ( 5-7 ) ; ( + ) ;... etc. son elementos de C. 9 5 A l form + b se le llm cnónc o bnómc de un complejo, donde l prte rel es "" y l prte mgnr es "b". ) Pr (7 + 3); Prte rel: Prte. : b) Pr (-8-3); Prte rel: Prte. : ()

3 En el complejo ( + b), s l prte rel es nul; es decr s = 0 este qued de l form (0 + b) sendo un complejo mgnro, dferenc de ser b = 0, donde tl complejo qued de l form ( + 0) sendo un complejo rel. ) (0 + 3) ; (0-9) son complejos. b) (7 + 0) ; (-3-0) son complejos. Relcón entre y C: S ; se tene que = ( + 0) = ( + 0) C ; luego todo número rel es elemento de C ; en consecuenc C; de gul form todo número mgnro b es complejo y que b = (0 + b); luego C. Q II C Al escrbr los sguentes números como complejos estos quedn: () 3 = (b) -5 = (c ) 5= (d) - 3 = Representcón gráfc de los elementos de C: A todo complejo le corresponde un punto sobre un sstem de ejes coordendos; uno rel y otro mgnro. Al representr el complejo = ( + b); este qued ndcdo por un punto, complejo l que se le soc un flech o vector como ndcdor. b ( + b) b ( + b) Ejercco: 1) Represente por un punto gráfcmente los complejos ddos: 1 = (3 + 4) = (- + 3) 3 = (-1 ) 4 = (5 3) 5 = (4 + 0) 6 = (0 + ) (3)

4 ) Identfcr los complejos representdos gráfcmente por puntos: 1 = = 3 = 4 = -5 5 = 6 = Notr que exste un correspondenc bunívoc entre números complejos y puntos de este sstem de ejes; es decr todo complejo le corresponde un punto y todo punto represent un complejo. Conjugdo de un complejo: S = ( + b); su conjugdo es el complejo = ( - b) ; es decr dos complejos son conjugdos cundo dferen sólo en el sgno de su prte mgnr. Ejercco: Determne el conjugdo de: ) 1 = (5 + 7) ; 1 = c) 3 = (9 - ) ; 3 = b) = (-8 + 3) ; = d) 4 = (-7-5) ; 4 = Módulo de un complejo: S = ( + b); su módulo, el que se denot por ; defnéndose: = + b El módulo de un complejo, es un número que ndc l dstnc exstente entre el orgen de un sstem de ejes y el punto que ndc dcho complejo. Ejemplo: S = ( + b) ; luego: Ejercco: Determne el módulo de los complejos: b ( + b) ) S 1 = (3 + 4) b) S = (5-1) c) S 3 = (-9-1) 1 = = 3 = (4)

5 Otr form de expresr un complejo: El complejo = ( + b) es tmbén que se puede expresr por su módulo y por el ángulo que el vector que lo represent form con el eje rel postvo. Ejemplo : ) Se el complejo = (4 + 3) = = (por trnsportdor) luego es tl que = con = b) Se tl que = 13 con = 47 =47 = Trndo prlels los ejes: = (-5 1) Ejercco: En bse l ángulo del complejo ddo, determne el ángulo de los otros complejos: + b - + b - - b - b -+b b +b b -b -b 30 -+b - b 30 +b -+b b b -+b b b -+b b b --b -b -b --b -b -b --b -b -b --b -b -b Iguldd de Complejos: Dos complejos son gules s y sólo s sus prtes reles son gules entre s y sus prtes mgnrs son gules entre s; es decr: Ejemplo: [ ( + b) = (c + d) ] [ ( = c) (b = d) ] [ ( = c) (b = d) ] Se tene que ( ) = ( ) y que 3 = 15 5 y 18 = 9. Ejercco: S ((x-3) + (3y-8)) = ((x+3) (y 7)) ; luego el complejo (x + y) es: (5)

6 Ejerccos Complementros: 1) Clculr el vlor de ls sguentes expresones con ríces: ) 64 b) c) d) 5 11 e) f) ) Clculr el vlor de ls sguentes expresones con potencs de : ) 3 = b) 38 c) = d) -3 5 = e) = f) = 3) Complete colocndo o según correspond: Número Rel. Complejo Número Rel. Complejo ) Complete pr cd complejo su conjugdo y su módulo : (3 + 4) (-8 15) (5 1) (-7 + 4) 5) Despeje x e y s: ) (4x + 7) = ( -1 + y) b) ((3x + 6) 8) = (18 (6 y)) (6)

7 Ejerccos Propuestos: 1) S n IN; entonces A) 1 B) C) 1 D) E) 4n+3 =? ) De ls sguentes proposcones es (son) verdder(s)? l) 4n =1 ll) 4n1 =1 lll) A) Sólo l B) Sólo l y ll C) Sólo l y lll D) Sólo ll y lll E) Tods 4n1 =1 3) Se tene que 1 15 =? 4) Se tene que 1 - =? A) 1 B) C) A) B) / C) 0 D) 1 D) / E) Otro vlor. E) 5) S = (k + 4); pr que el módulo de se 5; k =? l)-3 ll) 3 lll) 9 A) Sólo l B) Sólo ll C) Sólo lll D) Sólo l y ll E) Nnguno de los nterores. 6) S el complejo = + b es gul su conjugdo; entonces se cumple que: A) b = 0 B) = b = 0 C) = 0 D) = b E) + b = 0 7) S x = ( ) 1. Cuál(es) de los sguentes es (son) un número mgnro? l) A) Sólo l B) Sólo ll -x x ll) C) Sólo lll D) Sólo l y lll E) Tods x (- x) lll) x x 8) S ((3+x) (-y)) = ((15-x) + (8+3y)) ; entonces el complejo (x y) =? A) ( 6 + 5) B) ( 5 + 6) C) ( 5-6) D) ( 6 5) E) ( 6 + 5) (7)

8 9) Se el complejo = ( + b) el que form un ángulo de 60 con el eje rel postvo, luego el ángulo que form con este msmo eje el complejo = (--b) es: A) 10 B) 150 C) 10 D) 40 E) 70 11) S = - con su conjugdo ; luego 1 =? A) B) 1 C) 1 4 D) 1 E) ) S = + b; se tene que el conjugdo de es un número mgnro s: (1) S = 0. () S b = 0. A) (1) por sí sol B) () por s sól C) Ambs junts, (1) y () D) cd un por s sol, (1) o () E) Se requere nformcón dconl. 10) Se el complejo = ( + b) el que form un ángulo de 30 con el eje rel postvo, luego el ángulo que form con este msmo eje el complejo = (-b) es: A) 10 B) 40 C) 70 D) 300 E) 330 1) S 1 1 y que: A) Sólo l B) Sólo ll C) Sólo lll D) Sólo l y ll E) Tods l) 1= ( ) ll) 1 = lll) 1 = ; luego es verddero 14) Se tene que los complejos 1 y tenen el msmo módulo s: (1) S 1 y son conjugdos. () S sus prtes reles son gules. A) (1) por sí sol B) () por s sól C) Ambs junts, (1) y () D) cd un por s sol, (1) o () E) Se requere nformcón dconl. 1) ) 0 Respuests Ejerccos Propuestos Clse-13 b) 1 0 ) 1,50515, ,0066 0, ,908 -, ) ) 1,81 b) 0,118 c) 0,965 d) 0,4448 4) ) ) 4,51455 d) 0,51455 ) ) 3,1673 d) 0,1673 b) 3,51455 e)-0,48545 b),1673 e) 0,8368 c) 1,51455 f)-1,48545 c) 1,1673 f),8368 5) E 6) B 7) C 8) A 9) B 10) D 11) C 1) D (8)

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