PS Respuesta Temporal de Sistemas La Función de Transferencia

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1 PS35 - Respuesta Temporal de Sistemas La Función de Transferencia William Colmenares 4 de junio de 006 Índice. Respuesta Temporal. Polos y Ceros.. ejemplos numéricos Señales de caracterización 3 4. Sistemas de Primer Orden 4 5. Sistemas de Segundo Orden 6 6. Sistemas No Canónicos y de Orden Superior 8. Respuesta Temporal En este capítulo nos concentraremos en caracterizar la respuesta en el tiempo de sistemas. En la primera parte del curso, al estudiar los sistemas eléctricos, mecánicos e hidráulicos, determinamos que, al menos en un rango de operación, podemos describir al sistema como uno lineal, descrito por: una ecuación diferencial, por una representación de estados o por una función de transferencia. En particular, la función de transferencia nos permite describir la relación entre las transformadas de Laplace de la salida y la entrada de un sistema. En la figura () se muestra un sistema con función de transferencia G(s). La relación entre la entrada y la salida es: Y (s) = G(s)X(s) () Si lo que queremos es la respuesta temporal, entonces: y(t) = L {Y (s)}

2 Figura : Sistema en Función de Transferencia. Polos y Ceros Concentrémomos por ahora en la representación en términos de la función de transferencia, también conocida como representación entrada salida. Una función de transferencia, como hemos visto, no es más que un cociente de polinomios en s (una variable compleja), de la forma: sm + a m s m + + a s + a 0 s n + b n s n + + b s + b 0 = (s + z )(s + z ) (s + z m ) s + p )(s + p ) (s + p n () El orden de la función de transferencia viene determinado por el grado del su denominador. Definiremos como Ceros de G(s) a los valores de s que hacen cero a la función de transferencia y Polos a los valores de s que hacen cero al denominador la función de transferencia. En el caso que se muestra en (), los ceros son: z,..., z m y los polos son: p,..., p n. En un sistema causal, como es el caso de los sistemas reales, m n. Como los polos y ceros del sistema ocurren bien como números reales o como complejos conjugados, los polos y ceros de cualquier sistema se pueden representar en un plano complejo, que en este caso se denomina plano s y ello se denomina Diagrama de polos y Ceros del Sistema. Más adelante dibujaremos algunos diagramas de polos y ceros. En lo sucesivo estudiaremos el efecto de los polos y ceros del sistema en la respuesta dinámica ante señales externas. Además de los polos y ceros, el otro elemento que permite caracterizar sistemas es la Ganancia DC. Ella se calcula como: K = Salida Entrada es decir, cambio neto en la salida sobre el cambio neto en la entrada, cuando se da una señal DC (escalón por ejemplo) en la entrada. Suponiendo, como es común en control, que el sistema de la figura () en t = 0 tiene su salida en: y(0) = 0 y que aplicamos un escalón unitario en la entrada (X(s) = /s), entonces la ganancia del sistema viene determinada por y( ), esto es: K = y ss = y( ) = lím t y(t) = lím s 0 sy (s) = lím s 0 sg(s) s = G(0) A continuación presentamos algunos ejemplos de polos y ceros de sistemas. (3)

3 .. ejemplos numéricos Considere los sistemas G (s) = s + s + s 3 + s + s + G (s) = s(s + s + ) G 3 (s) = s s 3 + s + (4) (5) (6) En el sistema los ceros y polos son: Z = ( 0,05±j0,866) y P = (, ±j). En el, no hay ceros (finitos) y los polos son: P = (0, 0,05 ± j0,866). En el 3, los polos y ceros son: Z 3 = (±), P 3 = (0,34 ± j,65, 0,683). Las ganancias DC de los sistemas G (s) y G (s) antes descritos son, respectivamente y -. El segundo sistema no converge ante una señal DC y de allí que no tiene sentido hablar de tal ganancia. El diagrama de polos y ceros del sistema G 3 (s) se muestra en la figura ()..5 Pole Zero Map 0.5 Imag Axis Real Axis Figura : Plano s. Diagrama de Polos y Ceros 3. Señales de caracterización Cuando hablamos de Respuesta Temporal de Sistemas, nos referimos al análisis de la respuesta en el tiempo de un sistema cuando es excitado por 3

4 una señal externa. El propósito es ganar algún conocimiento de su naturaleza y muy particularmente de sus parámetros, a través de esa respuesta. En control, son cuatro las señales que normalmente se utilizan para caracterizar un sistema, y ellas son: El escalón El impulso { δ(t) = u(t) = { t 0 0 t < 0 0 t 0 0 δ(t)dt = (7) (8) La rampa La sinusoide x(t) = r(t) = { t t 0 0 t < 0 { sin(ω(t)) t 0 0 t < 0 (9) (0) De las cuatro entradas estándar, las tres primeras caracterizan completamente a los sistemas lineales (al menos en lo que respecta a los sistemas de primer y segundo orden), mientras que la última sólo lo hace si se varía la frecuencia de la sinusoide entre cero e infinito. 4. Sistemas de Primer Orden Como su nombre lo indica, un sistema de primer orden, tiene un polinomio en s de grado en el denominador, esto es: b s + a = K τs + () observe que K = b/a y que τ = /a. Se desea encontrar la respuesta temporal de sistema a una entrada determinada, tal como se muestra en la figura (). En nuestro caso, la entrada para caracterizar al sistema será la entrada escalón que definimos previamente. En ese caso, la transformada de Laplace de la salida del sistema es: b Y (s) = () s(s + a) luego la respuesta temporal del sistema es: y(t) = L {Y (s)} = b a L { ( s ) } = K( e t/τ ); t 0. (3) (s + a) 4

5 Pasemos a hacer algunas observaciones sobre la respuesta obtenida. La primera es que la respuesta temporal y(t) tiene dos componentes. La primera asociada a la entrada del sistema (una constante) y la segunda asociada al mismo sistema y que en (3) se ve como una exponencial. La segunda componente (asociada a la dinámica propia del sistema), es la responsable por los efectos transitorios en la respuesta temporal y(t). Observe que: Los efectos transitorios desaparecerán sólo sí el polo de () es negativo o lo que es lo mismo, está ubicado en el semiplano izquierdo con relación a su diagrama de polos y ceros. Si el polo está ubicado en el otro plano, el sistema simplemente, no sigue a la entrada y su salida crece sin límite. El tiempo en el que cesan los efectos transitorios está determinado por τ, que se denomina constante de tiempo del sistema. Si τ es grande, el sistema será lento y por el contrario, si es pequeña, el sistema será rápido La constante de tiempo, τ y el polo, a están relacionados por τ = /a, luego, en la medida que el polo está más cerca del origen el sistema será más rápido. Observe que e 4 = 0, 987, es decir que cuando han transcurrido 4 constantes de tiempo el sistema ya está en más del 98 % del valor final. Para efectos prácticos diremos que los efectos transitorios han (prácticamente) cesado cuando han transcurrido 4τ. Como se le dio una entrada escalón unitario y la salida en estado estacionario (y( )) es K, la ganancia del sistema es K. Lo que concuerda con lo expresado anteriormente sobre la ganancia DC de un sistema. En la figura (3) se muestra la respuesta a un escalón unitario del sistema: (0, 5s + ) Dejamos abiertas las siguientes preguntas, que esperamos que pueda contestar sin tener que recurrir a la transformada inversa de Laplace. qué sucedería con y( ) si la ganancia cambia a 5 con la misma entrada? qué sucedería si además la entrada cambia a un escalón unitario de amplitud 0,4? qué sucedería si la constante de tiempo pasa a ser 0?. Cuánto tiempo durarían los efectos transitorios? 5

6 Step Response Amplitude Time (sec) Figura 3: Respuesta Temporal 5. Sistemas de Segundo Orden Retomemos al sistema de la figura () en el que la función de transferencia G(s) es un sistema de segundo orden. Éstos (los sistemas de segundo orden) son aquellos cuyo polinomio del denominador es de orden dos, es decir, tienen dos polos. Ellos (los polos) pueden ser o bien reales o un par de polos complejos conjugados. Supongamos por los momentos que los polos son complejos conjugados y con parte real negativa (es decir que el sistema representado por G(s) es estable), en ese caso, la forma canónica del sistema de segundo orden es: ω n s + ζω n s + ωn (4) donde ζ es un escalar positivo entre 0 y. Observe que los polos (las raíces del denominador) del sistema son:. P, = ζω n ± jω n ζ La respuesta temporal del sistema a una entrada escalón es: y(t) = L {Y (s)} = L { s(s + ζω n s + ωn) } (5) pero al hacer expansión en fracciones parciales en (5) resulta que: y(t) = L { s + je jβ ζ (s + ζω n + jω n ζ ) + je (π β) ζ (s + ζω n jω n ζ ) } ω n (6) 6

7 donde β = arctan( ζ /ζ). De (6) es fácil obtener que: y(t) = e ζωnt ζ sin(ω n ζ t + β), t 0 (7) En la figura (4) mostramos la respuesta a una entrada escalón unitario al siguiente sistema de segundo orden (subamortiguado): 0 s + s Step Response.6.4 Mp. Amplitude 0.8 yss Tp Tss Time (sec) Figura 4: Respuesta de un Sistema de Segundo Orden Estamos interesados en determinar los elementos característicos de la curva de reacción de un sistema de segundo orden subamortiguado (con polos complejos conjugados). Para ello observe que los efectos transitorios el segundo elemento en (7) están determinados en duración, por la exponencial (e ζωnt ), es decir, que podemos asociar la parte real de los polos de (4) a la constante de tiempo del sistema, esto es: τ = ζω n (8) Consideraremos para efectos prácticos y tal como en el caso de sistemas de primer orden, que al cabo de T ss = 4τ, los efectos transitorios han desaparecido (ver figura (4). De igual forma, el otro elemento que requerimos para caracterizar esta respuesta es el Máximo Pico (M p ) (ver figura (4)). Para ello, realicemos que en todos los picos de la respuesta, la derivada de la función es cero. Luego, derivando (7) obtenemos que: dy(t) dt = e ζωnt ω n sin(ω n ζ t) (9) ζ 7

8 El Máximo Pico M p ocurrirá en la primera vez después de t = 0, que la derivada se haga cero cuando el argumento del seno es π, esto es: π T p = ω n ζ De la figura (4) resulta que la expresión para el sobre pico viene dada por: M p = y(t p ) y ss = e (0) ζπ ζ () A propósito de la expresión (), queremos hacer un par de observaciones. La primera, que el sistema para el que calculamos () estaba en forma canónica (ver (4)). Si la ganancia del sistema es K entonces () cambia a: M p = y(t p ) y ss = Ke ζπ ζ. () A la misma conclusión llegaríamos si el escalón en la entrada no fuese unitario sino de K, por qué?. La segunda observación, es que la figura (4) está referida al punto de operación y que normalmente no es cero. Los valores de realización de la curva deben referirse a ese valor para el cálculo de los parámetros. Observe que una vez determinado el tiempo de pico y la ganancia del sistema, puede caracterizarse completamente al sistema. La otra posibilidad con los sistemas de segundo orden, es que sus raíces sean reales. En ese caso la función de transferencia sería: b (s + p )(s + p ) = K (τ s + )(τ s + ) (3) En ese caso la respuesta a una entrada a un escalón unitario es: y(t) = L {G(s) { } s } = b L s(s + p )(s + p ) al hacer expansión en fracciones parciales en (4) resulta: { } y(t) = L b p p s p p p (p p ) p p p (p p ) (4) (5) 6. Sistemas No Canónicos y de Orden Superior 8

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