BLOQUE V. CONTROL Y PROGRAMACIÓN DE SISTEMAS AUTOMÁTICOS

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1 Bloque V. Control y programación de sistemas automáticos pág. 1 BLOQUE V. CONTROL Y PROGRAMACIÓN DE SISTEMAS AUTOMÁTICOS 1. LA INFORMACIÓN BINARIA 1.1. Sistemas de numeración y códigos Def. Sistema de numeración. Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en dicho sistema. Son ejemplos de sistemas de numeración: sistema binario, sistema decimal, sistema hexadecimal, etc. Def. Código. Un código es un criterio que asigna, de forma biunívoca, una determinada combinación de dígitos a un valor de información determinado. Un código se dice binario si los únicos símbolos que utiliza en la codificación son 0 y 1. Son ejemplos de códigos binarios: el código ASCII que codifica 256 caracteres, el código BCD que nos permite representar números, etc. Sistema decimal. El sistema decimal es el que utilizamos nosotros para representar los números. Se llama decimal porque contiene diez símbolos numéricos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Además es posicional lo que quiere decir que dependiendo del lugar que ocupe el símbolo tiene un valor u otro. Ejemplo: en el 727 el 7 de izquierda vale setecientos mientras que el 7 de la derecha vale siete. Cuando no pongamos ningún subíndice al número entenderemos que está en sistema decimal; pero de todas maneras, cuando pueda haber dudas con otros sistemas de numeración, pondremos un subíndice d o un 10 a un número en sistema decimal. Por ejemplo: 13 = 13 d = Sistema binario. El sistema binario es el sistema que utilizan las computadoras para realizar operaciones. Se llama binario porque contiene dos símbolos numéricos: 0 y 1. Este sistema también es posicional. Para expresar que un número está en sistema binario pondremos un subíndice b o un 2. Por ejemplo: b = (2).

2 Bloque V. Control y programación de sistemas automáticos pág. 2 Paso de binario a decimal. De la misma manera que: 641 d = = ; se cumple que: b = = = 26 d. Paso de decimal a binario. Para pasar de decimal a binario haremos sucesivamente la división entera del número entre dos hasta que no se pueda más y nos quedaremos con el último cociente (que será 1) y los restos en sentido inverso. Ejemplo: 26:2 = 13; 13:2 = 6; 6:2 = 3; 3:2 = (1); (0) (1) (0) (0) Luego 26 d = b Sistema hexadecimal. El sistema hexadecimal también es muy utilizado por ejemplo para codificar colores. Se llama hexadecimal porque contiene dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. La A es diez, la B once, la C doce, la D trece, la E catorce y la F quince. Este sistema también es posicional. Para expresar que un número está en sistema hexadecimal pondremos un subíndice h o un 16. Por ejemplo: E4B1 h. Paso de hexadecimal a decimal. Para pasar de hexadecimal a decimal estudiaremos el siguiente ejemplo: Ejemplo: 5AE3 h = = = d. Paso de decimal a hexadecimal. Para pasar de decimal a hexadecimal haremos sucesivamente la división entera del número entre dieciséis hasta que no se pueda más y nos quedaremos con el último cociente y los restos en sentido inverso. Ejemplo: 23267:16 = 1454; 1454:16 = 90; 90:16 = (5); (3) (14 = E) (10 = A) Luego d = 5AE3 h Paso de binario a hexadecimal. Para pasar de binario a hexadecimal tenemos que agrupar el número en binario en grupos de cuatro comenzando por las unidades y escribir el número en hexadecimal correspondiente a cada grupo de cuatro.

3 Bloque V. Control y programación de sistemas automáticos pág. 3 Ejemplo: b = b = 46D h Paso de hexadecimal a binario. Para pasar de hexadecimal a binario tenemos que cada cifra en hexadecimal será un grupo de cuatro cifras en binario. Ejemplo: 5A3F h = b = b Código BCD. El código BCD es un código binario que se utiliza para codificar números. Para expresar que un número está en código BCD pondremos un subíndice BCD. Paso de BCD a decimal. Para pasar a decimal un número expresado en BCD tenemos que agrupar el número en BCD en grupos de cuatro comenzando por las unidades y escribir el número en decimal correspondiente a cada grupo de cuatro. Ejemplo: BCD = BCD = 465 d Nota: Es claro que 1010 BCD, 1011 BCD, 1100 BCD, 1101 BCD, 1110 BCD, 1111 BCD no existen en código BCD. Paso de decimal a BCD. Para pasar un número de decimal a BCD tenemos que cada cifra en decimal será un grupo de cuatro cifras en BCD. Ejemplo: 569 d = BCD = BCD 1.2. Suma y resta de números binarios Suma de números binarios. No debemos confundir la suma aritmética de números binarios, que es lo que vamos a estudiar ahora, con la suma lógica que veremos más adelante. Para sumar números binarios sólo hay que tener en cuenta que: 0 b + 0 b = 0 b ; 0 b + 1 b = 1 b ; 1 b + 0 b = 1 b ; 1 b + 1 b = 10 b ; 1 b + 1 b +1 b = 11 b Ejemplo: b b = b ; 25 d + 19 d = 44 d Ejemplo: b b = b ; 19 d + 59 d = 78 d Resta de números binarios. Para restar números binarios vamos a utilizar una técnica llamada método del complemento a dos, que nos permite re-

4 Bloque V. Control y programación de sistemas automáticos pág. 4 presentar números con signo. Este método nos permite representar números con signo y consiste en lo siguiente. Primero, hallar el complemento a dos del minuendo con signo positivo y del sustraendo con signo negativo. Segundo, sumar los números obtenidos. Tercero, el resultado obtenido es el complemento a dos de la diferencia buscada. Complemento a dos de un número positivo. Para hallar el complemento a dos usando, por ejemplo, ocho bits de un número en binario lo único que hay que hacer es añadir a la izquierda del número tantos ceros como sea necesario hasta completar los ocho bits. Ejemplo. Complemento a dos usando ocho bits de +58: +58 d = b = C2,8bit Nota. El número más grande que podemos representar en complemento a dos usando ocho bits es el b = 127 d, ya que el bit más significativo (el de más a la izquierda) es el que nos indica el signo del número: si es 0 el número es positivo y si es 1 el número es negativo. Complemento a dos de un número negativo. Para hallar el complemento a dos usando, por ejemplo, ocho bits de un número binario hacemos lo siguiente. Primero, representamos en binario el valor absoluto de dicho número y añadimos a la izquierda del número tantos ceros como sea necesario hasta completar los ocho bits. Segundo, cambiamos ceros por unos y unos por ceros al resultado anterior. Tercero, sumamos uno al resultado anterior. Ejemplo. Complemento a dos usado ocho bits de -36: 36 d = b b + 1 b = b Luego -36 d = C2,8bit Nota. El número más pequeño que podemos representar en complemento a dos usando ocho bits es el -127 d por la misma razón de antes. Nota. Fijarse que en el +58 el bit de más a la izquierda es 0 (+58 es positivo) y en el -36 el bit de más a la izquierda es 1 (-36 es negativo).

5 Bloque V. Control y programación de sistemas automáticos pág. 5 Descomplementar a dos. Cuando un número venga dado en complemento a dos, por ejemplo, usando ocho bits y queramos saber qué número es, hacemos lo siguiente. Primero, nos fijamos en el bit más significativo, ya que ese nos dirá el signo del número: 0 positivo, 1 negativo. En el caso de que sea positivo, ese es el número, sólo que expresado en binario, que podremos pasar ya a decimal. En el caso de que sea negativo, hay que cambiar ceros por unos y unos por ceros y al resultado sumarle uno, obteniendo así el número expresado en binario, que podremos pasar ya a decimal. Ejemplo. Qué número es: C2,8bit? Como el bit más significativo es 0, ese número es positivo, luego ese es ya el número C2,8bit = = +58 d. Ejemplo. Qué número es: C2,8bit? Como el bit más significativo es 1, ese número es negativo, luego hay que hacer: b + 1 b = b = = 36 d. Luego, C2,8bit = -36 d. Ejemplo. Hacer usando el método de complemento a dos. Ambos números son, el valor absoluto, menores que 127; por tanto, podemos usar ocho bits (también podríamos usar siete bits puesto que son menores de 63). +58 = C2,8bit -36 = C2,8bit = Nos fijamos que la suma da un número de 9 bits. Como estamos usando 8 bits, despreciamos el bit de más a la izquierda (que es 1 y está subrayado); por tanto, nos quedamos con Luego, = C2,8bit = b = = 22 d. Ejemplo. Hacer usando el método de complemento a dos. Ambos números son, el valor absoluto, menores que 127; por tanto, podemos usar ocho bits (también podríamos usar siete bits puesto que son menores de 63). +36 = C2,8bit -58 = C2,8bit = Nos fijamos que la suma da un número de 8 bits, que es lo que estamos usando. Luego, = C2,8bit = b = -( ) = -22 d.

6 Bloque V. Control y programación de sistemas automáticos pág OPERACIONES LÓGICAS 2.1. Definición y propiedades del álgebra de Boole Def. Álgebra de Boole. Un álgebra es un conjunto de elementos sobre el que definimos ciertas operaciones. En el caso del álgebra de Boole el conjunto está formado por dos elementos: 0 y 1. Dichos elementos también se llaman valores lógicos. Las operaciones que se definen en el álgebra de Boole son: la suma lógica, el producto lógico y la negación lógica. Def. Suma lógica. Como cada elemento tiene dos valores posibles y queremos definir la suma de dos elementos, tenemos cuatro posibilidades: = 0; = 1; = 1; = 1 Nota. Regla nemotécnica: la suma lógica de varios elementos es 0 si y solo si todos los sumandos son 0. Def. Producto lógico. Al igual que con la suma, hay cuatro posibilidades: 0 0 = 0; 0 1 = 0; 1 0 = 1; 1 1 = 1 Nota. Regla nemotécnica: el producto lógico de varios elementos es 1 si y solo si todos los factores son 1. Def. Negación lógica. Como la negación lógica se define para un elemento y hay dos elementos posibles, tenemos dos posibilidades: 0 = 1; 1 = 0 Def. Tabla de verdad. Cuando tengamos una expresión algebraica y representemos en una tabla todos los posibles casos de dicha expresión, a esa tabla se le llama tabla de verdad. a b a+b a b a b a a

7 Bloque V. Control y programación de sistemas automáticos pág. 7 Nota. No confundir suma lógica con suma aritmética. Por ejemplo, en la suma aritmética: 1 b + 1 b = 10 b, mientras que la suma lógica: = 1. Nota. No confundir la negación lógica con el opuesto. Por ejemplo, el opuesto de cero es cero, mientras que el negado de 0 es 1. Propiedades de la suma lógica. En los próximos párrafos vamos a estudiar ciertas propiedades que se pueden deducir a partir de la definición que hemos dado de suma lógica, producto lógico y negación lógica. Veremos las propiedades de la suma, del producto, de la negación, distributivas, simplificativas y de De Morgan. a + a = a a + (b + c) = (a + b) + c a + b = b + a a + 0 = a a + 1 = 1 Propiedades del producto lógico. A partir de la definición de producto lógico es muy sencillo las siguientes propiedades: a a = a a (b c) = (a b) c a b = b a a 0 = 0 a 1 = a Propiedades de la negación. A partir de la definición de negación lógica podemos demostrar las siguientes propiedades: a + a = 1 a a = 0 a = a Propiedades distributivas. Al igual que con las operaciones aritméticas, el producto lógico tiene prioridad sobre la suma lógica. Podemos demostrar las siguientes propiedades: a (b + c) = (a b) + (a c) = a b + a c a + (b c) = a + b c = (a + b) (a + c)

8 Bloque V. Control y programación de sistemas automáticos pág. 8 Ejemplo. Demostración de la segunda propiedad distributiva mediante tabla de verdad: a b c b c a+b c a+b a+c (a+b) (a+c) Como vemos las columnas a+b c y (a+b) (a+c) coinciden para cualesquiera valores de a, b y c, con lo que queda demostrado. Propiedades simplificativas. Podemos demostrar las siguientes propiedades. 1. a+a x = a 2. a+a x = a+x 3. a x+a x = x 4. a (a+x) = a 5. a (a +x) = a x 6. (a+x) (a +x) = x Ejemplo. Demostración de la segunda propiedad simplificativa mediante tabla de verdad: a x a a x a + a x a+x Como vemos las columnas a + a x y a+x coinciden para cualesquiera valores de a y b, con lo que queda demostrado. Propiedades de De Morgan. Podemos demostrar las siguientes propiedades. (a + b) = a b (a b) = a + b

9 Bloque V. Control y programación de sistemas automáticos pág. 9 Ejemplo. Demostración de la primera propiedad de De Morgan mediante tabla de verdad: a b a+b (a+b) a b a b Como vemos las columnas (a+b) y a b coinciden para cualesquiera valores de a y b, con lo que queda demostrado Formas canónicas de funciones lógicas Def. Expresión de conmutación. Decimos que una expresión de conmutación es una expresión algebraica que podrá contener sumas, productos y negaciones lógicas de varias variables lógicas. Por ejemplo, a b+c o a b son expresiones de conmutación. Def. Función lógica. Decimos que una función lógica o función de conmutación de n variables es una función que a cada conjunto de n valores lógicos le hace corresponder otro valor lógico. Podemos determinar una función lógica mediante una expresión de conmutación o mediante su tabla de verdad. Ejemplo. La expresión de conmutación a b + c determina una función lógica f de tres variables: f(a, b, c) = a b + c. Podemos comprobar que la expresión de conmutación (a+c ) (a +b+c ) determina exactamente la misma función lógica f. También podemos determinar f mediante su tabla de verdad. a b c f(a, b, c)

10 Bloque V. Control y programación de sistemas automáticos pág. 10 Nota. Como vemos puede haber distintas expresiones de conmutación que representen la misma función lógica pero cada función lógica tendrá una sola tabla de verdad. Ejemplo. La función lógica de tres variables f(a, b, c) = a+b +c vale 1 cuando a, b o c vale 1; en todos los demás casos vale 0. Ejemplo. La función lógica de cuatro variables f(a, b, c, d) = a b c d vale 0 cuando a, b, c o d vale 0; en todos los demás casos vale 1. Def. Primera forma canónica de una función lógica. Decimos que una función lógica está expresada en su primera forma canónica cuando la expresión de conmutación que la representa está formada por sumandos, donde cada sumando es el producto de cada variable de la función, bien directa o bien negada. Cada sumando recibe el nombre de minterm. Ejemplo. La función lógica f de cuatro variables dada por: f(a, b, c, d) = a b c d + a b c d + a b c d está expresada en su primera forma canónica. Está formada por los minterms: 0, 6 y 9. El minterm 0 es a b c d, el minterm 6 es a b c d y el minterm 9 es a b c d. f(a, b, c, d) = m 0 + m 6 + m 9 = Σm(0, 6, 9) Ejemplo. La función lógica f de tres variables dada por: f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 está expresada en su primera forma canónica. Está formada por los minterms: 1, 3, 4 y 6. El minterm 1 es x 1 x 2 x 3, el minterm 3 es x 1 x 2 x 3, el minterm 4 es x 1 x 2 x 3 y el minterm 6 es x 1 x 2 x 3. f(x 1, x 2, x 3 ) = m 1 + m 3 + m 4 + m 6 = Σm(1, 3, 4, 6) Ejemplo. La función lógica f de tres variables dada por: f(a, b, c) = a b + a b c no está expresada en su primera forma canónica puesto que el primer sumando no contiene la variable c directa o negada. Def. Segunda forma canónica de una función lógica. Decimos que una función lógica está expresada en su segunda forma canónica cuando la expresión de conmutación que la representa está formada por factores,

11 Bloque V. Control y programación de sistemas automáticos pág. 11 donde cada factor es la suma de todas las variables de la función directas o negadas. Cada factor recibe el nombre de maxterm. Ejemplo. La función lógica f de cuatro variables dada por: f(a, b, c, d) = (a+b+c +d ) (a+b +c+d ) (a +b +c +d) está expresada en su segunda forma canónica. Está formada por los maxterms: 3, 5 y 14. El maxterm 3 es a+b+c +d, el maxterm 5 es a+b +c+d y el maxterm 14 es a +b +c +d. f(a, b, c, d) = M 3 M 5 M 14 = ΠM(3, 5, 14) Ejemplo. La función lógica f de tres variables dada por: f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 +x 2 +x 3 ) (x 1 +x 2 +x 3 ) (x 1 +x 2 +x 3 ) (x 1 +x 2 +x 3 ) está expresada en su segunda forma canónica. Está formada por los maxterms: 0, 2, 3 y 7. El maxterm 0 es x 1 +x 2 +x 3, el maxterm 2 es x 1 +x 2 +x 3, el maxterm 3 es x 1 +x 2 +x 3 y el maxterm 7 es x 1 +x 2 +x 3. f(x 1, x 2, x 3 ) = M 0 M 2 M 3 M 7 = ΠM(0, 2, 3, 7) Ejemplo. La función lógica f de cuatro variables dada por: f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +x 2 +x 3 +x 4 ) (x 1 +x 2 +x 3 +x 4 ) (x 1 +x 3 +x 4 ) no está expresada en su segunda forma canónica puesto que el tercer factor no contiene la variable x 2 directa o negada. Transformación entre tablas de verdad y formas canónicas. Cuando una función venga expresada bien por su tabla de verdad, bien por su primera forma canónica o bien por su segunda forma canónica será muy sencillo hallar la expresión de esa función de las otras dos maneras. Lo vemos con un ejemplo: Ejemplo. Veamos cómo se expresa la función lógica f de tres variables de las tres maneras. a b c f(a, b, c)

12 Bloque V. Control y programación de sistemas automáticos pág. 12 f(a, b, c) = Σm(0, 2, 4, 6, 7) = m 0 + m 2 + m 4 + m 6 + m 7 = = a b c + a b c + a b c + a b c + a b c f(a, b, c) = ΠM(1, 3, 5) = M 1 M 3 M 5 = = (a+b+c ) (a+b +c ) (a +b+c ) 2.3. Simplificación de funciones lógicas Def. Simplificación de una expresión de conmutación. Decimos que hemos simplificado una expresión de conmutación cuando encontramos otra expresión de conmutación más sencilla pero con la misma tabla de verdad que la primera. Abusando del lenguaje decimos que hemos simplificado la función lógica. Veremos dos métodos de simplificación de funciones lógicas: simplificación por métodos algebraicos y simplificación por mapas de Karnaugh. Simplificación por métodos algebraicos. Este método consiste en utilizar las propiedades de las operaciones lógicas para obtener expresiones de conmutación más sencillas. Ejemplo. Demostrar las propiedades simplificativas a partir de las propiedades de la suma, del producto, de la negación y distributivas: 1. a+a x = a 1 + a x = a (1+b) = a 1 = a 2. a+a x = (a+a ) (a+x) = 1 (a+x) = a+x 3. a x+a x = (a+a ) x = 1 x = x 4. a (a+x) = a a + a x = a+a x = a 1 + a x = a (1+x) = a 1 = a 5. a (a +x) = a a + a x = 0 + a x = a x 6. (a+x) (a +x) = a a + x = 0 + x = x Ejemplo. Simplificar por métodos algebraicos la función lógica: F(a, b, c) = a b c + a b c + a b c +a b c + a b c = = b c + b c + a b c = = c + a b c = c + a b Ejemplo. Simplificar por métodos algebraicos la función lógica: F(a, b, c) = (a +b +c ) (a+b +c ) (a +b+c ) (a+b+c ) (a +b+c) = = (b +c ) (b+c ) (a +b+c) = = c (a +b+c) = c (a +b)