2. REPASO DE ESTADÍSTICA

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1 2. REPASO DE ESTADÍSTICA

2 ESTADÍSTICA APLICADA Necesidad de la Estadística. Necesidad de razoamietos iductivos a partir de datos: Se hace afirmacioes acerca de u colectivo de idividuos u objetos, habiedo observado e realidad sólo ua parte de ellos. Defiició de Estadística: Cojuto de métodos para recoger, clasificar, represetar y resumir datos, así como para hacer iferecias cietíficas a partir de ellos. Ejemplo.0: SNED Sistema Nacioal de Evaluació del Desempeño Docete

3 Estadística Descriptiva. Co el estudio de ciertos estadísticos se cooce magitudes que represeta a la globalidad de los datos dispoibles de forma resumida. Iferecia Estadística. La seguda fase es la formulació y cofirmació de hipótesis, Se cuatifica el grado de certidumbre co el que se puede establecer afirmacioes sobre los datos: Se obtiee coclusioes a partir de ua iformació icompleta

4 Població: cojuto de los objetos (idividuos, observacioes, etc.) que se desea observar. Puede ser fiito o ifiito. Notació: Ω Ejemplo.: Los habitates del Gra Satiago, de 8 años o más. Muestra: parte de la població Ω seleccioada para u experimeto El aálisis de la iformació será de gra ayuda para la toma de decisioes y la realizació de ivestigacioes No hay que olvidar que los datos dispoibles sumiistrará ua iformació parcial del proceso e estudio y auque la estadística valide uas hipótesis, el ivestigador deberá dar u sigificado real a las coclusioes e el cotexto correspodiete.

5 Alguos coceptos básicos: Observació: ua observació es u objeto idividual que os sirve como fuete de datos para la realizació de uestra ivestigació. Recibe diferetes deomiacioes: Uidades muestrales, Idividuos, Observacioes, Casos, Objetos, Uidades experimetales: ω Ω Variable: Es ua característica del idividuo que puede tomar distitos valores. Cuado medimos algo represetamos por u modelo umérico aquello que medimos: : Ω (Q es el cojuto de todos los valores posibles que puede tomar sobre los elemetos de Ω) Q

6 Ejemplo.2: La altura de ua persoa: asigamos u úmero a cada persoa. Las medidas físicas, como altura y peso, se mide co u istrumeto físico. Otras propiedades abstractas tales como razoamieto, iteligecia se mide idirectamete. Valor: so los distitos estados e los que se puede ecotrar ua característica de u idividuo. Estos puede ser cualitativos (masculio, femeio) o cuatitativos (63 cm): ( ω ) Q Observació: Si Ω IN (població fiita o umerable) se aota i Q.

7 PROBLEMAS TÍPICOS. Determiar las Uidades Experimetales o Uidades Muestrales 2. Homogeeidad respecto a otras características que pueda ifluir 3. Obteció de las medidas: Grades errores ORGANIZACIÓN MATRICIAL E geeral, los datos a aalizar cosistirá de u cojuto de p variables medidas e uidades muestrales. Grabados e Hojas de cálculo (ECEL, LOTUS), Bases de Datos (DBASE, ACCESS) o Programas Estadísticos (STATGRAPHICS, SPSS) NUMERO SEO EDAD EJERCICIO ALCOHOL TABACO 00 H M H M

8 CLASIFICACIÓN DE VARIABLES Se puede cosiderar tres clasificacioes de variables (depediedo del cojuto Q):. Segú la escala: Nomial, Ordial, de Itervalo y de Razó. 2. Cualitativas y Cuatitativas. 3. Discretas y Cotiuas Segú la Escala: Ua clasificació comúmete aceptada especifica cuatro tipos de variables: omial, ordial, itervalar, de razó.

9 Variables omiales Ua escala omial es u sistema de clasificació que sitúa a persoas, objetos u otras etidades detro de categorías mutuamete excluyetes Podemos usar símbolos (H/M, SI/NO) para represetar las dos categorías. Alguos programas de aálisis de datos trata sólo símbolos uméricos, por lo que es preferible esta represetació. Puesto que las categorías puede cosiderarse e cualquier orde cualquier cojuto de úmeros será válido para su represetació: 0/, /2 (para o cofudir ceros co blacos), /6 (para evitar errores de grabació).

10 Variables Ordiales E este caso se usa categorías, pero existe u orde coocido etre ellas. Por ejemplo ua escala de iveles de dureza de mierales, u ivel socioecoómico, etc. Puede usarse cualquier secuecia de úmeros crecietes para su represetació. Para defiir ua variable ordial la operació básica es determiar si ua observació es mayor que otra. Variables de itervalo Ua variable itervalo es ua variable ordial especial, e la que las diferecias etre dos valores sucesivos es siempre la misma. Por ejemplo, la variable temperatura e grados Fahreheit. Variables de razó So variables de itervalo e las que además hay u puto atural represetado el orige: puto cero. Por ejemplo, la altura.

11 Cualitativas y Cuatitativas: Las variables cuatitativas so aquellas e la que los valores so úmeros. Cuatifica características que uos posee e mayor catidad que otros: Q IR E las cualitativas, tambié llamadas categóricas o de clasificació, los diferetes valores represeta grupos distitos a los que el sujeto puede perteecer. Ejemplo.3: Q = { verde,azul,egro,... } si : Color de ojos.

12 Cotiuas y Discretas: Ua variable se dice cotiua si puede tomar cualquier valor e u rago específico. Por ejemplo, altura, peso, desidad, tiempo, resistecia. Ua variable que o es cotiua es discreta. Puede tomar sólo ciertos valores específicos. Por ejemplo: úmero de hijos, sexo, idetificació co partido político. A veces a las variables de este tipo se les deomia tambié atributos. Esta última clasificació lleva, posteriormete, a cosiderar las posibles distribucioes de las variables que se supoe e los aálisis. De esta forma ua variable discreta puede seguir ua distribució Biomial, de Poisso, etc., mietras que la distribució Normal se usa para describir la distribució de las variables cotiuas.

13 ENTRADA DE DATOS NUMERO SEO EDAD EJERCICIO ALCOHOL TABACO ALIM_GRA COLEST ANT_FAM PROB COR 00 H M H M H Idetif CUALI CUANT ORDINAL CUALIT CUALIT. Nombres de las variables, ombres de códigos para descodificació 2. Codificar preferiblemete e úmeros 3. Codificació detallada. Ejemplo: Edad, Tabaco co valor exacto. No itervalos que se puede geerar posteriormete. 4. Chequeo de ragos, máximos, míimos. 5. Valores Missig: defiició, codificació. - Los aálisis multivariates requiere casos completos - Valorar la supresió de u caso o ua variable co alta proporció de valores missig 6. Copias de seguridad 7. Chequeo iicial: frecuecias, máximos y míimos, gráficas, detectar valores o admisibles, icosistetes, errores, etc.

14 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Sea Ω ua població fiita (o subcojuto fiito de ua població mayor). Cosidere : Ω Q Como Card Ω = Ω =, podemos asociar Ω co {,2,3,... } Así, {,x,... } Pregutas: x so los valores de Q. 2 x Cómo está repartidos los valores {,x,... } Dóde se cocetra? Cómo se dispersa? x 2 x?.

15 Distribució de Frecuecias: Sea f : Q IN + co f ( q ) Card{ i Ω / xi = q} q f ( q ) =. f se deomia la distribució de frecuecias de. Ejemplo.4: Q = IR, : talla de alumos de IN 540. f cm Q

16 Por motivos prácticos Q se particioa e p clases ( itervalos): Q = { I I... } 2 I p Si llamamos ' { I,I,..., } f ' ( I j ) Q = y defiimos Card 2 I p { i Ω / x I } =. i j f ' : I Q' j f IN + co ( I j ) Observacioes: f' f ' ( I ) = j f ( q ) q I j Al pasar de f a f se pierde iformació. Se tiee aquí el compromiso etre perder iformació e iterpretar mejor o teer mayor iformació pero poca claridad. I I p Q

17 Características de la Distribució de Frecuecias: a) Características de Posició Cetral i. Media Aritmética: x = i = x i = ( ii. Media Geométrica: Obs: l( g ) = iii. Media Armóica: i= l( x i ) h g = i= xi i= x i ) Estas tres medias se defie para variables cuatitativas.

18 iv. Mediaa: Es el valor M e Q t.q. 50% de Ω toma valores meores que M y 50% toma valores mayores. Obs: No siempre es úica (puede ser u itervalo) v. Moda: Es el valor M d e Q t.q. ( M ) Obs: No siempre es úica. f d es mayor. Ambas características so aplicables a toda clase de variables.

19 b) Valores Extremos i. Míimo: x = Mi{ x / i Ω} ii. Máximo: x = Max{ x / i Ω} m M i i iii. Cuatila de orde α%: Es el valor α meores que C α. C t.q. α% de Ω toma valores Obs: No siempre es úica. Si α=50 etoces C = α M

20 Ejemplo.5: Q = [ 0,400] (US$) f M d [ 20,60] 5% C % 5% 4% 4% 3% % Q

21 c) Características de Dispersió i. Variaza: S 2 = i= ( x i x ) 2 ii. Desviació Típica: S x iii. Rago: M m x iv. Itervalo Itercuatil: C β Cα, α<β.

22 d) Mometos Se defie el Mometo de orde k: m k k = k x i i= Ejercicio: Muestre que m 0 = g m = x m = h m k x k m m k x k M

23 Se defie el Mometo de orde k cetrado e a: m k k ( a ) = k ( xi a ) i= Observació: m 2 ( x ) = S Se aota x ) µ al mometo de orde k cetrado e la media. k = m k (

24 e) Características de Forma: i. Coeficiete de Variació: µ CV = 2 = x S x ii. Coeficiete de Asimetría: γ = ( µ µ ) 4 iii. Coeficiete de Achatamieto: γ = 3 µ 2 2 ( µ 2 )

25 γ < 0 γ > 0 γ 2 >0 γ 2 = 0 (Dist. Normal) γ 2 < 0

26 Ejercicios: Muestre que x = = etoces CV = 0 x =... x Si 2 Si la distribució de frecuecias es simétrica co respecto a x etoces γ = 0 Si los valores de sigue ua distribució ormal etoces γ 2 = 0

27 VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES B IR. Cosideremos dode : Ω IR y aotemos [ B] = { ω Ω / ( ω) B} Observació: [ x] = { ω Ω / ( ω) x} [ = x] = { ω Ω / ( ω) = x} Variable Aleatoria: ua v.a. es ua fució real defiida e Ω (es decir Ω IR x es u eveto aleatorio x IR. : ) tal que [ ] es ua v.a. si se puede asigar ua probabilidad al eveto [ x], x IR.

28 Fució Distribució: Se llama fució de distribució de ua v.a. a la fució real ( x) = IP( x) x IR. F Observació: F tambié es llamada fució de distribució acumulada de. F es cotiua sii IP( = x) = P ( x) = 0, x IR.

29 Tipos de Variables Aleatorias: a. Discreta: ua v.a. es discreta si toma u úmero fiito o umerable de valores, es decir si existe { x, x2,... } IR tal que ( ω ) { x, x 2,... }, ω Ω. Notemos que si es ua v.a. discreta F ( x) = P ( x ), x IR. i / x x b. Absolutamete Cotiua: ua v.a. es absolutamete cotiua si existe ua fució real f tal que f (, x IR x) 0 x x) =. F ( f ( t) dt, x IR Se llama a f fució desidad (o desidad) de. i i

30 Distribució (o Ley) de ua v.a.: Se llama distribució de ua v.a. a la probabilidad defiida por ( B) IP( B) P Si es ua v.a. discreta P ( x) = P ( xi ). =, B eveto aleatorio e IR i / x B Si es ua v.a. abs. cotiua P ( B) = f ( t) dt. La distribució de ua v.a. está determiada por cualquiera de las siguietes fucioes, deomiadas represetacioes de la ley de : F f, si es abs. cotiua P, si es discreta ϕ i. La fució de distribució ii. La desidad iii. La fució de probabilidad iv. La fució característica Ejercicio: Cuál es la defiició de ϕ? i B

31 Ejemplo.6: ) ~ N(0,) 2π sii f x = e 2 ( ) x 2, x IR 2) ~ Beroulli( p) sii IP( = ) = p; IP( = 0) = p. 3) ~ Biomial(, p) sii P k k ( k) = p ( p), k = 0,,...,. k Ejercicio: Muestre que si, 2,..., so v.a. i.i.d. (variables aleatorias idepedietes e idéticamete distribuidas) Beroulli(p), etoces = i = i Biomial(, p) ~.

32 Valor Esperado de ua v.a.: Se llama valor esperado (o esperaza) de ua v.a. que toma valores e Q, al úmero IE ( ) = xi Q ) Ejercicio: x i P ( x i ), si es discreta (Q fiito o umerable). IE( = xf ( x) dx, si es abs. cotiua. Exp sii ~ ( λ) ~ Cauchy sii existe. λx λe si x 0 f ( x) =. Pruebe que IE ( ) =. 0 si o λ f ( x) =, x IR. Pruebe que ( ) π 2 ( + x ) IE o

33 Variaza ua v.a.: Se llama variaza de ua v.a. que toma valores e Q, al úmero V( ) = IE( IE( )) La variaza correspode a ua medida de dispersió de la distribució de co respecto a su esperaza, por ello se deomia tambié desviació cuadrática media. 2 = IE( 2 ) IE( ) 2 Observacioes: 2 2 Se ota V ( ) = Var( ) = σ = σ ( ) A la raíz cuadrada de la variaza se llama desviació estádar σ V ( ) Ejercicio: Pruebe que ( ) = 0 = V sii existe ua costate c tal que IP ( = c) =. 2 Pruebe que cualquiera sea a y b costates, V ( a + b) = a V ( ).

34 TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE, LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS Y DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF Cosideremos,...,, 2 so v.a. i.i.d. (ua muestra aleatoria). Desigualdad de Tchebycheff: Sea IP( T(, 2,..., ) IE(T( T : IR IR. Etoces ε > 0: V(T(,,..., )) ε ) 2, ε 2 2,..., )) E particular si etoces T(, 2,..., ) = i i= V ( ) IP( IE( ) ε). 2 ε (la media muestral),

35 c. s. Ley de los Grades Números: IE( ). La media muestral coverge casi seguramete a la media poblacioal. Teorema Cetral de Límite: IE( V ( ) ) = ( IE( V ( ) )) d N(0,) La media muestral (estadarizada) coverge e distribució a ua ormal.

36 PRUEBAS DE HIPÓTESIS Se formula hipótesis acerca de leyes o feómeos físicos o aturales, que es ecesario demostrar o rechazar por medio de "cotrastes" (tests) o "pruebas". La prueba de la hipótesis es el Cotraste de Hipótesis que os llevará a su aceptació o rechazo. El procedimieto estádar cosiste e recopilar iformació e forma de observacioes uméricas que será la base de uestra decisió. Por ejemplo si tiramos ua moeda 00 veces y obteemos siempre cara podemos percibir que la hipótesis de que la moeda o está trucada o es aceptable. Si embargo es posible obteer este resultado co ua moeda o trucada, por cosiguiete o podremos estar completamete seguros de uestra decisió.

37 Los procedimietos de Iferecia Estadística os posibilita, bajo ciertas codicioes, establecer la probabilidad de aceptar hipótesis falsas o rechazar hipótesis verdaderas. Es decir permite calcular la probabilidad de cometer error co uestra decisió. El objetivo de u cotraste de hipótesis es comprobar si los datos muestrales apoya la hipótesis ula, o por el cotrario rechaza H 0, lo cual os llevaría a aceptar H. E u efoque totalmete práctico hay que teer e cueta dos cosas: a) La hipótesis ula que se cotrasta b) El p-valor obteido.

38 Se puede iterpretar el p-valor de dos formas: i. La probabilidad de error (o sea de equivocarse) si se rechaza la hipótesis ula cuado realmete es cierta. Es el error llamado de Tipo I. ii. La probabilidad de que las diferecias observadas sea debidas al azar. Por ese motivo se rechaza la hipótesis ula cuado el p-valor es pequeño. El valor fijo a partir del cual el p-valor se cosidera pequeño es el ivel de sigificació a (0.0, 0.05, 0.0, 0.00).