MATEMÁTICA 4º. Prof. Sandra Corti

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Pedro Sosa Fidalgo
hace 6 años
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1 L rdccón de se negtv e índce pr no tene solucón en el conjunto de los números reles ( 4; 25, 16, etc.), y que no exste nngún número rel que elevdo un potenc pr dé por resultdo un número negtvo. Se defne entonces un nuevo número, llmdo, cuyo cudrdo es gul -1. Dcho número es l undd mgnr en el conjunto de los números complejos. ) 4 = 4.( 1) = 4. 1 = ± 2 ) 3 = 3.( 1) = 3. 1 = ± 3 Representcón gráfc y expresón crtesn de un complejo Se defne l conjunto de los números complejos C como: C = {(x;y) R 2 / x R ^ y R} A cd número complejo le corresponde un punto del plno. Z = (;) Expresón crtesn o pr ordendo Componente rel Componente mgnr Todos los números de l form (;0) son números reles y los de l form (0;) son números mgnros puros. Un número rel es un complejo cuy segund componente es gul 0. El número mgnro de segund componente gul 1 es l undd mgnr. Expresón nómc de un complejo L expresón nómc es: + k = (k;0) = (0;1) Prte rel Prte mgnr S = 0 el número complejo se reduce un número rel, y que + 0 =. S = 0 el número complejo se reduce, y se dce que es un número mgnro puro. Ejemplos: ) z1= (3;4) = ) z2 = (0;3) = 3 c) z3= (-1;1) = -1 + d) z4= (-2;0) = -2 1) Une con flechs cd número con su expresón nómc: (-1;1) - (-1;0) 1 + (1;-1) -1 (1;1) -1 (0;-1) ) Hll el vlor de cd un de ls sguentes ríces. ) 9 = c) 5= ) 25 = d) 8 = 2) Represent gráfcmente cd uno de los sguentes números complejos: ) z1 = e) z5 = (-3;0) ) z2 = f) z6 = (0;-3) c) z3 = (5;0) g) z7 = -5-2 d) z4 = h) z8 = = -1 = 4) Hll los vlores reles de x e y que verfquen ls sguentes gulddes. ) (2x ; y-2) = (4;-1) c) 3x -1 + (1- y) =(2;3) ) (- x + 3;-y + ) =(0;1) d)(2x 5) -4y+1=3- R z=(;) R Págn 1 de 5

2 Módulo de un complejo. Complejos conjugdos: Complejos conjugdos Ddo un complejo z, se defne como su conjugdo z l complejo que tene l msm prte rel y opuest su prte mgnr. Un complejo y su conjugdo son smétrcos respecto del eje x. ) z1 = 5 2 z = ) z2 = -1 + z = -1 c) z3 = -7 z = 7 Módulo de un complejo: z = + z = A cd número complejo z = (;) le está socdo un vector v, con orgen en el orgen de coordends y extremo en el punto (;). De este modo se puede hcer corresponder cd número un vector. - v z=(;) z=(;-) z=(;) El módulo de ese vector es el módulo del complejo y se represent con l letr ρ (Rho o Ro) ρ = z = +! Al ángulo ϕ (F) se lo llm rgumento. Y se lo clcul de l sguente form: tg ϕ = rc tg ϕ = ϕ Ejemplo: z = z = ρ = = 9+16 = 25 ρ = 5 tg ϕ = tg ϕ = 1,333 ϕ = ρ= z ϕ z=(;) Formr trgonométrc de un complejo: Psje de form trgonométrc nómc Cos ϕ = = ρ. Cos ϕ ρ z = ρ ( cosϕ +. senϕ ) Senϕ = ρ = ρ. Senϕ Ejemplo: z = 2 (cos sen 30 ) = 2. cos 30 = 1,73 = 2. sen30 = 1 z = 1, Psje de form nómc trgonométrc - Expresr el complejo z = en form trgonométrc. ρ = 3 +3 = 9+9 = 18 = 3 2 tg ϕ = = 1 ϕ = rc tg 1 = 45º z = = 3 2 (cos 45º + sen 45º) Not: pr poder scr el ángulo correcto según el cudrnte l cul pertenece el complejo, se sc el ángulo como s pertenecer l prmer cudrnte o se con l cs y l ordend postv, luego se relz lo sguente: * S pertenece l II cudrnte se hce: áng. otendo. Ejemplo: z= , es = 135 * S pertenece l III cudrnte se hce: áng. otendo. Ejemplo: z= -3-3, es = 225 * S pertenece l IV cudrnte se hce: áng. otendo. Ejemplo: z= 3-3, es = 315 Págn 2 de 5

3 5) Hll el conjugdo de cd uno de los sguentes números complejos: ) z1 = ) z2 = 3 c) z3 = ) Expres en form trgonométrc cd uno de los sguentes complejos: ) z1 = 1 + ) z2 = c) z3 = -1 3 d) z4 = 1/2-2 7) Expres en form nómc cd uno de los sguentes números complejos: ) z1 = 3.( cos sen 60 ) ) z2 = 6. (cos 135º +. sen 135 ) Adcón y sustrccón de complejos: Pr sumr o restr dos números complejos, en form nómc, se sumn o restn ls prtes reles e mgnrs respectvmente. ( + ) ± (c + d) = ( ± c) + ( ± d) ) (-5 + 3) + (-3 6) = (-5 3) + (3 6) = -8 3 c) (-1 + ) (2 ) = (-1-2) + (1 + 1) = d) (6 3) (6 2) = (6 6) + (-3 + 2) = 0 1 = - Adcón y sustrccón de complejos conjugdos L sum de dos complejos conjugdos es gul l duplo de l componente rel. ( + ) + ( ) = ( + ) + ( ) = 2 ) (3 + 2) + (3 2) = (3 + 3) + (2 2) = 6 ) (-5 7) + (-5 + 7) = (-5 5) + (-7 + 7) = -10 L rest de dos complejos conjugdos es gul l duplo de l componente mgnr. ( + ) ( ) = ( ) + ( + ) = 2 ( - ) ( + ) = ( ) + (- - ) = -2 ) (3 + 5) (3 5) = (3 3) + (5 + 5) = 10 ) (-5-4) (-5 + 4) = (-5 + 5) + (-4 4) = -8 8) Efectú ls sguentes dcones y sustrccones: ) (-8 + 9) + (6 11)= ) (4 7) (-2 + 3) = c) ( 3 5) + (2. 3 2) ( ) = d) + (-3) + 81 (2-3) + 16 = 9) Resuelve cd un de ls sguentes opercones comnds: ) (-3)= d) (1/2 + 2) + (-1/3 + 4) (1/2 2)= ) / = e) (1 3) (2 1/2) + (1/2 ) = c) (3 ) (4 + 3) + (1 2) = f) (2 1/5) (1/2 4) (3 + ) = Potenc de l undd mgnr Aplcndo ls propeddes de l potenccón en R, se puede hllr l potenc enésm de l undd mgnr. 0 = 1 4 = 3. = -. = - 2 = - (-1) = 1 8 = 7. = -. = - 2 = -(-1) = 1 1 = 5 = 4. = 1. = 9 = 8. = 1. = 2 = -1 6 = 5. =. = 2 = = 9. =. = 2 = -1 3 = 2. = -1. = - 7 = 6. = -1. = - 11 = 10. = -1. = - y sí sucesvmente, se oserv que: 0 = 4 = 8 = 1 1 = 5 = 9 = 2 = 6 = 10 = -1 3 = 7 = 11 = - 0 = 1 1 = 2 = -1 3 = - Págn 3 de 5

4 Los resultdos de ls potencs de son 1,, -1 y ; y se repten peródcmente. n = 4c + r = ( 4 ) c. r n = r ^ n 4 1 r c El resultdo de elevr l undd mgnr un número nturl n, es gul elevrlo l resto de l dvsón enter entre n y 4. ) 85 = 1 = ) 143 = 3 = - c) 108 = 0 = 1 d) 134 = 2 = Cudrdo y cuo de un complejo: Pr elevr l cudrdo o l cuo un complejo, se desrroll el cudrdo o el cuo de un nomo. ) (3 + 2) 2 = (2) 2 = = (-1) = = ) (2 5) 2 = (-5) + (-5) 2 = = (-1) = = c) (2 + ) 3 = = (-1) + (-) = = d) (5 2) 3 = (-2) (-2) 2 + (-2) 3 = = (-1) 8.(-) = ) Resuelve cd un de ls sguentes potencs de. ) 122 = ) 523 = c) 116 = d) 218 = 11) Resuelve cd un de ls sguentes opercones: ) / = c) 3/ / = ) 1/ = d) /3 11 = 12) Escre en form nómc cd uno de los sguentes números complejos: ) z1 = ) z2 = c) z3 = ) Clcul ls sguentes potencs: ) (4 + 3) 2 = ) (2 6) 2 = c) (1 29 ) 2 = d) (1 + 2) 3 = e) ( ) 3 = Multplccón y dvsón de complejos Multplccón de complejos: Pr multplcr dos números complejos en form nómc, se plc l propedd dstrutv de l multplccón respecto de l sum y/o rest. ( + ). (c + d) =.c +.d + c. +.d 2 =.c +.d + c. d = c d + (d + c) (2 + 3). (5 ) = = (-1) = = Producto de complejos conjugdos: El producto de dos números complejos conjugdos en gul l sum de los cudrdos de l prte rel e mgnr. z.z = ( + ). ( ) z.z= 2 () 2 z.z = z.z = 2 2.(-1) z. z = ) (3 + 2).(3-2) = = = 13 ) (2 ).(2 + ) = = = 5 Dvsón de complejos: Pr dvdr dos números complejos en form nómc, se multplc l dvdendo y l dvsor por el conjugdo del dvsor y luego se resuelven ls opercones resultntes. ) ) 3-2 ' = = 3-2 '. $% = = = (' (' $ ' = = -3-2 = -2-3 (' -' ) ((() Págn 4 de 5

5 14) Encuentr los sguentes productos de complejos conjugdos: ) (1 + ). (1 ) = ) (-3 + 2). (-3 2) = c) ( + 3). ( - 3)= 15) Resuelve ls sguentes multplccones: ) (4;6). (-2;3) = ) (1;3). (2;-4) = c) (8 + 2).(-3 +) = d) ( 3 + ).( ) = 16) Resuelve ls sguentes dvsones: ) = ) = c) = d) = ) Resuelve ls sguentes opercones comnds: ) = ) ( ) 15 = c) (6+2). (5+3) 2+2 e) *'+, ( ' )-. ) (' = d) (6 ) = = f)[(-1/ ). ( ) ] 2 = g) / = h) (-4 3) + (-1/3 + 5 ). (2 ) 3 = ) (-2 + 1/2 ) 2. (-1 4) + (5 1/4) = j) = k) (-2 ) = l) (3 + 2)3 + ( ) = m) (2 + ) = n) 27. (-3 + 2) (1 + ). (1 ) = Págn 5 de 5

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