EL MODELO ESTÁNDAR Y SU FENOMENOLOGÍA Parte 1: La teoría electrodébil y herramientas de cálculo

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1 Métodos y Técnicas Avanzadas en Física EL MODELO ESTÁNDAR Y SU FENOMENOLOGÍA Parte 1: La teoría electrodébil y herramientas de cálculo José Ignacio Illana Departamento de Física Teórica y del Cosmos Universidad de Granada

2 Programa La teoría electrodébil El Modelo Estándar (SM) La simetría gauge: origen de las interacciones Rotura espontánea de la simetría gauge: origen de las masas Réplicas de familias fermiónicas Autoestados de masa y de interacción Conservación de sabor en corrientes neutras y GIM Mezcla de sabores de quarks: la matriz de CKM Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos Fermiones de Dirac y de Majorana Seesaw: por qué los neutrinos son tan ligeros? Mezcla de sabores leptónicos: la matriz de PMNS Oscilaciones de neutrinos Test de violación de número leptónico: 0νββ 2

3 Observables Sección eficaz Anchura de desintegración Reglas de Feynman Reglas generales Algunos vértices genéricos Vértices del SM Cálculo de correcciones cuánticas a un loop Estructura de las amplitudes a un loop Cálculo explícito de las integrales Algunos casos sencillos Aplicación: factores de forma dipolares a un loop El vértice vector-fermión más general El momento magnético anómalo en QED y en el SM El proceso raro µ eγ en el SM con neutrinos masivos 3

4 Capítulo 1 La teoría electrodébil 4

5 El Modelo Estándar (SM) [Glashow 61, Weinberg 67, Salam 68; Gell-Mann, Zweig 64] Teoría gauge basada en el grupo de simetrías locales SU(3) c SU(2) L U(1) Y Interacciones intercambio de bosones de gauge (spin 1) Fuerte: 8 gluones sin masa. Electromagnética: 1 fotón sin masa (γ). Débil: 3bosones débiles masivos (W ± yz). Contenido de materia fermiónica (spin 1 2 ): 3familiasdequarks y3deleptones. Cada familia formada por dos partículas, f y f, con carga eléctrica Q f = Q f + 1 en unidades de la carga del protón, y sus corrrespondientes antipartículas. Los quarks aparecen en tres posibles estados de color [RGB]. Los campos se agrupan en multipletes (representaciones irreducibles): Bajo SU(3) c los quarks son tripletes y los leptones singletes de color. Bajo SU(2) L los campos left son dobletes y los right singletes de isospin débil. Las tres familias con idénticas interacciones, sólo difieren en masas y sabor. Simetría rota espontáneamente bosones débiles y fermiones masivos Higgs El Modelo Estándar 5

6 Fermiones I II III Q spin 1 2 Quarks f uuu ccc ttt 2/3 f ddd sss bbb 1/3 Leptones f ν e ν µ ν τ 0 f e µ τ 1 Bosones spin 1 8gluones Int. fuerte γ Int. electromagnética W ±,Z Int. débil spin 0 Higgs Origen de las masas Multipletes SU(3) c SU(2) L U(1) Y I II III Quarks (3, 2, 1 6 ) Leptones (1, 2, 1 2 ) u L d L c L s L t L (3, 1, 2 3 ) u R c R t R (3, 1, 1 3 ) d R s R b R ν e L e L ν µ L µ L b L ν τ L τ L (1, 1, 1) e R µ R τ R (1, 1, 0) ν er ν µr ν τr Q = T 3 + Y Q: carga eléct. T: isospin débil Y: hipercarga El Modelo Estándar 6

7 A continuación construiremos el lagrangiano del Modelo Estándar de las interacciones electromagnéticas y débiles (teoría electrodébil) para una sola familia de quarks y leptones. Ignoraremos las interacciones fuertes, que son independientes del sabor. El Modelo Estándar 7

8 La simetría gauge: origen de las interacciones Sea un mundo con sólo dos fermiones (quarks o leptones) de spin 1 2 fyf libres y sin masa (campos f (x) y f (x), resp.). Descrito por el lagrangiano de Dirac: L 0 F = i f (x)/ f (x)+i f (x)/ f (x) =i j=1,3 ψ j (x)/ ψ j (x), con / γ µ µ, agrupando las componentes left en un doblete y las right en dos singletes, ψ 1 = f L f L, ψ 2 = f R, ψ 3 = f R, donde f ( ) R,L = P R,L f ( ), f ( ) R,L = f ( ) P L,R, con P R,L = 1 2 (1 ± γ 5). Para que el lagrangiano sea invariante bajo transformaciones gauge (locales) bajo G = SU(2) L U(1) Y : ψ 1 (x) G U L (x) exp{iy 1 β(x)}ψ 1 (x), { U L (x) =exp i σ } i 2 αi (x), i = 1, 2, 3, ψ 2 (x) G exp{iy 2 β(x)}ψ 2 (x), ψ 3 (x) G exp{iy 3 β(x)}ψ 3 (x), El Modelo Estándar La simetría gauge 8

9 hemos de reemplazar µ por la derivada covariante (convención de signos): [ ] D µ ψ 1 (x) µ ig W µ (x)+ig y 1 B µ (x) ψ 1 (x), D µ ψ 2 (x) [ µ + ig y 2 B µ (x) ] ψ 2 (x), D µ ψ 3 (x) [ µ + ig y 3 B µ (x) ] ψ 3 (x), donde se introducen g y g,lasσ i son las tres matrices de Pauli y W µ (x) σ i 2 Wi µ(x). Las propiedades de transformación de los campos de gauge (B µ, W i µ)quedan fijadas. Son las que hacen que los D µ ψ j (x) se transformen igual que los ψ j (x): B µ (x) G B µ (x) 1 g µβ(x), W µ (x) G U L (x) W µ (x)u L (x) i g ( µ U L (x) ) U L (x). El Modelo Estándar La simetría gauge 9

10 Nota: En general, si {T a } son los generadores del grupo, {A a µ(x)} los bosones de gauge asociados y {θ a (x)} los parámetros de la transformación, es fácil comprobar que la derivada covariante es D µ = µ igã µ, con à µ = T a Aµ a si los campos se transforman ψ Uψ, U = exp{it a θ a (x)} à µ Uà µ U i g ( µu)u De este modo, D µ ψ UD µ ψ y ψ/dψ queda invariante. Como hay cuatro parámetros de gauge, α i (x) y β(x), para mantener la invariancia gauge, hemos tenido que introducir tres bosones vectoriales, W i µ(x), uno por cada generador de SU(2), y otro más, B µ (x), para el grupo U(1). Nótese que la simetría dicta la forma de las interacciones. Los acoplamientos g y g, así como las hipercargas y i, son parámetros libres. El Modelo Estándar La simetría gauge 10

11 El lagrangiano resultante es invariante bajo las transformaciones gauge de G: L F = i 3 j=1 ψ j (x)/dψ j (x) Para que la teoría sea completa han de añadirse los términos cinéticos para los bosones de gauge: donde L G = 1 4 B µνb µν 1 2 Tr { W µν W µν} = 1 4 B µνb µν 1 4 Wi µνw µν i W µν i g [( µ ig W µ ), B µν µ B ν ν B µ, )] ( ν ig W ν = µ W ν ν W ν ig[ W µ, W ν ], W µν σ i 2 Wi µν, W i µν = µ W i ν ν W i µ + gϵ ijk W j µw k ν. y hemos sustituido las constantes de estructura de SU(2): [ σi 2, σ ] j 2 = iϵ ijk σ k 2. El Modelo Estándar La simetría gauge 11

12 El tensor B µν es invariante bajo las transformaciones de G, mientras que W µν se transforma covariantemente, B µν G G B µν, W µν U L W µν U L, así que L G es también invariante gauge. Como SU(2) es no abeliano, L G da lugar a autointeracciones cúbicas y cuárticas entre sus bosones de gauge. La intensidad de tales interacciones viene dada por el mismo acoplamiento g que aparece en la parte fermiónica L F. El Modelo Estándar La simetría gauge 12

13 Interacciones de corrientes cargadas El lagrangiano L F contiene interacciones entre fermiones y bosones de gauge, L F g ψ 1 γ µ W µ ψ 1 g B µ 3 j=1 y j ψ j γ µ ψ j. El término que contiene la matriz W µ = σ i 2 Wi µ = 1 2 W3 µ 2W µ 2Wµ W 3 µ da lugar a interacciones de corrientes cargadas con el campo vectorial cargadode las W ±, W µ (Wµ 1 + iwµ)/ 2 2 y su complejo conjugado W µ (Wµ 1 iwµ)/ 2 2, L CC = g { 2 W f } µ (x)γ µ (1 γ 5 ) f (x)+h.c.. 2 ν l u d W W W W l ν d u El Modelo Estándar La simetría gauge 13

14 Interacciones de corrientes neutras El término anterior L F g ψ 1 γ µ W µ ψ 1 g B µ 3 j=1 y j ψ j γ µ ψ j también contiene interacciones con los campos de gauge neutros W 3 µ y B µ. Nos gustaría identificar estos campos con los del Z y el fotón, respectivamente. Sin embargo, como el fotón tiene las mismas interacciones con ambas quiralidades fermiónicas, el bosón de gauge B µ no puede ser el campo electromagnético A µ. Para ello habría que imponer y 1 = y 2 = y 3 y g y j = eq j, lo que es imposible. Como ambos campos son neutros, probemos con una combinación de ellos: W3 µ cos θ W sin θ W Z µ. B µ sin θ W cos θ W A µ El Modelo Estándar La simetría gauge 14

15 En términos de Z µ y A µ el lagrangiano de corrientes neutras quedaría: L NC = 3 j=1 ψ j γ µ { A µ [ gt3 sin θ W + g y j cos θ W ] + Zµ [ gt3 cos θ W g y j sin θ W ]} ψj, donde T 3 = σ 3 /2 (0) es la tercera componente del isospin del doblete (singlete). Para obtener la electrodinámica cuántica (QED) de la parte con A µ imponer: donde Q 1 = Q f 0 0 Q f g sin θ W = g cos θ W = e, Y = Q T 3, Q 2 = Q f, Q 3 = Q f es el operador de carga eléctrica. La primera igualdad relaciona los acoplamientos g y g de SU(2) y U(1), con el acoplamiento electromagnético e: unificación de las interacciones electrodébiles. La segunda fija las hipercargas fermiónicas Y en términos de las cargas eléctricas y los números cuánticos de isospin débil: y 1 = Q f 1 2 = Q f + 1 2, y 2 = Q f, y 3 = Q f. El Modelo Estándar La simetría gauge 15

16 Sustituyendo las cargas de los quarks y los leptones, observamos que los neutrinos right tienen carga e hipercarga nulas, es decir no se acoplan ni al fotón ni a la Z, y tampoco se acoplan a los W ±, pues sólo lo hacen los campos left. Por tanto los ν R son estériles y, si los neutrinos no tuvieran masa, no haría falta introducirlos. El lagrangiano de corrientes neutras queda finalmente: L NC = L QED + L Z NC, donde L QED = ea µ Q f ( ) f ( ) (x)γ µ f ( ) (x), L Z NC = ez µ f ( ) (x)γ µ (v f a f γ 5 ) f ( ) (x), con v f =(T f L 3 2Q f sin 2 θ W )/(2 sin θ W cos θ W )ya f = T f L 3 /(2 sin θ W cos θ W ). γ f f = u, d, l Z f f = u, d, ν, l El Modelo Estándar La simetría gauge 16

17 Autointeracciones de bosones de gauge Del lagrangiano L G se extraen los términos de autointeracción triple y cuártica: { L 3 = ie cot θ W W µν W µz ν W µνw µ Z ν W µw ν Z µν} +ie {W µν W µ A ν W µνw µ A ν W µw ν F µν} γ W W Z W W El Modelo Estándar La simetría gauge 17

18 { ( L 4 = e2 2 sin 2 W µw µ) } 2 W µ W µ W ν W ν θ W { e 2 cot 2 θ W W µw µ Z ν Z ν W µz µ W ν Z ν} { +e 2 cot θ W 2W µw µ Z ν A ν W µz µ W ν A ν W µ A µ W ν Z ν} e 2 { W µw µ A ν A ν W µ A µ W ν A ν} W W W γ W γ W Z W W W γ W Z W Z Nótese que siempre hay como mínimo un par de bosones cargados W y que no hay ningún vértice neutro con sólo fotones y bosones Z. El Modelo Estándar La simetría gauge 18

19 La rotura espontánea de la simetría gauge: origen de las masas La simetría gauge, que ha determinado cómo son las interacciones, prohibe términos de masa para los bosones de gauge. También para los fermiones. La rotura espontánea de la simetría (SSB) aparece cuando el vacío del sistema (estado de mínima energía) está degenerado. El vacío físico es uno entre los posibles estados de mínima energía conectados por las simetrías del lagrangiano. Cuando la naturaleza lo elige se rompe la simetría de los estados físicos, aunque se preserva la del lagrangiano. El resultado de la SSB depende del tipo de simetrías. Si el lagrangiano es invariante bajo un grupo continuo G, peroelvacíoes invariante sólo bajo un subgrupo H G, aparecen tantos estados sin masa y spin 0 (bosones de Goldstone) como generadores de G que no lo son de H, es decir, el número de simetrías que se han roto (teorema de Goldstone). [Nambu 60, Goldstone 61] Si las simetrías del lagrangiano son locales (gauge) estos bosones de Goldstone son comidos por los bosones de gauge asociados a las simetrías rotas y se hacen masivos (mecanismo de Higgs-Kibble). [Higgs; Englert, Brout; Guralnik, Hagen, Kibble 64] El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 19

20 Ejemplo más sencillo de SSB: un campo escalar complejo φ(x) con lagrangiano L = µ φ µ φ V(φ), V(φ) =µ 2 φ φ + λ(φ φ) 2, donde λ > 0 para que exista un estado de mínima energía (el vacío). Este lagrangiano es invariante bajo transformaciones globales de fase U(1), φ(x) U(1) exp{iθ}φ(x). Si µ 2 > 0, el potencial tiene sólo un mínimo trivial, en φ(x) =0. Se trata entonces de un campo escalar de masa µ y acoplamiento cuártico λ. El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 20

21 Si µ 2 < 0, el mínimo corresponde a las configuraciones del campo que satisfacen 0 φ(x) 0 φ 0 (x) = µ 2 2λ v 2 > 0, V(φ 0 )= λ 4 v4. Existe entonces un número infinito de vacíos, conectados por transformaciones φ 0 (x) = v 2 exp{iθ}. Eligiendo uno como el estado fundamental del sistema (vacío físico), por ejemplo θ = 0, la simetría se rompe espontáneamente. El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 21

22 Si parametrizamos las excitaciones del campo sobre el vacío físico como φ(x) = 1 2 [v + ϕ 1 (x)+iϕ 2 (x)], donde ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x) son campos reales, el potencial toma la forma V(φ) =V(φ 0 ) µ 2 ϕ λvϕ 1(ϕ ϕ2 2 )+λ 4 (ϕ2 1 + ϕ2 2 )2. Vemos que ϕ 1 tiene masa m ϕ1 = 2µ 2, mientras que ϕ 2 no tiene masa. La aparición de esta partícula sin masa (bosón de Goldstone) es fácil de entender: ϕ 2 describe las excitaciones a lo largo de una dirección plana del potencial, es decir a estados que tienen la misma energía del estado fundamental. Estas excitaciones no cuestan energía y corresponden por tanto a un estado sin masa. En este caso hay un solo bosón de Goldstone porque al elegir un vacío hemos roto la única simetría (bajo transformaciones de fase) del vacío. El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 22

23 Masas para los bosones de gauge débiles Veamos ahora cómo implementar este mecanismo para dar masa a los bosones de gauge débiles del SM. En el SM la simetría está rota del siguiente modo, SU(2) L U(1) Y SSB U(1) QED. Para lograr este esquema de SSB hemos de introducir un doblete de campos escalares complejos (cuatro campos reales: dos cargados y dos neutros): Φ = φ(+) φ (0) y el lagrangiano invariante bajo SU(2) L U(1) Y : L S =(D µ Φ) D µ Φ V(Φ), V(Φ) =µ 2 Φ Φ + λ(φ Φ) 2 con λ > 0, µ 2 < 0y ] D µ Φ = [ µ ig W µ + ig y Φ B µ Φ, y Φ = Q Φ T 3 = 1 2. El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 23

24 El potencial escalar es similar al anterior y el mínimo degenerado corresponde a 0 Φ(x) 0 Φ 0 (x) = 1 0 µ 2, v = 2 v λ. Sólo los campos escalares neutros pueden adquirir un valor esperado en el vacío (vev) pues la carga es una cantidad conservada. Nótese que el fotón sólo se acopla a los campos escalares cargados, cuyo vev es nulo, lo que será crucial para que el fotón no adquiera masa, como veremos. Al elegir uno entre los posibles estados fundamentales, todos ellos conectados por transformaciones SU(2) L U(1) Y (cuatro generadores), se rompe espontáneamente esta simetría quedando como remanente U(1) QED (un generador), lo que da lugar a la aparición de tres escalares sin masa. Parametrizamos el doblete escalar como excitaciones sobre el vacío físico, { Φ(x) =exp i σ } i θi (x) 2, v + H(x) donde sigue habiendo cuatro campos escalares reales, θ i (x) y H(x). El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 24

25 Los tres campos θ i (x), son los que serían bosones de Goldstone pero haciendo uso de la invariancia gauge del langrangiano podemos transformar Φ(x) en cada punto x por un campo en el que éstos desaparecen, preservándose como único campo escalar físico el bosón de Higgs H(x). Así, en el llamado gauge unitario, Φ(x) { G exp i σ } i 2 θi (x) Φ(x) = 1 [v + H(x)] Los tres grados de libertad que aparentemente se pierden se convierten en el estado de polarización longitudinal de W ± y Z pues, tras la SSB, W µ y Z µ se convierten en campos masivos de spin 1. En efecto, (D µ Φ) D µ Φ G 1 2 µh µ H +(v + H) 2 { g 2 4 W µw µ + que contiene los términos de masa para los bosones débiles, M Z cos θ W = M W = 1 2 vg,. g 2 } 8 cos 2 Z µ Z µ θ W mientras que el fotón permanece sin masa. Todo ello preservándose la simetría gauge del lagrangiano. El precio a pagar es la introducción del campo de Higgs. El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 25,

26 El bosón de Higgs L S incluye el bosón de Higgs y sus autointeracciones (cúbicas y cuárticas), L H, así como las interacciones del Higgs con los bosones de gauge, L HV 2: donde L S 1 4 λv4 + L H + L HV 2, L H = 1 2 µh µ H 1 2 M2 H H2 M2 H 2v H3 M2 H L HV 2 = M 2 W W µw µ { v H + H2 v 2 8v 2 H4, } + 12 M2Z Z µz {1 µ + 2v H + H2 v 2 } y la masa de Higgs viene dada por M H = 2µ 2 = 2λv. El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 26

27 W Z H H W Z W H Z H W H Z H H H H H H H H El LHC anunció en julio de 2012 el descubrimiento de una partícula con propiedades consistentes con las esperadas para el bosón de Higgs del SM y una masa de unos 125 GeV. Los datos de Tevatron son compatibles con este descubrimiento. [ATLAS; CMS; CDF, D0 12] El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 27

28 Parámetros del modelo: predicciones y medidas Hasta ahora hemos introducido cuatro parámetros libres: g, g, λ y µ oequivalentemente α = e 2 /(4π), sin 2 θ W, M Z y M H. Nótese que el modelo predice que M W < M Z, lo que está de acuerdo con los valores experimentales: M Z = ± GeV, M W = ± GeV. De estos valores experimentales se deduce el ángulo de mezcla electrodébil sin 2 θ W = 1 M2 W M 2 Z = 0.223, valor que está de acuerdo con el que se obtiene a partir de la medida de la constante de Fermi G F =( ± ) 10 5 GeV 2, que a su vez se obtiene de la medida de la vida media del muón, τ µ =( ± ) 10 6 s: 1 τ µ = Γ µ = G2 F m5 µ 192π 3 f (m2 e /m 2 µ), f (x) 1 8x + 8x 3 x 4 12x 2 log x, El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 28

29 recordando que, a partir del modelo de Fermi de cuatro fermiones, g 2 M 2 W q2 g2 M 2 W = 4πα sin 2 θ W M 2 W 4 2G F. Usando las medidas de α 1 = (44), M W y G F se obtiene sin 2 θ W = 0.215, en bastante buen acuerdo con el valor obtenido anteriormente. La pequeña discrepancia se resuelve cuando se incluyen las correcciones radiativas (cuánticas). La constante de Fermi también proporciona directamente el vev del campo escalar (la llamada escala electrodébil), v = ( 2GF ) 1/2 246 GeV. El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 29

30 Masas para los fermiones Consideremos por el momento sólo una familia de quarks y leptones. Un término de masa fermiónico L m = m ψψ = m( ψ L ψ R + ψ R ψ L ) no está permitido porque rompe explícitamente la simetría gauge. Sin embargo, como hemos introducido un doblete escalar adicional en el modelo, podemos escribir el siguiente acoplamiento fermión-escalar invariante gauge: L Y = y 1 (ū, d)l φ(+) φ (0) d R y 2 (ū, d)l φ(0) φ ( ) u R y 3 ( ν e, ē) L φ(+) φ (0) e R + h.c., donde el segundo término involucra el campo escalar conjugado de carga Φ c iσ 2 Φ (que se transforma bajo SU(2) de la misma forma que Φ) y hemos supuesto que no existe el ν R. Después de la SSB, este lagrangiano tipo Yukawa toma la forma en el gauge unitario. L Y = 1 2 (v + H) { y 1 dd + y2 ūu + y 3 ēe } El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 30

31 Así que la SSB también genera las masas de los fermiones, proporcionales a los correspondientes acoplamientos de Yukawa: m d = y 1 v 2, m u = y 2 v 2, m e = y 3 v 2. Las masas de los fermiones se determinan experimentalmente. Los acoplamientos de Yukawa se fijan en términos de las masas: L Y = ( 1 + H v ) {md dd + mu ūu + m e ēe } f H f = u, d, l El Modelo Estándar Rotura espontánea de la simetría gauge 31

32 Réplicas de familias fermiónicas En la naturaleza existen tres familias de quarks y leptones. Son copias idénticas de la misma estructura SU(2) L U(1) Y. Sólo difieren en los valores de las masas. Consideremos el caso general de n G generaciones de fermiones y denotemos ν I j, li j, ui j, di j los miembros de la familia j (j = 1,..., n G ), con propiedades de transformación bien definidas bajo el grupo de gauge. Hasta ahora habíamos omitido el superíndice I. El lagrangiano de Yukawa invariante gauge más general tiene la forma ( L Y = ū I j, d ) j I y (d) φ(+) L jk d I jk φ (0) kr + y(u) φ(0) jk u I φ ( ) kr ( + ν j I, l ) j I L y(l) φ(+) jk l I φ (0) kr + h.c., donde y (d) jk, y(u) jk and y (l) jk son constantes de acoplamiento arbitrarias y seguimos suponiendo que no existen neutrinos right. El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 32

33 Autoestados de masa y de interacción Después de la SSB, the el lagrangiano de Yukawa puede escribirse ( L Y = 1 + H ) { } d L I v M d dr I + u L I M u ur I + li L M l lr I + h.c.. Los símbolos d I, u I y l I denotan vectores en el espacio de sabor n G -dimensional. Las matrices de masa vienen dadas por (M d ) ij y (d) ij v 2, (M u ) ij y (u) ij v 2, (M l ) ij y (l) ij v 2. La diagonalización de estas matrices determina los autoestados de masa d j, u j y l j, combinaciones lineales de autoestados de interacción d I j, ui j y l I j, respectivamente. Las tres matrices M f pueden escribirse como M f = H f U f = S f M f S f U f M f M f = H 2 f = S f M2 f S f donde H f M f M f es una matriz hermítica definida positiva y U f es unitaria. Cada H f puede diagonalizarse mediante una matriz unitaria S f. La matriz resultante, M f, es diagonal y definida positiva. El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 33

34 En términos de las matrices diagonales M d = diag(m d, m s, m b,...), M u = diag(m u, m c, m t,...), M l = diag(m e, m µ, m τ,...) el lagrangiano de Yukawa toma la forma ( L Y = 1 + H ) { } d M v d d + u M u u + l M l l, donde los autoestados de masa se definen mediante d L S d dl I, u L S u ul I, l L S l ll I, d R S d U d dr I, u R S u U u ur I, l R S l U l lr I. Nótese, que los acoplamientos con el Higgs son proporcionales a las masas. El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 34

35 Conservación del sabor en corrientes neutras y GIM Como f I L f I L = f L f L y f I R f I R = f R f R ( f = u, d, l), la forma del lagrangiano de corrientes neutras es la misma en términos de los autoestados de masa. Por tanto, no existen corrientes neutras que cambien el sabor (FCNC) en el SM (mecanismo GIM). [Glashow, Iliopoulos, Maiani 70] Mezcla de sabores de quarks: la matriz de CKM Sin embargo, u I L d I L = u L S u S d d L = u L d L, pues en general S u = S d.sedefinela matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM): [Cabibbo 63; Kobayashi, Maskawa 73] V S u S d u I L d I L = u L Vd L. La matriz n G n G de CKM es unitaria y aparece en interacciones de corrientes cargadas de quarks: { [ ] } L CC = g 2 W µ ū i γ µ (1 γ 5 ) V ij d j + ν l γ µ (1 γ 5 ) l + h.c.. 2 ij l=e,µ,τ El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 35

36 La matriz V acopla cada quark tipo up a todos los quarks de tipo down. d j u i W V ij W dj u i V ij Hemos supuesto que los neutrinos no tienen masa. En ese caso, siempre podemos redefinir los sabores de los neutrinos de modo que eliminamos la mezcla análoga en el sector leptónico: ν I L l I L = ν I L S l l L ν L l L y tenemos conservación de sabor. Nótese que si los u i o los d j tuvieran masas degeneradas podríamos igualmente redefinir los campos y habría conservación de sabor en el sector de quarks. Si se incluyen campos ν R podrían introducirse acoplamientos de Yukawa para los neutrinos, dando lugar a una matriz de masas (M ν ) ij y (ν) ij v/ 2y obtendríamos violación del sabor leptónico a través de una matriz de mezcla análoga a la CKM. El fenómeno de las oscilaciones de neutrinos, que estudiaremos en la siguiente sección, nos indica que en realidad los neutrinos tienen masa, aunque diminuta. El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 36

37 Las masas de los fermiones y la matriz de mezcla V de los quarks vienen determinadas por las correpondientes matrices de acoplamientos de Yukawa y ( f ) ij, que son parámetros libres. Una matriz n G n G unitaria general se caracteriza por n 2 G parámetros reales: n G (n G 1)/2 módulos y n G (n G + 1)/2 fases. Varias de estas fases son irrelevantes, porque uno puede redefinir las fases de los campos (no son físicas): u i e iφ i u i y d j e iθ j d j, de modo que V ij V ij e i(θ j φ i ). Esto significa que hay 2n G 1 fases inobservables. Por tanto, el número de parámetros libres físicos se reduce a (n G 1) 2 : n G (n G 1)/2 módulos y (n G 1)(n G 2)/2 fases. Así, si sólo se mezclan dos generaciones V viene determinada por un solo parámetro, el ángulo de Cabibbo: V = cos θ C sin θ C sin θ C cos θ C. El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 37

38 Para n G = 3, la matriz de CKM viene descrita por 3 ángulos y una fase. Existen diferentes (pero equivalentes) representaciones. La parametrización estándar es: V = V ud V us V ub V cd V cs V cb = = V td V ts V tb c 23 s 23 0 s 23 c 23 c 13 0 s 13 e iδ s 13 e iδ 13 0 c 13 c 12 s 12 0 s 12 c c 12 c 13 s 12 c 13 s 13 e iδ 13 s 12 c 23 c 12 s 23 s 13 e iδ 13 c 12 c 23 s 12 s 23 s 13 e iδ 13 s 23 c 13, s 12 s 23 c 12 c 23 s 13 e iδ 13 c 12 s 23 s 12 c 23 s 13 e iδ 13 c 23 c 13 donde c ij cos θ ij y s ij sin θ ij (i, j = 1, 2, 3). Los ángulos θ 12, θ 13 y θ 23 pueden hacerse yacer todos en el primer cuadrante, mediante redefinición de fases de los campos. Así c ij 0,s ij 0 y 0 δ 13 2π. El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 38

39 Nótese que δ 13 es la única fase compleja del lagrangiano del SM. Por ello, es la única fuente posible de violación de CP. De hecho, fue por esta razón que se supuso existía una tercera generación, antes del descubrimiento del bottom y el τ. Con sólo dos generaciones, el SM no podría explicar la violación de CP en el sistema de kaones, por ejemplo. Experimentalmente se tiene acceso sólo a los módulos de V ij. En la siguiente tabla se presentan los valores que se han podido determinar directamente. El resto se obtienen utilizando la unitariedad de la matriz. El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 39

40 CKM Valor Fuente [A. Pich 05] V ud ± Desintegración β nuclear ± n pe ν e ± π + π 0 e + ν e ± promedio V us ± K πe + ν e ± Desintegraciones de hiperones ± Desintegraciones de τ ± K + /π + µ + ν µ yretículo ± promedio V cd ± ν d c X V cs 0.97 ± 0.11 W + c s ± W + had., V uj, V cd, V cb V cb ± B D l ν l ± b c l ν l ± promedio V ub ± B ρ l ν l, π l ν l ± b u l ν l ± promedio V tb / q V tq t bw/qw δ ± 14 sistemas K y B El Modelo Estándar Réplicas de familias fermiónicas 40

41 Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos Hemos visto que si los neutrinos no tuvieran masa (o si todos tuvieran la misma masa aunque no fuera nula) no habría mezcla de sabores en el sector leptónico, se conservaría el sabor leptónico: el número de electrones, el de muones y el de taus. Sin embargo, debido el fenómeno de las oscilaciones de neutrinos, sabemos que los neutrinos no están degenerados en masa. Podrían entonces darse procesos tales como µ eγ, y otros parecidos, que estudiaremos en otro capítulo. En éste nos centraremos en qué son las oscilaciones, en qué experimentos se han observado y qué información nos aportan sobre las masas de los neutrinos y la matriz de mezcla de los leptones. Previamente necesitamos introducir el concepto de fermión de Majorana. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 41

42 Fermiones de Dirac y de Majorana A diferencia de los quarks y los leptones cargados, los neutrinos pueden ser su propia antipartícula (fermiones de Majorana), porque todas sus cargas son nulas. Esto abre la posibilidad de que neutrinos y antineutrinos se mezclen, enriqueciendo aún más la mezcla de sabores. Recordemos que un fermión de Dirac es un campo (espinor) con cuatro componentes independientes: dos estados de quiralidad (left y right) para los estados de partícula y antipartícula: ψ L = P L ψ, ψ R = P R ψ, ψ c L (ψ L) c = P R ψ c, ψ c R (ψ R) c = P L ψ c, donde ψ c C ψ T = iγ 2 ψ es el espinor conjugado (transformado bajo conjugación de carga) con C = iγ 2 γ 0, ψ = ψ γ 0 y P R,L = 1 2 (1 ± γ 5). Un fermion de Majorana tiene en cambio dos grados de libertad pues ψ c η ψ: ψ L = ηψ c R, ψ R = ηψ c L, donde η 2 = 1. Veremos que η es proporcional a la CP-paridad, η = iη CP. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 42

43 Nótese que: C = C T = C 1 = C y Cγ µ C 1 = γµ. T Veamos que la CP-paridad de un campo de Majorana es η CP = ±i: Nota: Los operadores sobre el espacio de Dirac (ej. C) conmutanconlosqueactúansobreelespaciodefock(ej.u CP ). U CP ψ(x)u CP η CPγ 0 ψ(x P ), donde x (x 0, x), x P (x 0, x) U CP ψ (x)u CP = η CP γ0t ψ (x P ), pues (γ 0 ψ) =(ψ γ 0 ) T = γ 0T ψ U CP C ψ T (x)u CP = η CP Cγ0T ψ T (x P ), pues ψ T =(ψ γ 0 ) T = γ 0T ψ U CP C ψ T (x)u CP = η CP γ0 C ψ T (x P ), pues Cγ 0T C 1 = γ 0 U CP ψ c (x)u CP = η CP γ0 ψ c (x P ). Comparando la primera y la última igualdad y utilizando que ψ = ηψ c : η CP = η CP η CP = ±i q.e.d. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 43

44 Veamos que hay tres tipos de términos de masa podemos construir a partir de todos los bilineales escalares posibles: ψ L ψ R = ψr c ψc L, ψ Rψ L = ψ c L ψc R ψ L ψ c L, ψc L ψ L ψ R ψr c, ψc R ψ R ( F = 0) ( F = 2) El término de masa tipo Dirac conecta componentes L y R del mismo campo, L D = m D ψ R ψ L + h.c. Los de tipo Majorana conectan componentes L y R de campos conjugados, L M = 1 2 m Lψ c L ψ L m Rψ c R ψ R + h.c.. Nótese que ψ c = ψ T C. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 44

45 Vemos que el término de masa de Dirac conserva el número fermiónico ( F = 0) mientras que los de Majorana lo violan en dos unidades ( F = 2). En general, ambos tipos de términos pueden estar presentes y entonces L DM = m D ψ R ψ L m Lψ c L ψ L m Rψ c R ψ R + h.c.. Conviene introducir un doblete de campos de Majorana autoconjugados (χ 0c i = χ 0 i ): χ 0 = Entonces donde M = χ0 1 χ 0 2 = χ 0 L + χ0 R, χ0 L = ψ L ψ c R, χ 0 R = χ0c L = ψc L ψ R L DM = 1 2 χ0c L Mχ0 L + h.c. = 1 2 χ0t L CMχ0 L + h.c. = 1 2 χ0 R Mχ0 L + h.c., m L m D m D m R. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 45.

46 M es una matriz cuadrada, simétrica (y real si se conserva CP). Puede diagonalizarse con una matriz unitaria Ũ (u ortogonal Ũ = O) mediante: Ũ T MŨ = M = diag(m 1, m 2), χ 0 L = Ũ χ L, χ 0 R = χ0c L = Ũ χ R. Para conseguir que los autovalores sean reales y positivos, la matriz Ũ puede multiplicarse por una matriz diagonal de fases complejas η: Ũ U Ũ η, η ij = η i δ ij, η i R, que corresponde a elegir los campos físicos como ξ i = χ il + η i χ c il, de donde ξ c i = η i ξ i. Comprobaremos que si se conserva CP las η i son los signos de los correspondientes autovalores m i : η i = signo(m i ), m i = η i m i. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 46

47 Veamos ahora que si hay invariancia CP entonces: U CP ξ L (x)u CP = iγ0 Cξ L T (xp ). En efecto: Sea U CP ξ L (x)u CP ργ0 Cξ L T (xp ), donde ρ es una fase que vamos a determinar. Si el lagrangiano L DM es invariante bajo CP entonces: U CP L DM (x)u CP = L DM(x P ). Por tanto: U CP ξ T L (x)cmξ L(x)U CP = ξt L (x P)CMξ L (x P ) de donde ρ = ±i. Elegimos ρ = i. ξ L (x P )ρmρcξ L T (xp ) = ξ T L (x P)CMξ L (x P ) ρmρ = M, pues C = C También obtenemos que M es real (M = M ) pues es simétrica. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 47

48 Veamos finalmente que si ξ = ηξ c entonces la CP-paridad de ξ es η CP = iη. En efecto: U CP ξ L (x)u CP = U U CP ξ 0 L (x)u CP, pues ξ L = U ξ 0 L ξ0 L = U ξ L = iu γ 0 Cξ 0 L T (xp ), pues U CP ξ 0 L (x)u CP = iγ0 Cξ 0 L T (xp ) = iu U γ 0 T Cξ L (xp ), pues ξ 0 LT = U T ξ L ξ 0 L = U ξ L = iηγ 0 T Cξ L (xp ),puesu = ηo T, U = O η U= O η = iηγ 0 ξ R (x P ). Por otro lado, tenemos que U CP ξ(x)u CP η CPγ 0 ξ(x P ) U CP ξ L (x)u CP = η CPγ 0 ξ R (x P ). Por tanto η CP = iη El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 48

49 El fermión de Dirac como caso particular de dos de Majorana Si los términos de masa de Majorana son m L = m R = 0 encontramos que m 1 = m D, m 2 = m D, O = Los autoestados χ 1 = 1 2 (χ 0 1 χ0 2 ) χ 1L = 1 2 (ψ L ψ c R ), χ 1R = χ c 1L, χ 2 = 1 2 (χ χ0 2 ) χ 2L = 1 2 (ψ L + ψ c R ), χ 2R = χ c 2L, deben ser reemplazados por los estados físicos: ξ 1 = χ 1L + η 1 χ c 1L [η 1 = 1], ξ 2 = χ 2L + η 2 χ c 2L [η 2 =+1]. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 49

50 Los estados físicos tienen masa positiva, L = 1 2 m D( χ 1 χ 1 + χ 2 χ 2 ) = 1 2 m D( ξ 1 ξ 1 + ξ 2 ξ 2 ) = m D (ψ R ψ L + ψ L ψ R ). Vemos que dos fermiones de Majorana de igual masa y CP-paridades opuestas forman un fermión de Dirac. Nótese que la transformación que proporciona directamente los estados físicos es en efecto U = O η = O como queríamos comprobar. i = 1 i 1 2 i 1, El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 50

51 Seesaw: por qué los neutrinos son tan ligeros? En el SM con un doblete de Higgs es imposible construir un término de masas del tipo ν c L ν L que sea invariante gauge. Por tanto, necesariamente m L = 0. En cambio, un término del tipo ν c R ν R (singlete) puede introducirse a mano sin romper la simetría. Consideremos por tanto la matriz de masas M = 0 m D m D m R que es diagonalizada por la matriz cos θ sin θ O =, tan2θ = 2m D, cos 2θ = sin θ cos θ m R m R m 2 R + 4m2 D, Sus autovalores son: m 1,2 = 1 2 [ m R ] m 2 R + 4m2 D. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 51

52 Si m D m R obtenemos un neutrino ligero (ν) yotro muy pesado (N) con CP-paridades opuestas y un pequeñísimo ángulo de mezcla (mecanismo de seesaw): [Yanagida 79; Gell-Mann, Ramond, Slansky 79; Mohapatra, Senjanovic 80] m ν m 1 m2 D m R, m N m 2 m R m ν, θ m ν /m N 1, ν ξ 1 ν L + η 1 ν c L [η 1 = 1], N ξ 2 ν c R + η 2ν R [η 2 =+1]. Sabemos que existen n G = 3 generaciones de neutrinos left [ν il (i = 1,..., n G )]y puede haber un número arbitrario n R de campos right [ν jr (j = 1,..., n R )]. La matriz de masas es entonces la matriz cuadrada, compleja y simétrica (n G + n R ) (n G + n R ), M = 0 m D T, con m D : n R n G y m R : n R n R. m D m R El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 52

53 Así, si suponemos que m D es del orden de la escala electrodébil ( 200 GeV) y la escala a la que se violaría el número leptónico, es muy alta (del orden de la escala de gran unificación, m R GeV) obtenemos: n G = 3 neutrinos ligeros (ν i ) con masas m ν ( ) ev, que es justamente el orden de magnitud correcto para explicar las diminutas masas de los neutrinos que son compatibles con los experimentos de oscilaciones, y n R extremadamente pesados (N j ) que jugarían un papel muy importante para generar la asimetría bariónica del universo a partir de sus desintegraciones fuera del equilibrio (leptogénesis). El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 53

54 Mezcla de sabores leptónicos: la matriz de PMNS Si el mecanismo de seesaw fuera cierto, los neutrinos serían partículas de Majorana (ν i = η i ν c i, N j = η j N c j ). Los tres autoestados de masa más ligeros ν i (i = 1, 2, 3) corresponderían a una mezcla de autoestados de interacción ν α (α = e, µ, τ), ν α = i U αi ν i, o bien ν i = α U αi ν α. Pondremos una letra griega como subíndice en vez de un superíndice I para indicar que autoestados de interacción. Los de masa tendrán como subíndice una letra latina. Esta matriz unitaria (la mezcla con los neutrinos pesados es despreciable) es análoga a la definida para los quarks y los leptones cargados, pero hay dos importantes diferencias: los campos ν contienen ambas quiralidades, y la matriz U contiene dos fases físicas adicionales α 1, α 2 (fases de Majorana), que no pueden ser absorbidas mediante redefinición de fases de los campos, ya que la relación ν i = η i ν c i lo impide. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 54

55 U se conoce como la matriz de Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata (PMNS). [Pontecorvo 57; Maki, Nakagawa, Sakata 62; Pontecorvo 68] En la parametrización estándar: U e1 U e2 U e3 U = U µ1 U µ2 U µ3 = U τ1 U τ2 U τ3 c 12 c 13 s 12 c 13 s 13 e iδ 13 s 12 c 23 c 12 s 23 s 13 e iδ 13 c 12 c 23 s 12 s 23 s 13 e iδ 13 s 23 c 13 s 12 s 23 c 12 c 23 s 13 e iδ 13 c 12 s 23 s 12 c 23 s 13 e iδ 13 c 23 c 13 e iα e iα Estos parámetros se determinan experimentalmente (distintos a los de quarks). Ésta es la matriz que aparece en la interacción de corrientes cargadas de leptones, [ ] } L CC = {W g 2 µ l α γ µ (1 γ 5 ) U αi ν i + h.c., 2 en la base en la que los leptones cargados son diagonales. αi El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 55

56 ν i l j U ji W U ji W νi l j Veremos en seguida que los experimentos de oscilaciones de neutrinos no son sensibles a las fases de Majorana, y por tanto son incapaces de discenir si los neutrinos son partículas de Dirac o de Majorana. Excepto si existen nuevas interacciones de los neutrinos right, pues entonces se propagan de forma diferente en materia. [del Águila, Syska, Zrałek 07] Para ello se necesita un experimento que compruebe la conservación del número leptónico, violado por los términos de Majorana. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 56

57 Oscilaciones de neutrinos Se trata de un fenómeno mecano-cuántico debido a que los autoestados de masa ν i (de energía bien definida) no coinciden con los de interacción ν α (los que se producen en una corriente cargada acompañando al leptón cargado l α = e, µ, τ), ν α = i U αi ν i. La evolución en el tiempo del estado inicial ν α viene dada por el operador evolución temporal, que es diagonal en la base de autoestados de masa: t = 0: ν α (0) = ν α t : ν α (t) = e ieit U αi ν i. i En la práctica, los neutrinos son relativistas (m i E i ), así que t L (distancia recorrida). Si se han producido con momento p E entonces: E i = p 2 + m 2 i p + m2 i 2p p + m2 i 2E. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 57

58 Por tanto, al cabo de una distancia L el neutrino ν α puede oscilar a cualquier sabor ν β con una probabilidad: P(ν α ν β ; L) = ν β ν α (L) 2 = 2 ν j U βj e ieil U αi ν i ij = 2 2 U βi U αie ie il = U βi U αie im2 i L/2E i i = ij U βj U αj U βi U αie i m2 ij L/2E = δ αβ + 2 Re(U βj U αj U βi U αi)[cos( m 2 ijl/2e) 1] i>j +2 Im(U βj U αj U βi U αi) sin( m 2 ij L/2E). i>j El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 58

59 Se ha usado ν j ν i = δ ij, se ha definido m 2 ij m2 i m2 j, se ha separado ij = + + i=j i>j i<j y se ha utilizado la unitariedad de U que lleva a la igualdad: i=j (U βj U αj U βi U αi) = (U βj U αj ) (U βi U αi) (U βj U αj U βi U αi) Finalmente, conviene escribir j i, i =j = δ αβ 2 Re(U βj U αj U βi U αi). i>j P(ν α ν β ; L) = δ αβ 4 Re(U βj U αj U βi U αi) sin 2 [1.27 m 2 ij L/E] i>j +2 Im(U βj U αj U βi U αi) sin[2.54 m 2 ij L/E], i>j donde se ha introducido m 2 ij L/4E 1.27 m2 ij [ev2 ] L [km] E [GeV]. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 59

60 Nótese que las fases de Majorana son irrelevantes y que P(ν β ν α ; U) =P(ν α ν β ; U ) de modo que si la invariancia CPT se satisface, P( ν α ν β )=P(ν β ν α ) tenemos que P( ν α ν β ; U) =P(ν α ν β ; U ), y si CP se conserva (U = U ) entonces P( ν α ν β )=P(ν α ν β ), de lo contrario, el último término de P(ν α ν β ) expresa la violación de CP. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 60

61 En la naturaleza parece haber tres sabores y, por tanto, dos diferencias de masas m 2 21 m2 32 m2 31, que resultan ser muy distintas. Entonces, P(ν α ν β = ν α ) P corta αβ + P larga αβ con P corta αβ = 4U 2 β3 U2 α3 sin2 [1.27 m 2 32 L/E] P larga αβ = 4U β1 U α1 U β2 U α2 sin 2 [1.27 m 2 21 L/E] donde se han despreciado por simplicidad efectos de violación de CP y se ha usado la unitariedad de U. Seleccionando el rango apropiado de L/E la oscilación es sensible sólo a la componente corta o a la larga, con lo que ambos tipos de oscilaciones están desacopladas y se pueden tratar como si de forma efectiva sólo hubiera mezcla de dos sabores. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 61

62 En el caso de oscilaciones entre dos sabores ν α y ν β, la matriz unitaria U se reduce a cos θ sin θ U =, sin θ cos θ y las probabilidades de oscilación entre estos dos sabores son P(ν α ν α ) = 1 sin 2 2θ sin 2 [1.27 m 2 L/E], P(ν α ν β = ν α ) = sin 2 2θ sin 2 [1.27 m 2 L/E]. Si m 2 L/E 1 la probabilidad de transición es muy sensible a la distancia (piénsese en una fuente extensa, por ejemplo) y entonces resulta una probabilidad promediada, independiente de m 2, P(ν α ν α ) = sin2 2θ, P(ν α ν β = ν α ) = 1 2 sin2 2θ. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 62

63 En la siguiente tabla se ilustran los m 2 que pueden explorarse en distintos experimentos. SBL (LBL) significa short (long) baseline, respectivamente. Experimento L [m] E [MeV] m 2 [ev 2 ] Reactores SBL Reactores LBL Aceleradores SBL Aceleradores LBL Atmosféricos Solares Cuando los neutrinos viajan en materia densa (atravesando el Sol, la Tierra o una supernova, por ejemplo) interaccionan con el las partículas del medio de forma diferente según el sabor. Es el efecto Mikheyev-Smirnov-Wolfenstein (MSW). Las probabilidades de transición anteriores se ven modificadas para acomodar este efecto, pero siguen dependiendo de diferencias de cuadrados de masas, siendo también independientes de las fases de Majorana. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 63

64 Experimentos de oscilaciones de neutrinos Son sensibles generalmente a un rango determinado de energías (limitado por el sistema de detección). Existen esencialmente dos tipos de experimentos: Experimentos de aparición: En los que se detectan sabor(es) ν β que no estaban presentes en el haz de ν α inicial. Es decir, miden P(ν α ν β = ν α ). Experimentos de desaparición: En los que se detectan menos ν α de los que se esperaban procedentes del haz inicial. Es decir, miden P(ν α ν α ). Las fuentes de neutrinos son variadas, unos de origen natural y otros producidos en reacciones nucleares o en aceleradores de partículas: Los neutrinos solares son ν e y se producen en reacciones termonucleares: ciclos pp y CNO. El primero produce el 98% de la energía que emite el Sol. Su flujo y su energía son variados. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 64

65 Ciclopp: El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 65

66 CicloCNO: El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 66

67 Flujo de neutrinos solares (a una unidad astronómica de distancia): El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 67

68 Los atmosféricos son producidos por rayos cósmicos (p, núcleos, etc) en la atmósfera terrestre: rayo cósmico + nucleón π ± (K ± )+X π ± (K ± ) µ ± + ν µ ( ν µ ) µ ± e ± + ν e ( ν e )+ ν µ (ν µ ). Por tanto, si no hubiera oscilaciones, uno esperaría el doble de ν µ que de ν e. Su energía varía entre unos pocos MeV y 100 GeV. El baseline varía dependiendo del ángulo cenital ϑ con que se observen: L 15 km [ϑ = 0, downgoing] L km [ϑ = 180, upgoing atravesando la Tierra]. Su flujo es aproximadamente de 100 m 2 sr 1 s 1. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 68

69 Otros neutrinos naturales son los producidos por supernovas (colapso estelar), e + p n + ν e e + e + ν l + ν l n + p n + p + ν l, con energías típicas del orden de 10 MeV, y los producidos por Núcleos Galácticos Activos (AGN), del orden de 1 TeV. En reactores nucleares se producen ν e en la desintegración β de productos de fisión inestables. Su flujo es del orden de s 1 GW 1 y su energía del orden del MeV. Los detectores se sitúan a una distancia de la central nuclear del orden de 1 km. Finalmente, en aceleradores de partículas se producen haces de neutrinos haciendo colisionar protones de unos 100 GeV contra un blanco. Así se producen ν µ (de π ±, K ± )yν e,µ (de µ ± ), con una energía del orden del GeV. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 69

70 Resultados Todos los experimentos son consistentes con la oscilaciones entre tres sabores de neutrinos. Los análisis implican 2 diferencias de masa, 3 ángulos de mezcla y 1 fase que viola CP. De las oscilaciones de neutrinos solares y atmosféricos se deduce que m 2 21 = m2 m 2 atm = m 2 31 m2 32. Hasta 2012 sólo m 2 21, m2 31, θ 12 y θ 23 estaban relativamente bien medidos, mientras que de θ 13 se conocía una cota superior y casi nada se sabía de la fase de CP δ CP ni del signo de m La situación ha cambiado drásticamente en el último año gracias a los datos de los experimentos de reactores Daya Bay, Reno y Double Chooz que, junto con la mejora en estadística de los experimentos de long baseline T2K y MINOS, han permitido la determinación clara de θ 13. A continuación se muestran los resultados del fit global a las oscilaciones de 3ν. Los diferentes contornos corresponden a regiones permitidas a 1σ, 90%,2σ, 99%y 3σ CL. [M.C. González García et al., arxiv: ] El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 70

71 El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 71

72 Se encuentran los siguientes rangos de valores: [M.C. González García et al. 12] m 2 21 = (7.50 ± 0.185) 10 5 ev 2, ( ) m 2 31 = ev 2 (jerarquía normal), ( ) m 2 32 = 10 3 ev 2 (jerarquía invertida), θ 12 = (33.3 ± 0.8), ( ) ( θ 23 = ) +1.2, ( θ 13 = ) +0.44, ( δ CP = ) +66. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 72

73 Los experimentos actuales son prácticamente insensibles a la fase de CP. Nótese que la mezcla entre ν µ y ν τ es (compatible con) máxima, la de ν e y ν µ es casi máxima y la de ν e y ν τ es muy pequeña. Por tanto nuestro conocimiento actual de la matriz de PMNS es U 3σ = El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 73

74 En cuanto al espectro de masas de los neutrinos: m 2 ν e m 2 m 3 2 ν µ ν τ solar~ ev 2 m 2 2 m 1 2 atmospheric ~ ev 2 atmospheric m 2 2 m 1 2 solar~ ev 2 ~ ev 2 m 3 2?? 0 0 El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 74

75 Nótese que el fenómeno de las oscilaciones no permite conocer más que diferencia de masas y por tanto no nos da información sobre su escala. Por otro lado el signo de m 2 31 no se conoce todavía, así que el espectro podría ser normal (como el de la Figura) o invertido (intercambiando las dos masas inferiores con la superior) o incluso degenerado si el neutrino más ligero tuviera una masa mucho mayor que m 2 atm 0.05 ev. Tenemos acceso a los valores individuales de las masas (actualmente cotas superiores) a partir de otros tipos de experimentos. En particular, la no observación de distorsión alguna en el punto final del espectro de electrones en la radiación β del tritio impone i m 2 i U ei 2 < 2 ev. Finalmente de los datos de astrofísica y cosmología obtenemos información (dependiente del modelo) sobre la suma de las masas de los neutrinos, i m i < ( ) ev. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 75

76 Test de la violación del número leptónico: 0νββ Se llama 0νββ al proceso (A, Z) (A, Z + 2)+2e, en el que un núcleo con A nucleones, de los cuales Z son protones, se desintegra a otro núcleo con Z + 2 protones emitiendo dos electrones. Este proceso viola la conservación del número leptónico y compite con el proceso doble beta estándar, en el que además se emiten dos antineutrinos, el cual está cinemáticamente más suprimido por disponer de menor espacio fásico. La amplitud de 0νββ es proporcional a la masa de Majorana efectiva, m i m i U 2 ei. Hay varios grupos experimentales intentando medir este proceso, pero de momento sin resultados concluyentes. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 76

77 Masa de Majorana efectiva m en función de min(m j ) (incluyendo una incertidumbre de 2σ) compatible con de los experimentos de oscilaciones. Las fases de Majorana se varían en el intervalo [0, π] yladediracsehatomadocero.lasbandasverdesyazulescorresponden a combinaciones que conservan CP y las rojas son zonas donde se viola CP. El Modelo Estándar Masas, mezclas y oscilaciones de neutrinos 77

78 Capítulo 2 Observables 78

79 Sección eficaz Qué significa? vt v A N B Blanco N H Haz La sección eficaz σ es el área efectiva de una partícula (en el blanco) vista por un proyectil (en el haz incidente). Si en el blanco hay N B partículas y la superficie de colisión es A, entonces Probabilidad de colisión = N Bσ A. Si en el haz hay N H partículas, entonces (# sucesos) = N H N B σ A σ = (# sucesos) N H N B A. Sección eficaz Qué significa? 79

80 En la práctica, el haz está formado por una nube de partículas de densidad ρ que se mueve con velocidad v, así que donde N H = ρvta σ = = (# sucesos) ρvtan B A = (# sucesos) ρv tn B probabilidad de transición por unidad de t flujo incidente, probabilidad de transición por unidad de t = (# sucesos) por unidad de t y por cada dispersor, flujo incidente = ρv. Sección eficaz Qué significa? 80

81 Probabilidad de transición y matriz S p 1, m 1 p 2, m 2. p 3, m 3 p n+2, m n+2 Sean los estados inicial (antes) y final (después) de la colisión: i p 1 p 2, f p 3 p 4...p n+2, y sea p i (p f ) la suma de los cuadri-momentos iniciales (finales), respectivamente. La matriz S conecta los estados asintóticos in (t ) yout (t ), out f i in S fi = f S i δ if + i(2π) 4 δ 4 (p i p f )T fi. Sección eficaz Probabilidad de transición y matriz S 81

82 S es unitaria, es S fi 2 dnf = 1. Por tanto, la probabilidad de transición a f = i S fi 2 dnf = (2π) 8 δ 4 (p i p f )δ 4 (0) T fi 2 dn f donde hemos usado que δ 4 (p) = = (2π) 4 δ 4 (p i p f )VT T fi 2 dn f, d 4 x (2π) 4 e ip x (2π) 4 δ 4 (0) =VT. VT es un cuadri-volumen infinito que no aparecerá en la magnitud observable. La probabilidad de transición por unidad de tiempo será: S fi 2 dnf probabilidad de transición = =(2π) 4 δ 4 (p T i p f ) T fi 2 VdN f. Calcularemos ahora dn f. Primero hemos de recordar cómo se define el estado de una partícula de momento p: p = 2E p a p 0, donde el operador a p (a p ) crea (aniquila) una partícula de momento p. Sección eficaz Probabilidad de transición y matriz S 82

83 Estos operadores verifican la regla de conmutación: El factor 2E p es necesario para que sea invariante Lorentz. [a q, a p]=(2π) 3 δ 3 (p q), q p = 2E p (2π) 3 δ 3 (p q) En efecto, hagamos un boost β de p en la dirección del eje ẑ. Entonces, δ 3 (p q )= δ3 (p q) γ(β de dp 3 + 1) = Eδ3 (p q) γ(βp 3 + E) = E E δ3 (p q) E p δ 3 (p q )=E p δ 3 (p q). Sección eficaz Probabilidad de transición y matriz S 83

84 En el primer paso se ha usado δ( f (x) f (x 0 )) = δ(x x 0) d f, f (x) =p3 (p 3)=γ(βE + p 3 ), dx x=x0 en el segundo, y en el tercero, de dp 3 = p 3 E, pues E = m 2 + p 2, E = γ(e + βp 3 ). Así el operador unidad sobre estados de un partícula es 1 = d 3 p (2π) 3 2E p p p. En efecto: 1 q = d 3 p (2π) 3 2E p p p q = d 3 p (2π) 3 2E p p (2π) 3 2E p δ 3 (p q) = q. Sección eficaz Probabilidad de transición y matriz S 84

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