En varias ramas de las matemáticas y de las ciencias sociales, es común

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1 Introducción En varias ramas de las matemáticas de las ciencias sociales, es común representar fenómenos mediante modelos que emplean funciones de variable vectorial. Es decir, funciones entre espacios vectoriales. Estas funciones tienen el nombre de transformaciones son el primer paso para estudiar transformaciones con propiedades especiales llamadas transformaciones lineales. 7.. Definición de transformación. Dominio e imagen Comenzaremos la unidad recordando lo que es una función. Una función es una regla que asocia cada uno de los elementos de un conjunto A, llamado dominio, con uno de otro conjunto B, llamado codominio. Es decir, si f: AB es una función, significa que si a es un elemento de A entonces f(a) es el elemento de B asociado a a mediante la regla f. Es importante mencionar que f(a) es único para cada a en A. Definición 7.. Sean V W dos espacios vectoriales. Sea T: V W una función que asigna a cada vector v de V un vector único en W. T se llama transformación los conjuntos V W son respectivamente el dominio el codominio de la transformación. Vamos a dar varios ejemplos de transformaciones entre espacios vectoriales conocidos. Ejemplo a) Consideremos la relación refleión que manda a cada vector (, ) al vector (, ) que es su refleión con respecto al eje. Sea T: R 2 R 2, tal que T(,) = (, ). Probaremos que es una transformación; es decir, probaremos que T(, ) es único. Consideremos el vector u = (u ) en R 2 supongamos que T(u) = (a, b) T(u) = (c, d) son dos vectores en W, entonces, por la definición de la relación tenemos que 237

2 Unidad 7 (a, b) = T(u) = T(u ) = (u, u 2 ) (c, d) = T(u) = T(u ) = (u, u 2 ) de donde (a, b) = (c, d) = T(u) por lo que T(u) es único T es una transformación. b) Sea la función T: R 2 R 3 definida por T. 3 Como R 2 R 3 son espacios vectoriales, T es una transformación donde R 2 es el dominio R 3 es el codominio. Definición 7.2. Sea T: V W una transformación. Sea v en V, entonces T(v) en W se llama la imagen de v bajo la transformación T, el conjunto { en W tal que = T(v) para alguna v en V} se llama imagen de la transformación T. Veamos ejemplos de la imagen de algunas transformaciones. Ejemplo 2 a) Considera la transformación T: R 3 R 2 dada por T(,, z) = (, ). La imagen del vector (2, 3, 5) es T(2, 3, 5) = (2, 3) la imagen de la transformación es el conjunto de todas los vectores (, ) de R 2, tal que eista un vector (a, b, c) en R 3 tal que T(a, b, c) = (, ), es decir, T(a, b, c) = (a, b) = (, ) de donde a =, b =, por lo tanto el rango es todo el plano cartesiano R 2. b) Considera la transformación T: R R tal que T() =. Entonces la imagen de toda la transformación es T(R) = {}. Esto es, la imagen de T es el vector cero. c) Sea T: R 3 R 2 tal que T(,, z) = (, 3). La imagen de T es el conjunto de vectores de R 2 de la forma (a, 3a). La imagen del vector (, 2, 4) es T(, 2, 4) = ( 2, 6). 238

3 Ejercicio. Di si las siguientes funciones son transformaciones: a) T: R {, 2, 3} b) T: R 2 R 3 tal que T(, ) = (,, ) 2. Encuentra el dominio la imagen de las siguientes transformaciones: a) T: R 2 R 2 tal que T(, ) = (, ) b) T: R 3 R tal que T(,, z) = 2 c) T: M mn M nm tal que T(A) = A T 3. Considera la transformación T: R 2 R 3 tal que T(, ) = (,, + ) Encuentra la imagen de los siguientes vectores: a) (2, 3) b) ( 3, ) c) (6, 2) d) ( 2, 6) 7.2. Definición de transformación lineal. Propiedades En esta sección nos ocuparemos de una clase de transformaciones que son mu útiles, pues preservan la suma el producto por escalar, que son la base de los espacios vectoriales. Estudiaremos sus propiedades que nos darán la pauta para manejar las transformaciones tanto en su representación de funciones como en su representación por medio de matrices. Definición 7.3. Sean V W espacios vectoriales T: V W una transformación. T se llama transformación lineal si satisface las siguientes propiedades: i) T(u + v) = T(u) + T(v), u, vv ii) T(cu) = ct(u), uv, cr 239

4 Unidad 7 Esta definición nos dice que las transformaciones lineales conservan la suma el producto por un escalar, es decir, que se obtiene el mismo resultado si las operaciones de suma multiplicación por un escalar se efectúan antes o después de que se aplique la transformación lineal. Debe observarse que las operaciones pueden ser diferentes a como se indica en el siguiente diagrama Suma en V Suma en W T(u + v) = T(u) + T(v) Multiplicación por escalar en V Multiplicación por escalar en W T(cu) = ct(u) Ejemplo 3 a) Considera la transformación T: R 2 R 2 tal que T(u, v) = (u v, u + 2v); probaremos que es una transformación lineal. i) Sean u = (u ) v = (v, v 2 ) en R 2, probaremos que T(u + v) = T(u) + T(v). Recordemos que en R 2 u + v = (u ) + (v, v 2 ) = (u + v 2 ) Por la definición de la transformación tenemos que T(u ) = T(u ) = (u u 2, u ); T(v) = T(v, v 2 ) = (v v 2, v + 2v 2 ) T(u + v) = T(u + v 2 ) = [(u ) (u 2 + v 2 ), (u ) + 2(u 2 + v 2 )] = [u u 2 v 2, u + 2v 2 ] Consideremos ahora la suma T(u) + T(v) en R 2 T(u) + T(v) = (u u 2, u ) + (v v 2, v + 2v 2 ) usando la definición de suma en R 2 tenemos = [(u u 2 ) + (v v 2 ), (u ) + (v + 2v 2 )], eliminando paréntesis: 24

5 = [u u 2 v 2, u + 2v 2 ], usando la propiedad conmutativa en R: = [u u 2 v 2, u + 2v 2 ] = T(u + v) De donde T(u + v) = T(u) + T(v) ii) Sea c un escalar, entonces probaremos que T(cu) = ct(u) Por la definición de la transformación lineal tenemos que T(cu) = T(cu, cu 2 ) = (cu cu 2, cu + 2cu 2 ) por otro lado, al multiplicar por un escalar c la imagen de la transformación tenemos que ct(u) = c(u u 2, u ) = [c(u u 2 ), c(u )] por la propiedad de transitividad en R: = (cu cu 2, cu + 2cu 2 ) = T(cu) Por lo tanto T(cu) = ct(u) De i) ii) tenemos que T es una transformación lineal. b) Sea A una matriz de 22, considera la transformación T: R 2 R 2 tal que T(u) = Au Vamos a probar que T es una transformación lineal. i) Probaremos que T(u + v) = T(u) + T(v) Por la definición de la transformación T(u + v) = A(u + v) Usando la propiedad distributiva de la multiplicación de matrices, tenemos que A(u + v) = Au + Av = T(u) + T(v) por la definición de la transformación. De donde T(u + v) = T(u) + T(v) ii) Comprobaremos que T(cu) = c T(u) Por la definición de la transformación tenemos que T(cu) = A(cu) 24

6 Unidad 7 Usando la propiedad de la multiplicación de matrices c(ab) = (ca)b = A(cB) tenemos que A(cu) = c(au) = ct(u) por lo tanto, T(cu) = ct(u) De i) ii) podemos asegurar que T es una transformación lineal. Es importante mencionar que no todas las transformaciones son lineales. Veamos un ejemplo de esto. c) Consideremos la transformación T: R R tal que T() = + Sea T( + ) = + +, sin embargo, T() + T( ) = ( + ) + ( + ) = Por lo tanto T no es una transformación lineal. Las transformaciones lineales son importantes dentro del álgebra porque poseen propiedades especiales como las que se mencionan en el siguiente teorema. Teorema 7.. Sea T: V W una transformación lineal, sean u, v dos vectores en V, entonces T tiene las siguientes propiedades: i) T(v) = ii) T( u) = T(u) iii) T(u v) = T(u) T(v) iv) Si v = c v + c 2 v c n v n, entonces T(v) = T(c v + c 2 v c n v n ) = c T(v ) + c 2 T(v 2 ) c n T(v n ) Es importante mencionar que en la propiedad i) el primer cero corresponde al espacio vectorial V mientras que el segundo corresponde al cero del espacio vectorial W. Vamos a dar un ejemplo para verificar que se satisface este teorema. 242

7 Ejemplo 4 Consideremos la transformación T: R 2 R 3 definida por T 3 Probaremos que T es una transformación lineal después que satisface las propiedades mencionadas en el teorema 7.. u v u ) Sean u = v = en R u2 v 2, entonces u + v = 2 u T( u + v) = T u v u v 2 2 v v 2 2 ( u v) ( u2 v2) ( u u2) ( v v2) ( u v) ( u2 v2) = ( u u2) ( v v2) 3( u2 v2) 3u2 3v 2 T(u) = T u u u2 u u2 u T(v) = T v v v2 v v2 2 3u v 2 2 3v 2 u u2 u v T(u) + T(v) = T T v v2 ( u u2) ( v v2) u u2 u2 v + v v2 ( u u2) ( v v2) 2 3u 2 3v 2 3u2 3v 2 De donde T(u + v) = T(u) + T(v) 2) Sea c un escalar, T(cu) = T cu cu cu cu2 cu cu2 3cu 2 2 ct(u) = c T u u u u2 cu cu2 c u u2 cu cu2 = T(cu) 3u 2 3cu 2 2 por ) 2) T es una transformación lineal. Probemos ahora las propiedades del teorema 7.. i) Sea en R 2, entonces = T() = T = en R 3 3 ( ) 243

8 Unidad 7 ii) T( u) = T u ( u2) u u2 u u ( u2) u u u2 2 3( u 2) 3u 2 T(u) = T u u u2 u u2 u u2 u u2 u de donde T( u) = T(u) 2 3u 2 3u 2 iii) T(u v) = T[u + ( v)] = T(u) + T( v) = T(u) + [ T(v)] = T(u) T(v) iv) Sea v = c v + c 2 v c n v n, una combinación lineal de vectores de R 2, entonces por ser T una transformación lineal tenemos que T(v) = T(c v + c 2 v c n v n ) = c T(v ) + c 2 T(v 2 ) c n T(v n ) Esta propiedad siempre se va a satisfacer por el simple hecho de ser una transformación lineal si tomamos en cuenta la propiedad asociativa de los reales. La propiedad iv) es una propiedad mu importante a que establece que una transformación lineal T: V W está determinada por sus efectos sobre los elementos de una base de V; a que si {v, v 2,..., v n } es una base de V de modo que T(v ), T(v 2 ),..., T(v n ) estén definidos, entonces T(v) está definida para cualquier v en V. Ejemplo 5 Sea B = {i = (,, ), j = (,, ), k = (,, )} la base canónica de R 3 sea T: R 3 R 3 una transformación lineal tal que T(,, ) = (2,, 4) ; T(,, ) = (, 5, 2) T(,, ) = (, 3, ) Encontrar la imagen T(2, 3, 2). Como (2, 3, 2) = 2(,, ) + 3(,, ) 2(,, ), entonces, por la propiedad iv) del teorema 7.2 tenemos que T(2, 3, 2) = 2 T(,, ) + 3 T(,, ) 2 T(,, ) = 2(2,, 4) + 3(, 5, 2) 2(, 3, ) = (7, 7, ) 244

9 Lo anterior nos lleva a preguntarnos: Si dos transformaciones lineales mandan a los elementos de una base a imágenes iguales, serán la misma transformación? El siguiente teorema nos da la respuesta. Teorema 7.2. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n, B = {v, v 2,..., v n } una base de V. Sean T : V W T 2 : V W dos transformaciones lineales tales que para i =, 2,..., n se tiene que T (v i ) = T 2 (v i ), entonces T = T 2. Este teorema nos dice que si T: V W V es de dimensión finita, entonces sólo es necesario conocer el efecto de T sobre los vectores de la base de V para determinar de manera única la imagen de cualquier vector de V. Sin embargo, surge otra pregunta, si {, 2,..., n } son n vectores de W, eistirá alguna transformación lineal T de tal manera que T(v i ) = i para i =, 2,..., n? La respuesta nos la muestra el siguiente teorema. Teorema 7.3. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B ={v, v 2,..., v n }. Sea W un espacio vectorial {, 2,..., n } un conjunto de vectores en W. Entonces eiste una transformación lineal única T: V W tal que T( v i ) = i para i =, 2,..., n. Ejemplo 6 Sea W = tales que 2 3z un subespacio vectorial de R 3. Sean = (, 2, ) 2 = (, 3, ) vectores de W. Vamos a encontrar una transformación lineal T: R 2 W de tal modo que las imágenes de la base canónica de R 2 sean específicamente 2. Definimos T(, ) = (, 2, ) T(, ) = (, 3, ), entonces 245

10 Unidad 7 T(, ) = T(, ) + T(, ) = (, 2, ) + (, 3, ) = (, 2, ) + (, 3, ) = (, 2 + 3, ) lo cual determina completamente a T. Ejercicio 2. Determina si las siguientes transformaciones son transformaciones lineales: a) T: R 2 R 2 tal que T(, ) = (, ) b) T: R 3 R 3 tal que T(,, z) = ( +,, z) c) T: M 22 R tal que T(A) = det (A) d) T: R 2 R 2 tal que T(, ) = (, ) e) T: R 2 R 2 tal que T(, ) = (, ) 2. Considera la transformación lineal T: R 2 R 2 tal que T(, ) = (, ) T(, ) = (, ): Encuentra T(, ) T(, 2). 3. Sea T: R 2 R 2 una transformación lineal tal que T(, ) = (, ) T(, ) = (, ) Determina T(, ) Definición de núcleo de una transformación lineal. Determinación de núcleos En esta sección nos ocuparemos de aquellos vectores cua imagen bajo una transformación lineal es el vector cero. Este conjunto llamado núcleo está íntimamente relacionado con la nulidad de una matriz además de que posee, junto con la imagen, propiedades mu importantes útiles en el manejo de las transformaciones lineales. Definición 7.4. Sea T: V W una transformación lineal. El conjunto de vectores de V cua imagen es el vector cero de W se llama núcleo de la transformación se denota nu T, es decir, nu T = {v en V tales que T(v) = }. 246

11 Al núcleo de una transformación también se le llama kernel. Es importante mencionar que el núcleo de una transformación lineal nunca es un conjunto vacío, a que la propiedad i) del teorema 7.2 nos garantiza que al menos contiene al cero del espacio vectorial que actúa como dominio. Ejemplo 7. a) Consideremos la transformación lineal T: P 2 R tal que T( a 2 bc) c Vamos a encontrar su núcleo. nu T = {p en P 2 tales que T(p) = } esto implica que si p = a 2 b c, entonces T(p) = T( a 2 b c) c = lo que nos lleva a concluir que los vectores de núcleo de T son aquellos polinomios de la forma p = a 2 b ; es decir, nu T = {p en P 2 tales que p = a 2 b } b) Sea T: V V tal que T(v) =, entonces nu T = V. A esta transformación lineal se le llama la transformación cero. c) Sea T: R 3 R 2 tal que T(,, z) = (, z); donde nu T = { en R 3 tales que T(,, z) = } En este caso T(,, z) = implica que T(,, z) = (, z) = (, ), entonces = z = de donde nu T = {(,, ) en R 3 } d) Sea T: V V tal que T(v) = v. Esta transformación se llama transformación identidad. nu T = {v en V tal que T(v) = } esto nos lleva a que T(v) = v =, por tanto nu T = {} El siguiente resultado nos será de gran utilidad cuando se manejen las representaciones matriciales de una transformación lineal; nos proporcionará una equivalencia entre el núcleo de una transformación lineal los correspondientes núcleo nulidad de una matriz. 247

12 Unidad 7 Teorema 7.4. Sea T: V W una transformación lineal, entonces i) nu T es un subespacio vectorial de V. ii) Imagen T es un subespacio vectorial de W. Utilizando las propiedades de las transformaciones lineales, probaremos este teorema. i) Sean u, v vectores del núcleo de T, queremos que u + v esté en el núcleo de T. Como u, v están en nu T, entonces T(u) = T(v) = T(u + v) = T(u) + T(v) = + =, por lo que u + v está en nu T. Sea c un escalar, veremos si cu está en el núcleo de T. T(cu) = ct(u) = c() =, por tanto cu está en nu T De ambos resultados obtenemos que nu T es un subespacio vectorial de V. ii) Sean vectores de la imagen de T, queremos que + esté en la imagen de T. Como, son vectores de la imagen, eisten u, v vectores de V, tales que T(u) = T(v) =. Como T es una transformación lineal, T(u + v) = T(u) + T(v) = +, entonces + está en la imagen de T, pues eiste uvv con T(u + v) = + Sea c un escalar, probaremos que c está en la imagen de T. Como T es transformación lineal, T(cu) = ct(u) = c, de donde c está en la imagen de T, por los dos resultados imagen de T es un subespacio vectorial de W. Como el núcleo la imagen son subespacios vectoriales, podemos considerar su dimensión. Veamos la siguiente definición. Definición 7.5. Sea T: V W una transformación lineal, entonces a la dimensión del núcleo de T se le llama nulidad de T, a la dimensión de la imagen de T se le llama rango de T se denotan por 248

13 (T) = dim nu T = nulidad (T) = dim imagen T = rango Recordemos que para encontrar la dimensión de un espacio vectorial, basta encontrar una base de ese espacio, la dimensión del espacio es el número de vectores de la base. Vamos a encontrar el rango la nulidad de algunas transformaciones lineales conocidas. Ejemplo 8. a) Sea T: R 3 R 3 tal que T(,, z) = (,, ). nu T = {(,, z) en R 3 tal que T(,, z) = (,, ) = (,, )} = {(,, z) en R 3 } el vector (,, ) es una base para nu T, por lo tanto la nulidad de T = (T) = imagen T = {(,, ) en R 3 } de donde {(,, ), (,, )} es una base para la imagen T de donde el rango de T = (T) = 2. b) Sea T: R 2 R 2 tal que T(,) = ( +, ) nu T = {(, ) tal que T(, ) = (, )} = {(, ) tal que ( +, ) = (, )} Al resolver el sistema de ecuaciones obtenemos que =, =, por lo tanto nu T = {(, )} de donde (T) = dim nu T = En este caso obtener una base para la imagen de T no resulta tan fácil, surge entonces la pregunta: no habrá alguna otra manera de obtener el rango de la transformación? El siguiente resultado nos brinda la respuesta. Teorema 7.5. Sea T: V W una transformación lineal donde V es un espacio vectorial de dimensión n. Entonces la suma de la nulidad el rango es igual a la dimensión del dominio. nulidad + rango = (T) + (T) = dim V = n En el ejemplo anterior observamos que (T) = dim nu T = que la dimensión de R 2 es 2, por lo tanto usando este teorema tenemos que el rango=(t) =

14 25 Unidad 7 En cualquier caso, es más fácil encontrar la nulidad de una transformación lineal usar el teorema anterior para encontrar el rango de la misma. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 9 a) Sea T: R 4 R 2 tal que T z z una transformación lineal. Vamos a encontrar su núcleo o kernel. T z z eso implica que z z, por lo tanto nu T = de donde{(,,, ), (,,, )} es una base para el núcleo, por tanto (T) = dim nu T = 2. Como dim R 4 = 4 = (T) + (T) = 2 + (T) entonces el rango(t) = 2. b) Sea T: R 2 R 3 tal que T una transformación lineal. nu T = T lo que implica que = =, por lo tanto nu T = {(, )}, entonces (T) = dim nu T =. Como dim R 2 = 2 = (T) + (T) = + (T) entonces rango(t) = 2.

15 Esto nos lleva a que T {(,, ), (,, )} es una base para la imagen de T. de donde Ejercicio 3. Encuentra el núcleo de las siguientes transformaciones lineales: a) T: R R 2 tal que T() = (, 2) b) T: R 2 R 2 tal que T 2 c) T: R 3 R 2 tal que T z z d) T: R P 3 tal que T(a) = a + a + a 2 + a 3 2. Encuentra el rango la nulidad de las transformaciones del ejercicio anterior. 3. Encuentra una base para la imagen de las transformaciones de los incisos a), b) c) del ejercicio Transformaciones lineales inectivas, supraectivas biectivas. Isomorfismos En esta sección se estudiarán transformaciones lineales especiales como son las inectivas, supraectivas biectivas. Estos tipos de transformaciones son importantes porque dan origen a los isomorfismos entre espacios vectoriales, lo que nos permitirá definir clases de espacios vectoriales que tienen la misma dimensión. Definición 7.6. Sea T: V W una transformación lineal, se llama transformación inectiva si satisface que T(u) = T(v) implica que u = v. 25