PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E.

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1 PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD L.O.G.S.E. CURSO CONVOCATORIA: MATERIA: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CC. SS. - Cada alumo debe elegir sólo ua de las pruebas (A o B) y, detro de ella, sólo debe respoder (como máximo) a cuatro de las cico pregutas. - Cada ua de las pregutas tiee ua putuació máxima de.5 putos. PRUEBA A 1.- Para ua muestra de 5 persoas, el cosumo medio diario de agua es de 115 litros co ua desviació típica de 18 litros. a) Obteer u itervalo de cofiaza al 98% de cofiaza para el cosumo medio diario de agua por persoa. b) Co u ivel de cofiaza del 99%, cuál es el tamaño muestral ecesario para estimar el cosumo medio diario de agua por persoa co u error meor de 5 litros? σ σ a) x z, x + z = , = [115 ± 8.38] = [ , ] 5 5 El cosumo medio de agua por persoa al día es u valor del itervalo [ 106.6, ], co u ivel de cofiaza del 98%. z b) / σ = = E 5 Hace falta u tamaño muestral de al meos 86 uidades para estimar la media co u error meor de 5 litros co u ivel de cofiaza del 99%..- Co u ivel de cofiaza igual a 0.95, a partir de u estudio muestral, el itervalo de cofiaza de la proporció de habitates de ua comuidad que tiee ordeador portátil es [ , ]. a) Cuál es la proporció muestral de habitates de esa comuidad que tiee ordeador portátil? Cuál es el tamaño de la muestra? b) Cuál debería ser el tamaño muestral para estimar la citada proporció, co ua cofiaza del 95%, co u error máximo de 0.01? a) La proporció muestral es el puto medio del itervalo, es decir Como ( 1 pˆ) pˆ = z, al ser z = 1.96, = pˆ = = 0..

2 b) Como 0.01 z pˆ ( 1 pˆ), debería ser ( 0.01) = Ua parcela está rodeada por dos carreteras cuyo trazado viee dado por las fucioes f ( x) = x + 9x 8 y gx = x. Siedo x e decámetros. a) Represetar la parcela. b) Qué superficie tiee la parcela? a) Si el 70% de la superficie de la parcela se vede como suelo urbao a 500 el metro cuadrado, el 0% se tiee que doar al ayutamieto y el resto se vede como suelo rústico a 45 el metro cuadrado, cuál es el valor de la parcela? b) Putos de corte; f( x) = g( x) x x + 9x 8= x x + 7x 6= 0 x ( 9 8) ( ) ( 7 6) x + x x dx = x + x dx = 1 1 = 1 = 6 x x x Dm 083m 3 = + + = = 3 3 c) = 8785 euros 4.- Se quiere diseñar u pael, co forma de triágulo rectágulo, cuya hipoteusa mida 5 metros. a) Cuáles debe ser las dimesioes de los otros lados para que su área sea máxima. b) Si el pael se fabrica co chapa que cuesta 10 euros el metro cuadrado, cuáto costará? a) x y 5 Por el teorema de Pitágoras teemos que: x + y = 5 y = 5 x y = 5 x Y queremos maximizar el área

3 xy Max = Max x y = Max x 5 x x 5 x x 5 x = 5 x + x = 5 x 5 x Los putos extremos se obtiee al resolver: ' 5 x 5 5 = 0 5 x = 0 x1 = y x = ( descartada) 5 x 5 5 y = 5 x y = 5 = = = = 6.5m 4 Area máxima = b) = 6.5 euros 5.- E u domicilio se pagaro 3 facturas (agua, luz y teléfoo) por u total de 140. De agua se pagó la tercera parte que de luz y la factura del teléfoo fue el 45% del total. a) Platear el correspodiete sistema de ecuacioes. b) Cuáto se pagó e cada factura? A+ L+ T = 140 A = 19.5 L A= L= T = T = 140

4 PRUEBA B 1.- La empresa de trasportes urgetes El Rápido afirma e su publicidad que, al meos el 70% de sus evíos, llega al día siguiete a su destio. Para cotrastar la calidad de este servicio, la asociació de cosumidores seleccioa aleatoriamete evíos observado que 39 o llegaro al día siguiete a su destio. a) Co ua sigificació del 1%, se puede aceptar la afirmació de la empresa? b) Se cocluiría lo mismo co u ivel de sigificació del 8%? H0 : p a) = ; pˆ = = 0, 61; = 0, 01; z0,01 =.33 H1 : p< 0.7 p0( 1 p0) Regió de rechazo: pˆ < p0 z = pˆ < = pˆ < Como p ˆ = 0.61 se acepta H 0, co u ivel de sigificació del 1%. p0( 1 p0) b) Regió de rechazo: pˆ < p0 z = pˆ < = { pˆ < 0.635} Como p ˆ = 0.61 se rechaza H 0, co u ivel de sigificació del 8%. { }.- Ua ueva compañía telefóica desea estimar el úmero de viviedas de la ciudad que cotraría su servicio. Ua vez realizada ua ecuesta e 400 viviedas, la empresa se ecotró co que e 140 viviedas si cotrataría su servicio. a) E qué itervalo se ecuetra la proporció de viviedas de la ciudad que cotrataría su servicio co ua cofiaza del 97%? b) Qué tamaño muestral sería ecesario para estimar la proporció de viviedas que cotrataría su servicio, co u error meor del % y co ua cofiaza del 95%? 140 a) = 400; pˆ = = 0,35; = 0, 03; = 0, 015; z0,015 = ˆ( 1 ˆ) ˆ( 1 ˆ) ˆ p p, ˆ p p z p z p + = 0.35( ) 0.35( ) = 0,35.17, 0, = = 0.35 ± = 0.98, [ ] [ ] La proporció de viviedas de la ciudad que cotrataría su servicio es u valor del itervalo [ 0.98, ] co ua cofiaza del 97%. b) ( ˆ) ˆ E < z < p p < > 1 / p p 0.0 z ˆ( 1 ˆ ) Se ecesitaría ecuestar al meos a 185 viviedas para estimar la proporció de viviedas que cotrataría el servicio co u error meor del % co ua cofiaza del 95%.

5 3.- Tras u estudio realizado para 5 estudiates uiversitarios, se cocluyó, co u ivel de cofiaza del 95%, que la media de horas a la semaa dedicadas al estudio era u valor del itervalo [ 3,40 ]. a) Cuál es la media muestral de horas a la semaa dedicadas al estudio? b) Cuál sería el correspodiete itervalo de cofiaza al 99%? c) Si se reduce a la mitad la amplitud del itervalo (es decir, [ 34,38 ] ), qué ivel de cofiaza tedremos e este itervalo? a) La media muestral es el puto medio del itervalo de cofiaza por tato X = 36. b) El extremo iferior del itervalo de cofiaza al 95% tiee la expresió: σ σ 5 x z = = 3 σ = 4 σ = Co lo cual, el itervalo de cofiaza al 99% será: σ σ x z, x + z = 36.57, = [36 ± 5.4] = [ 30.76, 41.4 ] 5 5 c) El extremo iferior del itervalo de cofiaza tiee la expresió: σ 10. x z = z = 34 z = 5 z = 0.98 = = = Tedríamos u 67.3% de cofiaza de que la media de horas a la semaa dedicadas al estudio e el itervalo [34,38] 4.- U taller artesaal está especializado e la producció de cierto tipo de juguetes. Los costes de fabricació, C x e euros, está relacioados co el úmero de juguetes fabricados, x, a través de la expresió: C x = 10x 1850x El precio de veta de cada juguete es de 50. a) Platear la fució de igresos que obtiee el taller co la veta de los juguetes producidos. b) Platear la fució de beeficios, etedidos como diferecia etre igresos y costes de fabricació. c) Cuátos juguetes debe fabricar para maximizar beeficios? A cuáto ascederá estos beeficios? a) I ( x) = 50x b) Bx = Ix Cx = 50x 10x x 5000 = 10x x 5000 c) B'( x) 0x 1900; B'( x) 0; 0x x 95 B '' 95 = 0 < 0, e x = 95 = + = + = =. Como hay u máximo. Los beeficios máximos so B (95) = = U servicio técico tiee e su cartera de clietes tato a empresas como a particulares. Para el presete año ha de coseguir como clietes al meos a 0 empresas y a u úmero de clietes particulares que, como míimo debe ser el doble que el úmero de empresas. Además tiee u límite global de 90 clietes auales. Si cada empresa le produce 80 de igresos auales y cada particular 170 auales:

6 a) Platear el problema que maximiza los igresos auales y represetar gráficamete el cojuto de solucioes posibles. b) Qué solució le proporcioaría los mayores igresos auales? A cuáto ascedería dichos igresos? a) Max 80x + 170y sa. : x+ y 90 x+ y 0 x 0 y 0 b) f (0, 40) = 1400 f (0, 70) = f (30, 60) = 18600