IQ57A: Dinámica y control de procesos Capítulo 2: Sistemas de segundo orden

Transcripción

1 IQ57A: Dinámica y control de procesos Capítulo 2: J. Cristian Salgado - jsalgado@ing.uchile.cl Departamento de Ingeniería Química y Biotecnología, Universidad de Chile August 29, 2008

2 Objetivos Al final de esta clase usted será capaz de Determinar los polos y ceros de una función de transferencia Caracterizar la respuesta dinámica de un sistema estudiando sus polos Reconocer y caracterizar la respuesta dinámica de un sistema de segundo orden

3 Análisis de respuesta de los sistemas Caso 1: polos reales y distintos Caso 2: polos reales iguales Caso 3: polos complejos conjugados Caso 4: polos en el origen : La función de transferencia de la gran mayoría de los procesos se puede escribir como el cuociente entre dos polinomios (caso especial: retardo): G(s) = y (s) f (s) = Q(s) P(s) : Ceros Los ceros de la función de transferencia equivalen a las soluciones de Q(s) = 0 La función de transferencia evaluada en sus ceros será igual a cero : Polos Los ceros de la función de transferencia equivalen a las soluciones de P(s) = 0 La función de transferencia evaluada en sus polos tenderá a infinito

4 Análisis de respuesta de los sistemas Análisis de respuesta de los sistemas Caso 1: polos reales y distintos Caso 2: polos reales iguales Caso 3: polos complejos conjugados Caso 4: polos en el origen La repuesta de un sistema frente a una entrada f (s) también puede ser representada por el cuociente entre dos polinomios: y (s) = G(s) f (s) = Q(s) r(s) P(s) p(s) N.B.: La respuesta del sistema a la entrada f (s) se obtiene a través de la inversión de esta expresión. Para ello resulta muy útil utilizar fracciones parciales.

5 Análisis de respuesta de los sistemas Análisis de respuesta de los sistemas Caso 1: polos reales y distintos Caso 2: polos reales iguales Caso 3: polos complejos conjugados Caso 4: polos en el origen Buscamos los polos de G(s): G(s) = y (s) f (s) = Q(s) P(s) Una vez encontrados los polos de la función de transferencia, ésta puede ser factorizada de la siguiente manera: G(s) = Luego ocupando fracciones parciales: G(s) = C 1 (s p 1 ) + C 2 (s p 2 ) + m Q(s) (s p 1 )(s p 2 )(s p 3 ) m (s p 4 )(s p 4 )(s p 5) i=1 C 3m (s p 3 ) i + C 4 (s p 4 ) + C 4 (s p 4 ) + C 5 (s p 5 )

6 Caso 1: polos reales y distintos Análisis de respuesta de los sistemas Caso 1: polos reales y distintos Caso 2: polos reales iguales Caso 3: polos complejos conjugados Caso 4: polos en el origen Sea, p 1 < 0 y p 2 > 0, la inversión de estos términos produce: y (s) = C 1 (s p 1 ) L 1 y (t) = C 1 e p 1t lim t y (t) = 0 y (s) = C 1 (s p 2 ) L 1 y (t) = C 1 e p 2t lim t y (t) = Observación En el caso de polos reales y distintos el signo del polo determina si la respuesta crece infinitamente (p > 0) o si decae a cero (p < 0).

7 Caso 2: polos reales iguales Análisis de respuesta de los sistemas Caso 1: polos reales y distintos Caso 2: polos reales iguales Caso 3: polos complejos conjugados Caso 4: polos en el origen Sea, p 3 polo de G(s) con m repeticiones, la inversión de estos términos produce: Observación y (s) = L 1 y (t) = lim t y (t) = m C 3m (s p i=1 3 ) i m C 3m (m 1)! tm 1 e p 3t i=1 p 3 > 0 p 3 = 0 0 p 3 < 0 En el caso de polos reales iguales el signo del polo determina si la respuesta crece infinitamente (p > 0) y (p = 0) o si decae a cero (p < 0).

8 Caso 3: polos complejos conjugados Análisis de respuesta de los sistemas Caso 1: polos reales y distintos Caso 2: polos reales iguales Caso 3: polos complejos conjugados Caso 4: polos en el origen Sea p 4 = a + bj y p 4 = a bj, la inversión de estos términos produce: L 1 y (s) = C 4 (s p 4 ) + C 4 (s p 4 ) y (t) = e at sin(bt + φ) a > 0 lim t y (t) = oscila a = 0 0 a < 0 Observación En el caso de polos complejos conjugados el signo de la parte real del polo determina si la respuesta crece infinitamente (p > 0), oscila (p = 0) o si decae a cero (p < 0).

9 Caso 4: polos en el origen Análisis de respuesta de los sistemas Caso 1: polos reales y distintos Caso 2: polos reales iguales Caso 3: polos complejos conjugados Caso 4: polos en el origen Sea p 5 = 0, la inversión de estos términos produce: y (s) = L 1 y (t) = C 5 C 5 (s p 5 ) = C 5 s Observación En el caso de polos ubicados en el origen dan como resultado una constante después de la inversión.

10 Análisis de respuesta de los sistemas Caso 1: polos reales y distintos Caso 2: polos reales iguales Caso 3: polos complejos conjugados Caso 4: polos en el origen Key Points Notar bien que para una entrada particular además se deben considerar los polos adicionados por su denominador. Polos con parte real positiva dan origen a términos que crecen infinitamente en el tiempo: sistemas inestables. Sistemas estables serán aquellos con todos los polos en el semiplano izquierdo (parte real negativa)

11 Ejemplos Dinámica para la respuesta Respuesta sobre amortiguada Respuesta críticamente amortiguada Respuesta sub amortiguada Caracterización de un sistema subamortiguado de sistemas de segundo orden son todos aquellos que son modelados por una ecuación diferencial de segundo orden. d 2 y a 2 dt 2 + a dy 1 + a 0 y = bf (t) dt Sea, τ 2 = a 2 a 0, 2ζτ = a 1 a 0 y K P = b a 0 para a 0 0 τ 2 d2 y dt 2 dy + 2ζτ + y = K P f (t) Forma canónica dt Laplace K P G(s) = τ 2 s 2 + 2ζτs + 1 Función de transferencia τ: Periodo de oscilación del sistema ζ : Factor de amortiguación K P : Ganancia de estado estacionario

12 Ejemplos de sistemas de segundo orden Ejemplos Dinámica para la respuesta Respuesta sobre amortiguada Respuesta críticamente amortiguada Respuesta sub amortiguada Caracterización de un sistema subamortiguado (sistemas capacitivos/ primer orden en serie) Sistemas inherentemente de segundo orden (raros en Ingeniería Química) Sistemas a los que se les ha adicionado un sistema de control

13 Ejemplos Dinámica para la respuesta Respuesta sobre amortiguada Respuesta críticamente amortiguada Respuesta sub amortiguada Caracterización de un sistema subamortiguado Dinámica para la respuesta de un sistema de segundo orden Supongamos que excitamos el sistema con un escalón en la entrada Sea, f (s) = 1 s y (s) = G(s)f K P 1 (s) = τ 2 s 2 + 2ζτs + 1 s La ubicación de los polos de esta ecuación entregan una pista de la dinámica del proceso. p i=1,2 = ζ τ ± ζ2 1 τ Factorizando mediante los polos queda: y K P /τ 2 (s) = s(s p 1 )(s p 2 )

14 Respuesta sobre amortiguada: ζ > 1 Ejemplos Dinámica para la respuesta Respuesta sobre amortiguada Respuesta críticamente amortiguada Respuesta sub amortiguada Caracterización de un sistema subamortiguado Para el caso ζ > 1 tenemos 2 polos reales y distintos lo que se conoce como sistema con respuesta sobre amortiguado y (t) = K P [ 1 e tζ/τ (cosh ( t ) ( ) ζ t ζ2 1 + τ ζ2 1 τ )] sinh ζ2 1 donde sinh(x) = ex e x 2 y cosh(x) = ex + e x 2

15 Respuesta críticamente amortiguada: ζ = 1 Ejemplos Dinámica para la respuesta Respuesta sobre amortiguada Respuesta críticamente amortiguada Respuesta sub amortiguada Caracterización de un sistema subamortiguado Para el caso ζ = 1 tenemos 2 polos reales e iguales lo que se conoce como sistema con respuesta críticamente amortiguado [ ( y (t) = K P 1 e t/τ 1 + t )] τ y (t)/k P Tiempo

16 Respuesta sub amortiguada: ζ < 1 Ejemplos Dinámica para la respuesta Respuesta sobre amortiguada Respuesta críticamente amortiguada Respuesta sub amortiguada Caracterización de un sistema subamortiguado Para el caso ζ < 1 tenemos 2 polos complejos conjugados lo que se conoce como sistema con respuesta sub amortiguado ] y 1 (t) = K P [1 1 ζ 2 e tζ/τ sin(ωt + φ) ( ) 1 ζ 2 1 ζ donde ω = y φ = tan 1 2 τ ζ y (t)/k P Tiempo

17 Caracterización de un sistema subamortiguado Ejemplos Dinámica para la respuesta Respuesta sobre amortiguada Respuesta críticamente amortiguada Respuesta sub amortiguada Caracterización de un sistema subamortiguado ( ) O = A B = exp πζ Overshoot 1 ζ 2 ( ) 2πζ DR = exp = O 2 Razón de decaimiento 1 ζ 2 T = 2πτ 1 ζ 2 Periodo de oscilación y (t)/k P A B T C ±5% Tiempo respues T N = 2πτ Periodo natural de oscilación Tiempo de subida Tiempo

18 Sistemas capacitivos no interactuantes Ejemplo: Sistemas capacitivos no interactuantes Sistemas capacitivos interactuantes de sistemas multicapacitivos Los sistemas multicapacitivos corresponden a sistemas capacitivos (primer orden) dispuestos en serie. N.B. Dos sistemas de primer orden dispuestos en serie originan un sistema de segundo orden Sistemas capacitivos no interactuantes Sistemas capacitivos interactuantes

19 Sistemas capacitivos no interactuantes Ejemplo: Sistemas capacitivos no interactuantes Sistemas capacitivos interactuantes Sistemas capacitivos no interactuantes y 1 y 2 f G 1 G 2 Considere N sistemas de primer orden dispuestos en serie: τ P1 dy 1 dt τ P2 dy 2 dt τ Pn dy n dt + y 1 = K P1 f 1(t) G 1 (s) = y 1 (s) f 1 (s) = K P 1 τ P1 s y 2 = K P2 y 1(t) G 2 (s) = y 2 (s) y 1 (s) = K P 2 τ P2 s + 1 : + y n = K Pn y n 1(t) G n (s) = y n(s) y n 1 (s) = K P n τ Pn s + 1 y ń G n y n(s) = f (s) n i=1 G i (s) = f (s) n i=1 K Pi τ Pi s + 1

20 Sistemas capacitivos no interactuantes Ejemplo: Sistemas capacitivos no interactuantes Sistemas capacitivos interactuantes Ejemplo: Sistemas capacitivos no interactuantes Considere N=2 sistemas de primer orden dispuestos en serie: f G 1 G 2 y 2 y 1 y n(s) = f (s) 2 i=1 Qué características tiene este sistema? K P1 K P2 G i (s) = f (s) τ P1 s + 1 τ P2 s + 1

21 Sistemas capacitivos no interactuantes Ejemplo: Sistemas capacitivos no interactuantes Sistemas capacitivos interactuantes Ejemplo: Sistemas capacitivos interactuantes Un ejemplo clásico de sistemas interactuantes se muestra en la figura F 1 h, 1 A1 Estanque 1 F 2 h, 2 A2 h, 3 A3 F 5 F 3 Estanque 2 F 4 Estanque 3

22 Preguntas Key Points Los polos de la función de transferencia permiten caracterizar el comportamiento dinámico del sistema Los sistemas de segundo orden se clasifican en función del factor de amortiguación ζ Sistemas no interactuantes aparecen al conectar sistemas de primer orden en serie.

23 Preguntas Preguntas