Práctica 1: Transformada de Fourier virtual a distancia finita

Transcripción

1 Práctica 1: Transformada de Fourier virtual a distancia finita 1.1 Objetivo El objetivo de esta ráctica es la observación y estudio de la transformada de Fourier de diversas redes de difracción y, en articular, los diferentes factores que influyen sobre su escala. Esto se alicará a la determinación, con recisión, de la osición de la fuente, se tenga o no acceso físico a ella. 1.2 aterial necesario Banco de ótica de 0,5metros. Diodo láser ( 650 nm) sobre ie deslizador. Lente focalizadora de distancia focal f F =5mm, sobre ie deslizador. Dos redes de difracción unidimensionales de frecuencias esaciales N 4 y 8mm 1, resectivamente. Juego de filtros grises. Soorte giratorio ara redes y filtros, sobre ie deslizador con nonio. Cámara digital con objetivo sobre ie deslizador con deslazamiento lateral. Ordenador ersonal con tarjeta de adquisición de imágenes. onitor auxiliar. Pantalla oaca sobre ie deslizador. 1.3 Introducción teórica Consideremos un sistema ótico como el reresentado en la Fig. 1.1, en el que una fuente untual monocromática, de longitud de onda, ilumina un objeto de transmitancia en alitud t(x) situado a una distancia z de la fuente. Utilizando la fórmula de la difracción de Fresnel-Kirchho, µ Z µ µ U R (x) = eikr ik ik 1 i R ex 2R x2 t(x 0 )ex R 2 z + 1 µ x 02 ex i 2 R R x x0 d 2 x 0, (1.1) 2 es osible calcular los atrones de difracción del objeto en un lano arbitrario situado a una distancia R de él. Es inmadiato comrobar que el atrón de difracción de Fraunhofer, que se localiza en el lano transversal que contiene a la fuente, es decir, en R = z, es roorcional a una versión escalada de la transformada de Fourier de la transmitancia del objeto: Z U F (x) =U z (x) t(x 0 )ex R 2 ³ +i2 x 0 x ³ x d 2 x 0 = et, (1.2) 1

2 Diodo láser Lente focalizadora Transarencia objeto Fresnel Cámara. untual z R d Figura 1.1: Esquema del disositivo exerimental. donde = z es el factor de escala. De este modo, la reartición de intensidades sobre el lano de la fuente viene dada or la exresión ³ I F (x) = U F (x) 2 x 2 et. (1.3) Fijémonos en que si la fuente fuese virtual (z <0; véase la Fig. 1.2b), al ser la transformada de Fourier real, ésta odría observarse directamente royectándola sobre una antalla. Por contra, en nuestro caso, como la fuente es real resecto al objeto (z >0; Fig. 1.2a), la transformada resulta ser virtual y, or tanto, deberá observarse con la ayuda de un microscoio de distancia de enfoque d suficientemente grande. Sin embargo, si tenemos en cuenta también la comlejidad de los sistemas de iluminación necesarios en cada una de las dos osibles configuraciones, concluiremos que la oción rouesta en la Fig. 1.1 es, exerimentalmente, más conveniente. De todas formas, en ambas configuraciones la transformada de Fourier se localiza en un lano transversal a distancia finita (R = z) del objeto, el que contiene a la fuente. Transarencia Transarencia untual untual Fraunhofer. a) z b) z Fraunhofer Figura 1.2: Posibles configuraciones con fuente real (a) y virtual (b), resecto al objeto difractante, que roorcionan, resectivamente, una transformada de Fourier virtual (a) y real (b). En el caso de que el objeto sea una red de difracción unidimensional de eriodo, su transmitancia odrá desarrollarse en serie de Fourier, t(x) = c n ex(i2 n x), (1.4) y, or tanto, su transformada de Fourier estará constituida or una serie de deltas de Dirac equidistantes, et(u) = c n (u n,v). (1.5) Esto imlica que la distribución de intensidades del atrón de Fraunhofer vendrá dada (Ec. 1.3) or otra serie de deltas de Dirac, también equidistantes, I F (x) c n 2 (x + n z, y) ; (1.6) es decir, la searación entre los órdenes de difracción en el atrón de Fraunhofer será constante e igual a donde N =1/ es la frecuencia esacial de la red. = zn, (1.7) 2

3 Si, or contra, el objeto es una red bidimensional de eriodos x y y a lo largo de los ejes X e Y, resectivamente, y siguiendo los mismos asos que ara la red unidimensional, su atrón de intensidad enellanodelafuentevendrádadoor I F (x) n,m= c n,m 2 (x + n x z,y + m y z) ; (1.8) es decir, estará formada or una distribución rectangular de untos luminosos searados entre ellos unas distancias x = zn x, a lo largo del eje X, y y = zn y, a lo largo del eje Y. Podemos darnos cuenta de que si la red la formamos sueroniendo erendicularmente dos redes unidimensionales, t 1 (x) y t 2 (x), deeriodos 1 y 2, resectivamente, I F (x) no será más que la convolución de los atrones de Fraunhofer convenientemente orientados de cada una de las dos redes unidimensionales: I F (x) =I (1)F (x) I (2)F (x), (1.9) de esaciados 1 = zn 1 y 2 = zn 2, resectivamente. 1.4 Procedimiento exerimental Aunque en la realización de esta ráctica no resulta esecialmente crítico en comaración con otras de este mismo laboratorio el alineamiento de los diferentes elementos, se recomienda no tocar en absoluto el diodo láser ni la lente focalizadora, así como tamoco variar la altura del resto de los elementos. Para ejecutar los asos indicados más adelante bastará con deslazar a lo largo del banco, cuando sea necesario, los ies de la cámara o del soorte en el que se colocarán las redes de difracción y los filtros grises. Al rinciio también será necesario deslazar transversalmente la cámara utilizando el tornillo micrométrico de que disone ese ie deslizador. La realización de la ráctica está estructurada en las siguientes fases: a) edida del eriodo de las redes: En esta rimera fase se retenden caracterizar las dos redes de difracción de que se disone y el sistema formado or la cámara y el ordenador. Para ello se colocan en el soorte giratorio una de las redes y los filtros grises, y se sitúa entre la fuente untual y la cámara. A continuación, se deslaza longitudinalmente la cámara con mucho cuidado hasta ver enfocada la imágen de la red en la antalla (lo que corresonde al caso R =0en la Fig. 1.1) y se alinea verticalmente la red girando el soorte en el lano transversal al eje del montaje, claro. Una vez hecho esto, se rocede a medir el eriodo de la red, (en mm), deslazando transversalmente la cámara. (Tras comrobar que, efectivamente, éste es constante, se uede reducir el error relativo midiendo varios eriodos; or ejemlo, 5.) 1 Por último, ara determinar el aumento lateral del sistema cámara-ordenador, 0,semideeleriodo de la red en el esacio de la antalla, b = 0 (en untos, ixels), con la ayuda de las flechas del teclado del ordenador manteniendo fija la cámara (alicando las mismas consideraciones y comrobaciones al esaciado entre órdenes que se ha hecho antes con el eriodo de la red). Esta fase se ha de reetir ara la segunda red. b) Obtención de la transformada de Fourier virtual a distancia finita: Para ello, tras quitar la red del soorte ero manteniendo los filtros, se deslaza nuevamente la cámara a lo largo del banco hasta enfocar el lano de la fuente (R = z en la Fig. 1.1). Una vez hecho esto, no deberá moverse más la cámara en el resto de la ráctica. Pues bien, basta con volver a colocar una de las redes en el soorte ara ver en la antalla su transformada de Fourier. Además, deslazando longitudinalmente el soorte de la red se uede comrobar cualitativamente la deendencia de la searación entre los órdenes de difracción,, con la distancia desde la fuente a la transarencia, z (Ec. 1.7). c) Realización de medidas comlementarias: Antes de realizar la fase rincial de la ráctica, es conveniente efectuar una serie de comrobaciones y medidas comlementarias. En todo este aartado debe mantenerse fija la distancia entre la fuente y la red, z. c.1) Comrobación de la deendencia lineal del esaciado entre órdenes de difracción con la frecuencia de la red: Para comrobar la deendencia de con N (Ec. 1.7), tras medir el esaciado entre órdenes de 1 La medida del eriodo,, de las redes se hará en otro montaje que se encuentra rearado al efecto en el laboratorio. 3

4 difracción en el esacio de la antalla, ara las dos redes, b a = 0 a,cona =1, 2, severificará que se satisface la relación b 1 b 2 = N 1 N 2. (1.10) c.2) Determinación del osible anamorfismo del sistema cámara-ordenador: En el subaartado siguiente se va a analizar el atrón de Fraunhofer de un objeto bidimensional; ara ello es necesario estudiar reviamente el osible anamorfismo del sistema de medida y, en su caso, roceder a su caracterización. Con esa idea se ha de medir la searación entre órdenes de difracción de una de las redes con sus líneas orientadas, rimero, verticalmente y, desués, horizontalmente y, con ello, calcular el aumento anamórfico del sistema 0 x 0 y = b x b y, donde b =, 0 con = x, y, es el esaciado entre órdenes de difracción en la antalla ara cada una de las dos orientaciones. c.3) Obtención del atrón de Fraunhofer de una red bidimensional rectangular: Utilizando las dos redes unidimensionales de que disonemos odemos formar una red bidimensional rectangular sueroniéndolas con sus líneas erendiculares unas resecto de las otras. Como se adelantó en la introducción, el atrón de Fraunhofer que se observa es la convolución de los atrones de Fraunhofer de las dos redes unidimensionales, habiendo girado 90 o uno de ellos resecto al otro; es decir, una distribución rectangular de untos luminosos. Para comrobar cómo actúan simultáneamente el hecho de no ser la red cuadrada yelanamorfismo del sistema de medida, se verificará que se satisface la relación b 0 x b 0 y = 0 xn 1 0 yn 2 (1.11) suoniendo que la red 1 tiene sus rayas verticales y la 2, horizontales. d) Determinación de la osición de la fuente untual: Arovechando las roiedades de escalado de la transformada de Fourier virtual a distancia finita se va a oder determinar con recisión la osición de la fuente untual del sistema, se tenga o no acceso físico a la misma. Para ello se situará una de las redes de difracción en el soorte con sus rayas verticales y se medirá la searación entre órdenes de difracción en el esacio de la antalla, b, ara diferentes valores de z alrededor de un valor arbitrario ero fijo, z 0 (realizando, or ejemlo, 3 medidas no consecutivas de b en 7 osiciones de z = z 0 + ).Losuntosasí obtenidos deben de estar distribuidos a lo largo de una recta cuando se reresenta b frente a (Ec. 1.7), b 0 ( ) =A + B, (1.12) donde A = 0 N y B = 0 z 0 N. El ajuste de esos untos a una recta or míninos cuadrados ermitirá calcular z 0 = B A, (1.13) de donde se concluirá que la fuente untual se localiza a una distancia R = z 0 resecto a la osición de referencia de la red. Para oder determinar la recisión de la técnica utilizada, y la ericia de los exerimentadores en su ejecución, esta magnitud debe calcularse con su error. e) Estimación de la longitud de onda de la fuente luminosa: Por último, con las magnitudes medidas o calculadas a lo largo de la ráctica, se ha de determinar la longitud de onda de la fuente luminosa utilizada. Anexo: Sistema de adquisición de imágenes El sistema de adquisición de imágenes a utilizar en esta ráctica consta de una cámara que digitaliza las imágenes que forma sobre su matriz de células el objetivo, y las envía continuamente a una tarjeta de adquisición de datos instalada dentro de un ordenador ersonal que, a su vez, las reenvía a un monitor auxiliar. 4

5 La arte central del sistema, la tarjeta de adquisición, se controla mediante el rograma di instalado en el ordenador. Este rograma ermite, entre múltiles osibilidades, congelar o no la imagen reresentada en el monitor auxiliar, o roorcionar datos de un unto de la imagen en el monitor rincial. Al emezar a ejecutar el rograma, aarece en antalla un menú que ofrece diferentes ociones; éstas se seleccionan ulsando las teclas h1i, h2i,..., y activan diferentes funciones o dan acceso a nuevos menús. Para salir de cualquier menú se ha de ulsar la tecla hesci. Las funciones de interés ara esta ráctica son las siguientes: h1i ( arámetros y cámara ) h1i ( arámetros de tarjeta ) h1i ( sincronía [ interna externa ] ): Actúa como un conmutador. Ha de seleccionarse sincronía externa, que es la roorcionada or la cámara, y debe hacerse esto nada más emezar a utilizar el rograma. h1i ( arámetros y cámara ) h2i ( toma de imágenes ) h1i ( grabado continuo [ ON OFF ] ): Actúa como un conmutador. Permite congelar la imagen reresentada en el monitor auxiliar, grabado continuo OFF, o actualizarla constantemente,...on. Para oder enfocar, alinear o, simlemente, ara adquirir una nueva imagen debe estar en grabado continuo ON ; ara medir la intensidad de una serie de untos o leer sus coordenadas es referible que esté en...off. hf2i: No es una oción incluida en ningún menú, si no una función que se activa ulsando la tecla hf2i. Permite obtener las coordenadas de uno o más untos en la imagen, así como sus intensidades. Al activarla aarece, en el monitor auxiliar, un cursor en forma de cruz y, en el monitor rincial, las coordenadas de la osición de la cruz y la intensidad del unto en el que está centrada. El cursor uede deslazarse mediante las flechas del teclado o el ratón. El número que indica la intensidad es creciente con ésta si grabado continuo... estáen OFF, y decreciente si está en ON. Para salir de esta función ha de ulsarse la tecla henteri. h3i ( estadística ) h2i ( erfiles ): Permite reresentar en el monitor auxiliar la distribución de intensidad de la imagen a lo largo de una recta. Es muy útil en esta ráctica ara alinear vertical u horizontalmente, con recisión, la imagen de una red o de su atrón de Fraunhofer. Al activar esta función aarece en las antallas el mismo cursor e información que al ulsar la tecla hf2i. Ha de situarse el cursor sobre un unto or el que haya de asar la recta de la cual se desea reresentar su distribución de intensidades, y ulsar henteri; elegir, entonces, la orientación de la línea ulsando h1i o h2i (horizontal o vertical), y, a continuación, la tecla h1i, ara que la imagen se refresque continuamente. En este momento es cuando se uede girar la red o mover lo que sea menester en el banco, viéndose, a la vez, en el monitor auxiliar el efecto de esos cambios. Para salir de esta función, rimero, se ulsa henteri y, desués, ara indicar que no hay que guardar ningún fichero, las teclas hni y hesci. 5