2.1. El gasto de una biblioteca (en euros) durante un año determinado, es: Gasto en personal Gasto en libros Otros gastos 2.

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1 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Estadística. Licenciatura en Documentación Prof.: Dra. J. Marín Fernández Tema 2: Tabulación y representación gráfica de los datos Problemas propuestos 2.1. El gasto de una biblioteca (en euros) durante un año determinado, es: Gasto en personal Gasto en libros Otros gastos Hacer un diagrama de barras de frecuencias absolutas y un gráfico de sectores Una biblioteca contiene una cantidad de estantes de libros en varios idiomas tal como muestra la siguiente tabla: Idioma N o de estantes Francés 78 Alemán 47 Ruso 20 Español 30 Determinar la distribución de frecuencias relativas. Hacer un diagrama de barras de frecuencias relativas y un gráfico de sectores La estadística de fotocopias de una biblioteca, durante un año determinado, es la siguiente: Reproducción de catálogos Trabajo del personal de la biblioteca Préstamo interbibliotecario Copias para usuarios de la biblioteca Determinar la distribución de porcentajes. Hacer un diagrama de barras de porcentajes y un gráfico de sectores La estadística de fotocopias de 4 bibliotecas (A, B, C y D), durante un año, está recogida en la siguiente tabla: A B C D Reproducción de catálogos Trabajo del personal de la biblioteca Préstamo interbibliotecario Copias para usuarios de la biblioteca Hacer un diagrama de barras conjunto de frecuencias absolutas.

2 Prof.: Dra. J. Marín Fernández. Estadística. Lic. Documentación. Problemas del Tema El número de citas en diferentes campos de investigación y en distintos años, viene dado en la tabla siguiente: Sociología Economía Política Psicología Hacer un diagrama de barras conjunto de frecuencias relativas La siguiente tabla muestra el número de artículos, patentes y otras publicaciones recogidas en tres revistas de resúmenes de artículos de investigación: artículos patentes otras Copper Abstracts: Enero Lead Abstracts: Enero Zinc Abstracts: Enero Copper Abstracts: Enero Lead Abstracts: Enero Zinc Abstracts: Enero Copper Abstracts: Enero Lead Abstracts: Enero Zinc Abstracts: Enero Hacer un diagrama de barras conjunto de porcentajes El número de descriptores (keywords) de 72 artículos de investigación viene dado por: N o de descriptores N o de artículos Hacer un diagrama de barras de frecuencias absolutas La altura, en centímetros, de una colección de libros es la siguiente: Altura N o de libros Determinar la distribución de frecuencias relativas y hacer un polígono de frecuencias relativas El número de palabras por línea de una página de un libro viene dado por: N o de palabras N o de líneas Determinar la distribución de frecuencias acumuladas absolutas y hacer el gráfico de frecuencias acumuladas absolutas Los siguientes datos corresponden al número de palabras por resumen de los artículos científicos de autores españoles que han publicado en una determinada revista de investigación durante un año concreto:

3 Prof.: Dra. J. Marín Fernández. Estadística. Lic. Documentación. Problemas del Tema Determinar la distribución de frecuencias absolutas, relativas, acumuladas absolutas y acumuladas relativas. Hacer un diagrama de barras de frecuencias absolutas, un polígono de frecuencias relativas y un gráfico de frecuencias acumuladas relativas Los siguientes datos agrupados en intervalos se refieren al número de llamadas telefónicas recibidas en el servicio de información de una biblioteca pública durante 45 días elegidos al azar: N o de llamadas (9,15] (15,21] (21,27] (27,33] (33,39] (39,45] (45,51] N o de días Dibujar el histograma, el polígono de frecuencias (no acumuladas) y el polígono de frecuencias acumuladas absolutas El número de socios de 84 bibliotecas públicas, viene dado por: Aunque la variable es cuantitativa discreta, se desea agrupar los datos en intervalos de la misma amplitud. A partir de esta agrupación, determinar la distribución de frecuencias y dibujar el histograma, el polígono de frecuencias relativas y el polígono de frecuencias acumuladas relativas.

4 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Estadística. Licenciatura en Documentación Prof.: Dra. J. Marín Fernández Tema 2: Tabulación y representación gráfica de los datos Soluciones de los problemas propuestos 2.1. La variable estadística es el tipo o modalidad de gasto. Es cualitativa nominal. Tiene 3 categorías, clases o modalidades. Cada vez que se realiza un gasto en la biblioteca se observa dicha variable (cada individuo es cada gasto que se hace). Categorías (Tipos de gasto) f i ángulos Gasto en personal o Gasto en libros o Otros gastos o suma o Diagrama de barras de frecuencias absolutas: se sitúan en el eje horizontal las categorías y sobre cada una de ellas se levanta un rectángulo de altura igual a la frecuencia absoluta, f i. Gráfico de sectores: se divide el área de un círculo en sectores circulares de ángulos iguales a los que aparecen en la última columna de la tabla anterior La variable estadística es el idioma. Es cualitativa nominal. Tiene 4 categorías, clases o modalidades. Los individuos a los que se les observa dicha variable son los estantes (se supone que en cada estante sólo hay libros en el mismo idioma; es decir, en un estante no se mezclan dos idiomas). Categorías (Idiomas) f i h i ángulos Francés o Alemán o Ruso o Español o suma o Diagrama de barras de frecuencias relativas: se sitúan en el eje horizontal las categorías y sobre cada una de ellas se levanta un rectángulo de altura igual a la frecuencia relativa, h i. Gráfico de sectores: se divide el área de un círculo en sectores circulares de ángulos iguales a los que aparecen en la última columna de la tabla anterior La variable estadística es el tipo de fotocopia ( con qué fin está hecha?). Es cualitativa nominal. Tiene 4 categorías, clases o modalidades. Los individuos a los que se les observa dicha variable son todas y cada una de las fotocopias que se realizan en la mencionada biblioteca durante el determinado año.

5 Prof.: Dra. J. Marín Fernández. Estadística. Lic. Documentación. Soluciones de los problemas del Tema 2 2 Categorías (Tipos de fotocopia) f i % i ángulos Reproducción de catálogos o Trabajo del personal de la biblioteca o Préstamo interbibliotecario o Copias para usuarios de la biblioteca o suma o Diagrama de barras de porcentajes: se sitúan en el eje horizontal las categorías y sobre cada una de ellas se levanta un rectángulo de altura igual al porcentaje, % i. Gráfico de sectores: se divide el área de un círculo en sectores circulares de ángulos iguales a los que aparecen en la última columna de la tabla anterior Tenemos 4 variables estadísticas cualitativas nominales cuyas categorías son las mismas (Reproducción de catálogos, Trabajo del personal de la biblioteca, Préstamo interbibliotecario y Copias para usuarios de la biblioteca). Cada una de estas cuatro variables es totalmente análoga a la variable definida en el problema anterior. Categorías (Tipos de fotocopia) A B C D f i f i f i f i Reproducción de catálogos Trabajo del personal de la biblioteca Préstamo interbibliotecario Copias para usuarios de la biblioteca Diagrama de barras conjunto de frecuencias absolutas: se sitúan en el eje horizontal las cuatro categorías y sobre cada una de ellas se levanta un rectángulo de altura igual a la frecuencia absoluta, f i, con distinto color o trama de relleno para cada una de las cuatro bibliotecas. Este gráfico es similar a la Figura 2.3 del libro Tenemos 3 variables estadísticas cualitativas nominales cuyas categorías son las mismas (sociología, economía, política y psicología). Por ejemplo, la primera de las variables es área de investigación de las citas que aparecen en los artículos publicados en Los individuos a los que se les observa dicha variable son todas y cada una de las citas que aparecen en los artículos publicados en Las otras dos variables se definen de forma análoga ( y ). Categorías (Áreas de investigación) f i h i f i h i f i h i Sociología Economía Política Psicología suma Diagrama de barras conjunto de frecuencias relativas: se sitúan en el eje horizontal las cuatro categorías y sobre cada una de ellas se levanta un rectángulo de altura igual a la frecuencia relativa, h i, con distinto color o trama de relleno para cada uno de los tres años. Este gráfico es similar a la Figura 2.3 del libro (pero con las frecuencias relativas en vez de las frecuencias absolutas)

6 Prof.: Dra. J. Marín Fernández. Estadística. Lic. Documentación. Soluciones de los problemas del Tema Tenemos 9 variables estadísticas cualitativas nominales cuyas categorías son las mismas (artículos, patentes y otras publicaciones). Por ejemplo, la primera de las variables es tipo de publicación recogida en el volumen de 1973 de la revista Copper Abstracts. Los individuos a los que se les observa dicha variable son todos y cada uno de los resúmenes recogidos en el volumen de 1973 de la revista Copper Abstracts. Las otras ocho variables se definen de forma análoga. Categorías porcentajes (Tipos de Enero 1973 Enero 1986 Enero 1990 publicación) Copper Lead Zinc Copper Lead Zinc Copper Lead Zinc Artículos Patentes Otras publicaciones Diagrama de barras conjunto de porcentajes: se sitúan en el eje horizontal las tres categorías y sobre cada una de ellas se levanta un rectángulo de altura igual al porcentaje, % i, con distinto color o trama de relleno para cada una de las nueve posibilidades. Este gráfico es similar a la Figura 2.3 del libro (pero con los porcentajes en vez de las frecuencias absolutas) 2.7. La variable estadística es el número de descriptores o keywords. Es cuantitativa discreta. Los individuos a los que se les observa la variable son todos y cada uno de los 72 artículos de investigación de la muestra. x i f i Diagrama de barras de frecuencias absolutas: se sitúan en el eje horizontal los x i y sobre cada uno de ellos se levanta un segmento rectilíneo de altura igual a la correspondiente frecuencia absoluta, f i La variable estadística es la altura de los libros. Es cuantitativa continua. Los individuos a los que se les observa la variable son los 31 libros de la muestra. x i f i h i Polígono de frecuencias relativas: se sitúan los puntos que resultan de tomar en el eje horizontal los distintos valores de la variable, x i, y en el eje vertical sus correspondientes frecuencias relativas, h i, uniendo después los puntos mediante segmentos rectilíneos La variable estadística es el número de palabras por línea. Es cuantitativa discreta. Los individuos a los que se les observa la variable son todas y cada una de las 48 líneas de la página del libro. x i f i F i Gráfico de frecuencias acumuladas absolutas: es la representación gráfica de las frecuencias acumuladas absolutas, F, para todo valor numérico, x. Es una gráfica en forma de escalera.

7 Prof.: Dra. J. Marín Fernández. Estadística. Lic. Documentación. Soluciones de los problemas del Tema La variable estadística es el número de palabras por resumen. Es cuantitativa discreta. Los individuos a los que se les observa la variable son los artículos científicos de autores españoles que han publicado en la determinada revista de investigación durante el determinado año. x i f i h i F i H i Diagrama de barras de frecuencias absolutas: se sitúan en el eje horizontal los x i, y sobre cada uno de ellos se levanta un segmento rectilíneo de altura igual a la correspondiente frecuencia absoluta, f i. Polígono de frecuencias relativas: se sitúan los puntos que resultan de tomar en el eje horizontal los distintos valores de la variable, x i, y en el eje vertical sus correspondientes frecuencias relativas, h i, uniendo después los puntos mediante segmentos rectilíneos. Gráfico de frecuencias acumuladas relativas: es la representación gráfica de las frecuencias acumuladas relativas, H, para todo valor numérico, x. Es una gráfica en forma de escalera La variable estadística es el número de llamadas telefónicas recibidas en el servicio de información de una biblioteca pública. Es cuantitativa discreta. Los individuos a los que se les observa la variable son los días. (l i, l i+1 ] (9,15] (15,21] (21,27] (27,33] (33,39] (39,45] (45,51] f i x i F i Histograma: se sitúan en el eje horizontal los intervalos de clase, (l i, l i+1 ], y sobre cada uno se levanta un rectángulo de área proporcional a la frecuencia absoluta. Como los intervalos tienen la misma amplitud, basta con hacer las alturas de los rectángulos iguales a las frecuencias absolutas, f i. Polígono de frecuencias (no acumuladas): se sitúan los puntos que resultan de tomar en el eje horizontal las marcas de clase, x i, y en el eje vertical sus correspondientes frecuencias absolutas, f i, uniendo después los puntos mediante segmentos rectilíneos. Polígono de frecuencias acumuladas absolutas: se sitúan los puntos que resultan de tomar en el eje horizontal los extremos superiores de los intervalos de clase, l i+1, y en el eje vertical sus correspondientes frecuencias acumuladas absolutas, F i, uniendo después dichos puntos mediante segmentos rectilíneos.

8 Prof.: Dra. J. Marín Fernández. Estadística. Lic. Documentación. Soluciones de los problemas del Tema La variable estadística es el número de socios de la biblioteca. Es cuantitativa discreta. Los individuos a los que se les observa la variable son las bibliotecas públicas. (l i, l i+1 ] f i x i H i (675,1 375] (1 375,2 075] (2 075,2 775] (2 775,3 475] (3 475,4 175] (4 175,4 875] (4 875,5 575] Histograma: se sitúan en el eje horizontal los intervalos de clase, (l i, l i+1 ], y sobre cada uno se levanta un rectángulo de área proporcional a la frecuencia absoluta. Como los intervalos tienen la misma amplitud, basta con hacer las alturas de los rectángulos iguales a las frecuencias absolutas, f i. Polígono de frecuencias (no acumuladas): se sitúan los puntos que resultan de tomar en el eje horizontal las marcas de clase, x i, y en el eje vertical sus correspondientes frecuencias absolutas, f i, uniendo después los puntos mediante segmentos rectilíneos. Polígono de frecuencias acumuladas relativas: se sitúan los puntos que resultan de tomar en el eje horizontal los extremos superiores de los intervalos de clase, l i+1, y en el eje vertical sus correspondientes frecuencias acumuladas relativas, H i, uniendo después dichos puntos mediante segmentos rectilíneos.

9 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Estadística. Licenciatura en Documentación Prof.: Dra. J. Marín Fernández Tema 3: Medidas descriptivas de los datos Problemas propuestos 3.1. Hallar las medidas descriptivas de posición y dispersión de los datos de los problemas 2.7 al 2.11 del Tema 2. Interpretar los resultados Se preguntó a varias personas, elegidas al azar, el número de periódicos distintos que leían trimestralmente, y se obtuvo las siguientes respuestas: N o de periódicos N o de lectores a) Dibujar el gráfico de frecuencias acumuladas absolutas. Calcular la mediana. b) Cuál es el grado de representatividad de la mediana: muy poco representativa, poco, regular, bastante o muy representativa? 3.3. El número de personas que visitan diariamente una biblioteca fue observado durante 74 días elegidos al azar, y los resultados fueron: a) Hallar la media y la mediana. N o de personas N o de días b) Calcular la medida de dispersión adecuada para medir el grado de representatividad de la media. Interpretar su resultado. c) Calcular la medida de dispersión adecuada para medir el grado de representatividad de la mediana. Interpretar su resultado. 3.4 La edad de las personas que aprobaron la oposición de auxiliar de biblioteca el año 1991 en España tiene la siguiente distribución: edad [20,25] (25,30] (30,35] (35,40] (40,50] (50,60] frecuencia a) Dibujar el polígono de frecuencias acumuladas absolutas. A partir de este gráfico, determinar el valor aproximado de la mediana. Determinar, después, el valor de la mediana con la fórmula estudiada. b) Cuál es el grado de representatividad de la mediana? Justificar la respuesta. 3.5 Los siguientes datos corresponden al número mensual de nuevos socios de una determinada biblioteca:

10 Prof.: Dra. J. Marín Fernández. Estadística. Lic. Documentación. Problemas del Tema a) Determinar la distribución de frecuencias y dibujar el polígono de frecuencias absolutas. b) Calcular la media y la mediana. 3.6 El número de veces que fueron consultados 60 artículos de investigación archivados en una hemeroteca, durante un determinado año, viene dado por la siguiente tabla: a) Determinar la distribución de frecuencias. Calcular la medida de posición de tendencia central que resulte más representativa del conjunto total de los datos. b) Agrupar los datos en intervalos de la misma amplitud, y calcular, a partir de esta nueva clasificación, el valor de la misma medida de posición calculada en el apartado anterior. Comparar los resultados. 3.7 A continuación se ofrecen los datos correspondientes al tiempo de espera (en minutos) de 50 usuarios de una biblioteca hasta que son atendidos por algún miembro del personal de ésta a) Determinar la distribución de frecuencias. Calcular la media y la mediana. b) Agrupar los datos en intervalos de distinta amplitud, y calcular, a partir de esta nueva clasificación, las mismas medidas descriptivas del apartado anterior. Comparar los resultados.

11 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Estadística. Licenciatura en Documentación Prof.: Dra. J. Marín Fernández Tema 3: Medidas descriptivas de los datos Soluciones de los problemas propuestos Primer Decil=D 1 = 4 keywords (deja por debajo de él el 10 % de los datos) Primer Cuartil=Q 1 = 5 keywords (deja por debajo de él el 25 % de los datos) Mediana=M e = 7 keywords (deja por debajo de él el 50 % de los datos) Tercer Cuartil=Q 3 = 9 keywords (deja por debajo de él el 75 % de los datos) Noveno Decil=D 9 = 10 keywords (deja por debajo de él el 90 % de los datos) Media aritmética=x = keywords Recorrido=R = 11 keywords R/2 = 5 5 y R/3 = Recorrido intercuartílico=r I = 4 keywords R I < R/2 la mediana es representativa Desviación media respecto de la media=d x = keywords Desviación media respecto de la mediana=d Me = keywords. Como D Me es un poco menor que D x entonces la mediana es un poco más representativa que la media aritmética Varianza=s 2 = keywords 2 Desviación típica=s = keywords s < R/3 la media es representativa Cuasivarianza=S 2 = keywords 2 Cuasidesviación típica=s = keywords Coeficiente de variación mediana=v Me = Coeficiente de variación media de Pearson=CV = Primer Decil=D 1 = 17 centímetros (deja por debajo de él el 10 % de los datos) Primer Cuartil=Q 1 = 18 centímetros (deja por debajo de él el 25 % de los datos) Mediana=M e = 21 centímetros (deja por debajo de él el 50 % de los datos) Tercer Cuartil=Q 3 = 23 centímetros (deja por debajo de él el 75 % de los datos) Noveno Decil=D 9 = 25 centímetros (deja por debajo de él el 90 % de los datos) Media aritmética=x = centímetros Recorrido=R = 12 centímetros R/2 = 6 y R/3 = 4 Recorrido intercuartílico=r I = 5 centímetros R I < R/2 la mediana es representativa Desviación media respecto de la media=d x = centímetros Desviación media respecto de la mediana=d Me = centímetros. Como D Me es un poco menor que D x entonces la mediana es un poco más representativa que la media aritmética Varianza=s 2 = centímetros 2

12 Prof.: Dra. J. Marín Fernández. Estadística. Lic. Documentación. Soluciones de los problemas del Tema 3 2 Desviación típica=s = centímetros s < R/3 la media es representativa Cuasivarianza=S 2 = centímetros 2 Cuasidesviación típica=s = centímetros Coeficiente de variación mediana=v Me = Coeficiente de variación media de Pearson=CV = Primer Decil=D 1 = 9 palabras (deja por debajo de él el 10 % de los datos) Primer Cuartil=Q 1 = 11 palabras (deja por debajo de él el 25 % de los datos) Mediana=M e = 12 palabras (deja por debajo de él el 50 % de los datos) Tercer Cuartil=Q 3 = 13 palabras (deja por debajo de él el 75 % de los datos) Noveno Decil=D 9 = 14 palabras (deja por debajo de él el 90 % de los datos) Media aritmética=x = palabras Recorrido=R = 13 palabras R/2 = 6 5 y R/3 = Recorrido intercuartílico=r I = 2 palabras R I < R/2 la mediana es representativa Desviación media respecto de la media=d x = palabras Desviación media respecto de la mediana=d Me = palabras. Como D Me es un poco menor que D x entonces la mediana es un poco más representativa que la media aritmética Varianza=s 2 = palabras 2 Desviación típica=s = palabras s < R/3 la media es representativa Cuasivarianza=S 2 = palabras 2 Cuasidesviación típica=s = palabras Coeficiente de variación mediana=v Me = Coeficiente de variación media de Pearson=CV = Primer Decil=D 1 = 12 palabras (deja por debajo de él el 10 % de los datos) Primer Cuartil=Q 1 = 14 5 palabras (deja por debajo de él el 25 % de los datos) Mediana=M e = 17 palabras (deja por debajo de él el 50 % de los datos) Tercer Cuartil=Q 3 = 19 palabras (deja por debajo de él el 75 % de los datos) Noveno Decil=D 9 = 21 palabras (deja por debajo de él el 90 % de los datos) Media aritmética=x = 16 7 palabras Recorrido=R = 13 palabras R/2 = 6 5 y R/3 = Recorrido intercuartílico=r I = 4 5 palabras R I < R/2 la mediana es representativa Desviación media respecto de la media=d x = 2 68 palabras Desviación media respecto de la mediana=d Me = 2 65 palabras. Como D Me es un poco menor que D x entonces la mediana es un poco más representativa que la media aritmética Varianza=s 2 = palabras 2 Desviación típica=s = palabras s < R/3 la media es representativa Cuasivarianza=S 2 = palabras 2 Cuasidesviación típica=s = palabras Coeficiente de variación mediana=v Me =

13 Prof.: Dra. J. Marín Fernández. Estadística. Lic. Documentación. Soluciones de los problemas del Tema 3 3 Coeficiente de variación media de Pearson=CV = Primer Decil=D 1 = llamadas (deja por debajo de él el 10 % de los datos) Primer Cuartil=Q 1 = llamadas (deja por debajo de él el 25 % de los datos) Mediana=M e = llamadas (deja por debajo de él el 50 % de los datos) Tercer Cuartil=Q 3 = llamadas (deja por debajo de él el 75 % de los datos) Noveno Decil=D 9 = 41 5 llamadas (deja por debajo de él el 90 % de los datos) Media aritmética=x = 30 4 llamadas Recorrido=R = 42 llamadas R/2 = 21 y R/3 = 14 Recorrido intercuartílico=r I = llamadas R I < R/2 la mediana es representativa Desviación media respecto de la media=d x = llamadas Desviación media respecto de la mediana=d Me = llamadas. Como D x es un poco menor que D Me entonces la media aritmética es un poco más representativa que la mediana Varianza=s 2 = llamadas 2 Desviación típica=s = llamadas s < R/3 la media es representativa Cuasivarianza=S 2 = llamadas 2 Cuasidesviación típica=s = llamadas Coeficiente de variación mediana=v Me = Coeficiente de variación media de Pearson=CV = La distribución de frecuencias es: x i f i F i x i f i suma 206 a) Gráfico de frecuencias acumuladas absolutas: es la representación gráfica de las frecuencias acumuladas absolutas, F, para todo valor numérico, x. Es una gráfica en forma de escalera. Mediana=M e = 2 5 periódicos. b) Como el recorrido intercuartílico es R I = 3 periódicos y la mitad del recorrido es R/2 = 3 5 periódicos, entonces se cumple que R I es un poco menor que R/2 y, como consecuencia, la mediana es bastante representativa a) Media (aritmética)=x = personas. Mediana=M e = 67 5 personas.

14 Prof.: Dra. J. Marín Fernández. Estadística. Lic. Documentación. Soluciones de los problemas del Tema 3 4 b) La desviación típica es s = personas. Como R/3 = 11, entonces se cumple que s es bastante menor que R/3 y, como consecuencia, la media aritmética es bastante representativa. c) El recorrido intercuartílico es R I = 14 personas. Como R/2 = 16 5, entonces R I es bastante menor que R/2 y, como consecuencia, la mediana es bastante representativa a) Polígono de frecuencias acumuladas absolutas: se sitúan los puntos que resultan de tomar en el eje horizontal los extremos superiores de los intervalos de clase, y en el eje vertical sus correspondientes frecuencias acumuladas absolutas, uniendo después dichos puntos mediante segmentos rectilíneos. A partir del polígono anterior se deduce que la mediana es aproximadamente igual a 28 años. Con la fórmula se obtiene que la mediana es M e = años. b) El recorrido intercuartílico es R I = 5 37 años. Como R/2 = 20 entonces R I es mucho menor que R/2 y, como consecuencia, la mediana es muy representativa a) La distribución de frecuencias (conteniendo las columnas que posteriormente necesitaremos) es: x i f i F i x i f i (x i x) 2 f i (x i x) 3 f i (x i x) 4 f i suma Polígono de frecuencias absolutas: se sitúan los puntos que resultan de tomar en el eje horizontal los distintos valores de la variable, x i, y en el eje vertical sus correspondientes frecuencias absolutas, f i, uniendo después los puntos mediante segmentos rectilíneos. b) Media (aritmética)=x = socios. Mediana=M e = 21 5 socios a) La distribución de frecuencias es:

15 Prof.: Dra. J. Marín Fernández. Estadística. Lic. Documentación. Soluciones de los problemas del Tema 3 5 x i f i F i Como la dispersión es grande, la medida de posición más adecuada es la mediana, cuyo valor es M e = 20 5 veces. b) La distribución de frecuencias con datos agrupados en intervalos de la misma amplitud es: (l i, l i+1 ] x i f i F i (0 8, 10] (10, 19 2] (19 2, 28 4] (28 4, 37 6] (37 6, 46 8] (46 8, 56] (56, 65 2] Con los datos agrupados en estos intervalos de clase, el valor de la mediana resulta M e = veces. El verdadero resultado de esta medida descriptiva es el calculado en el apartado anterior, M e = 20 5 veces a) La distribución de frecuencias es: x i f i F i x i f i Media (aritmética)=x = minutos. Mediana=M e = 10 minutos. b) Una posible agrupación de los datos en intervalos de distinta amplitud es: (l i, l i+1 ] f i x i x i f i F i (0,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,15] (15,19] (19,24] suma Con esta clasificación en intervalos, los resultados de las medidas descriptivas anteriores son: Media (aritmética)=x = minutos. Mediana=M e = minutos. Los verdaderos resultados de estas medidas descriptivas son los calculados en el apartado anterior.

16 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Estadística. Licenciatura en Documentación Prof.: Dra. J. Marín Fernández Tema 4: Relación entre dos variables cuantitativas Problemas propuestos 4.1. La tabla siguiente muestra la vejez (años desde su publicación) y la frecuencia de uso (número de veces que se consulta en un año) de ocho libros: a) Dibujar el diagrama de dispersión. vejez del libro frecuencia de uso b) Calcular el coeficiente de correlación lineal de Pearson entre ambas variables. Cómo se puede calificar el grado de relación lineal entre ambas variables: muy fuerte, fuerte, regular, débil o muy débil? Razonar la respuesta. c) Determinar la ecuación de la recta de regresión mínimo cuadrática de la frecuencias de uso sobre la vejez del libro. Sobre el mismo gráfico en el que se ha hecho el diagrama de dispersión, representar gráficamente la recta de regresión. Estimar el número de veces (al año) que se prestaría un libro publicado hace 6 años. Es fiable esta estimación? Justificar la respuesta. d) Determinar la ecuación de la recta de regresión mínimo cuadrática de la vejez del libro sobre la frecuencia de uso. Predecir la vejez de un libro que no fuese consultado ninguna vez durante todo el año. Es fiable esta predicción? Por qué? 4.2. El número de libros prestados a los estudiantes y a los profesores de los diferentes departamentos de una universidad en un curso académico determinado ha sido: a) Dibujar el diagrama de dispersión. Departamento Estudiantes Profesores Agricultura Antropología Biología Botánica Cristalografía Física Geología Informática Ingeniería Matemáticas Mineralogía Psicología Química Zoología

17 Prof.: Dra. J. Marín Fernández. Estadística. Lic. Documentación. Problemas del Tema 4 2 b) Calcular el coeficiente de correlación lineal de Pearson entre ambas variables. Cómo se puede calificar el grado de relación lineal entre ambas variables: muy fuerte, fuerte, regular, débil o muy débil? Razonar la respuesta. c) Determinar la ecuación de la recta de regresión mínimo cuadrática del número de libros prestados a los estudiantes sobre el número de libros prestados a los profesores. Estimar el número de libros prestados a los estudiantes que puede esperarse cuando el número de libros prestados a los profesores sea de 400. Es fiable esta estimación? Justificar la respuesta El tamaño de la población y el número de libros prestados por las bibliotecas de once ciudades fue: Población N o de préstamos a) Calcular el coeficiente de correlación lineal de Pearson entre ambas variables. Cómo se puede calificar el grado de relación lineal entre ambas variables: muy fuerte, fuerte, regular, débil o muy débil? Razonar la respuesta. b) Pronosticar el número de libros prestados por las bibliotecas de una ciudad de un millón de habitantes. Decir si es fiable este pronóstico, razonando la respuesta Los siguientes datos se refieren al número de libros y de revistas que reciben mensualmente doce bibliotecas elegidas al azar. libros revistas a) Calcular el coeficiente de correlación lineal de Pearson entre ambas variables. Cómo se puede calificar el grado de relación lineal entre ambas variables: muy fuerte, fuerte, regular, débil o muy débil? Razonar la respuesta. b) Estimar el número de revistas que recibiría una biblioteca en un mes en el que le enviaran libros. Es fiable esta estimación? Justificar la respuesta.

18 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Estadística. Licenciatura en Documentación Prof.: Dra. J. Marín Fernández Tema 4: Relación entre dos variables cuantitativas Soluciones de los problemas propuestos 4.1. Sea X =número de años desde la publicación de cada libro e Y =número de veces que se consulta cada libro en un año. (a) El diagrama de dispersión o nube de puntos consiste en situar en un sistema de ejes coordenados los puntos que resultan de tomar en el eje horizontal los valores de una de las variables y en el eje vertical los valores de la otra. (b) El coeficiente de correlación lineal de Pearson entre X e Y es r xy = Como este coeficiente está bastante próximo a 1, la relación lineal entre ambas variables se puede calificar de fuerte. (c) La ecuación de la recta de regresión mínimo cuadrática de Y sobre X es Ŷ = X. Al hacer la representación gráfica de esta recta de regresión en el mismo gráfico que el diagrama de dispersión se puede observar que los puntos están bastante cerca de la recta de regresión. El número estimado de veces (al año) que se prestaría un libro publicado hace 6 años es Ŷ = = Esta estimación es bastante fiable ya que existe bastante relación lineal entre X e Y (los puntos de la recta de regresión y los puntos del diagrama de dispersión están bastante próximos). (d) La ecuación de la recta de regresión mínimo cuadrática de X sobre Y es X = Y. La predicción de la vejez de un libro que no fuese consultado ninguna vez durante todo el año es X = = ; es decir, el libro tiene casi 6 años. Esta predicción es bastante fiable por el mismo motivo expuesto en el apartado anterior (existe bastante relación lineal entre X e Y y, por tanto, los puntos de la recta de regresión y los puntos del diagrama de dispersión están bastante próximos) Sea X =número de libros prestados a los estudiantes de cada departamento de la determinada universidad, durante el determinado curso académico e Y =número de libros prestados a los profesores de cada departamento de la determinada universidad, durante el determinado curso académico. (a) El diagrama de dispersión o nube de puntos consiste en situar en un sistema de ejes coordenados los puntos que resultan de tomar en el eje horizontal los valores de una de las variables y en el eje vertical los valores de la otra. (b) El coeficiente de correlación lineal de Pearson entre X e Y es r xy = Como este coeficiente está bastante próximo a 1, la relación lineal entre ambas variables se puede calificar de fuerte.

19 Prof.: Dra. J. Marín Fernández. Estadística. Lic. Documentación. Soluciones de los problemas del Tema 4 2 (c) La recta de regresión mínimo cuadrática del número de libros prestados a los estudiantes sobre el número de libros prestados a los profesores es la recta de regresión mínimo cuadrática de X sobre Y, cuya ecuación es: X = Y El número de libros prestados a los estudiantes que puede esperarse cuando el número de libros prestados a los profesores sea de 400 es: X = = ; es decir, 929 libros, aproximadamente. Esta estimación es bastante fiable ya que el coeficiente de correlación lineal está bastante próximo a 1 y, por tanto, los puntos de la recta de regresión y los puntos del diagrama de dispersión están bastante próximos Sea X =número de habitantes de cada ciudad, multiplicado por e Y =número de libros prestados por la biblioteca de cada ciudad, multiplicado por (a) El coeficiente de correlación lineal de Pearson entre X e Y es r xy = Como este coeficiente está próximo a cero, la relación lineal entre ambas variables se puede calificar de débil. (b) Para hacer este pronóstico hay que determinar la ecuación de la recta de regresión mínimo cuadrática de Y sobre X, que es: Ŷ = X. El pronóstico del número de libros prestados por las bibliotecas de una ciudad de un millón de habitantes es: Ŷ = = multiplicado por = libros; es decir, aproximadamente libros. Este pronóstico es poco fiable ya que el valor del coeficiente de correlación lineal de Pearson entre X e Y está próximo a cero y, por tanto, los puntos de la recta de regresión y los puntos del diagrama de dispersión están bastante alejados Sea X =número de libros recibidos mensualmente por cada biblioteca e Y =número de revistas recibidas mensualmente por cada biblioteca. (a) El coeficiente de correlación lineal de Pearson entre X e Y es r xy = Como este coeficiente está bastante próximo a 1, la relación lineal entre ambas variables se puede calificar de fuerte. (b) Para hacer esta estimación hay que determinar la recta de regresión mínimo cuadrática de Y sobre X, que es: Ŷ = X. La estimación del número de revistas que recibiría una biblioteca en un mes en el que le enviaran libros es: Ŷ = = ; es decir, 97 libros, aproximadamente. Esta predicción es bastante fiable ya que el valor del coeficiente de correlación lineal de Pearson entre X e Y está bastante próximo a 1 y, por tanto, los puntos de la recta de regresión y los puntos del diagrama de dispersión están bastante próximos.

20 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Estadística. Licenciatura en Documentación Prof.: Dra. J. Marín Fernández Tema 5: Probabilidad Problemas propuestos 5.1. Un centro de información dispone de 10 ordenadores para consultar diversas bases de datos. Se realiza el experimento que consiste en observar, en diferentes instantes del día, el número de ordenadores que no están ocupados. Determinar el espacio muestral. Poner dos ejemplos de sucesos (A y B). Hallar los sucesos contrarios (A y B), el suceso unión (A B), el suceso intersección (A B), el suceso diferencia (A B), y los sucesos A B, A B y A B El número de libros por estante de una biblioteca viene dado por: n o de libros n o de estantes Calcular la probabilidad de que un estante elegido al azar tenga: a) exactamente 24 libros. b) 24 o 25 libros. c) menos de 24 libros Estamos investigando la calidad de las fotocopias hechas en una biblioteca. En una muestra de 100 copias, se observa que 2 están en blanco y manchadas, 3 están en blanco pero no están manchadas y 25 no están en blanco pero están manchadas. Cuál es la probabilidad de que esta máquina fotocopiadora realice una copia que no esté en blanco ni manchada? 5.4. Una biblioteca dispone de tres empleados (A, B y C) para atender a los usuarios. El 20 % de las ocasiones está disponible (para atender a cualquier usuario) el empleado A, el 30 % de las veces está disponible el empleado B y el 25 % de las ocasiones está disponible el empleado C. Además, el 10 % de las veces están disponibles A y B, el 12 % están disponibles A y C, el 14 % están disponibles B y C, y el 8 % de las ocasiones están disponibles los tres empleados. Cuál es la probabilidad de que una persona sea atendida en el mismo momento en que llegue a la biblioteca? 5.5. En un grupo de alumnos de una licenciatura en documentación, el 25 % suspendió la asignatura Análisis Documental, el 15 % la asignatura Documentación General y el 10 % ambas asignaturas. Cuál es la probabilidad de que un alumno suspenda Análisis Documental o Documentación General? 5.6. En un estudio realizado en un determinado país sobre la participación de la mujer en trabajos propios de la biblioteconomía y documentación, antes y después de ser madre, se selecciona una muestra de 683 mujeres obteniéndose los siguientes resultados:

21 Prof.: Dra. J. Marín Fernández. Estadística. Lic. Documentación. Problemas del Tema 5 2 Antes Después NO SÍ NO SÍ a) Calcular la probabilidad de que una mujer participe en dicho mercado laboral antes de ser madre. b) Calcular la probabilidad de que una mujer participe en dicho mercado laboral después de ser madre. c) Calcular la probabilidad de que una mujer participe en dicho mercado laboral antes y después de ser madre Los asistentes a un acto cultural preparado por una biblioteca se clasifican de la siguiente manera: menos de 18 años entre 18 y 24 años entre 25 y 40 años más de 40 años Hombre Mujer a) Calcular la probabilidad de que un asistente al acto, elegido al azar, tenga más de 40 años. b) Calcular la probabilidad de que un asistente al acto, elegido al azar, sea mujer y tenga más de 40 años. c) Calcular la probabilidad de que una mujer asistente al acto, elegida al azar, tenga más de 40 años Se pregunta a todos los alumnos de una determinada facultad cuántas horas dedican al estudio en la biblioteca, y los resultados son: Curso de la licenciatura 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o menos de 1 hora N o de horas entre 1 y 3 horas más de 3 horas a) Determinar la probabilidad de que un alumno, elegido al azar, estudie más de 3 horas diarias en la biblioteca. b) Hallar la probabilidad de que un alumno de quinto curso, elegido al azar, estudie más de 3 horas diarias en la biblioteca. c) Calcular la probabilidad de que un alumno, elegido al azar, sea de quinto curso o estudie más de 3 horas diarias en la biblioteca.

22 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Estadística. Licenciatura en Documentación Prof.: Dra. J. Marín Fernández Tema 5: Probabilidad Soluciones de los problemas propuestos 5.1. Espacio muestral= Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {el número de ordenadores no ocupados es menor que 4} = {0, 1, 2, 3} B = {el número de ordenadores no ocupados está comprendido entre 2 y 6} = {2, 3, 4, 5, 6} A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} B = {0, 1, 7, 8, 9, 10} A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = {2, 3} A B = {0, 1} A B = {7, 8, 9, 10} = A B A B A B = {0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = A B A B A B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} A B 5.2. a) b) c) a) b) c) a) b) c) a) b) c)

23 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Estadística. Licenciatura en Documentación Prof.: Dra. J. Marín Fernández Tema 6: Variables aleatorias discretas Problemas propuestos 6.1. Se sabe que el 4 % de los libros que se prestan en una biblioteca escolar se devuelven con retraso. Se realiza el experimento que consiste en observar si la devolución de un libro se ha hecho con retraso o no. a) Determinar la función de probabilidad y representarla gráficamente. b) Calcular la función de distribución y hacer su representación gráfica. c) Hallar la media y la varianza Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad viene dada por: Calcular: x i p i = P (X = x i ) a) La expresión de la función de distribución F (t) para todo valor de t. b) La esperanza matemática de X. c) La varianza y la desviación típica de X De los usuarios de una biblioteca determinada, el 23 % pertenece al grupo I de edad (menos de 20 años). Realizamos el experimento que consiste en elegir al azar tres usuarios de la biblioteca y observar la variable aleatoria X=número de usuarios que pertenecen al grupo I de edad (entre los tres elegidos al azar). a) Hallar el conjunto de los posibles resultados de la variable X, así como su función de probabilidad. b) Hallar la probabilidad de que el número de usuarios que pertenecen al grupo I sea menor que dos. c) Determinar la función de distribución de X y hacer su representación gráfica. d) Calcular la media y la desviación típica de X De un total de 500 libros, 50 son científicos. Extraemos al azar un primer libro entre los 500 y lo reponemos en la población de libros antes de realizar una nueva extracción; volvemos a extraer al azar un segundo libro entre los 500 y lo reponemos antes de hacer una nueva extracción;...; finalmente, extraemos un quinto libro entre los 500. Consideramos la variable aleatoria X=número de libros (entre los 5 elegidos al azar con reposición) que son científicos. a) Hallar la función de probabilidad de X y hacer su representación gráfica.

24 Prof.: Dra. J. Marín Fernández. Estadística. Lic. Documentación. Problemas del Tema 6 2 b) Determinar la función de distribución de X y hacer su representación gráfica. c) A partir de la función de distribución de X, calcular la probabilidad de que el número de libros científicos sea mayor que 3. d) Calcular la media y la desviación típica de X Los libros que salen de una imprenta se clasifican en defectuosos (si tienen defectos de impresión) y no defectuosos (si no tienen defectos de impresión). Se supone que la cantidad de libros que salen de dicha imprenta es tan grande, que puede considerarse infinita. Por tanto, si elegimos y apartamos un libro, esto no altera el porcentaje de libros no defectuosos, que es 95 %. a) Si se eligen al azar 20 libros, cuál es la probabilidad de que 18 de ellos sean no defectuosos? b) Si se eligen al azar 25 libros, cuál es la probabilidad de que el número de libros no defectuosos sea mayor o igual que 21? 6.6. Se sabe que el 4 % de los libros que se prestan en una biblioteca escolar se devuelven con retraso. Se realiza el experimento que consiste en observar si la devolución de cada libro se ha hecho con retraso o no. Si se observan 12 libros prestados, cuál es la probabilidad de que se devuelvan con retraso 2 libros?, y cuál es la probabilidad de que se devuelvan con retraso más de 2 libros? 6.7. Supongamos que el 1 % de la población de todos los usuarios de una biblioteca tiene menos de 10 años. Supongamos, también, que la población es suficientemente grande como para que al elegir un usuario al azar y apartarlo, no se altere dicho porcentaje. Se eligen al azar 15 usuarios de dicha biblioteca. Calcular: a) La probabilidad de que ninguno de ellos tenga menos de 10 años. b) La probabilidad de que tengan menos de 10 años 3 usuarios o menos. c) La probabilidad de que tengan menos de 10 años menos de 3 usuarios. d) La probabilidad de que tengan menos de 10 años más de 2 usuarios. e) La probabilidad de que tengan menos de 10 años 2 usuarios o más. f) La probabilidad de que el número de usuarios con menos de 10 años esté comprendida entre 2 (incluido) y 10 (incluido). g) El número medio de usuarios con menos de 10 años.

25 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Estadística. Licenciatura en Documentación Prof.: Dra. J. Marín Fernández Tema 6: Variables aleatorias discretas Soluciones de los problemas propuestos 6.1. a) Podemos atribuir el valor 1 al suceso A = {el libro prestado se devuelve con retraso} y el valor 0 al suceso contrario, A. Así, la variable aleatoria X que responde a la pregunta retraso? tiene la siguiente función de probabilidad: x i p i = P (X = x i ) el libro prestado se devuelve con Su representación gráfica es similar al diagrama de barras de frecuencias relativas de una variable estadística cuantitativa discreta (con datos no agrupados en intervalos). b) La función de distribución, para todo valor de t, es la siguiente: 0 si t < 0 F (t) = 0 96 si 0 t < 1 1 si t 1 Su representación gráfica es similar al gráfico de frecuencias acumuladas relativas de una variable estadística cuantitativa discreta (con datos no agrupados en intervalos). c) Media= µ = 0 04, Varianza= σ 2 = a) La función de distribución, para todo valor de t, es la siguiente: 0 si t < si 1 t < 3 0 F (t) = 3 si 3 t < si 5 t < si 7 t < 9 1 si t 9 b) Esperanza matemática o media de X: E(X) = µ = 5 c) Varianza= V ar(x) = σ 2 = 6 4, Desviación típica= σ = a) X B(n = 3, p = 0 23) y, por tanto, su función de probabilidad es: siendo q = 1 p = 0 77 P (X = k) = n! k!(n k)! pk q n k para k = 0, 1, 2, 3 Explícitamente, la función de probabilidad viene dada en la siguiente tabla: