TRABAJO ESPECIAL DE GRADO

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1 RABAJO ESPECIAL DE GRADO IMPLEMENACIÓN DE UN ALGORIMO PARA RESOLVER SISEMAS GRANDES DE ECUACIONES LINEALES MEDIANE EL MÉODO DE ELEMENO A ELEMENO Presentado ante la lustre Unversdad Central de Venezuela Por los bachlleres: Bouzas Rodríguez, José Manuel Walls Iglesas, Roberto para optar al ítulo De Ingenero Mecánco. Caracas, 2004

2 RABAJO ESPECIAL DE GRADO IMPLEMENACIÓN DE UN ALGORIMO PARA RESOLVER SISEMAS GRANDES DE ECUACIONES LINEALES MEDIANE EL MÉODO DE ELEMENO A ELEMENO UOR ACADÉMICO: Prof. Antono Barragán. Presentado ante la lustre Unversdad Central de Venezuela Por los bachlleres: Bouzas Rodríguez, José Manuel Walls Iglesas, Roberto para optar al ítulo De Ingenero Mecánco. Caracas, 2004

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4 A nuestros famlares y amgos.

5 Agradecmentos. A Dos por guar ms pasos. A ms padres por haberme dado el ser, estar a m lado en todo momento, confar en mí y apoyarme en ms decsones. A m hermana Carolna por ser tan especal. A la lustre Unversdad Central de Venezuela y su personal docente por haberme formado como profesonal. A nuestro tutor Ing. Antono Barragán, por su dedcacón, orentacón y amstad en todo momento de m carrera, no tengo palabras para agradecerle todo lo que su ayuda sgnfco para mí. A m compañero de tess Roberto Walls (1 st Horseman) por ser amgo ncondconal. Al 2 nd Horseman por ayudarme en todo momento, al 3 th Horseman por hacernos reír en los momentos más dfícles y ser ms amgos ncondconales. A m amgo Jorge Bermúdez (Honorfc Horseman), por todos sus años de amstad. A ms amgos de la facultad los cuales los llevo en m corazón y por hacer de la escuela de ngenería mecánca m segundo hogar. A la gente que no creía en mí, por darme la fortaleza de lograr ms metas. José Manuel Bouzas Rodríguez

6 Agradecmentos. A Dos y a ms padres, por todo lo que me han dado. A todos ms amgos, por apoyarme, escucharme y por las ntermnables horas de parranda que hemos compartdo. Ellos saben quenes son! A las que me han amado, por ser una luz en m vda. Al Ing. Antono Barragán, nuestro tutor, por su amstad, apoyo y comprensón, no sólo durante la realzacón de este trabajo, sno durante la mayoría del tempo que estuve en la Escuela de Ingenería Mecánca. A m compañero y co-autor de este trabajo José Manuel Bouzas, por tantos años de amstad. A ms compañeros, Gustavo González, Bernardo Porte, Jorge Bermúdez y Estefanía López, porque sn ellos no hubese llegado hasta aquí. A los que me apoyaron, por creer sempre en mí. A los que se opuseron, porque sn ellos no hubese tendo la fuerza para demostrarles que estaban equvocados. Roberto Walls Iglesas.

7 Bouzas R., José M. /y/ Walls I., Roberto IMPLEMENACIÓN DE UN ALGORIMO PARA RESOLVER SISEMAS GRANDES DE ECUACIONES LINEALES MEDIANE EL MÉODO DE ELEMENO A ELEMENO. utor académco: Prof. Antono Barragán. ess. Caracas. U.C.V. Facultad de Ingenería. Escuela de Ingenería Mecánca pág. Palabras Claves: Elementos Fntos, Gradente Conjugado, Elemento a Elemento. En el presente trabajo especal de grado, se hzo una recoplacón de nformacón sobre los algortmos de solucón del sstema de ecuacones generado en la formulacón del Método de los Elementos Fntos en problemas de elastcdad lneal. En la resolucón de los sstemas dspersos de ecuacones lneales, se analzaron los métodos drectos de solucón y los métodos teratvos de solucón. Se nvestgaron dstntos métodos de solucón y se mplementó el más efcente, basándose en las referencas. El método teratvo de solucón que se utlzó fue el Método del Gradente Conjugado. Para optmzar el sstema de resolucón se utlzó el precondconador de Elemento a Elemento. Se recopló nformacón acerca de los pseudocódgos de estos dos métodos. Este método de resolucón optmzado en pseudocódgo, se tradujo a lenguaje de programacón C y se mplementó en un programa exstente de elementos fntos. Luego se procedó a hacer una comparacón entre el programa resultante (MefetGC) y programas comercales de elementos fntos. Resultando en la valdacón del programa MefetGC. Se observó que el programa MefetGC obtuvo un menor margen de error que los programas comercales. Se concluyó que el método teratvo optmzado utlzado tene un mejor rendmento que los sstemas de solucón antguos.

8 Índce Índce. Introduccón... 1 Antecedentes El método de los Elementos Fntos Qué es el método de los Elementos Fntos Prncpos de Cálculo Varaconal Concepto de Funconal Punto Estaconaro de un Funconal Métodos Drectos del Cálculo Varaconal El método de Raylegh-Rtz Prncpo del rabajo Vrtual rabajo y Energía El Prncpo del trabajo vrtual para un sóldo contnuo Energía potencal otal Prncpo de la Energía Potencal Mínma El Método de los Elementos Fntos Formulacón del método de elementos fntos Expresón matrcal de la energía potencal total Funcones de nterpolacón Aproxmacón por elementos fntos Matrz gradente Matrz de rgdez y vector de cargas nodales equvalentes Característcas de la matrz de rgdez global Convergenca de los Resultados Exacttud de la solucón Aplcacón del método de los elementos fntos al análss de problemas de elastcdad bdmensonal Coefcentes de rgdez para un elemento de esfuerzo-deformacón para un elemento trangular general Equlbro en los nodos Métodos drectos de solucón de sstemas de ecuacones Descomposcón LU Elmnacón de Gauss Elmnacón de Gauss-Jordan Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones Formas cuadrátcas...80 Escuela de Ingenería Mecánca v

9 Índce 3.2 El método del descenso más rápdo El método de las dreccones conjugadas El Método del Gradente Conjugado Método del Gradente Conjugado Precondconamento Algortmos en pseudo-códgo El Precondconador de Elemento a Elemento Precondconador de Elemento a Elemento Implementacón Pseudo-códgo Implementacón en lenguaje C Parte Expermental Factor de concentracón de esfuerzos Procedmento de valdacón (Metodología) Comparacón de los programas Resultados Análss de resultados Conclusones Recomendacones A. Matrces Dspersas (po Sparse) A.1 Matrces Dspersas B. Factorzacón de Cholesky eorema C. Número de Condcón C.1 Condconamento de un sstema Ejemplo C.2 Número de condcón de una matrz Ejemplo D. Matrz Hermítca Referencas/Bblografías Escuela de Ingenería Mecánca v

10 Índce Índce de Fguras. Fgura 1-1 a) Crcunferenca de rado r; b) Dscretzacón de la crcunferenca en ocho elementos fntos; c) Un elemento fnto desconectado del domno con los nodos 4 y 5; d) Un elemento genérco Fgura 1-2 Aproxmacón de u(x) con elementos lneales...32 Fgura 1-3. Funcones de forma locales N e lneales en cada elemento Fgura 1-4. Aproxmacón en dos dmensones. La parte de abajo es el domno bdmensonal y la parte de arrba es la funcón de forma...34 Fgura 1-5. Dscretzacón de un domno Ω...35 Fgura 1-6. Desplazamentos nodales para el trángulo de 3 nodos...37 Fgura 1-7 Área del elemento calculada en térmnos de las coordenadas nodales...49 Fgura 1-8 Condcones de esfuerzo plano y fuerzas puntuales úncamente en los límtes Fgura 1-9 Estructura del ejemplo lustratvo...57 Fgura 1-10 Elemento Fgura 1-11 Elemento Fgura 1-12 Elemento Fgura 1-13 Equlbro en el nodo Fgura 1-14 Equlbro en el nodo Fgura 1-15 Equlbro en el nodo Fgura 2-1 Dagrama de descomposcón LU Fgura 2-2 Dagrama de método de Gauss Fgura 2-3 Dagrama del método de Gauss-Jordan Escuela de Ingenería Mecánca x

11 Índce Fgura 3-1 Sstema Ax=b...81 Fgura 3-2 Formas cuadrátcas del sstema Ax=b...82 Fgura 3-3 Formas cuadrátcas en forma de curvas de nvel Fgura 3-4 Búsqueda de línea Fgura 3-5 El gradente en el punto más bajo es ortogonal al gradente del paso anteror...86 Fgura 3-6 a) Esta parábola es la nterseccón de las superfces. b) Pendente de la parábola y magntud de la proyeccón del gradente en la línea Fgura 3-7 Solucón del ejemplo. Nótese el patrón en forma de Zg-Zag...88 Fgura 3-8 Dreccones de búsqueda ortogonales Fgura 3-9 Mnmzacón de e A Fgura 3-10 Debdo a que las dreccones de búsqueda d( ), d 0 ( 1) se construyen a partr de los vectores u 0, u 1, éstos crean el subespaco D 2 (el plano coloreado en grs). El térmno del error e ( 2) es conjugado con D 2, el resduo r ( 2) es ortogonal a D 2, y una nueva dreccón de búsqueda d ( 2) es construda de u 2 para ser conjugado con D. 2 Los puntos fnales de u 2 y d ( 2) se encuentran en un plano paralelo a D 2, debdo a que d ( 2) se construye a partr de u 2 por la conjugacón de Gram-Schmdt Fgura 3-11 Conjugacón de Gram-Schmdt de dos vectores. Se empeza con dos vectores lnealmente ndependentes u 0 y u 1. Se hace d ( 0 ) = u0. El vector u 1 posee dos componentes, que es conjugado con d ( 0), y u +, que es paralelo a d ( 0)...96 Fgura 3-12 En el método del Gradente Conjugado, cada nuevo resduo es ortogonal a todos los resduos anterores y dreccones de búsqueda; y cada nueva dreccón de búsqueda es construda para ser conjugado a todos los resduos y dreccones de búsqueda prevos. Los puntos fnales de r ( 2) y d ( 2) se encuentran en un plano paralelo a D 2 (el espaco grs). En este método, d ( 2) es una combnacón lneal de r ( 2) y () 1 d...99 Escuela de Ingenería Mecánca x

12 Índce Fgura 6-1 Dsposcón de la probeta Fgura 6-2 Probeta dealzada Fgura 6-3 Mallado realzado en forma manual de 144 nodos y 55 elementos Fgura 6-4 Resultados del programa Mechancal Desktop Fgura 6-5 Resultados del programa Vsual Nastran 4D Fgura 6-6 Programa Engneers oolbox v Fgura 6-7 Resultado del K t teórco Fgura 6-8 Curva del factor de concentracón de esfuerzos para placa fnta con agujero crcular sometda a tensón Fgura A-0-1 Patrón general. Cada cuadro oscurecdo representa un coefcente o submatrz s más de una cantdad está sendo consderada en los nodos Fgura C-0-1 Sstema ben condconado y sstema mal condconado Escuela de Ingenería Mecánca x

13 Índce Índce de ablas. abla 1 Resultados de los esfuerzos en el elemento 1 para el programa MefetGC. Se presenta el esfuerzo máxmo de Von Msses abla 2 Resultados de los esfuerzos en el elemento 1 para el programa Hexafron [5]. Se presenta el esfuerzo máxmo de Von Msses Escuela de Ingenería Mecánca x

14 Introduccón Introduccón Dentro del campo de la Ingenería Mecánca, un área de gran mportanca es el dseño de pezas o componentes mecáncos, elementos capaces de soportar de manera confable los esfuerzos que se generan en ellos al ser sometdos a condcones de funconamento. Durante mucho tempo, la evaluacón de esos dseños se ha realzado medante técncas expermentales, lo cual resulta ser de un costo sumamente elevado, además de una gran nversón en nfraestructura (laboratoros, equpo de ensayo). En el dseño de componentes mecáncos ntervenen dferentes factores que afectan la dstrbucón de esfuerzos en los msmos, como son: la forma, condcones de apoyo, característcas de los materales nvolucrados, cargas aplcadas. La conjuncón de estos factores hace que el proceso de análss sea complejo, exgendo métodos sofstcados, capaces de smular dferentes condcones de trabajo. En la actualdad exsten métodos computaconales de análss que cumplen estos requstos. Basados en técncas matemátcas aproxmadas, estos métodos permten smular con grado varable de aproxmacón el comportamento de pezas mecáncas bajo condcones de trabajo. El uso de estos métodos se basa en el computador dgtal, el cual permte lograr resultados útles en poco tempo a bajo costo, sendo posble determnar los efectos de dferentes condcones de cargas, geometrías y materales. Fundamentalmente, los métodos utlzados son: El Método de los Elementos Fntos y El Método de los Elementos de Contorno. Escuela de Ingenería Mecánca 1

15 Introduccón Recentemente, la evolucón de los computadores personales pone al alcance del usuaro, equpos de altas prestacones a un costo relatvamente bajo, lo que nos permte la smulacón y análss de problemas grandes. En la Escuela de Ingenería Mecánca (EIM) se han vendo desarrollando un grupo de programas basados en el método de los elementos fntos con la fnaldad de tener una plataforma computaconal para la solucón de algunos tpos de problemas de la físca matemátca (análss de esfuerzos, transferenca de calor). Estos problemas se presentan al smular el comportamento de pezas o componentes como parte del proceso de dseño de los msmos. El objetvo fundamental del presente trabajo consste en ncorporar a dcho programa, un sstema de solucón de ecuacones de alta capacdad, con lo cual se espera tener la capacdad de resolver problemas en los cuales el tamaño de la malla es grande. El tpo de algortmo que se ha consderado utlzar se basa en una combnacón de métodos basados en el gradente conjugado, conjuntamente con algortmos de solucón llamados Elemento a Elemento (EBE, en nglés), sendo su atractvo el que no requeren el ensamblaje de la matrz de rgdez completa, sno que más ben ensamblan y calculan la solucón en base a las contrbucones ndvduales de los nodos de cada elemento. De allí su nombre Elemento a Elemento. Escuela de Ingenería Mecánca 2

16 Antecedentes Antecedentes El método de elementos fntos hoy en día es una herramenta sumamente extendda y empleada tanto en nvestgacón y desarrollo en la mayor parte de los ámbtos centífcos y tecnológcos, como en numerosos sectores productvos de la socedad actual, preocupados por la mejora de la caldad de sus productos y procesos. No es extraño encontrar aplcacones del método de los elementos fntos en áreas tan dstantes entre s como el dseño estructural, campo en el que el método se desarrolló orgnalmente y del que nutró de múltples conceptos físcos, y la meteorología en donde se resuelven actualmente los problemas de smulacón numérca, quzás de mayor tamaño. El uso del computador permte resolver de manera aproxmada, problemas de ngenería tales como los de elastcdad, transferenca de calor y mecánca de los fludos. La adaptabldad a regones de geometría compleja, ha hecho que su uso sea mayor en estas últmas décadas. Debemos ctar el esfuerzo de las unversdades y centros de nvestgacón de USA, los países Europeos y latnoamercanos, tanto en la formacón de nvestgadores en esta área de smulacón como en la dfusón de las ventajas de los métodos numércos. A contnuacón se resume una sere de nvestgacones, las cuales han sdo referenca para el presente trabajo. Escuela de Ingenería Mecánca 3

17 Antecedentes Ordaz y Puldo [28], en este trabajo se muestran solucones a certos problemas geométrcos asocados a la generacón automátca de mallas trdmensonales de elementos fntos, como lo son: Determnacón de la poscón de un punto respecto a un sóldo. Determnacón de la poscón de un sóldo respecto a un plano orentado. Interseccones entre plano y plano, plano y sóldo, recta y sóldo, recta y plano. ales solucones fueron logradas medante la mplantacón de un programa en lenguaje C, el cual trabaja con estructuras dnámcas de datos. Alonzo y Oramas [1], elaboraron un programa para representacón gráfca trdmensonal, aplcable a componentes mecáncos y de bongenería. Este programa es capaz de realzar transformacones de los objetos ya creados, tales como: rotacones, traslacones, reflexones, proyeccones, cambos de escalas, vsbldad y aproxmacones a curvas, de todo el objeto o parte de él. Los objetos realzados en este programa no solo pueden de formas geométrcas preestablecdas, sno tambén pueden ser dervados de una combnacón o de forma lbre. Rosales [33], consstó en la elaboracón e mplementacón de un programa de computacón que resuelve estructuras planas tomando en cuenta la posbldad que las relacones esfuerzo-deformacón de los materales consttuyentes no sean lneales. El programa fue basado en el método de los elementos fntos. Los elementos que se consderaron para el modelaje fueron elementos planos de cuatro lados que poseen de cuatro a ocho nodos. El método de análss no lneal mplementado fue el método ncremental. Escuela de Ingenería Mecánca 4

18 Antecedentes Fernández y Gómez [13], utlzaron el método de los elementos fntos para el desarrollo e mplementacón de un sstema o paquete que sea una herramenta únca, capaz de resolver dferentes tpos de problemas que se pueden presentar a un dseñador, como lo son el estudo del fenómeno de elastcdad lneal y no lneal, y el estudo del fenómeno de transferenca de calor tanto en régmen permanente como en régmen transtoro. Para ello se mplementó un programa computaconal que permte calcular los desplazamentos y esfuerzos tanto en modelos de comportamento lneal como no lneal en el caso de fenómenos de elastcdad, y además calcular la dstrbucón de temperaturas y esfuerzos térmcos para el estudo del fenómeno de transferenca de calor. Morales y Sánchez [26], muestra una aplcacón del método de los elementos fntos a la solucón del problema de flujo de calor en régmen transtoro. Para lo cual se mplementa un programa de computacón que calcula la dstrbucón de temperaturas y esfuerzos térmcos, en donde se manejan condcones de borde de prmera y segunda clase. Montero, Montenegro y Rodríguez [25], presentan una vsón general de técncas avanzadas para la resolucón de grandes sstemas de ecuacones lneales con matrz dspersa (sparse). En prmer lugar se ntroducen dferentes algortmos de reordenacón orentados a mejorar el efecto del precondconamento de un sstema. Segudamente, se defne el concepto de precondconamento y se formula algunos de los precondconadores más usados en la actualdad, destacando los desarrollos recentemente basándose en la nversa de una matrz. Por otro lado, se consderan algunos métodos teratvos basados en los subespacos de Krylov para la resolucón de sstemas de ecuacones lneales. Para el caso smétrco se propone el Gradente Conjugado, mentras que para el no smétrco, exsten varas alternatvas que se pueden clasfcar en tres grandes famlas de métodos, los de ortogonalzacón, los de Escuela de Ingenería Mecánca 5

19 Antecedentes b-ortogonalzacón, y los basados en la Ecuacón Normal. Esta estratega de resolucón, que combna las tres técncas anterores, parece la más efcente desde el punto de vsta computaconal como lo muestran los expermentos que se encuentran en el trabajo. Sánchez y Moraga [35], realza un estudo numérco de mecánca de fludos 2D en una contraccón brusca para fludos no newtonanos tpo ley de potenca de Oswald-de-Waele. Se emplean dos métodos de resolucón, el método de los volúmenes fntos y el método de los elementos fntos. En el prmer método se utlza el algortmo SIMPLE, para la resolucón de las ecuacones de momentum lneal y de contnudad. Para el método de elementos fntos se utlza un códgo propo en lenguaje Fortran 90. En ambos métodos se estuda el comportamento del fludo para dferentes índces de potenca. Los cálculos se realzan con malla varable rectangular (método de volúmenes fntos) y con una malla apegada al contorno (método elementos fntos) Daydé, L Excellent y Gould [9], consderan la solucón de un sstema n por n de ecuacones lneales. Ax = b, donde A es estructurado y dsperso así que se puede expresar como: A = p = 1 A Los sstemas lneales estructurados dspersos se utlzan en muchas aplcacones. Las matrces elementales A son de bajo rango, y son usualmente dspersos, de modo que sus entradas no nulas se representan como un pequeño bloque denso. Asumeron que A es una matrz smétrca grande y normalmente postva. La técnca de solucón consderada es el método del gradente conjugado utlzando un rango de Escuela de Ingenería Mecánca 6

20 Antecedentes precondconadores de Elemento a Elemento (EBE) que fueron ntroducdos por [16] y [29], que han sdo utlzados con éxto en muchas aplcacones de ngenería y físca. Daydé, Decamps y L Excellent [10], estudaron la solucón de problemas de gran escala, no lneales y sn restrccones, utlzando técncas que explotan la estructura, común en estos problemas, de separabldad parcal. Muestra cómo los precondconadores pueden ser calculados para dseñar métodos teratvos utlzando la separabldad parcal. La técnca de optmzacón se basa en el algortmo de Newton truncado, el cual se presta para la solucón de problemas de gran escala. El sstema lneal que provee las dreccones de búsqueda es resuelto utlzando el gradente conjugado combnado con un rango de precondconadores de Elemento a Elemento. Hestenes y Stefel [15], ntrodujeron un método teratvo para resolver sstemas de ecuacones lneales con n ncógntas llamado Método del Gradente Conjugado. Se muestra que este método es un caso especal de un método muy general que ncluye la elmnacón Gaussana. Estos algortmos generales son esencalmente algortmos para hallar un elpsode n dmensonal. Carey y Jang [4], expermentó mplementando el Método del Gradente Conjugado con una modfcacón, se remodeló el método en una forma que permta calcular elemento a elemento secuencalmente con métodos de elementos fntos. Esta estratega se mplementó para resolver los sstemas lneales provenentes de la aproxmacón de elementos fntos para la ecuacón de Laplace. ambén se aplcó para aproxmar una clase representatva de problemas no lneales. Escuela de Ingenería Mecánca 7

21 Antecedentes Hughes, Levt y Wndget [16], propuseron un algortmo para resolver sstemas de gran escala de ecuacones provenentes de elemento fntos provenentes de mecánca de sóldos y mecánca estructural medante el uso de una técnca de factorzacón aproxmada de elemento a elemento, el cual no necesta de una matrz global de coefcentes. Jennngs y Malk [18], realzaron una comparacón entre el Método del Gradente Conjugado,los métodos de relajacón, y la teracón acelerada de Jacob de Chebychev, cuando se aplca a la solucón de grandes grupos de ecuacones lneales que tengan una matrz de coefcentes dspersa, defnda postva y smétrca. Llegó a le en el peor de los casos la rata de convergenca de GC no va a ser peor que la de los otros métodos, de hecho va a ser consderablemente mejor. Dcknson y Forsyth [11], Realzaron una comparacón entre el rendmento del Método del Gradente Conjugado con mallas tetraédrcas y formas cuadrátcas, y el rendmento de un método drecto de solucón. Se consderaron problemas hasta de grados de lbertad y tamaño de elemento consderablemente pequeño. Chapman y Cox [7], desarrollaron una metodología para dentfcar la condcón únca del precondconador EBE medante un algortmo. Además ntrodujeron una modfcacón a la estructura vectoral teratva del precondconador EBE; la mplementaron y dscuteron. Klsnsk y Runesson [20], presentaron una valoracón de la efcenca de un nuevo grupo de rutnas para la solucón de sstemas de ecuacones lneales, comparándolas con una seleccón de paquetes de soluconadores comercales. Consderaron problemas smétrcos y no smétrcos. Llegaron a la conclusón de que la efectvdad del complador es gual de mportante que el códgo en sí. En la Escuela de Ingenería Mecánca 8

22 Antecedentes comparacón determnaron que los soluconadores recentemente desarrollados mostraron un rendmento mayor. Vgnjevc, Morrs y Belagundu [41], presentaron un procedmento sstemátco para el uso confable y precso del Método de los Elementos Fntos. Hceron énfass en valorar los efectos de las suposcones del modelado en las respuestas estructurales. El procedmento es basado en una descomposcón del proceso de dealzacón. Zörner y Plasmejer [44], nvestgaron la aplcabldad de lenguajes funconales para la descrpcón e mplementacón efcente de algortmos en álgebra lneal numérca. Implementaron dos algortmos para resolver sstemas lneales en Clean y los compararon con los msmos algortmos e C y Matlab. Hceron una comparacón de los tempos de corrda y demostraron el conflcto entre códgos elegantes y códgos efcentes. Lu, Connell y ullberg [23], utlzaron la técnca de la Realdad Vrtual para hacer un análss de elementos fntos nteractvo. Hceron una comparacón entre el análss de elementos fntos por realdad vrtual y los pre- y post- procesadores de los paquetes tradconales de elementos fntos. aghav [40], desarrolló un programa de generacón automátca de mallas llamado HEXAR. Genera las mallas a partr de los datos producdos por paquetes CAD. Escuela de Ingenería Mecánca 9

23 Antecedentes Escuela de Ingenería Mecánca 10

24 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos 1. El método de los Elementos Fntos. 1.1 Qué es el método de los Elementos Fntos. El método de los Elementos Fntos es una técnca numérca para resolver ecuacones dferencales en dervadas parcales dscretzando el domno en sus dmensones espacales. La dscretzacón se lleva a cabo en pequeñas regones de geometría smple y con forma arbtrara (el elemento fnto). En la Fgura 1-1 se muestra la dscretzacón de una crcunferenca en ocho elementos fntos de forma trangular. El resultado es un conjunto de ecuacones que se expresan en forma de matrces, que relaconan la entrada en puntos específcos del elemento (los nodos) con la salda en estos msmos puntos. Un domno que sea de nuestro nterés se representará como un ensamblaje de elementos fntos. Las funcones de aproxmacón en elementos fntos son defndas en térmnos de valores nodales del campo físco que es buscado. Un problema físco contnuo es transformado en un problema dscretzado de elementos fntos con valores nodales desconocdos. Para un problema lneal, se debe resolver con un sstema lneal de ecuacones. Fgura a) Crcunferenca de rado r; b) Dscretzacón de la crcunferenca en ocho elementos fntos; c) Un elemento fnto desconectado del domno con los nodos 4 y 5; d) Un elemento genérco. 1 omado de [17] Escuela de Ingenería Mecánca 11

25 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Dos característcas del método de elementos fntos que valen la pena menconar se detallan a contnuacón: La aproxmacón por elementos fntos de problemas de elastcdad lneal en casos dos y tres dmensones produce grandes matrces dspersas 2, para un problema dscretzado. Esto ayuda a soluconar problemas con un número muy grande de ncógntas nodales. En la mayoría de los casos el costo del análss de elementos fntos está domnado por el costo de la solucón del gran sstema resultante dsperso. Una aproxmacón por pezas de los fenómenos físcos, medante elementos fntos, provee una buena precsón aún con funcones smples de aproxmacón (con el aumento del número de elementos se puede mejorar la precsón). En la nterpretacón físca, el concepto básco es la partcón o descomposcón de un sstema mecánco complejo en un sstema smplfcado de componentes dsjuntos llamados elementos fntos o smplemente elementos. La respuesta mecánca de un elemento está caracterzada por un número fnto de grados de lbertad. Éstos se representan como los valores de las funcones desconocdas de un conjunto de nodos. La respuesta del elemento se defne por ecuacones algebracas que se construyen a partr de los argumentos matemátcos o expermentales. La respuesta del sstema orgnal se consdera aproxmada al del modelo dscreto conectando o ensamblando todos los elementos. Los problemas de equlbro estátco de sstemas dscretos pueden ser modelados por los valores estaconaros de una funcón de una o varas varables; esto es domno del cálculo ordnaro. Cuando estos prncpos estaconaros son extenddos a una 2 Reférase al anexo A. Escuela de Ingenería Mecánca 12

26 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos stuacón más general de análss de tensones y otro tpo de problemas en mecánca contnua, entonces el cálculo varaconal es la herramenta más adecuada. 1.2 Prncpos de Cálculo Varaconal. El cálculo varaconal se concentra prncpalmente en los valores extremos (máxmos y mínmos) o estaconaros de unas certas ntegrales defndas, las cuales se suelen llamar funconales. Estas ntegrales nvolucran funcones desconocdas al prncpo del análss del problema físco, y el objetvo es el de determnar cuales condcones se generan cuando los funconales toman valores estaconaros. Al satsfacer estas condcones logramos producr las funcones en sí. La motvacón que nos conduce a la utlzacón del cálculo varaconal, es que los llamados métodos drectos nos proveen de muchas técncas poderosas para obtener resultados numércos para problemas complejos, lo cual tene una mportanca sgnfcatva en el área de ngenería Concepto de Funconal. En el cálculo de varacones, se buscan los valores extremos (máxmos y mínmos) o estaconaros de los funconales. Un funconal se defne como una cantdad cuyo valor depende de la forma completa de algunas funcones y no del número de varables dscretas. omemos por ejemplo la longtud de una curva y = f( x), en el ntervalo de x = 0 a x = l : Escuela de Ingenería Mecánca 13

27 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos l ( ) = 1+ ( ) 2 y L y dx 0 Esta expresón de L ( y) acepta cualquer f ( x) arbtraro, sempre y cuando sea una funcón contnua y que acepte prmera dervada. Sn embargo, el valor de L ( y) depende de la forma de f ( x) Punto Estaconaro de un Funconal. Sea un funconal del tpo: b ( ) (,, y ) I = F x y y dx (1.1) a Buscamos un y = f( x) que haga I ( y) estaconaro. Necestamos que f ( x) satsfaga todas las condcones de borde y de contnudad, además necestamos que f ( x) y f ( x) sean contnuas y dferencales con respecto a x, y y y. El procedmento a segur es ntroducr una funcón: u = f + εη (1.2) ( x) ( x) ( x) La cual se aproxma a f ( x) ; η ( x) y η ( x) son contnuos en η ( ) = η ( ) = 0 de tal forma a b que εη ( x) sea una varacón admsble. Escuela de Ingenería Mecánca 14

28 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Entonces: b ( ) = (, + εη, + εη u ) I F x y y dx a Se hace estaconaro en ε = 0, por lo tanto: b d F( x, y+ εη, y + εη ) dx = 0 dε (1.3) a ε = 0 d Para un I ( u) estaconaro, I ( ) = δ 0 u I =. Donde δ I es llamado la prmera dε varacón de I ( u). S una funcón f ( x) es contnua en un ntervalo a x b y: b f( ) η ( ) dx= 0 (1.4) x x a es certo para todas las funcones η ( x), las cuales son contnuas y dervables, y η ( ) η( ) 0 a b = =, entonces f ( ) = 0. Éste es el teorema fundamental del cálculo varaconal. x Métodos Drectos del Cálculo Varaconal. Se ha vsto que, aplcando el proceso formal del cálculo de varacones a la determnacón de las condcones estaconaras de un funconal, se obtenen como Escuela de Ingenería Mecánca 15

29 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos resultado ecuacones dferencales con sus correspondentes condcones de borde, cuya solucón permte determnar las funcones que hacen estaconaro el funconal. Muchas aproxmacones pueden ser usadas para transformar la formulacón físca del problema a su análogo dscreto de Elementos Fntos. S el problema puede ser formulado como una mnmzacón de la energía potencal, entonces una formulacón varaconal de las ecuacones de Elementos Fntos es usada generalmente. En el caso de mecánca de sóldos la formulacón varaconal es lo más usado. Una solucón alternatva, que permte obtener solucones aproxmadas, consste en susttur en el funconal, solucones asumdas que nvolucren parámetros ajustables, para luego determnar las condcones de estaconardad del funconal con respecto a los parámetros ajustables. A este respecto, exsten varos métodos de los cuales el método conocdo como Raylegh-Rtz es el más utlzado en la mecánca de sóldos. De hecho el Método de los Elementos Fntos en su formulacón usual para medos contnuos, es smplemente la técnca de Raylegh Rtz dscretzado por partes El método de Raylegh-Rtz. La dea general es susttur el medo contnuo por un sstema dscreto, caracterzado por tener un número fnto de grados de lbertad. En relacón al Cálculo Varaconal, supóngase que se desea encontrar la funcón y = f( x) que hace estaconaro al funconal: b ( ) (,, y ) I = F x y y dx a Escuela de Ingenería Mecánca 16

30 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos con las condcones de borde: f( ) = f( ) = 0. a b El procedmento de Raylegh-Rtz consste en asumr que y = f( x) puede ser aproxmada por una combnacón lneal de funcones de prueba arbtraras, de forma de: ( ) = φ ( ) + φ ( ) φ ( ) y x c x c x c x n n n n ( ) φ ( ) y x = c x n = 1 (1.5) Donde las constantes c son desconocdas. Cuando y( x ) es aproxmada por ( ) yn x, el funconal ( y) I se hace funcón de las constantes c. Entonces, el problema se transforma en consegur el valor estaconaro de una funcón de un número fnto de parámetros c k, los cuales se consguen a partr de las sguentes condcones: δ I δ c k = 0, k = 1, 2... n (1.6) Resultando en un grupo de ecuacones lneales donde las ncógntas son las c. El procedmento a segur es restrngr el rango de funcones que estamos comparando a la famla fnta de funcones φ 1, φ 2, φ 3,..., φ n, luego, la mejor solucón es aquella que hace a ( ) I c1, c2, c3,..., c n estaconaro. Escuela de Ingenería Mecánca 17

31 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Las funcones de prueba ( x) φ son conocdas y su forma es elegda arbtraramente, además se elgen de forma de satsfacer las condcones de borde para cualquer valor de c. 1.3 Prncpo del rabajo Vrtual. En la seccón anteror analzamos el Cálculo Varaconal y las varacones. Podemos relaconar los desplazamentos nodales con las varacones de los funconales. Cuando trabajamos con mecánca de sóldos, estamos trabajando con fuerzas y desplazamentos. Estos desplazamentos los consderamos como las varacones de las cantdades reales. El proceso de aproxmar el comportamento de un medo contnuo por el Método de los Elementos Fntos, se puede ntroducr medante aplcacones físcas específcas o como un concepto matemátco. Hemos ntroducdo una sere de aproxmacones, pero generalmente no es fácl asegurar que las funcones de desplazamentos elegdas satsfacen las condcones de contnudad. El procedmento más sencllo es suponer un desplazamento arbtraro, el cual llamaremos desplazamento vrtual, a los nodos e gualar el trabajo exteror realzado por las fuerzas nodales al trabajo efectuado en el nteror por las tensones y fuerzas dstrbudas. El prncpo del rabajo vrtual se puede enuncar de la sguente forma: Un cuerpo se encuentra en equlbro s el trabajo nterno vrtual es gual al trabajo externo vrtual, para cualquer campo de desplazamentos admsble cnemátcamente. Escuela de Ingenería Mecánca 18

32 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos rabajo y Energía. El trabajo que una fuerza F realza en una partícula en un desplazamento nfntesmal desde A hasta B, u = uˆ+ uˆ + uˆ se defne como: j k B A W = F u W = F u+ F v+ F w x y z B ( x y z ) W = F du = F du + F dv + F dw A (1.7) El trabajo total de la partícula se defne como la suma del trabajo nterno y externo, de tal modo que: W = W + W (1.8) nt ext Supongamos que un sstema se compone de N partículas, y además sufre un desplazamento nfntesmal u, 1,2,3,..., s = usˆ + v sˆ + w j sk ˆ s = N, el trabajo total sería: N N s s ( x ) s s ys s zs s (1.9) W = F u = F u + F v + F w s= 1 s= 1 Sendo N el número de grados de lbertad. S un sstema mecánco tene un número de grados de lbertad fnto, su confguracón puede ser especfcada por un número fnto ( N ) de varables reales llamadas coordenadas generalzadas. El concepto se basa en que en cualquer nstante el sstema se puede descrbr completamente medante el valor partcular de estas coordenadas, esto puede ser consderado como defnr un punto en un espaco N dmensonal. El movmento del sstema es Escuela de Ingenería Mecánca 19

33 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos equvalente al movmento de este punto. Estas coordenadas generalzadas las descrbremos medante unos vectores q de dmensón N. Ahora, por comoddad, ntroducmos las coordenadas generalzadas desplazamentos pueden ser expresados en térmnos de q. Los q, los cuales son vectores lnealmente ndependentes. Entonces, el desplazamento puede ser expresado en térmnos de q. Podemos expresar el trabajo como: n W = Q1 q1+ Q2 q = Qj qj (1.10) j= 1 Los factores Q j son llamados los componentes de las fuerzas generalzadas, debdo a que s cada uno es multplcado por su correspondente ncremento de coordenada generalzada el resultado es trabajo. Usualmente en ngenería trabajamos en térmnos de la funcón de trabajo negatvo. Por ende: (,,... ) = (,,... ) V q q q W q q q 1 2 n 1 2 δv Q = δ q n (1.11) Hasta ahora no se han ntroducdo restrccones con respecto a las fuerzas. Se puede smplfcar el análss ntroducendo restrccones a las fuerzas que se están utlzando. Se van a restrngr las fuerzas a fuerzas conservatvas. De este modo se puede ntroducr el concepto de energía potencal. Una fuerza conservatva es aquella en Escuela de Ingenería Mecánca 20

34 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos que el trabajo producdo por mover dos confguracones dstntas depende solamente en los puntos desplazados y no en el camno tomado para moverlos. Como las fuerzas son conservatvas, podemos decr que ( q q q ) Π,,... n es una 1 2 funcón potencal y que su valor es la Energía Potencal de las fuerzas. Los cuerpos elástcos son aquellos que recobran completamente su forma orgnal cuando las fuerzas son retradas. Cuando se retran las fuerzas, las fuerzas nternas producen trabajo neto nulo. Estas fuerzas son conservatvas y contenen una Energía Potencal. Esta Energía Potencal es: Π = U e +Ω (1.12) Donde U e externas. es la energía nterna de deformacón y Ω es el potencal de las fuerzas El Prncpo del trabajo vrtual para un sóldo contnuo. El trabajo realzado por una fuerza en un desplazamento vrtual se llama rabajo Vrtual de forma de: Donde: δw = Q1δq1+ Q2δq QNδqN N δw = Qδq = 1 (1.13) Q = Es la -ésma fuerza generalzada. Escuela de Ingenería Mecánca 21

35 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos δ q = Desplazamento vrtual en la -ésma coordenada generalzada. El Prncpo del rabajo Vrtual es el método medante el cual se dentfca la confguracón real del sóldo analzado. Éste enunca que, s un sstema mecánco se encuentra en su confguracón de equlbro, el trabajo vrtual de las fuerzas que sobre él actúan son cero en un desplazamento vrtual. Entonces, para una condcón de equlbro, nos queda: N δw = Qδq = 0 (1.14) = 1 Como los δ q son arbtraros e ndependentes, esto mplca que: Q = 0 = 1, 2,..., n (1.15) Podemos conclur del Prncpo del rabajo Vrtual que: Un sstema mecánco fnto se encuentra en equlbro s, y sólo s, las fuerzas generalzadas desaparecen déntcamente. Cuando el sstema contene membros deformables, la ecuacón (1.14) se transforma en: δw = δw + δw N nt N ext δw = Qδq + Pδq í= 1 í= 1 (1.16) Donde las externas. Q son las fuerzas generalzadas nternas y P las fuerzas generalzadas Escuela de Ingenería Mecánca 22

36 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Y la ecuacón (1.16) se transforma en: ( Qj) ( Qj) nt + = 0 (1.17) ext Cuando el cuerpo que se esta analzando es elástco y se cumplen las leyes de Hooke, las fuerzas nternas van a tener un potencal, y s las fuerzas son conservatvas, la ecuacón (1.17) se transforma en: ( ) 0 δπ = δ +Ω = U e (1.18) 1.4 Energía potencal otal. En mecánca de sóldos, nuestro problema es determnar el desplazamento u del cuerpo que se está estudando, satsfacendo las ecuacones de equlbro. Los esfuerzos están relaconados a las deformacones untaras que, a su vez, están relaconadas con los desplazamentos. Lo anteror nos conduce a resolver ecuacones dferencales parcales de segundo orden, a las solucones de este conjunto de ecuacones se les llama generalmente una solucón exacta. ales solucones exsten para geometrías y condcones de cargas smples. Pero para problemas que posean geometrías más complejas con condcones de frontera y con cargas generales, la obtencón de tales solucones es una tarea muy complcada, por esto los métodos de solucón aproxmada usualmente emplean métodos de energía potencal, los cuales mponen condcones menos estrctas sobre las funcones. Podemos defnr el trabajo como el cambo negatvo en la funcón Π, de forma que: W = Π (1.19) Escuela de Ingenería Mecánca 23

37 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos La funcón Π, es llamada Funcón Potencal (tambén llamada Energía Potencal otal). Con esta defncón podemos calcular F como el gradente de la funcón potencal: F = Π (1.20) La Energía Potencal otal Π de un cuerpo elástco es defndo como: Π = (Energía de deformacón untara) + (Potencal de trabajo) Π = U e +Ω (1.21) Para materales elástco lneales la energía de deformacón untara U e o el Potencal de Fuerzas Internas, por undad de volumen, en el cuerpo es 1 σ. Para el materal 2 elástco lneal: U e 1 = dv 2 σ ε V (1.22) W = U e El Potencal de trabajo o la energía Potencal de las Cargas Externas ( Ω ) vene dado por la expresón: u FdV V u ds u S P (1.23) Ω= W e = Ω Escuela de Ingenería Mecánca 24

38 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos donde F es la fuerza dstrbuda por undad de volumen, corresponde a la traccón superfcal que puede darse por los valores de sus componentes en puntos superfcales. De esta forma el potencal total para un sóldo en tres dmensones queda: 1 t Π= σεdv u FdV u ds u P 2 V V S (1.24) Utlzando esto, podemos calcular el trabajo total como: W = W + W = U Ω = Π (1.25) e Concluyendo que: El trabajo realzado por todas las fuerzas en un sstema es gual al cambo negatvo en el potencal total de ese sstema. 1.5 Prncpo de la Energía Potencal Mínma. Para sstemas conservatvos, de todos los campos de desplazamentos cnemátcamente admsbles, aquellos que corresponden a condcones de equlbro extremzan la energía potencal total. S la condcón extrema es un mínmo, el estado de equlbro es estable. Recordemos que el Prncpo del rabajo Vrtual nos dce que: δ W = rabajo Vrtual = 0 Escuela de Ingenería Mecánca 25

39 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Para cada desplazamento vrtual s, y sólo s el sstema se encuentra en equlbro. Cuando expresamos este prncpo en térmnos de las coordenadas generalzadas, nos queda que: δw = Q1δq1+ Q2δq QNδqN Donde Q son las fuerzas generalzadas. Recordemos tambén que se requere que Q = 0. Como ahora se ha defndo una Funcón Potencal para el sstema y ya no se necesta calcular el rabajo Vrtual, podemos nvestgar los cambos correspondentes en la Funcón Potencal producdo por los desplazamentos vrtuales. Podemos expresar las fuerzas generalzadas como la dervada drecconal de una Funcón Potencal otal en la dreccón de la correspondente coordenada generalzada. Esto es: Q δπ = (1.26) δ q Introducendo esto en la expresón de δ W e ntroducendo la condcón δ W = 0, nos queda: Π Π Π 0 = δw = δq δq... δq q q q Π = 0 = δπ N N δq (1.27) = 1 q N Escuela de Ingenería Mecánca 26

40 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos La expresón de δπ en (1.28) se le suele llamar Prmera Varacón en la Funcón Potencal otal Π. Se puede conclur que: Un sstema se encuentra en equlbro s, y solo s, el cambo (prmera varacónδπ ) en el Potencal otal, Π, es cero para cada desplazamento vrtual. Esto sgnfca que cada una de las dervadas respecto a las coordenada generalzadas, Π, deben ser cero. En consecuenca la funcón Potencal otal debe tener un valor q estaconaro. 1.6 El Método de los Elementos Fntos. El problema prncpal respecto a la utlzacón del método de Raylegh-Rtz, corresponde a la seleccón de las funcones φ ( x), las cuales no sólo deben satsfacer las condcones de borde del problema, sno que tambén deben poder representar en forma apropada otras característcas del msmo. Por otra parte, para mejorar las solucones numércas es necesaro utlzar funcones de orden cada vez mayor. El trabajo correspondente al manejo de funcones de orden alto puede ser consderable, razón por la cual muchas veces no es factble utlzar dchos métodos. El Método de los Elementos Fntos se basa en utlzar dchas aproxmacones por partes, en lugar de efectuarlas de manera global. El concepto básco consste prmero en dvdr el domno bajo estudo en un número fnto de subregones de tamaño fnto (denomnadas elementos fntos). Luego, sobre cada una de esas zonas, y en Escuela de Ingenería Mecánca 27

41 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos forma aslada, se asume un comportamento aproxmado para la ncógnta del problema. Al efectuar la dvsón en zonas, es posble adoptar dentro de cada una de ellas, funcones smples que representen de manera aproxmada el comportamento local. La ventaja de este método consste en que para mejorar la solucón ya no es mprescndble utlzar funcones de orden mayor, sno que bastar con emplear una dvsón más fna del domno, con un número mayor de subregones, pero mantenendo funcones de aproxmacón de orden bajo. 1.7 Formulacón del método de elementos fntos. A contnuacón se descrbe el desarrollo de la formulacón del Método de los Elementos Fntos en problemas de elastcdad lneal. Por razones de sencllez se descrben domnos bdmensonales. Para construr el modelo de los elementos fntos prmero se realza la dvsón del domno de ntegracón (regón bdmensonal) en trángulos de lados rectos, como se muestra en la Fgura 1-5. Donde están conectados a través de sus fronteras y en sus vértces (nodos). Cada trangulo formado en este mallado típco se llama elemento. En los problemas de elastcdad, se puede consderar al elemento como una regón donde exste un campo de desplazamentos y los nodos o vértces son puntos del espaco donde se desea determnar las componentes de desplazamento. Se permte que cada nodo se desplace en las dos dreccones x y y, por lo tanto cada nodo posee dos grados de lbertad. La dea básca del Método de los Elementos Fntos puede nterpretarse como un método de aproxmacón, donde las funcones de prueba del método de Raylegh-Rtz Escuela de Ingenería Mecánca 28

42 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos se defnen en forma local en cada elemento y son llamadas funcones de nterpolacón. Estas funcones de nterpolacón se combnan para dar lugar a una aproxmacón por trozos. Empleando notacón matrcal, se descrbrá la formulacón del Método de los Elementos fntos aplcado a problemas de elastcdad bdmensonal. En esta formulacón se ncluye el ensamblaje de elementos, la mposcón de condcones de contorno, la solucón del sstema de ecuacones para obtener las cantdades nodales y el procesamento de elementos para obtener cantdades tales como los esfuerzos Expresón matrcal de la energía potencal total. Consderemos un cuerpo plano que puede representarse medante un domno bdmensonal A dscretzado medante elementos fntos. La energía potencal total Π de un cuerpo elástco de comportamento lneal vene dada por la suma de la energía potencal de deformacón de las fuerzas externas. U e y de la energía potencal Π asocada al trabajo Π = U e +Ω (1.28) La energía potencal de deformacón U e se puede expresar como: U e 1 = ε DεhdA 2 (1.29) A donde ε es el vector de deformacones, D es la matrz consttutva, σ es el vector de esfuerzos, y h es el espesor. Escuela de Ingenería Mecánca 29

43 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos ε x 1 ν 0 E ε = εy, D = ν ν γ xy ( 1 ν ) σ = ε D (1.30) La energía potencal Ω asocada al trabajo de las fuerzas externas es: Ω= (1.31) f uhda A t uhdl L donde f es el vector de fuerzas de volumen, t es el vector de fuerzas de superfce o traccón superfcal y u es el vector de desplazamentos. fx tx u f =, t =, u = fy ty v (1.32) Luego la energía potencal total se puede expresar como: 1 Π= Ue +Ω= ε DεhdA f uhda t uhdl 2 A A L (1.33) S usamos una aproxmacón por elementos fntos es necesaro dvdr el domno A en elementos y podemos expresar la energía potencal total como: 1 Π= U +Ω= D hda f uhda t uhdl e nel ε ε 1 2 Ae Ae Le e= (1.34) Escuela de Ingenería Mecánca 30

44 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Sendo nel el número de elementos, contorno sometdo a fuerzas de traccón superfcal. A e la regón ocupada por cada elemento y L e su Para poder obtener una aproxmacón por elementos fntos debemos aplcar el método de Raylegh-Rtz utlzando los campos de desplazamentos u formados por las funcones de nterpolacón de los elementos fntos Funcones de nterpolacón. A contnuacón se descrbrán los conceptos de funcones de nterpolacón y su contnudad para elementos fntos. Los desplazamentos que se producen dentro de un elemento necestan ser representados en térmnos de los desplazamentos nodales a del elemento, lo cual se expresa de la sguente manera: n = 1 (, ) u = a N x y (1.35) Donde se han asumdo mplíctamente que las funcones de prueba N están defndas por una expresón smple válda en todo el domno A. Esto puede ser posble en el caso de domnos con geometría senclla como trángulos, rectángulos, círculos, elpses, pero no en el caso de geometrías más complejas. Para el caso de trángulos de deformacón constante, las funcones de prueba resultan ser lneales sobre el elemento. Una forma alternatva de defnr las funcones de prueba consste en subdvdr el domno A en una sere de subdomnos o elementos A e que no se solapen, y luego las aproxmacones u se construyen por trozos usando defncones smples de las Escuela de Ingenería Mecánca 31

45 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos funcones de prueba sobre estos subdomnos. S los subdomnos son de forma relatvamente smple y la defncón de las funcones de prueba sobre estos subdomnos puede ser hecha de manera repettva, es posble aproxmar domnos complejos de forma bastante drecta. En este método de aproxmacón las funcones de prueba se defnen en forma local en cada elemento. Se aplca el Método de Raylegh-Rtz con estas funcones de prueba y se logra una aproxmacón por trozos. Estas funcones de prueba en elementos fntos las llamaremos funcones de nterpolacón. Consdérese, por ejemplo, un domno undmensonal, esto es una recta de longtud L, sobre la cual queremos aproxmar una funcón arbtrara u ( x) medante una aproxmacón lneal por trozos. Para ello subdvdmos esta recta en m elementos de recta vnculados por sus extremos. Nótese que hemos asocado los valores de las coordenadas generalzadas a a los valores de la aproxmacón en los extremos de los elementos. Estos puntos de cada elemento que tenen asocados valores de las coordenadas generalzadas son llamados nodos del elemento. Por tanto, asocaremos las funcones de prueba con puntos genércos del elemento y las funcones de nterpolacón con los nodos del elemento. Fgura 1-2 Aproxmacón de u(x) con elementos lneales. Escuela de Ingenería Mecánca 32

46 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos S observamos la defncón (1.35) de las funcones de aproxmacón es evdente que en un nodo asocado a la coordenada generalzada a, la funcón de prueba debe valer 1 y el resto de las funcones de prueba N ( j ) j N deben ser nulas en ese punto. Luego, una vez dentfcados los puntos nodales, es muy sencllo defnr las funcones de prueba resto de los puntos nodales del elemento. N ya que deben valer 1 en el punto nodal asocado y 0 en el ambén puede observarse que las úncas funcones de nterpolacón que son dferentes de cero en cada elemento son aquellas asocadas con los nodos de ese elemento. Luego, en cada elemento e con nodos, j la aproxmacón puede ser expresada smplemente en funcón de dos funcones de nterpolacón lneales del elemento N e, N ej y de los valores nodales a, a j como: u = a N + a N (1.36) e e e j j Fgura 1-3. Funcones de forma locales N e lneales en cada elemento. La aproxmacón global se genera a partr de la combnacón de las funcones de nterpolacón locales en cada elemento. Por otro lado, observemos que s tenemos dos valores nodales por elemento podemos reproducr cualquer varacón lneal sobre Escuela de Ingenería Mecánca 33

47 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos este elemento. En partcular, s tenemos un valor constante de la aproxmacón u sobre el elemento e esto mplca que los valores nodales deben ser guales a este valor, esto es: ( ) u = c= a N + a N = c N + N = cte (1.37) e e e e e j j j Luego, sobre cada elemento se debe verfcar e e ( N N j) 1 + = (1.38) Esto es, la suma de las funcones de nterpolacón de cada elemento debe ser gual a uno. La extensón de estos conceptos a dos dmensones es bastante drecta. En este caso, la subdvsón del domno se efectúa utlzando trángulos ó cuadrláteros. Fgura 1-4. Aproxmacón en dos dmensones. La parte de abajo es el domno bdmensonal y la parte de arrba es la funcón de forma. Escuela de Ingenería Mecánca 34

48 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos En este caso los puntos nodales quedan asocados, en general, a los vértces de la malla y para el caso de aproxmacón lneal sobre cada trángulo las funcones de nterpolacón del elemento son planos Aproxmacón por elementos fntos. El prmer paso para obtener una aproxmacón por elementos fntos es realzar una dscretzacón del domno. Esto es, debemos generar una malla de elementos fntos que cubra todo el domno. Además debemos numerar los nodos de la malla, que son aquellos puntos que tenen asocadas coordenadas generalzadas. Para el caso partcular de análss de esfuerzos, las coordenadas generalzadas son los desplazamentos nodales. Así, para el nodo sus desplazamentos nodales serán u y v. Consderemos una aproxmacón por elementos fntos de los desplazamentos u = ( uv, ), como: n (, ), (, ) (1.39) u = u N x y v= v N x y = 1 = 1 n Fgura 1-5. Dscretzacón de un domno Ω. Escuela de Ingenería Mecánca 35

49 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos donde u, v son los desplazamentos nodales. Cada funcón de prueba N se compone de las funcones de forma asocadas al nodo de todos los elementos que contenen ese nodo, esto es: nen N x, y N x, y e ( ) ( ) = (1.40) e= 1 donde nen es el número de elementos que contenen al nodo. Además, los desplazamentos u, e v e en cada elemento se pueden expresar como: nnod nnod e e e e e e j j (, ), j j (, ) (1.41) u = u N x y v = v N x y j= 1 j= 1 donde nnod es el número de nodos del elemento. Nótese que en este caso el índce j se refere a la numeracón local del nodo en el elemento. Así, por ejemplo, para un trángulo de 3 nodos los desplazamentos sobre el elemento son: u = N u + N u + N u e e e e e e e v = N v + N v + N v e e e e e e e (1.42) Esta ecuacón puede escrbrse matrcalmente como: u = N d (1.43) e e e Escuela de Ingenería Mecánca 36

50 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Fgura 1-6. Desplazamentos nodales para el trángulo de 3 nodos. sendo N e la matrz de funcones de forma del elemento: N e e e e N1 0 N2 0 N3 0 = e e e 0 N1 0 N2 0 N3 (1.44) y d e es el vector de desplazamentos nodales del elemento: { } e e e e e e e d = u v u v u v (1.45) En forma partconada la matrz de funcones de forma se puede escrbr como: N = N N N (1.46) e e e e donde las submatrces e N que están asocadas a cada nodo del elemento son: Escuela de Ingenería Mecánca 37

51 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos N e e N 0 = e 0 N (1.47) El vector d e de desplazamentos nodales del elemento se puede tambén expresar en forma partconada como: d e e d 1 e = d2 e d 3 (1.48) Donde los vectores elemento son: e d que están asocados a los desplazamentos de cada nodo del d e e u 1 = e v (1.49) sendo e u los desplazamentos del nodo del elemento Matrz gradente. S reemplazamos los campos de desplazamentos aproxmados por elementos fntos en las expresones de las deformacones, en cada elemento tenemos: Escuela de Ingenería Mecánca 38

52 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos e u N N N ε x = = + + x x x x e v N N N ε y = = + + y y y y γ xy e e e 1 e 2 e 3 e u1 u2 u3 e e e 1 e 2 e 3 e v1 v2 v3 e e u v N N N N N N = + = y x y x y x y x e e e e e e 1 e 1 e 2 e 2 e 3 e 3 e u1 v1 u2 v2 u3 v3 (1.50) y en forma matrcal e e e e e u N1 N2 N u e x x x x v1 e e e e e v N u 1 N2 N 3 2 ε = = e y y y y v2 e e e e e e e e e u v N u 1 N1 N2 N2 N3 N e x y y x y x y x v3 (1.51) y en forma abrevada e e ε = B d (1.52) donde y e B es la matrz gradente (relacón deformacón-desplazamento) del elemento e d es el vector de desplazamentos nodales el elemento. En forma partconada la matrz gradente se puede escrbr como: B = B B B (1.53) e e e e Donde las submatrces e B que están asocadas a cada nodo del elemento son: Escuela de Ingenería Mecánca 39

53 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos B e e N 0 x e N = 0 y e e N N y x (1.54) Observemos que un caso general la matrz gradente del elemento compuesta de tantas submatrces e B como nodos tenga el elemento. B e estará Matrz de rgdez y vector de cargas nodales equvalentes. S reemplazamos los campos de desplazamentos aproxmados por elementos fntos de (1.52) y (1.43) en la expresón de la energía potencal total tenemos: e e ε u u ε nel 1 e e e e e e e e Π= U e +Ω= d B D B d hda d N fhda d N thdl 1 2 A A L e= (1.55) Defnendo a la matrz de rgdez del elemento como: K e e e = B DB hda (1.56) A Esta matrz es una matrz cuadrada de dmensón gual a la cantdad de desplazamentos nodales del elemento y defnendo además al vector de cargas nodales equvalentes del elemento como: Escuela de Ingenería Mecánca 40

54 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos (1.57) e e e f = N fhda N thdl A L luego la energía potencal total se puede expresar como: nel 1 e e e e e Π= d K d d f (1.58) 2 e= 1 S empleamos la forma partconada (1.46) para las matrces gradente del elemento e B entonces la matrz de rgdez del elemento partconada como: K e se puede expresar en forma e e e K11 K12 K 13 e e e e K = K21 K22 K23 e e e K31 K32 K 33 (1.59) Sendo K e e e j A j = B DB hda (1.60) La submatrz de rgdez del elemento que relacona los nodos numerados localmente como,j en el elemento. S defnmos al vector d de desplazamentos de la malla con n nodos como: Escuela de Ingenería Mecánca 41

55 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos d d1 d dn 2 = (1.61) Entonces la energía potencal de deformacón se puede expresar como: nel 1 e e e 1 Ue = d K d = d Kd (1.62) 2 2 e= 1 sendo K la matrz de rgdez global formada por las submatrces K j, las cuales valen: K j nel = K (1.63) e= 1 e j Esto es, s dos nodos están vnculados por un elemento, entonces dcho elemento debe contrbur con una submatrz a la matrz de rgdez global. Por otro lado, la energía potencal de las fuerzas externas se puede expresar como: Ω= d f (1.64) sendo f el vector de fuerzas externas global cuyas componentes f valen f nel = f (1.65) e= 1 e Fnalmente, la energía potencal total queda: Escuela de Ingenería Mecánca 42

56 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos 1 t Π= dkd d f (1.66) 2 Aplcando Raylegh-Rtz debemos mnmzar esta expresón respecto de las coordenadas generalzadas, que en este caso son los desplazamentos nodales d, esto es: Π = Kd f = 0 d (1.67) Resultando el sguente sstema de ecuacones: Kd = f (1.68) Que tene por ncógntas a los desplazamentos nodales de toda la malla. En general, algunos de estos desplazamentos tendrán valores prescrtos por lo que no serán ncógntas, en este caso deberíamos elmnar la línea correspondente a este desplazamento de la matrz de rgdez global. Obsérvese que el prmer paso para resolver este sstema de ecuacones es el montaje de la matrz K y del vector f a partr de las contrbucones de los elementos, este proceso se denomna ensamblaje Característcas de la matrz de rgdez global. Una matrz de rgdez global tene muchas característcas generales que pueden usarse para comprobar la formulacón de una matrz partcular de rgdez. Una matrz de rgdez global debe tener las sguentes propedades: Escuela de Ingenería Mecánca 43

57 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Smétrca. Esto sgnfca que k j = k j. Éste es sempre el caso cuando los desplazamentos son drectamente proporconales a las cargas aplcadas. Cuadrada. Esto mplca que el número de flas es gual al número de columnas en la matrz. Sngular. La matrz de rgdez global es sngular (la determnante de la matrz es gual a cero). Debdo a que nnguna de las restrccones (los desplazamentos prescrptos y / o la rotacón) han sdo aplcadas. Dagonal prncpal postva. odos los elementos de la dagonal prncpal deben ser postvos. S k es negatvo, entonces la fuerza y su desplazamento correspondente estarían en dreccones opuestas, lo cual es físcamente rraconal. S k = 0, entonces el desplazamento no producría una fuerza de reaccón, lo cual mplcaría que la estructura es nestable. 1.8 Convergenca de los Resultados. En general, se puede decr que para obtener una solucón medante el Método de los Elementos Fntos, se requere dealzar el problema físco para obtener así una descrpcón mecánca, y luego, la solucón de esa dealzacón mecánca utlzando el Método de los Elementos Fntos. Una solucón apropada debe converger haca la solucón exacta a medda que se aumenta el número de elementos, entendéndose por exacta, la solucón de las ecuacones dferencales que rgen el comportamento del sstema dealzado. En el caso de que no sea posble obtener una solucón exacta de la dealzacón mecánca, la convergenca del modelo basado en el Método de los Elementos Fntos puede medrse úncamente por el hecho de que todas las condcones báscas de tpo Escuela de Ingenería Mecánca 44

58 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos cnemátco, estátco y consttutvo deben ser satsfechas en el límte, cuando el número de elementos tende a nfnto. Al hablar de la convergenca de un modelo de elementos fntos, se entende por error el que se produce como consecuenca de susttur un modelo dscreto por un modelo contnuo, además del error provenente de asumr las funcones de aproxmacón de los desplazamentos. Entonces, se entende por convergenca el hecho de que el error dsmnuya a medda que se use un número cada vez mayor de elementos más pequeños. Las pruebas matemátcas de la convergenca asumen que el proceso de afnamento de la malla está defndo por tres condcones: La reduccón del tamaño de los elementos debe hacerse de manera que cada punto del domno de solucón quede sempre dentro de cada nueva malla. Cada nueva malla debe estar contenda dentro de la anteror. Durante el proceso, la forma de las funcones de nterpolacón debe permanecer nvarable. Notacón para expresar el grado de contnudad de la varable de nterés: S la varable es contnua en las fronteras entre elementos, se habla de contnudad C 0. S, además, sus prmeras dervadas deben ser contnuas, se habla de contnudad C 1. Entonces, para garantzar convergenca monotónca y para darle sgnfcado al ensamblaje de elementos, las funcones sguentes requstos: N (funcones de forma) deben cumplr los Compatbldad: Debe haber contnudad r C en las fronteras entre elementos. Escuela de Ingenería Mecánca 45

59 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Complettud: Dentro de un elemento debe haber contnudad r 1 C +. El requsto de complettud sgnfca que las funcones de desplazamento dentro del elemento deben poder representar: Desplazamentos de cuerpo rígdo. Estados de deformacón constante. Los desplazamentos de cuerpo rígdo son aquellos modos de desplazamento que el cuerpo debe poder expermentar sn que se generen esfuerzos en su nteror. Por otra parte, podemos entender la necesdad de estados de deformacón constante, magnando que representamos el cuerpo con un número crecente de elementos. En el límte, cuando el tamaño del elemento tende a cero, la deformacón del msmo alcanza un valor constante, lo que permte representar cualquer varacón compleja del estado de deformacones en el cuerpo. El requsto de compatbldad mplca que debe haber contnudad de los desplazamentos dentro de los elementos, y a través de las fronteras entre los msmos. 1.9 Exacttud de la solucón. Una solucón más exacta se puede obtener aumentando el número de elementos o utlzando elementos de geometría más complcada. Se ha de notar que en los nodos el Método de los Elementos Fntos provee valores exactos de u. Los elementos fntos que tengan funcones de nterpolacón lneales producen valores nodales exactos, s la solucón buscada es cuadrátca. Los elementos cuadrátcos producen valores nodales exactos s la solucón es cúbca, etc. Escuela de Ingenería Mecánca 46

60 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos 1.10 Aplcacón del método de los elementos fntos al análss de problemas de elastcdad bdmensonal. A contnuacón se presenta la aplcacón del método de los elementos fntos a un problema de elastcdad bdmensonal Coefcentes de rgdez para un elemento de esfuerzo-deformacón para un elemento trangular general. La suposcón más smple para expresar la deformacón dentro de un elemento es una condcón de tensón completamente unforme. Esto puede ser logrado asumendo que los desplazamentos de u y v son funcones lneales de x y y. Por consguente: u = α + α x+ α y v= β + β x+ β y (1.69) Donde α1, α2, α3, β1, β2, β 3 son constantes. El estado de deformacón en el elemento correspondente a las funcones (1.69) es: u εx = = α2 x v εy = = β3 y u v γ xy = + = α3+ β2 y x (1.70) Escuela de Ingenería Mecánca 47

61 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Puede verse que las deformacones son constantes, por lo que el elemento es llamado un trángulo de deformacón constante. Por lo tanto las deformacones ε x, εy, γ xy pueden ser obtendas en térmnos de los desplazamentos nodales u 1, v 1, u 2, v 2, u 3, v 3. Aplcando las ecuacones (1.69) en cada nodo obtendremos: u = α + α x + α y v = β + β x + β y u = α + α x + α y v = β + β x + β y u = α + α x + α y v = β + β x + β y (1.71) Podemos escrbrlo de otra forma: u1 1 x1 y α1 v x1 y α 1 2 u 1 x y α v x2 y2 β1 u 1 x y β 2 3 {} u = = 2 = [ A]{ α} v x 3 3 y3 β 3 (1.72) De una forma smlar podemos escrbr las deformacones (1.70) como: ε x y γ xy {} ε = ε = { α} = [ ]{ α} B α (1.73) Escuela de Ingenería Mecánca 48

62 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Las constantes { α } pueden ser elmnadas para así poder expresar la deformacón en térmnos de los desplazamentos nodales { U }.Antes de realzar esto el área del elemento se expresa en térmnos de las coordenadas nodales como se muestra en la Fgura 1-7. Y X Fgura 1-7 Área del elemento calculada en térmnos de las coordenadas nodales. Área del trangulo (123) = área (1354) + área (2356) área (1462) Donde el área del trangulo (123) = A 1 A = y + y x x + y + y x x y y x x 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) Nótese que el área A es postva, s el elemento es numerado en sentdo horaro. Regresando a la (1.72), las constantes α 2, α 3, β 2, β 3 pueden ser soluconadas en térmnos de otras varables: Escuela de Ingenería Mecánca 49

63 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos 1 α2 = A ( 2 3) 1 ( 3 1) 2 ( 1 2) 3 2 y y u + y y u + y y u 1 α3 = A ( 2 3) 1 ( 3 1) 2 ( 1 2) 3 2 x x u + x x u + x x u 1 β2 = A ( y2 y3) v1 ( y3 y1) v2 ( y1 y2) v β3 = A ( x2 x3) v1+ ( x3 x1) v2 + ( x1 x2) v3 2 (1.74) La susttucón de ecuacones (1.74) en (1.70) da las deformacones del elemento en térmnos de los desplazamentos nodales. 1 ε x = A ( 2 3) 1 ( 3 1) 2 ( 1 2) 3 2 y y u + y y u + y y u (1.75) 1 ε y = A ( y2 y3) v1+ ( y3 y1) v2 + ( y1 y2) v3 2 1 γ xy = A ( x3 x2) u1+ ( x1 x3) u2 + ( x2 x1) u3+ ( y2 y3) v1+ ( y3 y1) v2 + ( y1 y2) v3 2 En térmnos matrcales: b1 0 b2 0 b A a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 {} ε = 0 a 0 a 0 a { U} = [ B]{ U} (1.76) Donde: Escuela de Ingenería Mecánca 50

64 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos a = x x a = x x a = x x b = y y b = y y b = y y (1.77) Para determnar los esfuerzos que corresponden a estas deformacones, es necesaro ndagar en relacones específcas de esfuerzo/deformacón. Las ecuacones consttutvas son para un materal sotrópco elástco y lneal con un módulo de elastcdad (E), modulo de rgdez (G) y la relacón de Posson (υ ). Los estados lmtantes bdmensonales son estado plano de ( σ ) y estado plano de ( ε ). En el plano de esfuerzo, el pequeño esfuerzo sometdo σ 2 = 0 y los pequeños desplazamentos sometdos no son restrccones. De esa manera: En forma matrcal E σ x = ε 2 x + υεy 1 υ E σ y = ε 2 y + υεx 1 υ τ = Gγ xy xy ( ) ( ) (1.78) E υe σ 1 1 x υ υ υe E σ = σ y = 0 ε ε υ 1 υ = τ xy E ( υ ) { } {} [ D]{} (1.79) Escuela de Ingenería Mecánca 51

65 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Sabendo que E 2G( 1 υ ) esfuerzo son: = +, los coefcentes de la matrz D para un estado plano de d d d E = d = 1 υ υe = d = 1 υ E = G = 21 ( + υ ) (1.80) En deformacón plana, 0 z ε = y σ y υ( σx σ y) grosor. Ya queσ se puede dervar de, z = + no hay desplazamentos a través del σ σ, no se ncluye en el vector { σ } coefcentes en la matrz [ D] para un plano de deformacón son: x y. Los d d d = d = = d = E = 21 ( + υ ) E ( 1 υ ) ( 1+ υ )( 1 2υ ) υe ( 1+ υ )( 1 2υ ) (1.81) Quedando de la sguente forma: [ D] E ( 1 υ ) υe ( 1+ υ)( 1 2υ) ( 1+ υ)( 1 2υ) υe E ( 1 υ ) ( 1+ υ)( 1 2υ) ( 1+ υ)( 1 2υ) 0 = 0 E ( + υ ) (1.82) Escuela de Ingenería Mecánca 52

66 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Nótese la nclusón del térmno ( 1 2υ ) en los denomnadores, esto quere decr que no hay solucón posble para la condcón lmtatva de υ = 0,5, donde no hay cambo volumétrco matrcal en el materal durante la deformacón. Susttuyendo: { ε } = [ B]{ U} en { σ} = [ D]{ ε} Nos queda: { σ} [ D]{ ε} [ D][ B]{ U} = = (1.83) Lo que quere decr que el estado de ( σ ) en el elemento, expresado en térmnos de desplazamentos nodales nos queda: 1 σx = 2A σ y = 2A τxy = 2A { d11 ( y2 y3 ) u1 d11 ( y3 y1 ) u2 d11 ( y1 y2 ) u3 d12 ( x3 x2 ) v1 d12 ( x1 x3 ) v2 d12 ( x2 x1 ) v3} { d12 ( y2 y3 ) u1 d12 ( y3 y1 ) u2 d12 ( y1 y2 ) u3 d11 ( x3 x2 ) v1 d11 ( x1 x3 ) v2 d11 ( x2 x1 ) v3} (1.84) { d33 ( x3 x2 ) u1 d33 ( x1 x3 ) u2 d33 ( x2 x1 ) u3 d33 ( y2 y3 ) v1 d33 ( y3 y1) v2+ d33( y1 y2) v3} Quedando como ultmo paso, relaconar las fuerzas nodales correspondentes a los esfuerzos antes menconados con los desplazamentos nodales, y por lo tanto determnar los coefcentes de la matrz de rgdez. Para obtener el arreglo de las Escuela de Ingenería Mecánca 53

67 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos fuerzas nodales en equlbro con los esfuerzos en el elemento, se utlza la ecuacón de trabajo vrtual. Para condcones de esfuerzo plano y fuerzas puntuales úncamente en los límtes, ver (Fgura 1-8) la ecuacón de de trabajo vrtual es: v ( σε x x + σε y y + τxyγ xy ) dv Fx 1u1 Fx 2u2 Fx 3u3 Fy1v1 F y2v2 Fy3v3 = 0 (1.85) Y F y1 1 3 F x1 F y3 F x3 2 F y2 F x2 X Fgura 1-8 Condcones de esfuerzo plano y fuerzas puntuales úncamente en los límtes. Vsto de la forma matrcal: Donde: {}{ ε σ} dxdydz { U }{ P } = 0 (1.86) Escuela de Ingenería Mecánca 54

68 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos { P} x1 y 1 x 2 = y2 x 3 y 3, {} ε = εx εy γ xy y { U} = [ u v u v u v ] Ahora en la ecuacón, el esfuerzo { σ } y las fuerzas nodales externas { P } forman cualquer arreglo de equlbro y las deformacones { ε } con los desplazamentos nodales { U } forman cualquer deformacón compatble o un arreglo geométrco para este elemento en partcular. La ventaja de la ecuacón de trabajo vrtual es que para un problema en partcular, el arreglo de equlbro correspondente a una carga puede ser multplcado por el arreglo de deformacón correspondente a otra carga, y el resultado segurá sendo cero. Esta propedad es usada para determnar los coefcentes de rgdez, selecconando un arreglo de deformacón { U } correspondente a algunas cargas nusuales{ P } donde se smplfca de una forma consderable la relacón entre { σ } (escrta en térmnos de { U } (1.84)) y { P }. Para Fx 1 tenemos: σ x, σ y, τ xy con Fx 1, Fy1, Fx2, Fy2, Fx3, F y3 De la geometría obtenemos: u 0, v = u = v = u = v = Escuela de Ingenería Mecánca 55

69 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Producdo por alguna carga nusual ( Fx 1, Fy1, ect) determnado aquí. De la ecuacón (1.74):, que de hecho no necesta estar 1 ε x = ( y2 y3) u 1 2A ε = 0 y 1 τ xy = ( x3 x2) u 1 2A Quedando la ecuacón (1.85) de la sguente forma: v v σε x x + σε y y + τxyγ xy dv Fx 1u 1= σx ( y2 y3) u τxy ( x3 x2) u 1 dv Fx 1u 1 = 0 2A 2A 1 F = σ ( y y ) + τ ( x x ) dv x1 x 2 3 xy 3 2 2A v Como en el elemento σ x y τ xy son constantes: V F = y y x x 2A σ + ( ) τ ( ) x1 x 2 3 xy 3 2 Sendo el volumen del elemento V = Ah.. Donde h es el espesor. Usando la ecuacón (1.84), se puede escrbr en térmnos de los desplazamentos nodales: Escuela de Ingenería Mecánca 56

70 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos F x1 ( ) + ( ) 2 2 u 1 d11 y2 y3 d33 x3 x 2 + v d x x y y + d y y x x h + u d y y y y + d x x x x = 4A + v d x x y y + d y y x x + u d y y y y + d x x x x + v d x x y y + d y y x x ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) (1.87) De una forma smlar obtendremos las ( Fy1, Fx2, Fy2, Fx3, Fy3) A contnuacón se presentará un ejemplo lustratvo. Con la fnaldad de lustrar la aplcacón de los elementos fntos a un problema en partcular, se consdera la sguente estructura: Y 2 1 (5) 3/2 3/2 2 (2) 1 30 (1) 1 3 (3) (4) X Fgura 1-9 Estructura del ejemplo lustratvo. Escuela de Ingenería Mecánca 57

71 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Se enumeran los nodos de (1) al (5), se defnen los elementos como se muestra en la Fgura 1-9. Los elementos son numerados en sentdo anthoraro. Para el elemento 1 son (1),(2),(3), para el elemento 2 son (5),(3),(2) y para el elemento 3 son (5),(4),(3). Se asume que la vga posee undades pequeñas y está en un estado plano de esfuerzos con E=1 y υ = 0,3. Consderar cada elemento en orden y establecer la matrz de rgdez. Para el elemento 1 : (2) 1 30 (1) (3) Fgura 1-10 Elemento 1. x x x y = 1 y y = 3 = 3/2 = 3/2 = 1 = 1/2 Escuela de Ingenería Mecánca 58

72 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos a1 = x3 x2 = 0 a = x x = 3/ a = x x = b = y y = 1/ /2 b = y y = 1/2 b = y y = 0 Donde el valor del área es: ( 3/2) ( 1/2) Base Altura A = = = 0, Y la del espesor : h = 1 Usado las ecuacones obtendas en (1.87), se coloca de forma matrcal. Se obtenene: Escuela de Ingenería Mecánca 59

73 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Escuela de Ingenería Mecánca 60

74 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Escuela de Ingenería Mecánca 61

75 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Donde 1 F x 2 sgnfca que la fuerza F es aplcada por el elemento 1 en el nodo 2. Así con cada uno de ellos se usa la ecuacón (1.86). Se realza como ejemplo el cálculo de 1F x 1, F = d u 0. v d u d v 0. u d v 0, x Del plano de esfuerzos tenemos: d d d E = = 1, υ υe = = 0, υ E = = 0, ( + υ ) Obtenendo así la prmera ecuacón del sstema. F = 0,317u + 0v 0,317u + 0,165v + 0u 0,165u 1 x Este proceso se repte para las otras ecuacones restantes obtenendo el sstema total. Como se presenta a contnuacón: 1Fx1 0, ,317 0, ,165 u1 1F y1 0 0,111 0,192 0,111 0,192 0 v 1 1F x2 0,317 0,192 0,650 0,357 0,333 0,165 u2 = 1Fy 2 0,165 0,111 0,357 1,063 0,192 0,952 v2 1F x3 0 0,192 0,333 0,192 0,333 0 u3 1F y3 0, ,165 0, ,952 v3 (1.88) Escuela de Ingenería Mecánca 62

76 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Para el elemento 2 : (5) 2 (2) (3) Fgura 1-11 Elemento 2. x x x y y y = x = = x = 3 2 = x = 2 3 = y = /2 3/2 = y = 1/2 = y = 1 a1 = x 3 x 2 = 0 a2 = x 1 x3 = 3/2 a = x x = 3/ b = y y = 1/ b = y y = b = y y = 1/ Realzando el msmo procedmento que en el elemento 1, obtenemos: Escuela de Ingenería Mecánca 63

77 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos 2Fx 5 0, ,165 0,317 0,165 u5 2F y5 0 0,111 0, ,192 0,111 v 5 2F x3 0 0,192 0, ,333 0,192 u3 = 2Fy 3 0, ,952 0,165 0,952 v3 2F x2 0,317 0,192 0,333 0,165 0,650 0,357 u2 2Fy 2 0,165 0,111 0,192 0,952 0,357 1,063 v2 (1.89) Nótese que en elemento 2, u5 = v5 = 0 entonces, las columnas uno y dos del elemento de la matrz de rgdez podrán ser elmnadas. Además, las prmeras dos ecuacones no son usadas ncalmente, sólo se usan después de que obtengamos la solucón de los desplazamentos desconocdos. Para el elemento 3 : (5) 3 (3) (4) Fgura 1-12 Elemento 3. Escuela de Ingenería Mecánca 64

78 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos x x x y y y = x = = x = 0 = x = 3/ = y = = y = = y = 1/2 3 3 a = x x = a = x x = a = x x = /2 3/2 b = y y = 1/2 b = y y = 1/2 b = y y = 1 Realzando el msmo procedmento que en el elemento 1 y 2, obtenemos: 3Fx 5 0,325 0,179 0,008 0,014 0,317 0,192 u5 3F y5 0,179 0,531 0,014 0,420 0,165 0,111 v 5 3F x4 0,008 0,014 0,325 0,179 0,317 0,192 u3 = 3Fy 4 0,014 0,420 0,179 0,531 0,165 0,111 v3 3F x3 0,317 0,165 0,317 0,165 0,634 0 u2 3Fy 3 0,192 0,111 0,192 0, , 222 v2 (1.90) En elemento 3, u4 = v4 = u5 = v5 = 0, por lo tanto pueden ser elmnadas las columnas uno a la cuatro de la matrz de rgdez del elemento. En este problema hay ses (6) desplazamentos nodales desconocdos, y por lo tanto se requere ses ecuacones, las cuales venen de la aplcacón de las condcones de equlbro en el nodo del desplazamento desconocdo y en la dreccón Escuela de Ingenería Mecánca 65

79 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos correspondente. Ya que las ncógntas son u 1, v 1, u 2, v 2, u 3, v 3, se debe aplcar el equlbro en ambas dreccones x y y en los nodos (1),(2) y (3) Equlbro en los nodos. El equlbro en el nodo (1) vene dado por la fuerza externa aplcada en el nodo F x1 y la fuerza aplcada por el elemento 1 F x1. (1) 1 Y X 1 1F x1 1F y1 Fgura 1-13 Equlbro en el nodo 1. Donde el equlbro está dado por: Entonces, de (1.88): 1Fx1 = Fx 1 = 0 0,317u + 0v 0,317u + 0,165v + 0u 0,165v = 0 (1.91) En la dreccón de Y el equlbro está dado por: Y, de (1.88) resulta: F = F = 1 y1 y1 1 Escuela de Ingenería Mecánca 66

80 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos 0u + 0,111v 0,192u 0,111v 0,192u + 0v = 1 (1.92) De gual forma se realza en el nodo (2) y (3). Nodo (2) 2 Y X 2 2F x2 2F y2 (2) 1F x2 1 F y2 1 Fgura 1-14 Equlbro en el nodo 2. En la dreccón de X: Condcón de equlbro: 1Fx2 + 2Fx2 = Fx2 = 0 De (1.88) y (1.89), queda: 0,317u + 0,192 v + (0, ,650) u ( 0, ,357) v + ( 0, ,333) u + (0,165 0,165) v = Resultando: 0,317u + 0,192v + 1,300u + 0v + 0,666u + 0v = 0 (1.93) Escuela de Ingenería Mecánca 67

81 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos En la dreccón de Y: Condcón de equlbro: F + F = F = 1 y2 2 y2 y2 2 De (1.88) y (1.89), queda: 0,165u 0,111v + 0u + 2,125v + 0u 1,903v = 2 (1.94) Nodo (3): (3) 2 2F x3 1 1F x3 3 2F y3 3F x3 1 F y3 Y 3F y3 X Fgura 1-15 Equlbro en el nodo 3. En la dreccón X: Condcón de equlbro: 1Fx3+ 2Fx3 + 3Fx3 = Fx3 = 0 De (1.88),(1.89) y (1.90), queda: Escuela de Ingenería Mecánca 68

82 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos 0u 0,192v 0,666u + 0v + 1,301u + 0v = 0 (1.95) En la dreccón Y: Condcón de equlbro: F + F + F = F = 1 y3 2 y3 3 y3 y3 0 De (1.88),(1.89) y (1.90), queda: 0,165u + 0v + 0u 1,903v + 0u + 2,125v = 0 (1.96) Agrupando todas las ecuacones, desde la (1.91) hasta la (1.96), obtendas por el equlbro de los nodos, se tene el sguente sstema de ecuacones: 0,317u + 0v 0,317u + 0,165v + 0u 0,165v = u + 0,111v 0,192u 0,111v 0,192u + 0v = ,317u + 0,192v + 1,300u + 0v + 0,666u + 0v = ,165u 0,111v + 0u + 2,125v + 0u 1,903v = u1 0,192v1 0,666u2 + 0v2 + 1,301u3 + 0v3 = 0 0,165u + 0v + 0u 1,903v + 0u + 2,125v = El cual se puede expresar matrcalmente de la sguente manera: 0, ,317 0, ,165 u ,111 0,192 0,111 0,192 0 v 5 1 0,317 0,192 1, ,666 0 u 3 0 = 0,165 0, , ,903 v ,192 0, ,301 0 u2 0 0, , ,125 v2 0 Escuela de Ingenería Mecánca 69

83 Capítulo 1 El Método de los Elementos Fntos Resultando las sguentes solucones: u = 7,712 u u = 6,542 = 2,686 v = 40,823 v v = 15,835 = 13,582 Con la fnaldad de calcular los esfuerzos en cada elemento, se forma el vector de desplazamento para cada elemento { u, v, u, v, u, v } , y los valores son susttudos en la ecuacón (1.83). La que resulta del producto [ D][ B]{ U }. Dando los sguentes resultados: Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 σ 0 6,816-3,408 x σ -4,505-2,461-1,022 y τ -4 0,065-6,032 xy Escuela de Ingenería Mecánca 70

84 Capítulo 2 Métodos drectos de solucón de sstemas de ecuacones 2. Métodos drectos de solucón de sstemas de ecuacones. En este capítulo se presentarán algunos de los métodos empleados para resolver los sstemas de ecuacones que se generan en el análss de problemas de ngenería por el Método de los Elementos Fntos. Se presentan métodos drectos de solucón de sstemas de ecuacones tales como, la descomposcón LU, Gauss y Gauss-Jordan, los cuales son utlzados para resolver sstemas de ecuacones lneales de la forma Ax = b. 2.1 Descomposcón LU. La descomposcón LU es una técnca muy utlzada como paso ntermedo para la resolucón de sstemas lneales. La fnaldad es el de descomponer la matrz K en dos matrces trangulares (una trangular nferor y otra trangular superor): K = LU (2.1) S el determnante la matrz K es no nulo, exsten una nfndad de matrces solucones a esa gualdad, (salvo casos partculares). Estas matrces obtendas L y U son tambén no sngulares (el determnante es dferente de cero). Al ejecutar el producto descrto anterormente s tene lo sguente: K K = u 1j 1j = l u 1j 1 11 j 1 K = l u + l u j j jj k kj k = 1 j K = u + l u j j k kj k = 1 Escuela de Ingenería Mecánca 71

85 Capítulo 2 Métodos drectos de solucón de sstemas de ecuacones Fgura 2-1 Dagrama de descomposcón LU. Escuela de Ingenería Mecánca 72

86 Capítulo 2 Métodos drectos de solucón de sstemas de ecuacones 2.2 Elmnacón de Gauss. El método de elmnacón de Gauss es el más efcente de todos los métodos de solucón para un sstema lneal en forma matrcal ( AX B) =. El método se basa en una sucesón de operacones, con la fnaldad de reemplazar todos los elementos que se encuentran por debajo de la dagonal prncpal por elementos nulos, esto garantza un sstema equvalente, el cual permte determnar la solucón completa por medo de una nspeccón. AX = B, donde A es ( n n) y B es de ( n 1) : a11 a12 a1 n x1 b1 a21 a22 a 2n x 2 b 2 = a a a x b n1 n2 nn n n Para aplcar el método se sguen los sguentes pasos: a a = a a a (1) 1 j j 1 j 11 a 1 b = b b1 a 11 ( 1,1 j n+ 1) Obtenendo la prmera matrz ntermeda del proceso. En donde se puede observar que la prmera columna posee (n-1) valores nulos: Escuela de Ingenería Mecánca 73

87 Capítulo 2 Métodos drectos de solucón de sstemas de ecuacones a a a x b n 1 1 (1) (1) (1) 0 a a 22 2n x 2 b 2 = (1) (1) (1) 0 a x n2 ann n b n Reptendo el proceso anteror a la submatrz, la cual será de una dmensón menor cada vez que el proceso se repta. El procedmento se puede poner de una forma más general: ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) k j = j kj ( k 1) akk a a a a a ( k 1) ( k) ( k 1) ( k 1) 1 = k ( k 1) akk b b b Una vez termnado este procedmento se obtene un sstema de la sguente forma: a a a x b n 1 1 (1) (1) (1) 0 a a 22 2n x 2 b 2 = ( n 1) ( n 1) 0 0 a x nn n bn Donde la solucón del sstema puede ser obtenda a partr del últmo vector. Para que el método de Gauss pueda ser aplcado, los valores de la dagonal prncpal no pueden ser nulos, ya que s exstera algún térmno nulo en la dagonal prncpal, sería necesaro permutar por lo menos dos flas del sstema para obtener un valor no nulo. S exstera un valor nulo en la dagonal prncpal entonces el sstema lneal no posee solucón y es sngular. Escuela de Ingenería Mecánca 74

88 Capítulo 2 Métodos drectos de solucón de sstemas de ecuacones Fgura 2-2 Dagrama de método de Gauss. Escuela de Ingenería Mecánca 75

89 Capítulo 2 Métodos drectos de solucón de sstemas de ecuacones 2.3 Elmnacón de Gauss-Jordan. El método de Gauss-Jordan, tambén conocdo como el método de dagonalzacón, consste en una modfcacón al método orgnal (método de Gauss). Esta dferenca radca en que los úncos elementos no nulos que se presentarán en la matrz A al fnal de la ejecucón, serán los que se encuentren en la dagonal prncpal. El proceso para su resolucón, es el msmo utlzado en el método de Gauss. Para ello se aplca como prmer paso: a a = a a a (1) 1 j j 1 j 11 = a 1 b b b1 a 11 ( 1,1 j n+ 1) Obtenendo: a a a x b n 1 1 (1) (1) (1) 0 a a 22 2n x 2 b 2 = (1) (1) (1) 0 a x n2 ann n b n Y luego se procede a hacer nulo el resto de los valores, sn nclur los valores de la dagonal prncpal. Para lo cual se aplca: ( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) k j = j kj ( k 1) akk a a a a a ( k 1) ( k) ( k 1) ( k 1) 1 = k ( k 1) akk b b b Escuela de Ingenería Mecánca 76

90 Capítulo 2 Métodos drectos de solucón de sstemas de ecuacones Realzando este paso tantas veces sea necesaro, se obtene una matrz que sólo tendrá valores no nulos en su dagonal prncpal. Como se puede observar: a 0 0 x b (1) (1) 0 a 0 x 22 2 b 2 = ( n 1) ( n 1) 0 0 a x nn n bn Donde la solucón del sstema es obtenda de una forma rápda. Escuela de Ingenería Mecánca 77

91 Capítulo 2 Métodos drectos de solucón de sstemas de ecuacones Fgura 2-3 Dagrama del método de Gauss-Jordan. Escuela de Ingenería Mecánca 78

92 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones 3. Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones. En ngenería se puede llegar a problemas muy grandes, donde el número de térmnos no nulos dentro del perfl de la matrz de coefcentes es pequeño comparado con el número de elementos nulos. En consecuenca, para este tpo de problemas los métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones son más efcentes que los métodos drectos [43]. La ventaja de la teracón es la reduccón del almacenamento en la memora central del ordenador y la elmnacón de la descomposcón trangular que es el proceso con mayor dfcultad que presentan los métodos drectos, pero poseen desventajas, como el desconocmentos del número de teracones que son necesaras para obtener una solucón aceptable y este método a veces falla cuando es aplcado a ecuacones no smétrcas o no es defnda postva. En la actualdad, el Método del Gradente Conjugado (GC), es un método teratvo amplamente dfunddo para resolver sstemas grandes de ecuacones lneales. El GC es efectvo para resolver sstemas de la forma: Ax = b (3.1) donde x es un vector ncógnta, b es un vector conocdo, y A es una matrz conocda, cuadrada, smétrca y defnda postva. Una matrz defnda postva es aquella que para cualquer vector no nulo x se cumple que: x Ax> 0 (3.2) Los métodos teratvos como el GC son adecuados para utlzarse con matrces dspersas. S A es densa, la mejor forma de resolver el sstema es factorzando A y Escuela de Ingenería Mecánca 79

93 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones aplcando susttucón haca atrás. El tempo consumdo factorzando una matrz A densa es aproxmadamente equvalente al tempo consumdo resolvendo el sstema por métodos teratvos; y una vez que A está factorzada, el sstema se puede resolver rápdamente por susttucón haca atrás para múltples valores de b. Comparando una matrz densa con una matrz dspersa (sparse) de mayor tamaño que ocupa la msma cantdad de memora. Los factores trangulares de una matrz A dspersa generalmente tenen mayor cantdad de elementos no nulos que A por sí msma. Factorzar puede ser mposble debdo a que la memora es lmtada, y puede además consumr demasado tempo; hasta el proceso de susttucón haca atrás puede consumr más tempo que la solucón teratva. Por otra parte, la mayoría de los métodos teratvos son efcentes en el manejo de la memora y corren rápdamente con matrces dspersas [27]. 3.1 Formas cuadrátcas. La ntroduccón de las formas cuadrátcas se debe a que el campo de desplazamento desconocdo fue nterpolado por funcones de forma lneal dentro de cada elemento. Sn embargo, en algunos problemas, el uso de la nterpolacón cuadrátca nos conduce a resultados más exactos que los obtendos por las funcones de forma lneal. Una forma cuadrátca es smplemente una funcón cuadrátca escalar de un vector que tene la sguente forma: 1 f ( x) = x Ax b x+ c (3.3) 2 Escuela de Ingenería Mecánca 80

94 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones donde A es una matrz, x y b son vectores, y c es un escalar constante. S A es smétrca y defnda postva, la solucón del sstema Ax mínmo de f ( x ). = b corresponde a un A manera de ejemplo tomemos los sguentes valores: A= b= c= (3.4) El sstema Ax = b se lustra a contnuacón: Fgura Sstema Ax=b. En forma general, la solucón x se encuentra en el punto de nterseccón de los n hperplanos exstentes, donde cada hperplano tene una dmensón n 1. Para este caso la solucón es 2 x = 2. 3 omado de [37] Escuela de Ingenería Mecánca 81

95 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones Su forma cuadrátca correspondente se muestra en la Fgura 3-2. El punto más bajo de la gráfca es la solucón del sstema Ax parabolode debdo a que A defnda postva. = b. La gráfca tene la forma de un En la Fgura 3-3 se grafcan las formas cuadrátcas pero en forma de curvas de nvel. Se puede observar el punto de solucón, el cual corresponde al punto más bajo. Cada curva elpsodal corresponde a un f ( x ) constante. Fgura Formas cuadrátcas del sstema Ax=b. 4 omado de [37] Escuela de Ingenería Mecánca 82

96 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones Fgura Formas cuadrátcas en forma de curvas de nvel. El gradente es un campo vectoral que, para un punto dado x, apunta en la dreccón del máxmo ncremento de f(x). El gradente de una forma cuadrátca se defne como: f δ δ x1 δ f ( x) f ( x) ( x) = δ x 2 δ f ( x) δ x n (3.5) 5 omado de [37] Escuela de Ingenería Mecánca 83

97 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones s aplcamos la ecuacón (3.5) a la ecuacón (3.3) resulta en: 1 1 f ( x) = A x+ Ax b (3.6) 2 2 S A es smétrca, la ecuacón anteror se reduce a: f ( x) = Ax b (3.7) S gualamos el gradente a cero obtenemos la ecuacón (3.1), que es el sstema lneal a resolver. En consecuenca la solucón de Ax = b es el punto crítco de f ( x ). S A es defnda postva y smétrca, entonces esta solucón es el mínmo de f ( x ). En consecuenca se puede resolver Ax f ( x ). = b encontrando un valor de x que mnmce a 3.2 El método del descenso más rápdo. En éste método se empeza desde un punto arbtraro x (0) y nos deslzamos hasta el fondo del parabolode. Hacemos una sere de pasos x(1), x ( 2),... hasta que nos encontremos sufcentemente cerca de la solucón x. Cuando hacemos uno de los pasos, escogemos la dreccón en la que la funcón descende más rápdamente, la cual es la dreccón contrara a f ( x() ) ( ) () ecuacón (3.7), esta dreccón es f x() = b Ax.. Según la A contnuacón vamos a ntroducr algunas defncones. Escuela de Ingenería Mecánca 84

98 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones El error e() = x () x es un vector que ndca cuán lejos nos encontramos de la solucón x. El resduo r () = b Ax () ndca cuán lejos nos encontramos del valor correcto de b. Es fácl darse cuenta de que r () = Ae (). Se puede consderar el resdual como el error que está sendo transformado por A haca el msmo espaco ( ) como b. Más mportante aún, se puede hacer r () = f x () y consderar al resdual como la dreccón de la pendente más pronuncada. Como djmos anterormente empezábamos en un punto arbtraro x ( 0) y hacíamos una sere de pasos haca la solucón. El paso lo defnmos como: x = x + αr (3.8) ( 1) ( 0) ( 0) Una búsqueda de línea es un procedmento para elegr a un α para mnmzar f a lo largo de una línea. Esto se lustra en la sguente fgura. Fgura Búsqueda de línea. 6 omado de [37] Escuela de Ingenería Mecánca 85

99 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones Por cálculo básco, sabemos que α mnmza a f cuando la dervada drecconal d f ( x () 1 ) dα ( ()) () es gual a cero. Según la regla de la cadena, d ( ) () ( ()) ( ) d f x = f x x = f x r. Igualando esto a cero, nos damos dα dα ( ) cuenta de que α se escoge de manera de que r ( 0) y f x() 1 sean ortogonales. Fgura El gradente en el punto más bajo es ortogonal al gradente del paso anteror. La pendente de la parábola en cualquer punto es gual a la magntud de la proyeccón del gradente en la línea. Esto se puede observar en la Fgura 3-6. a) b) Fgura a) Esta parábola es la nterseccón de las superfces. b) Pendente de la parábola y magntud de la proyeccón del gradente en la línea. 7 omado de [37] Escuela de Ingenería Mecánca 86

100 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones Estas proyeccones representan la rata de ncremento de la funcón f a través de la línea de búsqueda. f es mnmzada donde la proyeccón es cero, donde el gradente es ortogonal a la línea de búsqueda. Para determnar α, hacemos f ( x1 ) = r() y forzamos los vectores a ser ortogonales: 1 r r (1) (0) = 0 ( b Ax() ) r 1 (0) = 0 ( b A( x( ) + αr 0 ( 0) )) r(0) = ( ( 0) ) α ( ) ( () 1 ) = α ( ) b Ax r Ar r = 0 (0) (0) (0) b Ax r Ar r (0) (0) (0) ( ) r r = αr Ar (0) (0) (0) (0) 0 α = r r r (3.9) (0) (0) (0) Ar(0) Unendo todo lo anteror nos queda, como método del descenso más rápdo, lo sguente: r = b Ax (3.10) () () r r α = (3.11) r Ar () () () () 8 omado de [37] Escuela de Ingenería Mecánca 87

101 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones x = x α r (3.12) + ( 1) () () () Consderando el ejemplo anteror, utlzamos el método y nos converge para la solucón mostrada en la Fgura 3-7. Notemos el patrón en forma de Zg-Zag, que aparece debdo a que cada gradente es ortogonal al gradente anteror. Fgura Solucón del ejemplo. Nótese el patrón en forma de Zg-Zag. El algortmo anteror requere dos operacones de multplcacón entre una matrz y un vector por cada teracón. El costo computaconal del método de la pendente más pronuncada está domnado por productos entre matrces y vectores. Una de estas multplcacones se puede elmnar multplcando ambos lados de la ecuacón (3.12) por A e ntroducendo b, nos queda: r = r α Ar (3.13) + ( 1) () () () La ecuacón (3.10) sgue sendo necesara para calcular r ( 0), luego utlzaremos la ecuacón (3.13) para cada teracón subsguente. El producto Ar sólo hace falta 9 omado de [37] Escuela de Ingenería Mecánca 88

102 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones calcularlo una vez. La desventaja de utlzar esta recurrenca es que la secuenca defnda por la ecuacón (3.13) es generada sn retroalmentacón del valor de x (), de forma que la acumulacón del error de redondeo de punto flotante puede causar que x () tenga una convergenca haca algún punto cercano a x. Este efecto se puede anular utlzando peródcamente la ecuacón (3.10) para recalcular el valor correcto del resdual. 3.3 El método de las dreccones conjugadas. El método del descenso más rápdo a veces realza pasos en la msma dreccón que en pasos anterores como se muestra en la Fgura 3-7. Para evtar que esto suceda, y realzar así el menor número de pasos, tomamos un grupo de dreccones de búsqueda ortogonales d ( 0), d ( 1),..., d ( n 1). En cada dreccón, daremos solamente un paso, y ese paso va a ser la longtud justa para alnearse eventualmente con x. Luego de n pasos, tendremos el resultado. Esta dea se lustra en la Fgura 3-8. Fgura Dreccones de búsqueda ortogonales. 10 omado de [37] Escuela de Ingenería Mecánca 89

103 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones En este caso tomamos los ejes coordenados como las dreccones de búsqueda. El prmer paso (horzontal) nos lleva a la coordenada correcta x 1. El segundo paso (vertcal) nos lleva a la repuesta. Nótese que e () 1 es ortogonal a d ( 0). En general, para cada paso elegmos un punto: x = x + α d (3.14) + ( 1) () () () Para hallar el valor de α (), oblgamos e ( 1) a ser ortogonal a d () volver a caer en la dreccón de d (). Usando esta condcón nos queda:, de forma de no d e () ( ) = 0 1 ( α ) d e + d = 0 () () () () () d e () () α = (3.15) d d () () Desafortunadamente, no podemos calcular α () sn conocer e () e () ya el problema estaría resuelto. ; pero s conocéramos La solucón es hacer las dreccones de búsqueda conjugadas en vez de ortogonales. Dos vectores d () y d ( j) son conjugados s: d Ad = (3.16) () ( ) 0 j Nuestros nuevos requermentos son que e ( + 1) sea conjugado con d (). Escuela de Ingenería Mecánca 90

104 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones Esta condcón de ortogonaldad es equvalente a encontrar el punto mínmo en la dreccón de búsqueda d (), como hacíamos en el método de la pendente más pronuncada. Para poder observar esto hagamos la dervada drecconal gual a cero: ( ( 1) ) d f x = 0 dα d f ( x( 1) ) x( 1) = dα r d = 0 d ( 1) ( ) 1 = 0 () Ae ( ) Sguendo la deduccón de la ecuacón (3.15), obtenemos la expresón para α () cuando las dreccones de búsqueda son conjugadas: α () () () = d Ae d Ad (3.17) () () d r ()() α () = d Ad (3.18) () () A dferenca de la expresón (3.15) la ecuacón (3.18) sí se puede calcular. Nótese que s el vector de búsqueda es el resduo, esta fórmula va a ser déntca a la fórmula usada en el método de la pendente más pronuncada. Para demostrar que este procedmento en realdad calcula x en n pasos, expresaremos el error como una combnacón lneal de dreccones de búsqueda, de forma que: Escuela de Ingenería Mecánca 91

105 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones e n 1 = δ d (3.19) ( 0) j ( j) j= 0 Los valores de δ j pueden ser encontrados utlzando el sguente procedmento. Como las dreccones de búsqueda son conjugadas, es posble elmnar todos los valores de d ( k ) δ j excepto uno. Esto se hace premultplcando la expresón (3.19) por A. De forma que: d Ae = δ d Ad ( k) ( 0) ( j) ( k) ( j) d Ae = δ d Ad (Por los d ( k) ( 0) ( k) ( k) ( k) δ ( k ) j d = d = ( k ) ( 0) Ae Ad ( k) ( k) d k 1 d A e α d ( k) ( 0) () () + = 0 Ad ( k) ( k) vectores conjugados) (Por los d vectores conjugados) = d( ) Ae k ( k) (Por (3.14)) d Ad (3.20) ( k) ( k) Igualando las ecuacones (3.17) y (3.20), encontramos que α() = δ (). Esto nos da una nueva vsón del error. Según las sguentes ecuacones, el proceso de encontrar x componente por componente puede ser consderado como un proceso de elmnar el térmno del error componente por componente. Escuela de Ingenería Mecánca 92

106 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones 1 e = e + α d ( ) ( 0) ( j) ( j) j= 0 n 1 1 = δ d ( j) ( j) ( j) ( j) j= 0 j= 0 n 1 j= ( j) ( j) δ d = δ d (3.21) Luego de n teracones, cada componente es elmnado y e ( ) = 0 ; completando así n la demostracón. El método de las Dreccones Conjugadas escoge el valor e () de e ( ) + D que 0 mnmza a e () (fgura 3.12). Donde D es el subespaco -dmensonal A { ( 0) ( 1) ( 1) } subespaco d, d,..., d, y e () es la norma de energía. De la msma forma A que el térmno del error se puede expresar como una combnacón lneal de dreccones de búsqueda, su norma de energía se puede expresar como una sumatora. La norma de energía se expresa como: n 1 n 1 e = δ δ d Ad (De la ec (3.21)) (3.22) () ( j) ( k) ( j) ( k) A j= k= n 1 e() 2 δ( ) d j ( j) Ad( j A ) j= (Por los d = vectores conjugados) (3.23) Cada térmno en ésta sumatora está asocada con una dreccón de búsqueda que no ha sdo recorrda. Cualquer otro vector e escogdo de e ( 0) + D debe tener éstos Escuela de Ingenería Mecánca 93

107 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones msmos térmnos en su expansón, lo cual demuestra que e () debe tener la mínma norma de energía. Otra propedad mportante del método de las Dreccones Conjugadas es que en cada paso, el hperplano X ( 0) + D es tangente al elpsode donde se encuentra x (). Fgura Mnmzacón de e. A { } En esta fgura, el área sombreada es ( ) + D2 = 0 (0) + subespaco d ( 0 ), d ( 1 ). El elpsode es un contorno en el cual la norma de energía es constante. Después de dos pasos, el método de las dreccones conjugadas consgue e (2), en ese punto e ( ) + D2, 0 eso mnmza e. A Recordemos que el resduo en cualquer punto es ortogonal a la superfce elpsodal en ese punto. En consecuenca r () es ortogonal a D tambén. Mostremos esta propedad matemátcamente, multplcando la ecuacón (3.21) por d() A nos queda: 11 omado de [37] Escuela de Ingenería Mecánca 94

108 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones n 1 d Ae δ d Ad = (3.24) ( ) ( j) ( j) ( ) ( j) j= d() r( ) = 0, < j (Por los d-vectores conjugados) (3.25) j Como las dreccones de búsqueda son construdas a partr de u vectores, el subespaco consttudo por u 0,..., u 1 es D, y el resdual r () es ortogonal a estos vectores u tambén. Esto se lustra en la Fgura Para poder demostrar esto se deben generar un grupo de dreccones de búsqueda conjugados { d }. Supongamos que tenemos un grupo de n vectores lnealmente ndependentes u0, u1,..., un 1. Fgura Debdo a que las dreccones de búsqueda d( ), d 0 ( 1) se construyen a partr de los vectores u0, u 1, éstos crean el subespaco D 2 (el plano coloreado en grs). El térmno del error es conjugado con D 2, el resduo r ( 2) es ortogonal a D 2, y una nueva dreccón de búsqueda construda de u 2 para ser conjugado con D 2. Los puntos fnales de u 2 y plano paralelo a D 2, debdo a que e ( 2) d ( 2) es d ( 2) se encuentran en un d ( 2) se construye a partr de u 2 por la conjugacón de Gram- Schmdt. 12 omado de [37] Escuela de Ingenería Mecánca 95

109 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones Para construr d, tomamos u y le restamos cualquer componente que no sea conjugado con los vectores prevos d (Fgura 3-11). Hacemos d( ) = u 0 ( 0) y para > 0 nos queda: 1 d = u + β d (3.26) () k ( k) k = 0 Donde β k está defndo para > k. Para hallar los valores hacemos lo sguente: 1 d Ad = u Ad + β d Ad () () ( j) k ( k) ( j) k = 0 0 = u Ad + β d Ad, > j (Por los d vectores conjugados) ( j) j ( j) ( j) β = u Ad( j) j d Ad (3.27) ( j) ( j) Este procedmento se llama Conjugacón de Gram-Schmdt. Fgura Conjugacón de Gram-Schmdt de dos vectores. Se empeza con dos vectores lnealmente ndependentes u 0 y u 1. Se hace d( 0) = u0. El vector u 1 posee dos componentes, que es conjugado con d ( 0), y u +, que es paralelo a d ( 0). 13 omado de [37] Escuela de Ingenería Mecánca 96

110 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones S a la ecuacón (3.26) la multplcamos por r ( j) : 1 d r = u r + β d r (3.28) ( ) ( j) ( j) k ( k) ( j) k = 0 Y por la ecuacón (3.25) nos queda: 0 = ur, < j (3.29) ( j) Completando así la demostracón. Hay otra propedad que se genera a partr de la ecuacón (3.28) y la Fgura 3-10: d r = u r (3.30) () () () Igual que en el método del descenso más rápdo, se puede utlzar una fórmula de recurrenca para hallar el resduo: r = Ae ( + 1) ( + 1) = Ae ( () + α () d () ) = r α Ad () () () (3.31) 3.4 El Método del Gradente Conjugado. Este método fue ntroducdo por Hestenes y Stefel [15] en el año 1952, y tene la ventaja teórca de que converge a la solucón en N teracones. Sendo N el Escuela de Ingenería Mecánca 97

111 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones número de ecuacones e ncógntas. En la realdad, el redondeo de punto flotante no permte que esta propedad se cumpla. El método del Gradente Conjugado se basa en el hecho de que su resolucón es equvalente a mnmzar el funconal cuadrátco Ec. (3.3). Este sstema de resolucón es análogo a la aproxmacón varaconal del método de los elementos fntos Método del Gradente Conjugado. El método del Gradente Conjugado es smplemente el método de las Dreccones Conjugadas, donde las dreccones de búsqueda son construdas conjugando los resduos, esto se logra hacendo u = r(). Los resduos tenen la propedad de que son ortogonales a las dreccones de búsqueda prevas. En consecuenca sempre van a producr una dreccón de búsqueda nueva y lnealmente ndependente, excepto s el resduo es cero, para el cual la solucón ya fué encontrada. Como los vectores de búsqueda se construyen a partr de los resduos, el { ( 0) ( 1) ( 1) } subespaco r, r,..., r es gual a D. Como cada resduo es ortogonal a las dreccones de búsqueda anterores, tambén es ortogonal a los resduos anterores (Fgura 3-12). Entonces, la ecuacón (3.29) se converte en: r r = j (3.32) () ( ) 0, j La ecuacón (3.31) nos muestra que cada resduo r () es una combnacón lneal de los resduos prevos y Ad( 1). Recordemos que d( 1) D. Este hecho mplca que cada Escuela de Ingenería Mecánca 98

112 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones subespaco nuevo D + 1 se forma a partr de la unón del subespaco prevo subespaco AD. En consecuenca: D y el 2 1 { ( ), ( ), ( ),..., ( 0) } 2 1 { ( 0), ( 0), ( 0),..., ( 0) } D = subespaco d Ad A d A d = subespaco r Ar A r A r Fgura En el método del Gradente Conjugado, cada nuevo resduo es ortogonal a todos los resduos anterores y dreccones de búsqueda; y cada nueva dreccón de búsqueda es construda para ser conjugado a todos los resduos y dreccones de búsqueda prevos. Los puntos fnales de y d ( 2) se encuentran en un plano paralelo a D 2 (el espaco grs). En este método, combnacón lneal de r ( 2) y d (). 1 d ( 2) es una r ( 2) Este subespaco es llamado subespaco de Krylov, que es un subespaco creado aplcando repetdamente una matrz a un vector. ene una propedad muy partcular: como AD está ncludo en 1 D +, el hecho de que el próxmo resdual r ( + 1) es ortogonal a D 1 (ecuacón (3.25)) mplca que r ( + 1) está conjugado a D. La conjugacón de Gram-Schmdt se realza muy fáclmente debdo a que r + 1 ya se encuentra conjugado con todas las dreccones de búsqueda prevas exceptuando d (). 14 omado de [37] Escuela de Ingenería Mecánca 99

113 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones Recordemos que de la ecuacón (3.27) las constantes de Gram-Schmdt son u Ad β = ( j), smplfquemos esta expresón. omando el producto nterno de j r () d Ad ( j) ( j) y la ecuacón (3.31), r r = r r α r Ad () ( j+ 1) () ( j) ( j) () ( j) α r Ad = r r r r ( j) ( ) ( j) ( ) ( j) ( ) ( j 1) 1 r() r () = j α () 1 r() Ad( ) = j r() r () = j+ 1 α( 1) 0 En cualquer otro caso 1 r() r () = j+ 1 βj = α( 1) d( 1) Ad ( 1) > j+ 1 0 Nótese que la mayoría de los térmnos de β j desapareceron. No sgue sendo necesaro guardar los anterores vectores de búsqueda para asegurar que los nuevos vectores de búsqueda sean conjugados. En esto radca la mportanca del algortmo del GC, debdo a que la complejdad del espaco y la complejdad del tempo por cada 2 teracón son reducdas de O( n ) a O( m ), donde m es el número de térmnos no nulos de A y n n es el tamaño de la matrz. En adelante utlzaremos la abrevacón β () β, 1 =. Smplfcando aún más: Escuela de Ingenería Mecánca 100

114 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones β () = d = r r r () () ( 1) ( 1) r r r () () r ( 1) ( 1) Agrupando todo, tenemos el Método de Gradente Conjugado: d = r = b Ax (3.33) ( 0) ( 0) ( 0) r r () () α () = d Ad (3.34) () () x = x + α d (3.35) + ( 1) () () () r = r α Ad (3.36) + ( 1) () () () r( 1) r + ( + 1) β = (3.37) ( 1) r r () () d = r + β d (3.38) ( + 1) ( 1) ( + 1) ( ) 3.5 Precondconamento. En la práctca, el Método del Gradente Conjugado se aplca de una manera más efcente a un sstema lneal precondconado: ( ) ( ) ( ) R A R R x R b = (3.39) Escuela de Ingenería Mecánca 101

115 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones Donde R es una matrz no sngular. El objetvo del precondconamento es que cuando se escoge R de manera apropada, el algortmo del Gradente Conjugado presentará una convergenca mucho más rápda para la matrz R A( R ) 1 1 que para A. Debdo a que R no es sngular, ecuacón (3.39) se transforma en: M = RR es una matrz defnda postva, y la 1 1 M Ax M b = (3.40) El precondconamento es una técnca para mejorar el número de condcón 15 de una matrz. Supongamos que M es smétrca y defnda postva y que aproxma A, pero que es más fácl de nvertr. Podemos resolver Ax 1 ecuacón (3.40) s k( M A) k( A) <<, o s los autovalores de = b ndrectamente resolvendo la M 1 A están mejor agrupados que los de A, podemos resolver la ecuacón (3.40) teratvamente más rápdo que el problema orgnal. El artfco es que smétrca y defnda postva, aún s M y A lo son. M 1 A generalmente no es La efectvdad del precondconador M, se determna por medo del número de condcón de M 1 cerca posble de 1. A. El objetvo es hacer que el número de condcón esté lo más El precondconamento es un ntento de estrar la forma cuadrátca para hacerla más esférca, de forma que los autovalores estén más cerca los unos de los otros. 15 Reférase al anexo A. Escuela de Ingenería Mecánca 102

116 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones 3.6 Algortmos en pseudo-códgo. El método del descenso más rápdo. 0 r b Ax δ 0 r r δ δ Mentras < y δ > ε δ hacer q Ar α 2 max 0 δ r q x x+ αr S es dvsble por 50 r b Ax De otra manera r r αq δ r r + 1 Dados los térmnos A, b, un valor ncal x, un número máxmo de teracones max, y una toleranca de error ε < 1. Este algortmo termna cuando el número máxmo de teracones max ha sdo exceddo, o cuando r() ε r ( 0). Escuela de Ingenería Mecánca 103

117 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones El método del Gradente Conjugado. 0 r b Ax d r δ new δ δ 0 r r nuevo Mentras < y δ > ε δ Hacer q Ad δ α d q vejo nuevo 2 max nuevo 0 nuevo x x+ αd S es dvsble por 50 r b Ax De otra manera r r αq δ δ δ δ β δ nuevo r r nuevo vejo d r+ βd + 1 Dados los térmnos A, b, un valor ncal x, un número máxmo de teracones max, y una toleranca de error ε < 1. Escuela de Ingenería Mecánca 104

118 Capítulo 3 Métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones El método del Gradente Conjugado Precondconado. 0 r b Ax 1 d M r δ nuevo δ δ 0 r d nuevo Mentras < y δ > ε δ Hacer q Ad δ α d q 2 max nuevo 0 nuevo x x+ αd S es dvsble por 50 r b Ax De otra manera r r αq 1 s M r δ δ vejo nuevo δ δ β δ nuevo r s nuevo vejo d s+ β d + 1 Dados los térmnos A, b, un valor ncal x, un precondconador M (tal vez mplíctamente defndo), un número máxmo de teracones max error ε < 1. La declaracón 1 s M r precondconador, el cual puede no estar en forma de matrz., y una toleranca de mplca que se debe aplcar el Escuela de Ingenería Mecánca 105

119 Captulo 4 Precondconador de Elemento a Elemento 4. El Precondconador de Elemento a Elemento. El concepto que es utlzado en una estratega de precondconamento con almacenamento de Elemento a Elemento y una técnca de solucón teratva, es que se almacena solamente la nformacón que es únca, o no redundante, tanto para la dscretzacón de elementos fntos como para el precondconador de Elemento a Elemento. El objetvo de esta estratega de almacenamento elemental es el de mnmzar la nformacón de la matrz que se debe almacenar. Así se permte el procesamento de problemas de mayor escala, sn degradar el rendmento computaconal del precondconador de Elemento a Elemento o la técnca de solucón teratva. Consderamos la solucón del sstema n por n de ecuacones lneales, Ax la matrz A es dspersa y estructurada de forma que se puede expresar como: = b, donde p A= A (4.1) = 1 Las matrces de los elementos de A son de bajo rango 16 cuando se expresa en el sstema de coordenadas global, y son usualmente dspersas, de manera que sus térmnos no nulos se representan como un bloque pequeño y denso, de la sguente forma: 16 Rango: número de vectores lnealmente ndependentes que consttuyen la matrz. Escuela de Ingenería Mecánca 106

120 Captulo 4 Precondconador de Elemento a Elemento k k 0 0 A = 0 k k Una funcón f se puede decr que es parcalmente separable s f( ) = x f( x), donde cada funcón f tene un subespaco grande e nvarante. p = 1 Asummos que A es una matrz grande, smétrca y defnda postva. La técnca de solucón consderada es el Método del Gradente Conjugado utlzando el precondconador de Elemento a Elemento, el cual fué ntroducdo por [16] y [29]. Este precondconador tene unas característcas mportantes. Los cómputos se pueden realzar centrándose en el elemento y la mayoría no necesta de ensamblaje [9]. El objetvo del precondconador es aproxmar A a un bajo costo computaconal. Como estamos asumendo que la matrz de elemento A tene elementos no nulos en solamente n flas, podemos expresarla como: A = C A C (4.2) ε Donde las flas de la matrz n por n de conectvdad C, son smplemente las flas de la matrz dentdad n por n correspondentes a las varables usadas en el elemento, y A ε es una matrz n por n smétrca y densa. Escuela de Ingenería Mecánca 107

121 Captulo 4 Precondconador de Elemento a Elemento Esto es: k k 0 0 k k ε A = A 0 k k 0 0 k k = A = C A C ε k k k k k k 0 0 = 0 1 k k Por lo tanto la matrz de conectvdad es: C = Precondconador de Elemento a Elemento. Asumendo que A es defnda postva, podemos expresar A como: p p p ( ) ( ) A= M + A M = M + A M = 1 = 1 = 1 Donde: Escuela de Ingenería Mecánca 108

122 Captulo 4 Precondconador de Elemento a Elemento M ( ) = dag A y M p = M. = 1 Ahora, hagamos M como una matrz dagonal. Entonces: = LM LM medante la factorzacón de Cholesky 17. Nos queda L m p p M M M M M M = 1 = 1 1 ( ) (4.3) A= L I + L A M L L = L I + E L Donde 1 E = L ( A M ) L. Utlzando la aproxmacón I + E ( I + E ) obtenemos: M M p p n, = 1 = 1 ( ) (4.4) A ~ L I + E L M M = 1 Fnalmente ensamblamos el Precondconador de Elemento a Elemento: p p 1 EBE = M M = 1 = 1 = p (4.5) P L L D L L Donde los factores L y D venen de la factorzacón LDL de las matrces I + E. La efcenca de este precondconador depende de la partcón de la matrz ncal y de la magntud de los elementos fuera de la dagonal en las matrces pertenecentes al elemeto. La descomposcón de A no es únca, así que las dferentes descomposcones pueden alterar sgnfcatvamente el rendmento del precondconador. 17 Reférase al anexo 2. Escuela de Ingenería Mecánca 109

123 Captulo 4 Precondconador de Elemento a Elemento En funcón de que queremos resolver efcentemente el sstema de ecuacones PEBE x= y, sacamos provecho de la ecuacón (4.5). Podemos ordenar los elementos de cualquer forma que eljamos. Escuela de Ingenería Mecánca 110

124 Capítulo 5 Implementacón 5. Implementacón. A contnuacón se descrbe la mplementacón del algortmo. En 1 er lugar se presentan las fases del msmo, seguda de su versón en lenguaje C. 5.1 Pseudo-códgo. Para la solucón del sstema lneal algebraco: Ax = b Se sguen los sguentes pasos: p = r = b Ax Donde 0 r es el resduo o error para el prmer ntento x 0. Se procede a realzar los sguentes k pasos del proceso: u k k α = = Ap k k ( r ) k ( p ) k+ 1 k k k k+ 1 k k k k ( r ) k ( r ) + 1 k+ 1 k+ 1 k+ 1 k k r u x = x + α p r = r α u k β = k k r r p = r + β r k Escuela de Ingenería Mecánca 111

125 Capítulo 5 Implementacón Hasta que la dferenca entre k 1 x + y k x es sufcentemente pequeño. Donde u, p y r son vectores y α y β son escalares. 5.2 Implementacón en lenguaje C. En el capítulo 3 se explcó de forma detallada los métodos teratvos de solucón de sstemas de ecuacones. Uno de estos métodos fue llevado a lenguaje C (Método del Gradente Conjugado con Precondconador de Elemento a Elemento) y se mplementó al programa exstente, el cual provene del trabajo especal de grado [13]. Para desarrollo del Método del Gradente Conjugado con Precondconador de Elemento a Elemento en lenguaje C, se utlzó el pseudo-códgo anterormente descrto, quedando de la sguente forma: #defne OLCG 1.0E-5 #defne MAXIER 1000 nt ChekConv( real *oldx, real *newx, ent num ); /* */ vod CGItera( real *b, real *Dago, real *s, real *gd, real *gp, real *xnew, real *pmul, real *gx, real *u, real *utemp, real *lm, ent nec, ent nevab, ent NumEle, ent gln,ent nne ) { nt ters, converged; ent ; real up, down, alfa, beta, ome; cero( xnew, nec, CERO ); /* Llena el arreglo xnew con ceros */ cero( gd, nec, CERO ); cero( gp, nec, CERO ); cero( gx, nec, CERO ); Escuela de Ingenería Mecánca 112

126 Capítulo 5 Implementacón /* nverta el precondconador */ for ( = 1; <= nec; ++ ) { Dago() = 1./ Dago(); gd() = Dago() * B(); gp() = gd(); } /* Cclo teratvo prncpal */ ters = converged = 0; do { ters++; prntf(" Iteraton No %3d\n", ters ); EnsamU( u, gp, pmul, utemp, s, lm, nec, NumEle, nne, gln, nevad ); /* Ensamble vector "u" */ /* solucón del de ecuacón */ up = dotpro( b, gd, nec ); down = dotpro( gp, u, nec ); alfa = up / down; for ( = 1; <= nec; ++ ) { xnew() = gx() + gp() * alfa; b() = b() - u() * alfa; gd() = Dago() * b(); } ome = dotpro( b, gd, nec ); beta = ome/up; vecaddscal( gp, gd, beta, nec ); converged = ChekConv( gx, xnew, nec ); veccopy( gx, xnew, nec ); } whle( (converged == 0) && (ters < MAXIER) ); veccopy( b, xnew, nec ); /*Almacena xnew en b*/ } /* */ nt ChekConv( real *oldx, real *newx, ent num ) /*Verfca s hay covergenca*/ Escuela de Ingenería Mecánca 113

127 Capítulo 5 Implementacón { ent ; nt res = 1; real bg = CERO; for ( = 0; < num; ++ ) f ( fabs(newx[]) > bg ) bg = fabs(newx[]); for ( = 0; < num; ++ ) f ( fabs( newx[] - oldx[] )/bg > OLCG ) res = 0; return( res ); } /* */ vod EnsamU( real *u, real *gp, real *pmul, real *utemp, real *s, ent *lm, ent nec, ent NumEle, ent nne, ent gln, ent nevab ) { ent el,, j, k, ndx; real de[6]; cero( u, nec, 0.0 ); for ( el = 1; el <= NumEle; el++ ) { MatrzE( el, de ); ElemE( el, de, RUE ); #fdef LMIJ ndx = 0; for ( = 1; <= nne; ++ ) { for ( j = 1; j <= gln; j++ ) { ndx++; k = lm(,j); #fdef ESIDCERO f ( k!= ICERO ) #endf pmul(ndx) = gp(k); } } #else for ( = 1; <= nevab; ++ ) { Escuela de Ingenería Mecánca 114

128 Capítulo 5 Implementacón k = lm() pmul() = gp(k); } #endf /* Calcula utemp = s * pmul */ for ( = 1; <= nevab; ++ ) utemp() = dotpro( pmul, &s(,1), nevab ); #fdef LMIJ ndx = 0; for ( = 1; <= nne; ++ ) { for ( j = 1; j <= gln; j++ ) { ndx++; k = lm(,j); #fdef ESIDCERO f ( k!= ICERO ) #endf u(k) = u(k) + utemp(ndx); } } #else for ( = 1; <= nevab; ++ ) { k = lm() u(k) = u(k) + utemp(); } #endf } } /******************************************************************** / Al fnalzar el algortmo, el arreglo b contene a la solucón del sstema. Escuela de Ingenería Mecánca 115

129 Capítulo 6 Parte expermental 6. Parte Expermental. 6.1 Factor de concentracón de esfuerzos. Se tene una placa delgada fnta con agujero crcular sometda a esfuerzos de traccón. El objetvo es el de comparar el factor de concentracón de esfuerzos teórco para este tpo de dsposcón expermental nvestgado y calculado por [30], con aquellos factores resultantes del análss de elementos fntos. Aprovechando las condcones de smetría se procede a dvdr la probeta en ocho elementos. Esto se hace con la ntencón de realzar un análss con un mayor número de elementos mantenendo el msmo costo computaconal de realzar un análss a la probeta completa. Este proceso lo llamamos dealzacón de la probeta. En la Fgura 6-1 se muestra la dsposcón de la probeta que se va a analzar. Los datos son: 8 N 11 P = 9,5*10 * 4 mm * 100 mm = 3,8*10 N 2 mm W = 100 mm d = 60 mm h = 4 mm Fgura 6-1 Dsposcón de la probeta. Escuela de Ingenería Mecánca 116

130 Capítulo 6 Parte expermental Y las fórmulas de los factores de concentracón de esfuerzos: K σ σ 0 max =, Factor de concentracón de esfuerzos. 0 F A σ =, Esfuerzo nomnal.; = ( ) 0 A w d t 0 Introducendo los datos, nos queda: 11 3,8*10 σ 0 = = *4 ( ) 9 2,375*10 MPa En la Fgura 6-2 se muestra la probeta dealzada, que se va a smular. Fgura 6-2 Probeta dealzada. Debdo a que el programa MefetGC carece de un módulo de pre-proceso, se decdó realzar un mallado de forma manual. Regones trdmensonales pueden ser Escuela de Ingenería Mecánca 117

131 Capítulo 6 Parte expermental efectvamente rellenados por elementos tetraédrcos, pero la preparacón manual de los datos se converte en una tarea compleja. Para evtar esto, para regones smples, se hace más fácl dvdr las regones en bloques hexaédrcos de ocho nodos [5]. Debdo a la complejdad que representa realzar un mallado manual de muchos elementos se decdó utlzar elementos hexaédrcos de ocho nodos. El mallado realzado se presenta en la Fgura 6-3. Este mallado es de 144 nodos y resulta en 55 elementos. Este mallado es el utlzado en el MefetGC y Hexafron, que son los programas que carecen de módulo de pre-proceso. Los programas Mechancal Desktop y Vsual Nastran 4D generan su propa malla de elementos tetraédrcos. Fgura 6-3 Mallado realzado en forma manual de 144 nodos y 55 elementos. Escuela de Ingenería Mecánca 118

132 Capítulo 6 Parte expermental 6.2 Procedmento de valdacón (Metodología). La metodología fundamental consstó en resolver un problema cuya solucón se ha obtendo por medos expermentales, y comparar los resultados obtendos con el programa elaborado. Adconalmente se realzaron comparacones con otros programas: Mechancal Desktop ( Vsual Nastran 4D ( Hexafron [5]. El proceso de valdacón constó de varos pasos generales, los cuales se expondrán detalladamente a contnuacón. Paso 1 (Eleccón de la probeta): Se realza una escogenca de la probeta a usar, esto consta del materal a utlzar, el módulo de elastcdad (E), el módulo de Posson ( υ ), las dmensones de la peza en mlímetros y la carga que se ha de utlzar en el problema. Paso 2 (Cálculo del esfuerzo nomnal): Utlzando los datos del paso 1 se calcula el esfuerzo nomnal ( σ 0 ) que se presenta en la probeta. Paso 3 (Cálculo del concentrador de esfuerzo): Los datos del paso 1 se ntroducen en el programa Engneers oolbox v2.0 obtendo de dando el valor del concentrador de esfuerzo teórco K t. Paso 4 (Idealzacón de la probeta): A la probeta se le determna los planos de smetría y s posee alguno, se dealza la probeta elmnando las partes smétrcas Escuela de Ingenería Mecánca 119

133 Capítulo 6 Parte expermental repetdas y quedándonos con sólo un trozo de la probeta, con esto se pretende no saturar la memora del computador, pudendo procesar un mayor número de elementos al msmo costo computaconal. Paso 5 (Mallado de la probeta dealzada en 3D): La probeta dealzada es llevada al programa Autocad 2002, en el cual se dbujó un mallado de elementos cuadrláteros en 3D realzado por nosotros, enumerando los nodos y los elementos para determnar cuantos hay en la probeta. Paso 6 (Coordenada de los nodos): Cada nodo se le busca su valor en (X,Y,Z) y son colocados en un archvo de texto. Paso 7 (Realzacón de un archvo de datos): Se coloca en la 1 era línea una varable de entrada (1 ó 0). S es un 1 (uno), cuando se ejecute el programa aparecerán los datos del modelo en la pantalla, en la mpresora o en el dsco según como se haga la seleccón de la undad de salda de resultados. S es un 0 (cero), aparecerán estos valores cuando se esté correndo el programa. Esta varable srve para verfcar s los datos de entrada están correctos, en la 2 da línea se dentfca el nombre del archvo, en la 3 era línea se le asgna un título al archvo, en la 4 ta línea se dentfca el número de dmensones, número de grados de lbertad por nodos y el número de propedades donde para elastcdad lneal se le coloca 2 (dos), para elastcdad no lneal el número 3 (tres) y para transferenca de calor el numero 5 (cnco), todos estos datos deben tener un espaco entre ellos. En la 5 ta línea de forma smlar que en la línea anteror se debe dentfcar los valores de los sguentes datos, el número de nodo, el número de elementos, el número de nodos cargados, el número de nodo restrngdos, el número del materal, el estado de orden de ntegracón, la escala, el número de nodos por elementos, en la 6 ta línea se le colocan las propedades del los materales, número del materal, el módulo de elastcdad (E), el módulo de Posson ( υ ), segudamente se Escuela de Ingenería Mecánca 120

134 Capítulo 6 Parte expermental colocan las coordenadas de los nodos (un nodo por línea) en la cual se coloca el número del nodo, las coordenadas del nodo, coordenada en X coordenada Y coordenada Z (solo para caso trdmensonal), después se coloca las conectvdades de los elementos la cual se dentfca con un número entero, los nodos son colocados en sentdo ant-horaro y después al materal al que pertenece, a contnuacón en las sguentes líneas se colocan los nodos que posean alguna carga y por últmo se colocan los nodos que tenen restrccones sendo el códgo el sguente: 0 (cero) dreccón restrngda y 1 (uno) dreccón no restrngda. Paso 8 ( Ejecucón del programa): Para la ejecucón de programa MefetGC se utlza el archvo de datos realzado en el paso 14 y se ejecuta el programa, el cual nos dará los esfuerzos que sufre la probeta debdo a la carga que actúa en ella, dentro de estos esfuerzos de encuentra el esfuerzo máxmo ( σ max ). Paso 9 (Cálculo del factor de concentrador de esfuerzo utlzando el esfuerzo máxmo obtendo a través del programa MefetGC): Con el valor el esfuerzo máxmo ( σ max ) obtendo en el paso 15 y utlzando el valor del esfuerzo nomnal obtendo en el paso 2 se realza una pequeña operacón matemátca y se obtene el factor del concentrador de esfuerzo (K Mefetgc ). Paso 10 (Dbujo de la probeta en el computador): Se dbuja la probeta dealzada en el Mechancal Desktop utlzando los datos del paso 1. Paso 11 (Utlzacón del Mechancal Desktop): Con el dbujo obtendo en el paso 4, la carga o cargas que se han de utlzar en la probeta, el módulo de elastcdad (E) y el módulo de Posson ( υ ) del paso 1, se cargan estos datos en el módulo de análss de elementos fntos del Mechancal Desktop, se restrnge los movmentos que la probeta no debe realzar y se ejecuta el programa. Escuela de Ingenería Mecánca 121

135 Capítulo 6 Parte expermental Paso 12 (Resultado del Mechancal Desktop): Cuando el programa termna la tarea encomendada muestra los resultados en la pantalla del computador, donde de éstos obtendremos el esfuerzo máxmo ( σ max ) que exste en la probeta. Paso 13 (Cálculo del factor del concentrador de esfuerzos utlzando el esfuerzo máxmo obtendo a través del Mechancal Desktop): Con el valor del esfuerzo máxmo ( σ max ) obtendo en el paso 7 y utlzando el valor del esfuerzo nomnal ( σ 0 ) del paso 2, se realza una pequeña operacón matemátca y de esta forma se obtene el valor del factor de concentrador de esfuerzo (K Mechancal Desktop ) Paso 14 (Utlzacón del Vsual Nastran 4D): Se mporta al Vsual Nastran 4D el dbujo realzado en el paso 5, se ntroducen las cargas a utlzar, el módulo de elastcdad (E), el módulo de Posson ( υ ) del paso 1, se restrngen los movmentos que la probeta no debe realzar y se ejecuta el programa. Paso 15 (Resultado del Vsual Nastran 4D): Cuando el programa termna la tarea encomendada, muestra los resultados en la pantalla del computador, donde de éstos obtendremos el esfuerzo máxmo ( σ max ) que exste en la probeta. Paso 16 (Cálculo del factor del concentrador de esfuerzos utlzando el esfuerzo máxmo obtendo a través del Vsual Nastran 4D). Con el valor del esfuerzo máxmo ( σ max ) obtendo en el paso 10 y utlzando el valor del esfuerzo nomnal ( σ 0 ) paso 2, se realza una pequeña operacón matemátca y de esta forma se obtene el valor del factor de concentrador de esfuerzo (K Vsual Nastran ). del Escuela de Ingenería Mecánca 122

136 Capítulo 6 Parte expermental Paso 17 (Ejecucón del programa Hexafron [5]): Para ejecutar este programa se modfca el archvo de datos realzado en el paso 14 para cumplr con la estructura de datos del Hexafron [5]. Se corre el programa, el cual dará los esfuerzos que sufre la probeta, dentro de los cuales se encuentra el esfuerzo máxmo ( σ max ). Paso 18 (Cálculo de factor de concentrador de esfuerzo utlzando el esfuerzo máxmo obtendo del programa Hexafron [5]): Con el valor del esfuerzo máxmo ( σ max ) obtendo en el paso 17 y utlzando el valor del esfuerzo nomnal obtendo en el paso 2 se realza una pequeña operacón matemátca y se obtene el factor del concentrador de esfuerzo (K Hexafron ). Paso 19 (Análss de los resultados obtendos por lo programas utlzados anterormente): Se analzarán los resultados obtendos por los dferentes programas usados anterormente, comparando los tpos de mallados obtendos, su cantdad de nodos, su cantdad de elementos y los resultados de los factores de concentracón de esfuerzos. 6.3 Comparacón de los programas. MefetGC: El programa MefetGC fue desarrollado por [13] en lenguaje C. ene una estructura de entrada y salda de datos por archvos de texto. Su utlzacón se lmta a la solucón de problemas estátcos en dos y tres dmensones de elastcdad lneal, no lneal y transferenca de calor. Utlza el Método del Gradente Conjugado con precondconador de Elemento a Elemento. Utlza elementos tetraédrcos y Escuela de Ingenería Mecánca 123

137 Capítulo 6 Parte expermental hexaédrcos de cuatro, ses y ocho nodos. El pre-proceso (mallado) se debe realzar de forma manual o utlzando un mallador externo y la entrada de datos se realza en un archvo de texto. La salda de datos es realzada por el programa tambén en un archvo de texto. El post-proceso (vsualzacón) se realza tambén de forma manual o con un vsualzador externo. No hace referenca al número máxmo de elementos que maneja. Mechancal Desktop: El Autodesk Mechancal Desktop 6.0 es un programa de dseño asstdo por computadora con una plataforma C.A.D. provenente del Autodesk Autocad Este programa posee un módulo de análss por elementos fntos que se lmta al análss estátco en dos y tres dmensones de elastcdad lneal. No contempla cargas dnámcas n efectos por temperatura. Posee ncorporado un módulo de pre-proceso (mallador) y post-proceso (vsualzador). En el proceso dvde el área en trángulos y luego aproxma la solucón utlzando nterpolacón numérca polnómca. Se lmta al uso de elementos tpo trángulo (trángulos de deformacón constante) de ses nodos. El método de solucón utlzado es el propuesto por Robert D. Cook, Concept and Applcatons of Fnte Element Analyss, 1974, pág No hace referenca al número máxmo de elementos que maneja. Vsual Nastran 4D: El MSC Vsual Nastran 4D es un programa de smulacón de fenómenos físcos que tene una plataforma propa smlar a la plataforma C.A.D. Su módulo de análss de elementos fntos abarca elastcdad lneal, h-adaptabldad, pandeo, vbracón y transferenca de calor en tres dmensones. Contempla cargas estátcas y dnámcas. Escuela de Ingenería Mecánca 124

138 Capítulo 6 Parte expermental Posee ncorporado un módulo de pre-proceso (mallador) y post-proceso (vsualzador). No hace referenca al tpo de elementos que utlza. El cálculo de los esfuerzos lo realza en cada nodo elemento a elemento. No hace referenca al número máxmo de elementos que maneja. Hexafron [5]: Es un programa realzado en lenguaje C. ene una estructura de entrada y salda de datos muy smlar al programa MefetGC. Su utlzacón se lmta úncamente a la solucón de problemas estátcos en tres dmensones de elastcdad lneal. Utlza el método de solucón frontal, al cual se hace referenca en [5]. Se lmta exclusvamente a la utlzacón de elementos hexaédrcos de ocho nodos. El pre-proceso (mallado) se debe realzar de forma manual o utlzando un mallador externo y la entrada de datos se realza en un archvo de texto. La salda de datos es realzada por el programa tambén en un archvo de texto. El post-proceso (vsualzacón) se realza tambén de forma manual o con un vsualzador externo. Fue creado por [5] y lo utlzan como ejemplo práctco en su lbro. No hace referenca al número máxmo de elementos que maneja. 6.4 Resultados. MefetGC: Se realzó una corrda con 144 nodos y 55 elementos hexaédrcos. σ 4,94806*10 9 max k MefetGC = = = 9 σ 0 2,375*10 2,083 Escuela de Ingenería Mecánca 125

139 Capítulo 6 Parte expermental Elemento 1 4,90472E+09 4,94806E+09 3,79375E+09 3,76507E+09 4,88937E+09 4,93388E+09 3,79889E+09 3,76933E+09 4,92551E+09 4,36908E+09 3,77831E+09 4,33303E+09 4,91094E+09 4,36501E+09 3,78325E+09 4,32795E+09 4,87852E+09 4,92205E+09 3,77170E+09 3,74312E+09 4,34572E+09 4,30955E+09 4,35008E+09 4,34565E+09 4,89950E+09 3,75643E+09 4,32674E+09 Máx 4,94806E+09 abla 1 Resultados de los esfuerzos en el elemento 1 para el programa MefetGC. Se presenta el esfuerzo máxmo de Von Msses. Escuela de Ingenería Mecánca 126

140 Capítulo 6 Parte expermental Mechancal Desktop: Se realzó una corrda con 6398 nodos y elementos tetraédrcos. k MechancalDesktop σ 5,10735*10 9 max = = = 9 σ 0 2,375*10 2,1504 Fgura 6-4 Resultados del programa Mechancal Desktop. Escuela de Ingenería Mecánca 127

141 Capítulo 6 Parte expermental Vsual Nastran: Se realzó una corrda con nodos y elementos. El programa no hace referenca al tpo de elementos utlzados. 9 σ 5, *10 = = = 2,1727 max k VsualNastran 4 D 9 σ 0 2,375*10 Fgura 6-5 Resultados del programa Vsual Nastran 4D. Escuela de Ingenería Mecánca 128

142 Capítulo 6 Parte expermental Hexafron [5]: Se realzó una corrda con 144 nodos y 55 elementos hexaédrcos. k Hexafron σ 6,02130*10 9 max = = = 9 σ 0 2,375*10 2,535 Elemento 1 6,02130E+09 3,20570E+09 4,59420E+09 1,44310E+09 3,23690E+09 1,61510E+09 6,86830E+08 9,73290E+08 Máx 6,02130E+09 abla 2 Resultados de los esfuerzos en el elemento 1 para el programa Hexafron [5]. Se presenta el esfuerzo máxmo de Von Msses. Escuela de Ingenería Mecánca 129

143 Capítulo 6 Parte expermental K t eórco: Se calculó a partr del sguente programa: Fgura Programa Engneers oolbox v omado de Escuela de Ingenería Mecánca 130

144 Capítulo 6 Parte expermental Resultando en un valor de: K t = 2,1091 Fgura Resultado del K t teórco. 19 omado de Escuela de Ingenería Mecánca 131

145 Capítulo 6 Parte expermental enendo su justfcacón en las sguentes ecuacones: Placa plana con agujero crcular sometdo a tensón axal d d d d d d 0.65: Kt = W W W W W W d d > 0.65: Kt = W W Las cuales fueron mejoradas a partr de la ecuacón de concentracón de esfuerzos para placa plana fnta con agujero, presentada por [32]. Estas ecuacones son un ajuste de la curva mostrada en la Fgura 6-8, tomada de [30]. El error se estmó de la sguente forma: Donde Kt es el valor teórco y Kt Kx % Error = *100 K t K x es el valor calculado por medo de los programas. Para cada uno de los programas resultó un porcentaje de error. Se muestran a contnuacón: 2,083 2,1091 % ErrorMefetGC = *100 = 1,23% 2,1091 2,535 2,1091 % ErrorHexafron = *100 = 20,19% 2,1091 2,1504 2,1091 % ErrorMechancalDesktop = *100 = 1,95% 2,1091 2,1727 2,1091 % ErrorVsualNastran4D = *100 = 3,01% 2,1091 Escuela de Ingenería Mecánca 132

146 Capítulo 6 Parte expermental Fgura Curva del factor de concentracón de esfuerzos para placa fnta con agujero crcular sometda a tensón. 20 omado de [30] Escuela de Ingenería Mecánca 133