Práctica 8 Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones con Mathematica

Transcripción

1 Práctica 8 Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones con Mathematica Resolver una ecuación o un sistema de ecuaciones es un problema que se presenta con mucha frecuencia en matemáticas. En esta práctica nos centraremos en las instrucciones que Mathematica incorpora para este propósito La instrucción Solve Se utiliza para obtener la solución exacta de una ecuación o un sistema de ecuaciones: Solve[ecuación, variable] Resuelve la ecuación dada respecto de la variable indicada Solve[{ecuacion1,ecuacion, },{variable1,variable,.}] Resuelve el sistema formado por las ecuaciones dadas respecto de las variables indicadas. Si queremos obtener una solución aproximada utilizaremos la instrucción NSolve que tiene la misma sintaxis que Solve. El único inconveniente que presentan ambas instrucciones es que, salvo para un número muy reducido de ecuaciones (entre las que se encuentran las ecuaciones polinómicas de grado bajo), lo más probable es que no se puedan encontrar todas las posibles soluciones de la ecuación. Ejemplo 8.1 Resolver las siguiente ecuaciones y sistemas a) x 3 5x + 3x + 1 = 0 b) sen x cos x = 0 c) a x + y = 1 x + a y = 1 a) x 3 5x + 3x + 1 = 0 Observemos que en este caso no ha sido necesario indicar la variable con respecto a al cual queremos resolver la ecuación, dado que en la ecuación sólo interviene una. Si queremos un valor aproximado de las soluciones podemos utilizar el comando N

2 o bien utilizar la instrucción NSolve Si bien el resultado mostrado por ambas instrucciones es el mismo, dichas instrucciones, como sabemos, se comportan internamente de manera muy distinta. En ambos casos podemos obtener la solución con una mayor precisión. Por ejemplo, si queremos un valor aproximado con una precisión de 30 dígitos decimales, podemos escribir: b) sen x cos x = 0 En este caso nos aparece un mensaje indicando que, debido al método usado, es probable que no aparezcan todas las soluciones de la ecuación. Además el programa nos aconseja utilizar la instrucción Reduce para obtener información sobre la solución completa. c) Nos aparece el conjunto de todas las soluciones de la ecuación en función de un parámetro c 1 que puede tomar cualquier valor entero. La instrucción Reduce actúa de forma similar a la instrucción Solve, salvo que intenta mostrar todas las soluciones de la ecuación, haciendo una discusión de los posibles casos que puedan presentarse. Esta instrucción está especialmente indicada si dentro de la ecuación aparecen parámetros. a x + y = 1 x + a y = 1 Observemos que la solución mostrada al resolver el sistema anterior puede no ser válida en el caso a = -1. La instrucción Reduce nos permite mostrar todas las soluciones haciendo una discusión sobre los posibles valores del parámetro a.

3 8..- La instrucción Roots En el caso particular de que se trate de encontrar las soluciones de una ecuación polinómica, podemos utilizar la instrucción Roots que nos muestra todas las raíces del polinomio dado. Su sintaxis es la siguiente: Roots[ecuación-polinomia,variable] Ejemplo 8. Encontrar las soluciones de las ecuaciones polinómicas siguientes: a) = x x x x 0 b) x x x x + x 1 = 0 a) x 4 x 3 39 x 31x 70 = b) x x x x + x 1 = 0 En este caso el programa no ha sido capaz de darnos las raíces de forma exacta. Pero podemos pedirle un valor aproximado.

4 8.3.- La instrucción FindRoot La instrucción FindRoot aplica un método iterativo (método de Newton-Raphson o método de la secante) para encontrar un valor aproximado de la solución de una ecuación. La sintaxis es la siguiente: FindRoot [ ecuacion, {x, x 0 }] Encuentra un valor aproximado de la solución de la ecuación dada en la variable (suponemos x) partiendo del valor inicial x 0 y aplicando el método de Newton-Raphson. FindRoot [ ecuacion, {x, x 0, x 1 } ] Encuentra un valor aproximado de la solución de la ecuación dada en la variable (suponemos x) partiendo de los valores iniciales x 0, x 1, aplicando el método de la secante. La instrucción FindRoot admite, entre otras, las opciones MaxIterations n (que indica el número de iteraciones que se desean realizar, si no se indica Mathematica realiza 100 iteraciones) y WorkingPrecision n que indica el número de dígitos de precisión con que se realizan los cálculos (por defecto, el número de dígitos es 16, si bien Mathematica nos muestra el resultado con 6 dígitos). El valor o valores iniciales x 0 y x 1 deben ser valores próximos a la solución buscada. En caso contrario el método puede no mostrarnos la solución deseada. La representación gráfica de la función nos puede ayudar para determinar estos valores iniciales. Ejemplo 8.3 Probar que la ecuación x + artg x 1 = 0 tiene una única solución real. Dar un valor aproximado de la solución. Definimos la función Observemos que, en este caso, no es posible encontrar la solución exacta ni aproximada usando las instrucciones Solve y NSolve

5 Buscamos un intervalo donde haya alternancia de signo Como la función f es continua, el Teorema de Bolzano nos asegura la existencia de al menos una solución en el intervalo [0,1] Visualizamos la gráfica de la función en dicho intervalo Gráficamente se observa que hay una solución en el intervalo [0,1] (Además, dicha solución está próxima al valor 0.5) Probamos que la solución es única. Como puede observarse f '( x) 0 para cualquier x R, por lo que la solución es única. Aplicamos el método de Newton-Raphson tomando como valor inicial x 0 = 0.5 Si queremos que nos muestre la solución con una mayor precisión podemos utilizar: También podemos aplicar el método de la secante tomando como valores iniciales x 0 = 0.5 y x 1 = 0.6

6 8.4.- El método de bisección Nuestro objetivo será resolver una ecuación del tipo f (x)=0, donde suponemos que f (x) es una función continua. El método de bisección es un algoritmo que permite obtener un valor aproximado de la solución de una ecuación basado en la aplicación reiterada del teorema de Bolzano. Supongamos que hemos localizado un intervalo [a,b] donde hay alternancia de signo y donde la función f tiene solución única. Tomamos el punto medio del intervalo: a0 + b0 x0 =. Si f (x 0 ) = 0, entonces x 0 es la solución buscada. En caso contrario, nos quedamos con aquel intervalo, [a 0, x 0 ] ó [x 0, b 0 ], donde haya alternancia de signo y reiteramos el proceso. Llamamos [a 1,b 1 ] a este nuevo intervalo y reiteramos el proceso tomando su punto medio x 1. De esta forma se obtiene una sucesión de intervalos encajados [ a b ] [ a, b ] [ a, b ]... [ a n, b ]... 0, n que contienen a la solución. En cada uno de los pasos, el punto medio del intervalo an + bn xn = es tomado como una aproximación de la solución. Si s es la solución exacta de la ecuación f (x) = 0 en el intervalo [a,b], entonces se cumple que b a x s, n n +1 lo que nos da una estimación del error cuando se utiliza x n como aproximación de la solución s. Ejemplo 8.4 Probar que la ecuación x+sen x=1 tiene una única solución real. Localizarla en un intervalo de amplitud 1. a) Calcular un valor aproximado de la solución aplicando 10 iteraciones del método de bisección. Dar una estimación del error cometido. Definimos la función Buscamos un intervalo de amplitud 1 donde haya alternancia de signo Como la función f es continua, el Teorema de Bolzano nos asegura la existencia de al menos una solución en el intervalo [0,1].

7 Visualizamos la gráfica de la función en dicho intervalo Gráficamente se observa que hay una solución en el intervalo [0,1]. Probamos que la solución es única. Dado que f '( x) 0 para cualquier x R, la solución es única. Aplicamos el método de bisección tomando como valores iniciales a 0 = 0, b 0 = 1. b) Calcular un valor aproximado de la solución con 10 cifras decimales exactas, aplicando el método de bisección. En este caso no conocemos el número de iteraciones que hemos de realizar, por lo que utilizaremos una instrucción que nos permita interrumpir el algoritmo cuando hayamos alcanzado la precisión deseada. Si el número de cifras decimales exactas que queremos conseguir es ncifras, entonces el error debe ser menor que 1 ncifras 10.

8 8.5- Ejercicios propuestos 1.- Resolver las siguientes ecuaciones: x + 1 a) sen x + cos x = 0 b) x + 1 = 0 x c) x 7 5x + 9x 1 = 0.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones en función de los parámetros a, b y c. a x + y + z = 1 a) x + a y + z = 1 b) x + y + a z = 1 a x + b y + c = 0 x + y = Probar que las siguientes ecuaciones tienen solución única y encontrar un valor aproximado de la solución. a) x cos x = 0 b) e x + x + = Probar que la ecuación x = x sen x + cos x tiene exactamente dos soluciones reales. Calcular un valor aproximado aplicando 0 iteraciones del método de bisección. Dar una estimación del error cometido en cada caso Probar que la ecuación x + cos x + 10x = 0 tiene una única solución real. Cuántas iteraciones hay que hacer con el método de bisección para obtener un valor aproximado de la solución con un error menor que 10-7?