PÁGINA 84 AB = ( 2, 7) (1, 1) = ( 3, 6) 8 AB = ( 3) = = 45 = CD = (3, 6) (6, 0) = ( 3, 6) 8 = 45 = 3 5

Transcripción

1 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 4 1 Representa los vectores AB y CD, siendo A(1, 1), B(, 7), C(6, 0), D(3, 6) y observa que son iguales. Comprueba que AB = CD hallando sus coordenadas. Calcula su módulo. B(, 7) 7 D(3, 6) A(1, 1) 3 C(6, 0) AB = (, 7) (1, 1) = ( 3, 6) AB = ( 3) + 6 = = 45 = 3 5 CD = (3, 6) (6, 0) = ( 3, 6) CD = AB = 45 = 3 5 Tenemos tres puntos de coordenadas: A(3, 1), B(4, 6), C(0, 0) Halla las coordenadas del punto D para que los vectores Llamamos (a, b) a las coordenadas del punto D. AB = (4, 6) (3, 1) = (1, 7) CD = (a, b) (0, 0) = (a, b) Como AB = CD (1, 7) = (a, b) Las coordenadas del punto D son (1, 7). AB y CD sean iguales. Unidad. Geometría analítica

2 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 5 Entrénate 1 a) Representa los vectores u = AB, v = BC, siendo A(1, 3), B(4, 5), C(6, ). Halla sus coordenadas. b) Representa u + v y halla sus coordenadas. c) Representa 3 u, u y 0 v y halla sus coordenadas. d) Representa y halla las coordenadas del vector 3 u 4 v. a) u = AB = (4, 5) (1, 3) = (3, ) v = BC = (6, ) (4, 5) = (, 7) b) u (3, ) v (, 7) u + v = (3, ) + (, 7) = (5, 5) A(1, 3) u u + v B(4, 5) v C(6, ) c) 3 u = 3(3, ) = (9, 6) u = (3, ) = ( 6, 4) 0 u = (0, 0) u 0 v u 3u d) 3 u 4 v = 3(3, ) 4(, 7) = (9, 6) (, ) = (1, 34) 4v 3u 4v u 3u Unidad. Geometría analítica

3 Soluciones a las actividades de cada epígrafe Representa y halla las coordenadas de los vectores: w = u + v, p = u v y siendo u(3, 1) y v ( 4, ). w = u + v = (3, 1) + ( 4, ) = (6, ) + ( 4, ) = (, 0) p = u v = (3, 1) ( 4, ) = (7, 3) q = u + 1 v, q = u + 1 v = (3, 1) + 1 ( 4, ) = ( 3, 1) + (, 1) = ( 5, ) Pág. Unidad. Geometría analítica

4 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 6 1 Halla las coordenadas del punto medio de los siguientes segmentos: a) A(, 5), B(4, 1) b) P(7, 3), Q( 5, 1) c) R(1, 4), S(7, ) d) A( 3, 5), B(4, 0) a) M = ( + 4, ) = (1, 3) b) M = ( 7 5, ) = (1, 1) c) M = ( 1 + 7, 4 + ) = (4, 3) d) M = ( 3 + 4, ) = ( 1, 5 ) Si conocemos el punto medio del segmento AB, M(4, 4), y uno de los extremos es A(7, ), cuáles son las coordenadas de B? Si B(x, y): (4, 4) = ( 7 + x, + y ) B = (1, 6) 4 = 7 + x 4 = + y x = 1 y = 6 3 Halla las coordenadas del punto simétrico de A respecto de P en los siguientes casos: a) A(4, 1), P( 7, ) b) A(, 4), P(5, 1) a) Llamamos A'(x, y) al punto simétrico de A respecto de P. El punto P será el punto medio del segmento de extremos A y A'. 7 = 4 + x = 1 + y b) A'(x, y) 5 = + x 1 = 4 + y 14 = 4 + x x = 1 4 = 1 + y y = 5 10 = + x x = = 4 + y y = 6 Las coordenadas de A' son ( 1, 5). Las coordenadas de A' son (, 6). 4 Comprueba si R (, 7), S (5, 1) y T (15, 5) están alineados. Ä RS = (5, 1 7) = (3, ) Ä ST = (15 5, 5 + 1) = (10, 4) Los tres puntos, R, S y T, no están alineados. 3 10? 4 Ä RS no es paralelo a Ä RT. Unidad. Geometría analítica

5 Soluciones a las actividades de cada epígrafe 5 Averigua el valor de a para que los puntos R (, 7), S (5, 1) y Q (a, 5) estén alineados. Ä RS = (3, ) Ä SQ = (a 5, 4) 3 a 5 = 4 3 a 5 = 1 3 Para que R, S y Q estén alineados, se ha de cumplir que: a 5 = 9 Luego, a = 14. Pág. Unidad. Geometría analítica

6 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 7 1 Halla la ecuación de la recta que pasa por: a) A(1, 3), B(5, 5) b) A(1, 6), B(, ) a) Un vector dirección es AB(4, Ä ); otro vector dirección es d(, 1) la pendiente es: m = 1 La ecuación es y 3 = 1 (x 1) y = 1 x 5 b) Ä AB(7, ) es un vector dirección m = 7 La ecuación será y 6 = 7 (x 1) y = 7 x Halla la ecuación de la recta que pasa por (7, 5) y tiene por vector dirección (7, 4). d(7, 4) la pendiente es: m = 4 7 La ecuación es: y + 5 = 4 7 (x 7) y = 4 7 x 1 3 Halla la recta paralela a 5x 6y + 14 = 0 que pasa por (0, 3). La pendiente de la recta 5x 6y + 14 = 0 es el coeficiente de la x cuando la y está despejada: y = 5 6 x m = 5 6 Por ser la recta pedida paralela a 5x 6y + 14 = 0, la pendiente es la misma: m = 5 6 Así: y = x 4 Halla la recta paralela a 5y 10 = 0 que pasa por (, 4). La recta 5y 10 = 0 es una recta paralela al eje X, luego m = 0. La recta que pasa por (, 4) y tiene pendiente m = 0 es y = 4. Unidad. Geometría analítica

7 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 5 Da tres vectores perpendiculares a ( 6, 1). Tres vectores perpendiculares a ( 6, 1) son: (1, 6), (, 1) y (3, 1) 6 Halla la ecuación de la recta que pasa por P (, 5) y es perpendicular al vector v(5, 7). El vector ( 7, 5) es perpendicular a v y, por tanto, es un vector dirección de la recta buscada: m = 5 7 y = (x ) y = 5 7 x La recta r pasa por (3, 0), y la recta s, por ( 5, 3). Ambas son perpendiculares a 4x + y 7 = 0. Halla sus ecuaciones. Pendiente de la recta 4x + y 7 = 0: y = x + 7 m 1 = Pendiente de r = pendiente de s m = 1 m 1 = 1 Ecuación de r : y = 1 (x 3) y = 1 x 3 Ecuación de s : y = (x + 5) y = 1 x + 11 Unidad. Geometría analítica

8 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 9 1 Representa r y s y da tres vectores paralelos y tres perpendiculares a ellas: r : 5x 7 = 0 s : 3 + 4y = 0 r: 5x 7 = 0 x = 7 5 Vectores paralelos: (0, 1), (0, ), (0, ) r Vectores perpendiculares: (1, 0), (, 0), (, 0) s: 3 + 4y = 0 y = 3 4 Vectores paralelos: (1, 0), ( 1, 0), (, 0) Vectores perpendiculares: (0, 1), (0, 1), (0, ) s Las rectas r y s pasan por el punto (5, 3). r es paralela a 5y + 17 = 0, y s es perpendicular a ella. Representa r y s y da sus ecuaciones. Representamos la recta 5y + 17 = 0 y = 17 5 y a partir de ella, representamos r y s. r es una recta paralela a y = 17 5 que pasa por (5, 3). Y s Su ecuación es y = 3. s es una recta perpendicular a y = 17 (paralela al 5 eje Y ) que pasa por (5, 3). Su ecuación es x = X r y = 17 5 Unidad. Geometría analítica

9 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 90 1 Di la posición relativa de los siguientes pares de rectas: a) r : x + y 14 = 0, s: 5x y 0 = 0 b) r : 3x y 14 = 0, s : pasa por (1, ) y por (10, 1). c) r : pasa por ( 1, 4) y (7, ), s : 3x + 4y = 0 d) r : pasa por (, 1) y (, ), s : su pendiente es 1 y pasa por (0, ). a) r: x + y 14 = 0 s: 5x y 0 = 0 4x + y 7 = 0 5x y 0 = 0 9x 7 = 0 x = y 7 = 0 y = 5 Las rectas r y s se cortan en el punto (3, 5). b) Veamos cuál es la ecuación de s: Un vector dirección de s es (9, 3)//(3, 1). Su pendiente es, por tanto, m = 1 3. s : y = (x 1) y = 1 3 x 7 3 x 3y 7 = 0 Resolvemos el sistema: r: 3x y 14 = 0 s: x 3y 7 = 0 3x y 14 = 0 3x + 9y + 1 = 0 7y + 7 = 0 y = 1 3x ( 1) 14 = 0 3x 1 = 0 x = 4 Las rectas r y s se cortan en el punto (4, 1). c) Buscamos la ecuación de r: Un vector dirección es (, 6)//(4, 3). Su pendiente es, por tanto, m = 3 4. r : y = (x + 1) y = 3 4 x Resolvemos el sistema: r: 3x + 4y 13 = 0 s: 3x + 4y = 0 3x + 4y 13 = 0 3x 4y = 0 3x + 4y 13 = 0 13 = 0 Contradicción. Las rectas r y s no tienen ningún punto en común. Son paralelas, ya que tienen la misma pendiente, 3/4, pero distinta ordenada en el origen, 13/4 y 0. d) Ecuación de r: Un vector dirección es (6, 3)//(, 1). Su pendiente es m = 1. r : y = (x ) y = 1 x x y 4 = 0 Ecuación de s: y = 1 x y = x 4 x y 4 = 0 r y s son la misma recta. Unidad. Geometría analítica

10 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 91 1 Halla la distancia entre A y B. a) A( 7, 4), B(6, 4) b) A(3, 4), B(3, 9) c) A( 5, 11), B(0, 1) d) A(4, 6), B(7, 4) a) dist (A, B) = AB = (6 + 7) + (4 4) = 13 b) dist(a, B) = AB = (3 3) + (9 4) = 5 c) dist(a, B) = AB = (0 + 5) + ( 1 11) = = 13 d) dist(a, B) = AB = (7 4) + (4 + 6) = ,4 Aplica el teorema de Pitágoras para comprobar que el triángulo de vértices A(, 3), B(3, 1) y C(5, 6) es rectángulo. Es también isósceles? AB = (3 + ) + (1 3) = 5 + ( ) = 9 BC = (5 3) + (6 1) = + 5 = 9 AC = (5 + ) + (6 3) = = 5 AB + BC = = 5 AC AB + BC = AC = 5 El triángulo es rectángulo, por verificar el teorema de Pitágoras, e isosceles. Unidad. Geometría analítica

11 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGINA 9 Practica Vectores y puntos 1 Dados los puntos A(, 0), B(0, 4), C(5, ) y D(3, 4) halla las coordenadas de los vectores AB, BC, CD, DA, AC y BD. Ä AB = (0, 4) (, 0) = (, 4) Ä BC = (5, ) (0, 4) = (5, ) Ä CD = (3, 4) (5, ) = (, 6) Ä DA = (, 0) (3, 4) = ( 5, 4) Ä AC = (5, ) (, 0) = (7, ) Ä BD = (3, 4) (0, 4) = (3, ) Con origen en el punto A(3, 3), dibuja los vectores AB( 3, ), AD(1/, 4). Cuáles serán las coordenadas de los puntos B, C y D? AC(5, 1) y 0 B 3 3 C A D Ä AB = B A B = ( 3, ) + (3, 3) = (0, 1) C = (5, 1) + (3, 3) = (, ) D = ( 1, 4 ) + (3, 3) = ( 7, 7 ) 3 a) Di cuáles son las coordenadas de los vectores u y v. b) Dibuja los vectores u + v y u v y di cuáles son sus coordenadas. a) u(4, ); v(0, 3) b) u + v u v u u v v u + v = (4, ) + (0, 3) = (4, 1) u v = (4, ) (0, 3) = (4, 5) u v 4 Dados los vectores u(4, ) y v(, 1): a) Representa los vectores u + v; u v; 1 u y 3 v y halla sus coordenadas. b) Calcula las coordenadas de este vector: w = u + 3 v a) u(4, ) v(, 1) u + v = (4, ) + (, 1) = (, 3) u v = (4, ) (, 1) = (6, 1) 1 u = 1 (4, ) = (, 1) 3 v = 3(, 1) = (6, 3) b) w = u + 3 v = (4, ) + 3(, 1) = (, 7) 1 u u + v 3v u v u v v Unidad. Geometría analítica

12 Soluciones a Ejercicios y problemas 5 a) Representa los puntos A( 3, 0), B(0, 4), C(4, 4) y D(1, 0) y halla el punto medio de AC y de BD. b) Halla las coordenadas de AB y DC y comprueba que son las mismas. a) B C A M AC M BD D M AC = ( 3 + 4, ) = ( 1, ) M BD = ( 0 + 1, ) = ( 1, ) Pág. Ä AB(0 + 3, 4) = (3, 4) b) Ä DC(4 1, 4 0) = (3, 4) Coinciden. 6 Calcula las coordenadas de los puntos medios de los lados y de las diagonales del cuadrilátero ABCD. A(4, 6), B(, 3), C( 4, 4), D(5, ) M AB = ( + 4, ) = ( 1, 9 ) M BC = ( 4, 3 4 ) = ( 3, 1 ) M CD = ( 4 + 5, 4 ) = ( 1, 3 ) M AD = ( 5 + 4, 6 ) = ( 9, ) M AC = ( 4 4, 6 4 ) = (0, 1) M BD = ( + 5 C B, 3 ) = ( 3, 1 ) A D 7 Si M( 3, 5) es el punto medio del segmento AB, halla el punto B en cada uno de los siguientes casos: a) A( 1, 5) b) A(6, 4) c) A( 4, 7) a) ( 1 + x, 5 + y ) = ( 3, 5) x = 5; y = 5 B( 5, 5) b) ( 6 + x, 4 + y ) = ( 3, 5) x = 1; y = 14 B( 1, 14) c) ( 4 + x, 7 + y ) = ( 3, 5) x = ; y = 17 B(, 17) Halla, en cada caso, el punto simétrico de A( 3, 5) respecto de: a) P(, 0) b) Q(, 3) c) O(0, 0) A'(x, y) es el punto buscado. a) P(, 0) es el punto medio del segmento de extremos A y A': ( x 3, y 5 ) = (, 0) Luego: A'( 1, 5) x 3 y 5 = x 3 = 4 x = 1 = 0 y = 5 Unidad. Geometría analítica

13 Soluciones a Ejercicios y problemas b) Q(, 3) x 3 = x 3 = 4 x = 7 A' (7, 1) y 5 = 3 y 5 = 6 y = 1 c) O(0, 0) x 3 = 0 x 3 = 0 x = 3 A' (3, 5) y 5 = 0 y 5 = 0 y = 5 Pág. 3 Rectas 9 Escribe la ecuación de las siguientes rectas: a) Pasa por ( 4, ) y su pendiente es 1. b) Pasa por (1, 3) y su pendiente es. c) Pasa por (5, 1) y su pendiente es 0. a) y = + 1 (x + 4) y = 1 x + 4 b) y = 3 (x 1) x + 5 c) y = 1 10 Da, en cada caso, un vector dirección, la pendiente y la ecuación de la recta que pasa por A y B: a) A( 1, 0), B(0, 3) b) A(0, ), B(5, ) c) A(, 3), B(4, 1) a) v = (0, 3) ( 1, 0) = (1, 3); m = 3 1 = 3; y = 3(x + 1) b) v = (5, 0); m = 0 5 = 0; y = c) v = (6, 4); m = 4 6 = 3 ; y = 3 (x + ) 3 11 Halla, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por P ( 4, 3) y tiene por vector dirección d: a) d(, 1) b) d( 1, 3) c) d(, 0) a) m = 1 y = 3 1 (x + 4) x + y = 0 b) m = 3 1 = 3 y = 3 + 3(x + 4) 3x y + 15 = 0 c) m = 0 = 0 y = 3 + 0(x + 4) y = 3 1 Halla la ecuación de las siguientes rectas: a) Paralela a y = x + 3 y pasa por (4, 5). b) Paralela a x 4y + 3 = 0 y pasa por (4, 0). c) Paralela a 3x + y 6 = 0 y pasa por (0, 3). a) m = ; y = 5 (x 4) Unidad. Geometría analítica

14 Soluciones a Ejercicios y problemas b) m = 1 ; y = (x 4) y = 1 (x 4) Pág. 4 c) m = 3 ; y = 3 3 (x 0) y = 3 3 x 13 Escribe, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por P (3, ) y es perpendicular al vector v: a) v(, 1) b) v( 5, 4) c) v( 1, 0) a) v' = ( 1, ); m = ; y = (x 3) x + y 4 = 0 b) v' = (4, 5); m = 5 4 ; y = + 5 (x 3) 5x 4y 3 = 0 4 c) v' = (0, 1); no tiene pendiente; ecuación: x = 3 14 Escribe la ecuación de la recta perpendicular a r y que pasa por el punto P en los siguientes casos: a) r: y = x + 3; P( 3, ) b) r: 3x y + 1 = 0; P(4, 1) c) r: x = 3; P(0, 4) a) m = 1 ; y = + 1 (x + 3) b) m = 3 ; y = 1 (x 4) c) y = Halla el punto de intersección de las rectas r y s en los casos siguientes: a) r: 3x 5y + 17 = 0 s: 7x + 3y 63 = 0 a) 3x 5y = 17 7x + 3y = 63 9x 15y = 51 35x + 15y = x = 64 x = y = 63 3y = 1 y = 7 r y s se cortan en el punto P(6, 7). 3x y + 9 = 0 b) x y + 5 = 0 3x y + 9 = 0 x + y 5 = 0 b) r: 3x y + 9 = 0 s: x y + 5 = 0 x + 4 = 0 x = 3 ( ) y + 9 = 0 6 y + 9 = 0 y = 3 y = 3/ r y s se cortan en el punto Q (, 3 ). 16 Representa las rectas 3x + 6 = 0 y y 5 = 0 y halla su punto de intersección. 3x + 6 = 0 x = recta paralela al eje Y y 5 = 0 y = 5 Punto de intersección: (, 5 ) recta paralela al eje X y = 5 x = Unidad. Geometría analítica

15 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGINA 93 Distancias 17 Calcula la distancia entre P y Q: a) P (3, 5), Q (3, 7) b) P (, 3), Q ( 6, 1) c) P (0, 3), Q ( 5, 1) d) P ( 3, 0), Q (15, 0) a) dist (P, Q) = Ä PQ = (3 3) + ( 7 5) = 1 = 1 b) dist (P, Q) = ( 6 + ) + (1 3) = = = c) dist (P, Q) = ( 5) + (1 + 3) = = 41 d) dist (P, Q) = (15 + 3) = 1 = 1 1 a) Halla el punto medio del segmento de extremos A(, 0), B(6, 4). b) Comprueba que la distancia del punto medio a cada uno de los extremos es la misma. a) Punto medio M = ( + 6, ) = (, ) b) dist (A, M) = AM Ä = ( + ) + = = 0 dist (B, M) = BM Ä = ( 6) + ( 4) = = 0 19 Comprueba que el triángulo de vértices A ( 1, 0), B(3, ), C (7, 4) es isósceles. Cuáles son los lados iguales? Un triángulo es isósceles cuando dos de sus lados miden lo mismo. Calculamos, pues, AB Ä, AC Ä y BC Ä : AB Ä = (3 + 1) + = = 0 AC Ä = (7 + 1) + 4 = = 0 BC Ä = (7 3) + (4 ) = = 0 El triángulo de vértices A, B y C es isósceles. AB Ä = BC Ä 0 Comprueba, mediante el teorema de Pitágoras, que el triángulo de vértices A(, 1), B(3, 1), C (1, 6) es rectángulo. A(, 1), B(3, 1), C(1, 6) AB Ä = 5 + = = 9 AC Ä = = = 5 BC Ä = ( ) + 5 = = 9 AB Ä + BC Ä + AC Ä por Pitágoras: ( 9) + ( 9) = ( 5) = 5 El triángulo de vértices A, B y C es rectángulo. Unidad. Geometría analítica

16 Soluciones a Ejercicios y problemas Aplica lo aprendido 1 Averigua el valor de k para que se cumpla: ( 6 5, ) = k( 3, 5) ( 6 5, ) = k( 3, 5) 6 5 = 3k = 5k k = 5 Pág. Dados los vectores u(3, ), v(x, 5) y w(, y), calcula x e y para que se verifique: u v = w. u v = w (3, ) (x, 5) = (, y) (6, 4) (x, 5) = (, y) (6 x, 1) = (, y) Luego: x =, y = 1 6 x = x = 1 = y 3 Dados los vectores u(5, 3), v(1, 3) y w(, 0), calcula el valor de m y n para que se verifique: u = m v + n w. u = m v + n w (5, 3) = m(1, 3) + n(, 0) 5 = m + n 3 = 3m m = 1 n = 3 4 Comprueba, en cada caso, que los puntos dados están alineados: a) A(1, ), B(4, 3), C(19, ) b) P(, 3), Q(, 0), R( 6, 1) a) y y 1 x x 1 = y 3 y x 3 x b) = = 1 Cierto = = 5 15 Cierto. 5 Calcula m para que los puntos R (5, ), S ( 1, 1) y T (, m) estén alineados. R(5, ), S( 1, 1) y T(, m) Ä RS = ( 1, 1) (5, ) = ( 6, 3) Ä ST = (, m) ( 1, 1) = (3, m 1) m + = 3 m = 1 m = = 3 m 1 (m 1) = 3 6 Comprueba si los puntos A(1, 15) y B( 43, 5) pertenecen a la recta x 3y + 7 = 0. A: = 0 A é r B: 43 3 ( 5) + 7? 0 B è r Unidad. Geometría analítica

17 Soluciones a Ejercicios y problemas 7 Escribe la ecuación de una recta perpendicular a r y que pase por (4, 3) en los siguientes casos: a) r : x + 7 = 0 b) r : y + 4 = 0 Pág. 3 a) x + 7 = 0 x = 7 es paralela al eje Y. Por tanto, la recta perpendicular a r es paralela al eje X y = k Como pasa por (4, 3), su ecuación es y = 3 y + 3 = 0 b) y + 4 = 0 y = 4 es paralela al eje X. Por tanto, la recta perpendicular a r es paralela al eje Y x = k Como pasa por (4, 3), su ecuación es x = 4 x 4 = 0 Estudia si las rectas r y s son paralelas o perpendiculares: r: 3x 5y + 15 = 0 s: pasa por (, 3) y (, 3). r : 3x 5y + 15 = 0 m = 3 s : v = (, 3 3) = ( 10, 6) m = Tienen la misma pendiente. Son paralelas. 9 Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas: a) r: x 5y + 3 = 0 s: P(3, 1), Q(, 3) b) r: 5x 4y + = 0 s: A(4, 7), B(0, ) a) s: P(3, 1), Q(, 3). Un vector dirección es ( 5, ) m = 5 y = 1 (x 3) 5y = 5 x + 6 x + 5y 11 = 0 5 r: x 5y + 3 = 0 s: x + 5y 11 = 0 4x = 0 x = 5y + 3 = 0 5y = 7 y = 7 5 r y s se cortan en el punto (, 7 5). b) s: A(4, 7), B(0, ). Un vector dirección es ( 4, 5) m = 5 4 y = (x 0) y = + 5 x 4y = + 5x 5x 4y + = 0 4 r y s son la misma recta. 30 Halla la ecuación de la recta perpendicular a AB en su punto medio, siendo A( 5, 3) y B(, 7). A( 5, 3), B(, 7). Vector dirección (7, 4) m = 4 7 ; m' = 7 4 M AB = ( 5 +, ) = ( 3, 5 ) y = 5 7 4( x + 3 ) y = x 1 y = 40 14x 1 14x + y 19 = 0 Unidad. Geometría analítica

18 Soluciones a Ejercicios y problemas 31 Comprueba que el cuadrilátero de vértices A(1, 5), B(5, 1), C( 4, 3) y D(, 1) es un paralelogramo. Para ello, prueba que los puntos medios de sus diagonales coinciden. D (, 1) C ( 4, 3) A (1, 5) B (5, 1) Punto medio de AC: M AC = ( 1 4, 5 3 ) = ( 3, 1 ) Punto medio de BD: M BD = ( 5, ) = ( 3, 1 ) Los puntos medios de las diagonales coinciden. Pág. 4 Unidad. Geometría analítica

19 Soluciones a la Autoevaluación PÁGINA 93 Sabes hallar el punto medio de un segmento y el simétrico de un punto respecto de otro? Y comprobar si tres puntos están alineados? 1 Representa los puntos A( 5, 0), B(0, ), C(3, 7) y D(, 5) y comprueba analíticamente que el punto medio de AC coincide con el punto medio de BD. A D M B C M AC = ( 3 5, 7 0 ) = ( 1; 3,5) M BD = ( + 0, 5 + ) = ( 1; 3,5) Punto medio de AC = punto medio de BD = ( 1; 3,5) Halla el simétrico de P ( 7, 15) respecto de M(, 0). Sea Q(a, b) el simétrico de P respecto de M. M es el punto medio de PQ. M PQ = ( 7 + a, 15 + b ) = (, 0) 7 + a = 4 a = b = 0 b = 15 3 Comprueba si los puntos A(1, 5), B (3, 0) y C (6, 6) están alineados. Ä AB = (, 5) Ä BC = (3, 6) Ä AB y Ä BC no son proporcionales, por lo que A, B y C no están alineados. Sabes calcular la distancia entre dos puntos? 4 Calcula la longitud de los lados del triángulo de vértices A( 4, 1), B (6, 3) y C (, 3). Lado AB: Ä AB = (6, 3) ( 4, 1) = (10, ) Ä AB = 10 + = 104 Lado AC: Ä AC = (, 3) ( 4, 1) = (, 4) Ä AC = + ( 4) = 0 Lado BC: Ä BC = (, 3) (6, 3) = (, 6) Ä BC = ( ) + ( 6) = 100 = 10 Unidad. Geometría analítica

20 Soluciones a la Autoevaluación Obtienes con soltura la ecuación de una recta dada de diferentes formas? Pág. 5 Obtén la ecuación de las rectas r y s tales que: r pasa por ( 3, ) y es perpendicular a x 3y + 6 = 0. s pasa por (9, 5/) y es paralela a x + y 7 = 0. La pendiente de x 3y + 6 = 0 es m = /3. La pendiente de r es m' = 3/. r: y = 3 (x + 3) y = 16 3x 9 3x + y 7 = 0 La pendiente de s es m =. s: y = 5 (x 9) y = 5 4x x + y 31 = 0 Reconoces, sin representarlas, si dos rectas son paralelas o perpendiculares? 6 Estudia la posición relativa de estas rectas: r : x + y = 0 s : x + 1 y = 1 r : x + y = 0 (*) x + 1 y 1 = 0 x + 1 y = 1 s : x + 1 y = 1 (*) Dividimos por. Son la misma recta. Obtienes con agilidad el punto de corte de dos rectas? 7 Halla el punto de intersección de las siguientes rectas: 3x + y 7 = 0 y 4x + y 31 = 0 3x + y 7 = 0 4x + y 31 = 0 3x + y 7 = 0 16x y + 14 = 0 13x = 0 x = y 7 = 0 y = 0 y = 5 El punto de intersección es P ( 9, 5 ). Unidad. Geometría analítica